Métodos Cuantitativos II 1 MAE Luis Fernando López
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS
METODOS CUANTITATIVOS II
Función Lineal
Una función lineal es una función de la forma:
b
mx
f(x)
Se puede expresar de varias formas:
Forma General
ax
by
c
Forma pendiente ordenada al origen
y
mx
b
Forma punto-pendiente
y
y
1
m
(
x
x
1)
Pendiente:
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos y
grafique:
1) (3,-7) (1,0) 2) (3,2) (-1,-2) 3) (-4,-1) (1,-1) 4) (-4,5) (-4,8)
5) Pasa por (3,5) con pendiente 3 6) Pasa por (-3,1) con pendiente 1/4 7) Pasa por (4,-3) con pendiente 0
8) Pasa por (0,5) con pendiente indefinida
De las siguientes ecuaciones encuentre la pendiente y la ordenada al origen y grafique: a) 4y - 12x + 15 = 0
b) x + y + 1 = 0 c) -2x – 4y = 0 d) -3x + y = 0 e) y = -2+3x f) 3x+6=0
1 2
1 2
x
x
y
y
m
Métodos Cuantitativos II 2 MAE Luis Fernando López Aplicaciones de Funciones Lineales
1. La ganancia de un fabricante de bicicletas se puede aproximar mediante la ecuación
000 , 90
60
x
P , donde x es el número de bicicletas fabricadas y vendidas.
a) Trace una gráfica de las ganancias contra con el número de bicicletas vendidas (hasta 5000 bicicletas)
b) Estime el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía recupere sus gastos.
c) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía obtenga una utilidad de US$150,000.00
2. El costo semanal de operación de un taxi es de $75.00 más 15 centavos por kilometro recorrido.
a. Escriba una ecuación que exprese el costo semanal C en términos de los kilómetros k.
b. Trace una gráfica que muestre el costo semanal contra el número de kilómetros conducidas por semana.(hasta 200 km)
c. Calcule el costo semanal si Juan recorre 150 kilómetros.
d. Calcule los kilómetros de recorrido efectuado por Juan si el costo es de $135.00
3. El salario semanal de Pedro es de $200.00 más 10% de comisión sobre ventas semanales.
a. Plantee una ecuación
b. Trace una gráfica del salario semanal comparado con las ventas semanales c. ¿Cuál es el salario de Pedro si sus ventas fueron de $20,000.00?
d. Si su salario a la semana es de $1,200.00,¿De cuántos fueron sus ventas? 4. El costo variable de fabricar una mesa es de L 9.00 y los costos fijos son L200.00 al
día. Determinar el costo total “y” de fabricar “x” mesas al día. ¿ Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al día?
5. El costo variable de fabricar una mesa es de L 15.00 y los costos fijos son L25,000 al mes. Cada mesa se vende a L 150.
a) Determinar la ecuación de costo total. b) Determinar la ecuación de ingreso. c) Determinar la ecuación de utilidad.
d) ¿Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al mes? e) ¿Cuál es el ingreso de fabricar 150 mesas al mes? f) ¿Cuál es la utilidad de fabricar 150 mesas al mes? g) Encuentre el punto de equilibrio.
Métodos Cuantitativos II 3 MAE Luis Fernando López 6. La demanda de reproductores de DVD vendidos en un mes es una función lineal del
precio, p, para $150≤p≤$400. Si el precio es $200, entonces se venderán 50 DVD por
mes. Si el precio es $300 solo se venderán 30 DVD. a) Determine la ecuación de demanda
b) Determine la demanda cuando el precio es $260
c) Determine el precio que se cobra si la demanda es de 45 DVD.
7. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 10,000 paquetes a la semana cuando el precio es de L 1.20 por paquete, pero que las ventas se incrementan en 2,000 paquetes cuando el precio se reduce a L1.10 por paquete. Determine la función de demanda, suponiendo que es lineal.
