Estudio comparativo de las potencias de dos pruebas estadísticas que abordan el problema de Behrens-Fisher, aplicando la metodología de P-valores por intervalo-Primera edición

Estudio comparativo de las potencias de dos pruebas estadísticas

que abordan el problema de Behrens-Fisher, aplicando la

metodología de P-valores por intervalo-Primera edición

Title

Estudio comparativo de las potencias de dos pruebas

estadísticas que abordan el problema de Behrens-Fisher,

aplicando la metodología de P-valores por

intervalo-Primera edición

Authors

Rodríguez Espino, Eric Ulises

Issue Date

1999-05-01

Abstract

El objetivo de este trabajo se centra en estimar las

potencias de dos pruebas estadísticas que abordan el

problema de Behrens-Fisher.

Item type

Tesis

Rights

Open Access

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19-Jan-2017 02:51:18

INSTIT Lft)

TECNOLÓGICO

Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

CAMPUS

MONTERREY

DIVISIÓN DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

TESIS

ESTUDIO COMPARATIVO DE LAS POTENCIAS

DE

DOS

PRUEBAS

ESTADÍSTICAS QUE ABORDAN

EL PROBLEMA DE BEHRENS-FISHER,

APLICANDO LA METODOLOGÍA

DE P-VALORES POR INTERVALO.

ERIC ULISES RODRÍGUEZ ESPINO

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

CAMPUS

MONTERREY

DIVISIÓN DE CIENCIAS Y

HUMANIDADES

TESIS

ESTUDIO COMPARATIVO DE LAS POTENCIAS DE DOS PRUEBAS

ESTADÍSTICAS QUE ABORDAN EL PROBLEMA DE BEHRENS-FISHER,

APLICANDO LA METODOLOGÍA DE P-VALORES POR INTERVALO.

ERIC ULISES RODRÍGUEZ ESPINO

INS

UTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis del Lic. Eric

Ulises Rodríguez Espino sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado

académico de Maestro en Ciencias con especialidad en:

ESTADÍSTICA APLICADA

RE SUMEN

FI objetivo de este trabajo se centra en estimar las potencias de dos pruebas estadísticas que

abordan el problema de Behrens-Fisher. La metodología involucrada para el cómputo de las

potencias incorpora los conceptos desarrollados por Berger y Boos

(1994) relacionados con la

estimación de p-valores por intervalos de confianza para parámetros de ruido.

Se utilizaron rutinas computacionales desarrolladas

ad/xc

como método de estimaci5n, en las

que se simularon, por una parte, las distribuciones asociadas con

ios estadísticos de prueba

para obtener los puntos de corte que delimitaban una prueba de

tamaño

a

0.05, así como

muestras que permitiesen estimar conjuntamente las potencias asociadas.

Se encontró que bajo ciertas combinaciones de los tamafios de muestra y del parámetro de

ruido, una prueba resulta localmente más potente que la otra, en otras circunstancias,

las

potencias muestran un

“entrelazado”. Por otra parte, se encontr5 que una de las pruebas

AGRAD E CIM lENTOS

En lo aca(lémicO.

‘[res (lrKt(nn~

En lo económico.

Raz~7.,

1771lXfl77~V~2O

En el motivo.

Una mujer.-.

la m~ier.

Jorge Sierra, Graciela González y Rogelio Ramos:

Verdaderamente les digo que la diferencia entre esta maestría y las demás que se ofrecen en el mercado la hace su excelente calidad humana. Es impecable.

Cumpliste - probablemente sin darte cuenta - una promesa hecha

hace mucho, mucho tiempo.

Simplemente, me hubiera asfixiado.

Yana

Yap Guerrero.

ÍNDICE

Presnión

1.1 Introducción 1

1.2 Métodos de solución

3

1.3 Planteamiento

5

2 Pruebas

2.1 Repaso de p-valores 6

2.2 Método de Berger y Boos 9

2.3 Método exacto 11

3

Metodología

3.1 Supuestos 14

3.2 Metodología 15

3,2.1 Estadístico S

16

3.2.2 Estadístico

t 19

4 Conclusiones

4.1 Resultados 22

4.2 Conclusiones y recomendaciones 23

Anexos

Anexo A.1 A.1

Anexo A.2 A.2

Anexo A.3 A.3

Anexo A.4 A.4

Anexo A.5 A.5

Forma de lectura del anexo A. 5

A.5. 1

1.1

Introducción

Uno de lOS objetivos de la estadística es hacer inferencias con respecto a los parámetros

poblacionales desconocidos, basadas en la información obtenida mediante datos muestrales Estas inferencias se expresan básicamente en una de dos maneras, como estimaciones de los parámetros respectivos o como pruebas de hipótesis referentes a sus valores.

Las pruebas de hipótesis se realizan en todos los ámbitos en los cuales puede contrastarse la

teoría frente a la observación. Se someten las hipótesis a una verificación estadística, comparando las hipótesis con los datos muestrales observados.

