Acerca de la distribución de los números primos de forma polinomial

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(1)Acerca de la distribución de los números primos de forma polinomial. Campo Elías Suárez Villagrán Matemático Código: 200513423. Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Bogotá, D.C. Mayo de 2012.

(2) Acerca de la distribución de los números primos de forma polinomial. Campo Elías Suárez Villagrán Matemático Código: 200513423. Trabajo de tesis para optar al título de Magíster en matemáticas. Director Jean Carlos Cortissoz, Ph.D. Doctor en Matemáticas. Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Bogotá, D.C. Mayo de 2012.

(3) Título en español Acerca de la distribución de los números primos de forma polinomial Title in English About the distribution of primes in polynomial form Resumen: Este trabajo es un breve estudio de la distribución de los números primos de forma polinomial. Comenzaremos por hacer un breve estudio de la Criba de Eratóstenes y recordaremos algunas nociones básicas de teoría de números. Definiremos una generalización de la función ϕ de Euler, la cual permitirá dar algunas propiedades acerca de los números primos que dividen un polinomio dado. Describiremos con detalle un algoritmo que genera todos los primos de forma polinomial y con este haremos algunos estimativos de la cantidad de números primos de una forma polinomial usando ideas análogas a las creadas por Legendre para estimar el tamaño de π(x) a partir de la criba de Eratóstenes. Daremos algunos estimativos de la cantidad de números primos de una forma polinomial, haciendo énfasis en la conjetura x2 + 1, y daremos condiciones necesarias y suficientes para que un polinomio genere infitos primos. Dichas condiciones hacen uso de la noción de ε-uniformidad que se definirá en el texto. Finalmente, puesto que no hemos podido demostrar que algún polinomio cumpla con tales condiciones mostraremos algunas evidencias númericas que indican la factibilidad de que tales se cumplan. Abstract: This paper is a brief study of the distribution of primes in polynomial form. We begin with a brief study of the Sieve of Eratosthenes and recall some basic notions of number theory. We define a generalization of Euler’s toitient function, which will give some properties about prime numbers that divide a given polynomial. We will describe in detail an algorithm that generates all the primes of polynomial form and this will make some estimates of the number of primes of a polynomial form using ideas similar to those created by Legendre to estimate the size of π(x) from the sieve of Eratosthenes. We will give some estimates of the number of primes of a polynomial form, emphasizing the conjecture x2 + 1, and give necessary and sufficient conditions for a polynomial to generate infinte primes. These conditions make use of the notion of ε-uniformity which will be defined in the text. Finally, since we could not show that any polynomial comply with such conditions, we will show some numerical evidence indicating the feasibility of such compliance Palabras clave: números primos, cribas polinómicas, ε-uniformidad, función ϕ de Euler Keywords: prime numbers, polynomial sieve, ε-uniformity, Euler’s toitient function.

(4) Nota de aceptación Trabajo de tesis Aprobado. Jurado Jhon Jaime Rodríguez. Jurado Alf Onshuus. Director Jean Carlos Cortissoz Bogotá, D.C., Mayo 23 de 2012.

(5) Dedicado a. Con toda mi alma a mi amada Laura..

(6) Agradecimientos. • Agradezco en en primer lugar a mi madre por haber sido siempre una mujer maravillosa y ejemplar. Ha sido gracias a ella que he logrado ser quien soñé ser. • Agradezco a mis hermanos Patty, Beto, Martha y Dorita por apoyarme en todo momento y por haberme regalado momentos muy felices. • Agradezco al profesor Jean Carlos por su apoyo, por sus consejos, correcciones y su sabia orientación en este trabajo. • Al profesor Ahmed Ould por su apoyo al comenzar la maestría. • Al profesor Alf Onshuus por su comprensión y paciencia. • A los administrativos del departamento de matemáticas, especialmente a Luisa por su ayuda en momentos difíciles. • Agradezco a Leonilde Díaz por haber sido como una segunda madre. • A los compañeros y amigos de la maestría Felipe C, Jairo, Felipe R, Yiby y Jerson por sus ánimos y buenos deseos. • Agradezco a Sebastien L por su ayuda en la elaboración del documento final..

(7) Índice general. Introducción. II. 1. Preliminares. 1. 1.1. Preguntas fundamentales y estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Criba de Eratóstenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Funciones de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.4. ε-uniformidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.5. Normalización de funciones y sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.6. Preliminares en teoría de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.7. Idea intuitiva del Cribado polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Números primos de forma polinomial. 11. 2.1. Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Propiedades multiplicativas de la funcion ϕf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Un teorema de infinitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4. Cribas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5. Estimativos de la criba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6. Orden asintótico de los términos de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Evidencias numéricas. 25. 3.1. Criba de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Primos en sucesiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3. Primos de la forma x2 + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bibliografía. 29. I.

(8) Introducción. Los números primos son parte central de la teoría de números y en general de las matemáticas. Parte de la fascinación de estos números es su comportamiento errático que hace parecer que solo pueden ser explicados como un conjunto de números aleatorios entre los naturales, cuya probabilidad de ser hallados es de log1 x . Muchos matemáticos y aficionados de todas las épocas han intentado encontrar fórmulas que generen siempre números primos, sin embarogo el resultado final siempre es el mismo, no lo son. Un ejemplo n famoso fue Fermat con su conjetura que 22 + 1 siempre era un número primo. En efecto para n = 0, 1, 2, 3, 4 se obtienen los números 3, 5, 17, 257, 65537 que son todos primos. 5 Euler demostraría en 1732 que la conjetura es falsa, ya que 22 + 1 se factoriza como 641 ∗ 6700417. Algunos ejemplos mas exóticos generan una cantidad mayor de primos. El conocido polinomio n2 + n + 41 genera 40 primos desde n = 0 hasta n = 39. Algunos incluso llegan a generar 57. Dress and Landreau (2002) encontraron que el polinomio 14 (n5 − 133n4 +6726n3 −158379n2 +1720249n−6823316) genera primos desde n = 0 hasta n = 56. Actualmente sabemos que no hay polinomios que generen siempre números primos, lo cual obliga a plantear problemas análogos. ¿Puede un polinomio generar infinitos primos? La respuesta se escapa aún de nuestras manos. Uno de los problemas más famosos relacionados con esta pregunta es la infinitud de los números primos de la forma n2 + 1, el cual después de ser atacado por Euler, los Bernulli y muchos otros matemáticos sería clasificado por Landau como uno de los problemas inatacables de las matemáticas. En este trabajo nos aproximaremos a estos dos problemas, hallaremos estimativos de la cantidad de números primos de forma polinomial a través de una técnica conocida como las Cribas aritméticas, método iniciado por Eratóstenes 2500 años atrás. Este método ha evolucionado y ahora a las ideas básicas de Eratóstenes se les ha añadido análisis asintótico, el uso de funciones multiplicativas y de análisis complejo. Con ayuda de dichos métodos este texto probaremos condiciones necesarias y suficientes para que hayan infinitos primos de forma polinomial, y mostraremos numéricamente la factibilidad de que dichas hipótesis se satisfagan.. II.

(9) CAPÍTULO. 1. Preliminares. 1.1. Preguntas fundamentales y estado del arte En teoría de números hay una amplia variedad de conjeturas relacionadas con el mismo problema, ¿Cuántos números primos satisfacen una propiedad aritmética dada?. Algunos de estos problemas famosos son: 1. ¿Existen infinitos primos de la forma 2n − 1? Estos primos son llamados los primos de Mersene 2. ¿Existen infinitos primos de la forma 22 + 1 ? Estos son los llamados primos de Fermat n. 3. ¿Existen infinitos números semiprimos (números que se factorizan como producto de dos primos diferentes) de la forma x2 + 2x? Esta es la conjetura de los primos gemelos 4. ¿Existen infinitos números primos de la forma x2 + 1?. Tal problema ha sido estudiado por matemáticos de la talla de Euler, Landau y Hardy, pero aún no se ha encontrado una respuesta. Tan esquiva ha sido su solución que durante el Congreso internacional de Matemáticas de 1912 fue catalogada por Landau como uno de los problemas inatacables de las Matemáticas. Algunos avances parciales muestran que hay infinitos números de la forma n2 + 1 con a lo mas dos factores primos o que hay infinitos números primos de la forma x2 + y 4 (Consulta [?]). En 1922 Hardy junto 2 con Littlewood conjeturaron que la cantidad de √ primos de la forma n + 1 menores x que un x dado crece asintóticamente como c log(x) , donde c viene dado por Y. p≥3. p−1. (−1) 2 1− p−1. . ≈ 1, 37281346281. 5. Mas generalmente si f es un polinomio de coeficientes enteros irreducible tal que M CD{f (k) : k ∈ Z} = 1 entonces existen infinitos primos de la forma f (x).(La segunda hipótesis es necesaria ya que existen polinomios como 3x2 − x + 2 que es irreducible y sin embargo siempre genera números pares). Esta es la llamada 1.

