CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
TEMA 4.- El campo magnético.
Desarrollo del tema .
1. El campo magnético.
2. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una carga
móvil.
3. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una línea de
corriente rectilínea.
4. Campo magnético creado por una carga móvil y por un
elemento de corriente.
5. Campo creado por una línea rectilínea indefinida de corriente.
6. El campo magnético creado por una espira circular.
7. El campo creado por un solenoide.
8. Acciones mutuas entre conductores paralelos.
9. La ley de Ampère para el campo magnético.
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TEMA 4.- El campo magnético.
1. El campo magnético.
Los primeros antecedentes de la existencia de experiencias en donde aparecía el campo magnético, se remontan a la Grecia clásica donde conocían la existencia de un mineral natural (magnetita) que tenía la propiedad de atraer algunas sustancias metálicas. Estos imanes son los imanes naturales. En otras ocasiones se podían inducir imanes mediante el frotamiento de aleaciones férricas, son los imanes artificiales.
Un imán posee dos polos, norte y sur, que se denominan los polos de un imán. Se les asignó este nombre por su equivalencia con la brújula (aguja imanada), que señala el norte y el sur del globo terráqueo.
Los polos norte o sur de un imán se repelen entre si, en tanto que el polo norte se atraerá con el polo sur de otro imán.
En el año 1819, Oersted, logró mover una aguja imanada cuando la colocó paralela a una línea de corriente, esto probó la existencia de una interacción de los campos magnéticos y eléctricos, por lo que se debe de hablar de las interacciones electromagnéticas.
Un imán o una carga eléctrica en movimiento, originará una perturbación en el espacio circundante creando un campo de fuerzas, el campo magnético.
El campo magnético se representa mediante unas líneas de inducción. No existen manantiales ni sumideros separados y sus líneas son cerradas.
B (inducción magnética) . Su divergencia es igual a cero ▼ B = 0
Las líneas de fuerza rotan, salen del polo norte (N) y acaban el el polo sur(S),
▼x B = μ . ⃗J , siendo μ, la permitividad magnética del medio y ⃗J la densidad de corriente. I =
⃗J.⃗S
2. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una carga móvil.
Lorentz realizó una serie de experiencias en relación al comportamiento de una carga eléctrica en un campo magnético. Las observaciones se resumen en los siguientes postulados:1. Si la carga se mueve en la dirección del campo, no se ejerce ninguna fuerza sobre ella. 2. Si se mueve en cualquier otra dirección, se ejercería la fuerza de Lorentz, cuya dirección
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es perpendicular al plano formado por las direcciones formadas por los vectores inducción magnética y la velocidad..
3. El módulo de esta fuerza depende del valor de la carga que se mueve, del valor de la inducción magnética, de la velocidad y del seno del angulo que forman los vectores inducción y velocidad.
F = q . ( v x B ) ; el módulo de la velocidad, F = q . v . B .sen φ
B, inducción magnética se mide en Teslas (T) , definiendo la Tesla como la inducción magnética, tal que la carga de 1 C, desplazándose a la velocidad de 1 m/s , experimenta una fuerza de 1 N.
La unidad en el sistema CGS es el Gauss ; 1 T = 104 Gs
Se define como flujo magnético al número de líneas de inducción magnética que atraviesan una superficie imaginaria, situada en el interior de un campo magnético:
Φ = ∫ B . d S = ∫ B . cos φ . dS ; el flujo se mide en Weber = T . m2
Cuando una unidad de carga se mueve en una trayectoria prependicular a un campo magnético, la fuerza magnética será:
F = q v B . sen φ ; como φ = 90º ; F = q . v . B
Para equilibrar la fuerza centrípeta, aparecerá una fuerza centrífuga
F = m v2
R ; igualando las dos fuerzas:
q . v . B = m v
2
R ; R = m.v q.B Según esto, las partículas de mayor momento lineal describen trayectorias de mayor radio.
