Diagramas de frecuencias relativas

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Diagramas de frecuencias relativas

En esta lección

● crearás diagramas de círculo

● calcularás frecuencias relativas

● crearás diagramas de barras de frecuencias relativas y diagramas de círculo de frecuencias relativas

Tanto los diagramas de barras como los diagramas de círculo resumen los datos agrupados en categorías. Los diagramas de frecuencias relativas muestran el porcentaje del valor total que cada categoría representa. En esta lección verás cómo hacer diagramas de círculo de frecuencias relativas y diagramas de barras de frecuencias relativas.

Investigación: Diagramas de círculo y diagramas de barras

El diagrama de barras de la página 550 de tu libro muestra el área superficial de cada uno de los siete continentes. Puedes usar el diagrama para aproximar el área de cada continente y el área total.

Para convertir los datos en un diagrama de círculo, necesitas estimar la medida del ángulo de cada sección de la gráfica. Para hacerlo, usa el hecho de que hay 360 grados

en un círculo.

Por ejemplo, para hallar el número de grados en la sección que representa a Australia, resuelve esta proporción usando los datos de la tabla a la derecha.

Esta tabla muestra la medida de ángulo para cada sección:

Continente Medida de ángulo

Australia 17°

Europa 22°

Antártida 34°

América del Sur 44° América del Norte 59°

África 73°

Asia 110°

Superficie de Australia

Medida del ángulo para la sección de Australia

Superficie total de todos los continentes

Total de medidas de ángulo para todas las secciones 7 ___ 147 x ___ 360 Superficie Continente millones de km2 Australia 7 Europa 9 Antártida 14 América 18 del Sur América 24 del Norte África 30 Asia 45 Total 147

10.1

CONDENSADA (continúa)

(2)

Lección 10.1 • Diagramas de frecuencias relativas (continuación)

Abajo a la izquierda tenemos el diagrama terminado. Para cambiar el diagrama a un diagrama de círculo de frecuencias relativas, rotula cada sección con el porcentaje del área total del continente. Puedes calcular los porcentajes

escribiendo y resolviendo proporciones. Por ejemplo, para encontrar el porcentaje del área total de Australia, puedes resolver la proporción ₁7₄₇₁₀a₀. Abajo a la derecha tenemos el mismo diagrama de círculo en el que las secciones se rotularon con porcentajes.

En ambos diagramas de círculo, el tamaño relativo de cada sección indica la porción del área total de cada continente.

Una gráfica de barras de frecuencias relativas para estos datos muestra los porcentajes de la superficie total, en vez del área misma de la tierra. A la derecha está el diagrama completo de barras de frecuencias relativas.

Observa que, al igual que las gráficas de caja, las gráficas de frecuencias relativas no muestran los valores reales de los datos. Por ejemplo, ambos diagramas de frecuencias relativas muestran que Asia constituye 31% de la

superficie total de los continentes, pero ninguno de los diagramas indica cuál es la superficie de Asia.

El Ejemplo A en tu libro te muestra los pasos para crear un diagrama de círculo de frecuencias relativas y un diagrama de barras de frecuencias relativas para un conjunto diferente de datos. En el ejemplo se utiliza una calculadora para calcular las medidas de ángulo de los diagramas de círculo y para calcular frecuencias relativas. Lee el ejemplo y síguelo en tu calculadora.

El Ejemplo B muestra cómo usar los porcentajes para hallar la posibilidad de que ocurra un evento aleatorio. Lee este ejemplo atentamente.

0 5 10 15 20 25 30 35 Superficies Continentales Australia Porcentaje Con tinent e Antártida

América del Sur América del Norte

África Europa Asia Superficies Continentales 31% Antártida África Europa Asia América del Norte América del Sur Australia 12% 10% 6% 5% 16% 20% Superficies Continentales (millones de km2) 45 Antártida África Europa Asia América del Norte América del Sur Australia 18 ₁₄ 9 7 24 30

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Resultados e intentos

probabilísticos

En esta lección

● calcularás las probabilidades experimentaleso frecuencias relativas de los eventos

● calcularás las probabilidades teóricas de los eventos

● compararás las probabilidades experimentales con las probabilidades teóricas La probabilidad de un eventoo resultado es un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%) que expresa la posibilidad de que tal evento suceda. Puedes encontrar una probabilidad calculando la razón del número de maneras en que el evento puede ocurrir al número total de maneras que se consideran. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 1₂ porque una de los dos resultados posibles es cara.

