Lógica - FCE
El concepto de sistema formal. Una
primera aproximación
1. La idea de formalización
La intención de describir procedimientos de manera exacta y precisa es lo que ha motivado la formalización. Más precisamente, se trata de que todos los pasos y reglas empleadas en el procedimiento estén explícitos y absolutamente especificados, sin que quede oculto elemento alguno que forme parte del procedimiento. Esto trae como consecuencia que la corrección de todos los pasos del procedimiento puede ser controlada y revisada. Además, elementos puramente retóricos que están presentes en la descripción informal pueden desaparecer en la descripción formal. La formalización ha tenido lugar en algunas partes de la matemática, donde, por ejemplo, procedimientos como los que implican las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, etc.) han sido objeto de un tratamiento formal. También hay casos de formalización en otras disciplinas científicas y ha sido fundamental para el desarrollo de la computación en el siglo pasado. Sin embargo, el caso paradigmático es la lógica. En este caso son los procedimientos inferenciales los que se formalizan. La formalización implica la construcción de lenguajes y sistemas formales. Los lenguajes formales son lenguajes artificiales en los que se representan las operaciones que integran el procedimiento a formalizar y los sistemas formales especifican los principios que gobiernan a estas operaciones.
Los condiciones que hacen posible la formalización (condiciones que están implícitas en la exposición del lenguaje simbólico de la lógica que se hizo anteriormente) pueden resumirse de la siguiente manera:
(a) La existencia de una escritura o una notación
Una primera condición para poder formalizar es la existencia de un medio que permita fijar símbolos de un modo que se los pueda distinguir unívocamente y que se les pueda presentar en un determinado orden. Este medio puede ser cualquier soporte físico que permita fijar: piedra, madera, papel, etc.; y la forma de fijación puede ser variada: inscripciones, tallas o pinturas sobre el soporte físico. En la actualidad existen formas tecnológicamente más sofisticadas de inscripción: la inscripción digital sobre un disco magnético (un disco rígido, o un cd) que requieren instrumentos para que las inscripciones puedan ser visualizadas (una pantalla). A todo esto se lo puede considerar, en un sentido general de la palabra, una escritura. Así, esta condición es compartida con cualquier lengua histórica que pretenda ser fijada.
(b) La capacidad de abstraer formas o esquemas lingüísticos
En la formalización, la descripción de los procedimientos debe ser esquemática (y aquí comienza a diferenciarse de la escritura de las lenguas históricas). Esto quiere decir que los símbolos se toman como meros esquemas a interpretar en diferentes casos: lo que es importante es la descripción de un procedimiento, que puede darse
de diferentes maneras y aplicarse a entidades diferentes, quedando constante el procedimiento. Esto significa, en definitiva, establecer reglas generales, de aplicación general para los diferentes casos a los que les cabe el procedimiento. Aquí aparece la idea de abstracción formal. En el caso específico de la lógica se consideró el caso de la obtención de formas de enunciado y de razonamiento.
(c) La capacidad de proceder sin tomar en cuenta el significado
Vinculado con lo anterior está el hecho de que en la formalización se prescinde del significado que tengan los símbolos. Los símbolos pueden referirse a una categoría de objetos, pero no se presupone que tengan un significado determinado. El sistema formal contiene reglas para la manipulación de los símbolos, las cuales se aplican con prescindencia del significado que estos símbolos tengan: son simplemente
figuras, sujetas a ciertas reglas de formación y transformación. Las reglas indican cómo obtener estructuras de símbolos a partir de otras.
2. Lenguajes formales
La idea de un lenguaje artificial y puramente simbólico de alcance universal y que sirviera para formular el pensamiento humano puede encontrarse ya a fines de la Edad Media y cobró importancia en la Edad Moderna. Un lenguaje artificial con estas características se opone a las lenguas históricas, tales como el castellano, el chino, el árabe o el inglés, las que son habladas de manera natural por comunidades y que han tenido un origen y un desarrollo históricos, siendo la determinación de su gramática posterior al uso y difusión de la lengua. Estos lenguajes están concebidos como sistemas de ideogramas que representan conceptos, ideas o entidades de manera totalmente independiente de cómo se expresan estas fonéticamente en una lengua histórica determinada. Así, estos lenguajes artificiales pueden ser usados y entendidos por hablantes de diferentes lenguas históricas.
En el caso de los lenguajes formales, al igual que en todos los lenguajes artificiales, la gramática es estipulada de antemano, siendo por lo tanto anterior al uso. En pocas palabras, un lenguaje artificial consta de un conjunto de símbolos básicos o
alfabeto que puede tener muy variadas características: puede estar formado por letras de algún alfabeto existente, por signos convencionales o por gráficos, dibujos, diagramas, etc, es decir son figuras de cualquier tipo. Sobre la base de este alfabeto, la gramática se presenta por medio de definiciones de las expresiones que se admiten como bien formadas en el lenguaje. Estas expresiones son cadenas de símbolos, esto es, símbolos dados en un cierto orden. Así se constituye la sintaxis del lenguaje. Posteriormente se les puede asignar significado a los símbolos, obteniéndose así la
semántica del lenguaje.