(10) 2. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. conjetura de Bouniakowsky. Los polinomios lineales irreducibles generan infinitos primos, dicho resultado fue demostrado por Dirichlet usando sus famosas L-series. En este trabajo estudiaremos los dos últimos problemas, haciendo uso de cribas aritméticas. Haremos un análisis especial en los polinomios de la forma x2 + a, donde −a es un entero libre de cuadrados.. 1.2. Criba de Eratóstenes. La Criba de Eratóstenes es la base de una gran cantidad de algoritmos para hallar números primos de una forma dada. La criba consiste en escribir los números naturales desde 2 hasta N . El primer número primo es 2, así que se tachan todos sus múltiplos excepto el mismo. El primer elemento que no ha sido tachado, no es múltiplo de dos, ni de ningún número mas pequeño, por lo tanto su única opción es ser primo. Procedemos a realizar el mismo proceso descartando todos sus múltiplos y en seguida buscando el número sin tachar√mas pequeño. El algoritmo termina cuando hemos hallado un número primo mayor que N . En efecto, un√número que no ha sido tachado, de ser compuesto sería producto de primos menores a N , lo cual es contradictorio con la construcción de la misma. Podemos escribir este argumento por medio de inducción de la siguiente manera: • 2 Es el primer número primo • Si sabemos que p1 , · · · , pk son los primeros k primos entonces, el conjunto n. o. q < p2k+1 : (q, p1 · · · pk ) = 1. está formado por todos los números primos entre pk y p2k+1 . Un estimativo de la función π(x) se obtiene de la Criba. Sea x un número entre pk y p2k+1 . Entonces la cantidad de primos menores que x está dada por k + |{p primos : pk < p ≤ x}| Debido a que todo número entre pk y p2k+1 que no ha sido descartado por la criba es primo basta contar cuántos de dichos elementos son menores que x. En primer lugar se descartaron los múltiplos de p1 = 2. La cantidad de elementos sin descartar es x x = ⌊x⌋ − ⌊x⌋ − 2 p1 . . . En el siguiente paso debemos descartar los múltiplos de p2 = 3. Podriamos creer que la cantidad de elementos sin descartar es x x ⌊x⌋ − − p1 p2 . . . . pero estaríamos descartando 2 veces los múltiplos de p1 y p2 , por tal motivo deben ser sumados. La cantidad de elementos que quedan tras el segundo paso de la criba es:.

(11) 3. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. ⌊x⌋ −. . x x x − + p1 p2 p1 p2 . . . . . de manera inductiva vemos que la cantidad de elementos que quedan tras l pasos de la criba es x x x x x ··· − + ··· + + + · · · + (−1)l ⌊x⌋ − p1 pl p1 p2 pl−1 pl p1··· pl . . . . . . . . . . lo cual puede ser escrito de manera compacta usando la función de Möebius:.    1. si n se factoriza como una cantidad par de primos diferentes µ(n) = −1 si n se factoriza como una cantidad impar de primos diferentes   0 si n es divisible por el cuadrado de algún primo.. en tal caso la suma anterior se escribe simplemente como X. µ(d). d|p1··· pl. x d. . Si llamamos ℘ al producto p1 · · · pk entonces π(x) = k +. X d|℘. µ(d). x d. . Trabajando en la anterior fórmula tenemos que π(x) = k +. X. µ(d). d|℘. x X x − µ(d) d d|℘ d. . =k+x. X µ(d) d|℘. d. −. X d|℘. µ(d). x d. . =. x ϕ(℘) X − µ(d) =k+x ℘ d d|℘. . donde ϕ es la función de Euler. x Como veremos x ϕ(℘) ℘ = Θ( log x ), lo cual corresponde con el teorema de los números primos. Por otro lado, podemos preguntar por el tamaño de la segunda suma. Una primera cota para tal está dada por:. X d|℘. µ(d). x d. . =. X. 1 = k + 2k = Θ(2k ). d|℘. Sin embargo dicho orden es demasiado alto para estimar π(x). Adelante haremos un análisis Heurístico para determinar el orden asintótico de dicha suma. En los capítulos posteriores usaremos ideas parecidas para estimar cuántos primos en forma polinomial hay..

(12) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 4. 1.3. Funciones de distribución Existe otra manera de estimar π(x) usando la función ϕ de Euler. Sea ϕ(℘, x) = | {r ≤ x : (r, ℘) = 1} | entonces π(x) = k + ϕ(℘, x) = k + ϕ(℘). ϕ(℘, x) ϕ(℘). con referencia a la última función, decimos que F (x) = ϕ(℘,x) ϕ(℘) será llamada la función de × distribución de (Z/℘Z) . La anterior definición hace referencia a que: 1. F (x) es continua por la derecha. 2. F (x) es monótona no decreciente. 3. F (ϕ(℘)) =. ϕ(℘,℘) ϕ(℘). =1. 4. lı́mx→0 F (x) = lı́mx→0. ϕ(℘,x) ϕ(℘). = 0.. Como sabemos para cualquier conjunto finito definido sobre un intervalo, existe una función de distribución definida en los mismos términos anteriores, es decir si A = {a1 , · · · , an } es un subconjunto de (a, b) ordenado ascendentemente, se define la función de distribución de A en [a, b] como FA (x) =. |{y ∈ A : y ≤ x}| = P (X ≤ x) n. y X denota el evento de pertenecer a A. De esta forma tenemos que: π(x) = k + ϕ(℘)F (x) A continuación definiremos la noción de ε-uniformidad, un concepto altamente relacionado con el de función de distribución, el cual mide qué tan uniforme es una distribución dada.. 1.4. ε-uniformidad En esta pequeña sección introducimos los principales conceptos referentes a la distribución de conjuntos sobre intervalos. Debido a la importancia que posee éste concepto a lo largo de este trabajo haremos un estudio del mismo, y veremos el impacto que tiene en el conocimiento de la distribución de los números primos. Para comenzar, pensemos en el intervalo [a, b], y una sucesión creciente de n+1 términos b−a en él. Sea yi = a + b−a n i, claramente y0 = a y yn = b. Puesto que yi+1 − yi = ( n ), decimos que yi es la sucesión equidistribuida en [a, b]. Cualquier otra sucesión de n + 1 elementos no cumple con la condición anterior..

(13) 5. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Una manera de medir que tan “equidistribuida” ó “uniforme” se encuentra una sucesión es medir el error absoluto y relativo con respecto a ésta sucesión básica. La cota de los errores relativos engendrará nuestro concepto de ε-uniformidad. Definición 1. Sea A = {ti }0≤i≤n una sucesión de números reales. Diremos que ti se i distribuye ε− uniformemente en el intervalo [a, b], si para todo i ≤ n, |1 − a+ tb−a | ≤ ε, ó i n. o. n. nti | ≤ ε. equivalentemente, si maxi | bi−a(n−i). Notamos que si ε = 0 entonces la sucesión está perfectamente equidistribuida. Sea πA (x) la función contadora de elementos de A, definida por π{ti } (x) = |{n ∈ A : n ≤ x}| entonces. 1 1 n n x − a ≤ π{ti } (x) ≤ x−a 1+ε b−a 1−ε b−a . . . . Esto indica que la ε-uniformidad induce cotas para la función de distribución mencionada anteriormente. Resulta particularmente interesante conocer el comportamiento de la sucesión dada por: . ǫi = ti − a +. b−a i n. . la cual nos da la información acerca del error absoluto (con signo) cometido al estimar ti por medio de (a + b−a n i). Definición 2. Definimos la función de error total asociado a la sucesión ti y al intervalo [a, b] como. σ(ti ,a,b) (k) =. k X i=0. . ti − a +. k X b−a ǫi i = n i=0. . Aunque parezca extraño que la suma se hace con signo (y no elevando al cuadrado como en la varianza), veremos la importancia que poseee ésta sucesión y su simplicidad cuando estudiamos el cribado de ciertos conjuntos. A continuación veremos con algunos ejemplos el uso de tales nociones. Ejemplo 3. Sean p y q primos distintos. Sea A = {t1 , · · · , tk } la sucesión de enteros que no son primos relativos con pq. En el caso que p = 229 , q = 233 tenemos que ǫi luce de la siguiente manera:.

