Campo electrostático en el vacío: Conceptos y
resultados fundamentales.
1. Carga eléctrica. Ley de Coulomb.
1.1. Introducción. Carga eléctrica y distribuciones de carga. 1.2. Ley de Coulomb.
1 1 4 2. Campo eléctrico. Líneas de Campo.
2.1. Campo eléctrico. 2.2. Líneas de campo.
5 5 9 3. Ley de Gauss. Aplicaciones.
3.1. Caracterización vectorial de una superficie. 3.2. Flujo del campo eléctrico.
3.3. Ley de Gauss.
3.4. Cálculo del campo eléctrico mediante la Ley de Gauss
12 12 13 14 17 4. Trabajo del campo electrostático. Energía potencia y potencial eléctrico.
4.1. Trabajo de una fuerza.
4.2. Energía potencial electrostática. Potencial eléctrico. 4.3. Campo electrostático y potencial.
4.4. Potencial de una carga puntual.
4.5. Energía potencial de un sistema de cargas.
4.6. Potencial debido a una distribución continua de carga. 4.7. Relaciones de energía en un campo electrostático.
23 23 24 27 29 30 31 35 5. Movimiento de partículas cargadas en el seno de un campo eléctrico.
Aplicaciones:
37
1.- Carga eléctrica. Ley de Coulomb.
1.1.- Introducción. Carga eléctrica y distribuciones de carga.
La electrostática puede definirse como la parte de la física que se dedica al estudio de la interacción entre cargas eléctricas en reposo1. Resulta conveniente, por tanto, comenzar definiendo el concepto de carga eléctrica:
La carga eléctrica (q) es un atributo de las partículas fundamentales que la poseen, que las caracteriza en su interacción electrostática con otras partículas cargadas.
La experiencia demuestra que existen dos tipo de electrización, por lo que hay dos tipos de carga que llamaremos positiva (+) y negativa (-). La carga neta de un cuerpo es la suma algebraica de sus cargas (positivas y negativas). Un cuerpo con el mismo número de carga positivas y negativas (Qneta= 0) se dice que es eléctricamente neutro. La carga eléctrica tiene las siguientes propiedades:
• Esta cuantizada, es decir en la naturaleza existe una carga mínima que es la carga del electrón. De esta forma cualquier cantidad de carga será un múltiplo de la carga del electrón.
• La carga neta de un sistema aislado se conserva. Esto quiere decir que siempre que en un sistema cerrado se crea una carga positiva debe aparecer, necesariamente otra negativa para que se cumpla el principio de conservación. La unidad de carga eléctrica en el sistema internacional es el Culombio (C). Expresada en culombios, la carga del electrón vale:
q
e= 602
1
.
×
10
-19C
. Además existen otras unidades de carga menos utilizadas entre las que podemos destacar la unidad electrostática (UEE) de carga, del sistema cgs. La equivalencia es: 1 C = 3×109UEE. Evidentemente
q
e.
UEE
-10
10
×
= 806
4
.Para estudiar el comportamiento de un sistema de cargas en reposo necesitamos saber cómo están distribuidas en el espacio. Para caracterizar la posición de un conjunto de cargas en el espacio se utiliza el concepto de distribución de carga.
1Es importante la restricción de que las cargas estén en reposo porque cuando se consideran cargas en movimiento
aparecen, además de fenómenos eléctricos, fenómenos magnéticos que complican el problema. Por esto, en esta lección nos restringiremos a la electrostática, y cuando aparezcan cargas en movimiento supondremos que éste es tan lento que los fenómenos magnéticos asociados se pueden despreciar.
Una Distribución discreta de cargas es aquélla en la que las partículas están netamente diferenciadas por la existencia de espacios vacíos entre ellas. Una distribución de este tipo queda definida mediante las coordenadas de posición (respecto a un sistema de referencia determinado) de todas y cada una de las cargas que la integran.