8. El ingreso, I, de una obra de teatro es una función lineal del numero de boletos vendidos, t. Cuando se venden 80 boletos el ingreso es de $1000. Cuando se venden 200 boletos el ingreso es $2500.
a) Utilice estos datos para escribir la ecuación. b) Determine el ingreso si se vendieron 120 boletos c) Si el ingreso es $2200, ¿ cuantos boletos se vendieron?
9. Una compañía que repara copiadoras cobra por un servicio una cantidad fija mas una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de L 150.00 por un servicio de una hora y L 280.00 por un servicio de tres horas, determine la función lineal que describa el precio de un servicio en donde x es el numero de horas de servicio. Grafique.
10.Un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50,000 pares de zapatos cuando el precio es $35 el par y 35,000 pares de zapatos cuando el precio es $30. Determine la ecuación de oferta.
11.La demanda semanal de televisores es 1200 unidades cuando el precio es de $575 cada uno, y 800 unidades cuando el precio es de $725 cada uno.
a. Determine la ecuación de demanda para los televisores, suponiendo un comportamiento lineal.
b. ¿Cuántos televisores vende si el precio es de $800?
c. ¿A que precio debe de vender los televisores si espera vender 1500 televisores?
d. Haga la grafica.
12.El costo de un boleto de autobús en Tegucigalpa depende de la distancia viajada. Un recorrido de 2 millas cuesta L 4, mientras que un recorrido de 6 millas cuesta L 6.
a) Escriba la ecuación que represente el costo de boleto de autobús. b) Si un cliente pago L 7, ¿Cuántas millas recorrió?
Métodos Cuantitativos II 4 MAE Luis Fernando López 13.El salario semanal de Juan esta compuesto por un salario base mas una comisión
por sus ventas realizadas. En la primera semana su salario semanal fue de $650 cuando vendió $1000. En la segunda semana su salario semanal fue de $875 cuando vendió $2500
a) Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan.( Las ventas representan la variable ¨x¨ y el salario semanal la variable ¨y¨)
b) Si Juan vendió $4000 en la semana, ¿cuánto fue su salario semanal?
c) Si el salario semanal de Juan es de $777.50, ¿cuánto vendió en esa semana? d) ¿Cuál es el salario base que recibe Juan?
14.El costo fijo de una compañía es de L 150. Cuando se fabrican 200 unidades, el costo total es de L 1950.
a) Determine el costo variable.
b) Determine la ecuación de costo total
c) Determine el numero de unidades que debe fabricar para que el costo total sea de L 6900
d) Determine el costo total si se fabrican 450 unidades
15.Una compañía vende cada articulo a L 5. Cuando fabrica 500 unidades el costo total es de L 1250, y cuando fabrica 750 unidades el costo total es de L1750
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.
b) Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 ¿cuántas unidades debe vender?
c) Determine la utilidad si se venden 350 unidades.
16.Una compañía vende 2000 unidades y su utilidad es de $10000. Cuando vende 2250 unidades su utilidad es de $15000.
a) Encuentre la ecuación de utilidad suponiendo es lineal. b) Determine la utilidad si se venden 3200 unidades.
c) Si la compañía tiene una utilidad de $23000, ¿Cuántas unidades vendió? d) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no
sufra perdida.
17.El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión por sus ventas realizadas. En la primera semana su salario semanal fue de $770 cuando vendió $1000. En la siguiente semana su salario semanal fue de $950 cuando vendió $2500
a) Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan.( Las ventas representan la variable ¨x¨ y el salario semanal la variable ¨y¨)
Métodos Cuantitativos II 5 MAE Luis Fernando López 18.Un fabricante encuentra que las ventas son de 1,000 unidades a la semana cuando
el precio es de L 10 por unidad, pero que las ventas fueron de 900 unidades cuando el precio fue de L 15 por unidad. Determine la ecuación.
19.Un fabricante de DVD tiene costos mensuales fijos de $6600 y costos variables de $35 por unidad. La compañía vende cada DVD a $60.
a) Escriba la función de costo total. b) Escriba la función de ingreso. c) Escriba la función de utilidad.
d) Encuentre el ingreso si se venden 200 unidades.
e) Encuentre la utilidad o pérdida si se venden 250 unidades.
