Geometría analítica versus geometria sintética
7 de abril de 2013
Parte I
Elementos de Geometría Afín y
proyectiva
1. Espacios anes y proyectivos
Dado un vecto a de un espacio vectorial V sobre K, a la plicación t(a) : V V dada por τa =a+v se le denomina traslación. Se tienen las siguientes evidencias:
- Las traslaciones son aplicaciones biyectivas
- No son, en general, lineales.
- La traslación τa transforma el vector 0 en el vector a.
- El conjunto de todas las traslaciones de V es un grupo isomorfo al grupo aditivo del espacio V.
Denición: un espacio afín sobre un cuerpo K no es más que un espacio vectorial V sobre el cuerpo K al que a los vectores se les llama puntos. Un subconjunto de T del espacio afín V se dice que es un subespacio an de V, si es el trasladado de algún subespacio vectorial. Por dimensión del subespacio an T se entenderá la dimensión del subespacio vectorial S del que procede.
Denición: sea V un espacio vectorial de dimensiónn+ 1sobre K, conn un
entero mayor o igual q+ 1. Al conjunto P(V) de los subespacios de V
de dimensión 1 se le denomina espacio proyectivo asociado a V. Se dirá que P(V) tiene dimensión n. A los espacios proyectivos de dimensión 0 se les denominara puntos, a los de dimensión 1 rectas, y a los dimensión 2, planos.
Denición: un plano proyectivo surge al añadir a un plano un punto por cada familia de rectas paralelas, (es decir, uno por cada par de direc-ciones opuestas). Los puntos asi añadidos se llaman puntos del innito. Llamaremos plano proyectivo sobre el cuerpo K, al conjunto de ter-nas (x0 : x1 : x3) con x0, x1, x3 K, no todos nulos y de forma que
(x00, x01, x03) =λ(x1, x2, x3)
NOTA: dimP(V) = −1si y solo si P(V) =∅
La idea principal de un plano proyectivo consiste en que se satisfaga unos axiomas con cierta simetría:
1. Por cada dos puntos distintos pasa una única recta.
2. Cada dos rectas distintas se cortan en un único punto.
3. Por tres puntos no alineados pasa un solo plano proyectivo.
4. Si dos puntos distintos pertenecen a un plano proyectivo, la recta proyectiva que contiene a estos dos puntos esta incluida en el plano.
Observación: Dados subespaciosP(S1),P(S2), ..., P(Sn)de un espacio pro-yectivo P(V), se pueden hacer las siguientes operaciones:
1. La intersección de subespacios es otro subespacio:P(S1)
T
P(S2)
T
...T
P(Sn) =
P(S1
T
S2
T
...T
Sn)
2. W =W1+W2+...+Wn
Fórmula de Grassmann: Veamos que cada par de rectas distints de un plano proyectivo se coran en un punto, o con mayor generalidad, que ca-da par de hiperplanos de un espacio proyectivo se intersequen segun uno de sus hiperplanos. Para ello, partimos de dos subespacios P(S) y P(T) de un plano proyectivo P(V) nito-dimensional. Se tiene así la fórmula de Grassmann dim(P(S) +P(T)) = dimP(S+T) = dimP(S) +dimP(T)−
dim(P(S)T
P(T)).
Nota: los espacios proyectivos de dimensiones muy bajas se describen con enorme facilidad. En dimensión -1 no hay más espacio proyectivo que el vacío, el asociado al espacio vectorial nulo. Los de dimensión cero se reducen a puntos. Los espacios proyectivos comienzan a adquirir entidad a partir de la dimensión 1, esto es, las rectas proyectivas. La recta proyectiva se compone de rectas vectoriales del plano R2, o sea, el haz de rectas que atraviesan el origen de coordenadas.
Denición: cuando varios puntos pertenecen a un mismo plano, se dice que son coplanarios.
Idea: en general se pretende, que en un plano proyectivo, cada par de rectas distintas sean secantes o, con mayor generalidad, que en un espacio proyectivo de dimensión n, cada par de hiperplanos distintos se corten según uno de sus hiperplanos.