(14) 6. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES . . . . . . . . . Y la función σ(ti ,0,pq) (k) asociada a ésta sucesión así . . . . # $ # $ ! & % " ' ! " $ % # % # & ' # #. . ()*+),. . -./+012+34 5()*+),6. . En la gráfica hemos incluido la regresión cuadrática de la misma. La curva negra hace referencia a la parábola que aproxima los puntos, y la curva azul son los puntos en cuestión. La ecuación de la curva es y = 0, 12479123x2 −57, 53423423x. El R2 de la aproximación es 0, 999994. Cuando p = 197 y q = 307 tenemos que la sucesión ǫi y la función σ(ti ,0,pq) (k) lucen de la siguiente manera: 89:. 8::. 9:. :. 79:. 78::. 789:. ;. = <. ? >. @ =. > A ;. ; ? ;. = > ;. ? @ B A ; <. > ? <. ; = C B < <. ? ; ?. @ ? ?. > C ?. ; @ ?. = ; D. ? @ D C D D. > @ D. EFGHFI8.

(15) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES NLLL L SNLLL. 7. J K LMNNOPQR S TUMPOVQ \. ^ ]. ` _. ] b a ] \ \. \ ^ ` b a ] \ c c. ] b b a c ]. \ ^ d b ] ]. ` a d. ] d d. WX K LMUUUU. b b d. S[LLL SZLLL. efghfiN. SVLLL. jklhmnohpq refghfiNs. STLLL SYLLL SPLLL SOLLL. En general, hemos visto de numéricamente que a medida que p y q tiendan ambos a infinito, la función σ(ti ,0,pq) (k), se aproximará cada vez mas a una parábola de la forma α(x2 − (p + q − 1)x). De manera análoga, tenemos que si p1 , ..., pr son todos primos diferentes (incluso primos relativos 2 a 2) de manera que cada uno de ellos tiende a infinito, entonces σ(ti ,0,p1 ...pr ) (k) tiende a una parábola de la forma α(x2 − (p1 ...pk − ϕ(p1 ...pk ))x). Supongamos que conocemos una expresión general para α en términos de p1 , p2 , ..., pk , vamos a ver como estimar el correspondiente ε que hace a la sucesión ε-uniforme. Puesto que α(x2 − (p1 ...pk − ϕ(p1 ...pk ))x) aproxima a σ(ti ,0,pq) (k) es claro que la derivada correspondiente debe ser una aproximación de ǫi . Es más, dicha derivada corresponde a la regresión linal de los ǫi . Puesto que ǫ0 = 0, entonces ǫ1 debe ser aproximadamente −2α((p1 ...pk − ϕ(p1 ...pk )), luego ε≈|. −2α((p1 ...pk − ϕ(p1 ...pk )) p1 ...pk (p1 ...pk −ϕ(p1 ...pk ). |=|. 2α((p1 ...pk − ϕ(p1 ...pk ))2 | p1 ...pk. 1.5. Normalización de funciones y sucesiones. En esta sección veremos como comparar la distrubución de sucesiones que están definidas sobre intervalos diferentes. Definición 4. Sea f (x) una función real definida en [a, b], se define la normalización de f en el intervalo [0, 1] como fˆ(x) = f (a + x(b − a)) Análogamente, sea A = {ti }i≤k una sucesión real finita, se define la normalización de A como la función Â : [0, 1]→ R. Â(x) = t⌊xk⌋ Con dicha notación es posible comparar sucesiones que tienen distribuciones parecidas pero que están definidas en intervalos diferentes..

(16) 8. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Ejemplo. Sea A = {ti }i≤n una sucesión creciente de reales del intervalo [a, b]. Sea i δi = 1 − a+ tb−a , entonces la normalización δ̂(x) = δ⌊nx⌋ muestra los errores relativos i n. de estimar ti por medio de a + b−a n i. En caso de tener varias sucesiones definidas en intervalos diferentes (como es el caso de los primos relativos con p1 · · · pk ), podemos comparar todas sus distribuciones en el sentido de la ε-uniformidad, hallar cotas para ε, límites superiores e inferiores, gracias a que todas las sucesiones normalizadas quedan definidas sobre [0, 1]. Definición. Decimos que una sucesión de sucesiones Ai = {ti,j }j≤ki definidas en [ai , bi ] converge (análogamente, converge superiormente) en ε-uniformidad, si la sucesión de funciones normalizadas de las sucesiones δi,j = 1 −. ti,j ; j ≤ ki i ai + bi −a n j. converge (converge superiormente) en el sentido usual. Llamemos δ̂ a tal límite, entonces ε0 = max|{δ̂(x) : 0 ≤ x ≤ 1}| es tal que para todo ǫ > 0 existe k tal que para todo i > k la sucesión Ai es (ε0 + ǫ) − unif orme. De dicho resultado se deduce que: 1 ki ki 1 x − ai ≤ πAi (x) ≤ x − ai 1 + ε0 + ǫ bi − ai 1 − ε0 − ǫ bi − ai . . . . por lo cual, haciendo variar i tenemos que ki 1 x − ai πAi (x) = Θ 1 − ε0 bi − ai . . . Como veremos en el capítulo 2 la existencia del límite δ̂ en ciertos conjuntos definidos por un polinomio, es suficiente para garantizar la infinidad de los números primos de dicha forma polinomial.. 1.6. Preliminares en teoría de números A lo largo del texto usaremos varios resultados clásicos de teoría de números (que se pueden consultar en todo detalle en [?]), algunos de los cuales, aunque no son fundamentales en el desarrollo del texto, ilustran y ejemplifican las cribas que presentaremos. A continuación, expondremos brevemente las definiciones y resultados más destacados. En esta pequeña sección se encontrarán también referencias bibliográficas a obras que exponen con claridad dichos temas. Teorema 5. (Teorema Chino de los restos): Sean m y n enteros primos relativos, entonces para cualesquiera b1 y b2 enteros el sistema de congruencias x ≡ b1 (mod m), x ≡ b2 (mod n) tiene única solución módulo mn. A partir del teorema chino de los restos se pueden construir árboles de congruencias mediante las cuales se obtienen los elementos que sobreviven a los cribados. El más ele-.

(17) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 9. mental de ellos construye todos los primos relativos con un número dado, siempre y cuando se conozca la descomposición en factores primos del mismo. Definición. (Símbolo de Legendre): Sea q un número primo, entonces el símbolo de Legendre se define como sigue:. p q. .    1. p es residuo cuadrático módulo q = 0 p ≡ 0(mod q)   −1 p es residuo no cuadrático módulo q. Teorema 6. (Ley de reciprocidad cuadrática): Sean p y q dos primos. Si ninguno de los primos p o q pertenece a la sucesión 4k + 1 entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión 4k + 1 entonces ó bien ambas congruencias tienen solución ó bien ninguna de las dos tiene solución. Usando el símbolo de Legendre tenemos que p q. q p. . = (−1). p−1 q−1 2 2. Existen dos leyes conocidas como las leyes complementarias, las cuales hablan del caso en que p = 2 y p = −1 1.. . 2.. . −1 q. 2 q. . = (−1). = (−1). p−1 2. p2 −1 8. =. (. =. (. 1 si p ≡ 1(mod 4) −1 si p ≡ 3(mod 4). 1 si p ≡ ±1(mod 8) −1 si p ≡ ±3(mod 8). A partir de ellas y de la ley de reciprocidad cuadrática podemos hallar de manera inductiva aquellas sucesiones cuyo residuo es 1 y aqueellas cuyo residuo es −1. Resulta de vital importancia dicho conocimiento ya que la criba asociada a los polinomios de la forma x2 − q, requiere conocer los divisores primos del polinomio (que corresponde de manera unívoca con las sucesiones para las cuales el símbolo de Legendre es 1) En el caso específico de la conjetura de Hardy-Littlewood, acerca de la infinitud de los números primos de la forma x2 + 1, usaremos como conjunto base los primos de la forma 4k + 1 puesto que el símbolo −1 vale 1 en dichos primos. q Existen leyes de reciprocidad para grados mas altos, las cuales resultan especialmente útiles para determinar las cribas que generan primos de la forma xn ± p, donde p es primo o es 1.. Para simplificar notación diremos que un número primo p divide a un polinomio de coeficientes enteros f si existe algún entero k tal que p|f (k). El teorema siguiente es uno de los mas importantes en la construcción de las cribas que hemos hablado Teorema 7. Sea f (x) un polinomio no constante de coeficientes enteros, entonces hay infinitos primos que dividen a f.