20.Una compañía tiene costo fijo es $40,000 y el costo variable es $400 por artículo. Se vende los artículos a $600 cada uno.
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.
b) Si se desea una utilidad de $ 60,000 ¿ cuantas unidades debe vender? c) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no
tenga ganancias ni perdida.
21.Una compañía vende cada articulo a L 35. Cuando fabrica 250 unidades el costo total es de L 8000, y cuando fabrica 380 unidades el costo total es de L9560
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.
b) Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 ¿cuántas unidades debe vender?
c) Determine el costo total si se venden 500 unidades. d) Determine la utilidad si se venden 500 unidades
22.Una imprenta cobra una cantidad fija de L 80 mas un cargo adicional de L 0.05 por copia. Por ejemplo por 500 copias cobra L 105 y por 700 copias cobra L 115.
a) Determine la función que describa el costo de impresión. b) Encuentre el costo de 1000 copias
c) Haga la gráfica de la función de costo de impresión (de 500 copias en adelante)
23.Una compañía tiene costo fijo es L 300 y el costo variable es L 0.75 por artículo. Se vende los artículos a L 1.00 cada uno.
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.
b) Si la compañía desea una utilidad de L 1,950 ¿cuántas unidades debe vender?
Métodos Cuantitativos II 6 MAE Luis Fernando López
Función Cuadrática
c
bx
ax
2f(x)
Donde a, b y c son numero reales y a≠0
a>0
a<0
Pasos para graficar funciones cuadráticas
1) Determinar hacia donde abre:
Si a>0 abre hacia arriba Si a<0 abre hacia abajo
2) Determinar el vértice: ( -b/2a, f(-b/2a))
Para x: x= -b/2a (eje de Simetría)
Para y: sustituir x en la función.
3) Determinar las intersecciones con los ejes.
Para determinar si una función cuadrática tiene intercepto en x:
Si b2-4ac > 0 tiene 2 Ix Si b2-4ac = 0 tiene 1 Ix
Si b2-4ac < 0 tiene no tiene Ix
Una función cuadrática siempre tiene Iy (0,c)
4) Graficar
Métodos Cuantitativos II 7 MAE Luis Fernando López Funciones Cuadráticas
Grafique las siguientes funciones
1) f(x)3(x2)(1x)
2) f(x)3x2 4x 3) f(x) x2 4 4) f(x)x2 6x9 5) f(x) x2 8
6) 1
2 1 )
(x x2 x
f 7) 1 3 4 3 2 )
(x x2 x
f
8) f(x)x2 2x
9) f(x)3x2 8x2
10) 25
2 1 )
(x x2
f
11) f(x)(x10)2
12) 2 3 10 2 1 ) ( 2
x x
x f
13) f(x)2x2 6x4 14) f(x) x2 8 Aplicaciones de Funciones Cuadráticas
1. Un negocio vende n sillas, n≤50, a un precio de (50-0.4n) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse para obtener un ingreso de $660.
2. Un negocio vende ¨x¨ sillas, a un precio de (50-0.2x) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse para que el ingreso sea máximo?
3. Para calcular el total de estudiantes inscritos entre los años 1990 y 2008 en el nivel universitario, se puede utilizar la función N(t)= -0.043t2+1.22t + 46 en millones. En la ecuación t es el numero de años desde 1989, 1≤t≤19.
a) Calcule el total de niños inscritos en 1995
b) En que años el total de niños inscritos es de 54 millones de estudiantes?
4. La ganancia mensual P ( en miles de dólares) de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la función P = -2x2 + 16x – 12, donde x es el numero de bicicletas en cientos, producidas y vendidas al mes. Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia? Determine la ganancia máxima?
5. La utilidad semanal de una tienda de videos, P, en miles de dólares es una función del precio de alquiler de las cintas, t. La ecuación de utilidad es P=0.2t2+1.5t-1.2 , 0≤t≤5.
a) Si la tienda cobra $3 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o perdida semanal? b) Si cobra $5 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o perdida semanal?
c) Cual debe ser el precio de alquiler de cada cinta para que la utilidad semanal sea $1600?
