Universidad Santo Tom´
as
Divisi´on de Ingenier´ıasLaboratorio de F´ısica B´
asica.
Por:
Msc. Luis Gabriel G´omez D´ıaz
Dr. Fernando Andres Qui˜nonez Granados Dr. Likidcen Framsol L´opez Suspes
Octubre, 2012.
´
Indice general
1. Reglamentaci´on 3
2. Indicaciones 9
3. Medidas y Errores 15
3.1. Magnitudes, Unidades y Medidas . . . 15
3.2. Errores de Escala . . . 16
3.3. Errores Aleatorios . . . 17
3.4. Errores Sistem´aticos . . . 17
3.5. Incertidumbre . . . 17
3.6. Valor aceptado . . . 18
3.7. Error relativo . . . 19
3.8. Cifras Significativas . . . 19
3.9. Precisi´on del aparato . . . 20
3.10. Incertidumbres aleatorias . . . 20
3.11. Propagaci´on de incertidumbres . . . 21
4. Regresi´on Lineal - C´alculo de errores 23 4.1. Introducci´on . . . 23
4.2. Objetivos . . . 23
4.3. Marco Te´orico . . . 23
4.4. Temas de Consulta . . . 24
4.5. Equipos . . . 24
4.6. Procedimiento . . . 24
4.7. C´alculos, Resultados y An´alisis . . . 25
5. Regresi´on Lineal - P´endulo Simple 27 5.1. Objetivos . . . 27
5.2. Marco Te´orico . . . 27
5.3. Temas de Consulta . . . 28
5.4. Equipos . . . 28
5.5. Procedimiento . . . 28
5.6. C´alculos, resultados y an´alisis . . . 29
iv ´INDICE GENERAL
6. Suma de Vectores - Fuerzas Concurrentes 31
6.1. Introducci´on . . . 31
6.2. Objetivos . . . 31
6.3. Marco Te´orico . . . 31
6.4. Temas de Consulta . . . 32
6.5. Equipos . . . 32
6.6. Procedimiento . . . 32
6.7. C´alculos, Resultados y An´alisis . . . 34
7. Cinem´atica - Velocidad instant´anea y velocidad promedio 37 7.1. Introducci´on . . . 37
7.2. Objetivos . . . 37
7.3. Marco Te´orico . . . 37
7.4. Temas de Consulta . . . 39
7.5. Equipo . . . 39
7.6. Procedimiento . . . 40
7.7. C´alculos, Resultados y An´alisis . . . 42
8. Cinem´atica en Dos Dimensiones - Movimiento Parab´olico 45 8.1. Introducci´on . . . 45
8.2. Objetivos . . . 45
8.3. Marco te´orico . . . 46
8.4. Temas de Consulta . . . 47
8.5. Equipo . . . 47
8.6. Procedimiento . . . 47
8.7. C´alculos, Resultados y An´alisis . . . 49
9. Segunda Ley de Newton 51 9.1. Introducci´on . . . 51
9.2. Objetivo . . . 51
9.3. Marco Te´orico . . . 51
9.4. Equipos . . . 53
9.5. Procedimiento . . . 54
9.6. An´alisis . . . 56
10.Ley de Hooke 59 10.1. Objetivo . . . 59
10.2. Marco Te´orico . . . 59
10.3. Equipos . . . 60
10.4. Procedimiento . . . 60
´INDICE GENERAL v
11.Conservaci´on de la Energ´ıa Mec´anica 63
11.1. Objetivo . . . 63
11.2. Equipo . . . 63
11.3. Marco te´orico . . . 63
11.4. Temas de Consulta . . . 64
11.5. Procedimiento . . . 64
´
Indice de figuras
4.1. Instrumentos de medici´on. . . 25
5.1. Cron´ometro y cinta m´etrica. . . 28
5.2. P´endulo Simple . . . 29
6.1. Sistema mesa de fuerza. . . 33
6.2. Fuerzas concurrentes. . . 34
7.1. Sistema Carril. . . 39
7.2. Temporizador. . . 40
7.3. Montaje velocidad promedio. . . 41
8.1. Aparato de lanzamiento . . . 48
8.2. Lanzador parab´olico. . . 49
9.1. Aparato de lanzamiento . . . 54
9.2. Sistema polea masa colgante. . . 55
10.1. Equipo ley de Hooke. . . 60
10.2. Aparato de lanzamiento . . . 61
11.1. Carril de aire, experiencia Conservaci´on de la Energ´ıˆAa . . . 65
11.2. Tabla de datos. . . 66
11.3. Tabla de c´alculos. . . 66
Introducci´
on
Ingenieros y/o cient´ıficos destinan gran parte de su tiempo a lo que se conoce como trabajo experimental. Las razones son diversas, y entre ellas destaca el hecho que los experimentos permiten poner a prueba las teor´ıas. Esto no siempre es f´acil, debido a que existen diversas limitaciones para conocer el valor exacto de una magnitud f´ısica. Sin embargo, una vez el ancho de incertidumbre se reduce, el error experimental decrece y es posible determinar, a partir de los resultados experimentales si una teor´ıa es o no v´alida.
La F´ısica, al igual que todas las ciencias, tiene un desarrollo estructurado sobre un conjunto amplio de fen´omenos ´ıntimamente relacionados. Este conjunto de fen´omenos requiere de definiciones, postulados y leyes, los cuales est´an enmarcados en una teor´ıa que procura describir la estructura de una parte de la naturaleza. Por tanto su obje-tividad debe estar regulada por la verificaci´on experimental y la predicci´on de nuevos fen´omenos.
El prop´osito de este curso es introducir al estudiante en el m´etodo experimental reali-zando un conjunto de pruebas o experimentos que desarrollen habilidades e ilustren los conceptos que se estudian en el curso te´orico y corroboren algunas de las leyes f´ısicas es-tablecidas. De esta manera se le proporciona los fundamentos necesarios para continuar con aspectos b´asicos de la ingenier´ıa como la observaci´on y experimentaci´on.
Cap´ıtulo 1
Reglamentaci´
on
Al iniciar la primera sesi´on de laboratorio el profesor proceder´a a distribuir los es-tudiantes matriculados en grupos de dos o m´aximo tres estudiantes. En esta primera sesi´on se dar´a a conocer las normas que se deben cumplir en el laboratorio de F´ısica y las t´ecnicas para elaborar correctamente un preinforme e informe.
1. Calificaci´on: La calificaci´on de cada pr´actica incluye la evaluaci´on ponderada de: preinforme o quiz (20 %), informe escrito de la experiencia (70 %) y calidad general del trabajo del estudiante en el laboratorio (10 %). El esfuerzo extra en el laboratorio producir´a una calificaci´on buena. La actuaci´on real en el laboratorio es importante as´ı como la calidad de su preparaci´on dada por el preinforme (´o quiz) y muy especialmente del informe escrito. El quiz puede darse a discreci´on del instructor (sobre todo si el estudiante llega distraido y no est´a bien preparado). Todos los experimentos asignados deben realizarse en el laboratorio respectivo y el informe debe presentarlo en la siguiente sesi´on para su evaluaci´on. La no entrega oportuna del mismo generar´a una nota de UNO (1,0) en la respectiva pr´actica, si asisti´o a la pr´actica respectiva o de CERO (0,0) si no asisti´o. El pro-fesor o instructor evaluar´a la preparaci´on del estudiante para la experiencia que va a realizar mediante el preinforme o quiz. Si la evaluaci´on es aceptable, el pro-fesor dar´a autorizaci´on expresa de iniciar la sesi´on; en caso contrario, la nota de esa pr´actica ser´a de UNO (1.0.) y el estudiante podr´a continuar solamente en la toma de datos, como preparaci´on para el ex´amen de laboratorio. La evaluaci´on del informe deber´a ser clara y precisa con retro-alimentaci´on para el estudiante (deber´a indicarse al estudiante donde estuvieron sus logros y fallas de manera que pueda servirle de preparaci´on de las pr´acticas e informes siguientes y para su examen de laboratorio).
El estudiante tiene derecho a conocer las notas de su pr´actica al inicio de la si-guiente sesi´on. Hay un ex´amen de laboratorio, individual al finalizar el semestre que corresponder´a a la nota del cuarto y ´ultimo corte. Cuando el estudiante falte a este ex´amen por causa justificada debe acreditarla, siguiendo el procedimiento y conductos establecidos en el Reglamento Estudiantil para los ex´amenes
4 CAP´ITULO 1. REGLAMENTACI ´ON
torios (consultar el acuerdo respectivo).
2. Actuaci´on: Cada sesi´on se prolonga por dos horas continuas y los estudiantes deben permanecer en el laboratorio durante ese tiempo. El retiro no autorizado del aula se considera como inasistencia. Las visitas durante las pr´acticas est´an prohibidas. Durante el desarrollo del laboratorio est´a prohibido el uso de celula-res o cualquier equipo electr´onico ajeno al laboratorio. Se debe observar la mayor puntualidad posible; si llega diez (10) minutos despu´es de la hora de iniciaci´on SE PERMITIR ´A EL INGRESO AL AULA (si ha trascurrido menos del 40 % del tiempo de la sesi´on de laboratorio no se registrar´a ninguna falla), pero la califica-ci´on en esa pr´actica ser´a de CERO (0.0) (del preinforme y del informe).
