Tema 7

(1)

Ecuaciones diferenciales de segundo

orden

7.1 Introducci´

on: definiciones y algunas simples ecuaciones.

La forma general de una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden es

(7.1) F(t, x(t), x!(t), x!!(t)) = 0

donde F representa una funci´on de cuatro variables definidas en cierta regi´on A de R4 y donde

t_!→x(t) representa la función incógnita. Tal ecuación se dice que está escrita en forma impl´ıcita.

Si la segunda derivadax!!aparece despejada o se puede despejar sin restricciones en la ecuaci´on (7.1), tendremos una ecuaci´on del tipo

(7.2) x!!(t) =f(t, x(t), x!(t)) dondef:D→R, siendoD⊂R3,

en forma abreviada: x!! ₌_f₍_{t, x, x}!₎_. _{Diremos que esta ecuaci´on est´a escrita en} _{forma expl´ıcita} _o

normal.

Una solución de la ecuación (7.2) es una función x:I → R,donde I es un intervalo (no dege-nerado) en R, que verifica:

i) x es dos veces derivable enI,

ii) (t, x(t), x!(t))∈D para cada t∈I,

iii) x!!(t) =f(t, x(t), x!(t)) para cadat_∈I.

También se dice quex es una solución de la ecuación (7.2) en el intervalo I o quex es solución de

x!!(t) =f(t, x(t), x!(t)), t_∈I.

GeneralmenteDes un conjunto conexoenR3 conD◦ %=∅yf escontinua enDy, as´ı, las soluciones de (7.2) son funciones de_C2(I,R).

(2)

160 Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ejemplo 7.1. Ecuaciones del tipo x!!(t) =g(t), dondeg:I _→_R es continua en un intervalo I.

Se supone que la función g es conocida. Por ejemplo, x!!(t) = sent. Es el caso más simple de ecuación del tipo 7.2. Aqu´ı se tiene f:I×R2

→R,(t, x, y)!→f(t, x, y) =g(t).

Sin duda alguna, el caso más simple es x!! = 0. ¿Cómo son las soluciones de esta ecuación?. Al ser I un intevalo, x!! = (x!)! = 0 si, y sólo si, x! es constante, es decir, existe c1 ∈ R tal que

x!(t) =c₁ para cadat_∈I y esto sucede si, y s´olo si, existec₂ _∈Rtal quex(t) =c₁t+c₂.Por tanto, las soluciones dex!! = 0 son todas las funcionesx:_R_→_R definidas por

x(t) =c1t+c2 dondec1, c2 ∈R.

En el caso general, se razona de una forma an´aloga tomando primitivas. Si consideramos una primitiva!g(t)dtde la funci´ongen el intervaloI (existe al ser gcontinua), tenemos quex:I _→_R

es soluci´on de x!!(t) =g(t) si, y solo si, existec1 ∈R tal quex!(t) =c1 + !

g(t)dt para cada t∈I

y esto sucede si, y s´olo si, existe c₂ _∈R tal que x(t) =c₂ +c₁t+! " !g(t)dt#dt, de forma que la familia de soluciones de la ecuaci´on viene dada por las funciones x:I _→_Rdefinidas por

(7.3) x(t) =c₂ +c₁t+! " !g(t)dt#dt dondec₁, c₂ _∈R.

Como vemos en la expresi´on general (7.3) de las soluciones aparecen dos par´ametros c1, c2 a

dife-rencia del caso de ecuaciones difedife-renciales de primer orden, donde s´olo aparece un para ´metro. Esto es general en las ecuaciones de segundo orden. Comprob´emoslo con otras simples ecuaciones.

Ejemplo 7.2. La ecuaci´on diferencial: x!!=₋x!.

En este caso tenemos x!!=f(t, x, x!),dondef:R3 →Rviene definida por f(t, x, y) =−y.

Esta ecuaci´on de segundo orden se puede reducir a una de primer orden, pues si consideramos

y = x!, la ecuación queda como y!=₋y, que es una ecuación lineal homogénea en la función incógnitay, cuyas soluciones son las funciones definidas pory(t) =ke−t dondek_∈R. Por tanto,x

es soluci´on dex!! =₋x! si, y solo si,x!(t) =ke−t _{para cada}_t,_donde_k_∈_R_{, y esto sucede, si, y solo}

si, la expresi´on dex es de la formax(t) =!ke−tdt+c1, dondec1 ∈R.Por tanto, las soluciones de

la ecuaci´on son las funciones x:R_→R definidas por

x(t) =c₁ +c₂e−t dondec₁, c₂ ∈R.