En muchos casos, las herramientas estadísticas utilizadas para resolver los problemas de hipótesis están sustentados por una teoría asintótica, es decir una

teoría para muestras

grandes. Sin embargo, es muy común que las características del experimento impidan la obtención de un tamaño de muestra suficientemente grande para validar

la

utilización de

dichas herramientas.

Usualmente se aborda este problema desarrrollando teoría estadística que nos permita conocer las características distribucionales asociadas a estadísticos basados en pequeñas

muestras, características que en la mayoría de las ocasiones serán desconocidas o en el menor de los casos, serán aproximaciones.

¿Qué hacer entonces si queremos una solución exacta?

Probablemente, la forma más usual en la que se ataca el problema es haciendo uso de la

tecnología computacional a nuestro alcance. Si bien es cierto que la simulación no ofrece una

solución exacta, también es cierto que reproduce, en buena

parte,

la realidad.

Atendiendo este precepto, utilizaremos la simulación para contrastan dos métodos alternativos de prueba que abordan el problema de Behrens-Fisher, problema que ha

permanecido abierto puesto que no se ha encontrado una solución satisfactoria a pesar de

encontrarse en la literatura numerosas soluciones exactas y

aproximadas.

P res en t dci Oil

Sean X,,

_{X2... X~}

_y

_{Y1, Y2... Y~}

_{dos muestras aleatorias independientes de}

_poblaciones

normales con media i’~y Aty , y vanianza o~.y o~,respectivamente y consideremos las

siguientes hipótesis estadísticas:

110

— = O

H

:~i~—»~=~ >0 (1.1)

Sean ~,

Y

y y S~, las medias y las varianzas muestrales, respectivamente.

Para un problema como (1.1), cuando se presupone que las varianzas de ambas

poblaciones,

~ y a~.,son desconocidas pero iguales,

la prueba del cociente de verosimilitudes

indica

que la hipótesis se probará a partir de la utilización de un estadístico

T,

definido de la

siguiente forma:

12

~

que incorpora la estimación de una vanianza muestral conjunta

S~

2,

a

partir

de la ponderación

de ambas varianzas muestrales, S~y S~.Es decir,

s

2 —

(in—1)S~.+(n—l)S~

—

m+n—2

Cuando H

0 es cierta, el estadístico Y tiene una

distribución

t-Sti-irient

con

m -fn-2

grados de libertad.

Sin embargo, cuando

o-~.

y

son desconocidas y además,

o,~-

c-~,el estadístico anterior

no continúa teniendo una distribución

t-Sturknt

cuando H0

es

cierta. A este problema, la

literatura lo ha denominado como el problema de Behrens-Fisher’.

Un estadístico que surge de manera natural pararesolver (1.1) es

Verejercicio 8.52 de Casella y Berger (1990 p396)

Presentación

—

/ (1.3)

+ /1? /1

Y resulta iiiuv natural el uso de (1.3) si observamos que el denominador continúa siendo

una

estimacion de la desviación estándar de

~

—

Y,

aun cuando

o~.y no sean iguales.

Es

bien s~hidoque la distribución del estadístico (1.3) es asintóticaniente N~O,1)para

poblaciones con cualquier función de densidad, siempre que los segundos momentos

poblacionales existan. Sin embargo, para muestras pequeñas,

(m yn

fijos) si las poblaciones

son normales, la distribución dependerá de la razón de

las

varianzas poblacionales,

(1.4)

Es fácil comprobar que (1.3) depende de p puesto

que es una

combinación lineal

del

estadístico (1.2). De hecho, la relación está dada por:

=T.Ji(pIS~,S~,m,n)

donde la función

2 ~(1 +p/N)(1+

Nu/p)~í(m

- 1)(n-l)~

Il(p~S~,S~,m,n)=~jJ

~ (n-1)S~+(m-1)S~

J~

m+n-2

J

y,donde N=in/n y

u=S~/S~.

1.2 Métodos de

solución

Para poder resolver (1.1), suponiendo ~ o~,probablemente el método más utilizado

es

el que estableció Welch (1937), quien propuso un estadístico ç , similar a (1.3), cuya

distribución se aproxima a una

t-Stiid~it.

Pies en t acm 5 n

En este sentido, la investigación de Welch condujo a que la distribución de t~p~ía ser

aproximada a partir de una distribuciónt-Studentcon

y

grados de libertad, donde

y (s~

/m +

S~/n)2/(S~/(n~

flm2) +

S~/(n3

—

Esta aproximación, posteriormente la generalizaría Satterthwaite (1946), quien encontraría

una distribución aproximada para lasuma ponderada de variables aleatorias independientes Ji-Cuadrada (no necesariamente con igual número de grados de libertad), en donde la

ponderación no necesariamente tenía que suman la unidad.