La primera parte de cada laboratorio consistir´a en una orientaci´on del experimen-to, el equipo, y cualquier procedimiento especial a ser seguido. ´Esta informaci´on es muy importante y no debe omitirse. Tambi´en cualquier problema de seguridad, se discutir´a. Cada grupo recibir´a el equipo o elementos necesarios para desarrollar la correspondiente experiencia una vez hayan dejado el respectivo carnet de labora-torio en el almac´en. Dicho carnet lo obtendr´an all´ı mismo, para ello ser´a necesario una foto de 3X4. As´ı, cada grupo se hace responsable del equipo prestado as´ı co-mo de cualquier da˜no que ocurra durante la pr´actica. No transfiera el equipo de un puesto de trabajo a otro, debe mantenerse en el sitio asignado. Los estudiantes deben verificar la calidad y el estado de los aparatos confront´andolos con la lista de la respectiva experiencia. Cualquier observaci´on debe hacerse inmediatamente al Profesor, dado que una vez recibido, todo da˜no o p´erdida ser´a asumido en su totalidad por el subgrupo. No intente reparar o modificar una parte de equipo. Si aparece que una parte del aparato esta defectuosa o funciona mal, inf´ormelo a su instructor. No toque equipo que no hace parte de su arreglo experimental. Debe manipular los equipos de laboratorio con cuidado y cada puesto de trabajo debe permanecer aseado y ordenado antes de que usted deje el laboratorio.
Al finalizar la pr´actica, usted debe desconectar y organizar el material de labo-ratorio como se le entrego. No deje el labolabo-ratorio hasta que su instructor se lo autorice. El verificar´a su puesto de trabajo antes de firmar su hoja de datos. La falta de una buena preparaci´on producir´a datos experimentales e informes de la-boratorio pobres y por consiguiente bajas calificaciones. Registre sus datos de una manera planeada y ordenada en una tabla cuidadosamente etiquetada, como la que se sugiere en cada gu´ıa.
5
esto indica que usted realiz´o el experimento y devolvi´o todo el equipo. La firma no implica aprobaci´on de los datos reales. Si un experimento particular requiere menos del per´ıodo de dos hora, entonces, debe empezar los c´alculos para asegu-rarse que los datos tomados son v´alidos y que el(los) m´etodo(s) de an´alisis fue entendido.
Se puede evitar muchas contrariedades encontrando los problemas a tiempo, como el fracaso al hacer una medida antes de dejar el laboratorio. Aquellos estudiantes que est´an bien preparados y trabajan r´apidamente pueden ir m´as all´a del m´ınimo especificado en la gu´ıa. Todos los experimentos tienen un procedimiento m´ınimo que puede extenderse aumentando la cantidad o calidad de datos o tomando me-didas adicionales. Los estudiantes que realizan el procedimiento m´ınimo tomando datos m´ınimos en tiempo m´ınimo deben esperar recibir una calificaci´on m´ınima; el trabajo muy bueno o excelente involucra la actuaci´on m´as all´a del m´ınimo.
3. Elementos para Traer al Laboratorio: En cada sesi´on del laboratorio cada uno de los estudiantes deben traer: un lapicero de tinta, un l´apiz, una calculadora cient´ıfica, el preinforme (debe entregarlo antes de iniciar la pr´actica para recibir la autorizaci´on de inicio por parte del instructor), el formato impreso de la hoja de datos correspondiente a la respectiva pr´actica y su gu´ıa de laboratorio, adem´as, debe traer el informe escrito de la pr´actica de la sesi´on anterior (debe entregarla al instructor antes de iniciar la pr´actica). Las calculadoras para el uso en los labora-torios de Ciencias deben, como m´ınimo manejar notaci´on cient´ıfica para n´umeros que usan exponentes y computar las funciones transcendentales elementales como
sen(x), cos(x), y ex. La habilidad de computar promedios y desviaci´on est´andar de un conjunto de n´umeros es muy ´util, como lo es tambi´en la destreza de realizar una regresi´on lineal. Cada estudiante debe proporcionarse su propio papel cua-driculado, milimetrado y los papeles especiales como el log-log y semi-log cuando se necesiten, al igual que papeles en blanco y carb´on, hilo o plastilina seg´un lo requiera la pr´actica.
4. Asistencia: La asistencia al laboratorio y la realizaci´on de todos los experimentos fijados en el laboratorio es obligatoria. En caso de inasistencia justificada a una pr´actica de laboratorio, no habr´a recuperaci´on, y no se le reportar´a calificaci´on de esa pr´actica. Recuerde que el estudiante que deje de asistir al 20 % o m´as de un curso, seg´un el reglamento estudiantil, perder´a por fallas (CERO).
6 CAP´ITULO 1. REGLAMENTACI ´ON
que esta leyendo, la parte del experimento que est´a realizando, la cantidad que esta midiendo, las unidades usadas y cualquier otra informaci´on pertinente. Un diagrama esquem´atico de la estructuraci´on experimental que muestra las canti-dades que son medidas es a menudo ´util. Registre los datos en tinta. No borre ni borronee las lecturas incorrectas. T´achelas pulcramente y legiblemente con una nota acerca del problema, si es pertinente. No haga cualquier c´alculo a priori para registrar una lectura considerada c´omo trivial, siempre registre el n´umero que us-ted ve en el instrumento o aparato. No cambie las unidades o traduzca la lectura de forma alguna. Aun cuando los datos deben volverse a escribir y reorganizar en el informe, la hoja de datos original firmada por el instructor debe presentarse como un anexo de este. La detecci´on del intercambio o suministro de cualquier informaci´on sobre datos o informes, SERA CONSIDERADA COMO FRAUDE y por lo tanto el grupo queda sometido a lo dispuesto por el reglamento estudiantil sobre Fraude en Evaluaciones. Corresponde al profesor del laboratorio informar a la facultad sobre la ocurrencia de las faltas contempladas en ´este art´ıculo. El conducto regular para atender sus observaciones, quejas o reclamos es en su or-den: Profesor, Coordinador de ´area, decano y las dem´as instancias que indique el Reglamento Estudiantil.
1. La asistencia y puntualidad a las sesiones del laboratorio, son obligatorias.
2. Las pr´acticas son realizadas por los estudiantes en grupos conformados en la primera sesi´on, los cuales no deben cambiarse sin la autorizaci´on del profesor.
3. Cada estudiante tiene la obligaci´on de leer cuidadosamente la gu´ıa de la corres-pondiente pr´actica en forma individual antes del inicio de la sesi´on de laboratorio, y debe saber que va a hacer.
4. Ning´un estudiante podr´a retirarse del laboratorio antes de que el grupo haya ter-minado completamente la toma de datos y los ejercicios asignados por el profesor.
5. Cada grupo de trabajo debe tomar de la mesa central los elementos necesarios que le hacen falta para ejecuci´on de la pr´actica, de igual manera all debe regresarlos al finalizar la pr´actica.
6. Cada estudiante debe ser muy cuidadoso en la manipulaci´on de los aparatos y elementos de laboratorio. En caso de dudas debe consultar al profesor. Los da˜nos y perdidas en materiales y equipos de laboratorio ser´an pagados por el estudiante por los miembros del grupo que los recibi´o.
7. Est prohibido fumar y/o comer en las aulas de laboratorio o realizar otras acciones que dificulten el desarrollo de las sesiones de laboratorio.
7
Cap´ıtulo 2
Indicaciones para Elaborar:
Preinformes, Hoja de datos e
Informes de laboratorio
En esta parte se incluyen algunas pautas generales para escribir pre-informes, hojas de datos e informes de laboratorio. El preinforme, es un documento breve (m´aximo tres p´aginas tama˜no carta), escrito a mano y, que resume y demuestra su preparaci´on, se presenta al inicio de cada pr´actica al instructor del laboratorio para su evaluaci´on y autorizaci´on de inicio de la pr´actica. La hoja de datosdebe dise˜narse previamente como se sugiere en la gu´ıa de la pr´actica respectiva y traer el formato listo para diligen-ciarlo durante el desarrollo de la pr´actica. El informede laboratorio ser´a entregado al inicio de la siguiente sesi´on de laboratorio. Por favor no haga un informe innecesaria-mente largo.
1. Reglas del Informe de Laboratorio: Cada miembro de un grupo debe partici-par totalmente en el desarrollo del experimento. Se espera la colaboraci´on mutua para entender y analizar los resultados de un experimento. El informe de laborato-rio, como cualquier otro trabajo escrito, debe ser original y propio. Cada miembro de un subgrupo debe participar en la elaboraci´on del informe de laboratorio. El informe deben elaborarlo siguiendo la gu´ıa y utilizando la hoja de datos y lo deben entregar al instructor o profesor al inicio de la siguiente sesi´on de laboratorio. El informe debe ser escrito a mano anexando la hoja de datos original firmada. Los informes deben ser aseados, claros y bien organizados. Los informes de laboratorio deben basarse en sus propios datos, tomados por usted en la colaboraci´on con su compa˜nero. Si usted no participa en la toma de los datos, el uso de otros datos as´ı como el uso de frases de otro es FRAUDE.
