MATEMÁTICAS TIMONMATE EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE GRADO UNO
ECUACIONES DE GRADO UNO
A. Introducción teórica B. Ejercicios resueltos
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
En una ecuación no es necesario conocer el valor de todos los términos que aparecen en ella. El verdadero juego consiste en encontrar, mediante diversas artimañas, el valor del término desconocido, siempre que se conozcan los demás, claro está.
En las ecuaciones de grado 1, el factor desconocido está elevado a exponente 1. Ese valor desconocido se suele llamar incógnita y se representa con la letra x, aunque perfectamente podríamos usar la y, la z o cualquier otro símbolo.
Las ecuaciones de grado 1 son aquellas que se pueden expresar siempre del siguiente modo:
ax+ =b 0
Resolver una ecuación consiste en dejar a la incógnita “sola”, aislada en uno de los dos miembros del signo “=”.
Si escribiésemos siempre las ecuaciones de grado 1 de la forma ax+ =b 0, para resolverlas bastaría aplicar la fórmula siguiente:
b x
a = −
Pero vamos a resolver ecuaciones aplicando un poco de ingenio, buscando la libertad, huyendo de las recetas de las fórmulas que nos llevan a la solución sin pensar.
Reglas para despejar la x:
B. Ejercicios resueltos
1. x+2=4
x = 4 – 2 x = 2
2. x – 4 = 12 x = 12 + 4 x = 16
3. 30x = 60 60
x 2
30 = =
4. 3x = – 4 4 x
3 = −
5. –2x = –14 14 14
x 7
2 2
−
= = = −
6. 2x + 2 = 12 2x=12− ⇒2
10
2x 10 x 5
2 ⇒ = ⇒ = =
7. 9x – 4 = 14 9x=14+ ⇒4
18
9x 18 x 2
9 ⇒ = ⇒ = =
8. 9x – 2 = 4 – 2 9x= − + ⇒4 2 2
4 9x 4 x
9 ⇒ = ⇒ =
9. 16x + 3 – 4 – 2 = – 4 – 2 16x= − − + + − ⇒4 2 4 2 3
3
16x 3 x
16 ⇒ = − ⇒ = −
10. 12x – 2 – 4 = –3 – 4 – 4 12x= − − − + + ⇒3 4 4 2 4 12x= − − − + + ⇒3 4 4 2 4
5
12x 5 x
12 ⇒ = − ⇒ = −
11. 4x – x + x = 3 + 10 13 4x 13 x
4 = ⇒ = Si la x está siendo:
sumada por un término el término pasa al otro miembro restando
restada por un término el término pasa al otro miembro sumando
dividida por un término el término pasa al otro lado multiplicando
multiplicada por un
TIMONMATE Ecuaciones resueltas de grado uno
12. x 2 1
3+7 =3 Solución:
m.c.m(3,7)
=
21
. Entonces:x 7 2 3 1 7 7x 6 7 1
7x 6 7 7x 1 x
21 21 21 21 21 21 7
⋅ ⋅ ⋅
+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
13. x 1 2
3− =4 Solución:
m.c.m(4, 3)
=
12
. Entonces:x 4 1 3 2 12 4x 3 24
12 12 12 12 12 12
⋅ ⋅ ⋅
+ = ⇒ + = ⇒ 4x 3 24 4x 21 x 21 4 + = ⇒ = ⇒ =
14. 3x 3 1
2 +4=2 Solución:
m.c.m(2, 4)
=
4
. Entonces:3x 2 3 1 1 2 6x 3 2 1
6x 3 2 6x 1 x
4 4 4 4 4 4 6
⋅ ⋅ ⋅
+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −
15. 5x 1 3 5
6 − = −7 3 Solución:
m.c.m(3, 6,7)
=
42
. Entonces:5x 7 1 6 3 12 5 42
42 42 42 42
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− = − ⇒ 35x 6 36 210 42 42 42 42
⇒ + = − ⇒
35x 6 36 210
⇒ + = − ⇒36x=36 210 6− − ⇒36x=180⇒ x 180 5 36 ⇒ = =
16. 11x 14 1 1 1
2 6 4 8
− + − = +
m.c.m(2, 4,6, 8)
=
24
. Entonces:11x 12 14 4 1 24 1 6 1 3 132x 56 26 6 3
24 24 24 24 24 24 24 24 24 24
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− + − = + ⇒ − + − = − ⇒
27 9
132x 56 26 6 3 132x 27 x
132 44 ⇒ − + − = − ⇒ = − ⇒ = − = −
17. 3x x 2 1 2x
2 + − = 4+
Solución:
m.c.m(2, 4)
=
4
. Entonces:3x 2 x 4 2 4 1 1 2x 4 6x 4x 8 1 8x
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ − = + ⇒ + − = + ⇒
9 6x 4x 8 1 8x 6x 4x 8x 1 8 2x 9 x
2 ⇒ + − = + ⇒ + − = + ⇒ = ⇒ =
18.
