El Solucionario de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales para 2.º de Bachillerato es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realización han intervenido: M.ª José Barbero
Ana M.ª Gaztelu Augusto González José Lorenzo Pedro Machín María José Rey José del Río EDICIÓN
Angélica Escoredo Carlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa
Santillana
Biblioteca del profesorado
SOLUCIONARIO
Matemáticas
2
BACHILLERATOEl nombre de la serie,
La Casa del Saber
, responde al
plantea-miento de presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la
adquisición de los contenidos necesarios para que los alumnos
puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemático debe
garantizar no solo la interpretación y la descripción de la realidad,
sino también la actuación sobre ella.
6 Matrices
1
7 CRITERIOS DE EVALUACIÓN
t Utilizar los conceptos
de matriz, elemento, dimensión y diagonal pr incipal.
t Determinar la igualdad de dos matr ices.
t Identificar los distint os tipos de matr
ices.
t Calcular la matriz traspuesta de una dada.
t Realizar sumas, product
os de matrices y multiplicaciones de una matr iz por un número.
t Calcular el rango de una matr iz por el método de Gauss.
t Calcular la matriz inversa de una matr iz dada aplicando el mét
odo de Gauss-Jordan.
CONTENIDOS
Conceptos t Elementos de una matr
iz. Clasificación de matr ices.
t Operaciones con matr ices: – Suma y resta de matrices. Propiedades
. – Producto de una matriz por un númer
o. Propiedades. – Producto de matrices. Propiedades.
t Matriz traspuesta. M atriz simétrica y antisimétr
ica.
t Rango de una matr iz. Método de Gauss.
t Matriz inversa. Método de Gauss-Jordan.
Procedimientos t Utilización de los conceptos
de matriz, elemento, dimensión y diagonal pr incipal, e identificación y utilización de los distint
os tipos de matrices.
t Determinación de la igualdad de dos matr ices y cálculo de la matr
iz traspuesta.
t Realización de sumas y pr oductos de matr
ices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un númer
o.
t Cálculo del rango de una matr iz utilizando el método de G
auss.
t Cálculo de la matr iz inversa mediante su definición.
t Cálculo de la matr iz inversa utilizando el mét
odo de Gauss-Jordan.
Actitudes t Valoración de la utilidad de las matr
ices en distintos contex tos reales.
t Gusto por la resolución or denada de operaciones con matr
ices.
t Sensibilidad ante la necesidad de r ealizar cuidadosament
e los cálculos con matr ices. OBJETIVOS
t Identificar los element os de una matriz y clasificar
la atendiendo a distint os criterios. tObtener la matr
iz traspuesta de una matr iz dada. tCalcular la matriz suma de dos o más matr
ices del mismo or den. t Hallar, en los casos en que sea posible
, el producto de dos o más matr ices, así como las potencias de distint
os órdenes de una matr iz cuadrada. tDeterminar el rango de una matr
iz utilizando el mét odo de Gauss. t Obtener la matriz inversa de una dada a par
tir de la definición de matr iz inversa y por el método de Gauss-Jordan.
28 29
Inferencia estadística. Estimación
12
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
tRealizar estimaciones puntuales para la media poblacional y la proporción poblacional. tObtener intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias. t Conocer la relación entre error máximo admisible, nivel de confianza y tamaño muestral, para
calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza. t Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando intervalos de confianza
e interpretar correctamente el resultado obtenido.
t Realizar contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la media, para la proporción, y para la diferencia de medias.
t Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando contrastes de hipótesis e interpretar correctamente el resultado obtenido.
CONTENIDOS
Conceptos
t Estimadores puntuales: media muestral y proporción muestral. t Nivel de confianza, error máximo admisible y tamaño de la muestra en un intervalo
de confianza.
t Intervalos de confianza para la media, para la proporción y para la diferencia de medias. t Nivel de significación, hipótesis nula, hipótesis alternativa, zona de aceptación y zona
de rechazo en un contraste de hipótesis. t Contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales. t Contrastes de hipótesis para la media, la proporción y la diferencia de medias. Procedimientos
t Determinación de estimadores puntuales para la media poblacional y para la proporción poblacional.
t Cálculo de intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias. t Utilización de la relación entre error máximo admisible, nivel de confianza y tamaño muestral,
para calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza. t Realización de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la media, determinando
la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula. t Elaboración de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la proporción,
determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula. t Elaboración de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la diferencia de medias, determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula. Actitudes
t Valoración de la inferencia estadística como método de trabajo para extrapolar los resultados obtenidos de una muestra a una población.
t Interés por consultar distintas fuentes de información.
OBJETIVOS
t Determinar estimadores puntuales para la media poblacional y la proporción poblacional.
t Calcular intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias.
t Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante intervalos de confianza.
t Realizar contrastes de hipótesis para la media, la proporción y la diferencia de medias.
a-la
os
be
d,
31 El escarabajo de oro Edgar Allan Poe
A todos nos gustaría encontrar un
tesoro que resolviera nuestros problemas. A veces no sabemos exac
tamente cómo deber
ía ser. Otras veces lo sabemos , pero nos falta el plano; o t
enemos el plano , aunque las instrucciones están codificadas
. Esto último fue lo que le sucedió a L
egrand, el protagonista de El escarabajo de or
o. Ya había encontrado el pergamino junt
o a los restos de un bar co pirata, ya lo había puest
o al fuego para que el mensaje escr ito con tinta invisible saliera a la luz, per
o lo único que apareció fue la retahíla de sig
nos que v emos en el párrafo seleccionado
. Por la firma, enseguida advir
tió que este mensaje ocultaba un t
exto en inglés . Descifrarlo era el pr
ecio que debía pagar L
egrand por su t esoro. Y lo consiguió
. En este párrafo le cuenta a un amigo cómo empez
ó a desentrañar el mensaje que le llevar ía hasta el t
esoro escondido por los piratas
. Su estrat
egia inicial consistió en comparar la fr ecuencia de los sig
nos en el mensaje con la fr
ecuencia de cada letra en la lengua inglesa. El mensaje descifrado en inglés puede encontrarse en cualquier edición del r
elato y, traducido al castellano, literalment
e sería el siguiente:
«Un buen vaso en la hostería del obispo en la silla del diablo cuar
enta y un grados y trece minutos Nor
deste y desde el Norte principal rama séptimo vástago lado Este solar cuarto del ojo izquier
do de la cabeza de muerto una línea r ecta desde el árbol a través de la bala cincuenta pies hacia fuera».