Los radios de las trayectorias son inversamente proporcional a la inducción magnética y a la carga.
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3. La fuerza que actúa un campo magnético sobre una línea de
corriente rectilínea.
En un conductor eléctrico por donde circula un corriente eléctrica I, colocado en el interior de un campo magnético de inducción B, si L(longitud del conductor) se encuentra dentro del campo y los electrones que circulan por el lo hacen a una velocidad media v , la carga será :
q = I . t = I . Lv
F = q . v . B . sen φ = I . L . B . sen φ ; F = I ( L x B )
La fuerza que ejerce un campo magnético sobre un conductor rectilíneo depende de la intensidad de corriente, de la longitud del conductor dentro del campo y de la inducción magnética.Es la primera ley de Laplace.
Si la línea conductora es cerrada y formamos una espira cuadrada, colocada perpendicularmente dentro de un campo magnético uniforme, se conseguirá un movimiento de rotación uniforme, producido por un par de fuerzas, alrededor de un eje perpendicular a las líneas de campo y que pase por el centro de los lados paralelos que forman las bases, y por el centro de la espira.
M = F . a = a . I . b . B . sen φ ; M = I ( S x B )
Fa = - F´a y por lo tanto se anulan
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4. Campo magnético creado por una carga móvil y por un
elemento de corriente.
Todo movimiento de carga eléctrica origina un campo magnético. El campo magnético creado por una carga puntual depende de:
Del valor de la carga (dq) que se mueve. De la velocidad (v)
Del sen φ que forma con el campo magnético. De la distancia al punto al cuadrado
d B = K dq.v.sen r2 (1)
Siendo K = o
4. y μo la permitividad magnética del vacío.
El vector campo magnético será d B = K dq.v x r
r3
Cuando el campo lo crea una línea de corriente de intensidad I , intensidad media de las cargas:
I = d q d t ; v = d l d t d q = I . dt = I . d l v
Sustituyendo en la ecuación (1) se obtendrá : d B = K I.dl.sen
r2 y como forma vectorial
en el vacío : d B = o
4. .
I.dl x r r3
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5. Campo creado por una línea rectilínea indefinida de corriente.
Si consideramos la línea de corriente como la suma de infinitos infinitesimales de corriente I en una misma dirección y sentido, la inducción magnética será :B = ∫ dB , tomando la expresión d B = K I.dl.sen
r2 y considerando la representación
geométrica del margen se obtiene:
tg φ = al ; sen φ = ar ; r2 = a 2
sen2 l = a
tg . Con estas transformaciones matemáticas, dl = - a sen2 d φ d B = - o 4. . I.sen.d a . Para calcular el valor de la inducción magnética, es necesario integrar la expresión anterior: B=−μo 4.π . I a.[cosϕ]0 π/2 . = o 4. . I a Por lo tanto : B = o 2. . I
a que representa la ley de Biot y Savart.
El enunciado es el siguiente:
El valor del campo magnético creado por una corriente rectilínea e indefinida en un determinado punto, es directamente proporcional a la intensidad de corriente e inversamente proporcional a la distancia existente entre el punto y el conductor. Dicho campo se ve influenciado de una forma directa por la permitividad magnética del medio.
B=−
∫
0 π ( μ0 4.π I.senϕ.dϕ a )=−2 .∫
0 π/2 (μ0 4π I.senϕ.dϕ a )CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
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La dirección del campo magnético será tangente a la circunferencia qe teniendo como centro el conductor, pase por el punto de referencia. Las lineas de inducción serán por lo tanto líneas circulares concéntricas y su sentido de recorrido vendrá determinado por el avance del sacacorchos colocado en la dirección del conductor y avance con la intensidad de corriente.
6. El campo magnético creado por una espira circular.
Para determinar el campo creado por una espira circular, se debe de considerar la corriente como la suma de infinitas corrientes infinitesimales y por lo tanto, las líneas el campo tendrá un sentido tal que salen por aquella cara cuya intensidad es recorrida en sentido contrario de las agujas del reloj y entran cuando se ve circular a la corriente en el mismo sentido que éstas, originando un polo norte o polo sur de un imán.
