Prueba de hipótesis

(1)

An´

alisis Inferencial

Maestr´ıa en Gerencia para el Desarrollo

John F. Moreno T.

Universidad Externado de Colombia

(2)

Prueba de hip´

otesis

Elementos de una prueba de hip´otesis:

I Hip´otesis nula (H0): es la hip´otesis que inicialmente se

asume como cierta.

I Hip´otesis alternativa (Ha): es la hip´otesis contraria a la

hip´otesis nula, en el contexto del problema en consideraci´on. Como ejemplo, si H0:p=0.1, entonces una posible forma de

la hip´otesis alternativa es Ha:p6=0.1.

Se rechazaH₀ en favor deHa solo si la evidencia muestral hace

pensar queH0 es falsa, de forma que las conclusiones posibles de

un procedimiento de prueba de hip´otesis son: rechazarH0 o no

rechazarH₀ en favor de Ha.

(3)

I Procedimiento de prueba: procedimiento mediante el cual se utilizan los datos muestrales para determinar si se rechaza o no H₀. Para llevar a cabo este procedimiento se deben establecer:

I Estad´ıstico de prueba: es una funci´on que depende solamente de los valores observados en la muestra.

I Regi´on de rechazo: conjunto de valores del estad´ıstico de prueba para los cuales se rechazaH0.

Como parte del procedimiento de prueba se calcula el estad´ıstico en los valores observados de la muestra, yH0 es rechazada si el

(4)

Errores en la prueba de hip´

otesis

Los errores que se pueden cometer al realizar un procedimiento de prueba de hip´otesis son:

I Error tipo I:rechazarH0 cuando esta es verdadera. A la

probabilidad de cometer este error se le denota como α.

I Error tipo II:no rechazarH₀ cuando esta es falsa. A la probabilidad de cometer este error se le denota como β.

(5)

Prueba de hip´

otesis sobre la media poblacional

Poblaci´on normal con σ conocida:

Consideramos una muestra aleatoria simpleX1,X2, ...,Xn de una

poblaci´on normal con media µ y desviaci´onσ conocida. Sabemos queX¯ ∼N(µ;σ/

√

n) y estandarizando se tiene que

Z=X¯−µ0

σ/

√

(6)

Si consideramos queH0:µ=µ0, entonces:

I SiHa=µ>µ0, un valor deX¯ mucho mayor queµ0 respalda la hip´otesis

alternativa, pero queX¯>µ0implica queZ>0, de forma que:

SiHa:µ>µ0entonces la regi´on de rechazo es de la formaZ≥c, lo que se

conoce comoprueba de cola derecha.

I SiHa=µ<µ0, un valor deX¯ mucho menor queµ0 respalda la hip´otesis

alternativa, pero queX¯<µ0implica queZ<0, de forma que:

SiHa:µ<µ0 entonces la regi´on de rechazo es de la formaZ≤ −c, lo que se

conoce comoprueba de cola izquierda.

I SiHa=µ6=µ0, un valor deX¯ muy diferente deµ0 respalda la hip´otesis

alternativa, pero queX¯6=µ0implica queZ<0oZ>0, de forma que:

SiHa:µ6=µ0entonces la regi´on de rechazo es de la formaZ≥c, o,Z≤ −c, lo

que se conoce comoprueba de dos colas.

(7)

De forma general se pueden considerar los siguientes pasos en todo procedimiento de prueba de hip´otesis.