Para calcular la carga neta en una distribución de este tipo simplemente hacemnos la suma algebráica de todas ellas:
∑
==
N i i netaQ
Q
1 [1.1]Para tratar objetos extensos cargados no podemos utilizar una distribución discreta de cargas ya que consideramos que los cuerpos están constituidos por un número tan grande de cargas elementales que podemos considerarlas un continuo.
En este caso, desde un punto de vista macroscópico, utilizaremos el concepto de distribución continua de carga, (es decir, sin espacios vacíos). Para trabajar con este tipo de distribuciones es necesario descomponer el sistema de cargas en un número infinito de porciones elementales de carga dQ. Es importante resaltar que una porción elemental se corresponde con un volumen infinitesimal del objeto extenso pero que contiene un número muy grande de cargas elementales de tal forma que de considerarse un continuo.
Para caracterizar una distribución continua de carga se definen las densidades de carga. Según se trate de caracterizar una distribución volumétrica, superficial o lineal de carga, definimos, respectivamente, la densidad volumétrica (ρ), la densidad superficial (σ) y la densidad lineal (λ), por
∫
ρ
=
⇒
=
∆
∆
=
ρ
→ ∆ V VdV
Q
dV
dQ
V
Q
lim
0 [1.2]X
Y
Z
Q
1Q
2Q
3Q
4X
Y
Z
dQ
σ = = ⇒ = σ →
∫
lim Q S dQ dS Q dS S S ∆ ∆ ∆ 0 [1.3] λ = = ⇒ = λ →∫
lim Q dQ d Q d ∆ ∆ ∆ l l l l l 0 [1.4]En general estas densidades serán funciones definidas en todo el espacio y en el caso más general también pueden depender del tiempo. Hay que resaltar que la magnitud diferencial dV (dS, dl) será para nosotros un volumen muy pequeño a escala macroscópica pero debe ser, a escala microscópica, lo suficientemente grande para contener un gran número de cargas fundamentales.
Ejemplo: Se tiene un disco de radio a cargado con una cierta carga neta en su
superficie. Se sabe que esta carga no está distribuida homogéneamente sobre la superficie del disco, si no que se distribuye según la siguiente ley:
( )
<
∀
≤
∀
σ
=
σ
a
r
a
r
a
r
r
0
0 [1.5]siendo
σ
0una constante de valor 10nC/m2, r la distancia al centro del disco y a el radio de valor 10 cm. Determine la carga total del disco.En este ejercicio tenemos que tratar con un objeto que no está cargado uniformemente y para indicarnos cómo se distribuye la carga en la superficie del disco se nos proporciona la función densidad superficial de carga. Analizando la función vemos que la densidad carga crece a medida que nos alejamos del centro del disco. Tomando los valores límites tenemos que
σ r
(
=
0
)
=
0
yσ
(
r
=
a
)
=
σ
0. Para comprender mejor el problema, a veces resulta útil representar la función densidad:Como se puede ver, la densidad aumenta linealmente con la distancia r al centro del disco (fuera, evidentemente, es cero). Esto nos indica que la mayo parte de la carga está situada en la periferia. Para calcular la carga total, utilizamos la ec. [1.13]
0 2 4 6 8 10 12 0 0.05 0.1 0.15 r(m) σ (nC/m 2 )
a
( )
r
dS
Q
S
∫
σ
=
[1.6]Esta es una integral de superficie, pero como hay simetría de revolución, se puede convertir en una integral de una sola variable si tenemos en cuenta qué.
rdr
dS
r
dr
dS
r
S
=
π
2⇒
=
2
π
⇒
=
2
π
[1.7] sustituyendo en [1.6 ]( )
2 0 0 0 3 0 2 0 0 03
2
3
2
2
2
r
a
a
dr
r
a
rdr
a
r
dS
r
Q
a a a Sπσ
=
πσ
=
πσ
=
π
σ
=
σ
=
∫
∫
∫
[1.8]con lo que finalmente, sustituyendo los datos numéricos tenemos que
(
C
m
)
(
.
m
)
.