Como se ve, el mensaje t odavía tiene un air
e misterioso e incompr ensible, pero ahora el problema consist
e en interpretarlo. Con imag inación, tesón y un poco de suer
te, Legrand consiguió ent
ender lo que sig nifica est
e aparente galimatías y log ró desent
errar un tesoro fabuloso. Saber cómo lo hiz
o exige t erminar de leer est
e relato, uno de los más ex
traordinarios de Edgar Allan P oe. 30 1 SOLUCIONARIO 1 SOLUCIONARIO
Una tabla numérica c omo 341 2 3
0 1 7 2 1
¤ ¦¥¥¥ ´
¶µµµ es un ejemplo de matriz. Sir ve para
codificar problemas o situaciones c
omo este: «Una empresa de autobuses tiene tr es líneas: A, B y C. El lunes salier
on 4 autobuses en la línea
A, 5 en B y 3 en
C. El martes salieron 1 en
A, 7 en B y 3 en C. El miércoles, 4 en
A, 5 en B y 6 en
C. Representa en forma de matriz el tráfic
o de esta empr esa en los tr
es días».
45 3 1 7 3 45 6
¤ ¦ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ´ ¶ µµµ µµµ µ
En la matriz, las filas r
epresentan los días de la semana, y las columnas cada una de las líneas de aut
obús.
LITERATURA Y MATEMÁTICAS El escarabajo de oro [Junto a los r
estos de un bar co pirata, el pr
otagonista encontr ó un pergamino con un mensaje lleno de signos: ( 5 3 oo 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4
o . ) 4 o ) ; 8 0 6 * ; 4 8
8 P 6 … Sospechó q
ue indicaría la posición de un tesor o y se puso a desci-frarlo.]
Conté todos los signos y formé esta tabla.
Signo
8;4o)*56(1 0 9 2 :
3 ¿P-.
Frecuencia
33 26 19 1616 13 12 11 11 8 8 6 55 4 4 3 2
1 1 La letra más fr
ecuente en un texto inglés es la
e. Después, la serie es la siguiente: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z
. La e predomina has -ta el punto de que es rar
o hallar una frase de alguna longitud de la que no sea el carácter principal. Como el signo pr
edominante es el
8, em-pezaremos por asignárselo a la
e del alfabeto natural. […] Ahora, de todas las palabras,
the es la más usual; por tanto, debemos ver si está repetida una combinación de tr
es signos, siendo el último de ellos el
8. […] Hay nada menos que siete combinaciones de los signos
; 4 8. Podemos, por tanto, suponer que
; representa t, 4 representa h, y 8
representa e. Acabamos de fijar una sola palabra; per
o ésta nos permite también des -cubrir algunos comienzos y finales de otras. V
eamos, por ejemplo, el penúltimo caso en que apar
ece la combinación
;48 casi al término del mensaje. Sabemos que el
; que viene inmediatamente después es el co-mienzo de una palabra, y de los seis signos que siguen a ese
the, cono-cemos, por lo menos, cinco. Sustituyamos, pues, esos signos por las letras que r
epresentan, dejando un espacio para el desconocido:
t_eeth.
Probamos con el alfabeto completo para encontrar una letra que se pueda adaptar a este hueco dando una palabra con sentido. V
emos que no existe. Por lo tanto debemos desechar el grupo
th como parte de esta palabra. Reduzcamos, pues, los signos a
t_ee. Utilizando el alfabeto, si es pr
eciso, como antes, llegamos a la palabra
tree (árbol), como la única inteligible. Obtenemos así otra letra, la
r
representada por (.
EDGAR ALLAN POE
Números reales
1
Matrices32 Matrices 33 1 SOLUCIONARIO ACTIVIDADES
001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones.
t Su dimensión sea 3 r2.
t a32a21a111
t a22a12a312 La matriz es:
1 2 1 2 2 1 ¤ ¦ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ´ ¶ µµµ µµµµ
002 Se venden listones con dos calidades y de dos longitudes. Los listones grandes de baja calidad cuestan 0,75 y 1 los de alta, mientras que los listones pequeños de baja calidad cuestan 0,45 y 0,60 los de alta. Anota estos datos en forma de matriz.
La matriz será de dimensión 2 r 2. Las filas indican la calidad; las columnas, el tamaño, y los elementos de la matriz, el precio. 0 45 0 75
0 60 1 , , , ¤ ¦ ¥¥ ¥ ´ ¶µµµµ
003 Halla el valor de cada incógnita para que las dos matrices sean iguales. x
z x z y y y ¤ ¦ ¥¥ ¥ ´ ¶µµµµ ¤ ¦ ¥¥ ¥ ´ ¶ µ
1 3 0 1 2 1
2 1 0 2 3 µµµµ Para que las matrices sean iguales deben tener la misma dimensión y ser iguales todos sus elementos.
Las dos matrices son de dimensión 2 r 3. x 1 2 → x 1 z 1 y 2 → zy 1 → z 3 3 y 1 → y 2 x 2 3 → x 1 0 0 z 1 y → z 1 2 3 La solución es x 1, y 2 y z 3. 004 Escribe un ejemplo de las siguientes matrices.
a) Una matriz fila con cuatro columnas. b) Una matriz columna con cuatro filas. c) Una matriz cuadrada de orden 4.
