Sobre uma classe de problemas elípticos envolvendo o crescimento do tipo Trudinger-Moser

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(1)Universidade Federal da Para´ıba Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza Programa de P´ os–Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica. Sobre uma Classe de Problemas El´ıpticos Envolvendo o Crescimento do Tipo Trudinger-Moser. Diego Dias Felix. ˜ o Pessoa – PB Joa 30 de Julho de 2015.

(2) Universidade Federal da Para´ıba Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza Programa de P´ os–Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica. Sobre uma Classe de Problemas El´ıpticos Envolvendo o Crescimento do Tipo Trudinger-Moser por. Diego Dias Felix. sob a orienta¸c˜ ao do. Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros. Jo˜ ao Pessoa – PB 30 de Julho de 2015.

(3) F316s. UFPB/BC. Felix, Diego Dias. Sobre uma classe de problemas elípticos envolvendo o crescimento do tipo Trudinger-Moser / Diego Dias Felix.- João Pessoa, 2015. 62f. Orientador: Everaldo Souto de Medeiros Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN 1. Matemática. 2. Crescimento crítico. 3. Desigualdade de Trudinger-Moser. 4. Método variacional.. CDU: 51(043).

(4)

(5) Aos meus pais, Antônio Felix da Costa e Joana Darque Dias Felix..

(6) Agradecimentos. AGRADEC ¸ O: A DEUS por todas as coisas maravilhosas que me foram concedidas, onde dentre tantas ressalto duas: a minha FAMÍLIA e o curso de Matemática. Sou grato a DEUS por ter mim dado fôlego para persistir tanto nesse mestrado, sem DEUS não teria chegado até aqui, a ELE devo a minha vida, tudo que sou e tudo que tenho. A meus pais, Antônio Felix da Costa e Joana Darque Dias Felix e meus irmãos Diogo Dias Felix e Hugo Dias Felix, os quais mesmo distante sempre estiveram presentes, em meu cora¸caõ, dando-me for¸ca e coragem para superar todas as barreiras encontradas ˆ em minha jornada. EU AMO VOCES! A minha outra Mãe, Dona Mocinha, uma senhora que deu oportunidade para um desconhecido, vivendo em seu lar, lutar por um futuro melhor... Faltam palavras para expressar a minha gratidão por tudo que a senhora realizou em minha vida; Dona Mocinha, a senhora é uma ben¸caõ de DEUS em minha vida, Muito Obrigado! A Waleska, pelo amor, carinho, ora¸co˜es, compreensão e todo o apoio, sempre acreditando que eu chegaria ao sucesso. Muito obrigado minha “Denga”. Ao Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros, meu orientador, pelo suporte, corre¸co˜es e incentivos, por todo apoio e conhecimento que, brilhantemente, deu-me durante todo curso e, especialmente, pela confian¸ca em mim depositada ao assumir a orienta¸caõ. Aos professores Luciana Roze de Freitas e Uberlandio Batista Severo, por terem aceitado participar da minha banca, pelas corre¸cões e pelas sugestões. Ao motorista Osvaldo, por nossa amizade e por todos os favores feitos. A todos os meus amigos, em especial aos que fizeram parte da turma do mestrado, Caio, Francielia, Luando, Mauri e Rossane. Não posso esquecer de Marcius e Eudes “o presidente e o vice da diversão”(Raaaaaaa...). A meu grande amigo João, pelas palavras ditas com um sincero sorriso naquela tarde de sexta feira, 29/05/2015, quando viajávamos de volta as nossas casas que resumidamente diziam: “Eu não tenho d´ uvida da sua vitória”; essas palavras me renovaram para seguir com foco, for¸ca e fé rumo a conclusão desse mestrado. A todos os Professores que contribu´ıram para minha forma¸cão. Por fim, agrade¸co a todos que de forma direta ou indiretamente, contribu´ıram para a realiza¸caõ deste trabalho..

(7) Resumo Neste trabalho, estudamos uma classe de problemas el´ıpticos quase lineares envolvendo não linearidades com crescimento polinomial subcr´ıtico, exponencial subcr´ıtico e exponencial cr´ıtico. Nosso foco principal é tratar não linearidades que não satisfazem a condi¸caõ de superquadraticidade de Ambrosetti-Rabinowitz. A nossa ferramenta é o Teorema do Passo da Montanha com a condi¸caõ de Cerami. Palavras-chave: Crescimento Cr´ıtico, Desigualdade de Trudinger-Moser, Método Variacional..

(8) Abstract In this work, we study a class of quasilinear elliptic problem involving nonlinearities with subcritical polynomial growth, subcritical exponential growth and critical exponential growth. Our main focus is to treat nonlinearities which do not satisfy the condition of super-quadratic of Ambrosetti-Rabinowitz. Our main tool is the Mountain Pass Theorem with the Cerami condition. Keywords: Critical Growth, Trudinger-Moser Inequality, Variational Method..

(9) Sum´ ario Introdu¸c˜ ao. 1. 1 Preliminares. 6. 1.1. Primeiros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2. Formula¸caõ Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2 Crescimento Subcr´ıtico. 14. 2.1. Caso Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2. Caso Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3 Crescimento Exponencial Cr´ıtico. 36. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 50. ix.

(10) Nota¸ c˜ oes A seguir, listamos as principais nota¸cões utilizadas neste trabalho. ã Ω denota um dom´ınio limitado em RN , N > 2; ã d = raio da maior bola aberta contida em Ω; ã (X, k · kX ) denota um espa¸co de Banach; ã X ∗ denota o dual topológico do espa¸co de Banach X; ã c, c1 , c2 , . . . denotam constantes positivas, possivelmente diferentes; ã denota o final de uma demonstra¸cão; ã | · | denota a norma euclidiana do RN , N = 1, 2, 3...; ã * denota convergência fraca em um espa¸co normado; ã ∇u =. ∂u ∂u ∂u , , ..., ∂x1 ∂x2 ∂xn ". ã |∇u|p−2 =. n P i=1. . ∂u ∂xi. . denota o gradiente da fun¸caõ u : Rn → R;. 2 # p−2 2. ã ∆p u = −div(|∇u|p−2 ∇u) denota o p-laplaciano de u; ã C0∞ (Ω) denota o conjunto de fun¸co˜es cont´ınuas com suporte compacto; ã kukp =. R. p1 p |u| dx ; Ω. ã Lp (Ω) = {u : Ω → R : u é mensurável e kukp < ∞}; ã kuk∞ = inf{C ≥ 0 : |{x ∈ Ω : |u(x)| > C}| = 0};. x.