2. Requisitos Generales de un Pre-informe y un Informe: El Pre-informe y el Informe de Laboratorio son escritos t´ecnicos en un contexto cient´ıfico. Hay varios
10 CAP´ITULO 2. INDICACIONES
rasgos que toda escritura t´ecnica del nivel de universidad tiene en com´un: uso del espa˜nol gramaticalmente correcto con la ortograf´ıa y puntuaci´on apropiada y, escritura en un estilo ligeramente formal, organizado, y presentado cuidadosa-mente. Presente los datos y c´alculos en tablas o columnas, nunca insertadas en el texto corriente. Los cantidades f´ısicas siempre con las unidades apropiadas y escritas entre par´entesis [ ] cerca de la cantidad que representan. Separe los datos originales de sus c´alculos o an´alisis.
3. Organizaci´on de Preinformes, Hoja de Datos e Informes: Los pre-informes, hoja de datos e informes de laboratorio deben ser aseados, claros y bien organi-zados.
Organizaci´on del Pre-informe: El preinforme es un documento original e individual que muestra su preparaci´on para la pr´actica, no debe superar tres p´aginas tama˜no car-ta, escrito a mano. Incluye: Nombre del documento: PREINFORME. N0. de pr´actica.
11
Organizaci´on de la Hoja de Datos: La hoja de datos no tiene un formato fijo, con su compa˜nero elabore un formato de acuerdo a la pr´actica que va a realizar y tr´ aiga-lo impreso (puede haceraiga-lo en computador o a mano), NO IMPROVISE, h´agalo como parte de su preparaci´on. Puede hacer un diagrama esquem´atico de la estructuraci´on experimental que muestre las cantidades a medir. En cada gu´ıa se sugiere una hoja de datos, pero puede cambiarla, ampliarla y mejorarla. Recuerde que sin datos claros y completos es imposible realizar el informe. Incluya: Nombre del documento: HOJA DE DATOS. N0. de pr´actica. T´ıtulo: Como aparece en la Gu´ıa de Laboratorio.
Pre-sentaci´on: Nombre de los estudiantes y sus c´odigos, grupo y fecha de entrega. Tablas de datos: Es conveniente listar los datos en formato de tabla. Entonces, elabore una tabla de datos con la informaci´on suficiente para claramente recordar lo que sus datos significan cuando vaya a escribir su informe. Espec´ıficamente, indique el instrumento que esta leyendo y su precisi´on, la parte del experimento que est´a realizando, la can-tidad que esta midiendo, las unidades usadas y cualquier otra informaci´on pertinente. Observaciones: Cualquier otra informaci´on que consideren ´util para la elaboraci´on de su informe. Firma: Espacio para la firma de la hoja de datos por parte del profesor.
Organizaci´on del Informe: El informe debe comunicar los resultados eficientemente. Debe tener una estructura l´ogica que permita al lector extraer f´acilmente los puntos esenciales. El evaluador debe saber qu´e es lo que ha logrado obtener y por ello es nece-sario expresar sus resultados en forma clara y efectiva. Cada experimento tiene ciertos objetivos, y se deben establecer hasta qu´e punto ´estos se cumplen. Los diagramas y gr´aficos podr´an hacerse en computador. No sobrecargue el texto con c´alculos, a menos que necesite explicar algo acerca de ellos. No rellene¸con texto in´util: el informe va a ser evaluado por su contenido, no por su peso. El informe en ning´un caso debe superar las ocho p´aginas incluyendo la portada y la hoja de datos, pueden ser menos de ocho p´aginas, pero no m´as.
Los informes de laboratorio deben elaborarse a mano y generalmente incluyen una p´agina de portada y tres partes principales: Introducci´on, An´alisis de Datos, Discusi´on y Conclusiones.
1. Introducci´on: debe contener una declaraci´on breve del prop´osito u objetivo del experimento como usted lo entienda. ˆA¿Qu´e est´a prob´andose o est´a demostr´ ando-se? ˆA¿Qu´e leyes est´an involucradas? ˆA¿Qu´e resultado debe dar?
12 CAP´ITULO 2. INDICACIONES
y discusi´on del resultado y consecuencia del experimento. Su habilidad de tomar datos buenos es importante pero su habilidad de deducir las conclusiones correc-tas de los datos cualesquiera que usted tom´o es m´as importante. Siempre incluya la hoja de los datos originales firmada en su informe, aun cuando usted copie y re escriba los datos en su informe. Ning´un informe del laboratorio est´a completo sin un an´alisis cuidadoso de los datos y los errores o incertidumbres involucradas.
3. Conclusiones: debe ser un p´arrafo breve de percepci´on retrospectiva. Esto es donde se re´une el resto del informe en unos p´arrafos que declaran el resultado final, ´exito o fracaso, del experimento. Esto es donde se resumen sus resultados num´ericos finales, con el n´umero apropiado de cifras significativas y las unidades apropiadas. Es muy importante que su conclusi´on sea una reflexi´on v´alida del resultado real que se logro. Una de las peores transgresiones en la ciencia es fal-sear el resultado de un experimento. El informe no debe contener una discusi´on extensa de teor´ıa. Los textos y la gu´ıa del laboratorio contienen bastante teor´ıa. Adem´as, el procedimiento debe discutirse de una manera que complemente la gu´ıa en lugar de reproducirla.
Para elaborar un informe de laboratorio de F´ısica, debe tenerse en cuenta las siguientes secciones en su orden:
1. Portada: Debe incluir: t´ıtulo de experimento, grupo, subgrupo, nombres, c´odigos fecha en que el experimento fue realizado (Con la ortograf´ıa correcta!)
2. Resumen y Objetivos alcanzados: 1-3 frases. Escriba un p´arrafo conciso del resultado del principio que se describe en este informe. Esto debe incluir lo que usted estaba intentando medir (o hacer) y luego si su medida (o falta de validez) del funcionamiento esta de acuerdo con las expectativas.
3. Marco Te´orico: Es lo que se requiere para la interpretaci´on de sus resultados. 1-2 p´arrafos. Resuma la f´ısica b´asica de su experimento. Incluya ecuaciones y otros principios que piense el lector necesitar´ıa conocer para entender el experimento.
ˆ
A¡En forma breve!
13
debe incluir las descripciones de c´omo usted determin´o elementos que fueron ne-cesarios para anticipar los resultados. Esto debe ser tambi´en muy corto. Usted puede necesitar recrear un diagrama del montaje o dibujar el aparato para refe-rirse despu´es a ´el durante la discusi´on.
5. Tablas de Datos y C´alculos:Incluya unos de sus c´alculos en esta secci´on, por ejemplo uno de cada tipo. No muestre cada uno y cada c´alculo. La totalidad de los c´alculos tab´ulelos.
6. Gr´aficas: Incluya el t´ıtulo, ejes etiquetados, l´ıneas suaves a trav´es de los puntos de los datos experimentales, y c´alculos de la pendiente. Cada gr´afico debe llevar un contenido completo y concreto sobre la relaci´on f´ısica que se establece all´ı y debe ser totalmente entendible sin referirse a cualquier otra secci´on en el informe.
7. Tabulaci´on de Resultados: Se˜nale los resultados experimentales finales, valo-res normales o aceptados, si ellos existen, y porcentaje de errovalo-res y/o diferencias porcentuales. ˆA¡´Esta es una secci´on muy importante del laboratorio! Es aqu´ı que se pone claro si sus datos est´an de acuerdo con el (los) valor(es) aceptado (s) o son autoconsistentes.
8. An´alisis de Datos: Conteste todas las preguntas indicadas en la gu´ıa o asigna-das por el profesor o instructor con frases completas. Responda de forma que el instructor pueda saber qu´e pregunta usted est´a contestando.
9. Discusi´on de Resultados: Discuta c´omo sus resultados demuestran principios b´asicos de f´ısica.
10. Conclusiones: Concluya si sus datos est´an de acuerdo con el (los) valor(es) aceptado(s) o son auto-consistentes. D´e las razones para los errores.
11. Observaciones y Sugerencias: Incluya sus observaciones personales, sugeren-cias, y cualquier otro comentario que usted considere pertinente.
14 CAP´ITULO 2. INDICACIONES
Cap´ıtulo 3
Medidas y Errores
3.1.
Magnitudes, Unidades y Medidas
La descripci´on ingenua del mundo observado a nuestro alrededor hace uso de cali-ficativos opuestos: grande-peque˜no, muchos-pocos, ancho-estrecho, duro-suave, grave-agudo, liviano-pesado,claro-oscuro, r´apido-lento, ef´ımero-durable, etc., para denotar di-ferentes propiedades y comportamientos de los objetos. Sin embargo, estas descripciones cualitativas son relativas e imprecisas pues un objeto puede ser grande comparado con uno mas peque˜no y al mismo tiempo ser peque˜no comparado con uno de mayor ta-ma˜no. Por tanto, es conveniente tomar un objeto o sistema que, con respecto a esa propiedad, nos sirva de referencia. La propiedad comparable de este objeto constituye un patr´on. La elaboraci´on de una escala comparativa basada en un patr´on determinado nos permite establecer cuantitativamente la propiedad correspondiente en otros obje-tos. El proceso de comparaci´on con alg´un patr´on es la esencia de la medida. El uso de escalas basadas en los patrones facilita el proceso de medida. Los objetos que portan escalas comparativas son denominados instrumentos de medida. Cualquier propiedad susceptible de ser medida es llamada magnitud f´ısica. Ejemplos de patrones de tiempo pueden ser el intervalo que existe entre dos amaneceres (da), o entre dos lunas llenas (mes), entre dos primaveras (ao), etc; patrones de longitud pueden ser el tama˜no de la ´
ultima falange del pulgar (pulgada), la m´axima extensi´on entre los dedos de una mano (cuarta), la m´axima extensi´on entre las manos (brazada), etc. Los patrones en s mismos y sus m´ultiplos y subm´ultiplos constituyen unidades de medida.
