3 Soluciones cálculo de derivadas

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(1)2. Derivar y simplificar: a.. y = x 2 x −1. Solución. Se deriva en forma logarítmica. Se empieza por tomar logaritmos neper1anos en ambos miembros. ln y = ln x 2 x −1 Aplicando las propiedades de los logaritmos se baja el exponente. ln y = (2 x − 1) ⋅ ln x. Se derivan los dos miembros de la igualdad, teniendo en cuenta que ln y es una función compuesta y que la derivada de y es y’. 1 1 y ′ = 2 ⋅ ln x + (2 x − 1) ⋅ x y Se sustituye y por su expresión y se despeja y’ ordenando todo lo posible. 2x − 1  2x − 1   2 x −1  ⋅  2 ln x + y ′ = y ⋅  2 ln x +  =x x  x    b.. x f ( x ) = tg 2   2. Solución. Por tratarse de una función compuesta se aplica la regla de la cadena, empezando por derivar la potencia (cuadrado), sin derivar lo que lleva dentro, a continuación la tangente, sin derivar el monomio y por último, el monomio. x x  x  1 x  f ′( x ) = 2 ⋅ tg  ⋅ 1 + tg 2    ⋅ = tg  + tg 3   2 2  2  2 2  c.. g(x ) = x ⋅ 1 + x 2. Solución. Se deriva como producto. g ′( x ) = 1 ⋅ 1 + x 2 + x ⋅. 1 2 1+ x 2. (2x ). Se opera y simplifica. 2. g ′( x ) = 1 + x 2 +. d.. x. 2. 1+ x 2. y = Ln x + x ² + 1 +.  1+ x 2  + x 2    . =. 1+ x 2. =. 1+ x 2 + x 2 1+ x 2. =. 1 + 2x 2 1+ x 2. x x 2 +1 2. Solución. Aplicando las propiedades de los logaritmos se transforma Ln x + x ² + 1. (. )12 = 12 ln(x +. (. ). ln x + x ² + 1 = ln x + x ² + 1. x² +1. ). 1 x Ln x + x ² + 1 + x 2 +1 2 2 Se deriva aplicando la regla de la cadena al primer término y la del producto al segundo   1 1 1 1 x 1 y′ = ⋅ ⋅ 1 + ⋅ 2x  + ⋅ x 2 + 1 + ⋅ ⋅ 2x 2 x + x² +1  2 x² +1 2 2 2 x² + 1 4444 3 14 444442444444 3 14444424 y=. 1º TÉRMINO. 2 º TÉRMINO.

(2) Se ordena para luego poder operar más fácil y′ =.  x  x 2 +1 x2 1 1 + ⋅ ⋅ 1 + +  2 2 x + x² +1  x² +1  2 x² +1. Se suma el paréntesis y los dos últimos términos 2.  x 2 +1 + x 2   1 1 x² +1 + x   ⋅ + y′ = ⋅ 2 x + x² +1 x² +1 2 x² +1. En el primer término se simplifica x ² + 1 + x , y en el segundo el cuadrado con la raíz, se suman los términos que quedan y por último se racionaliza. 1 x 2 +1+ x 2 2x 2 + 2 2 x 2 + 1 x 2 +1 + = = y′ = = = x² +1 2 x² +1 2 x² +1 2 x² +1 2 x² +1 x² +1. (. e.. y = ln. ). 1 − cos x 1 + cos x. Solución. Aplicando las propiedades de los logaritmos se transforma la expresión antes de empezar la derivada, evitando de esta forma la derivada de la raíz y del cociente. y = ln. 1 − cos x  1 − cos x  = ln  1 + cos x  1 + cos x . 1. 2. =. 1  1 − cos x  1 ln  = [ln (1 − cos x ) − ln (1 + cos x )] 2  1 + cos x  2. Se deriva como resta aplicando a cada término la regla de la cadena 1 1 (0 − (− sen x )) − 1 (0 + (− sen x )) y′ =  1 + cos x 2 1 − cos x  Se ordena y se suman las fracciones 1  sen x sen x  1 sen x ⋅ (1 + cos x ) + sen x ⋅ (1 − cos x ) = = + y′ =  (1 − cos x )⋅ (1 + cos x ) 2 1 − cos x 1 + cos x  2 =. 1 sen x + sen x ⋅ cos x + sen x − sen x ⋅ cos x (1 − cos x ) ⋅ (1 + cos x ) 2. Se simplifican los términos sen x cos x y se aplica al denominador la expresión notable suma por diferencia. 1 2sen x y′ = 2 12 − cos 2 x Simplificando los 2 y teniendo en cuanta que 1 − cos2x = sen2x sen x 1 y′ = = 2 sen x sen x. f.. y=. 1− x 1+ x. Solución. Se deriva como función compuesta: 1 1 1 − ⋅ 1+ x + 1− x − ⋅ 1+ x − 1− x ⋅ 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ 2 x 2 x 2 x = ⋅ ⋅ = y′ = 2 1+ x ⋅ 1+ x 1− x 1− x 1+ x 2⋅ 2⋅ 1+ x 1+ x. (. )( ( ). ). ((. (. )(. )(. )). ).