Respuesta abierta. Por ejemplo: a) A (1 3 1 0) b) B
¤ ¦ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥¥ ´ ¶ µµµ µµµ µµµ µµ 1 2 4 1 c) C
¤ ¦ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥ ´ ¶ µµµ µµµ µµµ µ 1 234 02 31 5 220 1 1 1 1µµ
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
001 Resuelve estos sistemas. a)x x x y y y z z z 2 2 3 3 2 0 4 4 º » ¼ b) º » ¼ 2 1 2 3 0 5 7
3 3
3
y z x y z x y z
a)x x x y y y z z z x 2 2 3 3 2 0 4 4 º » ¼ }}}m º » ¼
yz y z yz y z y z
32 3 2 4
33 2 4 ( ) m º » ¼
47 4 4 4 6 0 0 7 y z y z z z m
4yz 4 ⎯⎯→ z 0
y1 xy 3z 0 ⎯⎯⎯⎯→y1, z 0x 1 La solución del sistema es x 1, y1 y z 0. b) 2 2 5 3 1 0 7 2 x x y y y z z zy
º » ¼
}}}m112 3 2 10 5 7
25 3 5 xy y
x y x y x y º » ¼ ( ) m º » ¼ 7 10 x x5y7x y 17
5
10
}}m
z y z
y
21 34 51 39 5 17 5 } }m
La solución del sistema es x10, y 17z 5
39 5 y . 002 Resuelve estos sistemas.
a) º » ¼ x y x y x y 2 0 2 5 2 3 1
2
b)x y x y x y x y º » ¼ 4 4 0 2 3 3 4 1 2 3
a) º » ¼ º » ¼ x y x y x y xy 2 0 2 5 2 2 5
2 m }}mm m
xy
y y y
24 5 1
y 1 ⎯⎯→y 2yx 2 2 x 3y 1 ⎯⎯⎯→ 4 x 2, y 1
3 1. En este caso, la solución del sistema es válida. b) º » ¼ x y x y x x y
0 2 3 3 3m 1m 1 3x 4y1 ⎯⎯⎯→ 3 x 1, y 1
4 1 x 2y3 ⎯⎯⎯→ x 1, y 11 2 3 En este caso, la solución del sistema es válida.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles
como una materia esencialmente procedimental, recogemos en
este material la
resolución de todos los ejercicios y problemas
formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta
resolu-ción no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como
una propuesta didáctica para enfocar la adquisición de los
distin-tos concepdistin-tos y procedimiendistin-tos que se presentan en el libro del
alumno.
Unidad 1
Matrices
6
Unidad 2
Determinantes
8
Unidad 3
Sistemas de ecuaciones lineales
10
Unidad 4
Programación lineal
12
Unidad 5
Límites y continuidad
14
Unidad 6
Derivada de una función
16
Unidad 7
Aplicaciones de las derivadas
18
Unidad 8
Representación de funciones
20
Unidad 9
Integrales
22
Unidad 10
Probabilidad
24
Unidad 11
Muestreo. Distribuciones muestrales
26
Unidad 12
Inferencia estadística. Estimación
28
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
Unidad 1
Matrices
30
Unidad 2
Determinantes
78
Unidad 3
Sistemas de ecuaciones lineales
128
Unidad 4
Programación
lineal
188
Unidad 5
Límites y continuidad
246
Unidad 6
Derivada de una función
298
Unidad 7
Aplicaciones de las derivadas
336
Unidad 8
Representación de funciones
388
Unidad 9
Integrales
486
Unidad 10
Probabilidad
540
Unidad 11
Muestreo. Distribuciones muestrales
584
1
• U
• D
• I
• C
• R
• C
• C
CONTENIDOS
Conceptos
• Elementos de una matriz. Clasificación de matrices.
• Operaciones con matrices:
– Suma y resta de matrices. Propiedades.
– Producto de una matriz por un número. Propiedades. – Producto de matrices. Propiedades.
• Matriz traspuesta. Matriz simétrica y antisimétrica.
• Rango de una matriz. Método de Gauss.
• Matriz inversa. Método de Gauss-Jordan.
Procedimientos
• Utilización de los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal, e identificación y utilización de los distintos tipos de matrices.
• Determinación de la igualdad de dos matrices y cálculo de la matriz traspuesta.
• Realización de sumas y productos de matrices (cuando sea posible) y de multiplicaciones de una matriz por un número.
• Cálculo del rango de una matriz utilizando el método de Gauss.
• Cálculo de la matriz inversa mediante su definición.
• Cálculo de la matriz inversa utilizando el método de Gauss-Jordan.
Actitudes
• Valoración de la utilidad de las matrices en distintos contextos reales.
• Gusto por la resolución ordenada de operaciones con matrices.
• Sensibilidad ante la necesidad de realizar cuidadosamente los cálculos con matrices.
OBJETIVOS
• Identificar los elementos de una matriz y clasificarla atendiendo a distintos criterios.
• Obtener la matriz traspuesta de una matriz dada.
• Calcular la matriz suma de dos o más matrices del mismo orden.
• Hallar, en los casos en que sea posible, el producto de dos o más matrices, así como las potencias de distintos órdenes de una matriz cuadrada.
• Determinar el rango de una matriz utilizando el método de Gauss.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensión y diagonal principal.
• Determinar la igualdad de dos matrices.
• Identificar los distintos tipos de matrices.
• Calcular la matriz traspuesta de una dada.
• Realizar sumas, productos de matrices y multiplicaciones de una matriz por un número.
• Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.
2
• C
• A
• A
• O d
• D
• D
• O
• D
• C
CONTENIDOS
Conceptos
• Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus.
• Menor complementario y adjunto.
• Rango de una matriz.
• Matriz adjunta de una matriz dada.
Procedimientos
• Cálculo del valor de un determinante de orden 2.
• Aplicación de la regla de Sarrus para obtener el valor del determinante asociado a una matriz cuadrada de orden 3.
• Utilización de las propiedades para simplificar el cálculo de determinantes.
• Obtención del menor complementario y del adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada.
• Desarrollo de un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea.
• Determinación de todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada.
• Obtención del rango de una matriz, hallando el orden de su mayor menor no nulo.
• Obtención de la matriz adjunta de una matriz.
• Cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada dada, obteniendo la matriz traspuesta de su matriz adjunta y dividiéndola por el valor del determinante.
OBJETIVOS
• Reconocer el significado del determinante de una matriz cuadrada.
• Obtener los valores numéricos de determinantes de orden 2 y de orden 3, aplicando la regla de Sarrus.
• Utilizar las propiedades de los determinantes para simplificar su cálculo.
• Calcular el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada.
• Obtener el valor de un determinante mediante el desarrollo por los elementos de una fila o de una columna.
• Aplicar los determinantes para obtener el rango de una matriz.
• Utilizar los determinantes para decidir si una matriz tiene inversa y, en caso afirmativo, calcularla.
