Transformaciones geométricas.
Definición:Transformación es una correspondencia del plano en sí mismo tal que a cada punto P del plano, le corresponde un solo punto P'.
Cuando los ángulos y segmentos transformados son iguales a los originales, la transformación se llama movimiento. Los movimientos que vamos a estudiar son:
• Simetría central
• Simetría axial.
• Traslación.
• Giro.
Elementos dobles son aquellos cuyos transformados coinciden con los originales. Cuando todos los puntos del plano son dobles la transformación se llama identidad. IGUALDAD O CONGRUENCIA.
Definición:
Sabemos que dos figuras son iguales o congruentes cuando una de ellas puede obtenerse por transformación de la otra mediante uno o más movimientos.
Propiedades:
• Si dos figuras son congruentes, las figuras elementales componentes también lo son. Métodos:
• Triangulación: Consiste en dividir la figura original en triángulos. El trazado de la figura igual, se realiza construyendo uno a uno, y con la misma posición relativa, todos los triángulos de la figura original.
• Rodeo: Se van transportando paulatinamente, cada lado y ángulo interior de la figura original, a la figura congruente.
• Radiación: Se toma un punto en el interior de la figura original y a continuación se trazan rayos que partan de este punto y pasen por todos los vértices de la figura. Sobre un punto que será interior en la figura congruente, se transportan las longitudes de los rayos y los ángulos que forman, en el mismo orden que en la figura original, obteniendo de esta manera los vértices de la nueva figura.
• Coordenadas: Se trazan unos ejes de coordenadas. Ayudándose de paralelas a cada eje, trazadas por cada vértice de la figura, se miden sobre cada eje las coordenadas de cada vértice. Sobre un nuevo sistema de coordenadas igual que el anterior, se llevan las coordenadas de cada vértice para hallar los correspondientes.
SIMETRÍA CENTRAL: Definición:
La simetría respecto a un punto Q es el movimiento en el que se hace corresponder a todo punto P del plano otro P' alineado con P y Q tal que QP=P'Q.
Elementos:
• El centro de simetría Q.
• Rectas dobles: Las rectas que pasan por el centro son dobles. Determinación:
• Centro de simetría Q.
• Par de puntos simétricos. Propiedades:
• Toda recta r se transforma en otra r'.
• Las rectas que no pasan por el centro se transforman en otras paralelas.
• Se conservan segmentos y ángulos.
• Se mantiene la orientación en el plano. Aplicaciones:
Trazado de un cuadrilátero trapezoide, conocidos los cuatro lados a, b, c y d, y el segmento e que une los puntos medios de los lados opuestos a y c.
SIMETRÍA AXIAL: Definición:
Es el movimiento en el que a cada punto P del plano se le hace corresponder otro del mismo, P', tal que el eje de simetría e es la mediatriz del segmento PP'.
Elementos:
• Eje de simetría.
• Puntos dobles: Los puntos del eje son los únicos puntos dobles.
• Rectas dobles: El eje es recta doble de puntos dobles. Las rectas perpendiculares a él son dobles sin serlo sus puntos.
Determinación:
• Eje de simetría.
• Par de puntos simétricos.
• Par de rectas simétricas. Propiedades:
• El eje es bisectriz de los ángulos que forman las rectas simétricas.
• Se conservan segmentos y ángulos.
• Se invierte la orientación en el plano. Aplicaciones:
Se emplea en la resolución de múltiples problemas. Por ejemplo:
Construir un triángulo conocidos dos lados a y b y la diferencia de los ángulos opuestos Â-B. TRASLACIÓN:
Definición:
Es el movimiento, en el que, dado un vector v, llamado vector guía, a todo punto P del plano le corresponde otro P', tal que: PP'=v.
Elementos:
• Puntos dobles: No existen puntos dobles, salvo en el caso de que el módulo del vector guía sea 0.
• Rectas dobles: Todas las paralelas al vector guía, aunque no son de puntos dobles. Determinación:
• Vector guía.
• Par de puntos homólogos. Propiedades:
• Las rectas homólogas son paralelas.
• Se conservan los ángulos.
• Se conserva la longitud y dirección de los segmentos.
• Se conserva la orientación en el plano. Aplicaciones:
En multitud de problemas, como por ejemplo:
Dadas dos rectas paralelas r y s, un punto exterior a ambas, P, y un segmento de longitud a, se pide trazar una secante que, pasando por P, intercepte sobre las paralelas un segmento de longitud a.
GIRO: Definición:
Es el movimiento en el que definido un ángulo orientadoα, y un punto doble Q, se pasa de un punto P a su homólogo P', mediante un arco de centro Q, amplitud α y radio QA.
Elementos:
• El centro de giro Q.
• El ángulo orientado de giro α.
• Puntos dobles: El centro Q es el único punto doble, salvo en el caso de que el ángulo de giro sea de 0º, 360º o múltiplos de 360º.
• No existen rectas dobles salvo el caso de que el ángulo de giro sea de 0º, 180º o múltiplos de 180º (si el ángulo es de 180º+n.360º, sólo serían dobles las rectas que pasen por el centro). Determinación:
• El centro de giro y el ángulo orientado.
• El centro y un par de puntos homólogos.
• Dos pares de puntos homólogos.
• El centro y un par de rectas homólogas.