C
.
nC
a
Q
10
10
0
1
2
09
10
0
209
3
2
3
2
2 9 2 2 10 0=
π
×
×
×
=
×
=
πσ
=
− − [1.9]1.2.- Ley de Coulomb
Esta Ley fue establecida por Charles Auguste Coulomb (1736-1806) en el año 1785 y expresa la interacción electrostática entre cargas en reposo. Su enunciado es el siguiente: la fuerza entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al
producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, su dirección es la de la recta que une las cargas, y el sentido depende de loso signos respectivos: de atracción si son de signo opuesto y de repulsión si son del mismo signo. Matemáticamente la fuerza ejercida entre dos cargas Q1 y Q2 en un sistema de referencia como el que se muestra en la figura puede expresarse como:
12 2 12 2 1 12
rˆ
r
Q
Q
k
F
r
=
[1.10]
donder
12=
r
r −
2r
r
1 es la distancia entre las dos cargas, k es la Constante de Coulomb cuyo valor, en el sistema internacional, es:k = 8.99×109 Nm2/C2
esta constante no es universal, y es distinta según la interacción se produzca en el vacío o en el interior de un medio material, tal y como veremos en capítulos posteriores.
rr
1
r
F
12
rr
12
rr
2
X
Y
Z
Q
1
Q
2
Características de la fuerza de Coulomb:
• Es atractiva o repulsiva en función de la naturaleza de las cargas que intervienen. • Es una fuerza central, es decir su dirección pasa siempre por un punto fijo (que se
suele denominar centro de fuerzas).
• Cumple el principio de acción y reacción (
F
r
12=
−
F
r
21).• Cumple el Principio de Superposición Lineal. Según éste la fuerza electrostática ejercida por un sistema de cargas sobre otra carga –situada en un punto cualquiera del espacio–, es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada carga del sistema sobre la carga problema.
Aunque la ley se estableció en condiciones macroscópicas, su aplicación es válida incluso en los átomos, de forma que podemos considerar que una de las principales fuerzas que mantienen unidos átomos y moléculas el de naturaleza culombiana.
2.-
Campo Eléctrico. Líneas de Campo.
2.1-
Campo Eléctrico.
Decimos que existe un campo eléctrico en una región del espacio cuando una carga situada en dicha región (que denominaremos carga testigo) experimenta una fuerza. La fuerza se deberá a la presencia de otras cargas en dicha región.
como la fuerza que cada carga Q1, Q2, ... produce sobre la carga testigo es proporcional a la magnitud de ésta, la fuerza resultante también será proporcional a Q.
=
+
+
+
=
∑
= N i i i irˆ
r
Q
k
Q
....
rˆ
r
kQ
rˆ
r
kQ
rˆ
r
kQ
Q
F
1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 2 1 1r
[1.11]Una consecuencia de [1.11] es que el cociente
=
∑
= N i i i irˆ
r
Q
k
Q
Q
F
1 2r
[1.12]∑
=
i iF
F
r
r
1
rr
Q
Q
1Q
2Q
i2
rr
no depende más que las cargas que ejercen la fuerza sobre la carga testigo.
La intensidad de campo eléctrico en un punto se define como la fuerza por unidad de carga en dicho punto.
E Q F Q F lim E Q Q Q r r r r = ⇒ = →0 [1.13]
La Intensidad de Campo Eléctrico se mide, por tanto, en el Sistema Internacional en N/C. En lo que sigue llamaremos al vector Intensidad de Campo Eléctrico simplemente vector Campo Eléctrico. En la definición se impone que la carga testigo sea muy pequeña para no tener en cuenta la influencia de la carga testigo sobre el resto de las cargas.
