Ecuaciones Diferenciales separables

(1)

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

v APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN

SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO

ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)

Escuela Superior Politécnica del Litoral

Solucionario de Problemas

de Ecuaciones

Diferenciales

Primer parcial (3ra versión)

Roberto Cabrera

(2)

Ecuaciones diferenciales de primer orden

ESPOL 2009 2

Ecuaciones Diferenciales separables

Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa ecuación diferencial de la siguiente manera:

Donde se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial:

Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma:

1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial: 0 0 0 0 3) 3) 3) 3) -- -y y y y -- -3x 3x3x 3x dx(xy dx(xy dx(xy dx(xy -8) 8)8) 8) -4y 4y 4y 4y 2x 2x 2x 2x -- -dy(xy dy(xydy(xy dy(xy + + =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

c 4 x ln 5 x 3 y ln 5 y 4 x dx 5 dx 3 y dy 5 dy 4 x dx 5 4 x dx 4 x 3 y dy 5 ) 3 y ( dy ) 3 y ( 4 x dx 1 x 3 y dy 2 y ecuación la de lados ambos a Integramos 4 x dx 1 x 3 y dy 2 y ); x ( g ) y ( f 4) 2)(x -(y 1) -3)(x (y dx dy 2) -4(y 2) -x(y 3) (y -3) x(y dx dy 8 -4y 2x -xy 3 -y -3x xy dx dy + + − = + − + − = + − + − + + = + − + + + − = + − ⇒ + − = + − = + + = + + + = + + =

∫

(3)

Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 3

[

]

(

)

[

]

[

(2 e )

]

; arctan y : es particular solución La 1; K K; 4 $ tan arctan(K); $/4 ; K e 2 arctan $/4 $/4; y(0) si ; K ) e (2 arctan y : es general solución La K; ) e (2 tan(y) ; e e c; e 2 3ln tan(y) ln : v y u do Reemplazan 3 x 0 3 x 3 x c e 2 3ln tan(y) ln x x − = = ⇒ =       = − = ⇒ = − = − = = + − = + − ; c e 1 ln 2 e ln 2 e 2 e ye : es general implicita solución La ; ) e (1 e dx e ye ; c e 1 ln 2 e ln 2 e 2 ) e (1 e dx ; c u 1 ln 2 u ln 2 u 2 ) u (1 u du 2 ; u 1 du 2 u du 2 u du 2 ) u (1 u du 2 ; du u 1 1 u 1 u 1 2 ) u (1 u du 2 1; C 1; -B 1; A : son C B, A, de valores los Donde ; u 1 C u B u A ) 1 u ( u 1 : obtenemos parciales fracciones por Integrando x/2 x/2 x/2 y y x/2 x/2 y y x/2 x/2 x/2 x/2 x/2 2 2 2 2 2 2 2 + + + − − = − ⇒ + = − + + + − − = + ⇒ + + + − − = + ⇒ + + − = + ⇒             + + − = + ⇒ = = = + + + = +

∫

2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: Si Si Si Si y( ) ; 4 0 = π

3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:

0 0 0 0 ) ) ) ) e e e e (1 (1(1 (1 e e e e dx dx dx dx ydy ydyydy ydy e ee ex/2x/2x/2x/2 _y_y_y_y _x/2_x/2_x/2_x/2 = + −

∫

+ = + = + ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = + + = = + = = + = + = ) u (1 u du 2 ) u u(1 u du 2 ) e (1 e dx ; u du 2 dx udx 2 1 du ; dx e 2 1 du e u ? ) e (1 e dx ; ) e (1 e dx dy ye ; ye 1 ) y ( g ; ) e (1 e 1 ) x ( f ); y ( g ). x ( f )ye e (1 e 1 dx dy ; ) e (1 e dx ydy e 2 x/2 x/2 2 / x 2 / x x/2 x/2 x/2 x/2 y y x/2 x/2 y x/2 x/2 x/2 y x/2 c; v 3ln u ln ; v 3dv u du : do Reemplazan dx; e dv e 2 v (y); sec du tan(y) u ; ) e (2 dx 3e tan(y) (y)dy sec ; ) e (2 dx 3e tan(y) (y)dy sec f(x).g(y); (y) )sec e (2 tan(y) 3e dx dy tan(y)dx; 3e (y)dy )sec e (2 0 (y)dy )sec e (2 tan(y)dx 3e x x 2 x x 2 x x 2 2 x x x 2 x 2 x x + = = ⇒ − = ⇒ − = = ⇒ = − − = − − = = − − = − = − = − +

∫

(4)

ESPOL 2009 4

4. - Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:

0 dy ) x ln( 1 x ) e e ( dx ) x ln( y 2 −−−− y−−−− −−−−y ++++ ====

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2n 1

)(

2n 1

)

!; y dy ! 1 n 2 y dy ! 1 n 2 y ; dx ) x ln( 1 x ) x ln( dy ! 1 n 2 y : emplazando Re ; ! 1 n 2 y y ) y ( senh ! 1 n 2 y ) y ( senh Si dy y ) y ( senh ; dx ) x ln( 1 x ) x ln( dy y ) y ( senh ) y ( senh 2 ) e e ( ; dx ) x ln( 1 x ) x ln( dy y 2 ) e e ( ; dx ) x ln( 1 x ) x ln( dy y 2 ) e e ( ) x ln( 1 x ) e e ( ) x ln( y 2 dx dy ; ) x ln( 1 x ) x ln( ) e e ( y 2 ) y ( f ); x ( g ). y ( f ) x ln( 1 x ) e e ( ) x ln( y 2 dx dy ; dx ) x ln( y 2 dy ) x ln( 1 x ) e e ( 0 n 1 n 2 0 n n 2 0 n n 2 0 n n 2 0 n n 2 0 n 1 n 2 y y y y y y y y y y y y y y

∑

∫∑

∑

∫

∫∑

∑

∫

∞ + = + ∞ + = ∞ + = ∞ + = ∞ + = ∞ + = + − − − − − − − + + = + + + = + + = ⇒ + = + = = − + = − + = − + − = + = ∧ − = = + − = = + − : que obtenemos Integrando : potencias de series usar debemos integrar Para : siguiente lo tenemos entonces que observamos Si : obtiene se ecuación la de lados ambos a Integrando g(x)