Los patrones en s´ıˆA mismos y sus m´ultiplos y subm´ultiplos constituyen unidades de medida. Por ejemplo: la semana que son siete d´ıˆAas, el siglo que corresponde a cien a˜nos y la hora que es la veinticuatroava parte del da, son unidades de tiempo. En el sistema m´etrico d´ecimal los m´ultiplos y subm´ultiplos usuales corresponden a potencias enteras de 10. Los nombres correspondientes a estos m´ultiplos y subml´utiplos est´an relacionados con prefijos que se le a˜naden a la unidad. Estos prefijos est´n dados a continuaci´on:
Es usual asociar a cada magnitud f´ıˆAsica una dimensi´on. Por ejemplo, la altura de una persona tiene dimensi´on de longitud y su peso dimensi´on de fuerza. El producto o divisi´on de dimensiones constituyen nuevas dimensiones, sin embargo, de ninguna
16 CAP´ITULO 3. MEDIDAS Y ERRORES
algo Prefijo Simbolo algo Prefijo Simbolo 101 Deca da 10−1 deci d
102 Hecto h 10−2 centi c 103 Kilo k 10−3 mili m
106 Mega M 10−6 micro µ
109 Giga G 10−9 nano n 1012 Tera T 10−12 pico p
Cuadro 3.1:
manera est definida la suma de cantidades con dimensiones diferentes. Es un buen h´abito, por tanto, probar la consistencia dimensional de los expresiones matem´aticas, esto es, que todos los sumandos de una expresi´on tengan la misma dimensi´on. En din´amica existen b´asicamente tres dimensiones fundamentales: longitud (L), tiempo (T) y masa (M), todas las otras dimensiones se pueden reducir a productos de las potencias de estas. En el sistema internacional de medidas (SI) las unidades asociadas a esas magnitudes fundamentales son respectivamente el metro, el segundo y el kilogramo.
Errores en la Medida
Para el examen de un fen´omeno o proceso es conveniente provocarlo de manera con-trolada, esto es realizar un experimento, y observarlo utilizando instrumentos de me-dici´on, quienes nos permiten traducir a n´umeros reales las distintas magnitudes f´ısicas involucradas en la experiencia. Estos n´umeros satisfacen ciertas relaciones matem´aticas que pueden estar contenidas en las leyes f´ısicas. Sin embargo, como en todo procedi-miento humano el montaje experimental y el proceso de medici´on no son perfectos lo que conduce a errores e incertidumbres en los valores de las magnitudes medidas, por tanto las leyes podr´an parecer satisfechas solo de forma aproximada. La estimaci´on de estas deficiencias puede llevarnos a valorar adecuadamente nuestras experiencias y a determinar la validez de las leyes f´ısicas subyacentes en lo observado. El error en la medida est´a determinado por la discrepancia que existe entre los valores real y obser-vado de la magnitud considerada. B´asicamente los errores son de tres tipos: de escala, aleatorios y sistem´aaticos.
3.2.
Errores de Escala
3.3. ERRORES ALEATORIOS 17
3.3.
Errores Aleatorios
En muchos experimentos cuando se tienen instrumentos de alta precisi´on, al realizar medidas consecutivas de una cierta magnitud se pueden obtener valores diferentes de la medida debido a ciertos factores que, de manera sutil pero perceptible por nuestro instrumento, pueden afectar la medida en forma aleatoria. Por eso estos errores se denominan aleatorios. Un ejemplo de ello es cuando manualmente debemos accionar un cron´ometro para determinar un intervalo de tiempo, siendo nuestro tiempo de reacci´on mayor que la incertidumbre de este instrumento. Para obtener una buena estimaci´on de la medida, debemos realizar la medici´on varias veces con lo que obtenemos una regi´on donde, con cierta confianza, podemos afirmar que all se halla el valor real.
3.4.
Errores Sistem´
aticos
Contrariamente a los aleatorios existen otros factores que sistem´aticamente produ-cen error en la medida, puesto que dependen del sistema o montaje experimental, por esto ellos son llamados sistem´aticos. Este es el caso de cuando se tienen instrumentos de medida descalibrados. Tambi´en dentro de ese tipo de errores est´an incluidos los induci-dos por los modelos te´oricos cuando son usados para medidas indirectas. Por ejemplo, cuando queremos hallar la profundidad de un pozo midiendo el intervalo de tiempo que existe entre el momento en que se deja caer una piedra en su interior y, el instante en que se escucha el chasquido de la piedra al golpear el fondo, utilizando las ecuaciones de caida libre para el descenso de la piedra; en este caso no considerar la fricci´on del aire ni el retardo del sonido produce errores sistem´aticos, que pueden despreciarse en caso de no requerirse mucha exactitud.
3.5.
Incertidumbre
18 CAP´ITULO 3. MEDIDAS Y ERRORES
incertidumbre corresponder a una fracci´on (1, 2/3 1/2) de la divisin mnima del instru-mento de medida. En el segundo caso dominan los errores aleatorios y la incertidumbre corresponder a la desviaci´on cuadr´atica media (desviaci´on est´andar) de las medidas.
Para un conjunto de valores x1, x2,...xn arrojados por medidas repetidas de una
misma magnitud la desviacin est´andar est definida como
∆x=
v u u t 1 n n X i=1
(xi−x)2 (3.1)
Dondex es el promedio de las medidas,
x= 1
n n
X
i=1
xi (3.2)
Reporte de Medidas Las incertidumbres deben ser expresadas en forma expl´ıcita en nuestro reporte de la medici´on. Expresaremos el resultado de una medida (m) por el valor medio (m) mas menos la incertidumbre (∆m) : m =m−∆m. Esto quiere decir que la medida real se halla con alta probabilidad en el intervalo (m−∆m, m+ ∆m). A la raz´on ∆m=mla llamaremos incertidumbre relativa, esta se puede escribir en forma porcentual como ∆m=m×100 %
3.6.
Valor aceptado
Es imposible conocer el valor exacto de una medida con total precisi´on debido tanto a los errores sistem´aticos como a los aleatorios y de escala. Sin embargo podemos suponer que el valor de una cierta magnitud tiene un valor real muy aproximado a lo que llamaremos valor aceptado, que puede ser el resultado de consideraciones te´oricas (por ejemplo el valor del nmeroπ) o de multiples mediciones (como por ejemplo, el valor de la gravedad, la masa del electr´on, etc). Los valores aceptados de constantes f´ısicas se obtienen realizando muchos experimentos con montajes diferentes, con el fin de eliminar los errores sistem´aticos, porque, aunque los errores sistem´aticos en un mismo montaje afectan el valor de la medida de forma invariable, para diferentes montajes actuan de manera aleatoria. En ese caso el valor aceptado se obtiene a trav´es de lo que se conoce como promedio ponderado. Si m1 ±∆m1, ...mi ±∆mi son los valores, digamos de la
gravedad, obtenidos enn diferentes experimentos entonces el valor aceptado se obtiene como:
M =
Pn
i=1mi/(∆mi)2
Pn
i=11/(∆mi)2
(3.3)
3.7. ERROR RELATIVO 19
M =
s
1
Pn
i=11/(∆mi)2
(3.4)
Con estas definiciones se consigue darle mayor peso a las medidas ms precisas y menor peso a las ms imprecisas por esox es llamado el promedio ponderado.
3.7.
Error relativo
Si conocemos el valor aceptado de una medida, o el valor te´orico predicho por un modelo, podemos evaluar la exactitud de nuestra medida, la medida ser exacta si el valor aceptado te´orico est dentro del intervalo de la medida. En otras palabras diremos que nuestra medida es exacta si el error relativo con respecto al valor aceptado es menor que la incertidumbre relativa de la medida, donde el error relativo esta definido a trav´es de:
|M −m|
M (3.5)
Siendo M es el valor aceptado. Tambi´en hablaremos de diferencia porcentual que simplemente corresponde al error relativo expresado de forma porcentual.
Exactitud y Precisi´on La exactitud de una medici´on est determinada por el hecho que el valor real aceptado est´a contenido en el intervalo arrojado por la medida. La medida se considerar inexacta si el valor real aceptado est por fuera de este intervalo. La precisi´on de la medida est relacionada con la incertidumbre relativa, y ser tanto m´as precisa cuanto m´as peque˜na sea esta. Por ejemplo, siendo mi altura 1.75 m, yo puedo afirmar que mi estatura esta entre uno y dos metros (si me comparo con un bastn que tiene un metro de longitud) con lo cual estoy haciendo una descripcin exacta pero imprecisa (en este caso mi altura puede ser escrita como (1.5-0.5)m, donde la incerti-dumbre relativa es 0.5/1.5=0.33); pero si yo digo que mi estatura es (1.77-0.01) m (si al medirme no me quite los zapatos) estoy dando un valor ms preciso pero inexacto (la incertidumbre relativa es 0.01/1.77=5.6103).