HOMOTECIA: Definición:
Fijado un punto Q del plano y un nº real k≠0, se denomina homotecia a la transformación que hace corresponder a un punto P del plano, otro P' alineado con Q y P, tal que: k=QP'/QP.
Elementos:
• Centro de homotecia Q.
• Razón de homotecia k=QP'/QP.
• Puntos dobles: El centro es el único punto doble, salvo en el caso de que k=1 en que todos los puntos serían dobles.
• Rectas dobles: Todas las que pasen por Q son dobles, aunque no sus puntos (salvo Q). Determinación:
• Dado el centro y la razón.
• Dado el centro y un par de puntos homólogos (homotéticos en este caso).
• Dados dos pares de puntos homotéticos. Propiedades:
• Las rectas homotéticas son paralelas.
• Los ángulos homotéticos son iguales (se deduce de la anterior).
• Los centros de homotecia de dos circunferencias están separados armónicamente por los centros de las circunferencias.
• Los segmentos homólogos son proporcionales.
• Si la razón k=1, la transformación es una identidad.
• Si la razón k=-1, se convierte en una simetría central. Aplicaciones:
Se emplea en multitud de problemas, como por ejemplo:
Construcción de un cuadrado dada la suma de la diagonal y el lado. En este curso vamos a aprender a:
• Dados dos pares de puntos homotéticos, hallar el homotético de un punto determinado.
• Conocido el centro de homotecia, y dada la razón de homotecia mediante un número o fracción, hallar el punto homotético de otro dado.
• Dada una figura y el centro de homotecia, hallar la figura homotética que guarda con la original una proporción determinada.
SEMEJANZA. Definición:
Es una transformación producto de una homotecia y un movimiento (giro, traslación). Elementos:
• Centro. Es al mismo tiempo centro de giro y de homotecia en el caso de que el movimiento empleado sea un giro.
Determinación:
• Centro, razón de homotecia k, ángulo de giro ∝.
• Dos pares de puntos homólogos. Propiedades:
• Si la homotecia empleada es de razón k=1, todas las figuras semejantes serán congruentes con las originales.
INVERSIÓN. Definición:
Es la transformación del plano en sí mismo tal que, dado un punto fijo Q y un número real k≠0, a todo punto P del plano le corresponde otro P' que cumple la igualdad QPxQP'=k
Elementos:
• El centro de la inversión Q.
• La potencia de inversión k.
• La circunferencia de autoinversión. Tiene de centro Q y de radio _k.
• Puntos dobles: Si k>0 los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles.
• Rectas dobles: Todas las que pasan por el centro Q son rectas dobles, con sólo dos puntos dobles si k>0 (ninguno, en caso contrario).
• Circunferencias dobles: Son dobles pero no de puntos dobles, las circunferencias respecto a las que el centro Q tiene de potencia el valor k. Estas circunferencias pasan por puntos inversos.
También es doble la circunferencia de autoinversión, aunque tan solo es de puntos dobles si k>0.
Determinación:
• Dos puntos inversos y el centro Q.
• El centro Q y la potencia k.
• El signo de k y la circunferencia de autoinversión.
• El centro Q y una circunferencia doble cualquiera.
• Dos pares de puntos inversos. Propiedades:
• La figura inversa de una recta que no pasa por el centro, es una circunferencia que sí pasa por él, y viceversa. Dicha recta es perpendicular a la recta que une el centro de la circunferencia con el de inversión.
• Toda circunferencia que no es doble ni pasa por Q, se transforma en otra, homotética con la primera, y cuyo centro de homotecia coincide con el de inversión.
Aplicaciones:
La inversión es especialmente útil para resolver casos de tangencias, gracias a la facultad que permite convertir rectas en circunferencias y viceversa.
En este curso vamos a aprender a resolver los siguientes casos:
• Dados dos puntos inversos, hallar la circunferencia de autoinversión.
• Dado el signo de k y la circunferencia de autoinversión, hallar el centro y dos puntos inversos.
• Dados dos puntos A y A', y el centro de inversión, hallar el inverso de otro punto no alineado con A y A'.
• Dados dos puntos A y A', y el centro de inversión, hallar el inverso de otro punto que pertenezca a la recta AA'O.
• Trazar la figura inversa de una circunferencia que pase por el centro.
• Trazar la figura inversa de una recta que no pase por el centro.
• Trazar la figura inversa de una circunferencia que no pase por el centro ni sea doble. Método:
Desde cada punto P del que queremos hallar el simétrico, se traza una perpendicular al eje; haciendo centro en el punto de corte de éstos últimos, se traza una circunferencia que pase por P; el otro punto de corte de la circunferencia con la perpendicular al eje, es P'.
Método:
Para obtener el homólogo de un punto cualquiera P, se traza por él una recta paralela al vector guía; luego se lleva con el compás la longitud (o módulo) del vector guía, en el mismo sentido indicado por éste, sobre dicha recta paralela, y así obtenemos el punto P'. Método:
Para aplicar un giro determinado a un punto cualquiera P, se comienza trazando la recta PQ; luego se transporta el ángulo de giro a partir de esta recta, con vértice Q, y en el sentido adecuado; por último se traza un arco de centro Q que pase por P, hasta que corte al otro lado del ángulo transportado. Dicho punto de corte es P', homólogo de P.