Ejemplo 7.3. La ecuaci´on diferencial: x!!(t) = 2t(x!(t))2.

Aqu´ıf:_R3 _→_R,viene dada por f(t, x, y) = 2ty2_._{En este caso tenemos una situaci´on an´aloga}

a la anterior pues esta ecuación de segundo orden también se puede reducir a una de primer orden. Si consideramosy=x!, la ecuación queda como y!(t) = 2ty2(t), que es una ecuación de variables separables, que fue estudiada en el tema 3 (véase ejemplo 3.7). La solución general viene dada por una expresión que envuelve un parámetroc₁ _∈R, a la que hay que añadir la solución nula:

y(t) = 0, y(t) =₋ 1

t2₊_c

1

conc₁ _∈_R

(3)

La soluciones dex!!(t) = 2t(x!(t))2 _{son las primitivas de las funciones anteriores, por lo que}

obtene-mos dos familias de soluciones, las definidas por

x(t) =k, x(t) =c2− $

1

t2₊_c

1

dt dondek, c1, c2 ∈R.

La primera familia depende de un par´ametro: ky la otra de dos par´ametros: c1 yc2.En la

deter-minaci´on de la primitiva que aparece en la segunda familia habr´ıa que distinguir el caso c₁ = 0 (caso trivial) de los casosc₁ >0 y c₁ <0.

El programa Mathematica da la familia de soluciones constantes, pero sólo añade a esta familia una solución, que, además, es incorrecta.

DSolve%x!![t] == 2t(x![t])2, x[t], t&,

''

x[t]_{→ −}1 2t

(

,_{x[t]_→C[1]_}

(

7.2 Problemas de Cauchy o de valores iniciales

Como hemos visto en temas anteriores, un problema de Cauchy o de valor inicial para una EDO de primer orden es aquel donde se considera la ecuación diferencial junto con una condición del tipox(t₀) =x₀ y, en condiciones muy generales, éste tiene una única solución en un determinado intervalo (recuérdese el teorema de existencia y unicidad local visto en el tema 6).

Para una ecuación de segundo orden x!! = f(t, x, x!) buscamos condiciones adicionales a la ecuación que, en una situación muy general, nos aseguren existencia y unicidad de solución en algún intervalo.

En el caso x!! = 0 vemos que una condición como x(0) = 0 no determina una única solución, pues todas las soluciones definidas como x(t) = c2t verifican tal condición. Pero si imponemos

una segunda condici´on sobre la derivada de primer orden en el mismo punto, como por ejemplo

x!(0) = 1,se determina una única solución; en este caso la función dada porx(t) =t. Veamos que esto se verifica en el caso más generalx!!(t) =g(t).Consideremos el siguiente problema:

Ejemplo 7.4. (P) :

)

x!!(t) =g(t)

x(t0) =α, x!(t0) =β

,donde g: I → R es continua en un intervalo I,

t₀ _∈I yα, β _∈R.

Aunque en el ejemplo 7.1 obtuvimos todas las soluciones de la ecuación x!!(t) =g(t), ahora es conveniente proceder de una forma análoga pero usando las primitivas que da el teorema funda-mental del cálculo, donde aparece el puntot0 como l´ımite inferior de las integrales. Esto nos lleva

a dar la expresi´on de las soluciones de la ecuaci´on diferencial como

x(t) =c₂+c₁(t₋t₀) +

$ t

t₀

* $ s

t₀

g(u)du+ds dondec₁, c₂ _∈_R.

As´ı, de forma inmediata, la condici´on x(t₀) = α nos lleva a que c₂ =α y la condici´on x!(t₀) =β

implica que c1 =β.Por tanto, el problema (P) posee una ´unica soluci´on definida en I, que es la

definida por

(4)

Observación: Haciendo uso del teorema de Fubini, la expresión anterior, donde aparece dos inte-grales simples, se puede escribir de una forma más simple as´ı:

x(t) =α+β(t₋t₀) +

$ t

t₀

(t₋s)g(s)ds

pues, fijado t, se verifica

$ t

t₀

* $ s

t₀

g(u)du+ds=

$ t

t₀

* $ t

u

g(u)ds+du=

$ t

t₀

(t₋u)g(u)du.