(11) ã L∞ (Ω) = {u : Ω → R : u é mensurável e kuk∞ < ∞}; ( ã W 1,p (Ω) =. ã kuk1,p =. u ∈ Lp (Ω) ; ∃g1 , g2 , ..., gn ∈ Lp (Ω) tais que R R ∂ϕ = − Ω gi ϕ, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) e ∀i = 1, 2, ..., n u Ω ∂xi. kukpp +. n P i=1. ∂u p k ∂x k i p. p1. ) ;. denota a norma do espa¸co W 1,p (Ω);. ã W01,p (Ω) denota o fecho de C0∞ (Ω) sob a norma k · k1,p ; ã kuk = k∇ukp denota a norma do espa¸co W01,p (Ω); ã λ1 = λ1 (Ω) = inf. kukp 1,p : u ∈ W0 (Ω) r {0} é o primeiro autovalor do operador p− kukpp. Laplaciano; ã u+ := max{u, 0} (resp. u− := max{−u, 0}) denota a parte positiva (resp. negativa) de u; ã p∗ :=. Np denota o expoente cr´ıtico de Sobolev de p, com 1 6 p < N ; N −p. ã N0 =. N é o expoente conjugado Lebesgue de N ; N −1. ã ωN −1 denota a medida da esfera unitária (N − 1)-dimensinal; 1 −1 ã αN = N ωNN−1 denota a constante cr´ıtica na desigualdade de Trudinger-Moser.. xi.

(12) Introdu¸ c˜ ao Nesta disserta¸caõ, baseada no artigo de Lam-Lu [18], vamos estudar a existência de solu¸cão não negativa e não trivial para a seguinte classe de equa¸co˜es el´ıpticas não linear. (. −∆p u = f (x, u) u=0. em. Ω. (P). sobre ∂Ω,. onde Ω ⊂ RN é um dom´ınio limitado suave e −∆p u := −div |∇u|p−2 ∇u é o operador p − Laplaciano com 1 < p 6 N. O principal objetivo é estabelecer resultados de existência de solu¸co˜es não negativas e não triviais para o problema (P) quando o termo não linear f (x, s) possui crescimento exponencial subcr´ıtico e cr´ıtico motivados pela Desigualdade de Trudinger-Moser e subcr´ıtico do tipo Sobolev, sem satisfazer a condi¸caõ de Ambrosetti-Rabinowitz, ou seja, existem constantes θ > p e s0 > 0 tais que Z. s. f (x, t) dt 6 sf (x, s), ∀|s|> s0 , ∀x ∈ Ω.. 0 < θF (x, s) = θ. (1). 0. Estudaremos o problema (P) quando f (x, s) satisfaz uma das três condi¸co˜es: 1. Para 1 < p < N , f (x, s) tem melhor crescimento polinomial subcr´ıtico, ou seja, f (x, s) = 0 uniformemente em x ∈ Ω, ∗ s→∞ |s|p −1 lim. onde p∗ denota o expoente cr´ıtico de Sobolev dado por p∗ =. pN . N −p. 2. Para p = N , f (x, s) tem crescimento exponencial subcr´ıtico, ou seja, f (x, s) 0 = 0 uniformemente em x ∈ Ω para todo α > 0, s→∞ eα|s|N lim. 1.

(13) onde N 0 =. N . N −1. 3. Para p = N , f (x, s) tem crescimento exponencial cr´ıtico, ou seja, existe α0 > 0 tal que f (x, s) lim 0 = s→∞ eα|s|N. (. 0,. uniformemente em x ∈ Ω para todo α > α0 .. ∞,. uniformemente em x ∈ Ω para todo α < α0 .. Além disso, vamos supor as seguintes hipóteses sobre f (x, s) : (f1 ) f : Ω×R → R é cont´ınua, f (x, s) > 0, ∀(x, s) ∈ Ω×[0, ∞) e f (x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω; Rs F (x, s) = ∞ uniformemente em x ∈ Ω, onde F (x, s) = f (x, t) dt; 0 s→∞ sp. (f2 ) lim. (f3 ) Existem C∗ > 0, θ > 1 tais que H(x, t) 6 θH(x, s) + C∗ para todo 0 < t < s, ∀x ∈ Ω onde H(x, s) = sf (x, s) − pF (x, s); pF (x, s) < λ1 (Ω) uniformemente em x ∈ Ω, onde λ1 = λ1 (Ω) é o primeiro s→0 sp autovalor do operador p − Laplaciano, ou seja,. (f4 ) lim+. λ1 = inf. kukp 1,p : u ∈ W0 (Ω) r {0} ; kukpp. (f5 ) Seja d o raio da maior bola aberta contida em Ω. Vamos assumir que −α0 |s|N. lim sf (x, s)e. s→∞. . 0. >β>. N d. N. onde. 1 uniformemente em x ∈ Ω, Mα0N −1. Z M = lim n n→∞. 1. e. 0 n tN −t. dt;. 0. (f6 ) f (x, s) está na classe L0 , isto é, para qualquer {un } ⊂ W01,N (Ω), se (. un * 0 em W01,N (Ω) f (x, un ) → 0 em L1 (Ω). então F (x, un ) → 0 em L1 (Ω). Uma vez que estamos interessados em encontrar uma solu¸caõ não negativa, iremos considerar, além de (f1 ), que a não linearidade f (x, s) satisfaz f (x, s) = 0, ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, 0].. 2.

(14) Apesar da condi¸caõ de Ambrosetti-Rabinowitz desempenhar um papel importante no estudo do problema (P), por exemplo, assegura a limita¸caõ da sequência de PalaisSmale, ela é muito restritiva e exclui muitas não linearidades interessantes e importantes. Observemos que a condi¸caõ de Ambrosetti-Rabinowitz implica uma outra mais fraca, f (x, s) é p-superlinear no infinito, isto é, f (x, s) = ∞ uniformemte em x ∈ Ω. s→∞ |s|p−1 lim. Também vale observar que existem muitas fun¸cões que satisfazem a condi¸cão p-superlinear no infinito, mas não satisfazem a condi¸cão de Ambrosetti-Rabinowitz. Um exemplo de tais fun¸co˜es é f (x, s) = |s|p−2 s log(1 + |s|), s ∈ R e p > 1. Além disso, a condi¸cão (f2 ) é apenas uma consequência da condi¸cão p-superlinear no infinito de f (x, s). A condi¸cão (f3 ) foi introduzida pela primeira vez por Jeanjean [17] e foi utilizada em trabalhos posteriores (veja por exemplo [20, 24, 25, 30, 32]). Em artigos anteriores (veja [16, 20, 25, 30]), os autores assumem muitas vezes que lim+. s→0. f (x, s) = 0 uniformemte em x ∈ Ω |s|p−1. que é mais forte que a condi¸caõ (f4 ). Em (f5 ), observe que 0 < M < ∞. De fato, para simplificar as contas, assumiremos que N = 2. Note que    . . 1 −nt 6 n(t − t), ∀t ∈ 0, 2 1    n(t − 1) 6 n(t2 − t), ∀t ∈ , 1 . 2 2. Assim, Z. 1. e. Z. n(t2 −1). 1 2. −nt. e. >. 0. 1. Z. en(t−1). + 1 2. 0.

(15) 1

(16) 1 1 −nt

(17)

(18) 2 1 n(t−1)

(19)

(20) = − e

(21) + e

(22) 1 n n 0. 2. 1 1 1 1 = − n + + − n n n ne 2 ne 2 2 2 = − n. n ne 2 Logo, Z n. 1. 2 −1). en(t. 0. 3. >2−. 2 n . e2. (2).