Para calcular la inducción magnética en un punto del eje de una espira, se recurre a la expresión:
d B = K I.dl.sen
r2 ; donde sen φ = 1
d B = o 4. .
I.dl
r2 Desde el punto de vista vectorial, el vector inducción magnética se descompone en dos componentes, una perpendicular al eje de la espira, que se anula por simetría y la otra componente en la dirección del eje de la espira: d B´ = d B . sen β = o 4. . I.dl r2 . sen β como sen β = R r , d B´= o 4. . I.R.dl r3 Integrando se obtiene B´= ∫02πR o 4. I.R.dl r3 = = o 4. . I.R. r3 .
∫
0 2πR dl=μ0 4π I.R r3 . 2πR B´ = o 2 . I.R2 r3CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
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Teniendo en cuenta, por el teorema de Pitágoras que : r =
R2d2 y que R = r . sen β ; B´= o
2 . I
R sen 3 β En el centro O de la espira (β = 90º) , el campo será :
B´ = o 2 .
I R
7. El campo creado por un solenoide.
Un solenoide está formado por un conjunto de espiras equidistantes y paralelas por donde circula una corriente eléctrica. Cuando el eje del solenoide es circular, se denomina toroide.
Si un solenoide posee una longitud L y posee N espiras, con una intensidad circulante I, el campo magnético será :
d B = o 2 . I R sen 3 β . dn ; dn = N . dx L , por lo que : d B = o 2 . I R sen 3 β . N . dx L
De la figura anterior se obtiene sen β = R
r y tg β = R
x ; dx = - R senβ2 dβ y R = r. sen β . Sustituyendo se obtiene :
d B = - o 2 .
N.I
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Para calcular B será necesario integrar desde 0 hasta π :
B=−
∫
0 π (μo 2 ). N I L .senβdβ=−2 μ0 2 . N I L∫
0 π/2 senβdβ=−2μ0 2 . N I L .[cosβ]0 (π/2) =μ0N I L . N.I L . sen β d β = o 2 . N.I LComo solamente se ha considerado la integral de la mitad del solenoide, B = μ0 . N.I
L
En el caso que fuese un toroide L = 2 π . R , siendo R el radio de la circunferencia media del toroide.
8. Acciones mutuas entre conductores paralelos.
Cuando por dos conductores paralelos, situados a una distancia d, circulan dos corrientes eléctricas (I1 e I2 )
aparecerán entre ellos una serie de fuerzas, originadas por los campos magnéticos creados, de tal forma que si las dos corrientes son del mismo sentido, la fuerza neta será repulsiva , mientras que si las dos corrientes son de signo contrario, la fuerza neta será atractiva.
Para calcular el valor de esta fuerza, hay que considerar que el campo lo puede crear tanto un conductor como el otro:
B1 = o 2. . I1 d y B2 = o 2. . I2 d La fuerza ejercida F12 = I2 . L . B1 ; F21 = I1 . L . B2 F12 = F21 = o 2. . I1.I2 d . L La fuerza por unidad de longitud f = F
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= o 2. .
I1.I 2 d
Esta fórmula nos permite definir la unidad de intensidad de corriente eléctrica, sabiendo que dicha magnitud se considera fundamental dentro del S.I.
Para ello suponemos que I1 = I2 = 1 A y que los dos conductores se encuentran a la distancia
de 1 m. Según esto la fórmula será : F = o 2. . I1.I 2 d . L = 2 . 10-7 ( N/A2) 1A. 1A 1m 1 m = 2 10-7 N
La definición de amperio sería como la intensidad de corriente que llevan dos conductores, paralelos indefinidos que circulan en sentidos opuestos y que colocados a la distancia de 1 m , son atraídos con una fuerza de 2 10-7 N.