EJEMPLO Joe trabaja en una estación de ferrocarril vendiendo café y jugo de naranja a los usuarios. El martes pasado vendió 60 cafés grandes, 25 cafés chicos, 45 jugos grandes, y 20 jugos pequeños. Si esta distribución refleja con precisión la preferencia de sus clientes, ¿cuál es la probabilidad de que su primer cliente del siguiente martes compre un jugo de naranja grande? ¿Un café? ¿Un té?

_Solución

_{La probabilidad de que el cliente compre un jugo de naranja grande puede}

expresarse como la razón

₁4₅5₀ 0.3 La probabilidad de que el cliente compre café es

60₁₅₀25₁8₅5₀0.57

Ninguno de los clientes compró té, pues no estaba dentro de las opciones. Por eso, la probabilidad de que el primer cliente compre té es

₁0₅₀0

Lee ahora el ejemplo en tu libro y el texto que sigue, que explica los términos intento, probabilidad experimental, y probabilidad teórica. Piensa en cómo se aplica cada uno de estos términos al ejemplo anterior.

Investigación: Colores dulces

Esta investigación implica el hallar las probabilidades de seleccionar diferentes colores de una bolsa de dulces. Al llevar a cabo un experimento, puedes encontrar las probabilidades experimentales, o frecuencias relativas. Al contar el número de dulces de cada color, puedes encontrar las probabilidades teóricas.

Pasos 1–2 Para llevar a cabo el experimento, escoges al azar un dulce de la bolsa, registras el color y regresas el dulce a la bolsa. Repite el proceso 40 veces.

número de clientes que compraron té

_{número total de clientes}

número de clientes que compraron café

número de clientes que compraron un jugo de naranja grande

10.2

CONDENSADA

(4)

Lección 10.2 • Resultados e intentos probabilísticos (continuación)

El número total de veces que es seleccionado cada color se conoce como la frecuencia experimental del color.

A partir de las frecuencias experimentales y el número total de intentos (40), puedes calcular la probabilidad experimental o frecuencia relativa de cada color. Por ejemplo, la probabilidad experimental de escoger un dulce rojo será

Aquí se presentan los datos y las probabilidades experimentales que encontró un grupo.

Debido a que la tabla toma en cuenta cada color posible, las probabilidades totales suman 1, ó 100%.

Pasos 3–6 El grupo que reunió los datos anteriores vació la bolsa y contó los dulces de cada color. Después calculó la probabilidad teórica de escoger cada color. Por ejemplo,

P(rojo)

Aquí están sus resultados.

En esta situación, cada dulce tiene igual posibilidad de ser escogido que los otros, pero algunos colores tienen una probabilidad más alta de ser escogidos. En los datos se muestra que hay más posibilidad de escoger el naranja y el café, y que el rojo es el menos posible. Observa que las probabilidades teóricas, al igual que las frecuencias relativas, suman 100%.

Compara las probabilidades teórica y experimental. Por ejemplo, las probabilidades experimentales predicen que el naranja será elegido aproximadamente 1 de cada 3 veces. La probabilidad teórica predice que el naranja será escogido 1 de cada 4 veces. En general, cuantos más intentos lleves a cabo, más cerca estarán las probabilidades experimentales de la probabilidad teórica.