(3) −. 1. =. 1− x. 2⋅. 1+ x. =. (. ⋅ 1+ x. ). 1 2 ⋅ (1)2 −. ⋅ 1+ x +1− x. 2⋅ x. 2. −. ). 1. −. 2⋅ x = ⋅ + x 1 2 ⋅ 1− x ⋅ 1+ x 1. (. ) (. )(. ⋅2. ). =. 1. −1 1 −1 x = ⋅ = 1+ x 2 ⋅ 1− x 1+ x x 2 x + x ⋅ 1− x. ⋅. ( x )2 (. ). (. ). (. ). x 2 +1 −1 x. y = arctg. g.. ⋅. ( (1 + x ). 1. Solución. Se deriva como función compuesta: 1. y ′=. ⋅ 2 x ⋅ x −  x 2 + 1 − 1 ⋅ 1   1 = ⋅ 2 ⋅ x +1 2 2 x  2 x +1 −1  x  2.  1 +   . x2 =. 1  x 2 + 1 − 1    1+  x2. 2. ⋅. 2. x +1. − x2 + 1 + 1 =. x2. 2. x 2 −  x 2 + 1  + 1 ⋅ x 2 + 1   =. 1 2. x ÷  x 2 + 1  − 2 ⋅ x 2 + 1 ⋅ 1 + 12   x2 2. =. x2 x2 ÷ x2 + 1 − 2 ⋅ x2 + 1 + 1 =. =. (. ). 1. 2 x2 + 1 − 2 ⋅ x2 + 1. ⋅ ⋅. x2 − x2 − 1 + x2 + 1 x2 ⋅ x2 + 1 x2 + 1 −1 x2 + 1. =. x2 + 1 x2. ⋅. =. =. 1 2x 2 + 2 − 2 ⋅ x 2 + 1 1. 2   2  x 2 + 1  − x 2 + 1      . ⋅. ⋅. x2 + 1 − 1 x2 + 1. x2 + 1 −1 x2 + 1. =. =. 1 x2 + 1 −1 1 1 1 1 = = ⋅ = ⋅ 2 2 ⋅ x2 + 1 x2 + 1 2 ⋅ x2 + 1 x2 + 1 2 ⋅  x2 + 1  2 ⋅ x 2 + 1 x 2 + 1 − 1      . (. h. y = arcsen. 1− e x ex. Solución. Se deriva como función compuesta: y′ =. 1 1− e 1−  x  e . x.    . 2. ⋅. ( ) (e ). − ex ⋅ ex − 1 − ex ⋅ ex x 2. 1. = 1−. (1 − e ) (e ). x 2. x 2. ⋅. − e2x − e x + e2 x e2x. =. ).

(4) 1. = e. 2x. ( ). 2  − 12 − 2 ⋅ 1 ⋅ e x + e x    2x e. − e2x − e x + e2x. =. e2x. 1 e2 x − 1 + 2 ⋅ e x − e2 x. ⋅. − ex e2 x. =. ex ex. =. ⋅. −1. − 1 + 2e x e. x. =. −1 2e x − 1. e x − e 2x − 1. y = Ln. i.. ⋅. e x + e 2x − 1. Solución. Aplicando las propiedades de los logaritmos se transforma la expresión antes de empezar la derivada., nos ahorramos la derivada del cociente. y = Ln. e x − e2x − 1 x. e + e. 2x. = Ln e x − e 2 x − 1  − Ln e x + e 2 x − 1      −1. Se deriva como resta aplicando a cada término la regla de la cadena     1 1 1 1 y′ = ⋅  ex + ⋅ e2x ⋅ 2  = ⋅  ex − ⋅ e2x ⋅ 2  −     x 2x e x − e2x − 1  2 ⋅ e2x − 1 2 ⋅ e2x − 1   e + e −1  =. =. =. 1 e x − e 2x 1. e x − e 2x − 1. 1 e x − e 2x − 1. =.   e 2 x  1 e 2 x  = − ⋅  ex + ⋅  ex −     e2x − 1  e x + e 2x − 1  −1  e2x − 1 . 1 e x − e 2x. ⋅. e x ⋅ e 2x − 1 − e2x e2x − 1. 1. −. e x + e2x − 1. − e x ⋅  − e 2 x − 1 + e x   − ⋅ e 2x − 1. 1 e x + e2x. ⋅. e x ⋅ e 2x − 1 + e2x e2x − 1. =. e x ⋅  e 2 x − 1 + e x  =  ⋅ 2x −1 e −1. − e x ⋅  e x − e 2 x − 1  e x ⋅  e 2 x − 1 + e x  1  =   − ⋅ ⋅ 2x x 2x 2x −1 e −1 e + e −1 e −1. − ex 1 1 ex = ⋅ − ⋅ = 1 e2x − 1 1 e2x − 1. − ex e 2x − 1. −. ex e2x − 1. =. − 2e x e2x − 1. 3. Hallar la derivada segunda de: a) y = x·arcsen x + 1 − x ² . b) y = x·Ln x Solución. a.. y = x·arcsen x + 1 − x ² 1 1 x x y′ = 1 ⋅·arcsen x + x ⋅ + ⋅ (− 2 x ) = arcsen x + − = arcsen x 2 2 2 1− x 2⋅ 1− x 1− x 1− x2 1 y′′ = 1− x2.