Los errores sistem´aticos son los responsables de la inexactitud en la medida y los alea-torios y de escala de la imprecisi´on.
3.8.
Cifras Significativas
20 CAP´ITULO 3. MEDIDAS Y ERRORES
est´a relacionado con precisiones mayores que el uno por mil, no tiene ning´un significado. Los ceros a la izquierda no corresponden a cifras significativas, en tanto que los que est´an a la derecha pueden tenerlo.
Las constantes te´oricas que aparecen en las formulas f´ısicas o geom´etricas poseen un n´umero infinito de cifras significativas, p.ej. en la expresi´on de la energ´ıa cin´etica se tiene un factor de un medio que multiplica a la masa por la velocidad al cuadrado, este factor de un medio no es 0.5 sino 0.500000000000000000000000000000000 ... etc. (aunque no lo escribiremos as). Esto debe ser tenido en cuenta para el buen manejo de las cifras significativas. Para simplificar el manejo de datos asumiremos que las incerti-dumbres asociadas a todas las medidas realizadas en este laboratorio solo tendr´an una cifra significativa, de acuerdo a esto, solo la ´ultima cifra significativa de los resultados experimentales ser incierta. Considerando que en las pr´acticas que siguen tendremos exactitudes del 1-5 % la mayo´ıra de los datos obtenidos tendr´an solo tres cifras signifi-cativas. Las dos principales reglas para el uso adecuado de cifras significativas son las siguientes: Cuando se multiplican dividen varias cantidades, el n´umero de cifras signi-ficativas en el resultado es igual al numero de cifras signisigni-ficativas del n´umero de menos cifras significativas que participa en la operaci´on. Cuando se suman restan n´umeros, el n´umero de decimales significativos del resultado debe ser igual al n´umero de decimales significativos del sumando que tiene menos decimales. Al hacer la reducc´on de cifras se ha de tener en cuenta las propiedades del redondeo.
F´ıjese que en este ejemplo se rompi´o la regla de las cifras significativas para el producto de los valores medios, sin embargo no se la viol´a para las incertidumbres. De ahora en adelante el criterio para el numero de cifras significativas de los valores medios es que estos tengan el mismo n´umero de decimales significativos que las incertidumbres, donde ´estas solo tendr´an una cifra
3.9.
Precisi´
on del aparato
En el caso m´as corriente en que nuestras observaciones est´en basadas en la lectura de un cierto aparato, es evidente que las observaciones no podr´an ser m´as precisas de lo que este aparato permita. Se suele considerar que la precisi´on o la incertidumbre, en las mejores condiciones, es la mitad del menor espaciado entre divisiones. En el caso de medidores digitales se suele considerar que la precisi´on, en las mejores condiciones, es la ´ultima cifra indicada en la medida.
3.10.
Incertidumbres aleatorias
3.11. PROPAGACI ´ON DE INCERTIDUMBRES 21 para determinar la incertidumbre. Si al repetirN veces una misma medida obtenemos resultados x1..., xi, ..., xN, consideraremos que la incertidumbre en la medida viene
determinada por la desviaci´on cuadr´atica media, esto es
σ2 =
N
X
i=1
(xi−x)2
N(N −1) ,
donde,x es el valor promedio y se encuentra dado por la expresi´on
x= N X i=1 xi N .
Al expresar un resultado de una medida, se deber´a dar ´esta (xmedido) junto con la
evaluaci´on de la incertidumbre ∆x. Por incertidumbre entendemos la m´axima diferencia estimada entre el valor medido y el valor real. La incertidumbre en la medidas se obtiene como suma de la precisi´on del aparato m´as la desviaci´on cuadr´atica media. Las incertidumbres pueden expresarse en forma “absoluta” (xmedido±∆x), en cuyo caso hay
que tener en cuenta las unidades tanto de (xmedido) como de ∆x, o bien en forma relativa
(cociente entre la incertidumbre y el valor medido). El valor de ∆xse da habitualmente con una ´unica cifra significativa y nos se nalar´a el n´umero de cifras significativas que tiene sentido considerar en (xmedido).
3.11.
Propagaci´
on de incertidumbres
Aunque algunas magnitudes se obtienen por medida directa, otras muchas son re-sultado del c´alculo a partir de una cierta formula (magnitudes derivadas). Es evidente que si tenemos incertidumbres en la determinaci´on de las magnitudes directas estas se manifestar´an en la magnitud deducida de ellas. Supongamos un caso simple en el que la magnitudq se obtiene comoq =x−y dondex ey se miden con incertidumbres ∆x
y ∆y. La incertidumbre en q se podr´ıa en principio determinar como ∆q = ∆x−∆y. Ahora bien, esto indicar´ıa que si ∆x e ∆y son iguales la incertidumbre en la determi-naci´on de q ser´ıa nula, lo cual es evidentemente falso.
Sin embargo, ∆xe ∆y han de considerarse como incertidumbres en uno u otro sentido (es decir con signo + ´o−). De esta forma el caso m´as desfavorable (que es el que siempre hay que suponer) ser´a ∆x < 0 e ∆y > 0 ´o ∆x >0 e ∆y < 0. Entonces la incertidum-bre en la magnitud derivada se estimar´a como la suma de los valores absolutos de las incertidumbres
∆q= ∆x−∆y.
22 CAP´ITULO 3. MEDIDAS Y ERRORES
x, y, z, ..., tendr´ıan incertidumbres ∆x, ∆y, ∆z,.... Para poder calcular la incertidum-bre en q podemos recurrir al concepto matem´atico de diferencial. La diferencial de
q=f(x, y, z, ...), viene dada por
dq =df(x, y, z, ...) = ∂f
∂x dx+ ∂f ∂y dy+
∂f
∂z dz+...,
lo que nos indica cuanto var´ıa la funci´onqal variar (ligeramente) las variablesx, y, z, ...
Es decir, la diferencial nos permite estimar la incertidumbre en el valor deqen funci´on de las incertidumbres de las variables, siempre que las incertidumbres sean peque nas. Teniendo en cuenta, como antes, que no sabemos que signo tienen las incertidumbres, podemos evaluar la incertidumbre enq, en el caso m´as desfavorable, como
∆q ≈
∂f ∂x
∆x+
∂f ∂y
∆y+
∂f ∂z
∆z+...,
donde los valores de las derivadas parciales est´an dados por de los valores conocidos de
x, y, z, ... Un caso habitual se da cuando q es una funci´on de la forma q = xayb (que corresponde en el caso en que a = b = 1 al producto xy, y si a = −b = 1 al cociente
x/y). Si aplicamos la ecuaci´on anterior a este caso se obtiene (comprobarlo)
∆q q =|a|
∆x x +|b|
∆y y ,
Cap´ıtulo 4
Regresi´
on Lineal - C´
alculo de
errores
4.1.
Introducci´
on
La descripci´on y cuantificaci´on de los fen´omenos f´ısicos presentes en la naturaleza, es la tarea fundamental de la f´ısica, por esta raz´on, la importancia de medir lo observado. De otra parte, la medida siempre involucra interacci´on con el sistema a medir, es por ello que se debe tener en cuenta c´omo se toma la medida y con que precisi´on se hace, para tener una idea del grado de certidumbre de nuestros resultados. En esta pr´actica, se identifica los instrumentos de medida correspondientes a cada magnitud f´ısica a medir teniendo en cuenta el grado de sensibilidad asociado a cada instrumento.
4.2.
Objetivos
Identificar el instrumento de medici´on y realizar las diferentes medidas.
Aprender a realizar una buena lectura de las medidas y conocer el grado de sensibilidad con la que se toma.
Elaborar tablas de datos, construir gr´aficas e interpretar resultados.
Encontrar el error presente en la medida directa e indirecta con base a la teor´ıa de errores.
Elaborar un informe considerando las pautas establecidas en clase.
4.3.
Marco Te´
orico
Es necesario introducir tres conceptos asociados a una medida experimental: exac-titud,precisi´onysensibilidad. Se entiende porexactitud la cercan´ıa del valor
24 CAP´ITULO 4. REGRESI ´ON LINEAL - C ´ALCULO DE ERRORES
mental obtenido, con el valor te´orico de dicha medida. El valor exacto de una magnitud f´ısica es un concepto ut´opico, ya que es imposible conocerlo sin incertidumbre alguna. La sensibilidad es un concepto relacionado con el dispositivo. As´ı si se desea determi-nar la longitud de una varilla met´alica empleando una regla graduada en mil´ımetros, se puede asegurar que la m´ınima fracci´on que se puede detectar es 1 mm, mientras que si se utiliza un m´etodo basado en t´ecnicas microsc´opicas se podr´an determinar fracciones m´as peque˜nas de longitud. Se puede definir la sensibilidad como la unidad m´as peque˜na que puede detectar un determinado instrumento de medida. El concepto de precisi´on
hace referencia al m´etodo experimental utilizado, y se entiende como la repetitividad dentro de los m´argenes m´as estrechos posibles de los resultados experimentales obteni-dos al realizar varias veces una misma experiencia en las mismas condiciones. Uno de los principales objetivos del denominado c´alculo de error, consiste en reducir el valor de dichas imprecisiones sujetas a factores experimentales.