(5)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

C 3 2 ! 1 n 2 1 n 2 y ; C 3 2 dx C 3 2 ; C z 3 z 2 z ; z ; du zdz 2 u 1 ; dx Si ? dx dx 3 1 n 2 3 3 3 +         + − + = + + +         + − + = + ⇒ +         + − + = + ⇒ +       − = = ⇒ = + ⇒ = ⇒ + = + = + ⇒ = ⇒ = = + +

∑

∫

∞ + = + ln(x) 1 ln(x) 1 : es implícita forma de general solucion La ln(x) 1 ln(x) 1 ln(x) 1 x ln(x) u 1 u 1 u 1 udu 2 1)dz -(z 1)2zdz -(z 1)2zdz -(z u 1 udu z Ahora u 1 udu ln(x) 1 x ln(x) x dx du ln(x) u ln(x) 1 x ln(x) : ln(x) 1 x ln(x) integrando Ahora 0 n 2 2 2 2

(6)

ESPOL 2009 6

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:

g(x); p(x)y

y'+ =

Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:

Ø El método del factor integrante. Ø Método de variación de parámetros

El método del factor integrante:

[

]

[

]

[

]

; u(x)g(x)dx u(x) 1 y ; u(x)g(x)dx u(x)y ; u(x)g(x)dx u(x)y d u(x)g(x); u(x)y dx d u(x)g(x); p(x)y y' u(x) ; e u(x) p(x)dx

∫

= = = = = + ∫ = = +p(x)y g(x); y'

Método de variación de parámetros

v(x); y' v'(x) y y' v(x); y y Asumir: e y p(x)dx; y p(x)dx; y dy ; p(x)y dx dy ; p(x)y ' y ; p(x)y ' y h h h p(x)dx; h h h h h h h h h h + + + + = = = = = = = = = == = − − − − = = = = − − − − = = = = − −− − = = = = − −− − = = = = = = = = + + + + = = = = + ++ + ∫∫∫∫ −−−−

∫∫∫∫

ln 0 g(x); p(x)y y'

[[[[

]]]]

[[[[ ]]]]

[[[[

]]]]

[[[[ ]]]]

∫∫∫∫

∫∫∫∫ = == = = == = = = = = = = = = = == = = == = = = = = + ++ + = = = = + + + + = = = = + ++ + + ++ + = = = = + ++ + + ++ + = = = = + ++ + − − − − dx; y g(x) e y v(x); y y dx; y g(x) v(x) dx; y g(x) dv g(x); y dx dv g(x); y v'(x) g(x); v(x) y v'(x) s: , entonce p(x)y Pero y' g(x); p(x)y y' v(x) y v'(x) g(x); v(x) p(x)y v(x) y' v'(x) y g(x); p(x)y y' : emplazando h p(x)dx h h h h h h h h h h h h h h 0 0 Re

(7)

1)

;

ctg(x)

(x)

sen

x

y

xy'

4 2 3

=

−

2 [

]

; C 3 ) X ( ctg 4 x y ; C 3 ) X ( ctg 4 y x 1 ; C 3 ) X ( ctg 4 C 3 ) X ( ctg 4 dx ctg(x) ) x ( csc 3 u 4 4 / 3 u du u u du dx ctg(x) ) x ( csc ; dx ) x ( csc du ) x ( ctg u Si ; dx ctg(x) ) x ( csc dx ctg(x) (x) sen 1 ; dx ctg(x) (x) sen 1 y x 1 ; dx ctg(x) (x) sen 1 y x 1 d ; ctg(x) (x) sen 1 y x 1 dx d ; ctg(x) (x) sen x x 1 y x 2 y' x 1 ; x 1 x e e e ) x ( u ; ctg(x) (x) sen x y x 2 y' 4 3 2 4 3 2 4 3 4 / 3 4 2 4 / 3 4 / 3 4 / 1 4 4 2 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 ) x ln( ) x ln( 2 dx x 2 4 2 2 2         + − = + − = ⇒ + − = + − = ⇒ − =       − = − = − = ⇒ − = ⇒ = =         ⇒         = ⇒         =       ⇒         =               =       − = = = = ∫ = ∫ = = + = −

∫

− − − − − : es l diferencia ecuacion la de general solución La : ecuación la de lados ambos a u(x) integrante factor el emos Multipliqu e u(x) : u(x) integrante factor el s Encontremo : integrante factor del método el aplicar podemos tanto lo Por g(x); p(x)y y' forma la Tiene p(x)dx

(8)

2)







≥

<

≤

=

+

2 x

;

2x

-2

x

0 ;

p(x)

1;

y(0)

1;

p(x)y

y'

1

Para el intervalo 0≤x<2 resolvemos la ecuación diferencial, donde p(x) =1:

(

)

(

)

(

)

(

)

2; x para : potencias de series usar s necesitamo integrar para Pero lineal) dif. (Ec. 1; y'-2xy -2x; p(x) 2, x para Ahora > + + − = ⇒ + + − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = = = ∫ = = = ≥

∑

∫∑

∫

∞ + = + ∞ + = + − ∞ + = − − − − − − − − − − − − ; k e ! n ) 1 n 2 ( x 1 e y ; k ! n ) 1 n 2 ( x 1 y e ; dx ! n x 1 y e dx e ; dx e y e ; dx e ) y e ( d ; e dx ) y e ( d ); 1 ( e xy 2 y'-e ; e e ) x ( u 2 0 n x 1 n 2 n x 2 0 n 2 1 n 2 n x 0 n n 2 n x x x x x x x x x x x xdx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 0 para ); separable dif. (Ec. < ≤ = ⇒ = ⇒ − = = − = = − = + − = − + = − − = − ⇒ = − − = ⇒ = + = + − − + − −

