MÉTODOS ANALÍTICOS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
Límites polinómicos
0
x x
5
5
2
.
3
2
2
5
3
2
2
lim
x
x
x
El límite de un polinomio en un punto se calcula evaluando.
(
)
(
0)
0lim
p
x
p
xx
x
Conclusión importante: Todo polinomio tiene gráfica continua
No hay
indeterminación
x
"
5
"
5
3
2
lim
x
x
x
Si todos los términos elementales tienden a o -, el resultado es o -, respectivamente.
)
(
lim
p
x
x
"
"
"
"
3
4
4
1.4
3
3
1
1
4
4
3
4
lim
lim
lim
x xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
"
"
"
"
2
7
3
3
4.3
2
2
7
4
4
lim
lim
xx
x
x
x
x
x
El límite de un polinomio en coincide con el límite en de su término dominante
Límites racionales (I)
(
)
)
(
*
lim
x
q
x
p
x
0
x x
3
8
3
3
3
5
3
.
2
4
3
3
3
5
2
4
3
lim
x
x
x
x
No hay indeterminación.0
1
2
1
2
2
2
lim
x
x
x
x
. Indeterminación, pero solo hay dos posibilidades ó- hay que distinguir entre los dos límites laterales:
0
1
2
1
2
2
2
lim
x
x
x
x
0
1
2
1
2
2
2
lim
x
x
x
x
Puesto que si x toma valores mayores que 2, entonces x – 2 toma valores mayores que 0; y si x toma valores menores que 2, entonces x – 2 toma valores menores que 0.
0
0
3
6
5
2
3
lim
x
x
x
x
Indeterminación.1 2
3
3
)
2
)(
3
(
3
3
6
5
2
3
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1057
3
)
1
2
(
3
3
7
)
1
2
)(
7
(
3
0
0
21
4
2
7
6
2
6
3
7
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Para factorizar el polinomio numerador se utiliza el método de Ruffini, haciendo uso del dato de que x = 7 es una raíz.
0
n
con
0
n
Estudiar límites laterales, que pueden valer
ó
0
0
Factorizar los
polinomios, simplificar el factor
Límites racionales(II)
(
)
)
(
*
lim
x
q
x
p
x
x
0
1
4
1
3
3
2
4
6
3
2
1
4
1
3
3
2
4
6
2
4
"
"
1
3
3
2
6
2
4
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
4
7
3
2
3
4
3
2
5
2
4
7
2
4
3
4
3
2
5
4
2
"
"
7
2
4
3
3
2
5
4
2
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
El límite de una función racional en coincide con el límite en del cociente de los términos dominantes de numerador y numerador.
m
x
m
b
n
x
n
a
x
b
x
b
m
x
m
b
m
x
m
b
a
x
a
n
x
n
a
n
x
n
a
x
lim
lim
0
1
...
1
1
0
1
...
1
1
Dividir
Límites
irracionales (I) (involucran raíces de los polinomios)
0
x x
0
5
0
1
2
4
lim
x
x
x
No hay indeterminación"
0
5
"
2
1
2
2
lim
x
x
x
Indeterminación0
n
. Obliga a tomar límites laterales
0
5
2
1
2
2
lim
x
x
x
5
2
1
2
2
lim
NO
NO
x
x
x
, por tomar el radicando del denominador valores negativos.
6
1
3
1
9
3
9
9
9
3
9
3
3
9
0
0
9
3
9
lim
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
n
con
0
n
Estudiar límites laterales, que pueden valer
ó
0
0
Utilizar el conjugado de la expresión radical. Simplificar el factor
Límites
irracionales (II) (involucran raíces de los polinomios)
x
0
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
lim
lim
lim
lim
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
2
7
1
2
2
7
2
2
7
2
2
7
2
lim
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Utilizar el conjugado de la expresión radical que tienda a
, yvolver a calcular el límite
Dividir
numerador y denominador por la
potencia de x de mayor grado, teniendo en cuenta que las raíces indican grado
Límites de funciones que involucran exponenciales y funciones de los tipos anteriores
0
x x
1
8
3
2
8
7
2
4
lim
x
x
. No hay indeterminaciónLas funciones elementales exponenciales son continuas en todo R, por lo que su límite en un punto se calcula simplemente evaluando.
No hay
indeterminación
x
x
x
2
lim
No hay indeterminación."
a
"
si a>10
2
1
lim
x
x
No hay indeterminación."
0
"
a
si a<10
2
1
2
2
lim
lim
lim
z
z
z
z
x
x
se ha utilizado el cambio z = -x.