Ac
• C c
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Calcular el valor de un determinante de orden 2.
• Aplicar la regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de orden 3.
• Aplicar las propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos.
• Obtener el menor complementario y el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz cuadrada.
• Desarrollar un determinante por los adjuntos de los elementos de una línea.
• Determinar todos los menores de un orden dado de una matriz cuadrada.
• Obtener el rango de una matriz.
• Determinar la matriz adjunta de una matriz dada.
• Calcular la matriz inversa de una matriz dada.
Actitudes
• Curiosidad e interés por la resolución de problemas que impliquen cálculos con determinantes, confiando en las propias capacidades para resolverlos.
3
• A
• O
•
• A
•
•
•
•
•
•
CONTENIDOS
OBJETIVOS
• Resolver sistemas mediante su transformación en sistemas escalonados.
• Analizar, discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
• Expresar sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices.
• Analizar la compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius.
• Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados.
• Discutir la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
• Analizar, discutir y resolver sistemas de tres ecuaciones dependientes de parámetros.
• Discutir y resolver sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
• Plantear y resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales.
Ac
• V y
• V
• C
Conceptos
• Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones escalonados.
• Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
• Teorema de Rouché-Fröbenius.
• Regla de Cramer.
• Sistemas homogéneos.
• Sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
• Sistemas dependientes de un parámetro.
Procedimientos
• Transformación de un sistema en otro equivalente escalonado y resolución del mismo.
• Aplicación del método de Gauss a la resolución y discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
• Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones que tengan distinto número de ecuaciones que de incógnitas.
• Resolución de sistemas por métodos matriciales, mediante la matriz inversa.
• Discusión y clasificación de sistemas de ecuaciones, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, a partir del rango de la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.
• Utilización de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante distinto de cero.
• Discusión y resolución de sistemas lineales homogéneos.
• Discusión y resolución de sistemas dependientes de parámetros.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Aplicar correctamente el lenguaje algebraico para expresar situaciones de la vida cotidiana.
• Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos.
• Resolver un sistema de ecuaciones mediante su transformación en sistemas escalonados.
• Aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas.
• Resolver sistemas de ecuaciones mediante métodos matriciales.
• Discutir y clasificar sistemas de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius.
• Utilizar correctamente la regla de Cramer.
• Discutir y resolver sistemas de ecuaciones homogéneos.
• Discutir y resolver sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros.
• Plantear y resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones lineales.
Actitudes
• Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.
• Valoración de la necesidad de interpretación crítica de las soluciones obtenidas.
• Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.
4
•
•
•
•
•
v
•
• V
• A
•
•
CONTENIDOS
Conceptos
• Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.
• Regiones del plano determinadas por inecuaciones.
• Programación lineal.
• Métodos de resolución.
• Tipos de soluciones.
• Problema de la producción.
• Problema de la dieta.
• Problema del transporte.
Procedimientos
• Resolución de una inecuación lineal o un sistema de inecuaciones lineales con dos variables, representando las regiones asociadas en el plano y determinando la región factible.
• Reconocimiento de la presencia de problemas de programación lineal en la realidad, obtención de la correspondiente función objetivo, representación de la región factible y determinación de los vértices de la región factible.
• Resolución de problemas de programación mediante el método algebraico, determinando todos los vértices de la región factible y analizando el valor de la función objetivo en cada uno de ellos.
• Resolución de problemas utilizando el método gráfico representando rectas paralelas a la función objetivo y determinando cuál de ellas maximiza o minimiza dicha función.
• Análisis de las soluciones de un problema de programación.
• Planteamiento y resolución de problemas reales de producción, dieta y transporte mediante programación lineal, utilizando los métodos algebraico y/o gráfico, y analizando las soluciones obtenidas.
OBJETIVOS
• Plantear problemas de programación lineal, definiendo las variables y escribiendo el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.
• Representar gráficamente el recinto de restricciones de un problema y determinar la región factible.
• Hallar las soluciones de un problema de programación lineal utilizando métodos algebraicos y gráficos.
• Analizar las soluciones de un problema de programación lineal y determinar si existe solución óptima, y si existe, si es única.
• Aplicar la programación lineal a la resolución de problemas reales: producción, dieta y transporte.
Ac
• C
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Representar las regiones del plano determinadas por rectas.
• Resolver una inecuación lineal con dos variables.
• Resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos variables y determinar su región factible.
• Plantear un problema de programación lineal, obtener la función objetivo, determinar
las restricciones de las variables, representar la región factible y determinar los puntos extremos.
• Resolver un problema de programación lineal algebraicamente mediante el estudio de los vértices de su región factible.
• Resolver un problema de programación lineal gráficamente determinando la recta paralela a la función objetivo que maximiza o minimiza el problema.
• Verificar que en un problema de programación lineal coincide la solución hallada algebraicamente con la determinada gráficamente.
• Analizar las soluciones de un problema de programación lineal con dos variables.
• Determinar si existe o no la solución óptima de un problema de programación lineal.
• Plantear, resolver y analizar varios problemas de la producción, la dieta y el transporte.
os s.
es
Actitudes
• Curiosidad para abordar matemáticamente situaciones cotidianas.
5
• C
• A
•
• C
•
•
•
•
CONTENIDOS
Conceptos
• Límite de una función en el infinito.
• Operaciones con límites.
• Límites infinitos y en el infinito. Indeterminaciones.
• Límites laterales.
• Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
• Tipos de discontinuidades.
Procedimientos
• Determinación, si existe, del límite de una función en un punto de manera aproximada y de forma exacta.
• Cálculo del límite de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, y del producto de un número por una función.
• Límite de funciones potenciales, exponenciales y racionales.
• Obtención de los límites laterales de una función en un punto.
• Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites.
• Análisis de la continuidad de una función en un punto, verificando si se cumple que los dos límites laterales son iguales al valor de la función en ese punto.
• Evaluación de la continuidad de una función en un intervalo.
• Estudio de las discontinuidades de una función, determinando de qué tipo son.
Actitudes
• Reconocimiento de la utilidad del estudio de los límites y la continuidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo científico.
OBJETIVOS
• Determinar el valor del límite de una función en el infinito.