∫

1 y ; 0 k ; e k 1 1 ; 1 ) 0 ( y Pero ; e k 1 y ; e k y 1 ; e e K x y 1 ln ; C x y 1 ln ; dx y 1 dy dx y 1 dy ; y 1 dx dy ; 1 y dx dy ; 1 y ' y 1 1 0 1 x 1 1 x 1 K x y 1 ln

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2n 1

)

n!; 2 1 2 e 1 k ; ! n 1 n 2 2 2 1 e 1 k ; k e ! n 1 n 2 2 2 1 e 1 ; k e ! n 1 n 2 2 2 1 e 1 ; k e ! n 1 n 2 2 1 e 1 ; k e ! n 1 n 2 x 1 e 1 ; y y ); x ( f ) x ( f 0 n n 2 n 4 2 0 n n 2 n 4 2 2 4 0 n n 2 n 4 2 4 0 n n 2 n 4 2 2 0 n 1 n 2 n 2 2 x 0 n 1 n 2 n x 2 x 2 x 2 2 x 1 2 x a x a x 2 2 2 2

lim

∑

∞ + = ∞ + = ∞ + = ∞ + = ∞ + = + ∞ + = + → → → → → → + − − = ⇒ + − − = ⇒ = + − − ⇒ + + − = ⇒ + + − = ⇒       + + − = ⇒ = ⇒ = + − + − + − : dice condición Esta : funciones dos de d continuida de condición la usaremos k encontrar para Ahora 2

(

)

(

)

(

)

     ≥       + − − + + − < ≤ =

∑

+∞ = ∞ + = + 2 x 2 x 0 ; : encia correspond de regla siguiente la con expresada queda solución La ; ! n 1 n 2 2 1 2 e 1 e ! n ) 1 n 2 ( x 1 e 1 y 0 n n 2 n 4 0 n x 1 n 2 n x2 2

(9)

ESPOL 2009 9

3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:

x

e

y

dx

dy

y

2 +

=

Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y”

(

x =f(y)

)

.

(

)

(

)

[ ]

[

]

[

]

[

]

∫

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = =       − ⇒ = − = = ⇒ = = ∫ = − = ∫ = = + = + = − ⇒ = − − ⇒ = − − ≡ = − − = + = + − − − − − − − dy y e y dy y e x y dy y e x y dy y e x y y e x y . y e y x 2 ' x y e y x 2 ' x e ; y 2 ) y ( p ; ; g(y) p(y)x x' ; y e y x 2 ' x ; 0 y x 2 y e ' x ; 0 x 2 e ' yx ; 0 x 2 e dy dx y ; dy dx y x 2 e ; ydx dy x 2 e 3 y 2 3 y 2 3 y 2 3 y 2 3 y 2 y x y y y ln 2 y y y y y y 2 x d d dy d y y : l diferencia ecuación la de lados ambos a y u(y) integrante factor el ndo Multiplica y u(y) y e u(y) s entonce e u(y) : y de depende ahora integrante factor El * : integrante factor del método el Apliquemos : nte independie variable la y es Ahora g(y); p(y)x x' forma la Tiene 2 -dy d 2 -2 -2 -2 -dy y 2 p(y)dy 4 43 4 42 1         + − + + − − = =         + + + = = ⇒ =

∑

∫

∑

∫

∑

∞ + = − ∞ + = − ∞ + = − ∞ + = − ∞ + = ; C ! n ) 2 n ( y ) y ln( 2 1 y 1 y 2 1 dy e y ) y ( x ! n y y ! 2 1 y ! 1 1 y ! 0 1 dy ! n y ! n y y e ! n y e dy e 3 n 2 n 2 y 2 3 n 3 n 2 3 0 n 3 n 0 n 3 n 0 n 3 y n y y 2 3 3 y y : potencias de series usamos y integrar Para La solución es:         + − + + − − =

∑

+∞ = 2 3 n n 2 y C 2)n! (n y ln(y) y 2 1 y 2 1 x

(10)

ESPOL 2009 10

4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:

;

0 =

=

−

y

x

sen(ln(x))

;

y(1)

xy'

2

Utilizando el método del factor integrante:

; x ) x ( u ; e e e ) x ( u ; x 1 e ) x ( u e ) x ( u ; (x)) ln xsen( x y y' ; (x)) ln sen( x y xy' 1 ) x ln( dx x 1 dx ) x ( p dx ) x ( p ; dx ) x ( p 2 − − ∫ − ∫ ∫ ∫ = ⇒ = = = ⇒ − = = ⇒ = = + = − = − p(x) donde ; : entonces g(x), p(x)y y' forma siguiente la Tiene [ ]

[

]

[

]

[

]

∫

= = = ⇒ = ⇒ = = − − − − − − − − − (x))dx ln sen( x y (x))dx ln sen( y x (x))dx ln sen( y x d (x))dx ln sen( y x d (x)) ln sen( y x dx d ; (x)) ln xsen( x x y x y' x 1 1 1 1 1 y x dx d 1 1 1 : obtiene se l diferencia ecuación la de lados ambos a integrante factor el ndo Multiplica 4 43 4 42 1

[

]

[

]

[

]

[

]

; Cx 2 )) x cos(ln( )) x (ln( sen x y C 2 )) x cos(ln( )) x (ln( sen x x y ; C 2 )) x cos(ln( )) x (ln( sen x dx )) x (ln( sen ; C 2 ) z cos( ) z ( sen e dz e ) z ( sen dz e ) z ( sen ; dz e ) z ( sen dx )) x (ln( sen ; dz e dx ; ; xdz dx ; x dx dz ); x ln( z ? dx )) x (ln( sen 2 z z z z z + − =     + − = ⇒ + − = ⇒ + − = = = = = = ⇒ = =

∫

: que obtenemos partes por integrando , e x Pero z

[

]

[

]

[

]

; 2 1 C ; C 2 1 0 ; C 2 ) 0 cos( ) 0 ( sen 0 ); 1 ( C 2 )) 1 cos(ln( )) 1 (ln( sen 1 0 ; 0 ) 1 ( y ; Cx 2 )) x cos(ln( )) x (ln( sen x y 2 2 = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ = + − = =0; y(1) si particular solución la ahora s Encontremo