"
"
lim
x
x
e
x
“La exponencial tiende a infinito más rápidamente que x”
"
"
lim
n
x
x
e
x
“La exponencial tiende a infinito más rápidamente que xn”
0
0
0
0
2
7
2
3
"
"
2
7
2
3
lim
lim
e
x
e
x
x
x
e
x
x
x
e
x
x
x
y por tanto
"
0
1
"
"
"
2
7
2
3
lim
x
x
x
e
x
La
exponencial (en
cualquier base a>1)
tiende a infinito más rápidamente que
cualquier polinomio.
ax
.
.
.
x3
x2
Límites de funciones que
involucran logaritmos y funciones de los tipos anteriores
0
x x
4771
'
0
)
3
log(
)
2
log(
1
lim
x
x
No hay indeterminación La función log(x) es continua en 3
)
2
log(
5
lim
x
NO
x
, Los puntos cercanos a 5 no están en el dominio de lafunción log (2-x), al no estar los puntos cercanos -3 en el dominio de la función log(x)
)
2
log(
2
lim
x
x
? x=2 es el punto en el borde del dominio, puesto que 0es el borde del dominio de log(x)
)
0
log(
)
2
log(
2
lim
x
NO
x
)
0
log(
)
2
log(
2
lim
x
x
No hay
indeterminaciones, pero es
especialmente importante tener en cuenta el dominio.
x
)
log(
lim
x
x
)
log(
lim
x
NO
x
0
"
"
)
log(
lim
x
x
x
“El logaritmo tiende a infinito más lentamente que x, y por
. . .
x3
x2
Funciones tipo fg (I)
0
x
x ó x
1
2
1
"
"
4
2
2
1
3
2
lim
x
x
x
x
x
. No hay indeterminación
2
"
"
2
1
2
2
1
3
2
lim
x
x
x
x
x
. No hay indeterminación
0
1
3
1
"
3
"
3
2
1
0
lim
x
x
x
"
0
1
0
3
"
3
3
1
9
2
3
lim
x
x
x
x
"
3
4
"
2
7
3
3
2
3
4
lim
x
x
x
x
x
Puesto que el límite de la base es mayor que 1.0
"
7
5
"
3
5
7
5
3
4
6
5
5
lim
x
x
x
x
x
x
Puesto que el límite de la base es < 1.Funciones tipo fg (II)
0
1
2
1
2
1
0
2
"
2
1
4
2
3
0
lim
x
x
x
x
Las posibilidades que pueden presentarse en el cáclulo de un límite del tipo
g
x
f*
lim
son muchas, y no tiene sentido enumerarlas todas.Examinaremos cada caso particular teniendo en cuenta que, como en todos los ejemplo, influyen:
El signo del límite de la base y el signo del límite del exponente.
Si la base tiende a un valor a >1 ó a < 1. Aparecen además tres indeterminaciones importantes:
...
2,71828183
1
1
1
lim
e
x
x
x
e
z
z
x
x
x
z
lim
1 1lim
1
3
3
1
1
Donde se ha utilizado el cambio de variable
z x
z x x z
3 3
Funciones tipo fg (III)
En general:
e
x
h
x
h
x
1
)
(
)
(
1
1
*
lim
Siempre que se cumpla
* h(x)
x , puesto que bastará hacer el cambio z = h(x)
2
2
1
1
2
1
1
lim
lim
1
e
x
x
x
x
x
x
Puesto que los ejemplos anteriores dan resultados distintos, queda demostrado que el valor de
1
es indeterminado.Para calcular su valor se utiliza la siguiente fórmula general (*)
(
)
1
)
(
lim
*
*
A
1
lim
g
x
f
x
g
f
x
x
donde
A
e
1 0 1
2 6 lim 1
2
1 2 1 2 3 lim
1 1 2
1 2 3 lim
1
3
1 2
1 2
lim
e e x
x
x e x
x x
x x
e
x x x x
e
x
x x x
Funciones tipo fg (IV)
1
¿?
0
1
lim
x
x
x
¿?
0
ln
1
2
lim
x
x
x
3
¿?
0
log
1
3
lim
x
x
x
puesto que esta función es constante, y = 31
¿?
0
0
0
lim
x
x
x
como puede observarse con una tabla de valores0
0
0
No estudiamos estas
Funciones a trozos (I)
0
x x
f(x) =
0 x si 1 x
-0 x si 1 x
conviene realizar un pequeño diagrama
1 1 0 1 0 )
( 0
lim
lim
x x
x f x
1 0 1 1
0 )
(
0
lim
lim
x x
x f x
En este caso es fácil representar la función
Aparecen las indeterminaciones propias de cada rama de la función por separado
x
1 1 0 1 0 )
( 0
lim
lim
x x
x f x
1 0 1 1
0 )
(
0
lim
lim
x x
x f x
0
Punto de cambio de rama Aquí
f(x) = - x -1
Aquí