(23) Desde que    . n 1 2 − t > n(t − t), ∀t ∈ 0, 2 2 n 1    (t − 1) > n(t2 − t), ∀t ∈ , 1 , 2 2 analogamente ao que foi feito anteriormente, obtemos 4 4− n >n e4. Z. 1. 2 −1). en(t. .. (3). 0. De (2) e (3), obtemos que 2 6 M 6 4. Agora, enunciaremos os principais resultados deste trabalho: Teorema 0.1. Seja 1 < p < N e assuma que f (x, s) tem o melhor crescimento polinomial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, o problema (P) tem uma solu¸cão não trivial e não negativa. Teorema 0.2. Suponha que p = N e f (x, s) tem o crescimento exponencial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, o problema (P) tem uma solu¸cão não trivial e não negativa. Teorema 0.3. Suponha que p = N e f (x, s) tem o crescimento exponencial cr´ıtico em α0 > 0 e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ), (f4 ), (f5 ) e (f6 ), com C∗ = 0 e θ = 1 em (f3 ). Então, o problema (P) tem uma solu¸cão não trivial e não negativa. A seguir, detalharemos como este trabalho está organizado. No Cap´ıtulo 1, apresentaremos alguns resultados que serão utilizados ao longo do trabalho, sendo que alguns serão enunciados sem demonstra¸caõ e com as devidas referências para consultas. Na Se¸cão 1.1, destacamos o Corolário 1.2, o Lema 1.3 - devido a de Figueiredo-Miyagaki-Ruf [10], e o Lema 1.4 - a Desigualdade de Trudinger-Moser. Na Se¸cão 1.2, enunciaremos as versões do Teorema do Passo da Montanha com a condi¸caõ de Cerami que serão as nossas principais ferramentas. No Cap´ıtulo 2, estudaremos o Problema (P) quando a não linearidade f (x, s) tem crescimento subcr´ıtico (polinomial e exponencial), sem satisfazer a condi¸caõ de Ambrosetti-Rabinowitz. Para garantir a existência de uma solu¸cão fraca não negativa e não trivial, associaremos ao problema um funcional energia e mostraremos que este tem a geometria do passo da montanha e satisfaz a condi¸caõ de Cerami. Da´ı, utilizaremos uma versão do Teorema do Passo da Montanha que nos garante a existência de um um ponto cr´ıtico para o funcional no n´ıvel minimax do passo da montanha o qual será a nossa solu¸caõ fraca não trivial. Para concluir, mostraremos através de alguns cálculos que essa solu¸cão é não negativa. 4.

(24) No Cap´ıtulo 3, estudaremos o Problema (P) quando a não linearidade f (x, s) tem crescimento exponencial cr´ıtico, sem satisfazer a condi¸caõ de Ambrosetti-Rabinowitz. Mostraremos que o funcional energia associado ao problema tem a geometria do passo da montanha. Assim, utilizaremos uma versão do Teorema do Passo da Montanha para garantir a existência de uma sequência de Cerami no n´ıvel minimax do passo da montanha. Em seguida, mostraremos que essa sequência de Cerami é limitada, o que não será simples, uma vez que f (x, s) não satisfaz a condi¸caõ de AmbrosettiRabinowitz. Além disso, mostraremos também que a sequência em questão, a menos de subsequência, converge fortemente para uma solu¸cão fraca não-trivial do problema estudado. Para concluir, mostraremos através de alguns cálculos que essa solu¸caõ é não negativa.. 5.

(25) Cap´ıtulo 1 Preliminares Neste cap´ıtulo, provaremos alguns resultados e enunciaremos outros, citando onde podemos encontrar as provas, entres os quais estaremos enunciando a Desigualdade de Trudinger-Moser. Também apresentaremos uma versão adaptada do Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz [1], introduzida por G. Cerami [6, 7].. 1.1. Primeiros Resultados. Esta se¸caõ consta de algumas defini¸cões, da prova de um lema importante para o estudo do caso exponencial cr´ıtico, enunciaremos a Desigualdade de Trudinger-Moser que é de fundamental importância para os nossos estudos e apresentaremos alguns resultados sobre o funcional energia associado ao problema (P). Defini¸c˜ ao 1.1. Sejam (X, k · kX ) um espa¸co de Banach real, (X ∗ , k · k∗ ) seu espa¸co dual e J ∈ C 1 (X, R). Para c ∈ R, dizemos que J satisfaz a condi¸cão de Palais-Smale (P S)c se para qualquer sequência (un ) ⊂ X com J(un ) → c e kJ 0 (un )k∗ → 0. (1.1). existe uma subsequência (unk ) tal que (unk ) converge fortemente em X. Também dizemos que J satisfaz a condi¸cão de Cerami (C)c se para qualquer sequência (un ) ⊂ X com J(un ) → c e (1 + kun kX )kJ 0 (un )k∗ → 0. (1.2). existe uma subsequência (unk ) que converge fortemente em X. Observa¸c˜ ao 1.1. Toda sequência (un ) que satisfaz (1.1) é chamada de sequência de Palais-Smale e toda sequência (un ) que satisfaz (1.2) é chamada de sequência de Cerami. Observa¸c˜ ao 1.2. Note que toda sequência de Cerami é uma sequência de Palais-Smale. 6.

(26) 1. Preliminares. Prova: De fato, basta observar que (1 + kun kX ) 0 kJ (un )k∗ (1 + kun kX ) 6 (1 + kun kX )kJ 0 (un )k∗ → 0.. kJ 0 (un )k∗ =. Segue da Observa¸caõ 1.2 que: Observa¸c˜ ao 1.3. Se J satisfaz a condi¸caõ (P S)c , então J satisfaz a condi¸caõ (C)c . Com efeito, se (un ) é uma sequência que satisfaz (1.2), pela Observa¸caõ 1.2, (un ) satisfaz (1.1). Como por hipótese (un ) satisfaz (P S)c , então existe uma subsequência (unk ) tal que (unk ) converge fortemente. A seguir, apresentaremos algumas desigualdades que podem ser encontradas em Lindqvist [23] ou Xavier [34], das quais obteremos um corolário que será muito importante para mostrarmos, em alguns casos, que o limite fraco da sequência de Cerami é também o limite forte e, então, obter a solu¸caõ não trivial para o problema (P). Lema 1.1. Se a, b ∈ RN , então i) |b|p > |a|p +p|a|p−2 ha, b − ai , se p > 1; ii) |b|p > |a|p +p|a|p−2 ha, b − ai +. |b − a|p , se p > 2. 2p−1. Demonstra¸c˜ ao: Uma vez que a aplica¸cão w → |w|p é convexa, usando o Teorema 9 de Lima [22], obtemos o item (i). Sabemos pela desigualdade de Clarkson para p > 2 (veja Brezis [5], pág 95) que

(27)

(28)

(29)

(30)

(31) a + b

(32) p

(33) a − b

(34) p

(35)

(36)

(37)

(38) . |a| +|b| > 2

(39) + 2

(40) 2

(41) 2

(42) p. Substituindo b por. p. a+b em (i) obtemos 2

(43)

(44)

(45) a + b

(46) p

(47)

(48) > 2 |a|p + p |a|p−2 ha, b − ai . 2

(49) 2

(50). De (1.3) e (1.4) obtemos (ii).. (1.4) . Como consequência do Lema 1.1, temos Corol´ ario 1.2. Dados a, b ∈ RN existe uma constante positiva Cp tal que. (1.3). |a|p−2 a − |b|p−2 b, a − b > Cp |a − b|p , se p > 2. 7.