(18) 10. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Demostración. Sea f (x) = c0 +c1 x+· · ·+cn xn . Supongamos los únicos primos que dividen a f son p1 , · · · , pk . Sea ℘ = p1 · · · pk , entonces f (c0 ℘x) = c0 + c1 c0 ℘x + · · · + cn (c0 ℘x)n = c0 (1 + d1 x + · · · + dn x) Donde cada di es múltiplo de ℘ y por lo tanto de cada pi . Es claro que si un primo p divide a 1 + d1 x + · · · + dn x divide también a f . De aquí se concluye que p divide a cada di y se tiene que 0 ≡ 1 + d1 x + · · · + dn x ≡ 1(mod p) lo cual es imposible.. 1.7. Idea intuitiva del Cribado polinomial Buena parte del siguiente capítulo se centra en explicar la manera de construir la criba que genera primos de una forma polinomial dada. Supongamos que hemos fijado los primos p1 , · · · , pk , y tenemos un polinomio f de coeficientes enteros fijo. La Criba construye el conjunto Ak = {k ∈ N : f (k) no es múltiplo de p1 , · · · , pk } Puesto que toda función polinomial es monótona a partir de cierto punto, podemos suponer que f es creciente desde dicho lugar, entonces podemos suponer que el menor de los elementos de A es aquel para el que f (k) es mínimo con respecto a la propiedad de no ser múltiplo ni de p1 , · · · , pk . Ahora bien, si tales pi son los k divisores primos mas pequeños de f , tendríamos que si f (k) fuese compuesto, como mínimo tomaría el valor p2k+1 , en caso contrario es un número primo. Si pudieramos saber con total precisión cuáles de los elementos de A son menores que f −1 (p2k+1 ), entonces construiriamos todos los números primos de la forma f (k) entre pk y f (k). Sea A∗k ={k ≤ p1 · · · pk : f (k) no es múltiplo de p1 , · · · , pk } ⊆ B = {1, 2, · · · , p1 · · · pk }, y sea |A∗k | = Mk . En caso que los elementos de A∗k se distrubuyeran εk -uniformemente en B, tendríamos que Mk f −1 (p2k+1 ) Mk f −1 (p2k+1 ) ≤ |{k ≤ f −1 (p2k+1 ) : f (k) ∈ A∗k }| ≤ (1 − εk )p1 · · · pk (1 + εk )p1 · · · pk Luego, si lı́m inf k→∞ εk < 1, entonces. . |{k ≤ f −1 (p2k+1 ) : f (k) no es múltiplo de p1 , · · · , pk }| = Θ. p1 · · · pk −1 2 f (pk+1 ) Mk. . ···pk −1 2 Si es posible demostrar que p1M f (pk+1 ) es no nula en infinitos valores de k, demosk trariamos que hay infinitos primos de la forma f (x). Aún más, si encontramos cotas para ···pk −1 2 Θ( p1M f (pk+1 )) podemos conocer con cierta precisión la distribución de los primos de k la forma f (k).

(19) CAPÍTULO. 2. Números primos de forma polinomial. 2.1. Definiciones Básicas Con el fin de abordar nuestras dos preguntas iniciales daremos algunas definiciones, las cuales son una generalización de las función ϕ de Euler y π (La función contadora de primos). Como veremos el estudio de estas nuevas funciones puede tener una gran importancia para entender la distribución de los números primos generados por un polinomio de coeficientes enteros. Definición 8. Dado un polinomio f ∈ Z[x], definimos el conjunto de los números primos que dividen a f , como aquel que está formado por los números primos que dividen a f (x) para algún x ∈ Z. Dicho conjunto lo denotamos por Pf . El caso en el que f (x) = x, Pf se escribe simplemente como P , ya que corresponde con el conjunto de los números primos. En dicha notación tenemos que Pf = {p ∈ P : ∃x ∈ Z, p|f (x)} Ejemplo. Vemos fácilmente que: 1. Si a es constante Px+a = P 2. Si (a, b) = 1, Pax+b = P − {p ∈ P : p | a}, en efecto, para todo p ∤ a, el sistema de ecuaciones x ≡ b(mod a) y x ≡ 0(mod p) tiene solución única módulo ap. Dicho conjunto de soluciones satisfacen ser múltiplos de p y estar en la sucesión ax + b. 3. Pf g = Pf ∪ Pg 4. Pf Posee una cantidad infinita de elementos. 5. Con el símbolo de Legendre se verifica que Px2 +1 = {p ∈ P : p = 2 o bien p ≡ 1(mod 4)} y que Px2 −2 = {p ∈ P : p ≡ ±1(mod 8)}. El último ejemplo hace referencia a las leyes suplementarias del símbolo de Legendre. La ley de reciprocidad cuadrática resulta especialmente útil para determinar Px2 +a . Definimos ahora la función que cuenta primos dentro de Pf . 11.

(20) CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. 12. Definición 9. Se define la función Πf (x) relativa a f , como Πf : R →℘(Pf ) Πf (x) = {p ∈ Pf : p ≤ x} Adicionalmente definimos la función πf (x) relativa a f , como (Como veremos a lo largo del texto, las letras mayúsculas griegas denotarán conjuntos y su correspondiente minúscula el cardinal de dicho conjunto. La utilidad de esta notación es la versatilidad de trabajar fácilmente con un conjunto, y a continuación con la función aritmética definida por su cardinal): πf : R →N πf (x) = |Πf (x)| = |{p ∈ Pf : p ≤ x}| Definición. Sea A ⊆ P se define πA (x) = |p ∈ A : p ≤ x|, (nótese que en este caso no A (x) distinguimos entre f y Pf ) y la densidad de A en P como σ(A) = lı́m supx→∞ ππ(x) . Definición 10. Sea A ⊆ P se define su clausura multiplicativa como Ā = {n ∈ N : (p ∈ P y p|n) ⇒ p ∈ A} el menor conjunto multiplicativo que contiene a A. Nota. Se satisface que {f (x) : x ∈ N} ⊆ P̄f Definición 11. Se define φf : N × N → ℘(N) φf (m, n) = {k < n : (f (k), m) = 1} Y la función de Euler asociada a f como ϕf (m, n) = |φf (m, n)| El caso en que m = n las funciones anteriores se escriben como φf (m) y ϕf (m). Resulta claro que si f = id, ϕf corresponde con la función ϕ de Euler. En lo que sigue veremos que las propiedades mas importantes de ϕ, las cumple también ϕf . Nota. Si m ∈ / P̄f entonces para todo n φf (m, n) = {k < n : (f (k), m) = 1} = {k : k < n} El recíproco también es cierto. Vemos además que si n ≤ n1 entonces φf (m, n) ⊆ φf (m, n1 ).