Observación: aunque los puntos de un plano proyectivo P(V) puedan su-marse, no se admite esta suma como operación en P(V). Sean A = <a> y B = <b> dos puntos, según las deniciones establecidas, A+B coincide con el subespacio <a,b> de V engendrado por a y b. Este subespacio sería una recta si se diera la independencia entre a y b, pero, de lo contrario, se reduciría a un punto
Proposición: Si P(F) y P(G) son subespacios proyectivos de P(V) dedu-cidos de los subespacios vectoriales F y G, entonces P(F)T
P(G) =
P(F T
G). Es decir, la intersección de subespacios proyectivos, es un
espacio proyectivo.
Denición: al menor subespacio proyectivo de P(V) que contiene a un sub-conjunto S se le denomina subespacio proyectivo engendrado por S.
Denición: un conjunto de puntos del espacio proyectivo P(V) se dice que es proyectivamente independientes si los vectores representantes de los puntos son linealmente independientes.
2. Coordenadas homogéneas.
Para pasar de coordenadas cartesianas a homogéneas: Veamos el procedimiento que hay que llevar a cabo para pasar de coordenadas cartesia-nas a homogéneas:
a. Si se trata de un punto propio (x,y) sus coordenadas homogéneas son (1,x,y), o bien, en general, (l,lx,ly), l distinta a 0.
b. Si se trata de un punto impropio correspondiente a la dirección de la recta y = mx, sus coordenadas homogéneas son (0,1,m) o, en general, (0,l,lm) con l distitnta de 0.
Para pasar de coordenadas homogéneas a cartesianas: Veamos el procedimiento que hay que llevar a cabo para pasar de coordenadas homo-géneas a cartesianas:
a. Si el punto (x0, x1, x2)es propio, o seax06= 0, sus coordenadas cartesianas
son x1
x0,
x2
x0
.
b. Si el punto es impropio, o sea de la forma (0, x1, x2), se trata del punto
correspondiente a la dirección de la recta de coeciente angular m= xx21
son independientes si los vectores v1,v2, ..., vn son linealmente indepen-dientes, pues la independencia lineal de éstos implica la de cualquier conjunto λ1v1, ..., λnvncon losλiescalares no nulos . Los vectores deben ser distintos de cero.
Consecuencias inmediatas: consecuencias inmediadas:
- Un único punto es independiente.
- Dos puntos son independientes si y solo si son distintos.
- Tres puntos son independientes si y sólo si no están sobre la misma recta.
- En un espacio proyectivo n-dimensional caben, a los sumo, n+1 puntos independientes, y cada conjunto que genere el total debe contener al menos n+1 puntos.
- Si S = ∅el subespacio engendrado por S es vacío.
- De n+1 puntos de un espacio P(V) con dim P(V) = n, da lo mismo armar que generan el total a que son independientes.
Denición: supóngase que P(V) es un espacio proyectivo n-dimensional y quePo =< vo >, ..., Pn =< vn>son n+1 puntos independientes los cua-les generan el total. Las condiciones exigidas a aquellos puntos implican que el conjunto {vo, ..., vn} constituyen una base del espacio vectorial V.
Denición: sea B = {v0,v1, ..., vn}una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Entonces los puntos {P0, P1, ....Pn}con Pi =< vi >para cada i{0, ..n} no sólo generan al proyectivo P(V), sino que son
Denición: a la base B de partida se le suele denominar un sistema de coordenadas homogéneas.
Nota: existe un método muy extendido para proporcionar un sistema de coordenadas homogéneas en un espacio proyectivo P(V) n-dimensional sobre K. Consiste en dar un conjunto de n+2 putnos,{P0,P1, ..., Pn, U} todos los n+1 primeros (llamados puntos base) sean independientes, y U (llamado punto unidad) no pertenezca a ninguno de los hiperplanos engengrados por n de los puntos base.
Observación: el proceso de elección de un sistema de coordenadas homogé-neas por medio de la exhibición de los puntos base y el punto unidad, requiere que la dimensión del espacio proyectivo sea, cuando menos, uno. En una recta proyectiva, un sistema de coordenadas homogéneas queda determinado por tres puntos {P0, P1, U}, dos base y uno
uni-dad. En esta dimensión, cualquiera de los tres puntos distintos entre sí integran un sistema de coordenadas homogéneas.
Puntos que habrá en un espacio proyectivo P(V) de dimensión n sobre un cuerpo K de q elementos Procedimiento:
primero cuéntese el número de coordenadas posibles. Si K tiene q elementos, entonces qn+1las (n+1)-uplas deKn+1. Al quitarle la upla 0, quedanqn+1-1.