Varios estudios han demostrado quela solución propuesta por Welch es ligeramente liberal,

lo que significa que para ciertas combinaciones de

m, n

yp, el error Tipo 1 es mayor que el

valor nominal preestablecido.

No obstante, Best y Rayner (1987) reafirman el valor práctico de la solución propuesta por

Welch y recomiendan su uso rutinario cuando los grados de libertad estimados, y, sean

mayores que 5. Varios libros de texto ofrecen como herramienta para abordan (1.1) esta

solución aproximada.

Antes de que se encontrara la distribución exacta de (1.3), varios autores trabajaron en

proponer distribuciones aproximadas para resolver (1.1). La primera distribución “exacta”

fue dada por Behrens (1929) y fue extendida por Fisher (1939). De acuerdo con Best y

Rayner (1987), la solución de Behrens-Fisher no es aceptada por muchos estadísticos, sin

embargo Robinson (1976), Barnard (1984), y Tsui yWeerahandi (1989), entre otros, aseguran

que los p-valores de los estadísticos obtenidos con la solución de Behrens-Fisher es

aceptable. Por ejemplo, Robinson (1976) comenta que la solución de Behrens-Fisher, para el

problema de medias, es óptima de entre todas las pruebas que sonccnseru~doras2Así mismo,

sugiere que esta técnica debe utilizarse como la prueba correcta, siempre que no se encuentre

una prueba Bayesiana más apropiada. En este sentido, Johnson y Weerahandi (1988)

proporcionaron una solución Bayesiana al caso multivariado del problema de

Behrens-2 Se utiliza la palabracri~n.adorasparareferimosal hecho de queelerror Tipo 1, por lo general, es menor que el

valor nominaldel valor preestablecido.

P r e s e n t a e i 5 n

Fisher, y para el caso univariado, la solución Bayesiana de Jeffreys (1961) coincide con la solución de Behrens-Fishcr.

Así como Welch, algunos otros autores abordaron el problema desde la misma perspectiva y

ofrecieron distribuciones aproximadas para el estadístico t~.Una buena referencia donde se

comentan las ventajas y desventajas de las distribuciones aproximadas más sobresalientes se

puede encontrarenScheffé (1944) yScheffé (1970).

Por otra parte, para resolver (1.1), algunos autores como Nel D.G., Van der Merwe C.A. y Moser B.K. (1990) han trabajado en obtener una solución exacta a (1.2). Por

su

parte, Dudewicz y Mishra (1988 p503) y Weerahandi (1996 p.l74) exponen algunos otros métodos para evitan las aproximaciones y ofrecen algunas soluciones exactas al problema original

(1.1).

1.3 Planteamiento

Una pregunta inmediata puede establecerse al tratar de conocer cuál es la prueba uniformemente más potente para el problema (1.1), si es que una existe. Sin embargo, Best y

Rayner (1987) comentan que para el Problema de Behrens-Fisher no existen pruebas uniformemente más potentes (insesgadas) para todos los tamaños de muestra, por

lo

que el

objetivo de este trabajo gira en torno a comparar la potencia de dos pruebas y así, determinar si alguna de ellas es localmente más potente que la otra.

La primeraele ellas es un método exacto extraído de Weerahandi (1996 p.l74) y la otra se

basa en el estadísticot~,cuyo método de dlculo fue propuesto por Bergery Boos (1994) y

está relacionado con la estimación de p-valores a través de regiones de confianza

A continuación, se tendrá especial atención en ofrecer los detalles de ambas pruebas y

posteriormente, en presentar la metodología computacional que se instrumentó para el

cálculode las potencias.

En la última parte de este trabajo se exponen las conclusiones y recomendaciones derivadas

de los resultados obtenidos.

2.lRepaso

de

p-valores

Cuando queremos probar una hipótesis en presencia de parámetros deruido1 surgen algunas complicaciones. Por ejemplo, consideremos un modelo en el que la muestra, X, tiene una

distribución de probabilidad

Ph,,

definida en términos de los parámetros

8

y p. Ahora,

supongamos que queremos probar (1.1) desconociendo el valor del parámetro p.

Supongamos que tenemos un estadístico de prueba Y, entonces, para un valor observado t, el

p-valor, p, se define como p = supP~(Y t) 2

Desafortunadamente, el cálculo de este supremo a veces puede resultar muy complicado.

Paraatacar esta dificultad, se puede proceder de tres maneras que reemplazan el cómputo de

sup

t~por el cálculo de una sola probabilidad.

• En algunas situaciones es posible que el SU~pse alcance en un valor específico de p,

digamos p0, para todo t. En tal caso, el p-valor es simplemente p= ~ (T t).

• Otra forma de manejar el problema es escogiendo un estadístico

T

(que incorpora

usualmente una estimación del parámetro p), cuya distribución, cuando H0 es cierta, no

dependa de p. De esta forma, el cálculo del supremo se evita y el p-valor se define como

p=P6~(T t), queeselmismoparatodop.

Se traducirícomoparebnetro de ividolo que en inglés se conoce como nniavacrpantrn~er.