• Aplicar las operaciones con límite: suma, diferencia, producto y cociente, en la resolución de límites.
• Determinar el límite de una función en un punto y obtener sus límites laterales.
• Resolver indeterminaciones de distinto tipo a la hora del cálculo de límites.
• Analizar la continuidad de una función en un punto, verificando si los límites laterales son iguales al valor que toma la función en ese punto.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Calcular el límite, si existe, de una función en el infinito.
• Aplicar las operaciones con límites para resolver límites de funciones.
• Determinar el límite de una función en un punto.
• Calcular los límites laterales de una función en un punto.
• Resolver indeterminaciones de los tipos:
`
`
,`
−`
, 1` y0 0.
• Estudiar la continuidad de una función en un punto.
• Estudiar la continuidad de una función en un intervalo.
6
•
•
• A
• O
• C
• C d
CONTENIDOS
Conceptos
• Tasa de variación media.
• Derivada de una función en un punto.
• Derivadas laterales.
• Continuidad y derivabilidad.
• Función derivada.
• Derivada de la suma y de la diferencia de funciones.
• Derivada del producto y cociente de funciones.
• Regla de la cadena.
Procedimientos
• Obtención de la función derivada y de las derivadas sucesivas de una función.
• Cálculo de las derivadas laterales de una función en un punto.
• Análisis de la continuidad y derivabilidad de una función en un punto a partir de las relaciones entre ambas.
• Deducción y aplicación de las reglas de derivación para obtener la derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones.
• Utilización de la regla de la cadena para obtener la función derivada de distintas funciones compuestas.
OBJETIVOS
• Utilizar la tasa de variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana.
• Obtener la derivada de una función en un punto y sus derivadas laterales.
• Analizar la continuidad y derivabilidad de una función en un punto, teniendo en cuenta las relaciones entre ambas.
• Calcular derivadas sucesivas.
• Calcular derivadas usando las reglas de derivación.
• Obtener derivadas de operaciones con funciones.
• Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta.
• Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera.
Ac
•
• V
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Hallar la tasa de variación media de una función en un intervalo.
• Determinar la derivada de una función en un punto, y sus derivadas laterales.
• Analizar la continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
• Obtener la función derivada de una función elemental.
• Calcular derivadas sucesivas de una función.
• Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.
es
Actitudes
• Reconocimiento de la utilidad del estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones en los distintos contextos del desarrollo científico.
• Valoración del lenguaje gráfico a la hora de tratar la información.
7
•
• O
•
• O
•
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•
CONTENIDOS
Conceptos
• Interpretación geométrica de la derivada.
• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
• Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
• Optimización.
Procedimientos
• Interpretación geométrica de la derivada.
• Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera.
• Obtención de los puntos críticos de una función y de sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda.
• Determinación de los intervalos de convexidad y concavidad de una función, y de sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda.
• Resolución de problemas reales de optimización de funciones.
Actitudes
• Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real.
• Gusto por la presentación clara y ordenada de los desarrollos necesarios en el cálculo de derivadas.
OBJETIVOS
• Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto.
• Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera.
• Obtener los máximos y los mínimos de una función a partir de sus derivadas primera y segunda.
• Determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una función, así como sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda.
• Conocer los pasos que hay que seguir para optimizar una función dada.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.
• Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.
• Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
• Obtener los máximos y los mínimos de una función.
• Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función.
• Hallar los puntos de inflexión de una función.
• Resolver problemas reales de optimización de funciones: maximizar y minimizar.
8
•
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• C r
•
• O
•
•
•
CONTENIDOS
Conceptos
• Dominio y puntos de corte con los ejes.
• Simetrías.
• Periodicidad.
• Ramas infinitas. Asíntotas.
• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
• Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión.
• Funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos.
Procedimientos
• Obtención del dominio y puntos de corte con los ejes de una función dada.
• Estudio de las simetrías de una función.
• Determinación del período de una función periódica.
• Cálculo de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función.
• Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera.
• Obtención de los puntos críticos de una función y de sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda.
• Determinación de los intervalos de convexidad y concavidad de una función, y de sus puntos de inflexión, mediante el estudio de su derivada segunda.
• Representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos utilizando todos los elementos anteriores.
OBJETIVOS
• Obtener el dominio y puntos de corte con los ejes de una función.
• Determinar si una función es simétrica.
• Estudiar si una función es periódica y, en caso de que lo sea, calcular su período.
• Determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
• Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos a partir del estudio de la derivada primera.
• Calcular los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión a partir del estudio de la derivada segunda.
• Representar gráficamente una función.
Ac
•
y
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Hallar el dominio, las simetrías y los puntos de corte con los ejes de una función.
• Determinar si una función es periódica.
• Calcular las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función, y determinar la posición relativa de la gráfica de una función respecto a ellas.
• Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
• Obtener los máximos y los mínimos de una función.
• Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función.
• Hallar los puntos de inflexión de una función.
• Representar gráficamente una función a partir del estudio de sus propiedades.
s
Actitudes
• Reconocimiento de la utilidad del lenguaje gráfico como medio para el estudio y comprensión de fenómenos de la vida real.
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• C
•
•
e
•
• C c
•
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•
CONTENIDOS
Conceptos
• Función primitiva.
• Integral indefinida. Propiedades.
• Integral definida. Propiedades.
• Cálculo de áreas mediante integrales definidas.
Procedimientos
• Obtención de integrales mediante el cálculo de una de sus primitivas.
• Cálculo de integrales de funciones elementales.
• Aplicación de las propiedades de linealidad y aditividad de las integrales para resolver problemas en distintos contextos.
• Utilización de la regla de Barrow en el cálculo de integrales entre dos puntos.
• Uso de la integral para el cálculo de áreas de regiones comprendidas entre una curva y el eje X, tanto por encima como por debajo de este.
• Utilización de la integral para hallar áreas comprendidas entre dos curvas.
Actitudes
• Valoración de la utilidad de la integración en numerosos contextos reales.
• Interés por las aplicaciones reales de la integral.
• Cuidado al resolver integrales por métodos numéricos.
OBJETIVOS
• Establecer la relación existente entre integración y derivación, introduciendo el concepto de primitiva de una función y reconociendo sus propiedades.
