1710 Temas Selectos de Matemáticas

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA

Plan de estudios 1996

Programa

Temas Selectos de Matemáticas Clave

1710

Semestre / Año

6º

Créditos 12

Área Físico-matemáticas y de las ingenierías Campo de

conocimiento

Matemáticas

Etapa Propedeútica

Modalidad Curso (X) Taller ( ) Lab. ( ) Sem. ( ) Tipo T ( X ) P ( ) T/P ( )

Carácter

Obligatorio ( ) Optativo (X)

Obligatorio de elección ( ) Optativo de elección ( )

Horas

Semana Semestre / Año Teóricas 3 Teóricas 90 Prácticas 0 Prácticas 0 Total 3 Total 90

Seriación Ninguna ( ) Obligatoria ( ) Asignatura antecedente

Asignatura subsecuente

Indicativa ( X ) Asignatura antecedente

(2)

2 I. Presentación

El propósito de la asignatura es desarrollar habilidades de razonamiento y desarrollo del pensamiento analítico, que allanará el camino de transición entre los estudios de nivel medio superior y el inicio de los estudios profesionales de los estudiantes del Área I (Físico Matemáticas y de las Ingenierías. En esta asignatura se hará énfasis en la naturaleza de la disciplina, en sus métodos, y en su importancia para el avance de la ciencia y de ella misma. Se concientizará a los jóvenes acerca de la diferencia entre hacer y saber matemáticas, y aplicar fórmulas o realizar procedimientos algorítmicos, con la intención de que tengan una idea realista del trabajo de un matemático.

La asignatura permite visualizar un panorama más amplio de las matemáticas, en el cual resalta la apreciación de la belleza intrínseca y su aspecto lúdico. Su importancia también radica en el desarrollo de un espíritu crítico, lo cual es fundamental para la toma de decisiones. De igual forma, fomenta la creatividad en la solución de problemas por parte del alumno para descubrir que un mismo problema puede ser resuelto mediante procesos distintos.

Dada la naturaleza de la asignatura, no siempre es posible presentarla a través de la modelación de situaciones de la vida real. El enfoque principal es el desarrollo del razonamiento lógico y abstracto, lo que le permitirá al alumno, tanto en su vida profesional o como cotidiana, reflexionar, crear conjeturas, argumentar o refutar afirmaciones, expresar sus ideas, discutir, obtener conclusiones.

El programa está organizado en cinco unidades: 1) Conjuntos, 2) Lógica, 3) Demostraciones, 4) Análisis combinatorio y teorema del binomio de Newton, y 5) Números complejos.

En la unidad 1, Conjuntos, se presenta el lenguaje, la notación, operaciones y propiedades relativas a los conjuntos. Los conjuntos son fundamentales en el desarrollo de la matemática moderna.

En la unidad 2, Lógica, se estudian los diferentes tipos de proposiciones, sus negaciones y su valor de verdad, así como modos de inferencia. La lógica es la principal herramienta de la matemática, ya que los argumentos se apoyan tanto en los contenidos matemáticos como en la lógica.

En la unidad 3, Demostraciones, se establecen diferentes formas de demostrar en matemáticas. La importancia de las demostraciones radica en el reconocimiento de que la validez de una afirmación debe tener un sustento basado en los contenidos de la disciplina y en el razonamiento lógico, y no en la intuición. Esta unidad se vincula con todas las unidades, pues pueden demostrarse algunas propiedades de los conjuntos mencionadas en la unidad 1; en la unidad 4 pueden demostrarse el teorema de Pascal y la fórmula del binomio de Newton, esta última mediante el método de inducción matemática; y en la unidad 5 pueden demostrarse algunas propiedades de los números complejos.

(3)

3 permutaciones y combinaciones. También se analiza el teorema del binomio de Newton, tanto su demostración como algunas de sus aplicaciones. Los temas de esta unidad pueden abordarse a través de un gran número de problemas de la vida cotidiana como de la propia disciplina.

En la Unidad 5, Números complejos, se estudian las formas de expresar los números complejos, sus propiedades y operaciones. En esta unidad se reconoce a los complejos como una extensión de los números reales.

II. Objetivo general

El alumno desarrollará habilidades de pensamiento abstracto y lógico, deductivo e inductivo, mediante la construcción de argumentos formales, y la resolución de problemas de su entorno o de la propia disciplina, con el fin de introducirse en el trabajo formal de las matemáticas y prepararse para los estudios superiores en el área. En este proceso, reconocerá que las matemáticas promueven la creatividad y la investigación para la construcción de nuevos conocimientos.