(51) 1. Preliminares. Demonstra¸c˜ ao: No Lema 1.1, item (ii), trocando a por b obtemos p. p. p−2. |a| > |b| +p|b|. |a − b|p hb, a − bi + p−1 . 2. Isso juntamente com (ii) implica que 0 > p |a|p−2 ha, b − ai + |b|p−2 hb, a − bi + 22−p |a − b|p , ou seja, −|a|p−2 ha, b − ai − |b|p−2 hb, a − bi >. 22−p |a − b|p . p. Logo,. |a|p−2 a − |b|p−2 b, a − b > Cp |a − b|p se p > 2,. o que prova o resultado.. . O próximo resultado é devido a de Figueiredo-Miyagaki-Ruf [10] e apresentaremos uma prova que pode ser encontrada em de Souza [12]. Ele será u ´til para provarmos que a solu¸caõ fraca é não trivial quando a não linearidade f (x, s) possui o crescimento exponencial cr´ıtico. Lema 1.3. Seja (un ) uma sequência de fun¸co˜es em L1 (Ω) convergindo para u em L1 (Ω). Assuma que f (x, un ) e f (x, u) são também fun¸cões de L1 (Ω). Se Z |f (x, un (x))un (x)| dx 6 c1 , ∀n ∈ N, Ω. então f (x, un ) converge para f (x, u) em L1 (Ω). ´ suficiente provar que Demonstra¸c˜ ao: E. R. |f (x, un (x))| dx → Ω. R Ω. |f (x, u(x))| dx (veja. 1. Royden [29], pag. 89). Como f (x, u(x)) ∈ L (Ω), então dado > 0 existe δ > 0 tal que (veja Royden [29], pag. 92) Z |f (x, u(x))| dx 6 se |A| < δ.. (1.5). A. Usando o fato que u ∈ L1 (Ω), encontramos M1 > 0 tal que |{x ∈ Ω : |u(x)| > M1 }| 6 δ. Caso contrário, para todo N > 0 tem-se que |B| = |{x ∈ Ω : |u(x)| > N }| > δ,. 8. (1.6).

(52) 1. Preliminares. isso implica que. Z. Z. Z. |u(x)| dx > Ω. |u(x)| dx > B. N > N δ. B. Assim, fazendo N → ∞ obtemos Z |u(x)| dx = ∞, Ω. n c1 o . Note que o que contradiz o fato de que u ∈ L1 (Ω). Seja M = max M1 , Z Z Z |f (x, un (x))| dx = |f (x, un (x))| dx + |f (x, un (x))| dx |un (x)|>M. Ω. e. Z. |un (x)|<M. Z. Z. |f (x, u(x))| dx =. |f (x, u(x))| dx + |u(x)|>M. Ω. |f (x, u(x))| dx, |u(x)|<M. consequentemente,

(53)

(54) Z Z

(55)

(56)

(57) |f (x, un (x))| dx − |f (x, u(x))| dx

(58) 6 I1 + I2 + I3 ,

(59)

(60). (1.7).  R  I1 = |un (x)|>M |f (x, un (x))| dx,   R I2 = |u(x)|>M |f (x, u(x))| dx,

(61)

(62)  R 

(63)  I =

(64)

(65) R |f (x, u (x))| dx − |f (x, u(x))| dx

(66) . 3 n |un (x)|<M |u(x)|<M. (1.8). Ω. Ω. onde. Avaliando as integrais em (1.8), obtemos Z I1 = |un (x)|>M. Z 6 |un (x)|>M. |f (x, un (x))un (x)| dx |un (x)| |f (x, un (x))un (x)| dx |M |. c1 6 M 6 .. (1.9). Desde que M > M1 , então {x ∈ Ω : |u(x)| > M } ⊆ {x ∈ Ω : |u(x)| > M1 } . Pela escolha de M1 , temos Z |f (x, u(x))| dx 6 .. I2 = |u(x)|>M. 9. (1.10).

(67) 1. Preliminares. Afirma¸c˜ ao 1.1. I3 → 0 quando n → ∞. De fato, observe que I3.

(68) Z

(69) Z

(70)

(71)

(72) =

(73) |f (x, un )|X|un |<M dx − |f (x, u)|X|u|<M dx

(74)

(75) Ω

(76)

(77) ZΩ Z

(78)

(79) =

(80)

(81) (|f (x, un )|−|f (x, u)|) X|un |<M dx + |f (x, u)| X|un |<M − X|u|<M dx

(82)

(83)

(84)

(85)

(86) ΩZ

(87) ZΩ

(88)

(89)

(90)

(91) 6

(92)

(93) (|f (x, un )|−|f (x, u)|) X|un |<M dx

(94)

(95) +

(96)

(97) |f (x, u)| X|un |<M − X|u|<M dx

(98)

(99) . Ω. Ω. Note que gn (x) = (|f (x, un (x))|−|f (x, u(x))|) X|un (x)|<M tende a 0 q.t.p. em Ω. Além disso, ( |gn (x)| 6. 0,. se |un (x)| > M. C + |f (x, u(x))|,. se |un (x)| < M,. . onde C = sup |f (x, t)| : x ∈ Ω, |t| < M . Como gn tende a 0 q.t.p. em Ω e está limitada por uma fun¸caõ em L1 (Ω), então pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos

(100) Z

(101)

(102)

(103)

(104) (|f (x, un )|−|f (x, u)|) X|un |<M dx

(105) → 0.

(106)

(107). (1.11). Ω. Por outro lado, temos {x ∈ Ω : |un (x)| < M } r {x ∈ Ω : |u(x)| < M } ⊆ {x ∈ Ω : |u(x)| > M } . Assim, por (1.10), tem-se que

(108) Z

(109) Z

(110)

(111)

(112) |f (x, u)| X|un |<M − X|u|<M dx

(113) 6

(114)

(115). |f (x, u(x))| dx 6 .. (1.12). |u(x)|>M. Ω. isso juntamente com (1.11) conclui a afirma¸caõ. Portanto, de (1.7), (1.9), (1.10) e a Afirma¸caõ 1.1, conclu´ımos a prova do Lema 1.3. Agora, enunciaremos a Desigualdade de Trudinger-Moser (veja [26, 31].) Lema 1.4. Seja Ω ⊂ RN um dom´ınio limitado e u ∈ W01,N (Ω), então eα|u|. N0. ∈ L1 (Ω) para todo α > 0.. 10.