4.4.
Temas de Consulta
F´ormulas para vol´umenes de algunos s´olidos (esfera, paralelep´ıpedo, cilindro, ci-lindro hueco, cono, cu˜na, etc.)
Error absoluto y error relativo de medidas directas e indirectas.
Determinac´on de la sensibilidad del calibrador y de la balanza digital.
Error absoluto y relativo de la densidad de una esfera en funci´on de su radio y la masa.
4.5.
Equipos
Balanza digital y un calibrador Vernier (ver figura 4.1).
Objetos de un mismo material (madera, aluminio, dural´n u otro material) de varias formas no perfectas (se aproximan a esferas, paralelep´ıpedos, cilindros ma-cizos, cilindros huecos, conos, cu˜nas etc.).
Dos hojas de papel milimetrado (traerlo).
4.6.
Procedimiento
1. Identifique plenamente el instrumento de medida a utilizar.
4.7. C ´ALCULOS, RESULTADOS Y AN ´ALISIS 25
(a) (b)
Figura 4.1: Instrumentos de medici´on.
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
3. Utilizando una balanza mida la masa de cada unos de los objetos anteriores, reg´ıstrela.
4.7.
C´
alculos, Resultados y An´
alisis
1. Especifique el instrumento utilizado con el que medi´o cada magnitud f´ısica, y su respectiva sensibilidad. As´ı mismo, mencione el tipo de material de cada uno de estos objetos con sus correspondientes densidades te´oricas.
2. Para cada uno de los objetos medidos, complete la tabla 4.1.
Objeto: Forma:
m= [g] Medida 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Promedio Error Abs. Error Rel. L1 [cm]
L2 [cm] L3 [cm]
26 CAP´ITULO 4. REGRESI ´ON LINEAL - C ´ALCULO DE ERRORES
3. Calcule los vol´umenes de los cuerpos utilizando las f´ormulas respectivas y complete la tabla 4.2. Incluya un solo c´alculo completo como ejemplo dentro del cuerpo del informe, los dem´as c´alculos reg´ıstrelos directamente en la tabla.
m+δm [g] V¯ +δV¯ [cm3] ρ¯+δρ¯[g/cm3] Objeto 1
Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4
Cuadro 4.2: Medidas Indirectas.
4. Haga una gr´afica de masa Vs. Volumen para cada objeto. Utilizando el m´etodo de m´ınimos cuadrados determine la ecuaci´on de la gr´afica, indique el factor de regresi´on lineal y obtenga la densidad del material de esta gr´afica. Compare los resultados
5. Es necesario tener un valor aproximado de la densidad del material utilizado que sirva de referencia (ρdur ' 0,8g/cm3, ρal ' 2,7g/cm3, ρmad ' 0,5g/cm3) t´omelo
como valor te´orico. Compare ´este valor con el hallado por el m´etodo de m´ınimos cuadrados, con el m´etodo gr´afico y con el promedio de los datos. ˆA¿Qu´e se podr´ıa discernir de esta comparaci´on?. Si utiliz´o otro material investigue cual es el valor te´orico aceptado para el material. Halle el error relativo entre el valor promedio de la medida, el valor obtenido por el m´etodo de m´ınimos cuadrados y el valor aceptado de la densidad de cada objeto.
6. Responda las siguientes preguntas:
a) ¿La densidad de un material depende del tama˜no o forma del objeto de qu´e esta hecho?
b) ¿Cu´al es la diferencia entre densidad de masa y densidad de peso?
c) ¿C´omo se define la masa de un objeto y el peso de un objeto? ˆA¿Qu´e factores pueden cambiar la masa o peso de un objeto?
d) ¿El peso de un objeto es proporcional a su masa?
Cap´ıtulo 5
Regresi´
on Lineal - P´
endulo Simple
5.1.
Objetivos
Analizar el comportamiento de un p´endulo simple cuando se producen variaciones de longitud, masa y ´angulo de inclinaci´on.
Gr´aficar en papel logar´ıtmico los datos experimentales y aplicar el m´etodo de m´ınimos cuadrados seg´un se indica.
Obtener el valor experimental de la gravedad seg´un la ubicaci´on geogr´afica.
5.2.
Marco Te´
orico
Se denomina p´endulo simple (o p´endulo matem´atico) a un punto material de masa
M, suspendido de un hilo inextensible de longitud L y sin peso, que puede oscilar en torno a una punto conocido como posici´on de equilibrio. La distancia del punto pesado al punto de suspensi´on se denomina longitud del p´endulo simple. Un p´endulo matem´ ati-co no tiene existencia real, ya que los puntos materiales y los hilos sin masa son entes abstractos. En la pr´actica se considera un p´endulo simple un cuerpo de reducidas di-mensiones suspendido de un hilo inextensible y de masa despreciable comparada con la del cuerpo. En el laboratorio, emplearemos como p´endulo simple un s´olido de alg´un material colgado de un fino hilo.
El p´endulo matem´atico describe un movimiento conocido como Movimiento Arm´onico Simple (MAS) en torno a su posici´on de equilibrio (s´olo para peque˜nas oscilaciones), y su per´ıodo de oscilaci´on alrededor de dicha posici´on est´a dada por [2, 1, 3]
T = 2π
s
L g ,
siendog el valor de la aceleraci´on de la gravedad en el lugar donde oscile el p´endulo, y
Lla longitud del hilo.
28 CAP´ITULO 5. REGRESI ´ON LINEAL - P ´ENDULO SIMPLE
5.3.
Temas de Consulta
Valor de la aceleraci´on de la gravedad en Bucaramanga (consulte la f´ormula in-ternacional).
Movimiento Arm´onico Simple, per´ıodo de un p´endulo.
5.4.
Equipos
P´endulos de diferentes materiales (ver figura 5.2), cron´ometro, flex´ometro (se obser-van en las figura 5.1respectivamente), transportador.
Figura 5.1: Cron´ometro y cinta m´etrica.
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
5.5.
Procedimiento
1. Manteniendo la masa y la longitud constantes, mida el per´ıˆAodo para cuatro (4) amplitudes (´angulo) diferentes y completa la Tabla 5.1. Para encontrar el per´ıodo mida el tiempo de cinco (5) oscilaciones en cada caso. Recuerde que T = t/n, siendo T el per´ıodo, t el tiempo yn el n´umero de oscilaciones.
2. Manteniendo la amplitud (peque˜na) y longitud constantes, mida el per´ıodo para tres (3) masas diferentes, complete la Tabla 5.2.
5.6. C ´ALCULOS, RESULTADOS Y AN ´ALISIS 29
Figura 5.2: P´endulo matem´atico o simple
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
5.6.
C´
alculos, resultados y an´
alisis
1. ¿ Qu´e se puede concluir sobre el efecto que produce el variar la amplitud, la longitud y la masa sobre el per´ıodo del p´endulo simple.
2. Realice una gr´afica de T vs L (relaci´on no lineal). ¿ Podr´ıa decir que T depende de L en una potencia menor que 1, tal que el comportamiento obtenido sea el esperado?.
3. Graf´ıque en papel logar´ıtmico la relaci´onT vsL y obtenga la potencia deLpara corroborar el comportamiento esperado.
4. Bosqueje la relaci´on linealT2 vsLy encuentre el valor de la aceleraci´on de la gra-vedad mediante el ajuste lineal. Anote este valor como el resultado experimental.
30 CAP´ITULO 5. REGRESI ´ON LINEAL - P ´ENDULO SIMPLE
M= L=
Amplitud t T
θ [s] [s]
Cuadro 5.1:
θ= L=
Masas t T
M [s] [s]
Cuadro 5.2:
θ= M=
L t T
[cm] [s] [s]
Cap´ıtulo 6
Suma de Vectores - Fuerzas
Concurrentes
6.1.
Introducci´
on
Es bien sabido, la gran importancia que tienen los vectores dentro de la f´ısica no solo como modelo matem´atico sino tambi´en como una herramienta que ha permit´ıo cuantificar muchos fen´omenos f´ısicos, adem´as de estar presente en muchos aspectos tecnolo´gicos. Las fuerzas concurrentes son dos o m´as fuerzas aplicadas sobre un mismo objeto. Si el resultado de todas ellas es cero, se dice que el sistema est´a en equilibrio. La representaci´on de estas cantidades se har´a a partir de flechas con una determinada orientaci´on.
6.2.
Objetivos
Determinar experimentalmente el vector resultante en la suma de varias fuerzas coplanares cuyas l´ıneas de acci´on pasan por un mismo punto.
Analizar algunos m´etodos gr´aficos para la adici´on de vectores.
Interpretar la precisi´on de una mesa de fuerza.
6.3.