III. Unidades y número de horas

Unidad 1. Conjuntos Número de horas: 12 Unidad 2. Lógica Número de horas: 12

Unidad 3. Demostraciones Número de horas: 24

Unidad 4. Teorema del binomio y análisis combinatorio Número de horas: 30

(4)

4 IV. Descripción por unidad

Unidad I. Conjuntos

Objetivo específico

El alumno:

• Desarrollará habilidades de razonamiento lógico y pensamiento abstracto, a través del estudio de los conjuntos, que le permitan contar con los conocimientos fundamentales para entender la construcción de los problemas de la Matemática, resolver problemas del entorno y de la propia disciplina, y expresarse de manera verbal y escrita con el lenguaje formal de las matemáticas.

Contenidos conceptuales

1.1 Conceptos básicos

a) Noción intuitiva de conjunto b) Notación y nomenclatura c) Igualdad entre conjuntos d) Subconjuntos

e) Cardinalidad: conjuntos finitos y conjuntos infinitos f) Conjunto universal y conjunto vacío

g) Diagramas de Venn

1.2 Conjunto: unión, intersección, diferencia, complemento 1.3 Propiedades del álgebra de conjuntos

Contenidos procedimentales

1.4 Representación de un conjunto por extensión y comprensión. Identificación de la conveniencia de la representación por comprensión

1.5 Representación gráfica mediante diagramas de Venn de las definiciones de unión, intersección, diferencia y complemento

1.6 Argumentación de las propiedades de las operaciones entre conjuntos a) Unión: A A A, A  A, A U U, A  B B A,

( ) ( )

A BC  AB C

b) Intersección: A A A, A  , A U A, A  B B A,

( ) ( )

A BC  AB C

c) Complemento: C

U , C

U

  , C

A  A U, C

A  A ,

 

C C

A A

1.7 Representación mediante diagramas de Venn de las leyes de De Morgan y de las propiedades distributivas

1.8 Uso de diagramas de Venn para mostrar la falsedad de ciertas proposiciones, por ejemplo,



_A_B



C_AC_BC

(5)

5 1.10 Planteamiento y solución de problemas contextualizados y de la propia disciplina,

con conjuntos. Contenidos actitudinales

1.11 Valoración de los conjuntos como herramienta fundamental de la propia disciplina. 1.12 Reconocimiento del lenguaje conjuntista para expresarse de manera verbal y

escrita en las matemáticas

Unidad 2. Lógica

El alumno:

• Desarrollará un pensamiento lógico y abstracto, mediante el uso de herramientas lógicas para argumentar tanto en la vida profesional como en su vida cotidiana.

2.1 Proposiciones a) Definición

b) Proposición: abierta, cerrada

c) Tipos de proposiciones: Simple, conjunción, disyunción, condicional, cuantificación universal y cuantificación existencial. Lenguaje y notación d) Negación de una proposición. Lenguaje y notación

e) Proposiciones verdaderas. Proposiciones válidas. Axioma del tercero excluido

2.2 Lenguaje y notación asociado a la condicional a) Hipótesis y tesis

b) Recíproca c) Contrapuesta d) Bicondicional

e) Proposiciones equivalentes,

2.3 Modos básicos de inferencia: PP, (PQ)P

,

P(PQ)

,







 x A P x, ( )  a A



P a( )

,



a A P a( )

 

   x A P x( )



2.4 Tablas de verdad

2.5 Identificación del tipo de proposición de un enunciado dado

2.6 Expresión de cuantificaciones tanto en lenguaje coloquial como en el lenguaje analítico

2.7 Negación de proposiciones dadas. En el caso de las cuantificaciones, las expresará en lenguaje coloquial y en lenguaje analítico

2.8 Identificación del valor de verdad de una proposición a) Principio del tercero excluido

(6)

6 b) refutar afirmaciones

c) usar la notación simbólica

2.10 Uso de la lógica para dar instrucciones precisas en algún software matemático

Contenidos actitudinales

2.10 Reconocimiento de la utilidad de la lógica para el planteamiento de ideas complejas y como una herramienta fundamental para argumentar

2.11 Adopción de una postura crítica para distinguir entre un razonamiento lógico y un resultado factible

2.12 Valoración de que las demostraciones o argumentaciones en matemáticas tienen fundamentos lógicos y no sólo están basados en las definiciones o contenidos de la matemática

