1 TEMA 2: ÁLGEBRA DE MATRICES
Nombre……… Curso………
OPCIÓN A Problema A.1. Dado el sistema de ecuaciones lineales:
32 1
6 2
2
3 3 2
z y a x
z ay
x
z y
x
a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible. (4 puntos)
ado. indetermin compatible
es sistema El
2. a Si
le. incompatib es
sistema El
. 2 a Si
1 2 -a queda Nos
0 0 0 0
1 0 2 0
1 3 2 1 2 3 1
0 2 0
1 0 2 0
1 3 2 1 1 2 3
1 2 3
6 2
2
2 3 1
1 3 2 1
y
a F
F
a a F
F F F
a a
b) Discute si existe algún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado. (2 puntos) No hay ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado, puesto que nos quedamos con más incógnitas que ecuaciones.
c) Resuelve el sistema para a=0. ( 4 puntos)
Partiendo de
2 1 1
! 2 1 2
-a y y y , pero como se trata de un sistema compatible indeterminado, una de las incógnitas hay que ponerla en función de un parámetro. z
Despejando: 3 3 2
2 1 -2 -1 x 3z -2y 1 x 1 3z 2y
x
2
Solución:
, , 2 1 -2, 3
-Problema A.2. Dadas las matrices cuadradas
1 0 0 0 1 0 0 0 1
I
y
2 3 3 2 3 2 1 1 2 A
a) Calcular las matrices (A – I)2 y A(A – 2 I). (5 puntos)
(A – I) =
3 3 3
2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 3 2 3 2 1 1 2
(A – I)2 = Matriznula
0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1
(A – 2 I) =
3 3 4
2 1 2 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 3 3 2 3 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 3 3 2 3 2 1 1 2
A(A – 2 I) = 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 3 2 1 2 1 1 0 2 3 3 2 3 2 1 1 2 I
b) Determinar el valor del parámetro real λ para el que se verifica que A-1 = λ (A – 2 I). (5 puntos)
0 0 1 3 3 4
0 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 2 2 0 3 1 3 0 0 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 2 3F1 2F3 F1 -F2 1 0 0 2 3 3 0 1 0 2 3 2 0 0 1 1 1 2 F F 4 3 3 1 0 0 0 1 1 1 2 0 4 4 0 0 0 4 3 1 4 3 3 1 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 3 1 0 4 2 1
2F F F F
4 3 3 2 1 2 1 1 0 4 3 3 1 0 0 2 1 2 0 1 0 1 1 0 0 0 1 2 / 2 4 / 1 4 3 3 1 0 0 4 2 4 0 2 0 4 4 0 0 0 4 3 2 1 A F F F F
3 1
4 3 3
2 2
0
4 3 3
2 1 2
1 1 0
4 3 3
2 1 2
1 1 0
4 3 3
2 1 2
1 1 0
Problema A.3 Dada la matriz
4 2
1 1
A y el vector
y x
X , se pide obtener razonadamente
a) El vector X tal que A X = 0X. (3 puntos).
A X = 0X
0 , 0 0
6 2 0
4 2
0 0
4 2
1 1
x y y
y y x y
x y x
y x
y x
b) Todos los vectores X tales que A X = 3X. (4 puntos).
2 , 0
2 0
2
0 2
3 4 2
3 3
4 2
1
1
x y y
x y
x y x
y y x
x y x
y x
y x
Como hay una fila que está en función de la otra, se puede eliminar. En este caso, se elimina la segunda ecuación.
Solución:
, , 2
,y x
c) Todos los vectores X tales que A X = 2X. (3 puntos).
x y y
x y
x y x
y y x
x y x
y x
y x
, 0
0 2 2
0 2
4 2
2 2
4 2
1 1
Como hay una fila que está en función de la otra, se puede eliminar. En este caso, se elimina la segunda ecuación.