Dado que la fuerza de Coulomb cumple el principio de superposición la intensidad de campo eléctrico también lo cumplirá. Es importante notar que el campo eléctrico representa en cada punto una propiedad local asociada a dicho punto. Una vez conocido el campo en un punto no es necesario saber quien lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otra propiedad asociada al campo. De esta forma asociamos a cada punto del espacio un valor del campo eléctrico independientemente de que en ese punto exista una carga testigo. Según la definición anterior, el campo electrostático creado por una carga puntual Q en un punto r está dado por:
rˆ
r
Q
k
)
r
(
E
r
=
2 [1.14]El campo creado por un conjunto discreto de cargas será, aplicando el principio de superposición:
∑
=
i i i irˆ
r
Q
k
)
r
(
E
r
2 [1.15]Para calcular el campo creado por una distribución continua de carga será necesario:
• Descomponer la distribución en porciones elementales de carga dQ. • Determinar el campo creado por cada
porción.
• Sumar las contribuciones de cada
porción elemental.
X
Y
Z
dQ
r
r
′
r
r
r
R
o
P
El elemento dQ se puede expresar en función de la geometría del problema mediante las densidades de carga adecuadas. En general:
rˆ
r
kdQ
E
d
r
=
2 [1.16]de forma que el campo creado por todo el objeto extenso se obtendrá sumando todas las contribuciones mediante
( )
=
∫
on Distribucirˆ
r
kdQ
R
E
2r
r
[1.17]Según la geometría del problema, será conveniente expresar el dQ en función
de una distribución lineal, superficial ó volumétrica de carga y la ecuación anterior se expresará, en estos casos, como:
( )
rˆ
r
dV
)
'
r
(
k
R
E
V∫
ρ
=
r
2r
r
Distribución volumétrica de carga [1.18]
( )
rˆ r dS ) ' r ( k R E S∫
σ = 2 r r r; Distribución superficial de carga [1.19]
( )
rˆ r d ) ' r ( k R E L∫
λ = r2 l r rDistribución lineal de carga [1.20]
En estas expresiones
R
r
es el vector de posición del punto del espació en el que se quiere calcular el campo. La dependencia de las densidades de carga conrr
'indica que la suma se hace barriendo toda la distribución de carga. De la figura anterior es fácil deducir que
r
r
=
R
r
−
r
r
'
.Ejemplo 1.
• Cálculo del campo electrostático creado por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría.
En la figura mostramos la geometría del problema y establecemos la nomenclatura. Comenzaremos seleccionaremos una carga elemental dQ y calculando el campo que crea en el eje (que hemos hecho coincidir con el eje X) tal y como se muestra en la figura siguiente.
De la simetría de la figura deducimos que el campo resultante debido al anillo entero debe estar dirigido a lo largo del eje del mismo (las componentes perpendiculares se anulan dos a dos). Por tanto la contribución al campo de la carga elemental dQ será
(
2 2)
3 2 2 2 / || a x dQ kx r x r dQ k cos r dQ k dE + = = α = [1.21]x y a son constantes para cada punto P del eje. Para calcular el campo total
deberemos sumar (de forma continua) a todas las contribuciones:
(
)
(
)
iˆ a x kxQ ) x ( E dQ a x kx E|| / 3/2 2 2 2 3 2 2 + ⇒ = + =∫
r[1.22]
Ejemplo 2.
• Cálculo del campo electrostático creado por un disco uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría. Para este calculo nos basaremos en el resultado del apartado anterior, y descompondremos el disco en una serie de anillos cargados concéntricos de espesor dr’, con carga dQ.
En función de la densidad superficial de carga, la carga de cada anillo será:
r
E
||=
E
cos $
α
i
r
E
⊥E
r
r
r
a
x
α
a
dQ
O
P
dr’
a
x
rr
r’
dQ
E
d
r
' dr ' r dS dQ = σ =σ2π [1.23]
siendo σ =Q/πa2 la densidad superficial de carga del disco.
El campo creado por esta carga elemental en su eje de simetría (que de nuevo hemos hecho coincidir con el eje X) es –según el resultado del ejemplo anterior– perpendicular al disco y vale
(
)
(
x
r
)
iˆ
'
dr
'
r
kx
i
r
x
dQ
kx
E
d
' ' 2 3 2 3 2 2 2 22
+
π
σ
=
+
=
r
[1.24]para calcular el campo creado por todo el disco será necesario sumar las contribuciones de todos los círculos concéntricos, esto se consigue integrando entre 0 y el radio del disco a.