(21) CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. 13. Definición. Se define φf (m, ∞) =. [. n∈N. φf (m, n) = {k ∈ N : (f (k), m) = 1}. Nota. Notamos por hAx + Bi la sucesión de números de la forma Ax + B, es decir hAx + Bi = {k ∈ Z : k ≡ B(mod a)} Lema 12. φf (m, ∞) =. S. i∈φf (m) hmx. + ii. Demostración. Si m ∈ / P¯f , φf (m, ∞) = Z = i∈{0,1,...m−1} hmx + ii. Ahora bien si m ∈ P̄f , sea k ∈ φf (m, ∞), entonces (f (k), m) = 1. Queremos ver que k − m también satisface que (f (k −m), m) = 1 y por inducción (f (k −tm), m) = 1, esto mostraría que podemos escribir a k como tm + i con i ∈ φf (m). S. Trabajando módulo m vemos que k − m ≡ k(mod m) y por lo tanto f (k − m) ≡ f (k)(mod m), luego, si existe un primo que es divisor común tanto para f (m − k) como para m, dicho primo dividiría a f (k). Se sigue de inmediato que (f (k − m), m) = 1. S. Para ver la otra contenencia tomamos y ∈ i∈φf (m) hmx + ii, y = mt + i, trabajando módulo m tenemos que f (y) ≡ f (mt + i) ≡ f (i) (mod m), luego (f (y), m) = 1 Vamos a deducir a continuación una de las propiedades más importantes de φf (m, ∞). Nota 13. Sea m = q1 q2 ...qt producto de primos diferentes, se tiene que φf (m, ∞) =.  \. i≤t. [. j∈φf (qi ). . hqi x + ji.   . y por el teorema chino del residuo se tiene que φf (m, ∞) va a ser la unión de sucesiones de la forma hmx + δi donde δ es solución de alguno de los sistemas: x ≡ j1 (mod q1 ) .. .. x ≡ jt (mod qt ). Ejemplo 14. Sea f (x) = x2 + 1. Sea m = 13 ∗ 5 = 65, se tiene que φf (65, ∞) =. [. i∈φf (65). h65x + ii. Y puesto que φf (65) = {k < 65 : (k 2 + 1, 65) = 1} , podríamos examinar para cada k < 65 que la condición se satisface. Sin embargo notemos que (k 2 + 1, 65) = 1 si y solamente si k 2 + 1 6= 0(mod 5) y k 2 + 1 6= 0(mod 13), en tal caso vemos que k satisface que: k 6= ±2(mod 5) y k 6= ±5(mod 13).

(22) CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. 14. Luego cada solución de un sistema de la forma φf (65), x ≡ i(mod 5) x ≡ j(mod 13) donde i ∈ φf (5) y j ∈ φf (13) corresponderá a un valor de φf (65). Por ejemplo, x ≡ 1(mod 5) x ≡ 9(mod 13) tiene por solución a x ≡ 31(mod 65). y por lo tanto 31 ∈ φf (65), (312 + 1, 65) = (962, 65) = 1 En este ejemplo vemos que φf (65) tiene tantos elementos como sistemas de ecuaciones en las condiciones anteriores se forman, y por ello resulta evidente que: ϕf (65) = |φf (65)| = |φf (5)||φf (13)| = ϕf (5)ϕf (13) = 33 Esto en general es cierto. De hecho tenemos el siguiente teorema: Teorema 15. ϕf Es una función multiplicativa. Demostración:Supongamos que (a, b) = 1, por la obsevación anterior vemos que. φf (ab, ∞) =.  \  [. i=a,b. j∈φf (i). . hix + ji.   . De donde resulta claro que φf (ab) esta formado por las soluciones de los sistemas x ≡ j1 (mod a) x ≡ jt (mod b) donde j1 ∈ φf (a) y j2 ∈ φf (b) las cuales son todas diferentes. Finalmente se tiene que |φ(ab)| = |φf (a)φf (b)|.. 2.2. Propiedades multiplicativas de la funcion ϕf Como vimos la función ϕf es multiplicativa y esto tiene muestra algo de su naturaleza analítica. Esta función tambien puede ser expresada mediante un producto sobre los divisores primos de n. Antes de mostrar esto veremos su expresión aditiva en términos de la función µ de Möebius..

(23) CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. 15. Teorema 16. Las funciones ϕf y µ se relacionan mediante la siguiente fórmula: ϕf (n) = n. X µ(d)λf (d). d. d|n. donde λf (d) es el número de soluciones de f en Z/dZ. Demostración. Antes que nada vemos por el teorema chino de los restos que λf es multiplicativa. Sean a y b primos relativos, entonces si denominamos Λf (a) = {k ∈ Z/aZ : f (x) ≡ 0(mod a)} se tiene que α ∈ Λf (ab) si y solamente si existen k1 ∈ Λf (a) y k2 ∈ Λf (b) tales que α ≡ k1 (mod a) y α ≡ k2 (mod b). Puesto que cada solución del sistema x ≡ k1 (mod a) y x ≡ k2 (mod b) es única se tiene que Λf (ab) posee tantos elementos como posibles parejas de Λf (a) × Λf (b) lo cual concluye que λf es multiplicativa. Ahora vamos a realizar el conteo de los elementos de ϕf (n). Sean p1 , ..., pr los divisores primos de n. Entre 0 y n hay exactamente pni números que satisfacen una congruencia de la forma x ≡ a (mod pi ). Teniendo en cuenta que λf (pi ) es el número de soluciones de P λf (pi ) f (x) ≡ 0(mod pi ), se tiene que hay n elementos (posiblemente repetidos) que no pi están en en φf (n). Para estimar correctamente ϕf (n) debemos determinar la cantidad de elementos que fueron contados más de una vez. Los elementos x entre 0 y n que satisfacen simultaneamente f (x) ≡ 0(mod pi ) y f (x) ≡ 0(mod pj ) fueron contados dos veces por lo que debemos quitarlos de nuestro conteo anterior. Por el teorema chino de los restos tenemos que hay λf (pi )λf (pj ) soluciones de estos sistemas, los cuales corresponden con congruencias de la forma x(mod pi pj ). Puesto que entre 0 y n hay pinpj elementos de dicha forma, se tiene que hay X λf (pi )λf (pj ) n pi pj elementos que fueron contados dos veces tras el primer paso. Esto nos ofrece un estimativo parcial de ϕf (n) dado por n−n. X λf (pi ). pi. +n. X λf (pi )λf (pj ). pi pj. De manera análoga vamos quitando aquellos elmentos que fueron contadmos mas de dos veces para obtener la siguiente fórmula de ϕf (n).. ϕf (n) = n − n. X λf (pi ). pi. +n. X λf (pi )λf (pj ). pi pj. + ... + (−1)r n. λf (p1 )...λf (pr ) p1 ...pr.

(24) CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. 16. recordemos que la función µ de Möebius está definida por    1. si nse factoriza como una cantidad par de primos diferentes µ(n) = −1 si nse factoriza como una cantidad impar de primos diferentes   0 si nes divisible por el cuadrado de alg?n primo.. como µ(n) = 0 en los enteros que no son libres de cuadrados la suma anterior puede extenderse a una suma sobre todos los divisores de n, donde dicha suma es no nula únicamente en los libres de cuadrados. Como λf (pi ) es multiplicativa, se deduce inmediatamente que ϕf (n) = n. X µ(d)λf (d). d. d|n. El teorema anterior puede enunciarse usando la convolución de Dirichlet mediante la fórmula: ϕf = (µλf ) ∗ N Teorema 17. Para n ≥ 1 se tiene que: ϕf (n) = n. Y p|n. 1−. λf (p) p. . Demostración. Sean p1 , ..., pr los divisores primos de n, se tiene que: Y p|n. 1−. X λf (pi ). pi. +. r. Y λf (pi ) λf (p) 1− = = 1− p pi i=1 . X λf (pi )λf (pj ). pi pj. . . + ... + (−1)r. λf (p1 )...λf (pr ) . p1 ...pr. Ahora bien, puesto que λf (pr1 ...prk ) = λf (pr1 )...λf (prk ), se tiene que la última línea queda convertida en: X µ(d)λf (d) , d d|n Lo cual concluye el teorema. El teorema anterior implica las siguientes propiedades de la función ϕf . Teorema 18. La función ϕf satisface que: 1. ϕf (pa ) = pa−1 ϕf (p) = pa−1 (p − λf (p)) 2. ϕf (mn) = ϕf (m)ϕf (n)/(d/ϕf (d)) donde d = (m, n) 3. Si a | b entonces ϕf (a) | ϕf (b).