(116) 1. Preliminares. Além disso,. Z e. sup u∈W01,N (Ω), kuk61. 0 α|u|N. dx 6 C(Ω) para α 6 αN ,. (1.13). Ω. 1 −1 onde αN = N ωNN−1 e ωN −1 é a medida da esfera unitária (N − 1)-dimensional. Ob-. servamos ainda que a desigualdade em (1.13) é o´tima, ou seja, o supremo em (1.13) é infinito para α > αN . A seguir, afirmaremos alguns resultados sobre o funcional energia J associado ao problema (P) para usarmos no decorrer deste trabalho. Para uma consulta desses resultados, veja de Moraes [11]. Considere o funcional energia associado ao problema (P), J : W01,p (Ω) → R, definido por. Z. 1 J(u) = kukp − p onde F (x, s) =. Rs 0. F (x, u) dx, Ω. f (x, t) dt.. Em virtude das imersões de Sobolev para 1 < p < N ou Desigualdade de TrudingerMoser para p = N , o funcional J está bem definido. Além disso, J ∈ C 1 (X, R) e 0. Z. p−2. |∇u|. J (u)v =. Z. f (x, u)v, ∀u, v ∈ W01,p (Ω).. ∇u∇v − Ω. Ω. Por uma solu¸cão fraca de (P), entendemos uma fun¸caõ u ∈ W01,p (Ω) tal que Z. p−2. |∇u|. Z ∇u∇v −. Ω. f (x, u)v = 0,. (1.14). Ω. para toda v ∈ W01,p (Ω), ou seja, u é um ponto cr´ıtico do funcional energia J. Além disso, cada ponto cr´ıtico de J é uma solu¸caõ fraca do problema (P).. 1.2. Formula¸c˜ ao Variacional. Nesta se¸cão, apresentaremos algumas defini¸cões e resultados do Método Variacional. Enunciaremos o Teorema do Passo da Montanha quando o funcional J satisfaz a condi¸caõ de Cerami. Para consulta dos próximos resultados veja Costa [9]. Seja J : X → R um funcional de classe C 1 em um espa¸co de Banach X. Um n´ umero c ∈ R é chamado um valor cr´ıtico de J se J(u) = c para algum ponto cr´ıtico u ∈ X. Seja Kc o conjunto de todos os pontos cr´ıticos no n´ıvel c, ou seja, Kc = {u ∈ X : J 0 (u) = 0 e J(u) = c} . Além disso, vamos denotar por J c o conjunto de todos os pontos de X abaixo do n´ıvel 11.

(117) 1. Preliminares. c, isto é, J c = {u ∈ X : J(u) 6 c} . Agora, vamos apresentar um resultado importante, conhecido como Lema de Deforma¸caõ, que a grosso modo afirma quando (e como) pode-se deformar J c1 em J c2 para c1 > c2 ou (c1 < c2 ). Desde que X não é um espa¸co de Hilbert em geral, e uma vez que só estamos assumindo J ∈ C 1 , vamos precisar usar a no¸caõ de campo pseudo-gradiente, devido a Palais [27]. Defini¸c˜ ao 1.2. Seja X um espa¸co de Banach e J ∈ C 1 (X, R). Um campo pseudogradiente para J é uma aplica¸caõ localmente Lipschitziana V : Y → X que verifica kV (u)k 6 αkJ 0 (u)k∗ e hJ 0 (u), V (u)i > βkJ 0 (u)k∗ , onde 0 < β < α e Y = {u ∈ X : J 0 (u) 6= 0} . Exemplo 1.1. Seja X um espa¸co de Hilbert e J ∈ C 1 (X, R). O gradiente de J, ∇J : X → X, é definido através do Teorema da Representa¸caõ de Riesz (veja Brezis [5]) de forma que ∇J(u) ∈ X é o u ńico vetor tal que hJ 0 (u), hi = h · ∇J(u), ∀h ∈ X e kJ 0 (u)k∗ = k∇J(u)k. Portanto, ∇J é um campo pseudo-gradiente para J. Dados S ⊂ X e δ > 0, a vizinhan¸ca de S com raio δ > 0 denotamos por Sδ = {u ∈ X : d(u, S) 6 δ} , onde d(u, S) = inf {ku − vk : v ∈ S} . O próximo resultado garante que todo J ∈ C 1 (X, R) possui um campo pseudogradiente. Lema 1.5. Sejam X um espa¸co de Banach e J ∈ C 1 (X, R). Então, existe um campo pseudo gradiente para J. Demonstra¸c˜ ao: Veja a prova em Willem [33], pág, 19.. . A seguir, apresentaremos um resultado conhecido como Lema de Deforma¸cão que é bastante u ´til na prova do Teorema do Passo da Montanha. Lema 1.6. Sejam X um espa¸co de Banach e J ∈ C 1 (X, R) satisfazendo a condi¸caõ (C) em ]c1 , c2 [. Se c ∈]c1 , c2 [ e S é qualquer vizinhan¸ca de Kc , então existe um homeomorfismo η : X −→ X e constantes , > 0 tais que [c − , c + ] ⊂]c1 , c2 [ satisfazendo as seguintes propriedades: 12.

(118) 1. Preliminares i) η (J c+ r S) ⊂ J c− ; ii) η (J c+ ) ⊂ J c− se Kc = ∅; iii) η(u) = u se u ∈ / J −1 ([c − , c + ]) . Demonstra¸c˜ ao: Veja a prova em Bartolo-Benci-Fortunato [3], pág 5.. . Agora, devido a Cerami [6, 7], iremos apresentar uma versão do Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz [1, 28] que provou ser uma ferramenta poderosa no estudo de muitos problemas em equa¸co˜es diferenciais. Teorema 1.7. Seja (X, k · kX ) um espa¸co de Banach real e J ∈ C 1 (X, R), satisfazendo a condi¸cão (C)c para qualquer c ∈ R, J(0) = 0 e i) existem constantes ρ, α > 0 tais que J|∂Bρ > α, ii) existe e ∈ X r Bρ tal que J(e) 6 0. Então, c = inf max J(γ(t)) > α, γ∈Γ 06t61. onde Γ = {γ ∈ C([0, 1], X), γ(0) = 0, γ(1) = e} é um valor cr´ıtico de J. Demonstra¸c˜ ao: Veja a prova em Grossinho [15], pág 16.. . Teorema 1.8. Seja (X, k · kX ) um espa¸co de Banach real e J ∈ C 1 (X, R), satisfazendo J(0) = 0 e i) existem constantes ρ, α > 0 tais que J|∂Bρ > α, ii) existe um e ∈ X r Bρ tal que J(e) 6 0. Seja c = inf max J(γ(t)), γ∈Γ 06t61. onde Γ = {γ ∈ C([0, 1], X), γ(0) = 0, γ(1) = e} . Então, J possui uma sequência (C)c . Demonstra¸c˜ ao: Veja a prova em Willem [33].. 13. .