[

]

2 x 2 cos(ln(x)) sen(ln(x)) x y : es solución La 2 + − =

(11)

ESPOL 2009 11

Ecuaciones diferenciales Exactas

Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma:

0; y) F(x, : es solución la Donde h(x); y) H(x, y) F(x, : obtiene se forma, misma la de procedemos y elige se Si : es solucíon La : Entonces y). F(x, de constante La y); N(x, y y) F(x, con igualando Luego : y a respecto con y) F(x, derivando Luego : obtiene se y), M(x, escogemos Si : que tal y) F(x, : existe Entonces x y) (x, y y) M(x, : si exacta Es 0; y)y' N(x, y) M(x, = + = = ∂ ∂ = + = + = = − = = + = ∂ ∂ + = ∂ ∂ + = ∂ = ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = +

∫

, N(x,y) y F(x,y) ; 0 h(y) G(x,y) ; 0 F(x,y) h(y); G(x,y) F(x,y) ) y ( h G'(x,y); N(x,y) h'(y) N(x,y); h'(y) G'(x,y) ); y ( ' h ) y , x ( ' G y ) y , x ( F h(y); G(x,y) F(x,y) ; x M(x,y) F(x,y) M(x,y) x F(x,y) x ) y , x ( F N(x,y); y F(x,y) M(x,y); x F(x,y) ; N M ; N x y

(12)

ESPOL 2009 12

(

)

xln(x) x dy 0 y e x dx 4 x x yln(x) x e y 4x xy 4 3 xy 3 =       − + − +       − + + −

(

)

(

)

( )

( )( )

( )

( )( )

n n! yxln(x) xy h(x); y x ) y ln( y x ) y , x ( F ; ! n n y x ) y ln( y ! n y x y 1 y y e ; ! n y x y 1 ! n y x ! n xy y 1 y e y y e ); x ( h xy ) x ln( yx y y e y x ) y , x ( F ; y x (x) ln x y e x (F(x,y)) y; x (x) ln x y e x (F(x,y)) x; (x) ln x y e x y (F(x,y)) x; (x) ln x y e x Fy Si Existe Nx My ; (x) ln e x 4 Nx ) y , x ( N ; (x) ln e x 4 M ; 4 x x (x) ln y x e y x 4 M(x,y) 1 n n n 4 1 n n n 1 n 1 n n xy 1 n 1 n n 0 n 1 n n 0 n n xy xy xy 4 xy 4 xy 4 xy 4 xy 4 xy 3 xy 3 y 3 xy 3 + − + − − = + = ∂         + = ∂       + = = = ∂       + − + ∂         − = ∂       − + − = ∂ ∂       − + − = ∂ − + − = ∂ ∂ − + − = =    = = ⇒ = + − = − + − = + − = − + + − = =       − + − +       − + + −

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∞ + = ∞ + = ∞ + = − ∞ + = − ∞ + = − ∞ + = : potencias de series usa se integrar Para : ecuación la de lados ambos a integrando Entonces : siguiente lo obtiene se entonces y), N(x, Fy y) N(x, Fy y) M(x, Fx donde y), F(x, función una exacta; es l diferencia ecuacion la entonces ; x; xln(x) y e x 0 y' x xln(x) y e x 4 x x yln(x) x e y 4x xy 4 xy 4 3 xy 3

(13)

(

)

( )

( )( )

[

]

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

_{) (}

₎

( )

( )( )

(

_{) (}

₎

( )

( )( )

(

_{) (}

₎

; 0 C 4 x 7 4 x 3 xy ) x ln( yx ! n n y x ) y ln( y x ; C 4 x 7 4 x 3 xy ) x ln( yx ! n n y x ) y ln( y x ) y , x ( F ; C 4 x 7 4 x 3 ) x ( h ; C z 7 z 3 ) z ( h ; dz z 4 z 3 ) z ( h ; dz z 3 z 4 z ) z ( h ; 4 z x 4 x z ; dx dz z 3 ; 4 x z ; dx 4 x x ) x ( h ; 4 x x ) x ( ' h ; 4 x x (x) ln y x e y x 4 ) x ( ' h ) x ln( y x e y x 4 : ); x ( ' h ) x ln( y x e y x 4 Fx ); x ( ' h y ) x ln( y y ! n y x y x 4 Fx ); x ( ' h y ) x ln( 1 y ! n n y x n y x 4 Fx ; 4 x x (x) ln y x e y x 4 Fx 4 3 7 3 1 n n n 4 4 3 7 3 1 n n n 4 4 3 7 3 4 7 3 6 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 xy 3 xy 3 xy 3 1 n n 1 n 3 1 n n 1 n 3 3 xy 3 =         + − + − + − + − − =         + − + − + − + − − =         + − + − =       + + = + = + = + = − = = ⇒ − = − = − = − + + − = + + − + + − = + − + + − = + − + + − = − + + − = = =

∑

∫

∑

∞ + = ∞ + = ∞ + = − ∞ + = − : decir es 0, y) F(x, s implicitae solución La : Entonces : h(x) Obteniendo : términos Eliminando Fx do reemplazan Entonces y); M(x, Fx : siguiente lo obtiene se entonces M, Fx si Ahora

(14)

ESPOL 2009 14

0 y' 2 y y y x 1) ln(x x 2xy xy 1 x xy y ₈ 3 2 2 2 =       − + + + + − +       + + − ; 2 y y y x 1 x ln x xy 2 N(x,y) xy 1 x xy y M(x,y) 8 3 2 2 2 − + + + + − = + + − = ); y ( ' h y x 1 x ln x xy 2 Fy ); y ( h 2 y x 1 x ln y xy xy ) y , x ( F ); y ( h 2 y x x 1 x 1 y x y xy ) y , x ( F ); y ( h 2 y x x 1 x 1 1 x y xy ) y , x ( F ); y ( h 2 y x x 1 x x y xy ) y , x ( F x; xy 1 x xy y (F(x,y)) xy 1 x xy y x (F(x,y)) ; xy 1 x xy y M(x,y) Fx Si Existe ; Nx My ; xy 2 1 x x y 2 Nx ; xy 2 1 x 1 x 1 y 2 Nx ; xy 2 1 x 1 1 y 2 Nx xy 2 1 x x y 2 My 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + − = = = + + + + − = + + ∂ + + ∂ − = + + ∂ + − + − = + + ∂ + − = ∂       + + − = ∂ + + − = ∂ ∂ + + − = = =    = = ⇒ = + + − = + + − − + = + + + − = + + − =

