Programa Probabilidad y Estadística

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN

PROGRAMA DE ESTUDIOS INGENIERÍA CIVIL

CARRERA TODAS LAS ESPECIALIDADES

MAC 00 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA T = 4 E = 2 L = 0

Requisitos Cálculo (MAC 00 10) Ciencia Básica

DICTA DEPARTAMENTO : Matemática y Ciencia de la Computación

Autor : Área de Estadística

Versión 1º / 2002 Resolución Facultad de Ingeniería

CAPACIDADES GENERALES DEL CURSO:

Al final del curso el alumno será capaz de:

1. Elaborar información cuantitativa y cualitativa, generando gráficos y tablas estadísticas adecuadas.

2. Determinar modelos probabilísticos adecuados para describir matemáticamente “Experimentos Aleatorios” reales y aplicar correctamente los principales teoremas del cálculo de probabilidades.

3. Modelar algunas características concretas de fenómenos naturales en términos de variables aleatorias continuas o discretas que siguen distribuciones conocidas.

4. Definir la distribución de probabilidad de las principales estadísticas derivadas de muestras aleatorias simples de una población infinita.

5. Reconocer los problemas de estimación de parámetros y de dócimas de hipótesis como problemas de decisión con riesgos medidos en términos de probabilidad.

6. Resolver problemas de estimación de parámetros y de docimasia de hipótesis referentes a medias, proporciones, varianza, bondad de ajuste, asociación y regresión lineal.

RESUMEN DE UNIDADES TEMÁTICAS (Teoría y Ejercicios)

UNIDAD TITULO Nº

HORAS

I Estadística Descriptiva 14

II Cálculo de Probabilidades 30

III Inferencia Estadística 32

IV Análisis de Regresión 12

Texto Guía:

MONTGOMERY, D.; RUNGER, G. (2001): Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería. Mc Graw Hill

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PRINCIPALES TEXTOS DE REFERENCIA:

1. MENDENHALL, W.; SINCICH, T. (1997): Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Prentice Hall, Hispanoamericana S.A.

2. MILLER, I; FREUND JOHNSON, R. (1992): Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Prentice Hall

3.

_{RICE JOHN A.: Mathematical Statistics and Data Análisis Duxbury Press.}

4.

_{DEVORE JAY L. (2001): Probabilidades y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 5º edición.}

International Thomson Editores.

5.

_{WALPOLE R., MYERS R., MYERS S. (1999): Probabilidades y Estadística para Ingenieros.}

Sexta edición. Prentice Hall.

Unidad I: Estadística Descriptiva (Capítulo 1 de texto guía)

Capacidades a desarrollar

1. Valorar rol de la Estadística en la Ingeniería y en la Ciencia.

2. Distinguir unidad de observación y variables incluidas en un estudio estadístico. 3. Organizar la información estadística en distribuciones de frecuencia.

4. Graficar adecuadamente la información estadística, según objetivo y tipo de variable.

5. Calcular e interpretar medidas de localización y de variabilidad en poblaciones y muestras, para datos agrupados y no agrupados.

6. Seleccionar estadísticas de localización y de variabilidad según: tipo de variable, características de la distribución de frecuencia y objetivo del estudio.

7. Realizar análisis descriptivo de información estadística.

Contenidos

1.1. Introducción - _{Rol de la Estadística en la Ingeniería y en la Ciencia.}

1.2. Estadística Descriptiva - _{Clasificación de variables.}

- _{Tablas y gráficos estadísticos.}

- _{Medidas de localización: media aritmética, mediana,}

moda, percentiles. Propiedades.

- _{Medidas de variabilidad: rango, rango intercuartílico,}

varianza, desviación estándar, coeficiente de variación. Propiedades.

Tópicos a ser evaluados

1. Clasificación de variables.

2. Construcción de tablas de distribución de frecuencia.

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Unidad II: Probabilidad y Variables Aleatorias (Capítulos 2, 3, 4 y 5)

1. Reconocer experimentos aleatorios y determinar su espacio muestral. 2. Calcular probabilidades de sucesos, utilizando propiedades y teoremas. 3. Reconocer variables aleatorias discretas y continuas.