(119) Cap´ıtulo 2 Crescimento Subcr´ıtico Neste cap´ıtulo, estudaremos a existência de solu¸caõ não trivial e não negativa para a seguinte classe de problemas: (. −∆p u = f (x, u) u=0. em. Ω. sobre ∂Ω,. (P). onde Ω é um dom´ınio limitado suave em RN e −∆p u := −div |∇u|p−2 ∇u é o operador p−Laplaciano com 1 < p 6 N, e a não linearidade f (x, s) tem crescimento subcr´ıtico (polinomial e exponencial) satisfazendo as seguintes hipóteses: (f1 ) f : Ω×R → R é cont´ınua, f (x, s) > 0, ∀(x, s) ∈ Ω×[0, ∞) e f (x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω; Rs F (x, s) = ∞ uniformemente em x ∈ Ω onde F (x, s) = 0 f (x, t) dt; p s→∞ s. (f2 ) lim. (f3 ) Existem C∗ > 0, θ > 1 tais que H(x, t) 6 θH(x, s) + C∗ para todo 0 < t < s, ∀x ∈ Ω onde H(x, s) = sf (x, s) − pF (x, s); pF (x, s) < λ1 (Ω) uniformemente em x ∈ Ω, onde λ1 = λ1 (Ω) é o primeiro s→0 sp autovalor do operador p − Laplaciano, ou seja,. (f4 ) lim+. λ1 = inf. 2.1. kukp 1,p : u ∈ W0 (Ω) r {0} . kukpp. Caso Polinomial. Com o estudo do crescimento polinomial obtemos um resultado de existência de solu¸caõ não trivial e não negativa quando 1 < p < N e f (x, s) satisfaz uma determinada 14.

(120) 2. Crescimento Subcr´ıtico. condi¸caõ de crescimento polinomial subcr´ıtico mais fraco do que os da literatura, a saber, f (x, s) = 0. ∗ s→∞ |s|p −1 lim. (2.1). Esta condi¸caõ é conhecida como melhor crescimento polinomial subcr´ıtico. Nesta se¸cão, estudaremos o problema (P) quando f (x, s) satisfaz (2.1) com o objetivo de provar o seguinte resultado: Teorema 2.1. Seja 1 < p < N e assuma que f (x, s) tem o melhor crescimento polinomial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, o problema (P) tem uma solu¸cão não trivial. Vamos mostrar que podemos usar o Teorema 1.7, conhecido como Teorema do Passo da Montanha com a condi¸cão de Cerami, para obter o nosso resultado. Para isto, mostraremos que as hipóteses sobre a não linearidade f (x, s) garantem que o funcional J associado ao problema (P) tem a geometria do passo da montanha. Lema 2.2. Considere f (x, s) com o melhor crescimento polinomial subcr´ıtico e satisfazendo (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, i) existem constantes ρ, α > 0 tais que J|∂Bρ > α, ii) existe e ∈ X r Bρ tal que J(e) 6 0. Demonstra¸c˜ ao: Temos por (f4 ) que existe δ > 0 e τ > 0 tal que pF (x, s) 6 λ1 − τ, ∀(x, s) ∈ Ω × (0, δ). |s|p ou seja, F (x, s) 6. (λ1 − τ ) p |s| , ∀(x, s) ∈ Ω × (0, δ). p. Usando (2.1), dado > 0 exite s0 > 0 tal que ∗ −1. f (x, s) < |s|p. , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞),. o que implica que Z. s. Z. s. f (x, t) dt 6 s0. ∗ −1. |t|p. dt. s0 ∗. ∗. |s|p |s0 |p 6 − . p∗ p∗. 15. (2.2).

(121) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Assim, Z. s0. Z. f (x, t) dt s0. 0 ∗. 6 6 6 6 6. s. f (x, t) dt +. F (x, s) =. ∗. |s0 |p |s|p F (x, s0 ) − + , p∗ p∗ ∗ ∗ |s|p |s|p c1 p ∗ + ∗ |s| p ∗ p∗ |s| |s|p c1 + ∗ |s0 |p∗ p c1 ∗ |s|p ∗ + p ∗ |s0 | p p∗ c2 |s| , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. (2.3). Temos que F (x, s) = 0, ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, 0].. (2.4). Pela continuidade de F obtemos c3 > 0 tal que F (x, s) 6 c3 6 c4 |s|p. ∗. ∀(x, s) ∈ Ω × [δ, s0 ],. (2.5). onde c4 = max. δ6s6s0. c3 . |s|p∗. Por (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5) temos que 1 ∗ F (x, s) 6 (λ1 − τ )|s|p +c4 |s|p , ∀(x, s) ∈ Ω × R. p. (2.6). Segue, pela defini¸cão de λ1 , das imersões de Sobolev e (2.6) que J(u) > = > =. Z Z λ1 − τ 1 ∗ p p kuk − |u| dx − c4 |u|p dx p p Ω Ω 1 λ1 − τ kukp − kukpp − c4 kukp∗ p∗ p p 1 1 λ1 − τ ∗ p kuk − kukp − c5 kukp p p λ1 1 λ1 − τ ∗ 1− kukp − c5 kukp . p λ1. Desde que τ > 0 e p∗ > p, podemos escolher ρ > 0 e α > 0 suficientemente pequenos,. 16.

(122) 2. Crescimento Subcr´ıtico. tais que 1 λ1 − τ ∗ J(u) > 1− kukp − c3 kukp > α sempre que kuk = ρ. p λ1 Logo, J satisfaz o item (i). Agora, provaremos que J satisfaz o item (ii). Seja u ∈ W01,p (Ω), u > 0. Por (f2 ) temos que para cada M > 0 existe s0 > 0 tal que F (x, s) > M sp , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. (2.7). Como F é cont´ınua, então F é limitada no compacto Ω × [0, s0 ], ou seja, existe c > 0 tal que |F (x, s)|< c, ∀(x, s) ∈ Ω × [0, s0 ].. (2.8). Escolhendo d > c + M sp0 , por (2.8) obtemos F (x, s) > −c > M sp − d, ∀(x, s) ∈ Ω × [0, s0 ].. (2.9). Logo, de (2.7) e (2.9), temos que F (x, s) ≥ M sp − d, ∀(x, s) ∈ Ω × R+ . Assim, Z 1 p J(tu) = ktuk − F (x, tu) dx p Ω Z Z tp p p p ≤ kuk − M t |u| dx + d dx p Ω Ω p kuk = tp − M kukpp + d |Ω| . p Portanto, escolhendo M > 0 tal que M > t → +∞ como quer´ıamos provar.. (2.10). kukp obtemos que J(tu) → −∞ quando pkukpp . A seguir, mostraremos que o funcional J associado ao problema (P) satisfaz a condi¸caõ de Cerami para todo c ∈ R. Lema 2.3. Assuma que f (x, s) tem o melhor crescimento polinomial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, toda sequência (un ) ⊂ W01,p (Ω) de Cerami para J é limitada.. 17.