2.13 Reconocimiento de la lógica como herramienta para interactuar con software matemático

Unidad 3. Demostraciones

El alumno:

• Formulará y demostrará proposiciones matemáticas, mediante los métodos de demostración directa, indirecta y de inducción matemática, con el fin de desarrollar un pensamiento abstracto y creativo que le permitan construir nuevos conocimientos y apreciar el quehacer de un matemático

3.1 Noción de demostración 3.2 Demostraciones directas

3.3 Demostraciones indirectas o por reducción al absurdo 3.4 Principio de inducción

3.5 Distinción entre una

demostración y una falacia

3.6 Realización de demostraciones directas e indirectas, en especial aquellas de propiedades relacionadas con el álgebra de conjuntos

3.7 Demostración de algunas proposiciones de los números naturales por el método de inducción matemática

(7)

7 Unidad 4. Teorema del Binomio y Análisis Combinatorio

El alumno:

● Desarrollará habilidades de pensamiento numérico y abstracto, a través del planteamiento y solución de problemas del cálculo combinatorio, tanto de su entorno como de la propia disciplina, con el fin de tomar decisiones razonadas en la construcción de nuevos conocimientos.

4.1 Cálculo combinatorio

a) Ordenaciones con repetición b) Ordenaciones

c) Permutaciones d) Combinaciones 4.2 Teorema de Pascal

4.3 Teorema del Binomio de Newton

4.4 Planteamiento y solución de problemas significativos y de su entorno que involucren ordenaciones, ordenaciones con repetición, permutaciones y combinaciones

4.5 Identificación del tipo de agrupación de objetos (ordenación, ordenación con repetición, permutación y combinación)

4.6 Obtención de los coeficientes de un desarrollo binomial, estableciendo su relación con las combinaciones

4.7 Demostración del Teorema del Binomio de Newton

4.8 Obtención del término de un grado indicado (o sólo de su coeficiente), en un desarrollo binomial

4.9 Obtención de aproximaciones de raíces, a partir de un desarrollo binomial, como raíz cuadrada de 2, raíz cúbica de 9 entre otros

4.10 Reconocimiento de la importancia del cálculo combinatorio en el planteamiento y solución de diversos problemas de la vida cotidiana

4.11 Apreciación del hecho de que un problema pueda ser planteado y resuelto a partir diferentes enfoques

(8)

8 Unidad 5. Número Complejos

El alumno:

● Desarrollará un pensamiento abstracto, a través del análisis de las propiedades y operaciones de los números complejos para que los identifique como una extensión de los números reales.

5.1 Definición del número imaginario i 5.2 Conceptos elementales

a) Definición y notación rectangular de un número complejo b) Conjugado

c) Módulo

d) Plano Complejo

5.3 Operaciones entre números complejos a) Suma

b) Resta c) Producto d) Cociente 5.4 Notación polar 5.5 Teorema de Moivre

a) Potencias de un complejo b) Raíces de un complejo

5.6 Representación gráfica de un complejo dada su expresión rectangular o polar 5.7 Transformación de la expresión rectangular de un número complejo a la forma

polar y viceversa

5.8 Operación con números complejos a) Suma

b) Resta c) Producto d) Cociente

e) Potencia (en particular las potencias de i) f) Raíz

5.9 Uso de recursos tecnológicos para visualizar y apreciar a) la simetría de un complejo y su conjugado

(9)

9 Contenidos actitudinales

5.10 Reconocimiento del conjunto de los números complejos como una extensión del conjunto de los números reales

5.11 Valoración del uso de la tecnología para conjeturar y reconocer propiedades de los números complejos

V. Sugerencias de trabajo

Dado que se pretende que los alumnos desarrollen habilidades de razonamiento lógico y abstracto para reflexionar, crear conjeturas, argumentar o refutar afirmaciones, expresar sus ideas, discutir y obtener conclusiones, es necesario que se elaboren actividades de trabajo colaborativo de acuerdo con su ritmo de aprendizaje. Por ello, se sugiere que:

• se planteen problemas, de la propia disciplina o del entorno, que cautiven la atención de los estudiantes para involucrarlos en la búsqueda de la solución; • se utilicen herramientas tecnológicas, para que los alumnos planteen conjeturas e identifique visualmente propiedades de conceptos que se estudian en el programa, así como para observar resultados de algunos teoremas;

• se muestren falacias, para que el alumno identifique qué errores se han cometido. De esta manera se fomenta su pensamiento crítico;

• se propongan demostraciones de conceptos que aparecen en las diferentes unidades con la finalidad de mostrar el vínculo entre éstas;

• se propongan problemas en otro idioma para que el alumno se involucre en la comprensión de temas de la asignatura en una segunda lengua.