As´ı, por ejemplo, x:R_→R,dada porx(t) = 2t₋sent,es la ´unica soluci´on del problema:

(P) :

)

x!!(t) = sent

x(0) = 0, x!(0) = 1

A continuaci´on vemos otro ejemplo, menos simple, donde el resultado que se obtiene es an´alogo al del caso anterior.

Ejemplo 7.5. (P) :

)

x!!+x= 0

x(t₀) = 0, x!₍_t 0) = 0

, dondet0 ∈R.

En este caso no podemos proceder como en los ejemplos 7.2 y 7.3 para determinar las soluciones de la ecuaciónx!!=−x ya que ahora aparece expl´ıcitamentex en la expresión de la ecuación. De hecho, esta ecuación es de un tipo que se estudiará en el próximo tema y, aqu´ı, no vamos a resolver la ecuación sino simplemente probar que la función nula es la única solución del problema (P) en cualquier intervalo que contenga a t0.

En efecto, es evidente que la función nula es solución del problema y, si I es un intervalo, tal que t₀ _∈ I y suponemos que x: I _→ R es solución de (P), se verifica: x!x!!+xx! = 0 y, por tanto, "(x!)2 +x2#! = 2x!x!! + 2xx! = 0. En consecuencia, existe una constante C tal que (x!(t))2+ (x(t))2 =C para cadat∈I. En particular, C = (x!(t₀))2+ (x(t₀))2 = 0 y, en definitiva, se obtiene

(x!(t))2+ (x(t))2 = 0 para cadat∈I.

Lo anterior implica quex(t) = 0 para cadat_∈I.

Ejemplo 7.6. (Q) :

)

x!!+x= 0

x(t₀) =α, x!(t₀) =β ,donde t0, α, β∈R.

Vamos a probar que la funci´on definida por

x(t) =βsen(t₋t₀) +αcos(t₋t₀)

es la ´unica soluci´on del problema (Q) en cualquier intervalo que contenga a t₀.

En efecto, seaI un intervalo, cont₀ _∈I.Es una simple comprobación el ver que esta función es solución de (Q). Supongamos que y:I _→_Res también solución de (Q). Consideremos la función

(5)

z=x₋y. Es evidente que la funci´onz es soluci´on del problema (P) del ejemplo 7.5. Por tanto,z

debe ser la funci´on nula, es decir,y =x.

En particular,la función coseno es la única solución del problema

)

x!!+x= 0

x(0) = 1, x!(0) = 0

yla función seno es la única solución del problema

)

x!!+x= 0

x(0) = 0, x!(0) = 1

Los ejemplos anteriores nos llevan a considerar comoproblema de Cauchy o problema de valores iniciales, asociado a una ecuaci´on diferencial de segundo orden, a un problema del tipo

(P) :

)

x!!(t) =f(t, x(t), x!(t))

x(t0) =α, x!(t0) =β

pues esperamos que, en condiciones muy generales, un problema as´ı posea una única solución en algún intervalo. La confirmación de ésto la tenemos en la siguiente sección.

7.3 Teoremas de existencia y unicidad

Para ecuaciones diferenciales expl´ıcitas de segundo orden (y, en general, de ordenn >2) se tienen resultados de existencia y unicidad análogos a los vistos en el tema 6 para ecuaciones de primer orden. Sus demostraciones se verán en el próximo curso sobre ecuaciones diferenciales y, de hecho, usando una notación vectorial adecuada, se pueden llevar a cabo pruebas análogas a las que hemos usado en el tema 6. Empezamos por un resultado análogo al teorema 6.3, que será de gran utilidad en el próximo tema.

Teorema 7.1 (Teorema de existencia y unicidad global). Supongamos que se verifican las si-guientes tres hip´otesis:

(I) D=I_×R2 donde I es un intervalo (no degenerado) en R.

(II) f:D_→R es continua en D.

(III) f satisface condiciones de Lipschitz generalizada en D respecto de la segunda y la tercera variable, es decir, existen funciones continuas L₁, L₂:I _→R tales que

|f(t, x₁, y)−f(t, x₂y)| ≤ L₁(t)|x₁−x₂| para cada (t, x₁, y),(t, x₂, y)∈D

|f(t, x, y1)−f(t, x, y2)| ≤ L2(t)|y1 −y2| para cada (t, x, y1),(t, x, y2)∈D.