El concepto de lenguaje formal se entiende mejor si se tienen en cuenta los objetivos que guían la construcción de un lenguaje formal y si, además, se analiza la evolución del uso de símbolos especiales en la ciencia. Históricamente, aparecieron en diferentes disciplinas signos con un uso específico y un significado claro, dado de antemano.
Un ejemplo sencillo está dado por la numeración arábiga, tal como la empleamos en diferentes aspectos de la vida. Los numerales “1”, “2”, “3”, etc. se refieren a números y significan respectivamente lo mismo que las palabras “uno”, “dos”, “tres”, etc.. del castellano. No obstante, sus ventajas posicionales y composicionales son obvias. Así, con nuestro sistema decimal, juntar los dígitos del “0” al “9” en un orden, da lugar a nuevas expresiones que se refieren a números. Así, “256” se refiere al
número que se designa en castellano con la frase “doscientos cincuenta y seis” y está claro que es un número diferente al que se refiere el numeral “562”, pese a contener los mismos dígitos.
Piénsese ahora en los símbolos para las operaciones aritméticas de suma y de resta “+” y “−” los que expresan lo mismo que las palabras “más” y “menos”, eliminando sus ambigüedades y dándole un carácter universal: compárese la expresión numérica “7+5” con la frase “siete más cinco”. Mientras que la segunda requiere conocimiento de la lengua castellana, la primera requiere únicamente conocimiento de la simbología aritmética, conocimiento que posee cualquier persona que conozca aritmética, independientemente de la lengua histórica que hable. Además, permite un nivel de abstracción mayor. Fácilmente, pueden introducirse
variables respecto del dominio en consideración (es decir, expresiones que sirven para referirse de manera indeterminada a cualquier elemento del dominio en consideración) y así expresar hechos que se cumplen para todos los elementos del dominio, como la propiedad conmutativa de la suma: “x + y = y + x”, lo cual es mucho más engorroso formular en castellano (u otra lengua histórica), además de ofrecer ventajas visuales.
El ejemplo de los numerales y los símbolos de operaciones aritméticas muestran lo que puede denominarse un lenguaje técnico (o simbología técnica), que aparece en el contexto de una lengua histórica (tómese, por ejemplo, cualquier manual de álgebra escrito en castellano). Otro caso muy conocido es el de los símbolos para los elementos de la tabla periódica (“H” para el hidrógeno, “Fe” para el hierro, etc.) y la manera de expresar combinaciones de los mismos (como H2O para el agua). Lo característico de este lenguaje técnico es que es específico de una disciplina o un área del conocimiento y lo emplean los expertos en ella. Estas terminologías técnicas pueden verse como estadios en el camino que condujo históricamente a los lenguajes formales.
Se pueden resumir las ventajas de introducir símbolos especiales para las expresiones específicas de una disciplina en los siguientes tres puntos: (i) universalidad de la simbología, (ii) estandarización (o unificación) de las expresiones, (iii) construcción de un cálculo formal (tal como se verá más adelante).
3. Lenguaje objeto y metalenguaje
La construcción de un lenguaje formal requiere una serie de distinciones. El lenguaje, las expresiones que lo componen, se convierten en el objeto de estudio, es aquello que se construye y analiza, mientras que se describen sus rasgos y se caracterizan sus expresiones por medio del lenguaje que empleamos, el castellano por ejemplo. En el caso del lenguaje a analizar hablamos de lenguaje objeto y llamamos
metalenguaje al lenguaje que empleamos para hacer referencia al lenguaje objeto. Esta distinción es relativa. Un lenguaje puede ser lenguaje objeto en un momento y metalenguaje en otro. Piénsese, por ejemplo, en una gramática del inglés escrita en castellano. El inglés es el lenguaje objeto, mientras que el castellano cumple el papel del metalenguaje. Pero, en el caso de una gramática del castellano escrita en inglés los papeles se invierten. Conviene tener presente esta diferenciación de niveles a efectos de evitar confusiones.
El uso de un metalenguaje para mencionar expresiones del lenguaje objeto requiere, entre otras cosas, tener nombres para sus expresiones. Así, puede el metalenguaje puede tener palabras que funcionen como nombres de expresiones del lenguaje. De todos modos, una manera usual de nombrar a las expresiones de un lenguaje objeto en un metalenguaje es entrecomillarlas. Esto es particularmente útil cuando el lenguaje objeto y el metalenguaje emplean el mismo tipo de símbolos (como el alfabeto latino, símbolos matemáticos, etc.) Así, el enunciado
“Buenos Aires” tiene dos palabras.
hace referencia a la expresión lingüística (el nombre de la ciudad) y no a la ciudad, de modo que el enunciado resulta verdadero. Si elimináramos las comillas, estaríamos hablando de la ciudad, con lo que el enunciado pasaría a ser falso. Sin embargo, en lo que respecta al lenguaje de primer orden, emplearemos comillas (simples o dobles, según el caso) únicamente en casos que puedan dar lugar a confusiones. En las secciones siguientes, el castellano será el metalenguaje en el cual describiremos el lenguaje formal de la lógica de primer orden.