Marco Te´
orico
Un vector se define a trav´es de 4 par´ametros: una magnitud, una unidad, una direc-ci´on y un sentido. y se representa en el espacio f´ısico por medio de una flecha o recta. Las rectas paralelas orientadas en el mismo sentido definen la misma direcci´on, pero si poseen orientaciones opuestas, definen direcciones opuestas. En un plano, una direcci´on esta determinada por el ´angulo que se forma entre un eje de referencia y la direcci´on que se desea indicar, medido en sentido lev´ogiro (positivo), o contrario al movimiento
32 CAP´ITULO 6. SUMA DE VECTORES - FUERZAS CONCURRENTES
de las manecillas de un reloj (negativo). Las direcciones opuestas est´an determinadas por los ´angulosθ y θ+π o 1800+π.
Cuando la fuerza resultante, suma de todas las fuerzas que act´uan sobre una part´cula (fuerzas concurrentes), es cero, la aceleraci´n de la part´cula tambi´en es cero. La part´cula est´a es reposo o en movimiento uniforme, en este caso se dice que est´a en equilibrio. En general:
n
X
i=1
~
Fi = 0 (6.1)
6.4.
Temas de Consulta
Regla del paralelogramo para la suma de vectores.
Regla del pol´ıgono para la suma de vectores.
Descomposici´on de un vector en sus componentes rectangulares.
M´etodo anal´ıtico para la suma de vectores.
6.5.
Equipos
Mesa de fuerzas (ver figura 6.1 (b))
3 poleas, 3 Portapesas (ver figura 6.1 (a)), Hilo fino (Traerlo)
3 Juegos de pesas de diferentes gramos.
6.6.
Procedimiento
6.6. PROCEDIMIENTO 33
(a) (b)
Figura 6.1: Sistema mesa de fuerza.
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
argolla muestra ´algun desplazamiento apreciable. Midiendo estos valores extremos se calculan de la siguiente manera:
∆F = Fmax−Fmin
2 , ∆θ =
θmax−θmin
2 , ¯
F = Fmax+Fmin 2 ,
¯
θ = θmax+θmin 2 .
(6.2) Para cada problema indicado por el profesor, (ciertos valores de masas con sus respecti-vos ´angulos para ubicar en la mesa de fuerzas) determine experimentalmente una fuerza anti-resultante (equilibrante) de
1. F~a+F~b+F~c.
2. F~a+F~b.
3. F~b+F~c.
4. F~a+F~c.
34 CAP´ITULO 6. SUMA DE VECTORES - FUERZAS CONCURRENTES
(a) (b)
Figura 6.2: Fuerzas concurrentes.
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
6.7.
C´
alculos, Resultados y An´
alisis
1. Para cada problema indicado, elabore y complete una tabla similar a la siguiente:
2. En este caso es necesario medir una masa y un ´angulo, lo cual produce errores. Para cada uno de estos casos determine el error relativo ∆F/F y ∆θ/θ. Reg´ıstrelo en la tabla 1.
Fuerza [g-f] θo
min θmaxo Fmin[g-f] Fmax[g-f] ∆F[g-f] ∆θo F¯[g-f] ∆F/F¯ θ¯o ∆θ/θ¯ ~
Fa+F~b +F~c ~
Fa+F~b ~ Fb+F~c
~ Fa+F~c
Cuadro 6.1: C´alculos de Error.
3. Realice un dibujo para cada uno de los casos anteriores, representando la mesa de fuerzas y anotando los ´angulos, los valores de las fuerzas y la fuerza equilibrante.
6.7. C ´ALCULOS, RESULTADOS Y AN ´ALISIS 35 5. A partir de la descomposici´on trigonom´etrica, calcule la resultante.
6. Construya una tabla con los valores hallados para la fuerza equilibrante por el m´etodo experimental, m´etodo del pol´ıgono y el m´etodo anal´ıtico del numeral an-terior.
7. Calc´ule el porcentaje de error del m´etodo experimental y del m´etodo del pol´ıgono, con respecto al m´etodo anal´ıtico y enumere las posibles causas de error.
8. La fuerzas en ´este experimento act´uan sobre un anillo, pero se dicen que son concurrentes. ¿Si en vez de cuerdas se tuvieran varillas r´ıgidas unidas al anillo, ser´ıan necesariamente concurrentes las fuerzas? ¿Existen entonces contribuciones al error debidas a la no rigidez de las cuerdas? Explique objetivamente.
Cap´ıtulo 7
Cinem´
atica - Velocidad instant´
anea
y velocidad promedio
7.1.
Introducci´
on
Una velocidad promedio puede realmente ser un valor ´util. Si usted conoce que su velocidad promedio en un viaje de 200 kil´ometros es de 50 kil´ometros por hora, entonces sin duda podr´a saber cuanto tarda el viaje. Por otra parte, a un guardia de tr´ansito que lo observa a usted no le interesa su velocidad promedio sino que tan r´apido vendr´a conduciendo en el instante en que el radar descubre su carro, para as´ıˆA decidir si le coloca o no una infracci´on. En otras palabras, al guarda de tr´ansito lo que le interesa es la velocidad instant´anea que usted lleva. En este experimento se investigar´a la relaci´on que existe entre la velocidad promedio y la instant´anea. Se ver´a como a partir de una secuencia de velocidades promedio se puede deducir la velocidad instant´anea.
7.2.
Objetivos
Comprobar como a medida que el tiempo tiende a cero nos acercamos al valor de la velocidad instant´anea
Medir el valor de una aceleraci´on instant´anea.
Comprobar la relaci´on que existe entre las velocidades instant´aneas y la promedio para un movimiento uniformemente acelerado.
7.3.
Marco Te´
orico
Una velocidad promedio puede realmente ser un valor ´util. Si usted conoce que su velocidad promedio en un viaje de 200 kil´ometros es de 50 kil´ometros por hora, en-tonces sin duda podr´a saber cuanto tarda el viaje. Por otra parte, a un guardia de
38CAP´ITULO 7. CINEM ´ATICA - VELOCIDAD INSTANT ´ANEA Y VELOCIDAD PROMEDIO
tr´ansito que lo observa a usted no le interesa su velocidad promedio sino que tan r´apido ven´ıˆAa conduciendo en el instante en que el radar descubre su carro, para as´ıˆA deci-dir si le coloca o no una infracci´on. En otras palabras, al guarda de tr´ansito lo que le interesa es la velocidad instant´anea que usted lleva. En este experimento se investigar la relaci´on que existe entre la velocidad promedio y la instant´anea. Se ver como a par-tir de una secuencia de velocidades promedio se puede deducir la velocidad instant´anea.
La cinem´atica describe el movimiento de los cuerpos considerados como part´ıˆAculas. Un objeto se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro cuando su posici´on relativa respecto al segundo cuerpo cambia con el tiempo. Si esta posici´on relativa no cambia con el tiempo, el objeto esta en reposo relativo. Tanto el movimiento, como el reposo son conceptos relativos; esto es, dependen de la condici´on del objeto con rela-ci´on al cuerpo que se usa como referencia. Aunque este laboratorio se puede reducir a un movimiento unidimensional es sano construir un marco te´orico en el espacio. En general una part´ıˆAcula describe una trayectoria curvil´ıˆAneaP, como en la figura 1. En el tiempot la part´ıˆAcula se encuentra en el puntoP.
En el movimiento curvil´ıˆAneo, la velocidad en general cambia en magnitud y direc-ci´on. La magnitud de la velocidad cambia debido a que la part´ıˆAcula puede acelerarse o frenarse, su direcci´on cambia debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ´esta se curva continuamente. En la figura 4 se indica la velocidad en los tiempost y t0, cuando la part´ıˆAcula esta enP y P0, respectivamente.
La Cinem´atica describe el movimiento de los cuerpos considerados como part´ıculas. Un objeto se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro cuando su posici´on relativa respecto al segundo cuerpo cambia con el tiempo. Si esta posici´on relativa no cambia con el tiempo, el objeto esta en reposo relativo. Tanto el movimiento, como el reposo son conceptos relativos; esto es, dependen de la condici´on del objeto con relaci´on al cuerpo que se usa como referencia. Se define el concepto de velocidad media como [2, 1, 3]
v= ∆r ∆t =
∆x
∆t ˆi+
∆y
∆t
ˆj+ ∆z
∆t
ˆ k,
donde ∆r, es el desplazamiento realizado por el m´ovil y ∆t, el tiempo empleado en realizarlo.
Conforme ∆t tiende a cero, el vector desplazamiento, ∆r, cambia constantemente de magnitud y de direcci´on y por lo tanto tambi´en lo hace la velocidad media, por lo tanto la velocidad instant´anea es un vector tangente a la trayectoria y est´a dado por
v= l´ım
∆t→0v= l´ım∆t→0
∆r
∆t = dr
dt,
7.4. TEMAS DE CONSULTA 39
Figura 7.1: Sistema carril.
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
En esta experiencia investigaremos el concepto de velocidad instant´anea a partir de razonamientos f´ısicos.
7.4.
Temas de Consulta
Ecuaciones para un movimiento rectil´ıˆAneo uniformemente acelerado.
Encuentre la magnitud de la aceleraci´on de un m´ovil que desciende por un plano sin fricci´on, inclinado un ´angulo θ, arbitrario.