6. Una compañía de investigación de mercado estima que “n” meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familia lo usaran, en donde:
F(n) = (10n/9)(12-n) , 0≤n≤12
Métodos Cuantitativos II 8 MAE Luis Fernando López 7. Una compañía productora de alimento para aves obtiene una utilidad semanal de
acuerdo con la función f(x)=-0.4x2+80x-200, donde x es el numero de bolsas de alimento para aves fabricadas y vendidas.
a) Determine el numero de bolsas de alimento para aves que debe vender para obtener la utilidad máxima.
b) Determine la utilidad máxima.
8. La compañía teatral de una escuela considera que el ingreso total, I, en cientos de dólares, que obtendrá por una puesta en escena, puede calcularse con la formula I=-x2+22x-45 donde 2≤x≤20, donde x es el costo de un boleto.
a) ¿Cuánto debe cobrar para obtener el ingreso máximo? b) ¿Cuál es el ingreso máximo?
9. La dueña de la compañía contrato a un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus ganancias P(x) de la venta de “x” unidades, están dadas por:
) 120 ( )
(x x x
P .
a) ¿Cuántas unidades debe vender para maximizar las ganancias? ¿Cual es la ganancia máxima?
b) ¿Cuál es el intervalo de ventas en el cual al menos su ganancia es cero? c) Haga la grafica
10.La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares en donde p+2x=50. El costo en dólares de producir x unidades esta dado por c(x)=200 + 6x. ¿Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima.
11.La función de demanda de una empresa es p=0.9-0.0004q, donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
12.Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación c(x)x2 50x400. El precio de venta de cada unidad es de L250
a) Encuentre la función de utilidad.
b) Determine la utilidad si se venden 50 unidades.
c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener la utilidad máxima.
d) Encuentre la utilidad máxima
13.Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación c(x)200040xx2. El precio de venta de cada unidad es de L 130
a) Encuentre la función de utilidad.
Métodos Cuantitativos II 9 MAE Luis Fernando López c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener
la utilidad máxima.
d) Encuentre la utilidad máxima e) Grafique la función de utilidad
14.Un negocio vende ¨x¨ relojes a un precio de p = 30 - 0.10x dólares cada uno. a) Encuentre la función de ingreso
b) Determine la cantidad de relojes que debe vender para obtener el ingreso máximo
c) Cuantos relojes debe vender para obtener un ingreso de $2160.
d) Determine el precio al que debe vender cada reloj para que el ingreso sea máximo.
15.Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado mediante la ecuación x20p1200 donde ¨p¨ representa el precio de venta. El costo de producción es de $10 por cada unidad.
a) Encuentre la función de ingreso b) Encuentre la función de utilidad
c) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso d) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad. e) Determine el ingreso máximo
f) Determine la utilidad máxima
16.Se determina la utilidad diaria de una empresa por medio de la siguiente función: 100
1 . 0 16 )
(x x x2
f donde x representa el numero de unidades vendidos.
a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad? b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
c) ¿Cuál es la utilidad si se venden 40 unidades? d) Grafique la función de utilidad.
17.Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado mediante la ecuación x750p15000 donde ¨p¨ representa el precio de venta. El costo de variable es de $4 por cada unidad y el costo fijo de $7000.
a) Encuentre la función de ingreso b) Encuentre la función de utilidad c) Encuentre la función de costo total
d) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso e) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad. f) Determine el ingreso máximo
Métodos Cuantitativos II 10 MAE Luis Fernando López 18.La ganancia mensual P de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la
función P4x2 400x3600, donde x es el numero de bicicletas producidas y vendidas al mes.
a) Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia? b) Determine la ganancia máxima.
c) Determine la utilidad o pérdida si se venden 5 bicicletas al mes. d) Determine la utilidad o pérdida si se venden 35 bicicletas al mes
19.La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares en donde p+2x=500. El costo en dólares de producir x unidades esta dado por c(x)=200 + 60x.
a) Determine la función de ingreso
b) Determine el numero de unidades que maximiza el ingreso
c) ¿Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que el ingreso sea máximo.