4. Sintaxis y semántica
Otra distinción importante tiene que ver con la perspectiva que se adopta al analizar un lenguaje. Un primer interés puede ser el de determinar cómo deben formularse las expresiones de un lenguaje, indicando ciertas reglas para la formación de expresiones. Este es el plano de la sintaxis. Esto puede ilustrarse con una lengua histórica como el castellano. La expresión “El caballo corre por el campo” es un enunciado bien construido de acuerdo a la sintaxis del castellano. En cambio, “caballo el corre campo el por” no responde a las reglas sintácticas aceptadas en esta lengua.
Además, se puede examinar el significado que poseen los signos o expresiones de un lenguaje, es decir, la relación entre las expresiones del lenguaje y aquello que estas expresiones representan o significan. Este es el plano de la semántica. En los lenguajes formales, el significado de una expresión se establece de manera precisa y clara sin dejar lugar a ambigüedades o vaguedades. Esto implica construir una
semántica formal. En ella deben distinguirse categorías semánticas para las expresiones del lenguaje y reglas de significado para estas. Por ejemplo, reglas que determinen los objetos a que se refieren determinadas expresiones. En el análisis de los términos lógicos y en la exposición del lenguaje de primer orden se tomarán tanto la sintaxis como la semántica.
5. Nota. Reglas de formación para expresiones del sistema
.
Un problema que debe resolverse al construir un lenguaje formal es determinar qué expresiones son admisibles en el sistema. Un lenguaje formal, tal como el lenguaje de primer orden, contiene un número finito de símbolos básicos (símbolos que pueden ser, dicho sea una vez más, de cualquier tipo: letras, números, símbolos tipográficos, figuras geométricas, diagramas, etc.). A este conjunto finito se lo llama habitualmente alfabeto. Ahora bien, la cantidad de expresiones admisibles (bien formadas) que pueden construirse a partir del alfabeto, aunque conste de muy pocos símbolos, es ilimitada. Entonces, el problema es cómo caracterizar todo este conjunto indeterminado (infinito) de expresiones. Este es un problema sintáctico o gramatical, y su solución consiste en dar definiciones recursivas o generativas de las expresiones admisibles en el lenguaje. Este tipo de definiciones consta de dos partes:
(a) Caso base: se caracteriza el conjunto de las expresiones más básicas admisibles del lenguaje.
(b) Paso inductivo: Una vez caracterizado el conjunto de las expresiones más básicas, pasan a definirse las más expresiones más complejas. Dadas expresiones admisibles cualesquiera del lenguaje, se definen las expresiones que resultan de su combinación por medio de otros símbolos.
Este tipo de definición recibe también el nombre de definiciones por inducción semiótica y se basan en el principio de inducción matemática (que no se expondrá aquí). En el caso de que el lenguaje posea diversas categorías de expresiones, deben darse definiciones inductivas para las expresiones de cada categoría. Esto es lo que sucederá más adelante con el lenguaje de primer orden En lenguajes como este, hay dos categorías básicas de expresiones: aquellas que sirven para referirse a entidades, los términos, y aquellas que se emplean para expresar enunciados acerca de esas entidades, que son las fórmulas.
6. Sistema formal y cálculo
Sobre la base de un lenguaje formal puede construirse un sistema formal. En algunos casos se especifica un conjunto de principios o postulados, que constituyen un conjunto básico de fórmulas bien formadas del lenguaje. Además. es necesario establecer una serie de reglas llamadas reglas de transformación que permiten obtener otras fórmulas bien formadas a partir de ese conjunto básico. En el caso de la lógica de primer orden, las reglas de transformación serán las reglas de inferencia.
6.1. Cálculo formal. Desde un punto de vista más general, en atención a las reglas, el sistema formal puede considerarse un cálculo. Más específicamente, un
cálculo formal es un procedimiento para la producción de figuras sobre la base de figuras básicas de acuerdo con ciertas prescripciones, que son las reglas básicas. Toda figura se compone a partir de un conjunto de figuras o signos básicos, que están tomados del alfabeto del lenguaje formal.
6.2. Ejemplo de cálculo formal. Para ilustrar este concepto tómese el siguiente cálculo elemental C que parte de un único símbolo básico, es decir, una única figura básica, la barra inclinada / y que consta de las dos reglas
(1) ⇒ / (2) A ⇒ A/
La flecha en ambas reglas indica que a partir de ciertos símbolos, a la izquierda de la flecha, puede producirse la secuencia de símbolos que aparece a la derecha. La regla (1) carece de premisas, funciona como un postulado. Con ella se produce la figura básica /. En la regla (2) A es una forma para una sucesión cualquiera de barras inclinadas. (Aquí se advierte el carácter esquemático o abstracto que tienen las reglas de un cálculo.) De este modo, se dan casos concretos de aplicación de la regla (2), como, por ejemplo
/// ⇒ //// ////// ⇒ ///////
Las diferentes concatenaciones de barras inclinadas puede verse como cifras, que representen números naturales. De este modo /// se interpreta como el número 3, /////// como el número 7. El cálculo así interpretado proporciona un procedimiento de generación de los números naturales.