(25) CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. 17. 4. (a, b) = 1, y f (x) = ax + b, entonces ϕ(n)/ϕf (n) = ϕ(d)/d donde d = (a, n). Demostración. Las pruebas son inmediatas del teorema 17.. 2.3. Un teorema de infinitud En esta sección demostraremos que el conjunto Pf posee infinitos elementos si y sólo si ϕf (mn , f −1 (p2n+1 )) es no nula para infinitos valores de n. (En consecuencia basta estudiar el orden asintótico de ϕf para saber cuántos primos de una forma polinomial hay). Para relacionar las funciones πf (x) y ϕf (m, x) ordenemos los elementos de Pf de manera ascendente. De ésta manera entendemos que p1 es el primer primo de Pf , p2 el siguiente, y así sucesivamente. Sea mn = p1 p2 ...pn entonces φf (mn , ∞) está formado por todos los elementos k, tales que (f (k), mn ) = 1, es decir por todos aquellos k tal que f (k) no es múltiplo ni de p1 , ni de p2 , · · · ,ni de pn . Ahora bien como f (k) ∈ P̄f se tiene que f (k) es producto de primos (Posiblemente de solo uno) de Pf dónde todos sus índices son superiores a n. En caso que f (k) < p2n+1 , no tendrá otra opción que ser primo. A partir de cierto punto toda función polinomial es 1-1, por tal razón se puede vamos a trabajar con funciones 1-1 crecientes sobre N. (En casos contrarios basta considerar o bien f (x + ε) donde f (x) es una función 1-1 a partir de ε, o bien −f (x)). En dichos términos la condición f (k) < p2n+1 equivale a que k < f −1 (p2n+1 ). Es de nuestro interés considerar el conjunto dado por: A = {k ∈ N : k < f −1 (p2n+1 )} ∩ φf (mn , ∞) La importancia de este conjunto radica en que sus elementos satisfacen las condiciones anteriormente mencionadas para garantizar la primalidad de f (k). Más aún, todo elemento k tal que f (k) es primo mayor que pn y f (k) < p2n+1 , debe estar en dicho conjunto. De acuerdo a lo anterior se tiene que: Πf (p2n+1 ) − Πf (pn ) = f (A) = {f (k) : k ∈ A} Ahora bien, como f (A) y A tienen el mismo cardinal se cumple que: πf (p2n+1 ) − πf (pn ) = |A| = |φf (mn , f −1 (p2n+1 ))| = ϕf (mn , f −1 (p2n+1 )) Esta importante relación entre πf y ϕf es la clave de nuestro estudio sobre la distribución de los primos de Pf . El caso en que f (x) = x se tiene que la anterior relación equivale a: π(p2n+1 ) = π(pn ) + ϕ(p1 ...pn , p2n+1 ) = n + ϕ(p1 ...pn , p2n+1 ), la cual es una consecuencia inmediata de la construcción usual de la Criba de Eratóstenes. El siguiente teorema exhibe una de las propiedades más importantes de la función ϕf respecto a la distribución de los elementos de Pf ..

(26) CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. 18. Teorema 19. El conjunto Pf posee infinitos elementos si y sólo si ϕf (mn , f −1 (p2n+1 )) es no nula para infinitos valores de n. Demostración. Supongamos que Pf posee a lo más finitos elementos, si ϕf (mn , f −1 (p2n+1 )) fuera no nula en infinitos puntos quiere decir que πf (p2n+1 ) − πf (pn ) es también no nulo en infinitos elementos, lo cual exhibe la existencia de elementos en Pf arbitrariamente grandes y contradice la afirmación inicial. Si ϕf (mn , f −1 (p2n+1 )) fuese nula en infinitos elementos, entonces 2 ∪∞ n=1 (Πf (pn+1 ) − Πf (pn )) 2 sería un conjunto finito. Puesto que p2n+1 > pn+1 > pn se tiene que Pf ⊆ ∪∞ n=1 (Πf (pn+1 ) − Πf (pn )), luego Pf sería también un conjunto finito.. Corolario 20. Sea x un número natural arbitrario y sea pn el mayor primo de Pf menor √ que x, entonces el conjunto Pf posee infinitos elementos si y solo si ϕf (mn , f −1 (x)) es no nula para infinitos valores de x Corolario. Si f (x) es un polinomio reducible, o cumple la condición que existe un número primo p que divide a todos los elementos de la forma f (x) entonces ϕf (mn , f −1 (x)) es nulo salvo un número finito de casos. El teorema anterior muestra la importancia fundamental que tiene conocer el comportamiento de la función φf (M, x) a medida que x varía. De hecho, de conocer una descripción explícita de φf (mn ) para cualquier n, conoceríamos la distribución de los primos de Pf de manera natural.. 2.4. Cribas La idea de generar números primos de la forma f (x) mediante cribas es la misma que se considera en la criba de Eratóstenes. Recordemos primero en que consiste esta y como a partir de ella se obtiene la importante fórmula de Legendre para contar la cantidad de números primos entre x y x2 . En la criba de Eratóstenes se consideran los números desde 1 hasta un cierto valor j k N . Comenzamos por descartar los múltiplos de 2 quedando de esta manera N − N2 números sin descartar. Enseguida quitamos los múltiplos del mas pequeño de los valores restantes diferente de 1, quej resulta k j ser k jel 3. k La cantidad de números que quedan tras hacer esta operación es N − N2 − N3 + N6 , pues debemos sumar aquellos números que descartamos dos veces. El proceso termina hasta que llegamos a encontrar el mayor primo √ menor que n. Todos los núeros que no se descartan hasta ese momento son primos. De aquí deducimos inmediatamente la fórmula de Legendre: √ Teorema. La cantidad de números primos entre x y x es: X √ x π(x) − π( x) = µ(d) d d|n. .

(27) 19. CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. donde n=. Y. √ pi < x. pi. El teorema anterior puede expresarse en nuestra notación de diferentes maneras: √ Π(x) = Π( x) ∪ Φ(p1 ...pk , x) = {p1 , · · · , pk } ∪ Φ(p1 ...pk , x) √ π(x) − π( x) = ϕ(p1 ...pk , x) Donde pk es el mayor primo menor que. √. x.. Como es de esperarse se hay una generalización inmediata de ésta criba para un polinomio arbitrario f . La criba está dada por el siguiente algoritmo: 1. Determinamos Pf , los indexamos de acuerdo al orden usual desde p1 . 2. Normalizamos a f , es decir hacemos la transformación f (x + e) de manera que f es 1-1 a partir de e. 3. Se listan los números de 0 a N . √ 4. Denominamos m = f −1 ( N ). 5. Se resuelve la congruencia f (x) ≡ 0(mod p1 ). Hay λf (p1 ) raíces módulo p1 . Dichas raíces se encuentran en Λf (p1 ). Descartamos dichos valores, por lo que quedan m−. X. hi ∈Λf (p1 ). . m − hi p1. . números. 6. Al resolver la congruencia f (x) ≡ 0(mod p2 ) hay λf (p2 ) raíces módulo p2 , dichas raíces se encuentra consignadas en Λf (p2 ). Sin embargo debemos añadir aquellos valores que se quitaron dos veces. Descartando dichos valores quedan: m−. X. hi ∈Λf (p1 ). . X m − hi − p1 h ∈Λ (p . i. f. 1). . X m − hi + p1 h ∈Λ (p . i. f. 1 p2 ). . m − hi p1 p2. . √ 7. Se ve rápidamene que al iterar el proceso hasta pk , el mayor primo menor que N , quedan valores los cuales satisfacen la condición que al ser evaluados por f son primos relativos con p1 ...pk . Todos aqueellos valores menores que f −1 (N ) que quedaron tras realizar el algoritmo anterior, al ser evaluados por f resultan ser primos, y son los √ únicos entre N y N . 8. Se deduce inmediatamente un análogo de la fórmula de Legendre que está dada por el siguiente teorema: Teorema 21. Se satisface la siguiente fórmula: √ πf (N ) − πf ( N ) =. X. d|p1 ...pk hi ∈Λf. $. f −1 (N ) − hi µ(d) d (d). X. %. = ϕf (p1 ...pk , f −1 (N )).