4. Modelar mediante distribuciones de probabilidad conocidas variables aleatorias, discretas y continuas.

5. Calcular probabilidades de sucesos, esperanzas y varianzas en variables aleatorias.

6. Determinar distribuciones de probabilidad conjunta, marginal, condicional, en vectores aleatorios discretos y continuos.

7. Calcular e interpretar esperanzas conjuntas, marginales, condicionales y varianzas. 8. Reconocer variables aleatorias independientes y aplicar propiedades.

9. Calcular e interpretar covarianza y coeficiente de correlación lineal.

Contenidos

2.1. Probabilidades (Capítulo 2)

- _Experimento _aleatorio, _espacio _muestral, _eventos

(sucesos)

- _{Definiciones de probabilidad (clásica y experimental)}

- _{Axiomas de probabilidad. Propiedades.}

- _{Probabilidad condicional.}

- _{Regla de la multiplicación. Independencia. Teoremas de}

Probabilidad total y de Bayes.

2.2. Variables Aleatorias

Discretas (Capítulo 3)

- _{Funciones de probabilidad y de distribución acumulada.}

- _{Esperanza y varianza. Propiedades.}

- _{Distribuciones: Uniforme discreta, Bernoulli, Binomial,}

Geométrica, Binomial negativa, Hipergeométrica y

Poisson.

2.3. Variables Aleatorias

Continuas. (Capítulo 4)

- _{Funciones de densidad y de distribución.}

- _{Esperanza y varianza. Propiedades.}

- _{Distribuciones: Uniforme, Normal, exponencial, Gamma,}

Weibull.

2.4. Vector Aleatorio

bidimensional

(Capítulo 5, excepto 5.2, 5.4, 5.7)

- _{Distribuciones de probabilidad: conjunta, marginales,}

condicionales, para vectores aleatorios discretos y continuos.

- _{Independencia de variables aleatorias. Propiedades.}

- _{Esperanzas y Varianzas.}

- _{Covarianza y coeficiente de correlación lineal.}

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1. Experimento aleatorio, espacio muestral.

2. Probabilidad clásica y experimental, con sus propiedades. 3. Probabilidad condicional, propiedades y teoremas.

4. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas: selección de la distribución adecuada, aplicación de propiedades, cálculo de probabilidades.

5. Esperanza y varianza.

6. Distribuciones de probabilidades: conjunta, marginales, condicionales, de vectores aleatorios. 7. Esperanzas: conjunta, marginales y condicionales.

8. Varianzas: marginales y condicionales.

9. Independencia de variables aleatorias. Propiedades. 10. Covarianza y coeficiente de correlación lineal. Propiedades.

Unidad III: Inferencia Estadística (Capítulos 6, 7 y 8)

1. Definir conceptos de: muestra aleatoria, parámetro, estadística y estimador.

2. Analizar propiedades de los estimadores: insesgamiento, varianza menor y error cuadrático medio.

3. Calcular estimadores puntuales de máxima verosimilitud. 4. Reconocer la distribución de probabilidad: Ji-cuadrado, t y F.

5. Determinar distribuciones muestrales de probabilidad de:

x

_{y s}2_.

6. Calcular intervalos de confianza para: media, varianza y proporción poblacional.

7. Determinar tamaño de muestra para estimar media y proporción, en poblaciones finitas. 8. Plantear hipótesis, nivel de significación, estadística de prueba y región crítica, en una y dos

poblaciones.

9. Probar hipótesis planteadas referidas a parámetros y concluir con cierto nivel de significación. 10. Probar hipótesis respecto a la distribución de probabilidad de la población (Bondad de Ajuste) 11. Distinguir y probar hipótesis respecto a independencia y homogeneidad.

Contenidos

3.1. Estimación Puntual (Capítulo 6)

- _{Muestra aleatoria. Parámetro, estadística y estimador.}

- _{Propiedades de los estimadores.}

- _{Método de máxima verosimilitud.}

- _{Teorema del límite central.}

- _{Distribuciones: Ji-cuadrado, t, y F (uso de tablas)}

- _{Distribuciones de:}

x

_{, s}2_.