En tal situaci´on, para cada (t₀, α, β)_∈D el problema de Cauchy

(P) :

)

x!!(t) =f(t, x(t), x!(t))

(6)

De forma análoga a la prueba del resultado 6.3, podemos obtener que, si existen las funciones derivadas parciales ∂f_∂x:D→R y ∂f_∂y:D→R, entonces la función f verifica la condición (III) del teorema anterior si, y sólo si, existen funciones continuas L₁:I _→R yL₂:I _→Rtales que

(7.4) _|∂f_∂x(t, x, y)_{| ≤} L₁(t) y _|∂f_∂x(t, x, y)_{| ≤} L₂(t) para cada (t, x, y)_∈D.

Existe un resultado de existencia y unicidad local para ecuaciones de segundo orden como el obtenido en el teorema 6.4 pero preferimos exponer, para una mejor comprensi´on, uno an´alogo al corolario 6.4.1.

Teorema 7.2. Sean D⊂R3

un conjunto conexo con interior no vac´ıo y f:D→Runa funci´on continua en D y tal que existen las funciones derivadas parciales ∂f_∂x,∂f_∂y:D_→Ry son continuas

enD. Para cualquier punto(t₀, α, β)_∈D◦ existe un intervaloI tal quet₀ _∈I◦y tal que el problema de Cauchy

(P) :

)

x!!(t) =f(t, x(t), x!(t))

x(t0) =α, x!(t0) =β

posee una ´unica soluci´on definida en el intervalo I.

Ejemplo 7.7. Ecuaci´on diferencial: x!!= sent+ 3x+ (x!)2.

Tenemos x!! =f(t, x, x!),dondef:R3 →Rviene definida porf(t, x, y) = sent+ 3x+y2.Aqu´ı

D=R_×R2, f es continua enDy existen las funciones derivadas parciales:

∂f

∂x:D→R, (t, x, y)!→3 y

∂f

∂y:D→R, (t, x, y)!→2y.

Ambas derivadas parciales son continuas enD, por lo que el teorema local 7.2 nos asegura que para cada (t₀, α, β)_∈R3 existe un intervaloI tal quet₀ _∈I◦y tal que el problema de Cauchy

)

x!!= sent+ 3x+ (x!)2

x(t₀) =α, x!(t₀) =β

posee una ´unica soluci´on definida en el intervalo I. Sin embargo, no podemos asegurar que sea

I =R, es decir, no podemos utilizar el teorema global 7.1, ya que, aunque se verifican las condiciones (I) y (II) del teorema y f satisface una condici´on de Lipschitz generalizada en D respecto de la segunda variable, no sucede lo mismo con la tercera variable, pues no puede existir una funci´on continuaL:R_→Rtal que

|∂f∂x(t, x, y)| =y2≤ L(t) para cada (t, x, y)∈R

3

.

Ejemplo 7.8. Ecuaci´on diferencial: x!!=t3− 3x

1 +x2 +tsen2(x!).

En principio, la situaci´on es an´aloga a la anterior pues tenemos x!!=f(t, x, x!) donde

f:R3 _→R est´a definida por f(t, x, y) =t3₋ 3x

1 +x2 +tsen 2₍_y₎_.

(7)

Aqu´ıD=_R_×_R2, f es continua enD y existen las funciones derivadas parciales ∂f_∂x,∂f_∂y:D_→_R,

definidas por

∂f

∂x(t, x, y) = 3

1₋x2

(1 +x2₎2 y

∂f

∂y(t, x, y) = 2tsenycosy.

En este caso tambi´en son continuas enD, pero, adem´as, verifican:

|∂f∂x(t, x, y)| ≤ 3 y | ∂f

∂x(t, x, y)| ≤2|t| para cada (t, x, y)∈D.

Es decir, la funciónf satisface condiciones de Lipschitz generalizada en Drespecto de la segunda y la tercera variable (de hecho es lipschitziana respecto de la segunda). As´ı pues nuestra ecuación reúne las tres hipótesis del teorema global y podemos asegurar que para cada (t0, α, β) ∈ R

3

el

problema de Cauchy _

 

x!!=t3₋ 3x

1 +x2 +tsen2(x!) x(t₀) =α, x!(t₀) =β

poseeuna ´unica soluci´on definida en R.