Resultados

Rojo Naranja Café Verde Amarillo Azul Total

Número de

2 14 14 10 12 4 56

dulces

Probabilidad ₅2₆3.6% 1₅₆425% 1₅4₆25% 1₅0₆17.9% 1₅₆221.4% ₅4₆7.1% 100%

teórica

número de dulces rojos en la bolsa _{número total de dulces en la bolsa} número total de dulces rojos escogidos

_{número total de intentos}

Resultados experimentales

Rojo Naranja Café Verde Amarillo Azul Total

Cuenta 40 Frecuencia 3 13 8 5 10 1 40 experimental Probabilidad experimental ₄3₀7.5% 1₄₀332.5% ₄8₀20% ₄5₀12.5% 1₄₀025% ₄1₀2.5% 100% (frecuencia relativa) Probabilidad 5 2 6 3.6% 1₅4₆25% 1₅4₆25% ₅10₆17.9% 1₅₆221.4% ₅4₆7.1% 100% teórica Probabilidad teórica

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Resultados aleatorios

En esta lección

● calcularás las probabilidades experimentales de un proceso aleatorio

● usarás una calculadora para simular lanzamientos de monedas

● harás un diagrama en el que se comparan las probabilidades experimentales con la probabilidad teórica de lanzar una moneda y obtener cara

Un proceso es aleatorio (random) si no puedes predecir exactamente qué sucederá en el siguiente intento. Lee el texto introductorio y el ejemplo en tu libro. En el ejemplo se muestra que en ocasiones, incluso si no puedes predecir los resultados exactos de una situación, puedes usar los resultados recolectados para predecir qué pasará a largo plazo. Aquí tienes otro ejemplo.

EJEMPLO Una tarde, Johanna registró el número de autos y camiones que pasaban enfrente de su ventana durante un período de una hora. (Consideró como camiones las minivans y los SUV.) Contó 72 autos y 40 camiones. Usa estos resultados para predecir aproximadamente cuántos de los siguientes 100 vehículos que pasan por la ventana serán camiones.

_Solución

_{La probabilidad experimental de que un vehículo que pase sea un camión es}

₁4₁0₂0.3636%

Johnna puede calcular la probabilidadde que el siguiente vehículo sea un camión, pero no puede saberlo con seguridad. Desde la perspectiva de Johnna el evento es aleatorio. Como la probabilidad observada es 36%, Johnna puede esperar que 36 de los siguientes 100 vehículos que pasen por su ventana sean camiones. Cuando lanzas una moneda una sola vez, no puedes predecir si saldrá cara o cruz

porque el resultado es aleatorio. Sabes, sin embargo, que hay dos resultados igualmente probables: cara o cruz. Por tanto, la probabilidad teórica de obtener cara es 1₂.

Investigación: Lanzamiento de monedas en calculadora

En esta investigación usarás tu calculadora para simular 100 lanzamientos de una moneda. Después crearás una gráfica de dispersión para comparar la probabilidad teórica con la experimental de obtener cara para 100 intentos.

Pasos 1–4 Lee y sigue los Pasos 1–4 de tu libro. Estos pasos te guían para que puedas generar 100 lanzamientos de una moneda. Cuando termines, la tabla de tu calculadora mostrará esta información.

● La lista L1mostrará el número de intento.

● La lista L2mostrará el resultado de cada lanzamiento, en ésta 0 representa cruz y 1 representa cara. Por ejemplo, en la tabla de tu libro se muestra que el resultado del intento 1 fue cruz y el resultado del intento 2 fue cara.

número de camiones _{número total de vehículos}

10.3

CONDENSADA

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Lección 10.3 • Resultados aleatorios (continuación)

● La lista L3mostrará el número de caras obtenidas hasta ese momento. En el ejemplo de tu libro, se obtuvieron tres caras en los primeros siete intentos.

● La lista L4mostrará la probabilidad experimental, calculada después de cada intento. En el ejemplo de tu libro, se obtuvieron tres caras en los primeros siete intentos, de modo que la probabilidad experimental después de siete intentos es

3₇ó aproximadamente 0.43.

Pasos 5–8 Puedes hacer una gráfica de dispersión en la que se muestre la probabilidad experimental después de cada intento. Usa los valores de la lista L1 (el número de intentos) como los valores xy los valores de la lista L4(las probabilidades experimentales) como los valores de y. Puesto que hay 100

intentos, debes configurar la ventana para que muestre valores de xdesde 0 hasta 100. Como el valor más alto de probabilidad es 1, especifica el valor máximo de y

como 1. Tu gráfica debe verse parecida a esto.