3.2. Estimación por intervalos (Capítulo 7)

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3.3. Prueba de Hipótesis (Capítulo 8)

- _{Hipótesis nula y alternativa.}

- _{Región crítica y nivel de significancia. Error tipo I y Error}

Tipo II.

- _{Prueba de hipótesis para}µ_,σ2_{, p.}

- _{Prueba de hipótesis con dos muestras independientes}

(cuociente de varianza, diferencias de medias, diferencia de proporciones).

- _{Valor p (p-value)}

- _{Prueba de hipótesis con muestras pareadas (diferencia de}

medias).

- _{Bondad de ajuste.}

- _{Pruebas de hipótesis: independencia, homogeneidad.}

1. Propiedades de estimadores.

2. Estimadores puntuales de máxima verosimilitud. 3. Distribuciones de probabilidad muestral.

4. Intervalos de confianza para µ, σ2, p.

5. Pruebas de hipótesis para µ, σ2, p.

6. Pruebas de hipótesis para: µ1 - µ2, 2

2 2 1 σ σ

; p1 - p2, a partir de dos muestras aleatorias

independientes.

7. Prueba de hipótesis para µ1 - µ2 con muestras pareadas.

8. Prueba de bondad de ajuste (ji-cuadrado)

9. Pruebas de hipótesis con tablas de contingencia: independencia, homogeneidad.

Unidad IV: Regresión y Correlación lineal (Capítulo 9 y 10)

Capacidades a Desarrollar

1. Analizar el cumplimiento de supuestos en regresión lineal.

2. Describir gráficamente la relación entre variables independientes y variables dependientes. 3. Calcular, utilizando criterio de los mínimos cuadrados, los parámetros de un modelo de

regresión lineal.

4. Plantear y probar hipótesis para asociación lineal entre dos variables.

5. Determinar ecuación de regresión lineal e interpretar

β

o

ˆ

y

β

ˆ

1.

6. Calcular intervalos de confianza para estimar el valor esperado (µY / x0) y predecir el valor

de Y (Y / x0)

7. Construir e interpretar banda confidencial y de predicción. 8. Calcular e interpretar el coeficiente de determinación.

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Contenidos

4.1. Modelo de regresión lineal simple. Supuestos

4.2. Estimación de parámetros: β0, β1 y σ

2

(método de mínimos cuadrados).

4.3. Pruebas de hipótesis para: Intercepto (β0), pendiente (β1), coeficiente de correlación (ρ).

4.4. Intervalo de confianza para respuesta media (µy/x) y de predicción.

4.5. Coeficiente de determinación. (R2).

4.6. Generalizar a modelo de regresión lineal múltiple.

1. Supuestos del modelo de regresión lineal simple.

2. Criterio de mínimos cuadrados: estimación e interpretación de

β

o

ˆ

y 1

ˆ

β

, determinación de

ecuación de regresión lineal estimada, estimación de varianza del error. 3. Prueba de hipótesis para: coeficiente de correlación, pendiente e intercepto. 4. Intervalos de confianza para predecir un valor de Y y un valor esperado de Y. 5. Coeficiente de determinación.

6. Modelo de regresión lineal múltiple. Interpretación.

Evaluación:

Se tomarán tres Pruebas Escritas Programadas (PEP) las que serán acumulativas.

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DATOS GENERALES SOBRE EL PROGRAMA

El presente programa fue confeccionado por el Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación de la Universidad de Santiago de Chile mediante el trabajo de Profesores de

Estadística y la Coordinadora de la asignatura. Alma Placencia Cofré

El programa fue revisado por el Comité de la carrera de la Facultad de Ingeniería formada

por los profesores Eduardo Barra

Oscar Bustos Heriberto Carrasco Jorge Cerda Max Chacón Horacio Correa Omar Gallardo Ramón Hernández Ricardo Hinojosa

Oscar Páez Rivera, Vicedecano, Presidente de la Comisión

El actual programa fue aprobado en la reunión ordinaria del Comité de carrera de la Facultad

de Ingeniería del Oscar Páez Rivera