1. Identifique el par´ametro de inter´es.

2. Determine el valor nulo y exprese la hip´otesis nula.

3. Exprese la hip´otesis alternativa apropiada.

4. Establezca la forma y distribuci´on del estad´ıstico de prueba.

5. Exprese la regi´on de rechazo de acuerdo con el nivel de significancia.

6. Calcule el estad´ıstico en la muestra.

(8)

Pruebas con muestras grandes

Si el tamaño de muestra es grande (n>30), las pruebasz se modifican fácilmente para este caso sin requerir que la población sea normal o que el valor deσ sea conocido. Sin es grande, la desviación estándar muestralstiene un valor cercano a σ, y la variable estandarizada:

Z=X¯−µ

s/√n

tiene aproximadamente distribuci´on normal est´andar. De esta forma, el estad´ıstico de prueba es:

Z=X¯−µ0

s/√n

el cual sigue una distribuci´on normal est´andar cuandoH0 es

verdadera. As´ı, el procedimiento de prueba descrito para el caso de poblaciones normales se aplica en este caso de la misma manera.

(9)

Pruebas con distribuci´on poblacional normal

Se considera una muestraX1,X2, ..,Xn de una poblaci´on normal y la

variable aleatoria estandarizada:

T =X¯−µ

S/√n

(10)

Ejemplo

Se está estudiando el efecto de reducir la jornada laborar a 4 horas diarias sobre el desempeño en el trabajo (medida como número de unidades creadas de un cierto producto). Para esto, se considera una muestra de 5 individuos a los cuales se les ha reducido la jornada laborar durante un mes, y se ha llevado un registro del

n´umero de unidades terminadas por cada uno. Los resultados son:

25,8; 36,6; 26,3; 21,8; 27,2.

Suponiendo que el n´umero promedio de unidades creadas durante

el mes sigue una distribuci´on normal ¿sugieren los datos que el

n´umero de unidades terminadas es mayor que 25, considerando un

nivel de significanciaα=0.05?

(11)

Ejemplo

Se tiene que:

1. µ=promedio poblacional de unidades terminadas.

2. H0:µ=25. 3. Ha:µ>25. 4. T=X¯−25

s/√n.

5. RechazarH0siT≥tα;n−1=t0,05 ; 4=2.132.

6. Se tiene queX¯=27.54ys=5.47, luego:

T=27.54−25

5.47/√5 =1.04

7. Como el valor deT calculado en la muestra no cae en la regi´on de rechazo

(1,04<2,132), entonces no se puede rechazarH0al nivel de significancia

(12)

Prueba de hip´

otesis sobre la proporci´

on poblacional

Sea p la proporción de individuos en una población que poseen una caracter´ıstica espec´ıfica (lo que se tomará como éxito), luego p es la proporción poblacional de éxitos. Las pruebas sobre p están basadas en una muestra aleatoria de tamaño nde esta población y en la proporción muestral de éxitos X. Sin es pequeño respecto al tamaño de la poblaciónX tiene distribución aproximadamente

binomial, y sines grande entonces tanto X como el estimador

ˆ

p=X/ntienen distribuci´on aproximadamente normal.

(13)

Pruebas con muestras grandes:

Dado que el estimador pˆ=X/n es insesgado, tiene distribuci´on

aproximadamente normal yσpˆ=

p

ˆ

p(1−pˆ))/n, entonces se define el estad´ıstico de prueba (para un valor cr´ıtico p0 asociado aH0)

como:

Z= _p pˆ−p0

p₀(1−p₀)/n

(14)

Hip´otesis nula H0:p=p0.

Estad´ıstico de prueba: Z=√ pˆ−p0 p0(1−p0)/n

Hip´otesis alternativa Regi´on de rechazo

Ha:p>p0 Z≥Zα (extremo derecho)

Ha:p<p0 Z≥ −Zα (extremo izquierdo)

Ha:p6=p0 Z≥Zα/2 oZ≤ −Zα/2 (dos extremos)

Estos procedimientos son v´alidos si np0≥10 yn(1−p0)≥10.

(15)

Ejemplo

Se realiza un estudio acerca del abuso en el consumo de alcohol por parte de jóvenes entre los 15 y 18 años. De acuerdo con resultados presentados por el gobierno nacional, se afirma que máximo el 44% de los jóvenes de una ciudad consumen alcohol 4 veces o más por semana.