Por último, habrá que dividir por le cardinal de cada clase de euivalencia para saber cuántas clases distintas hay, quitando también el cero. Por consiguiente, el número de puntos del espacio proyectivo es, qn+1−1
q−1
3. El espacio afín dentro del proyectivo
con-junto de puntos que resultan al quitarle al espacio proyectivo P(V) los puntos de uno cualquiera de sus hiperplanos. En notación conjuntista, A(V,H) = P(V) - P(H). De P(V) se dirá que es la envolvente proyectiva de A(V,H).
Denición: los puntos del hiperplano excluidos del espacio proyectivo para formar el espacio afín se llaman puntos impropios o puntos del innito de P(V ), y el hiperplano excluido el hiperplano impropio o hiperplano del innito de P(V).
Denición: los subespacios anes de A(V,H) son los obtenidos al suprimir de los subespacios de P(V) sus puntos impropios, es decir, T es un subespacio afín de A(V,H) si y solo si existe un subespacio S de V no contenido en H tal que T = P(S) - P(H).
Denición: se introduce la dimensión del espacio afín A(V,H) como aquella que tuviese el proyectivo P(V).
Denición: de P(V) de dirá que es la envolvente proyectiva de A(V,H).
Intersección de un hiperplano con una recta:
Sea P(V) un espacio proyectivo de dimensión mayor o igual que dos, H un hiperplano proyectivo y L una recta proyectiva. Si dos puntos distintos de L pertenecen a H, entonces L ⊂ H, pues L es el menor subespacio que los
contiene.
Intersección de un hiperplano con un plano.
Proposición: un espacio proyectivo P(V), con dimensión mayor o igual que 3, la intersección de un hiperplano con un plano no contenido en aqué es una recta.
4. Principio de dualidad
Sea E un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo conmutativo K; recordemos que el espacio vectorial dual V* de V, es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales (formas) de V en K.
Principio de dualidad.
El dual del espacio proyectivo es un espacio proyectivo, aquellas propiedades que sean ciertas en él también lo seran en su dual, por lo que también será cierta la propiedad dual.
Proposición: Sea P una propiedad del espacio proyectivo que involucre con-tenidos, intersecciones y subespacios engendrados por subespacio pro-yectivos. Entonces, la propiedad dual P también es cierta.
Observación: dimP(V) = n signica que dimV = n+ 1. De ahí que si dimP(S) = r,se tengadimP(S∗) =dimS∗−1 = (dimV−dimS)−1 = [(n+ 1)−(r+ 1)]−1 =n−r−1.
- La propiedad dual en el plano proyectivo de por dos puntos distintos pasa una única recta, es dos rectas distintas se cortan en un único punto.
-La propiedad dual en el plano proyectivo de tres puntos están alineados es tres rectas son concurrentes.
Vemos algunas diferencias. En un plano proyectivo:
- El término dual punto es recta.
- El de recta es punto
- El de recta determinada por dos puntos, es punto donde se cortan dos rectas.
Diferencias en tridimensional. En espacios tridimensionales:
- Los duales de los puntos son los planos y viceversa
- Los duales de la recta es el término dual de sí mismo.
- La propiedad dual de que tres puntos no alinados determinan un único plano seria tres planos sin rectas comunes se cortan en un único punto.
- En general, hiperplano dualiza en punto, y punto en hiperplano.
Algunos teoremas importantes: Veamos ahora algunos teoremas más importantes con su correspondiente dual:
1. Proposición: dos puntos cualesquiera determinan la misma recta.
1*. Dos rectas cualesquiera de un haz, determinan el mismo haz.
2. No todos los puntos del plano proyectivo pertenecen a una misma recta.
2*. No todas las rectas del plano proyectivo pertenecen al mismo haz.
3. Toda recta tiene por lo menos tres puntos.
3*. Todo haz tiene por lo menos tres rectas (o bien, por todo punto pasan por lo menos tres rectas).
4. Teorema de Desargues: si dos triángulos estan relacionados de manera que las rectas que unen vértices homólogos pasan por un mismo punto, entonces los lados homólogos se cortan en puntos de una misma recta.