(123) 2. Crescimento Subcr´ıtico Demonstra¸c˜ ao: Seja (un ) ⊂ W01,p (Ω) uma sequência de Cerami no n´ıvel c, ou seja, (. J(un ) → c. (2.11). (1 + kun k)kJ 0 (un )k∗ → 0. Desde que. Z. 0. p−2. |∇un |. J (un )v =. Z ∇un ∇v −. Ω. temos. f (x, un )v, Ω. R R p−2 | |∇u | ∇u ∇v − f (x, un )v| n n Ω kJ 0 (un )k∗ = sup Ω . kvk v6=0. (2.12). De (2.11) e (2.12), tem-se que   1 kun kp − R F (x, un ) → c Ω p R R  (1 + kun k)| Ω |∇un |p−2 ∇un ∇v − Ω f (x, un )v|6 n kvk,. (2.13). onde n → 0, quando n → ∞. Afirmamos que (un ) é limitada em W01,p (Ω). De fato, suponha por contradi¸cão que un kun k → ∞. Defina vn = e note que kvn k = 1. Como W01,p (Ω) é reflexivo, podemos kun k supor, a menos de subsequência, que vn * v em W01,p (Ω), pois (vn ) é limitada. Além disso, kvn k = k∇vn kpp

(124) N Z

(125) X

(126) ∂vn

(127) p

(128)

(129) =

(130) ∂xi

(131) i=1 Ω

(132)

(133) N Z X

(134) ∂vn

(135) p

(136)

(137) >

(138) ∂xi

(139) i=1 vn >0

(140) N Z

(141) X

(142) ∂vn+

(143) p

(144)

(145) =

(146) ∂xi

(147) Ω i=1 = k∇vn+ kpp = kvn+ kp .. (2.14). Logo, (vn+ ) é limitada em W01,p (Ω). Assim, existe u ∈ W01,p (Ω) tal que  1,p +    vn * u em W0 (Ω). vn+ → u em Lp (Ω), 1 6 p < p∗    v + (x) → u(x) q.t.p. em Ω. n. 18. (2.15).

(148) 2. Crescimento Subcr´ıtico Desde que a imersão W01,p (Ω) ,→ Lp (Ω) é compacta, temos (. vn → v em Lp (Ω) vn (x) → v(x) q.t.p. em Ω.. (2.16). Por outro lado, sabemos que vn+ =. vn + |vn | v + |v| e v+ = . 2 2. (2.17). Assim, segue de (2.16) e (2.17) que vn+ (x) → v + (x) q.t.p. em Ω. Isso juntamente com (2.15) e a unicidade do limite q.t.p., implica que v + (x) = u(x) q.t.p. em Ω Portanto, vn+ * v + .. (2.18). Usando a compacidade da imersão W01,p (Ω) ,→ Lq (Ω) para todo 1 6 q < p∗ , obtemos que (. vn+ → v + em Lq (Ω), q ∈ [1, p∗ ) vn+ (x) → v + (x) q.t.p. em Ω.. Afirmamos que v + = 0 q.t.p. em Ω. Com efeito, suponha, por contradi¸caõ, que . Ω+ = x ∈ Ω : v + (x) > 0 tenha medida positiva. Então, por (2.19) existe n0 ∈ N tal que vn+ (x) > 0 q.t.p. em Ω+ , ∀n > n0 . Segue que + + lim u+ n (x) = lim vn (x)kun k = ∞ q.t.p. em Ω .. n→∞. Assim, por (f2 ) temos. n→∞. F (x, u+ n (x)) = ∞. lim + n→∞ |un (x)|p. 19. (2.19).

(149) 2. Crescimento Subcr´ıtico Desde que vn+ (x) 9 0 q.t.p. em Ω+ , obtemos F (x, u+ n (x)) + lim |vn (x)|= ∞ q.t.p. em Ω+ . + p n→∞ |un (x)|. (2.20). No que segue, vamos precisar da seguinte afirma¸cão: Afirma¸c˜ ao 2.1. Se A tem medida finita e lim gn (x) = ∞ q.t.p. em A, então n→∞. Z lim gn (x) = ∞. A n→∞. De fato, dado qualquer M > 0, existe n0 ∈ N tal que gn (x) > M, ∀n > n0 q.t.p. em A, o que implica que lim gn (x) > M q.t.p. em A, n→∞. o que acarreta que. Z lim gn (x) > M |A|.. (2.21). A n→∞. Como M > 0 é arbitrário, então fazendo M → ∞ em (2.21), obtemos Z lim gn (x) = ∞. A n→∞. De (2.20) e pela Afirma¸cão 2.1, temos que F (x, u+ n (x)) + |vn (x)|p = ∞. + p |u (x)| + n→∞ Ω n. Z. lim. Além disso, de (2.13), temos que Z. p. kun k = pc + p. F (x, u+ n (x)) dx + o(1).. Ω. Assim,. Z. F (x, u+ n (x)) dx → ∞,. Ω. pois, kun k → ∞. Por outro lado, Z. F (x, u+ n (x)) dx. Z = Ω+. Ω. 20. F (x, u+ n (x)) dx.. (2.22).

(150) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Dessa forma, Z lim n→∞. Ω. F (x, u+ n (x)) dx = kun kp. 1 lim p n→∞ kun k. Z +. F (x, u+ n (x)) dx. RΩ F (x, u+ n (x)) R Ω+ = lim + n→∞ pc + p Ω F (x, un (x)) dx + o(1) 1 = lim pc o(1) n→∞ R +p+ R + F (x, un (x)) dx F (x, u+ n (x)) dx Ω+ Ω+ 1 . (2.23) = p. F (x, u+ n) + p Por (f1 ) temos que F (x, s) > 0, ∀(x, s) ∈ Ω × R. Dessa forma, |vn | é p |u+ n| uma sequência de fun¸co˜es mensuráveis não negativas e pelo Lema de Fatou tem-se . F (x, u+ n (x)) + |vn (x)|p 6 lim lim + p |u (x)| n→∞ Ω n→∞ n. Z. Z Ω. F (x, u+ n (x)) + |vn (x)|p . + |un (x)|p. Isso juntamente com (2.22) e (2.23) implica uma contradi¸caõ. Portanto, v + = 0 q.t.p. em Ω. Segue, pela condi¸caõ (2.1), que dado > 0 existe s0 > 0 tal que ∗ −1. f (x, s) 6 |s|p Logo, Z. s. s0. , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. ∗. ∗. |s0 |p |s|p − , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞). f (x, t) dt 6 p∗ p∗. Portanto, Z. s0. F (x, s) =. Z. s. f (x, t) dt +. f (x, t) dt. 0. s0 ∗. ∗. |s0 |p |s|p + 6 F (x, s0 ) − p∗ p∗ ∗ |s|p = c1 + ∗ , ∀(x, s) ∈ Ω × [s0 , ∞). p. (2.24). Por (f4 ), existem δ, c2 > 0 tais que F (x, s) 6 c2 |s|p , ∀(x, s) ∈ Ω × (0, δ). (2.25). Como F é cont´ınua, existe c3 > 0 tal que F (x, s) 6 c3 ∀(x, s) ∈ Ω × [δ, s0 ].. 21. (2.26).

(151) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Além disso, F (x, s) = 0, ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, 0].. (2.27). De (2.24), (2.25), (2.26) e (2.27), temos que ∗ F (x, s) 6 c1 + c3 + c2 |s|p + ∗ |s|p p c1 + c3 p∗ p 6 + c |s| + |s| 2 |s|p p∗ ∗ 6 c|s|p + ∗ |s|p , ∀(x, s) ∈ Ω × R, p onde. . c1 + c3 |s|p. c = max. δ6s6s0. (2.28). .. Assim, por (2.28), dado R > 0 existe c = c(R) > 0 tal que F (x, s) 6 c|s|p +. 1 p∗ |s| , ∀(x, s) ∈ Ω × R. ∗ Rp. (2.29). Seja tn ∈ [0, 1] tal que J(tn un ) = max J(tun ). t∈[0,1]. Como kun k → ∞, temos para n suficientemente grande que J(tn un ) > J Observando que. R un kun k. Z. Z F (x, vn ) dx =. Ω. = J(Rvn ).. (2.30). F (x, vn+ ) dx,. Ω. obtemos p. Z. p. pJ(Rvn ) = R kvn k − p F (x, Rvn ) dx Ω Z = Rp − p F (x, Rvn+ ) dx ΩZ Z ∗ p + p > R − pcR |vn | dx − p |vn+ |p dx. Ω. Desde que vn+ * 0 em W01,p (Ω), então kvn+ k 6 C ∀n ∈ N.. 22. Ω. (2.31).