En un estudio independiente sobre el mismo tema se considera una muestra de 2500 jovenes de los cuales 1200 reportaron consumir alcohol 4 o m´as veces por semana.

(16)

Ejemplo

Se tiene que:

1. H₀:p≤0.44

2. Ha:p>0.44

3. Estad´ıstico: Z= pˆ−_σp0 ˆ

p , y como:

ˆ

p=1200

2500=0,48 σpˆ=

r

(0,48)(0,52)

2500 =0,009992

entonces Z=0₀,48−0_,₀₀₉₉₉₂,44 =4

4. Regi´on de rechazo: para α=0,05 se rechaza H0 si Z>1.645.

5. Como Z=4>1.645se rechaza H0.

(17)

Valor p

(18)

Ejemplo

Suponga que como parte de un procedimiento de hip´otesis se desea probar

H0:µ=1,5contraHa:µ>1,5. En este caso, la regi´on de rechazo es de extremo derecho, es decir, se rechazaH0 siZ≥Zα. Sup´ongase queZ=2,10. La siguiente tabla

muestra la regi´on de rechazo para diferentes valores deαy la conclusi´on posible.

Nivel de significanciaα Regi´on de rechazo Conclusi´on 0,05 Z≥1,645 RechazarH0

0,025 Z≥1,96 RechazarH0

0,01 Z≥2,33 No rechazarH0

0,005 Z≥2,58 No rechazarH0

Se puede ver entonces que un valor deαrelativamente grande hace que se rechace la hip´otesis nula mientras que un valor relativamente peque˜no hace que esta no se rechace.

(19)

Ejemplo

De la tabla de la distribuci´on normal se puede observar que el ´area bajo la curva y a la derecha, de valor 2,10, es 0,0179, lo que

implica que utilizar un valor deα mayor a 0,0179 corresponde a

Z_α<2,10 (por ejemplo si α=0,025se tiene que Zα=1,96),

mientras que unα menor a 0,0179 requiere usar un valor

Zα>2,10. Se puede ver entonces que0,0179 es el menor nivel de

(20)

Elvalor p(nivel de significancia observado) es el nivel de significancia más pequeño al cual se rechaza la hipótesis nula cuando se emplea un procedimiento de prueba espec´ıfico para la serie de datos.

Una vez determinado el valor p, la conclusi´on a alg´un nivel α resulta de comparar estos dos valores:

I Si valor p ≤α, entonces se rechazaH0 al nivel α.

I Si valor p >α, entonces no se rechazaH0 al nivel α.

(21)

Ejemplo

Se tiene una prueba de hip´otesis en la cual H0:µ=10, contra

Ha:µ<10con α=0,05, considerando que la distribuci´on del

estad´ısticoZ es normal cuando H0 es verdadera, se calcula un valor

p de 0,0384. Comoα> valor p se rechaza H0 a nivel 0,05.

Nota

Como el valor p es la probabilidad calculada, suponiendo queH0 es

cierta, de obtener un valor del estad´ıstico de prueba por lo menos tan contradictorio paraH₀ como el valor que result´o, se tiene que,

(22)

Valores p para pruebas Z

Valor p=



 

 

1−Φ(z) Extremo superior

Φ(z) Extremo inferior

2[1−Φ(|z|)] Dos extremos

(23)

Ejemplo

Consideremos una prueba de hip´otesis sobre un par´ametro µ de forma que: H₀:µ=245,Ha:µ 6=245, el estad´ıstico esZ=

¯ X−245

s/√n .

Se considera una muestra de tama˜non=50 en la cuals=3.6 y

¯

X=246,18.

De acuerdo con lo anterior se tiene quez=246,18−245

3,6/√50 =2,32, y el

valor p de dos colas es:

p=2[1−Φ(2,32)] =0,0204

Si se considera un nivel de significanciaα =0,01, entoncesH0 no