(28) 20. CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. Donde pk es el mayor primo menor que. √. N.. Del teorema anterior se desprende que cuando consideramos f −1 (N ) = p1 ...pk , y sin emportar la escogencia de k: ϕf (p1 ...pk ) =. X. X. µ(d). d|p1 ...pk hi ∈Λf (d). . X µ(d)λf (d) p1 ...pk − hi = p1 ...pk d d d|p ...p . 1. k. Como se había visto anteriormente.. 2.5. Estimativos de la criba Tras haber dejado de lado nuestro estudio de los √ primos de Pf , retomamos nuestro trabajo recordando dos expresiones de πf (N ) − πf ( N ): √ πf (N ) − πf ( N ) =. X. $. f −1 (N ) − hi µ(d) d (d). X. d|p1 ...pk hi ∈Λf. %. = ϕf (p1 ...pk , f −1 (N )). Trabajemos primero sobre la segunda. Supongamos que los elementos de Φf (p1 ...pk ) están ordenados en la forma usual desde a1 hasta an (Es decir n = ϕf (p1 ...pk )). Recordemos ϕ (p ...p ,x) que la función dada por Fk (x) = ϕff (p11 ...pkk ) corresponde con la función de distribución de dichos ai . Supongamos que Φf (p1 ...pk ) se distribuye ε-uniformemente (el mismo ε para todos los k), con ε < 1. En tal caso Fk (x) se puede aproximar por x x 1 1 ≤ Fk (x) ≤ (1 + ε) p1 ...pk (1 − ε) p1 ...pk ó equivalentemente ϕf (p1 ...pk ) ϕf (p1 ...pk ) x ≤ ϕf (p1 ...pk , x) ≤ x, (1 + ε)p1 ...pk (1 − ε)p1 ...pk lo cual muestra que: ϕf (p1 ...pk , f. −1. (p2k+1 )) . . = Θ f −1 (p2k+1 )  . . =Θ f p1 ...pk. . = Θ f −1 (p2k+1 ) . −1. Q. Y. (p2k+1 ). . ϕf (p1 ...pk ) p1 ...pk. p|p1 ...pk (1 −. p|p1 ...pk. p1 ...pk. . λf (p) p ) . . . λf (p)  (1 − , ) p.

(29) 21. CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. por lo cual basta hallar el orden asintótico de 2/grad(f ). es pk+1. .. Q. p|p1 ...pk (1−. λf (p) p ),. ya que el de f −1 (p2k+1 ). Tomando logaritmo natural a la productoria obtenemos:. log. Y p|p1 ...pk. 1−. λf (p) p. . =. k X i=1. (log(pi − λf (pi )) − log(pi )) = −. k X i=1. . Θ. λf (pi ) pi. . Puesto que λf (p) está acotado por el grado de f la anterior expresión se transforma en: k X 1 1 =Θ Θ = pi pi i=1 i=1 k X. . !. lo cual depende de la distribución de Pf en P . Supongamos que σ(Pf ) = c entonces Θ. k X 1 i=1. pi. !. = Θ(log log(pk )). en tal caso pn+1 = Θ(pn ), y se concluye que log. Y p|p1 ...pk. λf (p) 1− p. . = −Θ(log log(pk )). Exponenciando a cada lado se obtiene que: Y p|p1 ...pk. λf (p) 1− p. . 1 =Θ log(pk ) . y por lo tanto . ϕf (p1 ...pk , f −1 (p2k+1 )) = Θ. . 2/grad(f ) . pk log(pk ). Resumamos los anteriores resultados en un teorema: Teorema 22. Si Φf (p1 ...pk ) se distribuye de manera ε-uniforme con ε < 1 y Pf tiene densidad no nula entonces: √ x1/grad(f ) πf (x) − πf ( x) = Θ log(x) . . ǫ. x Y como log(x) tiende a ∞ para cualquier ǫ, se concluye que hay infinitos primos de la forma f (x).. Corolario 23. Sea δi,j la sucesión de errores relativos definida por (ver sección 1.5): δi,j = 1 −. ti,j ; p1 ...pi ϕ(p1 ...pi ) j. j ≤ ϕ(p1 ...pi ).

(30) 22. CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. donde ti,j denota el j−ésimo primo relativo con p1 ...pi , entonces si lı́mi→∞ δˆi existe y es acotado, hay infinitos primos de la forma f (x). Demostración. (Ver sección 1.5) Llamemos δ̂ a tal límite, entonces ε = max|{δ̂(x) : 0 ≤ x ≤ 1}| es tal que para todo ǫ > 0 existe k tal que para todo i > k la sucesión Φf (p1 ...pk ) es (ε + ǫ)−uniforme. De dicho resultado se deduce que: ϕf (p1 ...pk ) ϕf (p1 ...pk ) 1 1 x ≤ πΦf (p1 ...pk ) (x) ≤ x 1 + ε + ǫ p1 ...pk 1 − ε − ǫ p1 ...pk de esta expresión se deduce que ϕf (p1 ...pk ) ϕf (p1 ...pk ) x ≤ ϕf (p1 ...pk , x) ≤ x (1 + ε + ǫ)p1 ...pk (1 − ε − ǫ)p1 ...pk y se sigue la demostración de manera idéntica a la del apartado anterior. Ahora veamos que ocurre si trabajamos con X. $. f −1 (N ) − hi µ(d) d (d). X. d|p1 ...pk hi ∈Λf. %. entonces tenemos que X. d|p1 ...pk hi ∈Λf. X. X f −1 (N ) − hi µ(d) − d (d) d|p ...p. X. d|p1 ...pk hi ∈Λf. $. f −1 (N ) − hi µ(d) d (d). X. 1. k. X. %. =. µ(d). hi ∈Λf (d). (. f −1 (N ) − hi d. Analizemos el primer miembro: X. X. d|p1 ...pk hi ∈Λf (d). X. X. f −1 (N ). X. µ(d). d|p1 ...pk hi ∈Λf (d). 1. f. (N ). i=1. (1 −. k. X µ(d) − d d|p ...p (d). X. k. Y. f −1 (N ) − hi = d. X f −1 (N ) − d d|p ...p. d|p1 ...pk hi ∈Λf. −1. µ(d). 1. X λf (pi ) )− pi d|p ...p 1. k. k. X. µ(d). hi = d. X. µ(d). hi = d. hi ∈Λf (d). hi ∈Λf (d). X. hi ∈Λf (d). para obtener finalmente que si σ(Pf ) es no nulo entonces. µ(d). hi d. ).

(31) 23. CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. √ πf (N ) − πf ( N ) = . 1. . X N grad(f )  − Θ log(N ) d|p ...p 1. k. X hi µ(d) − d (d) d|p ···p. X. hi ∈Λf. 1. k. X. µ(d). hi ∈Λf (d). (. f −1 (N ) − hi d. ). el orden asintótico de los dos últimos miembros queda por determinar.. 2.6. Orden asintótico de los términos de error Teorema 24. Si el conjunto Λf (d) se distribuye εd -uniformente en el intervalo (0, d) , y εd tiende a 0 a medida que d tiende a infinto entonces se satisface que . X. Θ. d|p1 ...pk hi ∈Λf. . Θ. X. X. µ(d). d|p1 ...pk hi ∈Λf (d). . hi µ(d)  = d (d). X. (. ). f −1 (N ) − hi  = Θ (1 − λf (d))k d. Demostración. Analizemos primero la suma X. X. µ(d). d|p1 ...pk hi ∈Λf (d). (. f −1 (N ) − hi d. ). Sumemos primero sobre los divisores que tienen la misma cantidad de factores primos: X. X. d=pi1 ...pit hi ∈Λf (d). n. (. f −1 (N ) − hi d. ). Suponiendo que para cada d los hi se encuentran uniformemente distribuidos, entonces o también estarían uniformemente distribuidos por lo que. f −1 (N )−hi d. X. X. d=pi1 ...pit hi ∈Λf (d). (. f −1 (N ) − hi d. ). ≈. t−i k t (λf (d)). 2. Para tomar dicha aproximación hemos supuesto que λf (d) permanece constante. La suma total vendría dada por: X. X. d|p1 ...pk hi ∈Λf (d). µ(d). (. f −1 (N ) − hi d. ). =Θ. k X i=1. t−i k t (−λf (d)). 2. !. = Θ(1 − λf (d))k.