∫

y); N(x, Fy : siguiente lo obtiene se entonces y), N(x, Fy si Ahora : siguiente lo obtiene se entonces y), M(x, Fx y) N(x, Fy y) M(x, Fx donde y), F(x, función una exacta. es l diferencia ecuación la

(15)

( )

; 0 C 2 y 2 y ln 2 8 1 2 y x 1 x ln y xy xy ; C 2 y 2 y ln 2 8 1 2 y x 1 x ln y xy xy ) y , x ( F ; C 2 y 2 y ln 2 8 1 ) y ( h ; C 2 z 2 z ln 2 8 1 ) z ( h ; K 2 z 2 z ln 2 2 1 4 1 2 z dz 4 1 ) z ( h ; dy y 4 dz ; y z ; dy 2 y y ) y ( h ; dy 2 y y ) y ( h ; 2 y y ) y ( ' h 2 y y y x 1 x ln x xy 2 ); y ( ' h y x 1 x ln x xy 2 : 4 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 4 2 3 4 2 4 3 8 3 8 3 8 3 2 2 = + + − + + + + − = + + − + + + + − = + + − = + + − =         + + − = − = = ⇒ = − = − = − = − + + + + − = + + + + −

∫

: decir es 0, y) F(x, s implicitae solución La : Entonces : h(y) Obteniendo : términos Eliminando Fy do reemplazan Entonces

3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta, luego encuentre la solución de forma implícita:

0 y)dy

N(x,

dx

y

x

y

1/2 1/2 ₂

_

+

=











+

−

Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx

(

)

(

)

(

x y

)

x; x x y 2 1 ) y , x ( N ; y x x x y 2 1 x ) y , x ( N ; y x x x y 2 1 Nx ; My Nx 2 2 2 / 1 2 / 1 2 2 2 / 1 2 / 1 2 2 2 / 1 2 / 1 ∂         + − = ∂ + − = ∂ ∂ + − = = − − − − − −

(16)

(

)

(

)

(

x y

)

C; 2 1 x y ) y , x ( N ; C u 2 1 x y ) y , x ( N ; u u 2 1 x y ) y , x ( N ; x x 2 u ; y x u ; x y x x x y ) y , x ( N ; x y x x x y 2 1 ) y , x ( N 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 2 2 2 / 1 2 / 1 2 2 2 / 1 2 / 1 + + + = + + = ∂ − = ∂ = ∂ + = ∂         + − = ∂         + − = ∂ − − − − − −

∫

(

x y

)

C dy 0 2 1 x y dx y x x x y 1/2 1/2 ₂ 2 2 / 1 2 / 1 ₌         + + + +         + + − − Ahora como My = Nx; ); y ( ' h ) y x ( 2 1 y x Fy h(y); y x ln 2 1 x y 2 F(x,y) ; u u 2 1 x y 2 F(x,y) x; x 2 u y; x u x; y x x x y 2 F(x,y) x; y x x x y F(x,y) x; y x x x y (F(x,y)) y x x x y x (F(x,y)) ; y x x x y M(x,y) Fx Si Existe 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 + + + = = = + + + = ∂ + = ∂ = ∂ + = ∂ + + = ∂       + + = ∂       + + = ∂ + + = ∂ ∂ + + = = =    = = ⇒ − − − − −

∫

y); N(x, Fy : siguiente lo obtiene se entonces y), N(x, Fy si Ahora : siguiente lo obtiene se entonces y), M(x, Fx y) N(x, Fy y) M(x, Fx donde y), F(x, función una

(17)

(

)

; 0 ; K Cx y x ln 2 1 x y 2 K; Cx y x ln 2 1 x y 2 F(x,y) h(y); y x ln 2 1 x y 2 F(x,y) ; K Cx ) y ( h ; C ) y ( ' h ; C y x 2 1 x y ); y ( ' h ) y x ( 2 1 y x : 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 = + + + + = + + + + = + + + = + = = + + + = + + + − − : decir es 0, y) F(x, s implicitae solución La : Entonces : h(y) Obteniendo : términos Eliminando Fy do reemplazan Entonces

(18)

ESPOL 2009 18

Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante

exacta. es l diferencia ecuación la Ahora : y de depende que integrante factor Un exacta. es l diferencia ecuación la : es x de depende solo que integrante factor Un : integrante factor un necesita se tanto lo por exacta, no l diferencia ecuación una es Entonces Nx; My Si ; 0 y' u(y)N(x,y) u(y)M(x,y) ; e u(y) Ahora ; 0 y' u(x)N(x,y) u(x)M(x,y) ; e u(x) ; 0 ' y ) y , x ( N ) y , x ( M dx N(x,y) Nx-My dx N(x,y) My-Nx = + ∫ = = + ∫ = ≠ = + 1)

xydx

(

2x

3y

20 )

dy

0;

Si

y(1)

1;

2 2

=

−

+

((((

))))

((((

))))

((((

))))

; 4 ; 20 3 2 ) , ( ; 4 ; ) , ( ; 0 20 3 2 0 20 3 2 ; ) ( ; ) ( 4 20 3 2 3 3 5 3 2 3 4 3 5 3 2 4 2 2 3 3 3 3 2 2 xy Nx y y y x y x N xy My xy y x M dy y y y x dx xy ; dy y x y xydx y y y u y y u x; Nx ; y x N(x,y) x; My xy; M(x,y) dy y dy xy dy = == = − −− − + ++ + = = = = = == = = = = = = = = = − −− − + + + + + + + + = == = − − − − + ++ + + ++ + = = = = = = = = ∫∫∫∫ = == = ∫∫∫∫ = = = = ∫∫∫∫ = = = = ≠ ≠ ≠ ≠ = == = − −− − + + + + = = = = = == = = = = =                   : ecuación la de lados ambos a u(y) ando mulitiplic Luego e e e u(y) : integrante factor su encontrar debemos tanto lo Por exacta; es no l diferencia ecuación la entonces Nx; My 3 x -4x y) M(x, My -Nx