Demuestre que para el caso de MRUA, la velocidad promedio en un tramo dado se puede calcular de la siguiente forma
V = vi+vf
2 =vi+ 1 2at,
donde; vi, es velocidad inicial, vf, es la velocidad final, t, es el tiempo empleado en recorrer el tramo y a, es el valor de la aceleraci´on.
¿Qu´e velocidad poseer un m´ovil que parte del reposo en un plano sin fricci´on inclinado un ´angulo α, respecto a la horizontal cuando ha recorrido L?
7.5.
Equipo
40CAP´ITULO 7. CINEM ´ATICA - VELOCIDAD INSTANT ´ANEA Y VELOCIDAD PROMEDIO
(a) (b)
Figura 7.2: Equipos.
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
7.6.
Procedimiento
1. Coloque el riel en forma horizontal, es decir niv´elelo como se puede ilustrar en la figura 7.3.
2. Ahora eleve uno de los extremos del riel con un soporte y mida el ´angulo de inclinaci´on.
3. Escoja un puntox1 cerca del centro del riel. Mida la posici´on dex1 sobre la escala
m´etrica del riel y reg´ıstrela en la tabla 1. Si est usando un riel sin escala m´etrica use entonces una cinta m´etrica para medir la distancia a x1 desde el borde del
extremo superior del riel.
4. Escoja un punto de partida x0 para el deslizador, cerca del extremo superior del
riel, de manera que usted pueda siempre hacer partir el deslizador desde el mismo sitio y tome este como el origen de coordenadas.
5. Coloque la fotocelda temporizadora y la fotocelda auxiliar en puntos equidistantes desde x1 como muestra el montaje. Registre como D la distancia entre las dos
fotoceldas, en la tabla 1.
6. Coloque las fotoceldas de tal forma que se registre el tiempo empleado en recorrer la distancia entre las dos fotoceldas.
7. Mantenga el deslizador est´atico en el punto x0 y luego lib´erelo. Registre el
tiem-po t1 mostrado luego que el deslizador ha recorrido la distancia entre las dos
7.6. PROCEDIMIENTO 41
Figura 7.3: Montaje completo.
Fuente: Tomada por autores. Laboratorio de F´ısica B´asica - Universidad Santo Tom´as. 19 de Octubre de 2012.
9. Repita los pasos 7 y 8 de dos a cuatro veces, registrando los tiempos como t2
hasta t5.
10. Ahora repita los pasos desde el 5 hasta el 9, decreciendo la distanciaDde acuerdo a los datos suministrados por el profesor registrando todos sus datos en la tabla 1.
11. Usted puede continuar tomando distancias D cada vez ms y ms peque˜nas cam-biando la t´ecnica para medir el tiempo de la siguiente manera. Adicionando aletas de diferentes tama˜nos encima del deslizador. Suba la fotocelda de manera que sea la aleta y no el cuerpo del deslizador el que interrumpa la fotocelda. Use sola-mente una fotocelda y col´oquela en la posici´onxi. Coloque el temporizador en la
opci´on GATE. Ahora D es la longitud de la aleta. Mida D pasando el deslizador a trav´es de la fotocelda y notando la diferencia en la posici´on cuando el LED se enciende y vuelve y se apaga. Luego suelte el deslizador desde x0 como lo hac´ıˆAa
antes y mida unas cinco veces el tiempo que ´este tarda en pasar a trav´es de la fotocelda. Registre estos tiempos como t1 hastat5. Contin´ue decreciendo el valor
de D usando sucesivamente las aletas.
12. Ahora escoja un punto xi cerca del extremo mas elevado del riel. Coloque la
fotocelda temporizadora fija en este punto de manera que el deslizador siempre atraviese esta con la misma velocidad (es decir soltando el deslizador siempre del mismo punto x0).
42CAP´ITULO 7. CINEM ´ATICA - VELOCIDAD INSTANT ´ANEA Y VELOCIDAD PROMEDIO
7.7.
C´
alculos, Resultados y An´
alisis
1. Encuentre el valor te´orico de la velocidad instant´aneavinst en este punto (tomeg
como 9,781 [m/s2])
2. Encuentre el error absoluto y relativo en el valor te´orico de la velocidad.
3. Para cada valor de D de la tabla 1, complete la siguiente tabla
4. Trace una curva (suave) de velocidad promedio vprom contra distancia D, (conD
en el eje x), en un papel milimetrado dibuje en la misma hoja una as´ıntota en
vprom =vinst
5. Haga una gr´afica de velocidad promedio vprom contra Y; usando el m´etodo de los
m´ınimos cuadrados. Interprete y analice la gr´afica.
6. Eval´ue en el eje de las velocidades el punto donde D = 0, es decir cuando
Y = 2√x1 y tome este como el valor experimental de la velocidad instant´anea y
compare este el valor te´orico.
7. Demuestre que la velocidad media en funci´on de la distancia Dse puede escribir como V = √ a 2 hp
2x1−D+ p
2x1+D i
,
donde; a, es la aceleraci´on y en este caso vale a = gsinθ y g es el valor de la aceleraci´on de la gravedad. ¿Qu´e pasa cuando Dtiende a cero?
8. Encuentre el valor te´orico de la aceleraci´ona, de este movimiento (tomeg como 9,781 [m/s2])
9. Encuentre el error absoluto y relativo en el valor te´orico de la aceleraci´on.
10. Con los resultados de la tabla 2, complete la siguiente tabla
11. Utilizando una regresi´on lineal encuentre la ecuaci´on de la recta que mejor se ajusta a sus datos.
12. Al valor de la pendiente multipl´ıquelo por dos y tome ´este como valor experimental de la aceleraci´on y compare este el valor te´orico.
13. Justifique el criterio tomado en el punto anterior.
7.7. C ´ALCULOS, RESULTADOS Y AN ´ALISIS 43 15. En el paso 11 del procedimiento note que el medidor deb´ıˆAa retrasarse D/2 del
punto de medida. Justifique este paso.
Cap´ıtulo 8
Cinem´
atica en Dos Dimensiones
-Movimiento Parab´
olico
8.1.
Introducci´
on
Se denomina movimiento parab´olico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una par´abola. Este movimiento corresponde con la trayectoria ideal de un pro-yectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que est´a sujeto a un campo gravitatorio uniforme. Tambi´en es posible demostrar que puede ser analizado como la composici´n de dos movimientos rectil´ıneos, un movimiento rectil´ıneo uniforme horizontal y movimiento rectil ˜Aneo uniformemente acelerado vertical. Tipos de movi-miento parab´olico: (i) El movimiento de media par´abola o semiparab´olico (lanzamiento horizontal): se puede considerar como la composici´on de un avance horizontal rectil´neo uniforme y la ca´ıda libre. (ii) El movimiento parab´olico completo: se puede considerar como la composici´on de un avance horizontal rectil´ıneo uniforme y un lanzamiento ver-tical hacia arriba, que es un movimiento rectil´neo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acci´on de la gravedad.
8.2.
Objetivos
Encontrar como la distancia vertical que ha ca´ıdo un proyectil est´a relacionada con la distancia horizontal alcanzada.
Predecir y verificar el alcance de un proyectil lanzado a cierto ´angulo. La veloci-dad inicial del proyectil es determinada disparando el proyectil horizontalmente y midiendo su alcance y la altura desde la que fue lanzado.
Comparar este resultado experimental con el resultado propuesto por el modelo cinem´atico y te´orico estudiado en clase.
46CAP´ITULO 8. CINEM ´ATICA EN DOS DIMENSIONES - MOVIMIENTO PARAB ´OLICO
8.3.
Marco te´
orico
Un caso particular del estudio del movimiento en dos dimensiones es el tiro pa-rab´olico, por tanto si analizamos un movimiento uniformemente acelerado, tenemos que
a= Constante,
a(t) = dv
dt,
v(t) = dr
dt.
Al resolver dicho sistema de ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales:r(t =
t0) =r0, obtenemos la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo as´ı r(t) = r0+v0(t−t0) +
a
2(t−t0)
2
,
con las condiciones iniciales, en t=t0, como v(t0) =v0, adem´as de r(t0) =r0. Ahora,
para el caso del movimiento en dos dimensiones con condiciones iniciales (tiro parb´olico)
v(t= 0) =v0 =v0cosθˆi+v0sinθˆj, r(t = 0) =0,
y
a=g(−ˆj),
obtenemos el siguiente vector posici´on[2, 1, 3]
r(t) = (v0cosθ)tˆi+
(v0sinθ)t−
gt2
2
ˆj.
De la expresi´on anterior, podemos identificar las ecuaciones param´etricas
x(t) = (v0cosθ)t
y(t) = (v0sinθ)t−
gt2
2 ,
las cuales sirven para encontrar y demostrar, eliminando el par´ametro,t, que la ecuaci´on de la trayectoria viene dada por
y(t) =x(t) tanθ− g
2v2 0cosθ
x(t)2.
El tiempo requerido para que el proyectil alcance la m´axima altura (ts =tiempo de subida)
se encuentra haciendo cero la componente y de la velocidad, ya que en ese punto, la velocidad del proyectil es horizontal, entonces
ts =
v0sinθ