• Utilizar métodos elementales de cálculo de primitivas.
• Aplicar la regla de Barrow para calcular integrales definidas.
• Interpretar la integral definida de una función como el área encerrada por su gráfica y el eje X.
• Utilizar la integral definida para determinar áreas de recintos planos limitados por funciones y el eje X.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Determinar una primitiva de una función.
• Comprender, utilizar y conocer la tabla de integrales elementales.
• Identificar el mejor método para resolver una integral y aplicarlo adecuadamente.
• Resolver diferentes problemas mediante las propiedades de las integrales y aplicando el teorema fundamental del cálculo.
• Utilizar la regla de Barrow para resolver integrales definidas entre dos puntos.
• Calcular áreas de regiones comprendidas entre una curva y el eje X, tanto por encima como por debajo de este.
• Determinar, mediante integrales, el área comprendida entre dos curvas.
• Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función.
• Hallar los puntos de inflexión de una función.
• Representar gráficamente una función a partir del estudio de sus propiedades.
10
CONTENIDOS
Conceptos
• Métodos de conteo: variaciones, permutaciones y combinaciones.
• Espacio muestral. Suceso. Operaciones con sucesos. Propiedades.
• Probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada.
• Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes.
• Probabilidad total. Probabilidades «a posteriori». Teorema de Bayes.
Procedimientos
• Reconocimiento de los contextos problemáticos donde aparezcan variaciones y combinaciones, distinguiendo si son con o sin repetición, y realización de los cálculos oportunos para obtener el número total de grupos que se pueden formar.
• Obtención del espacio muestral de un experimento aleatorio, de los sucesos seguro e imposible y del suceso complementario a uno dado. Realización de operaciones con sucesos.
• Utilización de la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.
• Resolución de problemas de probabilidad condicionada.
• Reconocimiento y resolución de problemas de probabilidad compuesta, y determinación de la dependencia o independencia de dos sucesos.
• Obtención de la probabilidad total de un suceso.
• Reconocimiento y uso de las probabilidades «a posteriori».
• Utilización del teorema de Bayes en la resolución de problemas.
OBJETIVOS
• Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones.
• Identificar en un experimento aleatorio: espacio muestral, suceso, suceso seguro y suceso imposible.
• Realizar operaciones con sucesos mediante sus propiedades.
• Reconocer y utilizar la probabilidad y sus propiedades.
• Calcular probabilidades de forma experimental o usando la regla de Laplace.
• Resolver problemas de probabilidad condicionada.
• Reconocer problemas de probabilidad compuesta, distinguiendo si los sucesos son dependientes o independientes, y resolverlos.
• Determinar la probabilidad de un suceso, aplicando el teorema de probabilidad total.
• Aplicar el teorema de Bayes en la resolución de problemas donde aparezcan probabilidades «a posteriori».
• A d
• E d
• D
• R
• U e
• H
• D
• R
• D
• C d
• R
• U
Ac
• V
s.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Aplicar el concepto de variación y permutación para realizar cálculos y obtener el número total de grupos que se pueden formar.
• Emplear las fórmulas de las combinaciones y los números combinatorios para la resolución de problemas.
• Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.
• Realizar operaciones con sucesos, utilizando sus propiedades.
• Usar la definición de probabilidad y calcular probabilidades con la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.
• Hallar probabilidades de forma experimental.
• Distinguir y resolver problemas de probabilidad condicionada.
• Reconocer y resolver problemas de probabilidad compuesta.
• Determinar la dependencia o independencia de dos sucesos.
• Calcular la probabilidad total de un suceso, utilizando diagramas de sucesos y diagramas de árbol.
• Reconocer y usar las probabilidades «a posteriori».
• Utilizar el teorema de Bayes en la resolución de problemas.
Actitudes
• Valoración de la presencia de la probabilidad en la vida cotidiana.
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•
•
•
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o
•
• O
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•
•
•
c
•
• A
• C m
CONTENIDOS
Conceptos
• Población y muestra.
• Tipos de muestreo: aleatorio simple, sistemático, estratificado y por conglomerados.
• Distribución binomial. Media y varianza.
• Distribución normal. Campana de Gauss. Tabla N(0, 1).
• Tipificación de la normal. Aproximación de la binomial por la normal.
• Teorema central del límite.
• Distribución de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias muestrales.
Procedimientos
• Reconocimiento de los conceptos de población y muestra y de las limitaciones del muestreo, y discusión sobre la validez de una muestra.
• Realización de muestreos aleatorios simples.
OBJETIVOS
• Distinguir entre población y muestra.
• Seleccionar una muestra utilizando un muestreo aleatorio simple o sistemático.
• Extraer muestras de una población utilizando un muestreo aleatorio sistemático.
• Determinar las muestras en un muestreo aleatorio estratificado con afijación igual o con afijación proporcional.
• Aplicar las técnicas de muestreo por conglomerados en una población.
• Determinar la función de distribución binomial y reconocer el significado de sus parámetros.
• Interpretar el significado de la campana de Gauss y del área limitada por la curva de su función de densidad.
• Tipificar un valor de una variable aleatoria que sigue una distribución normal.
• Aplicar la tabla N(0, 1) en el cálculo de probabilidades de una variable que sigue una distribución normal.
• Asignar probabilidades a sucesos utilizando la distribución binomial y normal.
• Aproximar una distribución binomial mediante una normal.
• Relacionar la media y la varianza de una población con la media y varianza de la variable de todas las medias muestrales de igual tamaño.
• Reconocer las distribuciones de las medias muestrales, de las proporciones muestrales y de la diferencia de medias muestrales.
• Aplicar las distribuciones de las medias, de las proporciones y de la diferencia de medias muestrales a la obtención de probabilidades.
• O y
• E d
• R d
• C
• U
• A e
• C y
Ac
• V e
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Entender los conceptos de población y muestra.
• Elegir correctamente una muestra válida de una población.
• Distinguir entre los distintos tipos de muestreo.
• Elegir el tipo de muestreo que mejor se adapta a las características de la población para obtener una muestra significativa.
• Realizar muestreos aleatorios simples.
• Obtener muestras mediante un muestreo aleatorio sistemático.
• Elaborar muestreos estratificados, de afijación igual o proporcional.