(32) 24. CAPÍTULO 2. NÚMEROS PRIMOS DE FORMA POLINOMIAL. De manera totalmente análoga se ve que X. X. µ(d). d|p1 ...pk hi ∈Λf (d). hi = Θ(1 − λf (d))k d. Teorema 25. Sea f un polinomio cuadrático que satisface las condiciones del teorema 24, entonces hay infinitos primos de la forma f (x). Demostración. Como vimos anteriormente √ πf (N ) − πf ( N ) = . 1 grad(f ). . X N − Θ log(N ) d|p ...p 1. k. X hi µ(d) − d (d) d|p ···p. X. hi ∈Λf. 1. k. X. µ(d). hi ∈Λf (d). (. f −1 (N ) − hi d. En tal caso se tiene que √ πf (N ) − πf ( N ) = Θ. 1. N2 log(N ). !. − Θ((1 − λf (d))k. como λf (d) solo puede ser 1 o 2 se tiene que: √ πf (N ) − πf ( N ) = Θ. 1. N2 log(N ). y por lo tanto hay infinitos primos de la forma f (x). !. − Θ(1),. ).

(33) CAPÍTULO. 3. Evidencias numéricas. En este capétulo exhibiremos evidencias numéricas que muestran la factibilidad de tener que lı́mk→∞ δ̂(x) existe con δ̂i definida en los términos del corolario 23 y que Φf (p1 ...pk ) es ε-uniforme con el mismoε < 1, para todos los k. Por otro lado veremos como es el comportamiento de las funciones de distribución.. 3.1. Criba de Eratóstenes Al calcular lı́mk→∞ δ̂i (x) de manera numérica hemos visto que dicho límite existe y de hecho es acotada por 0, 12287.... Hemos visto también que para valores grandes de k , Φ(p1 ...pk ) se distribuye de manera ε-uniforme con ε ≈ 0, 12287 · · · . En virtud de la notación de la sección 1.5, llamamos δ̂(x) a dicho límite de funciones normalizadas. La siguiente gráfica es una aproximación numérica de de δ̂(x). tuzw tuzv tuz tuty tutx tutw tutv t t. tuv. tuw. tux. tuy. z. zuv. Hemos planteado una hipótesis al respecto en la cual ˆ = ∆(x). (. ε si x = 0 0 si 0 < x ≤ 1. Lo cual hemos evidenciado numéricamente que a medida que k crece. Tenemos una explicación heurística al respecto, que está directamente relacionada con la construcción de la Criba de Eratóstenes. 25.

(34) 26. CAPÍTULO 3. EVIDENCIAS NUMÉRICAS. En principio tenemosϕ(p1 ...pk ) elementos de Φ(p1 ...pk ) distribuidos en [0, p...pk ]. Una de las primeras hipótesis que podemos pensar, es que la probabilidad de encontrar un elemento de Φ(p1 ...pk ) es la misma a lo largo de todo el intervalo [0, p...pk ] (es decir que es 0 − unif orme, o simplemente unif orme en [0, p...pk ]). Una forma intuitiva de entender por que esto no es así es recordar como construimos los primos por medio de la criba: 1. 2 es primo. 2. pk+1 = min{Φ(p1 ...pk ) − {1}} Dicha elección de pk+1 lleva a que los elementos de Φ(p1 ...pk+1 ) − {1} vistos como un subconjunto de [1, p1 ...pk ], se distribuyan únicamente desde pk+2 hasta p1 ...pk+1 − pk+2 . Si ˆ sería pk+1 se escogiera como un elemento aleatorio de {Φ(p1 ...pk )−{1}}, veriamos que ∆(x) 0-uniforme. Una forma de interpretar el resultado anterior es que es imposible encontrar primos relativos con p1 ...pk entre 0 y pk+1 lo cual hace que pk+1 sea superior al elemento de la sucesión uniforme correspondiente en un 12, 28 % y que se estimen 12, 28 % máss de primos cerca de pk+1 . Desde ese momento los elementos de Φ(p1 ...pk+1 ) se distribuyen uniformemente,haciendo que los errores porcentuales sean paulatinamente mas pequeños y tiendan a 0 en el resto del intervalo [0, 1]. A partir de esto de deduce que 1 ϕ(p1 ...pk ) ϕ(p1 ...pk ) x = 0, 890575... x ≈ π(x) 1 + 0,12287... p1 ...pk p1 ...pk Cuando x < p2k+1 . Tomemos por ejemplo k = 70000 entonces pk = 882377, y para este 1 ...pk ) 2 caso ϕ(p p1 ...pk = 0, 041007456..., queremos estimar el tamaño de π(882377 ). De acuerdo a lo anterior π(8823772 ) ≈ 0, 8905750 ∗ 0, 041007456 ∗ 8823772 = 2,84 ∗ 1010 el cual comparado con el valor real de π(8823772 ) = 2,95 ∗ 1010 nos da un error porcentual cercano al 3,8 %. En la siguiente gráfica mostramos el comportamiento de ε = max{δ̂k (x) : 0 ≤ x ≤ 1}. En el eje horizontal se encuentra k. {|{~ {|{ {|{{ {|{ {|} {|} {|} {|} {|} {|} {|}~ }. }}}}. }}}}. }}}}. }}}}. {}}}}}.

(35) 27. CAPÍTULO 3. EVIDENCIAS NUMÉRICAS. 3.2. Primos en sucesiones aritméticas Dirichlet probó que hay infinitos números primos en las sucesión {Ak + B} si y sólo si A y B son primos relativos. El teorema de densidad de Chebotarev establece que una 1 de los números primos son de la forma {Ak + B}. fracción equivalente a ϕ(A) De acuerdo a nuestra notación, sea f (x) = Ax + B, entonces como vimos en la sección 2.1 si (a, b) = 1 entonces Pax+b = P − {p ∈ P : p | a}, y dicho conjunto lo indexamos de manera ascendente. Al calcular numéricamente lı́mk→∞ δ̂(x) encontramos la siguiente gráfica: . . . . . . . . Y vemos numéricamente que ε = max{δ̂(x) : 0 ≤ x ≤ 1} ≈ 0, 12287..., el mismo valor que se halló para la criba de Eratóstenes. De dicho resultado se obtiene una prueba heurísita del teorema de densidad de Chevotarev pues si P = p1 ...pk es el producto de los √ primeros k primos menores que x entonces: σ(PAX+B ) = lı́m sup x→∞. 0, 12287...ϕf (P )( x−b πf (x) a )/P ≈ lı́m sup π(x) 0, 12287...ϕ(P )x/P x→∞. Y por el teorema 18 tenemos que la linea anterior equivale a: lı́m sup x→∞. 1 rad(a) 0, 12287...(P, a)( x−b 1 a ) ≈ a = 0, 12287...ϕ(P, a)x ϕ(rad(a)) ϕ(a). Lo cual equivale de inmediato al teorema de densidad de Cheborarev.. 3.3. Primos de la forma x2 + 1. Para el caso de los primos de la forma x2 +1, hemos visto que lı́m sup Φ̂x2 +1 (p1 ...pk ) donde los pi están indexados en Px2 +1 , equivale una función que aparentemente es 0−uniforme. La diferencia fundamental con la construcción de la criba es que Φ̂x2 +1 (p1 ...pk ) posee elementos cuya imagen bajo x2 + 1 puede ser primo. En éstepcaso garantizamos la primalidad para las imagenes de aquellos elementos menores que (pk+1 )2 − 1. En el siguiente paso descartamos las soluciones de x2 + 1 ≡ 0(mod pk+1 ),.

(36) 28. CAPÍTULO 3. EVIDENCIAS NUMÉRICAS. que son dos sucesiones de la forma x ≡ ±rk+1 (mod pk+1 ) Eurísticamente, dicha escogencia, hace que en los elementos de Φ(p1 ...pk ) vistos como elementos del intervalo [0, p1 ...pk ] puedan estar distribuidos de una manera práticamente uniforme. La siguiente gráfica muestra las gráficas de πf (x) y la de x(. ϕf (p1 ...pk ) p1 ...pk ). donde x es cercano a pk+1 .. La siguiente gráfica muestra el comportamiento de Φ̂x2 +1 (p1 ...pk ) para pk del orden de 104 . A medida que k crece el límite superior de Φ̂x2 +1 (p1 ...pk ) tiende a 0. . . . . . . .

(37) Bibliografía. [1] G. H. Hardy and J. E. Littlewood. Some problems of Partitio Numerorum III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Mathematica,44:1-70, 1922 [2] Marek Wolf , Search for primes of the form m2 + 1. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0803/0803.1456v3.pdf [3] T.M. Apostol. Introduction to analytic Number Theory. 1976 [4] Friedlander, John; Iwaniec, Henryk (1997), Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial, PNAS 94 (4): 1054105. 29.

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