[0, 100, 10, 0, 1, 1]

Introduce 1₂, la probabilidad teórica de obtener cara, en Y1de la pantalla Y. Esto grafica la recta y1₂en la misma pantalla que tu gráfica de dispersión.

Al observar la cercanía de los puntos a la recta, puedes comparar las

probabilidades experimentales con la probabilidad teórica. Observa que a medida que aumenta el número de intentos, los puntos se acercan más a la recta; esto es, las probabilidades experimentales se acercan cada vez más a la probabilidad teórica. Agrega los datos de 100 intentos más a tu tabla y haz otra gráfica de dispersión. Debes observar que los puntos se acercan aún más a la recta.

Cuantas más veces lances una moneda, más cerca de 1₂ estará la probabilidad experimental de obtener cara. Sin embargo, incluso si emergiera un patrón a largo plazo, no te sería de ayuda para predecir un resultado específico. Cuando lanzas una moneda, conoces la probabilidad teórica de obtener cara o cruz. En algunas situaciones, no puedes calcular probabilidades teóricas. En tales casos, puedes llevar a cabo muchos intentos y determinar las probabilidades experimentales basándote en tus resultados.

(7)

Técnicas de conteo

En esta lección

● usarás diagramas de árbolpara ayudarte a calcular las probabilidades

● aprenderás el principio de conteo para determinar los números de posibilidades

● aprenderás acerca de tipos especiales de disposiciones llamadas permutacionesy combinaciones

Has aprendido que la probabilidad de un resultado es la razón entre el número de resultados deseados y el número total de resultados posibles. A veces hay muchos resultados posibles, y contarlos es difícil. Una manera de contar los resultados es usar un diagrama de árbolpara ayudar a organizar la información.

Investigación: ¡Premios!

Pasos 1–3 Si se entrega un premio a un grupo de cuatros personas, hay cuatro posibles ganadores del premio: A, B, C, o D.

Si hay dos premios, un disco compacto y una entrada para el cine, que se otorgan a un grupo de cuatro personas, el diagrama de árbol es útil para organizar los resultados posibles. El primer grupo de ramas muestra quién puede ganar el disco compacto, y para cada una de esas ramas el próximo grupo muestra quién puede ganar la entrada para el cine.

Al leer a través de las ramas, puedes ver que hay 12 grupos posibles de dos ganadores: AB, AC, AD, BA, BC, y así sucesivamente.

Si se reparten tres premios distintos a un grupo de cuatro personas, hay 24 resultados posibles: ABC, ABD, ACB, y así sucesivamente. No necesitas dibujar el diagrama de árbol completo; necesitas dibujar sólo lo suficiente para ver cómo funciona. CD Entrada A B C D B C D A C D A B D A B C

10.4

(8)

Lección 10.4 • Técnicas de conteo (continuación)

Pasos 4–5 Para un premio otorgado a cuatro personas, hay cuatro resultados posibles. Para dos premios otorgados a cuatro personas, hay

(4 opciones)

(3 opciones) 12 resultados posibles. Para tres premios otorgados a cuatro personas, hay (4 opciones)

(3 opciones)

(2 opciones) 24

posibilidades. Siguiendo este patrón, si cinco estudiantes se presentan a una prueba de selección para tres papeles, hay 5

4

3 60 disposiciones de reparto.

El Ejemplo A muestra el mismo tipo de situación que se presentó en la

investigación -una disposición en la cual el orden es importante y no se permiten las repeticiones. (Es decir, la misma persona no puede ganar dos premios

distintos.) Estas disposiciones se llaman permutaciones.El Ejemplo C muestra una situación diferente, llamada una combinación,en la cual el orden noes importante pero tampoco se aceptan las repeticiones. Lee los ejemplos y el texto y asegúrate de entender cuándo es importante el orden.

El Ejemplo B muestra una disposición que no es ni una permutación ni una combinación porque sepermiten las repeticiones. El principio de conteo,descrito en la página 572, se puede usar para encontrar los números de disposiciones en todos estos ejemplos.