Métodos

• Un tercer método es condicionar el cálculo del p-valor a un estadístico

S

que sea

suficiente _{para p cuando H0 es cierta. Así, el p-valor se define como}

p = P1. (Y 1 S =

s),

que no dependerá de p cuando H0 es cierta.

Cada uno de estos métodos produce un p-valor válido en el sentido de que, cuando la

hipótesis nula es cierta,

P(p a) a ,paracada a ~ {0,1l (2.1)

Es decir, se construye un estadístico p tal que, cuando H0 es cierta, la probabilidad de

rechazar la hipótesis nula, dadapor (p a), seatan pequeña como se desee.

Sin embargo, a veces existen ciertos inconvenientes para aplicar alguna de las alternativas

descritas anteriormente. Por ejemplo:

• El valor de p en el que ocurre el supremo puede depender del valor de ten una

forma

muy“rebuscada”.

• Las propiedades distribucionales asociadas a estadísticos que incorporan estimaciones de

los parámetros de ruido, usualmente, no son conocidas.

• Es posible que no podamos encontrar un estadístico suficiente S, para p, sobre elcual

condicionan.

Para simplifican la flotación, denotaremos a un p-valor válido, es decir, un p-valor que

cumple (2.1), como una función p(p) que depende del parámetro de ruido p . Dentro de

M é t o

d

o s

este contexto, si conocemos el valor verdadero de p , digamos p~,entonces el p-valor se

denotará corno

_p(p0)

_{y se definirá corno:}

p(p0) = J~ (T t) (2.2)

Por otra parte, si no conocemos el valor real del parámetro p, entonces, un p-valor válido

puede calcularse a partir de la maximización de p(p) sobre todo el espacio paramétrico de p.

Esta maximización se definecomo:

=

sup p(p)

= sup ~

(T

t) (2.3)

El cálculo de p~ presenta dos dificultades potenciales:

• Es común que la maximización sobre el espacio panamétrico de ,ø se efectúe

numéricamente, entonces, si este espacio

no está acotado, siempre queda la duda si la

rutina efectivamente alcanzó el máximo absoluto.

• Estadísticamente hablando, es un desperdicio de información

tomar el supremo sobre

todo el espacio paramétrico de p habiendo observado ios datos. En este sentido,

debemos de ser capaces de estimar p y no consideran en la maximización valores para p

que no estén avalados por la muestra.

Storer y Kim (1990) extrapolaron esta idea y propusieron como p-valor a p(~,), donde

es el estimador de máxima verosimilitud

para p.

Sin embargo, Berger y Boos (1994)

comentan que este p-valor usualmente no es válido en el sentido de (2.1).

M é t o

d

o s

2.2

Método

de

Berger

y

Boos

Berger yBoos (1994) proponen una forma alternativa para calculan p-valores que cumplan

con (2.1). Su método facilita los cálculos de maximización e incorpora la información

estadística de la muestra observada; se maximiza la probabilidad buscada sobre un intervalo

de confianza para p, que se calcula a partir de los datos.

Sea un intervalo de confianza de tamaño

(1-fi)

para el parámetro de ruido p cuando la

hipótesis nula de (1.1) es cierta. El p-valor propuesto se calcula de la siguiente forma:

= sup

p(p) +/3

(2.4)

Computacionalmente hablando, el cálculo de este p-valor debepreferirse a

(2.3) en virtud de

que la

maxirnización

se efectúa sobre un intervalo cerrado. Desde

un punto de vista

estadístico, las bondades de (2.4) residen

en la incorporación de información a

partir

de la

muestra obtenida, al hacer la maximización sobre un conjunto verosímil parap.

La demostración desarrollada para comprobar que Pfl constituye un p-valor válido, es decir,

que cumple (2.1), se puede encontrar en Bergery Boos (1994) y es casi inmediata.

Como siempre, el valor de /3 y por consiguiente el intervalo de confianza

Cfi

deberán

especificarse antes de observan los datos. Los autores dan argumentos por los cuales

recomiendan que /3 deba escogerse con valores pequeños, tales como 0.001 ¿ 0.0001.

Gupta y Yang (1996) demuestran analíticamente que no hay necesidad de hacer una

maximización numérica para encontrar (2.4) en virtud de que se comprueba que el máximo

Métodos

ocurre siempre en cualquiera de los puntos extremos del intervalo C~fi.En este sentido, el

problema se reduce aún más, puesto que lamaximnización que se debería llevar a cabo para

encontrarel p-vaior, _{p13, ahora se reduce al cálculo de dos probabilidades:}

p~=p(p)+/3

(2.5)

±

(+)~/3

donde f) y p~ son los límites inferior y superior del intervalo de confianza

Cfi

respectivamente. Después de calcular (2.5) se selecciona como p-valor válido aquel

Pfl

que

resulte mayor.