Solución:
x,y ,
,Se dan las matrices
1 0
0 1
4
00
2 2
2 2
2 2
2 2
M M M M M M I PM
M M M M M I M MP
PM MP
M I M M I M IM I
M MI IM I M I M I P
P P
OPCIÓN B Problema B.1. Sea el sistema de ecuaciones
1 1 2 2 . 3
3 2
:
m m
m
z m y x
z x
z y
x
S
donde m es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a) Todas las soluciones del sistema S cuando m = 2. (4 puntos)
SCI F
F F
F F F
0 0 0 0
1 1 2 0
2 1 1 1 2 3 1 1 2 0
1 1 2 0
2 1 1 1 1 3
1 2 2 1 0 3 1
5 3 0 2
2 1 1 1
2 3 5 2
2 1 4
2 1 2
2 1
x y z
Solución:
, , 2
1 , 2
3 5 ,
,y z x
5
0 2 0
0
1 1 2 0
1 1 1 2 3 1 3 2
0
1 1 2 0
1 1 1 1 3
1 2 2 1 2
3 1
1 2 3 0 2
1 1 1
m
m
F F
m
m
F F
F F
m m
m m
Nos queda que:
m2
z0o. Determinad Compatible
Sistema 2
m Si
ado Indetermin Compatble
Sistema 0
0z 2 m Si
c) El valor de m para el que el sistema S admite la solución (x,y,z) =
,0 2 1 , 2 3
(4 puntos)
1 m 2m 2 1 2m 3 1 2m 3z 2x
. ecuaciones las
en todas cumple
se que comprobar que
hay Pero
1 0
2 1 2 3 `
y z m m m
x
Solución: m=1
Problema B.2. Sean I y A las matrices cuadradas siguientes:
1 0
0 1
I ,
17 10
29 17
A .Se pide
calcular, escribiendo explícitamente las operaciones necesarias: a) Las matrices A2 y A3. (5 puntos).
A2 = 2
1 0
0 1 17
10 29 17 17 10
29 17
I
A3 =
17 10
29 17
2
A I A A
b) Los números y para los que se verifica
I A
3 IA.(5 puntos). Primera forma de solucionarlo
36 20
58 32 18
10 29 18 34 20
58 34
34 20
58 34 18
10 29 18 18 10
29 18
18 10
29 18 17
10 29 17 1
0 0 1
2 3
2
A I A I A I
A I
6
2 34 32
2 17
32
29 58 17
10
29 17
17 10
29 17 1
0 0 1 36
20 58 32
3
I A A
I
Solución:
2 2
Segunda forma de solucionarlo
2 2 2, 22 2 2 2
2 2 2
2 2
,
3 3
2 2
2 3
3 2
I A A
I
A I A
I
A I I A
A A A I A A I I A I A I A A I A I A I A I
A A I A
Problema B.3. Dadas las matrices
1 1
4 6
A , y
y y
x se pide:
a) Los valore de para los que 0 0
es la única solución de la ecuación matricial AX X(5 puntos).
X
AX
1 0
0 4 6
4 6 4
6 1
1 4 6
y x
y x
y y
x
x y
x
y x
y x
y x
y x
y x
rivial. solución t la
tiene sistema el
valores de
resto el Para
0 4
0 4 0
5 1
0 4 5 6 5
0 0 4 4 0 2 1
0 4 2 6 2
SCI y
x y x
y x
y x
SCI y
x y x
y x
y x
Solución:
2,57
x y y x
y x
y y x
x y x
y x
y x
y x
y x
y x
, 0
0 4 4 2
2 4 6 2
2 4
6 2
1 1
4 6
Como hay una fila que está en función de la otra, se puede eliminar. En este caso, se elimina la segunda ecuación.
Solución:
x,y ,
,Se dan las matrices
1 0
0 1
I y M, donde M es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica M2 = M. Comprobar razonadamente que la matriz P = I – M cumple las relaciones: P2 = P y M P = P M. (4 puntos, repartidos en 2 puntos por cada igualdad)
00
2 2
2 2
2 2
2 2
M M M M M M I PM
M M M M M I M MP
PM MP
M I M M I M IM I
M MI IM I M I M I P