VI. Sugerencias de evaluación del aprendizaje

Para evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje, el docente deberá proponer instrumentos que permitan hacer una autorreflexión sobre las fortalezas y debilidades en dicho proceso, no solo del alumno, sino de él mismo. Es importante realizar una evaluación continua, tanto cualitativa como cuantitativa, de las actividades que se realicen dentro y fuera del aula para que el alumno identifique sus logros y sus errores, con el fin de mejorar sus resultados de aprendizaje y que al mismo tiempo sirvan de referente para que el profesor reflexione sobre su práctica docente y pueda tomar decisiones para modificar la planeación de su actividad, de acuerdo con las necesidades de los alumnos. Por ello, se sugiere:

• aplicar un cuestionario o examen diagnóstico para identificar los conocimientos previos de los alumnos;

(10)

10 • proponer ejercicios, tareas, pruebas escritas (abiertas o cerradas) para analizar las ideas o estrategias sobre el planteamiento de conjeturas o solución de problemas;

• tomar en cuenta lista de cotejo o rúbricas para identificar los niveles de dominio sobre un tema, las habilidades desarrolladas o actitudes involucradas en su trabajo, individual o colaborativo. Es importante que en dichos instrumentos se incluyan criterios como: análisis de la situación, coherencia, argumentación con manejo del lenguaje, creatividad, autonomía, entre otros.

Además, se recomienda que todos los instrumentos se incorporen en un portafolio de evidencias.

VII. Fuentes básicas

Carreño, X y Cruz, X. (2008). Álgebra. México: McGraw-Hill.

De Oteyza, E. et al. (2016). Temas Selectos de Matemáticas. México: Pearson Educación.

Lehmann, C. (2008). Álgebra. México: Limusa.

Miller, D., Heeren, V. y Hornsby, J. (2013). Matemática: Razonamiento y aplicaciones. México: Pearson.

Swokowski, E. y Cole, J. (2011). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México: Cengage Learning.

VIII. Fuentes complementarias

Bravo, A.,Rincón, H. y Rincón, C. (2006). Álgebra superior. México: Facultad de Ciencias, UNAM.

Bulajich, R., Gómez, J. y Váldez R. (2016). Cuadernos de la olimpiada de matemáticas. México

Cárdenas,H., LLuis, E., Raggi, F. y Tomás, F. (1990). Álgebra Superior. México: Trillas Flores, M. y Fautsch, E. (2000). Temas selectos de matemáticas. Soluciones. México,

Progreso.

National Council of Teacher of Mathematics. (1977). Temas de matemáticas, Cuaderno Conjuntos. Trillas

National Council of Teacher of Mathematics. (1977). Temas de matemáticas, Cuaderno Lógica. Trillas

(11)

11 IX. Perfil profesiográfico

Para impartir la asignatura de Temas Selectos de Matemáticas el docente deberá:

1. Cumplir con los requisitos de ingreso y permanencia que marca el Estatuto del Personal Académico (EPA) de la UNAM, con las cláusulas del Sistema de Desarrollo del Personal Académico (SIDEPA) y los requerimientos que emanen de las disposiciones del Consejo Técnico de la ENP.

2. Estar titulado, con un promedio mínimo de 8 (ocho), en alguna de las siguientes licenciaturas: Actuaría, Ciencias de la Computación, Ciencias de la Tierra, Física, Matemáticas, Matemáticas Aplicadas.

3. Se recomienda contar con experiencia docente.

4. Demostrar las siguientes habilidades y actitudes, necesarias para desarrollar una carrera docente en el bachillerato:

• Dominar los conocimientos de la disciplina.

• Planificar el proceso de enseñanza-aprendizaje, seleccionando y preparando los contenidos disciplinares y las estrategias didácticas para abordarlos, así como los instrumentos de evaluación.

• Conocer las características psicopedagógicas de los estudiantes con los cuales trabajará.

• Manejar grupos numerosos, solucionar conflictos y establecer una comunicación clara con los estudiantes.

• Integrar las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en su práctica docente.

• Realizar la búsqueda y selección de textos de divulgación en matemáticas, en español y en otro idioma, adecuados para promover el aprendizaje y desarrollo del pensamiento de los alumnos.

• Desarrollar un trabajo monográfico en torno a un tema científico.