Función Valor Absoluto
Una función valor absoluto es una función de la forma:
c
k
mx
b
f(x)
Donde k, m, b y c son numero reales y k≠0
Métodos Cuantitativos II 11 MAE Luis Fernando López
Pasos para graficar funciones valor absoluto de la forma
c
k
mx
b
f(x)
1) Determinar hacia donde abre:
Si k>0 abre hacia arriba Si k<0 abre hacia abajo
2) Determinar el vértice
3) Determinar las intersecciones con los ejes.
4) Graficar
5) Determinar el Dominio y Rango.
Función Valor Absoluto
1) f x x
5 1 4 1 3 1 2 1 ) (
2) f(x)x33
3) f(x)32x1
4) f(x)2x13
5) f(x)x2 5
6) f(x)x33
7) f(x)2x31
8) f(x) x14
9) 2 6
2 1 3 )
(x x
f
10)
2 1 )
(x x f
11) 2 4
3 1 2 )
(x x
f
12) 2
2 1
1
x
y
13) y1x 2
14) f(x)5 x
15) f(x)2x34 16) f(x)4x13
17) 1
4 3 2 )
(x x
f 18) 1 2 3 2 )
(x x
f
Métodos Cuantitativos II 12 MAE Luis Fernando López
Función Radical
Una función radical es una función de la forma:
c
k
mx
b
f(x)
Donde k, m, b y c son numero reales y k≠0
Si k>0
si m>0 Punto Inicial
si m<0 Punto Final
Si k<0
Métodos Cuantitativos II 13 MAE Luis Fernando López
Pasos para graficar funciones radicales de la forma
c
k
mx
b
f(x)
1) Determinar hacia donde abre.
2) Determinar el dominio.
3) Encontrar el punto inicial o punto final.
4) Encontrar las intersecciones con los ejes.
5) Graficar
6) Determinar el rango
Función Radical
1) y132 1x
2) y2 (-2x-1)3
3) f(x) x 1 -1
4) f(x) -2- 3x- 1
5) f(x) 3x
6) f(x) 4-x2
7) f(x) -2 x 1/23
8) f(x) -2- -x
9) f(x) - 1-x2
10) f(x) 2 x13 x1- 4
11) f(x)3 x24
12) y112 2x
Métodos Cuantitativos II 14 MAE Luis Fernando López
Función Racional
Una función racional es una función de la forma:
Pasos:
Para funciones racionales expresadas en su mínima expresión
1) Encontrar la(s) asíntotas verticales. Las asíntotas verticales son los
ceros del denominador.
2) Encontrar la asíntota horizontal u oblicua.
Si
... bx bx
... ax ax
f(x) m m-1
1 -n n
a) Si n<m entonces el eje x (y=0) es la asíntota horizontal.
b) Si n=m entonces la recta y=a/b (cociente entre los coeficientes
iníciales) es la asíntota horizontal.
c) Si n>m, la grafica tiene una asíntota oblicua que se obtiene por
medio de la división larga de la función.
3) Si existe una asíntota horizontal, determinar si corta a la grafica
sustituyéndola en la función.
4) Encontrar las intersecciones con los ejes.
5) Determinar en donde la grafica esta por arriba de la asíntota horizontal
y en donde esta por debajo de la asíntota horizontal.
6) Graficar.
7) Determinar el dominio y el rango de la función.