9. La ley de Ampère para el campo magnético.
Si consideramos un conductor rectilíneo e indefinido, por donde circula una corriente I, el campo magnético situado a una distancia r será :
B = 2.o .
I r
Vamos a calcular la circulación de B a lo largo de la línea de fuerza circular: ∫ B . dl = ∫ B . dl = B . ∫ dl = o
2. . I
r . 2 . π . r = μ0 . I
La ley de Ampère establece que la circulación del campo magnético (B) a lo largo de una línea cerrada es igual a la permitividad magnética del medio multiplicado por la suma de intensidades que pasen por su interior:
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Problemas propuestos del campo magnético.
1. Problema.- Una carga positiva de 5 μ C se mueve con una velocidad de v = 5 i – 5 k con unidades del SI , en el interior del campo magnético uniforme de inducción B = i + 2j – k (SI) Deducir la fuerza que actúa sobre dicha carga y cuál es su valor.
2. Problema.- Un protón con una energía cinética de 1 MeV se mueve perpendicularmente a un campo magnético de inducción 2 T. Calcular: a. La fuerza que actúa sobre el protón
b. El radio de la trayectoria circular que describe.
3. Problema.-Calcular la inducción magnética en el interior de un solenoide de 0.16 m de longitud formado por 640 espiras, que tiene una resistencia de 6 Ω, cuando se aplica entre sus bornes una diferencia de potencial de 120 V.
4. Problema .-Por dos conductores paralelos rectilíneos de 8 m. de longitud situados a 2 cm de distancia, circulan corrientes en el mismo sentido de 2 A cada uno. Calcular la fuerza con la que se repelen mutuamente.
5. Problema.- Un electrón parte del reposo y es acelerado por una diferencia ce potencial de 100 V . Si con la velocidad que adquiere penetra en un campo magnético de 4 10-4 T perpendicular a la dirección
del campo, ¿cuál será el radio de la órbita que describe?
6. Problema.- Un alambre metálico de 0.1 g de masa , puede deslizar sin rozamiento sobre dos raíles paralelos,separados entre si 10 cm y que forman un ángulo de 35º con la horizontal. Una corriente de intensidad I pasa de un raíl al alambre y regresa por el otro raíl. Si el conjunto así formado se encuentra dentro de un campo magnético y ascendente de 5 10-3 T de inducción, calcular el valor de la intensidad de corriente
necesaria para que el alambre se encuentre en equilibrio.
7. Problema.- A través de una bobina que consta de 500 espiras y tiene un radio de 5 cm. circula una corriente de 2 A. Calcular la inducción magnética en un punto del eje de la bobina que dista de su centro : a) 0 cm. ;b) 5 cm.; c) 10 cm.
8. Problema.- Dos hilos conductores, paralelos, rectilíneos e infinitamente largos, de 20 g/m de densidad lineal, circula la misma intensidad de corriente, en el mismo sentido, están suspendidos de un eje común mediante dos cuerdas inextensibles de peso despreciable y de 5 cm de longitud, que forman con la vertical un ángulo de 30 º. Calcular la corriente que llevan ambos conductores.