Es conveniente aclarar que el desarrollo del método, presentado en este documento, es una

particularización de lo propuesto en el artículo de Berger y Boos. Los autores hacen el

desarrollo considerando no sólo un parámetro de ruido, sino un vector de parámetros de

ruido, lo que claramente se traduce en hablar de regionesde confianzaen lugar de intervalos

de confianza.

Berger (1996) reporta excelentes resultados en el cálculo de p-valores aplicando este método

en casos en ios que se quiere comparar proporciones binomiales, es decir, tablas de

contingencia 2 x 2.

El objetivo de este trabajo, entonces, es extrapolar estos resultados y aplican esta

metodología del cálculo de p-valores para determinar cuál de los dos estadísticos de prueba

que se presentan en este trabajo, (1.3) ~ (2.6), es más potente cuando se quiere atacar el

problema de Behrens-Fisher.

M 5 t o

d

o s

2.3 Método exacto

Para poder estar en condiciones de evaluar las bondades del método descrito en la sección

2.2, será necesario proponer algún método que aborde directamente el problema de Behrens-Fisher

y

así, con base en el cálculo de las potencias para ambas pruebas, estar en posibilidad

de contrastar ambos métodos. Dentro de este contexto, se dejarán de lado soluciones

aproximadas para (1.1) y se considerará una solución exacta.

Uno de estos métodos exactos para abordar el problema de Behrens-Fisher se presenta a

continuación y está ampliamente desarrollado en Weerahandi (1996 p.l74).

Sean:

(X—Y)-8

~

(m-1)S~.

~, (n.-1)S~

z—

‘ 2 ‘ Y 2

¡~.2 ~2 ay

/

---~- +

\:/fl fl

donde

Z

—~N(O,1),

Y~

—~,~, Y~ ~ son variables aleatorias independientes entre sí.

Definamos ahora:

Yx~,as~x +Y~ Zrn+n-2

Y (rn—1 n—1

B~ X —~Beta~ ,—

~ 2 2

donde

Z, B

y ~

~.son también variables aleatorias independientes entre sí.

La cantidad pivote propuesta es:

~

/~‘+~~—+8~

(26)

~ B 1—B

Métodos

y el p-valor que se utiliza para probar (1.1), una vez que se tiene la muestra, está dado por:

p

=

P(S

s 8—

=

EB

‘~n+n-2

-(s

_6~)/1~2 (2.7)

~13

1-B

donde s = —

Y,

E1~

es el valor esperado que se toma sobre la variable aleatoria

B

yF~÷~2

es

la función de distribución acumulada de una variable aleatoria t-S~daatcon

m+n

-2 gados de

libertad.

Los cálculos exactos para obtener este p-valor se pueden efectuar mediante la utilización de

una rutina disponible en el paquete estadístico Xpro. Sin embargo, una buena aproximación

de esta probabilidad puede realizarse mediante la generación de un número si?icientariente

gr~vide de variables aleatorias Beta((rn—l)/2,(n —1)/2) y promediando los resultados

obtenidos de la evaluación de Fm+~.2(•)para cada uno de ellos. Sin embargo, para efectos de

este trabajo no se utilizará esta aproximación en virtud de que se procedió a calcular la

potencia vía la simulación de la distribución del estadístico (2.6).

Notemos que la metodología dada por Bergery Boos (1994) se refiere a encontrar p-valores,

sin embargo, observemos que:

p—valor=_

supP5 ~(T

tobse,.vada) Y

potencia(3) supP5~(T~

1puu(o decorte)

e

Es decir, ambas cantidades se refieren a un proceso de maximización sobre todos los valores

posibles del parámetro de ruido p. Por lo tanto, la metodología propuesta por Berger y Boos

Para este caso, puede considerarse un námerosufia n~grardecualquieraque sea superiora 10,000.

M 5 t o

d

o s

se puedeulilizar para e1 cálculo de la potencia de la prueba para el problema de

Behrens-1 is her.

Por cuestiones computacionales, sólo estimaremos la potencia para cinco valores de ó

equidistantes a lo largo de una desviación estándar de (Y(—

Y),

que denotaremos, para

efectos exclusivos de esta explicación, como ~. Es decir,

potencia(~) supP

8. (T p,~ode corte)

Si recapitulamos, hasta ahoraya contamos con los elementos necesarios para poder iniciar

el

cálculo de la potencia de cada prueba, pu.es contamos con los estadísticos definidos por (1.3)

y por (2.6), que serán contrastados a partir de la estimación de sus potencias, la cuales se

obtendrán a partir de la metodología expuesta en la sección 2.2.

Ahora, como sólo tiene sentido comparan pruebas que tienen el mismo tamaño (nivel),

procedemos a establecer en a= 0.05 el nivel de error Tipo

1

para ambas pruebas.

En la siguiente sección de la investigación estableceremos los supuestos necesarios y

describiremos la metodología

analítica

y computacional involucrada en el cálculo de las

potencias para ambas pruebas.