CD Entrada Comida A B C D B C D C D

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Experimentos de múltiples etapas

En esta lección

● aprenderás la regla de multiplicaciónpara calcular probabilidades más complicadas

● estudiarás probabilidades independientesy condicionales(o dependientes) La investigación demuestra cómo calcular las probabilidades a lo largo de las ramas de un diagrama de árbol.

Investigación: Pinball Pupils

Pasos 1–5 Lee la investigación en el libro. Una clase de 30 alumnos realizan los Pasos 1–3 cuatro veces y obtienen estos resultados.

La suma de los números en las cinco puntas es 16 26 15 41 22 120. Esto tiene sentido porque 30 alumnos hicieron la simulación cuatro veces, un equivalente a 120 resultados.

Pasos 6–11 De 120 alumnos, 42 fueron a “Cuadrado”, entonces

P(S) ₁4₂2₀ 0.35. De manera similar,P(R) ₁7₂8₀ 0.65. Observa que 0.35 0.65 1.

De 42 estudiantes en S, 16 fueron a E, entonces P(E) 1₄6₂0.38. De manera similar,P(O) 2₄6₂≈ 0.62. Usando los 78 alumnos en R, puedes calcular

P(U) 1₇5₈ 0.19,P(P) 4₇1₈ 0.56, y P(C) 2₇2₈0.28. (Observación: Estas probabilidades suman 0.99 en vez de 1 debido al error de redondeo.)

P(S y E) indica la probabilidad de que un alumno vaya a S y luego a E. Hay 16 de estos alumnos, de los 120 alumnos en total. Por lo tanto P(S y E) ₁1₂6₀ 0.13. Calcula cada unas de las probabilidades restantes, y comprueba que obtienes 0.22, 0.13, 0.34, y 0.18.

Comprueba que P(S)

P(E) P(S y E). La misma relación es válida para cada uno de los caminos.

Observa que la suma de las cinco probabilidades finales es 1. Esto tiene sentido porque 100% de los alumnos deben llegar a uno de los círculos finales.

S 1er_Lanzamiento ₂do_Lanzamiento S y E S y O R y U R y P R y C R Total Totales Experimentales 120 42 78 16 26 15 41 22 Inicial

10.5

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Lección 10.5 • Experimentos de múltiples etapas (continuación)

Paso 12 Puedes crear un diagrama de árbol con las probabilidades teóricas en vez de las probabilidades experimentales tomando en cuenta la probabilidad de cada resultado cuando tiras un dado. Por ejemplo,P(S) P(1 ó 4) 2₆, ó 1₃, y

P(E) P(2 ó 3 ó 5 ó 6) 4₆, ó 2₃. Encuentra las probabilidades P(U),P(P), y

P(C). Luego, multiplica a lo largo de las ramas para encontrar las probabilidades de cada uno de los resultados finales. Comprueba que su suma sea 1. Tus resultados deberían aproximarse a los resultados experimentales obtenidos en los Pasos 7–9.

Al considerar un evento con múltiples etapas, la probabilidad de cualquier secuencia dada de eventos puede encontrarse multiplicando la probabilidad de cada resultado. Esto se llama regla de multiplicación.

El Ejemplo A muestra cómo usar la regla de multiplicación para calcular las probabilidades teóricas de echar dos monedas a cara o cruz. Al echar una moneda y luego la otra, los dos eventos son independientes.Es decir, el resultado de echar la primera moneda y sacar una cara no afecta el resultado de sacar una cara la segunda vez—no tienes ni mayores ni menores probabilidades de obtener el mismo resultado.

Algunos eventos son condicionales (o dependientes), por ejemplo el evento del Ejemplo B. Lee el Ejemplo B y observa la notación para probabilidad condicional.

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Valor esperado

En esta lección

● aprenderás sobre el valor esperado

Esta lección te presenta el valor esperado,que es un tipo de promedio. El valor esperado se puede calcular usando probabilidades. Lee el texto que está antes de la investigación en la página 584 para ver un ejemplo de una situación con valor esperado.

Investigación: Viaje por carretera

Pasos 1–5 Intenta los Pasos 1-3 unas pocas veces, y encuentra el promedio de los números de ciudades visitadas en cada viaje. También puedes usar la simulación de la calculadora CITIES varias veces y comparar el promedio que produce con el promedio que obtuviste al tirar un dado.