0 h(x) donde ,
h(x) g(x)
Métodos Cuantitativos II 15 MAE Luis Fernando López Funciones Racionales 1. x 1 3x f(x)
2. f(x) 11/x
3. 16 x x f(x) 2
4. 2
2 x 4 x f(x) 5. 1 x 12 -x x f(x) 2 6. 4 x x f(x) 2 3
7. 4
4 x -1 1 x f(x) 8. 1 x 3 2 x f(x) 2 2 x 9. 9 x 5) x(x f(x) 2
10. 1
1 x 1 f(x) 11. 1 x 3 x f(x) 2 12. 4 x 16 x f(x) 2 13. 6 2 ) ( 2 2 x x x x x f 14. ) 4 )( 1 ( 2 ) ( x x x x f
15. 2
4 2 )
( 2
x x f
16. 1
5 2 ) ( x x x f
17. 2
3 3 ) ( x x f 18. 4 2 10 ) ( 2 2 x x x f
19. Hacer la grafica de la función con la siguiente información: Cuando X 0,Y
Cuando X 0,Y
Cuando X 2,Y
Cuando X 2,Y
Métodos Cuantitativos II 16 MAE Luis Fernando López 20. Hacer la grafica de la función con la siguiente información:
Cuando X 2,Y
Cuando X 2,Y
Cuando X 2,Y
Cuando X 2,Y
Ix (0,0) Iy (0,0)
Corta a la AH en x=4 AH y=1
21. Hacer la grafica de la función con la siguiente información: Cuando X 1,Y
Cuando X1,Y
Cuando X2,Y
Cuando X2,Y
Cuando
,Y 1
X
Cuando X,Y1 IX(2,0)
IY(0,1)
22. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características:
a. Cuando
,X 2
Y
b. Cuando
Y X 2 ,
c. Cuando X 3,Y
d. Cuando X 3,Y
e. Asíntota Horizontal = 0, la cual corta en el punto (0,0) f. Ix (0,0), Iy(0,0)
g. Punto Faltante (3,1)
23. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características: a. Cuando X ,Y 2
b. Cuando
2 ,Y X
c. Cuando X 3,Y d. Cuando X 3,Y
e. Cuando X 3,Y
f. Cuando X 3,Y
Métodos Cuantitativos II 17 MAE Luis Fernando López 24. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características:
a. Cuando X 2,Y
b. Cuando
,X 2
Y
c. CuandoX 2,Y d. Cuando
2 ,X Y
e. Asíntota Horizontal y=-2 f. Ix (-3,0)(-1,0)(3,0)(1,0), Iy (0,-1)
25. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características: a. Cuando X 3,Y
b. CuandoX 3,Y
c. Cuando
Y X 0 ,
d. Cuando X 0,Y
e. Cuando X 2,Y
f. Cuando
Y
X 2 , g. CuandoY 1,X h. Cuando Y 1,X
i. Ix (-1,0)(-4,0), Iy= no tiene j. No corta la asíntota horizontal
26. Haga el bosquejo de la gráfica con las siguientes características:
a. Cuando
,X 2
Y
b. Cuando X 2,Y
c. Cuando
Y X 3 ,
d. Cuando X 3,Y
e. Asíntota Horizontal y=0, la cual corta en el punto (0,0) f. Ix (0,0), Iy (0,0)
Métodos Cuantitativos II 18 MAE Luis Fernando López
Complete la información utilizando las siguientes graficas:
Complete:
a) Si x→ 2- entonces y→_____ b) Si x→ -3- entonces y→_____
c) Si x→ 2+ entonces y→_____
d) Si x→ 5+ entonces y→_____
e) Si x→ -3+ entonces y→_____ f) Si x→ 5- entonces y→_____ g) El rango es _____________ h) El dominio es____________
Complete:
a) Si x→ -1- entonces y→_____
Métodos Cuantitativos II 19 MAE Luis Fernando López Complete:
a) Si x→ -5- entonces y→_____
b) Si x→ 1- entonces y→_____ c) Si x→ -5+ entonces y→_____
d) Si x→ 1+ entonces y→_____
e) Si x→ 3+ entonces y→_____
f) Si x→ 3- entonces y→_____ g) El rango es _____________ h) El dominio es____________
Complete:
a) Si x→ -1- entonces y→_____