7.4 Reducci´

on del orden

Hay ecuaciones diferenciales de segundo orden que pueden resolverse mediante ecuaciones diferen-ciales de primer orden. Cuando el problema de resolver una ecuación de segundo orden se reduce a la resolución de una o más ecuaciones de primer orden, se dice que hay unareducción del orden. Hay dos situaciones en las que esto se puede llevar a cabo.

Caso I: Ecuaciones dondeno aparece expl´ıcitamente la funci´on inc´ognita x, es decir, del tipo:

(7.5) x!!=f(t, x!)

Este es el caso más evidente pues basta considerar la función y=x! y el problema se reduce a resolver la ecuación de primer orden, en la función incógnita y, dada por y! =f(t, y), ya que las soluciones de la ecuación de segundo orden son las primitivas de las soluciones de ésta. Este es el método que se llevó a cabo en los ejemplos 7.2 y 7.3, donde aparecen las ecuaciones: x!!+x = 0 yx!!= 2t(x!)2.Otro ejemplo muy simple esx!!= 1_tx!,que se reduce a la resolución de la ecuación lineal homogénea: y! = 1_ty.

Caso II: Ecuaciones dondeno aparece expl´ıcitamente la variable independiente t:

(7.6) x!! =f(x, x!)

La estrategia a seguir aqu´ı es mucho más complicada que en el caso anterior y, desgraciadamente, en la mayor´ıa de los textos el método se expone sin rigor matemático.

Comentemos en primer lugar la forma usual en la que se maltrata este tipo de ecuación. La idea es tomary =x! como nueva función incógnita pero teniendo ax como variable independiente (¿qué sentido tiene lo que se acaba de afirmar cuandoyes función de la variablet?). De esta forma, abusando de la notación abreviada para las ecuaciones diferenciales y de la notación de Leibnitz para las derivadas, se afirma lo siguiente:

y=x! = dx

(8)

y como x!!=f(x, x!) =f(x, y) resulta

(7.7) ydy

dx = f(x, y)

Lo anterior se interpreta como una ecuación de primer orden, en forma impl´ıcita, en la función incógnita y, considerandox como variable independiente.

Si sabemos resolver la ecuaci´on (7.7) obtendremos soluciones del tipo y = h(x) y, puesto que

y=x!, ahora, resolviendo la ecuaci´on aut´onoma (variables separables):

(7.8) x! = h(x),

(aqu´ı esxfunción de la variablet) obtendr´ıamos las soluciones de la ecuación (7.6) (¿Se ha entendido algo?). De esta forma la resolución de x!! = f(x, x!) pasa por resolver consecutivamente dos ecuaciones diferenciales de primer orden: primero la ecuación (7.7) y, una vez resuelta ésta, la ecuación autónoma (7.8). La familia de soluciones de la primera, dependerá, generalmente, de un parámetro, que incorporará la expresión de h y que, por tanto, aparecerá en la segunda ecuación y, as´ı, al resolver esta última aparecerán dos parámetros en la solución general.

Ilustremos este dudoso procedimiento mediante un ejemplo y, posteriormente, intentaremos darle rigor matem´atico a todo el proceso descrito anteriormente.

Ejemplo 7.9. Ecuaci´on diferencial: x!!=₋(x!)

2

x .

Siguiendo el procedimiento descrito, consideramosy =x!. Entonces

x!! = y! = dy

dt ??

= dy

dx· dx

dt = dy dx·y

y como x!!=₋(x!)

2

x =− y2

x resulta la ecuaci´on:

ydy dx = −

y2 x

Obsérvese que la función nula: y(x) = 0 es solución de la ecuación anterior. Suponiendo que las demás soluciones de la ecuación no se anulan (¿se puede asegurar ésto?) llegamos finalmente a la

ecuación lineal de primer orden homogénea, en la función incógnitax_!→y(x),dada por

dy dx = −

y x

cuyas soluciones son las funciones definidas en I = (_−∞,0) oI = (0,_∞) por

y(x) =c e−! x1dx = c e−log|x| = c

|x| =

c₁

x dondec1 ∈R.

Obs´ervese que, por fortuna, la soluci´on nula se obtiene de la familia anterior, para el casoc₁ = 0.

Como y = x!, determinamos las soluciones x de la ecuación de segundo orden, resolviendo la ecuación autónoma:

x! = c1

x

(9)

Para el caso c₁ = 0 tenemos la ecuación trivial: x!= 0 cuyas soluciones son todas las funciones constantes. Véase quetodas las funciones constantes, salvo la nula, son soluciones de la ecuación de segundo orden propuesta.