3.1 Supuestos

Corno se discutió en la sección 1.1, cuando se tienen muestras pequeñas, el estadístico (1.3)

no sigue una distribución conocida si las vanianzas poblacionales a~y son distintas. Por

esta razón, para evaluar el desempeño de las pruebas, sólo consideraremos en las simulaciones tamaños de muestra my n pequeños. De acuerdo con Robinson (1976) i podemos restringir el estudio a los valores que se encuentren en el conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 1S}; entotal, 11 valores.

El total de parejas (m, n) que se pueden formar son 55 parejas. No se considerarán

parejas en dondemynsean iguales en virtudde que la investigación de Welch (1938) reporta

que mientras quein = n, no hay mucho daño en ignorar que p

1 cuando se quiere probar

(1.1) utilizando el siguiente estadístico:

(3.1)

~gv

donde:

71 1

=sp

~+

~

2

s;

=

(m—1)S~+(n—l)S~

U. m+n-2

/

—~-+~

/

11! fl

b(p2(m_l)+(n_1))/ .

e, /p(in—1)+(n—l) ‘

/(m+n—2)(na~

+rna~)

y

(P(’~— ~ + @1 — ,donde pestá definido como en (1.4).

/p

(ni-l)+(n-l)

Instrumentación

El estadístico (3.1) tiene siempre una distribución t-StudQit conm -fn- 2grados de libertad. Si p = 1 , (3.1) se reduce a (1.2) , tal como es de esperanse. Pero, en general, g yv dqenden del

parámetro p.

Los estadísticos sobre los cuales se calcularán las potencias, utilizando el m&odo de Berger y Boos, están definidos en (1.3) y en (2.6). Como ya se mencionó, el primero depende

explícitamente de p y en el segundo, la relación es intrínseca; se simularán distribuciones de

estos estadísticos para distintos valores del parámetro p.

Para tal efecto, nuevamente utilizaremos la recomendación de Robinson (1976), quien

propone simular distribuciones para cada k= dentro del conjunto

{

1/10, 1/5 , 1/3,

1/2 , 2/3 ,

1, 3/2

, 2 , 3, 5, 10 }; en total, 11 valores2

Entonces, para cada estadístico de

prueba, se tendrá que generar un total de ii.(’~) 605 distribuciones.

Por último, proponemos que las

pruebas tengan un tamañode error Tipo

1 de a

= 0.05.

3.2 Metodología

La potencia de la prueba de hipótesis (1.1) con región de rechazo

R

se defme como una

funciónde 6 de la siguiente forma:

2r(’6)=P~XERI8EíJ1)

(3.2)

Por lo que nuestro primer objetivo será determinar la región de rechazo,

R

,

para ambas

pruebas, que se logra partiendo del supuesto de que se desean pruebas de tamaño a= 0.05.

Siguiendo esta línea, se describirá primero la metodología utilizada para encontrar la región

de rechazo para el estadístico S, defmido en (2.6), y posteriormente, la metodología para

calcular

su potencia. En

seguida,

se procederá de

igualforma para elestadístico t definido en

(1.3).

2 La propuestaoriginal incluye los valores

{

1/1000, 1/100, 1/30) ysusrecíprocos.

~.-.

1o •~‘r~

3.2,1

EstadísticoS

Instrumentación

I)elimitación de la región de rechazo.

Analíticamente tendríamos que encontrar un punto críticos tal que:

P[»~+~ sJ=0.O5

donde las variables

Z,

~ Bse definieron en la

sección 2.3.

Sin embargo, el algoritmo siguientefue utilizado para

encontrar una aproximación del punto

crítico s.

1.

Fijan los tamaños de muestra

m, n y el valor del parámetro p ,

de acuerdo con las

premisas establecidas en la sección 3.1.

2. Generar dos muestras replicadas k veces, _{XIk~X2k~••~XmkY}

~k’~,k’”~’~’n,k que

provengan

de

distribuciones

N(O,l)

y N(IO,)/~,), respectivamente, donde

kE{1,2,...

,l0000}.

3.

Para

cada réplica,

k

,deXlk,X2k,...,Xmk ‘ k~’2,k~”J’~,kaplicarlatransformación

Z

IS~.

S~

sk(lfl,n,p) =

4. Ordenar los diez mil valores

s,/m,n,p),

de menor a mayor, y denotar esos valores

ordenados comos~(m,n,p).

5. Seleccionar els~5~(m,n,p)

como el

punto crítico que determina la región de rechazo para

una prueba de tamaño a = 0.05.

Es importante recordar que la distribución

normal pertenece a una familia

de localidad y

escala, por lo que no hay pérdida de generalidad en las inferencias a partir de la distribución

Instrumentación

normal que se está generando paralas muestras. En este sentido, se pudieron haber generado

muestras provenientes de cualquier distribución normal con parámetros de localidad y escala

escogidos libremente, siempre y cuando se satisfaga que:

a) —~=6~=O, y

b) p=

U)

El programa elaborado en

S-Plus

que calcula el punto crítico para el estadístico

S

se presenta en el anexo Al.