b) Si x→ -1+ entonces y→_____
Métodos Cuantitativos II 20 MAE Luis Fernando López
PUNTO FALTANTE
a)
6 2 )
( 2
2
x x
x x x f
b)
4 x
16 x f(x)
2
-
Complete:
a) Si x→ -4- entonces y→_____
b) Si x→ -4+ entonces y→_____
c) Si x→ -1- entonces y→_____
d) Si x→ -1+ entonces y→_____ e) Si x→ 4- entonces y→_____ f) Si x→ 4+ entonces y→_____
Métodos Cuantitativos II 23 MAE Luis Fernando López e)
2 x
2x x f(x)
2
f)
x 2
1 -2x f(x)
2
g)
2 -x
3 -x -2x f(x)
2
h)
1 x
6 -x x f(x)
2
Métodos Cuantitativos II 24 MAE Luis Fernando López
Soluciones
Graficas de Funciones Lineales
1
2
3
4
Métodos Cuantitativos II 25 MAE Luis Fernando López
7
8
a
b
Métodos Cuantitativos II 26 MAE Luis Fernando López
e
f
Funciones Cuadráticas
1 2
Métodos Cuantitativos II 27 MAE Luis Fernando López
5 6
7 8
Métodos Cuantitativos II 28 MAE Luis Fernando López 11
Función Valor Absoluto
1 2
Métodos Cuantitativos II 29 MAE Luis Fernando López
5 6
7 8
Métodos Cuantitativos II 30 MAE Luis Fernando López
11 12
13
14
Métodos Cuantitativos II 31 MAE Luis Fernando López
Función Radical
1 2
3 4
Métodos Cuantitativos II 32 MAE Luis Fernando López
7
8
9)
10)
Métodos Cuantitativos II 33 MAE Luis Fernando López
Funciones Racionales
1 2
3 4
Métodos Cuantitativos II 34 MAE Luis Fernando López
7 8
9 10
Métodos Cuantitativos II 35 MAE Luis Fernando López 13
Selección única
1) La función a
bx x
f
1 2 )
( tiene asíntota vertical x=1/5 y asíntota horizontal
en y=3 cuando:
a) a=3 b=5
b) a=1/5 b=3
c) a=0 b=5
d) a=3 b=0
2) La parábola y= 3(x-a)(x-5) tiene eje de simetría en x=17/6 entonces:
a) a=2/9
b) a=1/3
c) a=2/3
Métodos Cuantitativos II 36 MAE Luis Fernando López 3) El rango de la función f(x) = 2x2 -4x + 1 es:
a) [1,+∞[
b) ]-∞,1]
c) [-1,+∞[
d) ]-∞,-1]
4) El gráfico de la función 2
1 3 )
(
x x
f corta al eje x en el punto
a) (5/2,0)
b) (2,1)
c) (0,-5)
d) (0,5/2)
5) La parábola de vértice (1,2) que pasa por (0,5) tiene ecuación:
a) y= 3x2 +6x + 5
b) y= x2 +2x + 3
c) y= 3x2 -6x + 5
d) y= x2 -2x + 3
6) Las ecuaciones de todas las asíntotas de f(x) =
1 8 2 )
( 2
2
x x x
f son:
a) y=1 y= -1 x=2
b) x=-2 x=2
c) y=0 x=1
Métodos Cuantitativos II 37 MAE Luis Fernando López 7) Una fábrica de calzados tiene costos fijos de $6600 por semana y un costo de
$15por cada par de zapatos. Si vende cada par a $20, la cantidad de pares que necesita vender por semana para cubrir los costos de producción es
a) 660 b) 1320 c) 440 d) 330
8) La recta pasa por los puntos (1,-3) y (0,5) tiene ecuación:
a) y = -1/8(x) +5 b) y = -8x c) y = -8x+5 d) y = 5x-8
9) Si f(x)=mx +b y f(-3)=8 y f(3)=-4 entonces: a) m=2 y b=-2
b) m=4 y b=-8 c) m=-2 y b=2 d) m=-4 y b=20
10) Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (0,-4) y (2,0) a) 2x +4y =8
b) 4x +2y =8 c) 2x -4y =8 d) 4x +2y = -8 e) ninguna
11) Cuál es el dominio de f(x) 4x es:
a) Todos los numero reales b) x≥4
c) x≤ -4 d) x≤ 4
e) ninguna