(5) y = x·Ln x. b.. 1 = Ln x + 1 x 1 y′′ = x. y′ = 1 ⋅ Ln x + x ⋅. 4. Calcular la derivada, a la izquierda y a la derecha del origen, de y = + x 2 ⋅ (1 + x ) 5. Calcular la derivada enésima de las siguientes funciones: y = e kx (k = cte.). y = sen x 1 y= 2x − 1 y = cos 2x. i. ii. iii.. iv. Solución. En algunas funciones es posible encontrar una secuencia de repetición en sus sucesivas derivadas, que permite llegar a establecer una expresión general para la derivada de cualquier orden.. Para llegar a obtener la derivada enésima, se calculas las primeras derivadas y se busaca la secuencia. y = e kx : y′ = e kx ⋅ k : y′′ = e kx ⋅ k 2 : y′′′ = e kx ⋅ k 3 … : y n ′ = e kx ⋅ k n i. y = sen x Para calcular la derivada enésima de la función seno, hay que tener en cuenta la π relación entre las razones trigonométricas de ángulos que diferencia radianes. 2 π  cos α = sen  α +  2  π π π π π     y′ = cos x = sen  x +  : y′′ = cos x +  = sen  x + +  = sen  x + 2  2 2 2 2 2       . ii.. π π π π π     y′′′ = cos x + 2  = sen  x + 2 +  = sen  x + 3  … y n ′ = sen  x + n  2 2 2 2 2     1 Para calcular la derivada enésima de este tipo de funciones es más sencillo si se 2x − 1 expresa el cociente como un exponente negativo. 1 = (2x − 1)−1 y= 2x − 1 −1 y′ = (− 1) ⋅ (2x − 1)− 2 ⋅ 2 = ⋅2 (2x − 1)2 1⋅ 2 y′′ = (− 1) ⋅ (− 2 ) ⋅ (2x − 1)− 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = ⋅ 22 3 (2x − 1) −1 ⋅ 2 ⋅ 3 3 y′′′ = (− 1) ⋅ (− 2) ⋅ (− 3) ⋅ (2x − 1)− 4 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = ⋅2 (2x − 1)4 …………………. n! y n ′ = (− 1)n ⋅ 2n (2x − 1)n +1. iii.. y=. y = cos 2x Para calcular la derivada enésima de la función coseno, hay que tener en cuenta la π relación entre las razones trigonométricas de ángulos que diferencia radianes. 2 π  sen α = − cos α +  2  iv..

(6) π  y′ = −sen 2 x ⋅ 2 = cos 2 x +  ⋅ 2 2  π π π π    y′′ = −sen  2x +  ⋅ 2 ⋅ 2 = cos 2x + +  ⋅ 2 2 = cos 2x + 2  ⋅ 2 2 2 2 2 2    π π π π      y′′′ = −sen  2 x +  ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = cos 2x + 2 +  ⋅ 23 = cos 2 x + 3  ⋅ 23 2 2 2 2    ………………………. π  y n ′ = cos 2x + n  ⋅ 2 n 2 . 6. Derivar la función f ( x ) =. 1 + cos 2 x π y calcular el valor de la derivada en x = . 1 − cos 2x 2. 7. Sea f(x) = L(a + bx3). ¿Qué relación ha de existir entre a y b para que f'(1) = 1. 8. Encontrar las funciones derivadas de f(x) = tg x hasta el orden 4 Solución. f ′(x ) = 1 + tg 2 x. (. ) (. ) f ′′′(x ) = 2 ⋅ (1 + tg x + 3tg x ⋅ (1 + tg x )) = 2 ⋅ (1 + tg x + 3tg x + 3tg x ) = 2 ⋅ (1 + 4tg x + 3tg x ) f (x ) = 2 ⋅ (0 + 8tg x ⋅ (1 + ta x ) + 12tg x ⋅ (1 + ta x )) = 2 ⋅ (8tg x + 8ta x + 12tg x + 12 tg x ) = = 2 ⋅ (8tg x + 20 tg x + 12 tg x ) f ′′(x ) = 0 + 2tg x ⋅ 1 + tg 2 x = 2 ⋅ tg x + tg 3 x. 2. iv ′. 2. 2. 2. 2. 3. 2. 2. 3. 4. 2. 3. 5. 3. 4. 5.

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