Estimación de la potencia de la prueba.

Atendiendo la metodología de Berger y Boos (1994), analíticamente, el cálculo de la potencia de la prueba encontrada anteriormente se traduce en evaluar la siguiente probabilidad:

(

Z i 1 1/

~(8~)=

sup

P~~=

~+

+8~ s(95~)(m,n,p)6~

=

_~j_+~

+fl

i

e

{l,2,...,5}

Para efectos de este trabajo y debido a las limitaciones computacionales, la función potencia

sSMo estará evaluada en cinco puntos para el

parámetro 5= —¡1)~

los puntos serán

equidistantes

a lo largo de una desviación estándar de la estimación

(~

—

Y).

El hecho de restringir el recorrido del parámetro Sa

una desviación estándar se hace con el objeto de determinan si alguna de las pruebas es localmente más potente, en virtudde que se

había hecho referencia, en la sección 1.3, que no existen pruebas uniformemente más

potentes para el problema de Behrens-Fisher.

Por otra

parte, la razón por la que sólo se calculan

cinco puntos de la potencia constituye

una de las limitaciones de esta investigación, que se deriva de la relativa ineficiencia

computacional en cuestiónde tiempos de procesamiento.

Instrumentación

Coinputacionalrnente, para poder evaluar la probabilidad anterior se procede de la siguiente forma:

1. Fijar los tamaños de muestra m, iry el valor del parámetro p , de acuerdo con las premisas establecidas en la sección 3.1.

2. Seleccionar el punto crítico,S~5~) (in,n,p),que corresponda a dicha elección de nr , ny p.

3. Generar dos muestras, X~,X,...,X y ~ que provengan de distribuciones

N(O,l) y respectivamente.

4. Obtener

p~=~-F~°’’~ ~

(n—I)1——

y 2

=

(n—1),—

y

2

5. Generar dos muestras replicadas

k

veces, XIk,X

2k Xmk )~~‘I,k‘~“2,k~ ~“n,k

que

provengan de distribuciones N(O,l) y N~—

8~,

/

J,

respectivamente, donde

ke{l,2,... ,10000} y ~

=~[~~J

parai E (1,2,..., 5}.

6. Para cada réplica,

k

,de XIk,Xak,...,Xflk ~“~,k,

1T2,k»’~~n.k aplicarlatransformación

ke{1,2,...,10000}

7. Determinar q, que es

la cantidad de valores

s~in,n,p)

que sobrepasan

S(95~)(in,n,p).

Instrumentación

9. Repetir el proceso a partir del punto 5, pero ahora, con el va1orp~ycalculan ~r, (5k).

10. Lapotencia estará dada por ~r(6~)= max{~r (Se), ~r. (S~)}+

3.2.2

Estadístico t

Delimitación de la región de rechazo.

Analíticamente tendríamos que encontrar un punto crítico t tal que:

Sin embargo, el algoritmo siguiente fue utilizado para encontrar una aproximación del punto crítico t. Este algoritmo es muy similar al usado en el estadístico anterior.

1. Fijan los tamaños de muestra m, ny el valor del parámetro p ,

de acuerdo con las

premisas establecidas en la sección 3.1.

2. Generar dos muestras replicadas

k

veces, XIk,X_2k

X’mk y ~ ~k ,..., Y~ que

provengan de distribuciones N(O,1) y N(O~)/~)~respectivamente, donde

ke{l,2,...

,10000}.

3. Para cada réplica,

k

,de Xlk X2k,...,

Xmk

Y~,k ~2,k ~ ~‘n,kaplican la transformación

tk(fll,2’P)~=_-__ ,

ke{1,2,...,10000}

+

lm n

Instrumentación

4. Ordenar los diez mil valores tk(~n,n,p),de menor a mayor, y denotan esos valores

ordenados como t~

(‘m,n,p,).

5. Seleccionarelt(

9500)(m,n,p)

como

el punto crítico que determina la región de rechazo para

una prueba de tamaño a = 0.05.

El programa elaborado en

S-Plus

que calcula el punto crítico para el estadísticot se presenta en el anexo A.2.

Estimación de la potencia de la prueba.

Atendiendo la metodología de Bergery Boos (1994),

analíticamente, el cálculo de la potencia de la prueba encontrada anteriormente se traduce en evaluar la siguiente probabilidad:

donde p y p~son los límites inferior y superior de unintervalo

de confianzade tamaño

(1-j3)

parap.

La forma en como se procedió computacionalmente fue

la

siguiente:

1. Fijan los tamaños de muestra

m, n

y el valor

del parámetro p

,

de acuerdo con

las

premisas establecidas en la sección 3.1.

2. Seleccionar el punto

crítico,t~y~)(m,n,p),

que corresponda a dicha elección de nr

, iry p.