12) El rango de f(x)2x24x5 es: a) Todos los numero reales b) y≤3
Métodos Cuantitativos II 38 MAE Luis Fernando López 13) La función f(x)x28x10:
a) Tiene un punto máximo en (4,6) b) Tiene un punto máximo en (4,-6) c) Tiene un punto mínimo en (4,6) d) Tiene un punto mínimo en (4,-6) e) Ninguna
14)La función f(x) x28x10:
a) Abre hacia abajo y tiene 2 intercepciones en el eje x b) Abre hacia arriba y no tiene intercepciones en el eje x c) Abre hacia abajo y no tiene intercepciones en el eje x d) Abre hacia arriba y tiene 1 intercepto en el eje x e) Ninguna
15)El dominio de la función f(x)=2-2(x-1) es: a)[1,+∞[
b) ]-∞,1]
c) R d)ninguna
16)El rango de la función f(x)2 x21 es:
a) [-2+∞[
b) ]-1,+∞[
c) ]-∞,-1[ d)ninguna
17)La función
4 16 )
( 2
2
x x x
f tiene asíntota vertical en:
a)x=2 b)x=-2 c)x=±2 d)no tiene
18)El vértice de la función f(x)3 x11 es: a)(1,-1)
Métodos Cuantitativos II 39 MAE Luis Fernando López 19)El dominio de la función f(x)32 x2 es:
a)x≥-2 b)[2,+∞[
c)]-∞,3]
d)a y b son correctas
20)En la función f(x)x2 4x4, el vértice es:
a) V(-2,8) b) V(2,-16) c) V(-2,0) d) V(2,-8)
21)La pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (2,-3) es: a) Indefinida b) 0 c) -6/4 d) 6/4
22)El dominio de la función f(x) x32es:
a) x≥3 b) x≤-3 c) [3,+∞[ d) ]-∞,3]
23)En la función f(x) x2 6 el rango es:
a) Los reales b) ]-∞,6] c) [6,+∞[ d) [-6,+∞[
24)En la función f(x)k mxbc, donde c>0 y k>0 entonces: a) Tiene un Ix b) Tiene dos Ix c) No tiene Ix d) ninguna
25)En la función f(x)x2 4x4, el vértice es:
a)V(-2,8) b) V(2,-16) c) V(-2,0) d) V(2,-8)
26)La pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (2,-3) es: a) Indefinida b) 0 c) -6/4 d) 6/4
27)El dominio de la función f(x) x32es:
a)x≥3 b) x≤-3 c) [3,+∞[ d) ]-∞,3]
28)En la función f(x) x2 6 el rango es:
a)Los reales b) ]-∞,6] c) [6,+∞[ d) [-6,+∞[
Métodos Cuantitativos II 40 MAE Luis Fernando López 30)Dada la siguiente gráfica:
El dominio de la gráfica es:
a) x ≤ -3 b) x ≥ 0 c) x ≥ -3 d) x ≤ 0
El rango de la gráfica es:
a)
0,
b)
3,
c)
,0
d)
,3
El punto (-3 ,0 ) representa un:
a) Punto Final b) Punto máximo c) Punto mínimo d) Punto inicial
Escriba la respuesta correcta.
1) La pendiente de la ecuación 3x5y 2es: _________________________________________
2) El vértice de1 la función f(x)2x2 3 es: _________________________________________ 3) El punto faltante de la función
9 3 2 )
( 2
2
x x x x
f es _________________________________
4) El dominio de la función f(x)2 x32 es _____________________________________
5) El rango de la función f(x) x1 es _____________________________________________ 6) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2,3) y la pendiente es 4___________________ 7) El vértice de la función f(x)x2 1 es:____________________________________________ 8) La asíntota horizontal de la función 3
3 2
2 )
(
x x x
f es_______________________________