Paso 6 Puedes usar un diagrama de árbol para representar esta situación. En él puedes registrar la probabilidad de cada vez que de visitar una nueva ciudad o una ciudad previamente visitada. Hay seis ciudades, por lo tanto no tirarás el dado más de seis veces. La séptima vez que lo tires, tendrás la garantía de obtener el número que obtuviste antes.

Al tirar el dado por primera vez, determinas la ciudad inicial. Al tirarlo por segunda vez, la probabilidad de que visites una ciudad que has visitado antes es de 1₆. La probabilidad de que visites una nueva ciudad es de 5₆. Si visitas la ciudad previamente visitada, se te termina el viaje. Si no, tiras de nuevo. Esta vez, has visitado dos ciudades, entonces la probabilidad de visitar una ciudad que has visitado antes es de 2₆. La probabilidad de que visites una nueva ciudad es de 4₆. Aquí está el diagrama de árbol completo, con la probabilidad de cada resultado. El número en paréntesis indica el número de ciudades visitadas.

Pasos 7–8 Para calcular la probabilidad de visitar cada número de ciudades, multiplica las probabilidades a lo largo de las ramas. Entonces P(1) 1₆0.17 (donde P(1) significa la probabilidad de visitar una ciudad),

P(2) 5₆ 2₆ ₁5₈ 0.28,P(3) 5₆ 4₆ 3₆ ₁5₈0.28, P(4) 5₆ 4₆ 3₆ 4₆₂5₇ 0.19,P(5) 5₆ 4₆ 3₆ ₆2 5₆₃2₂5₄ 0.08, y P(6) 5₆ 4₆ 3₆ ₆2 1₆ ₆6₃5₂₄0.02. También, 1₆₁5₈ ₁5₈₂5₇₃2₂5₄ ₃5₂₄ 1. Ciudad inicial Ciudad previamente visitada (1) Nueva ciudad 1 _ 6 5 _ 6 Ciudad previamente visitada (2) Nueva ciudad 2 _ 6 4 _ 6 Ciudad previamente visitada (3) Nueva ciudad 3 _ 6 3 _ 6 Ciudad previamente visitada (4) Nueva ciudad 4 _ 6 2 _ 6 Ciudad previamente visitada (5) Nueva ciudad 5 _ 6 1 _ 6 Ciudad previamente visitada (6) Nueva ciudad 6 _ 6 0 _ 6

10.6

(12)

Lección 10.6 • Valor esperado (continuación)

El valor esperado (el número esperado de ciudades que visitarás) es

1₆ 1 ₁5₈ 2 ₁5₈ 3 ₂5₇ 4 ₃2₂5₄ 5 ₃5₂₄6 22₃5₂1₄ 2.77. Este número debería aproximarse a tus resultados en los Pasos 1–5.

Lee los Ejemplos A y B. Estos muestran cómo calcular el valor esperado en dos situaciones diferentes. Aquí hay otro ejemplo.

EJEMPLO Supón que juegas este juego en el carnaval de tu escuela: Pagas $1 para echar tres monedas de un centavo a cara o cruz. Si sacas todas caras o cruces, ganas $3. Si sacas cualquier otra combinación, no ganas nada. ¿Cuál es el valor esperado de tus ganancias?

_Solución

_{Puedes hacer un diagrama de árbol de las posibilidades para ver que hay dos}

maneras de ganar (las tres caras o las tres cruces) de ocho posibilidades.

Entonces, la probabilidad de ganar $2 (ganas $3, pero pagas $1 para jugar) es 2₈, ó 1₄ ; y la probabilidad de perder $1 es 6₈, ó 3₄. Puedes hacer una tabla para organizar esta información y calcular el valor esperado.

Por lo tanto el valor esperado es 0.25, es decir que en promedio esperas perder $0.25 cada vez que juegas.

Resultado Ganar $2 Perder $1

Probabilidad 1₄ 3₄ Suma

Producto 0.50 0.75 0.25

1er_Lanzamiento ₂do_Lanzamiento ₃o_Lanzamiento

H H H HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT T H T H T H T T T H T