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Resolución de los
problemas.-Problema 1.-
Datos .- q = 5 μ C // v=5.i−5 .km/s // B=i2 .j−k (Wb/m2)
Calcular la fuerza F
Resolución .- F=q.v xB
El producto vectorial se resuelve de la siguiente manera:
F=5 10−6. [ i j k 5 0 −5 1 2 −1 ] = 5.10−6 10i10k = 5.10−5 .i5.10−5 k (N) El valor del módulo de la fuerza será :
F =
5.10−5 25.10−5 2 =
2 . 5.10−5 N Problema 2.- Datos q( p) = 1.602 10-19 C // m (p) = 1,67 10-27 Kg.// E C = 1 MeV= 1.602 10-13 JSe mueve en dirección perpendicular a un campo B = 2 T Calcular la Fuerza que interacciona con la carga y el radio de la órbita . Resolución.- EC=1 2.m.v 2 ;; v=
2 .EC m =
2. 1.60210−13 1.67 10−27 = 1,38 10 7 (m/s) F = q . v. B . sen φ = q . v . B = 1,602 10-19 . 1,38 107 . 2 = 4,42 10-12 N F e = FC = m. v 2 R :: R = m. v2 FC = 1,67 10 −19.1,38 107 2 4,42 10−12 = 7,19 cm. Problema3.-Datos .- Solenoide , N = 640 espiras// L = 0,16 m // R = 6 Ω // V = 120 V Resolución.-
∫
B.d l = μ0 . N . I ;; I VCIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
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B = 0.N.I
l =
4..10−7. 640.20
0,16 =0,10T
Problema 4.-
Datos .- Dos conductores paralelos y rectilíneos L = 8 m // d (entre ellos) = 2 cm = 0,02 m I1 = I2 = 2 A ; circulan en el mismo sentido .
Calcular la F de repulsión. Esquema .- F Resolución .-
∫
B.dl = μ . I1 = B . 2 .π . d B = .I1 2 ..d = 4 ..10−7 . 2 2 ..0,02 = 2 .10 -5 T F=I2 l xB = 2 . 8. 2 10−5 = 3,2 10-4 N Problema5.-Datos .- Electrón con carga q = - 1,602 10-19 C // parte del reposo // acelerado por
un campo eléctrico cuyo potencial es de V = 100 V // en un campo magnético de B = 4 10-4 T . Calcular el radio de la trayectoria. // m
e = 0,911 10-30 Kg. Resolución .- W = V . q = 1 2.m.v 2 ;; m . v2 = V . q . 2 = 1,602 10-19 . 100 = = 3,204 10-17 J v =
3,20410 −17 0,91110−30 = 5,9 10 6 m/s FC = m. v 2 R = q . v . B ;; R = m.v2 q.v. B= 3,204.10−7 1,602. 10−19 . 5,9106. 4 . 10−4 = 0,084 m = = 84 cm. I1 I2 B BCIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.
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Problema
6.-Datos .- m = 0,1 g // separación entre los raíles , d = 10 cm = 0,1 m. // α = 35º B = 5 10-3 T
Calcular I para que el sistema se encuentre en equilibrio. . Resolución.
F=I.l xB
Para que el sistema se encuentre en equilibrio, Σ F = 0 ;; Σ Fx = 0 ;; Σ Fy = 0 ;; Σ Fx = P. sen α – Fm . cos α = 0 Fm = P.sen cos =m.g. tg=0.110 −3 . 9,8.tg35 =6,86 10-4 N I = Fm l.B= 6,86 10−4 0.1. 510−3 = 1,37 A. Problema
7.-Datos.- Bobina N = 500 espiras // R = 5 cm // , calcular B0 cm . ;; B5 cm. ;; B10 cm
Resolución.- B = 0 2 . I R.sen 3 .N B I Fm P N Fm Eje y Eje x r R d Ángulo Φ
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B = 20.I.N. R
2
R2d23Consideramos los siguientes casos:
a. d = 0 B = 4 ..10 −7 2 .400. 2. 0.052 0.053 = 0.01 T b. d = 5 cm. B = 4 ..10 −7 2 .400. 2. 0.052
0.0520.052 3 = 0.0035 T c. d = 10 cm B = 4 ..10 −7 2 .400. 2. 0.052
0.0520.123 = 0,000898 T Problema8.-Datos .- densidad del cable , ρ = 20 (g/m) // L = 5 cm = 0.05 m // φ = 30º Calcular el valor de la intensidad para que el sistema se encuentre en equilibrio. Resolución.-tg φ = Resolución.-tg 30 = 0,5773 = Fm m.g = Fm .l.g= Fm l. 20 10−3 . 9.8 Fm = 0 2 .. I2 d .l = l . 20 10-3 . 9,8 . 0,5773 d = 2 . 0,05 sen φ = 0,05 m I =