3. Generar dos muestras,

~

y

,Y,...,1Ç

que provengan de distribuciones

N(O,1) y N~O,

/~,

respectivamente.

4. Obtener

Instrumentación

/2 -—

2~~__j;-(~~)

/3

~2

=

ç.2 (n 1)— 2

5. Generar dos muestras replicadas k veces, XIk,X2k,...,X,nk y k,Y2k,.»Y,k que

provengan de distribuciones N(O,1) y N(_~_{1~/~,respectivamente, donde}

ke{1,2,...,l0000} y 8~

=~1+~~

paraiE {1,2,...,5}.

6. Para cada réplica, k, de Xlk, X2k,...,

Xmk

~‘,k ~2,k ~ ~Ç,k aplicar la transformación

tk(ífl,fl,p)~~

, k~{1,2,...,10000}

7. Determinar q , que es la cantidad de valorestk(m,n,p)

que sobrepasan

t(95~)

(m,n,p).

8. Estimar la potencia, ir (Se), que estará dada por el cociente entre q y 10000.

9. Repetir el proceso a partir del punto 5, pero ahora con el valor p~y calcular ~ (Se).

10. La potencia de la prueba estará dada por

7r(6,)

max{2r~

(Se)

‘71~~

(8~

)}

+

13

El programa elaborado en

S-Plus

que calcula las potencias de ambas pruebas se presenta en el

anexo A.3.

En el siguiente capítulo se presentan las conclusiones y recomendaciones derivadas de los resultados numéricos obtenidos a partir de la instrumentación de los programas.

4.1 Resultados

En los anexos A.4 y A.5 se presentan los resultados numéricos que se derivan de lapuesta en marcha de los programas elaborados en S-Plus. El A.4 contiene los puntos críticos obtenidos

para cada distribución generada correspondiente a cada método de prueba. Por su parte, el A.3 presenta conjuntamente las potencias asociadas a cada distribución.

De la tabla correspondiente a los puntos críticos podemos comentar que el estadístico t es el que presenta menor variabilidad en las estimaciones para diferentes valores de los parámetros. Por otra parte, es importante destacan que los puntos críticos estimados para el

estadistico

S

son mucho mayores para valores pequeños de k=(n/m)*p que para sus

recíprocos, mientras que para el estadísticotse presenta una relativa simetría.

Por atender las recomendaciones de Robinson (1976), los puntos críticos no pueden

analizarse en sentido vertical. Sin embargo, cabe señalar que la convergencia de los puntos críticos del estadístico t, conforme los tamaños de muestra aumentan,

están

encaminados hacia el percentil

_Z005

=1.645. Por otra parte, es posible apreciar que los puntos críticos

estimados para el caso en el que

k

=1 y m ~n ~n relativamente iguales al percentil

‘/fl4,2.005 , tal como es de esperarse.

Más que comparan las estimaciones puntuales de las potencias entre estadísticos, lo que

necesitamos es encontrar los patrones de conducta generales que nos permitan decidir por algiín método de prueba cuando nos enfrentemos condatos en la práctica. No obstante, si se deseara satisfacer la primera necesidad, podemos apuntar que la potencia es una variable

aleatoria Binomial con parámetrosir= 10000 y p =

4.2

Conclusiones

y

Recomendaciones

Para finalizan, podemos señalan que en general, el comportamiento de las potencias puede ser

Co nc/u sio nc s

• Mientras las potencias asociadas con el estadístico t presentan un comportamiento

creciente dentro de cada combinación de m, ny

k,

las potencias estimadas para el estadístico 5 se mantienen relativamente constantes a lo largo de ios cinco valores.

• Para valores pequeños de

8,

la potencia de la prueba basada en el estadístico

S

tiende a

ser mayor. Para valores grandes de 6, la prueba basada en el estadístico

t tiende a

detectar mejor las diferencias verdaderas entre las medias de las dos poblaciones.

• En los casos en los que el valor del parámetro

k

es mayor que 5, es decir, en aquellos

2 /~

casos en los que o~,

~—,

la prueba basada en el estadistico

tdetecta

mejor los cambios

5,n

entre las medias, tanto pequeños, como notorios. Esta

última

característica se acentúa

conforme los tamaños de muestra se incrementan.

La recomendación general que se puede desprender de los resultados obtenidos de

las

simulaciones se sintetiza de la siguiente forma. Si somos capaces de determinar a

prioi

la

relación que guarda el cociente de

las varianzas poblacionales, entonces consulte

directamente la tabla del anexo A.5 para seleccionar la mejor prueba.

Sin embargo, si no conocemos la relación, y si no somos capaces de encontrar estudios previos que nos la

clarifiquen, entonces, una primera aproximación será calcular

una estimación de p en

términos de las varianzas muestrales y de ahí referirse a la tabla A.4. Sin embargo, ésto nos conduce a una prueba secuencial que pudiese tener alguna otra connotacion estadística.

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