• Determinar el tamaño de la muestra al realizar un muestreo estratificado.
• Realizar muestreos por conglomerados, extrayendo la muestra correspondiente.
• Identificar la distribución binomial y el valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, calcular probabilidades usando las tablas, y obtener el valor de su media y su varianza.
• Reconocer la distribución normal y el valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretar la campana de Gauss, manejar la tabla N(0, 1) y hallar probabilidades mediante la tipificación.
• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.
• Calcular probabilidades para los valores de las medias, proporciones y diferencia de medias muestrales.
,
• Obtención de muestras mediante muestreo aleatorio sistemático, a partir de un número origen y del coeficiente de elevación.
• Elaboración de muestreos estratificados de afijación igual o de afijación proporcional, determinando cuál es el más adecuado para cada caso.
• Realización de muestreos por conglomerados, eligiendo estos y extrayendo en cada uno de ellos la muestra correspondiente.
• Cálculo de probabilidades de sucesos utilizando la distribución binomial.
• Utilización de la tipificación y de la tabla N(0, 1) para calcular distintas probabilidades.
• Aproximación de una distribución binomial por una normal, reconociendo los casos en los que es posible y las características de la distribución normal a la que se aproxima.
• Conocimiento de la distribución de las medias, proporciones y diferencia de medias muestrales y cálculo de distintas probabilidades para los valores de dichas distribuciones.
Actitudes
• Valoración de la presencia de distribuciones de probabilidad relacionadas con muestras en la vida real.
12
•
• O
• C c
•
e
•
y
•
e
CONTENIDOS
Conceptos
• Estimadores puntuales: media muestral y proporción muestral.
• Nivel de confianza, error máximo admisible y tamaño de la muestra en un intervalo de confianza.
• Intervalos de confianza para la media, para la proporción y para la diferencia de medias.
• Nivel de significación, hipótesis nula, hipótesis alternativa, zona de aceptación y zona de rechazo en un contraste de hipótesis.
• Contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales.
• Contrastes de hipótesis para la media, la proporción y la diferencia de medias.
Procedimientos
• Determinación de estimadores puntuales para la media poblacional y para la proporción poblacional.
• Cálculo de intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias.
• Utilización de la relación entre error máximo admisible, nivel de confianza y tamaño muestral, para calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza.
• Realización de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la media, determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula.
• Elaboración de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la proporción,
determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula.
• Elaboración de contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la diferencia de medias, determinando la zona de aceptación y dando reglas para aceptar o rechazar la hipótesis nula.
Actitudes
• Valoración de la inferencia estadística como método de trabajo para extrapolar los resultados obtenidos de una muestra a una población.
• Interés por consultar distintas fuentes de información.
OBJETIVOS
• Determinar estimadores puntuales para la media poblacional y la proporción poblacional.
• Calcular intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias.
• Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante intervalos de confianza.
• Realizar contrastes de hipótesis para la media, la proporción y la diferencia de medias.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
• Realizar estimaciones puntuales para la media poblacional y la proporción poblacional.
• Obtener intervalos de confianza para la media, la proporción y la diferencia de medias.
• Conocer la relación entre error máximo admisible, nivel de confianza y tamaño muestral, para calcular uno de ellos conocidos los otros dos, en intervalos de confianza.
• Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando intervalos de confianza e interpretar correctamente el resultado obtenido.
• Realizar contrastes de hipótesis bilaterales y unilaterales para la media, para la proporción, y para la diferencia de medias.
• Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizando contrastes de hipótesis e interpretar correctamente el resultado obtenido.
,
.
El escarabajo de oro
Edgar Allan Poe
A todos nos gustaría encontrar un tesoro que resolviera
nuestros problemas. A veces no sabemos exactamente cómo debería ser. Otras veces lo sabemos, pero nos falta el plano; o tenemos el plano, aunque las instrucciones están codificadas. Esto último fue lo que le sucedió a Legrand, el protagonista de El escarabajo de oro. Ya había encontrado el pergamino junto a los restos de un barco pirata, ya lo había puesto al fuego para que el mensaje escrito con tinta invisible saliera a la luz, pero lo único que apareció fue la retahíla de signos que vemos en el párrafo seleccionado.
Por la firma, enseguida advirtió que este mensaje ocultaba un texto en inglés. Descifrarlo era el precio
que debía pagar Legrand por su tesoro. Y lo consiguió. En este párrafo le cuenta a un amigo cómo empezó a desentrañar el mensaje que le llevaría hasta el tesoro escondido
por los piratas. Su estrategia inicial consistió en comparar la frecuencia de los signos en el mensaje con la frecuencia de cada letra en la lengua inglesa. El mensaje descifrado en inglés puede encontrarse en cualquier edición del relato y, traducido al castellano, literalmente sería el siguiente:
«Un buen vaso en la hostería del obispo en la silla del diablo cuarenta y un grados y trece minutos Nordeste y desde el Norte principal rama séptimo vástago lado Este solar cuarto del ojo izquierdo de la cabeza de muerto una línea recta desde el árbol a través de la bala cincuenta pies hacia fuera».
Como se ve, el mensaje todavía tiene un aire misterioso e incomprensible, pero ahora el problema consiste en interpretarlo. Con imaginación, tesón y un poco de suerte, Legrand consiguió entender lo que significa este aparente galimatías y logró desenterrar un tesoro fabuloso. Saber cómo lo hizo exige terminar de leer este relato,
uno de los más extraordinarios de Edgar Allan Poe.
LITER ATUR A Y MATEMÁTIC AS
El escarabajo de oro
[Junto a los restos de un barco pirata, el protagonista encontró un pergamino con un mensaje lleno de signos:
( 5 3 ±±+ 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 ± . ) 4 ± ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 π 6 …
Sospechó que indicaría la posición de un tesoro y se puso a desci- frarlo.]
Conté todos los signos y formé esta tabla.
Signo 8 ; 4 ± ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 ¿ π - .
Frecuencia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1
La letra más frecuente en un texto inglés es la e. Después, la serie es la
siguiente: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina
has-ta el punto de que es raro hallar una frase de alguna longitud de la que
no sea el carácter principal. Como el signo predominante es el 8,
em-pezaremos por asignárselo a la e del alfabeto natural. […] Ahora, de
todas las palabras, the es la más usual; por tanto, debemos ver si está
repetida una combinación de tres signos, siendo el último de ellos el
8. […] Hay nada menos que siete combinaciones de los signos ; 4 8.