(19)

((((

))))

; C y y y x C; y y y x F(x,y) C y y y h dy y y y h ; y y h'(y) ; y y y x h'(y) y x y h y x y x F x xy y x F xy x y x F 0 5 2 2 5 2 2 ; 5 2 ) ( ; 20 3 ) ( 20 3 20 3 2 2 ); ( 2 ) , ( ; ) , ( ; )) , ( ( 4 6 4 2 4 6 4 2 4 6 3 5 3 5 3 5 3 2 3 2 4 2 4 4 = = = = + + + + − −− − + + + + + + + + − −− − + + + + = = = = + ++ + − −− − = = = = − −− − = = = = − − − − = = = = − −− − + + + + = = = = + + + + = = = = + + + + = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = == = ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = = = =    = == = = == = ∃ ∃ ∃ ∃ = == =

∫∫∫∫

: Entonces y); N(x, Fy y); M(x, Fx y); N(x, Fy y); M(x, Fx : talque y)) (F(x, : exacta es l diferencia ecuación la tanto lo por Nx, My 2)

2xdy

-

[

y

+

xy

3

(

1 +

ln(x)

)

]

dx

=

0;

( )( ) ( ) ( )

; 0 8 y 10 y y x ; 0 4 y 5 2 y 2 y x ; 4 C ; 1 5 C ; 0 C 5 2 1 2 1 ; 0 C 1 5 2 1 2 1 1 ; 0 C y 5 2 y 2 y x 4 6 4 2 4 6 4 2 4 6 4 2 4 6 4 2 = + − + = + − + = − = = + − + = + − + = + − + = : solución La 1; y(1) Si

(20)

(

)

[

]

(

)

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

C ) y ( h ; 0 h'(y) ; y x 2 h'(y) y x 2 ); y ( h 4 x ) x ln( 2 x 2 x y x ) y , x ( F ; x (x) ln 1 x y 1 ) y , x ( F ; (x) ln 1 x y 1 x )) y , x ( F ( ; y 2 Nx ; y x 2 ) y , x ( N ; y 2 My ; (x) ln 1 x y 1 ) y , x ( M ; 0 dy y x 2 dx (x) ln 1 x y 1 ; 0 xdy 2 y 1 dx-(x) ln 1 xy y y 1 ; y 1 e e ) y ( u e e ) y ( u ; e ) y , x ( N (x); ln xy 3 xy 3 1 My ; (x) ln 1 xy y M(x,y) 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 dy y 3 dy ) x ln( 1 xy 1 y ) x ln( 1 xy 1 3 dy ) x ln( 1 xy 1 y (x); ln xy 3 xy 3 3 dy (x) ln 1 xy y (x); ln xy 3 xy 3 1 2 dy ) y , x ( M My Nx 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 = = − = + − = + − + + = ∂       + + = + + = ∂ ∂ =    = = ∃ = − = − = − = + + = =       −       + + = + + = ∫ ∫ = ∫ = ∫ = ∫ = = = + + = + + = = + +

∫

−         + + + + −         + + − − −         + + − − − −       − y); N(x, Fy y); M(x, Fx y); N(x, Fy y); M(x, Fx : talque y)) (F(x, : exacta es e.d. la tanto lo por Nx, My : ecuación la de lados ambos a u(y) ando mulitiplic Luego u(y) -2; Nx -2x; 0; 2xdy -dx ln(x) 1 xy y 3 ; 0 C 4 x ) x ln( 2 x 2 x y x ; C 4 x ) x ln( 2 x 2 x y x ) y , x ( F 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + + + − + + = : Entonces

(21)

Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 21 3)

x

2

+

(

y

2

y

2

+

1 )

y'

=

−

2xyln(y);

[

]

[

]

[

]

[ ]

(

)

[

]

[

]

(

)

; C u u 3 1 C u 3 2 2 1 du u 2 1 ) y ( h ; ydy 2 du ; 1 y u ; dy 1 y y ) y ( h ; 1 y y h'(y) ; 1 y y y x h'(y) y x ); y ( h ) y ln( x ) y , x ( F ; x (y) ln x 2 ) y , x ( F ; ; (y) ln x 2 x )) y , x ( F ( ; y x 2 Nx ; 1 y y y x ) y , x ( N ; y x 2 My ; (y) ln x 2 ) y , x ( M ; 0 y' 1 y y y x (y) ln x 2 ; 0 y' 1 y y x y 1 (y) ln xy 2 y 1 ; y 1 ) y ( u ; e e e ) y ( u ; e ) y ( u ; x 2 Nx ; 1 y y x ) y , x ( N ; ) y ln( 1 x 2 My ; (y) ln xy 2 ) y , x ( M ; 0 y' 1 y y x (y) ln xy 2 2 / 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y 1 dy ) y ln( xy 2 ) y ln( x 2 dy (y) ln xy 2 ) y ln( 1 x 2 x 2 dy ) y , x ( M My Nx 2 2 2 2 2 2 + =     + = = = + = + = + = + + = + = + = ∂ = = ∂ ∂ =    = = ∃ = = + + = = = =       + + + = + + + = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ = = + + = + = = = + + +

∫

−       −       − +       − y); N(x, Fy y); M(x, Fx y); N(x, Fy y); M(x, Fx : talque y)) (F(x, : exacta es e.d. la tanto lo por Nx, My : ecuación la de lados ambos a u(y) multiplica se Luego

(

)

(

)

(

y 1

)

y 1 C 0; ) y ln( x ; C 1 y 1 y ) y ln( x ) y , x ( F C; 1 y 1 y 3 1 h(y) 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + = + + + = 3 1 3 1 : Entonces

(22)

ESPOL 2009 22

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

_{

((((

))))

((((

))))

((((

))))