−
4(3 x)
−
= −
3
Solución:
9
4 3 4 x 3 12 4x 3 4x 3 12 4x 9 x
4 − ⋅ + ⋅ = − ⇒ − + = − ⇒ = − + ⇒ = ⇒ =
19.
−
4(3 x) ( 3 5x)
−
− − −
= − +
1
x
Solución:
12 4x 3 5x 1 x 4x 5x x 1 3 12
− + + + = − + ⇒ + − = − − + ⇒8x= ⇒8 x 1
⇒ =
20.
−
4(3 x) ( 3 5x)
−
− − −
=
2(x 3x 1)
−
−
Solución:
12 4x 3 5x 2x 6x 2 4x 5x 2x 6x 2 12 3
7 13x 7 x
13
− + + + = − − ⇒ ⇒ + − + = − + − ⇒
⇒ = ⇒ =
21. x 1 x
2 8
− = Solución:
TIMONMATE Ecuaciones resueltas de grado uno
(
)
(
)
x 1 4 x 1
x 1 4 x 4x 4 x 4x x 4
8 8
− ⋅ ⋅
= ⇒ − ⋅ = ⇒ − = ⇒ + = ⇒
4 5x 4 x
5 ⇒ = ⇒ =
22. x 1 x 1 3
3 6 2
+ +
+ =
Solución:
m.c.m(2, 3, 6)
=
6
. Entonces:(
)
(
)
(
)
(
)
x 1 2 x 1 1 3 3
x 1 2 x 1 1 9
6 6 6
+ ⋅ + ⋅ ⋅
+ = ⇒ + ⋅ + + ⋅ = ⇒
2x 2 x 1 9 2x x 9 2 1
⇒ + + + = ⇒ + = − − ⇒3x 6 x 6 2 3 = ⇒ = =
23. 3(x 4) 5(2x 1) 2x
2 3 4
− +
+ =
Solución:
m.c.m(2, 3, 4)
=
12
. Entonces:3(x 4) 6 5(2x 1) 4 2x 3
18(x 4) 20(2x 1) 6x
12 12 12
− ⋅ + ⋅ ⋅
+ = ⇒ − + + = ⇒
18x 72 40x 20 6x 18x 40x 6x 72 20 ⇒ − + + = ⇒ + − = − ⇒
52
52x 52 x 1
52 ⇒ = ⇒ = =
24. 3(2x 4 x) 5(2x 1) 2(x 3)
2 3 4
− + − −
− =
Solución:
m.c.m(2, 3, 4)
=
12
. Entonces:3(2x 4 x) 6 5(2x 1) 4 2(x 3) 3
12 12 12
− + ⋅ − ⋅ − ⋅
− = ⇒
18(3x
4) 20(2x 1)
6(x 3)
⇒
−
−
−
=
−
⇒
34 17 54x 40x 6x 18 72 20 8x 34 x
8 4
⇒ − − = − + − ⇒ = ⇒ = =
25. 1 2
x=
Solución:
1 2 1 1 2 x 1
1 2x x
x 1 x x 2
⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
26. 3 5
2=7x Solución:
3 7x 5 2 10
21x 10 x
14x 14x 21
⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
27. 5 1 1
2=7x− Solución:
5 7x 1 2 1 14x
21x 2 14x 21x 14x 2 14x 14x 14x
⋅ ⋅ ⋅
= − ⇒ = − ⇒ + = ⇒35x= ⇒2
2 x
35 ⇒ =
28. 5 3 1 2
2+ =3x−
Solución:
5 3x 3 6x 1 2 2 6x
15x 18x 2 12x
6x 6x 6x 6x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ = − ⇒ + = − ⇒
2 15x 18x 12x 2 45x 2 x
45 ⇒ + + = ⇒ = ⇒ =
29. 2x 3
1 x− =5 Solución:
3 (1 x)
2x 5 3
10x 3 3x 10x 3x 3 13x 3 x
(1 x) 5 (1 x) 5 13
⋅ − ⋅
TIMONMATE Ecuaciones resueltas de grado uno
30.
1
2
1
1
x
−
=
Solución:
1
1
1
1
2
1
1 x
2
1 x
1
1
1
x
x
x
x
2x
1
x
1
x
x
x
2
2
2
⋅
⋅
⋅
−
= − ⇒
−
= −
⇒ − = − ⇒ + =
⇒
=
⇒
1 1
x x
2 2 4
⇒ = ⇒ = ⋅