Podemos, por tanto, suponer que ; representa t, 4 representa h, y 8
representa e.
Acabamos de fijar una sola palabra; pero ésta nos permite también des-cubrir algunos comienzos y finales de otras. Veamos, por ejemplo, el
penúltimo caso en que aparece la combinación ;48 casi al término del
mensaje. Sabemos que el ; que viene inmediatamente después es el
co-mienzo de una palabra, y de los seis signos que siguen a ese the,
cono-cemos, por lo menos, cinco. Sustituyamos, pues, esos signos por las letras que representan, dejando un espacio para el desconocido:
t_eeth.
Probamos con el alfabeto completo para encontrar una letra que se pueda adaptar a este hueco dando una palabra con sentido. Vemos que
no existe. Por lo tanto debemos desechar el grupo th como parte de
esta palabra. Reduzcamos, pues, los signos a t_ee.
Utilizando el alfabeto, si es preciso, como antes, llegamos a la palabra
tree (árbol), como la única inteligible. Obtenemos así otra letra, la r
representada por (.
Edgar allan PoE
El escarabajo de oro
Edgar Allan Poe
A todos nos gustaría encontrar un tesoro que resolviera
nuestros problemas. A veces no sabemos exactamente cómo debería ser. Otras veces lo sabemos, pero nos falta el plano; o tenemos el plano, aunque las instrucciones están codificadas. Esto último fue lo que le sucedió a Legrand, el protagonista de El escarabajo de oro. Ya había encontrado el pergamino junto a los restos de un barco pirata, ya lo había puesto al fuego para que el mensaje escrito con tinta invisible saliera a la luz, pero lo único que apareció fue la retahíla de signos que vemos en el párrafo seleccionado.
Por la firma, enseguida advirtió que este mensaje ocultaba un texto en inglés. Descifrarlo era el precio
que debía pagar Legrand por su tesoro. Y lo consiguió. En este párrafo le cuenta a un amigo cómo empezó a desentrañar el mensaje que le llevaría hasta el tesoro escondido
por los piratas. Su estrategia inicial consistió en comparar la frecuencia de los signos en el mensaje con la frecuencia de cada letra en la lengua inglesa. El mensaje descifrado en inglés puede encontrarse en cualquier edición del relato y, traducido al castellano, literalmente sería el siguiente:
«Un buen vaso en la hostería del obispo en la silla del diablo cuarenta y un grados y trece minutos Nordeste y desde el Norte principal rama séptimo vástago lado Este solar cuarto del ojo izquierdo de la cabeza de muerto una línea recta desde el árbol a través de la bala cincuenta pies hacia fuera».
Como se ve, el mensaje todavía tiene un aire misterioso e incomprensible, pero ahora el problema consiste en interpretarlo. Con imaginación, tesón y un poco de suerte, Legrand consiguió entender lo que significa este aparente galimatías y logró desenterrar un tesoro fabuloso. Saber cómo lo hizo exige terminar de leer este relato,
uno de los más extraordinarios de Edgar Allan Poe.
1
Solucionario
una tabla numérica como 3 4 1 2 30 1 7 2 1 es un ejemplo de matriz. Sirve para
codificar problemas o situaciones como este: «una empresa de autobuses tiene tres
líneas: A, B y C. El lunes salieron 4 autobuses en la línea A, 5 en B y 3 en C. El martes
salieron 1 en A, 7 en B y 3 en C. El miércoles, 4 en A, 5 en B y 6 en C. representa en forma
de matriz el tráfico de esta empresa en los tres días».
4 5 3 1 7 3 4 5 6
En la matriz, las filas representan los días de la semana, y las columnas cada una de las líneas de autobús.
LITER ATUR A Y MATEMÁTIC AS
El escarabajo de oro
[Junto a los restos de un barco pirata, el protagonista encontró un pergamino con un mensaje lleno de signos:
( 5 3 ±±+ 3 0 5 ) ) 6 * ; 4 8 2 6 ) 4 ± . ) 4 ± ) ; 8 0 6 * ; 4 8 + 8 π 6 …
Sospechó que indicaría la posición de un tesoro y se puso a desci- frarlo.]
Conté todos los signos y formé esta tabla.
Signo 8 ; 4 ± ) * 5 6 ( + 1 0 9 2 : 3 ¿ π - .
Frecuencia 33 26 19 16 16 13 12 11 11 8 8 6 5 5 4 4 3 2 1 1
La letra más frecuente en un texto inglés es la e. Después, la serie es la
siguiente: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. La e predomina
has-ta el punto de que es raro hallar una frase de alguna longitud de la que
no sea el carácter principal. Como el signo predominante es el 8,
em-pezaremos por asignárselo a la e del alfabeto natural. […] Ahora, de
todas las palabras, the es la más usual; por tanto, debemos ver si está
repetida una combinación de tres signos, siendo el último de ellos el
8. […] Hay nada menos que siete combinaciones de los signos ; 4 8.
Podemos, por tanto, suponer que ; representa t, 4 representa h, y 8
representa e.
Acabamos de fijar una sola palabra; pero ésta nos permite también des-cubrir algunos comienzos y finales de otras. Veamos, por ejemplo, el
penúltimo caso en que aparece la combinación ;48 casi al término del
mensaje. Sabemos que el ; que viene inmediatamente después es el
co-mienzo de una palabra, y de los seis signos que siguen a ese the,
cono-cemos, por lo menos, cinco. Sustituyamos, pues, esos signos por las letras que representan, dejando un espacio para el desconocido:
t_eeth.
Probamos con el alfabeto completo para encontrar una letra que se pueda adaptar a este hueco dando una palabra con sentido. Vemos que
no existe. Por lo tanto debemos desechar el grupo th como parte de
esta palabra. Reduzcamos, pues, los signos a t_ee.
Utilizando el alfabeto, si es preciso, como antes, llegamos a la palabra
tree (árbol), como la única inteligible. Obtenemos así otra letra, la r
representada por (.
Edgar allan PoE