. integrante factor del método el por resolver puede se que Lineal, l diferencia ecuación una es Esto : siguiente lo obtiene Se : Bernoulli de ecuación la de lados ambos a factor el rá multiplica Se : e variabl de cambio siguiente el haciendo lineal en convierte la se que lineal, no l diferencia ecuación una es Esta 0,1. n donde Bernoulli, de l diferencia ecuación una : es Esto        − − − − = = = = − −− − + + + + − −− − = == = − − − − + ++ + − − − − − − − − = = = = − − − − + ++ + − − − − − − − − − − − − = = = = = = = = = = = = ≠ ≠≠ ≠ = = = = + + + + − −− − − − − − − −− − − −− − − − − − − − − − − −− − − − − − ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 1 1 1 . : ) ( ) ( 1 1 x g n v x p n dx dv x g n y x p n dx dy y n y x g y n y x p y n dx dy y n y n dx dy y n dx dy dy dv dx dv Donde y v y x g y x p dx dy Sea v n dx dv n n n n n n n n n 4 4 3 4 4 2 1

(23)

ESPOL 2009 23

La solución general es:

; x K 9 2x 3 2xln(x) x 3 2 1 y 2 + + − − =

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

₍

₎

(

)

(

)

(

)

∫

−

=

+

−

=

+

−

=

+

−

=

+

−

=

+

=

∫

=

+

−

=

+

−

=

+

−

+

−

=

+

−

=

+

=

−

=









+

−

=

+

− − − − − − − − −

;

dx

)

x

ln(

x

2 x

3

2 v

x

;

dx

)

x

ln(

x

2 v

x

;

dx

(x)

ln

1 x

2 v

x

;

(x)

ln

1 x

2 dx

v

x

d

;

(x)

ln

1 x

2 x

v

2 x

'

v

x

;

x

e

)

x

(

u

;

(x)

ln

1

2 x

v

2 '

v

;

(x)

ln

1

2 x

y

2 y'

y

2 ;

(x)

ln

1 y

y

2 x

y

2 y'

y

2 y

2 ;

dx

dy

y

2 dx

dv

'

v

;

y

v

;

(x)

ln

1 y

x

y

y'

;

0 (x)

ln

1 y

x

y

y'

;

0 dx

(x)

ln

1 xy

y

xdy-2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx x 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3

:

integrante

factor

por

o

Resolviend

:

v'

y

v

do

Reemplazan

:

ecuación

la

de

ambos

a

multiplica

se

Luego

;

y

v

sustituye

Se

3;

n

n 1 1)

xdy

-

[

y

+

xy

3

(

1 +

ln(x)

)

]

dx

=

0;

.

((((

))))

((((

))))

; 9 2 3 ) ln( 2 3 2 : ; 9 2 3 ) ln( 2 3 2 ; 9 2 3 ) ln( 2 3 2 ; 9 3 ) ln( ) ln( ; 3 ; ); ln( ? ) ln( 2 2 2 3 3 3 2 3 3 2 3 2 2 x K x x x x y x K x x x x v K x x x x v x C x x x dx x x x v dx; x dv x dx du x u dx x x + + + + + + + + − − − − − − − − = = = = = == = + + + + + + + + − − − − − − − − = = = = + ++ + + + + + − − − − − − − − = = = = + + + + − −− − = == = = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = == = = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = == = = == = − − − −

∫∫∫∫

y v do Reemplazan : solución la Despejando 2

(24)

-Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 24

2)

xy'

+

y

=

y

2

ln(x);

si

y(1)

=

1;

∫

= =     = − = ∫ = = − − = − − − − = = = = = + − − − − − − − − ; dx x ) x ln( v x 1 ; x ) x ln( dx v x 1 d ; x ) x ln( x v ' v x 1 ; x 1 e ) x ( u ; x ) x ln( x v ' v ; x ) x ln( y y x y y ' y y y ; dx dy y dx dv ; y y v ; x ) x ln( y x y ' y 2 2 2 2 x dx 2 2 2 2 2 2 1 n 1 2 : integrante factor del método el por o Resolviend : ecuación la en v' y v do Reemplazan : ecuación la de lados ambos a multiplica se Luego 2; n ; Cx 1 ) x ln( 1 y ; Cx 1 ) x ln( y ; Cx 1 ) x ln( v C; x 1 x ) x ln( -v x 1 ; x dx x ) x ln( -v x 1 ; x 1 v ; x dx dv ; x dx du (x); ln u ? dx x ) x ln( 1 2 2 2 + − − = + − − = + − − = + − = + = = ⇒ = = ⇒ = = −

∫

Integrando ; 2 C ; 1 1 C 1 C-1 1 = = − = =1, entonces: y(1) Si ; 2x 1 ln(x) 1 y : es solución La + − − =

(25)

Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 25

3)

4(1

+

x)dy

+

y

[

1 +

4xy

2

(1

+

x)

]

dx

=

0;

(

)

₍

₎

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 x

)

C 1 x; 4 3 x 1 4 y ; C x 1 4 3 x 1 4 v ; C x 1 4 3 x 1 4 v x 1 1 ; C x 1 4 3 x 1 4 dx x 1 x 2 ; C z 4 3 z 4 dz 1 z 4 ; dz 1 z 4 z zdz 2 1 z 2 dx x 1 x 2 ; 1 z x ; dx zdz 2 ; x 1 z ?; dx x 1 x 2 ; dx x 1 x 2 v x 1 1 ; x 1 x 2 dx v x 1 1 d ; x 1 x 2 x) 1 ( 4 v 2 x 1 1 ' v x 1 1 ; x 1 1 e e ) x ( u ; x 2 x) 1 ( 4 v 2 ' v ; xy y 2 x) 1 ( 4 y y 2 ' y y 2 ; dx dy y 2 dx dv ; y y v ; xy x) 1 ( 4 y ' y 0 xy x) 1 ( 4 1 y ' y 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 x 1 ln 2 1 dx ) x 1 ( 2 1 3 3 3 3 3 2 n 1 3 2 + + + − + = + + − + = + + − + = + + + − + = + + − = − − = − = + − = = ⇒ + = = + + = + + =     + + = + + − + + = = ∫ = = + − = + − + − − = = = = − = + + =       + + + − + − + − − − − − − −