(
)
r E kx r dr x r i k x x a i a = + = − + ∫
2 2 1 2 2 3 2 0 2 2 πσ ' ' πσ ' $ $ /[1.25]
a partir de este resultado se puede calcular el campo creado por un plano infinito uniformemente cargado. Esto se consigue haciendo tender el radio a del disco a infinito. r E lim k x x a n kn a = − + = →∞2πσ 1 2 2 $⊥ 2πσ $⊥ [1.26]
donde
n
ˆ
⊥ es el vector unitario perpendicular al plano. Este resultado nos indica que el campo crea un plano infinito cargado es constante. Matemáticamente la condición de plano infinito se puede expresar como a >> x, es decir, que el plano es grande comparado con la distancia a la que se encuentra el punto donde calculamos el campo (y que estamos lejos del borde). Por tanto el resultado anterior no indica que en las proximidades de una superficie el campo puede considerarse constante.2.2.- Líneas de campo
Al definir el campo eléctrico lo que hemos hecho es asociar a cada punto del espacio un valor del vector
E
r
de forma que hemos definido un campo vectorial. En general será una función vectorial las tres coordenadas del espacio y del tiempokˆ
)
t
;
z
,
y
,
x
(
E
jˆ
)
t
;
z
,
y
,
x
(
E
iˆ
)
t
;
z
,
y
,
x
(
E
)
t
;
z
,
y
,
x
(
E
E
r
= r
=
x+
x+
xSi el campo no depende del tiempo se dice que es estacionario y si es constante en todo punto del espacio diremos que es homogéneo. Resulta conveniente representar gráficamente los campos vectoriales mediante las líneas de campo, que se definen como líneas que en cada punto son tangentes al vector campo en dicho punto. Dos líneas de campo nunca se pueden cortar, ya que en el punto de corte se tendrían dos direcciones distintas para el campo (y a cada punto del espacio le debe corresponder un valor único del campo). Además, las líneas de campo sirven para representar la intensidad de campo, ya que éste será tanto más intenso cuanto más cercanas estén dichas líneas.
Reglas para dibujar las líneas de campo:
• Las líneas de campo nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas.
• El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una negativa es proporcional al valor de dicha carga.
• La densidad de líneas (número de líneas por unidad de área perpendicular a las mismas) es proporcional al valor del campo en dicho punto.
• A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas de campo están igualmente espaciadas como si procedieran de una sola carga puntual de valor la carga neta del sistema.
En la siguiente figura mostramos la estructura de líneas de campo de una carga positiva aislada, otra negativa y un sistema de dos cargas de igual valor una positiva y otra negativa (dipolo eléctrico).
Si analizamos la estructura de líneas de campo del dipolo eléctrico vemos que muy cerca de la carga positiva las líneas de campo son radiales y salientes de la carga, similares a las de una carga puntual. En el caso de la carga negativa, a cortas distancias ocurre lo mismo, con la salvedad de que en este caso las líneas son entrantes. Dado que las cargas tienen el mismo valor el número de líneas que parten de la carga positiva es igual que el número que terminan en la carga negativa. En este caso el campo es más intenso en la región entre las cargas como lo indica la mayor densidad de líneas de campo en esta región.
Uno de los resultado que hemos obtenidos en los ejemplos anteriores es que el campo creado por un plano cargado infinito es constante, en la figura siguiente mostramos la estructura de líneas de campo para esta distribución de carga.
Como se puede ver, el campo es discontinuo a ambos lados del planos cargado (ya que cambia bruscamente de sentido de un lado a otro). Esta discontinuidad en el valor del campo es característica de todas las distribuciones superficiales de carga debido a que, en realidad son abstracciones matemáticas.