Si embargo, para c₁ _%= 0 la ecuaci´on x! = c1

x es propiamente aut´onoma y no posee soluciones

constantes. Las soluciones de esta ecuaci´on vienen definidas impl´ıcitamente por ecuaciones del tipo:

!

x dx = ! c1dt+c2 donde c2 ∈R,

es decir, x2= 2c1t+ 2c2, y, por tanto, las soluciones vienen definidas por expresiones del tipo:

x(t) = ±/k1t+k2 dondek1 %= 0 yk2 ∈R.

En principio, a las anteriores hay que añadirles las soluciones constantes, exceptuando la función nula, pero éstas pueden ser inclu´ıdas en la expresión anterior considerando también k₁ = 0.Para salir de dudas, ahora puede comprobarse que, efectivamente, todas las funciones obtenidas son solu-ciones de la ecuación diferencial de segundo orden propuesta. En concreto, parax(t) =/k₁t+k₂

se obtiene:

x!(t) = k1

2 (k1t+k2)−

1/2_, _x!!₍_t_{) =}₋k12

4 (k1t+k2)−

3/2_, (x!)2 x =

k2 1

4 (k1t+k2)−

3/2_.

y parax(t) =₋/k₁t+k₂ se obtiene:

x!(t) =−k1

2 (k1t+k2)−

1/2_, _x!!₍_t_{) =} k21

4 (k1t+k2)−

3/2_, (x!)2 x =−

k2 1

4(k1t+k2)−

3/2_.

Parece ser que la aplicaci´on Mathematica es incapaz de resolver la ecuaci´on diferencial pro-puesta.

Intentemos ahora justificar la validez del m´etodo empleado.

SeaI un intervalo y supongamos quex:I →Res solución de la ecuación diferencial de segundo orden (7.6): x!! =f(x, x!) y sea J la imagen de la función x, que debe ser también un intervalo. Supongamos que existe una función derivable h definida sobreJ tal que

x!(t) = h(x(t)) para cadat_∈I,

dicho de otra forma, quex es solución de la ecuación autónoma (7.8): x! =h(x). Entonces, para cadat_∈I se verifica:

x!!(t) = h!(x(t))x!(t) = h!(x(t))h(x(t))

x!!(t) = f(t, x(t), x!(t)) = f"x(t), h(x(t))#

y, por tanto, h!(x(t))h(x(t)) =f"x(t), h(x(t))#. De esta forma, la funci´onh verifica

h(x)h!(x) = f(x, h(x)) para cadax∈J,

es decir, h:J →R es solución de la ecuación diferencial, en la función incógnita x !→y(x),dada, en forma abreviada, por (7.7): y dy_dx = f(x, y).

(10)

Veamos que al argumento anterior se le puede dar la vuelta (rec´ıproco) y, de hecho, esto es lo que se lleva a la pr´actica para resolver este tipo de ecuaciones.

En efecto, supongamos que dada la ecuación de segundo orden (7.6), planteamos la resolución de la ecuación de primer orden impl´ıcita (7.7) y la funciónx_!→h(x) es una solución de ésta. Con esta función h formamos la ecuación autónoma (7.8). Vamos a comprobar que cualquier solución

x:I →Rde esta ecuación autónoma es solución de (7.6).

En efecto, al ser x!(t) =h(x(t)) para cadat∈I, se verifica en cadat∈I lo siguiente:

x!!(t) = h!(x(t))x!(t) = h!(x(t))h(x(t)) =h(x(t))h!(x(t)) =

hsoluci´on de (7.7) f

"

x(t), h(x(t))#

= f(x(t), x!(t)),

lo que confirma quex es soluci´on de (7.6).

Ejercicios propuestos :

1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden o problemas de valores iniciales, dando intervalos donde las soluciones sean v´alidas.

(a)

)

x!!_{= sen}_t

x(0) =π, x!(0) = 1 (b) tx

!!₋₂_x!₌_t3 _(c)

)

x!!_{= 1 + (}_x!₎2

x(0) = 0, x!(0) = 0

2. Resuelve las siguientesecuaciones diferenciales de segundo orden o problemas de valores iniciales: (a)

)

x!!= 1_x(x!)2

x(0) = 1, x!_{(0) = 2} (b) xx!!+ 4(x!)

2_{= 0}_. _(c)

)

x!!=− 1 2x2

x(0) = 1, x!_{(0) =}₋₁