∫

: ecuación la de lados ambos a 2y -multiplica se Luego 3; n 3

-(

)

(

)

; x 1 C x 1 4 3 x 1 4 1 y 2 + + + − + =

La solución

general es:

(26)

4)

3y'

+

4csc(2x)y

=

2y

−1/2

ctg(x);

[

]

(

)

; 4 1 C ; C 4 1 ; C 4 ; ) x ( Cctg ) x ( xctg y ); x ( Cctg ) x ( xctg y ); x ( Cctg ) x ( xctg v ; C x v ) x tan( ; dx v ) x tan( ; dx v ) x tan( ; 1 dx v ) x tan( d ); x ( ctg ) x tan( v ) x 2 csc( ) x tan( 2 ' v ) x tan( ); x tan( ) x cos( ) x ( sen ) x ( sen 2 ) x 2 ( sen2 ) x 2 cos( 1 ) x 2 ( sen ) x 2 cos( 1 ) x ( u ; ) x 2 ( sen ) x 2 cos( ) x 2 ( sen 1 ) x ( u ); x 2 ( ctg ) x 2 csc( ) x ( u e e ) x ( u ); x ( ctg v ) x 2 csc( 2 ' v ); x ( ctg y 3 2 y 2 3 y ) x 2 csc( 3 4 y 2 3 ' y y 2 3 y 2 3 ; ' y y 2 3 ' v ; y y v ; 2 1 ); x ( ctg y 3 2 y ) x 2 csc( 3 4 ' y 3 2 3 2 2 / 3 2 ) x 2 ( ctg ) x 2 csc( ln dx ) x 2 csc( 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 3 n 1 2 / 1 π − = + π =       + π = = π + = + = + = + = = = = = + = = − = − = − = − = = ∫ = = + = + = = = − = = +

∫

− − − − 1 1; /4) y( Si : ecuación la de lados ambos a multiplica Se n

(27)

Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 27 ; ) x ( ctg 4 1 ) x ( xctg y 3 2             π − + = : es particular solución La

Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma

      = x y f ' y ); x ( x y ); x ( x y ); x ( v ; x dx v ) v ( f dv ; v ) v ( f dx dv x ); v ( f dx dv x v ; x y f dx dy ; dx dv x v ; ; x y f dx dy φ = φ = φ = = − − = = +       = + = = =       = = : ecuación la en y' y v, do Reemplazan dx dy vx; y entonces x y v : ón sustituci siguiente la hace Se : como ecuación esta expresar puede se si homogénea es y) f(x, dx dy ecuación la que dice Se

(28)

Ecuaciones Diferenciales

ESPOL 2009 28

1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:

; y x y sec x y dx dy 2 2 _      + =

( )

(

)

( )

8sen(2v) 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v) v 6 v v sec dv v sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v) v 6 v dv cos(2v) 4 1 cos(2v) 4 v 4 sen(2v) v 6 v v sec dv v dv cos(2v) 4 1 cos(2v) 4 v 2 sen(2v) v 6 v vsen(2v)dv 4 sen(2v) v 6 v v sec dv v cos(2v) 2 1 n sen(2v)dv dn dv. dm v m vsen(2v)dv 4 sen(2v) v 6 v v sec dv v dv 2 2vsen(2v) 2 sen(2v) v 6 v dv cos(2v) v 2 1 dv 2 v v sec dv v ; 2 sen(2v) n cos(2v)dv dn 2vdv; dm v m dv 2 cos(2v) v dv 2 v dv 2 cos(2v) v 2 v v sec dv v dv 2 cos(2v) v 2 v dv 2 cos(2v) 1 v (v)dv cos v v sec dv v ? v sec dv v ; x dx v sec dv v : rando Integ x dx v sec dv v separable. l diferencia Ecuación v v sec dx dv x v x v sec dx dv x ; v x v sec v v dx dv x y x y sec x y dx dy : obtiene se v, dx dv x dx dy , x y v xv, y , l diferencia ecuación la en do Reemplazan v; dx dv x dx dy xv; y x y v : que Asumiendo 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + =       + − − + =       + − − + = − + = − = ⇒ = = ⇒ = − + =       − + = +       = = ⇒ = = ⇒ =       +       =       + =       + =       + = = = = = ⇒    = ⇒ = ⇒ + = + ⇒       + = + = = = + = ⇒ = ⇒ =

∫

2 1 2 1 2 1

(29)

( )

; C C x y v do Reemplazan x 1 sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v) v 6 v x 1 sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v) v 6 v x dx v sec dv v 2 2 3 2 2 3 3 2 2 = + − = + + + − = + + ⇔ =

∫

2)

(

xy

+

4 y

2

+

2x

2

)

dx

−

( )

x

2

dy

=

0;

si

y(1)

=

2 /2;

C La + − =                         +                   +       2 2 3 x 1 x y 2 sen 8 1 -x y 2 cos 4 v 4 x y 2 sen x y 6 x y : por expresada queda implícita forma de solución

( )

; 4 K ; K tan 2 1 2 ; K 2 x ln 4 tan 2 x y ; K 2 x ln 4 tan 2 1 x y ; K 2 x ln 4 tan 2 1 v ; K 2 x ln 4 tan v 2 π = = =       + =       + =       + =       + = 2 ; 2 2 y(1) Si : obtiene se lados ambos a tan Aplicando ; 4 2 x ln 4 tan 2 x y _      _π + = : es particular solución La

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

K; 2 x ln 4 v 2 arctan ; C x ln 4 v 2 arctan 2 ; x dx 4 2 / 1 v dv ; x dx 2 / 1 v 4 dv ; x dx 2 v 4 dv ; 2 v 4 dx dv x ; 2 v 4 v dx dv x v ; dx dv x v dx dy ; xv y ; x y v ; 2 x y 4 x y dx dy ; x x 2 y 4 xy dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = = + = + = + + = + + = + + = = = + + = + + =

∫