(152) 2. Crescimento Subcr´ıtico ∗. Como W01,p (Ω) ⊆ Lp (Ω), então Z. ∗. |vn+ |p dx 6 C(Ω).. Ω. Por outro lado, a imersão W01,p (Ω) ,→ Lq (Ω) para todo q ∈ [1, p∗ ) é compacta. Logo, Z. |vn+ |p dx → 0.. Ω. Assim, fazendo n → ∞, depois R → ∞ em (2.31) e usando (2.30), obtemos J(tn un ) → ∞.. (2.32). Como J(0) = 0 e J(un ) → c, podemos supor que tn ∈ (0, 1). Pelo fato de tn ser um ponto de máximo local, temos que J 0 (tn un )tn un = 0, isto é, tpn kun kp. Z =. f (x, tn un )tn un dx. Ω. Além disso, por (2.11) temos que (. Assim,. R kun kp = p Ω F (x, un ) dx + pc + on (1) R kun kp = Ω f (x, un )un dx + on (1).. Z [f (x, un )un − pF (x, un )] dx = pc + on (1). Ω. Isso juntamente com (f3 ) implica que pJ(tn un ) =. tpn kun kp. Z −p. F (x, tn un ) dx Ω. Z [f (x, tn un )tn un − pF (x, tn un )] dx. = ZΩ 6. (θ[f (x, un )un − pF (x, un )] + C∗ ) dx Ω Z. [f (x, un )un − pF (x, un )] dx + C∗ |Ω|. 6 θ ZΩ. (pc + o(1)) dx + C∗ |Ω|. 6 θ Ω. = O(1),. 23. (2.33).

(153) 2. Crescimento Subcr´ıtico contradizendo (2.32). Isso prova que (un ) é limitada em W01,p (Ω).. . Lema 2.4. Suponha que f (x, s) tem o melhor crescimento polinomial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, o funcional J satisfaz a condi¸caõ de Cerami para todo c ∈ R. Demonstra¸c˜ ao: Seja (un ) ⊂ W01,p (Ω) uma sequência de Cerami no n´ıvel c para o funcional J. Pelo Lema 2.3 já sabemos que toda sequência de Cerami é limitada. Desde que W01,p (Ω) é reflexivo, podemos supor que un * u em W01,p (Ω). Afirmamos que, a menos de subsequência, un → u em W01,p (Ω). De fato, note que J 0 (un )(un − u) − J 0 (u)(un − u) = A(n) − B(n), onde. Z A(n) =. (2.34). [|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u]∇(un − u) dx. Ω. e. Z [f (x, u) − f (x, un )](un − u) dx.. B(n) = Ω. Observe que o lado esquerdo de (2.34) tende a zero. De fato, usando que kJ 0 (un )k → 0, un − u * 0 e J 0 (u) ∈ W0−1,p (Ω) temos J 0 (un )(un − u) → 0 e J 0 (u)(un − u) → 0. Afirmamos que B(n) → 0 quando n → ∞. De fato, uma vez que f (x, s) satisfaz (2.1), dado > 0 podemos encontrar uma contante c() > 0 tal que f (x, s) 6 |s|p. ∗ −1. +c(), ∀(x, s) ∈ Ω × R.. (2.35). Com efeito, dado > 0 existe s0 > 0 tal que ∗ −1. f (x, s) 6 |s|p. , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. (2.36). Como f (x, s) é cont´ınua e f (x, s) = 0, ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, 0], existe c > 0 tal que f (x, s) 6 c, ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, s0 ].. (2.37). Observando que a constante c acima depende de s0 que por sua vez depende de e usando (2.36) e (2.37) conclu´ımos que vale (2.35).. 24.

(154) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Segue por (2.35) que

(155)

(156) Z Z

(157)

(158)

(159) f (x, un )(un − u) dx

(160) 6 |f (x, un )||(un − u)| dx

(161)

(162) Ω ZΩ ∗ 6 c + |un |p −1 |un − u| dx Ω Z Z ∗ = c |un − u| dx + |un − u||un |p −1 dx, Ω. Ω. usando que W01,p (Ω) ,→ Lq (Ω) para todo q ∈ [1, p∗ ] e a desigualdade de Hölder com os p∗ expoentes conjugados ∗ e p∗ obtemos p −1

(163) Z

(164) Z

(165)

(166)

(167) f (x, un )(un − u) dx

(168) 6 c |un − u| dx

(169)

(170) Ω. Ω.  Z 1 Z ∗  p∗ p |un − u| + dx  Ω. Ω. ∗ p − 1 p p∗ ∗ ∗  dx |un |p −1 p − 1  ∗. Z |un − u| dx + C(Ω).. 6 c Ω. Uma vez que un * u em W01,p (Ω), usando que a imersão W01,p (Ω) ,→ Lq (Ω) para todo q ∈ [1, p∗ ) é compacta, obtemos Z |un − u| dx → 0. Ω. Como > 0 é arbitrário, conclu´ımos que Z f (x, un )(un − u) dx → 0.. (2.38). f (x, u)(un − u) dx → 0.. (2.39). Ω. Analogamente, obtemos que Z Ω. Segue por (2.38) e (2.39) que B(n) → 0. Logo,. Z. |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u ∇(un − u) dx → 0.. (2.40). Ω. Usando o Corolário 1.2, obtemos Z. p. Z. |∇un − ∇u| dx 6. Cp Ω. |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u ∇(un − u) dx → 0.. Ω. 25.

(171) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Portanto, un → u em W01,p (Ω), e assim J satisfaz (C)c .. . Prova do Teorema 2.1: Pelos Lemas 2.2 e 2.4, aplicando o Teorema 1.7, J possui um ponto cr´ıtico u não trivial no n´ıvel c. Resta verificar que u é não negativa. Note que u = u+ − u− . Escolhendo v = u− como fun¸caõ teste em (1.14) obtemos Z. p−2. |∇u|. Z. −. ∇u∇u −. Ω. f (x, u)u− = 0,. Ω. assim, Z. − p. |∇u |. −. Z = ZΩ. Ω. =. f (x, u)u− f (x, u+ )u−. Ω. = 0, o que implica que u− = 0. Consequentemente, u = u+ > 0. Portanto, o Teorema 2.1 está provado.. 2.2. Caso Exponencial. Nesta se¸cão, estudaremos o problema (P) no caso p = N > 2 e quando f (x, s) satisfaz o crescimento exponencial subcr´ıtico, ou seja, |f (x, s)| = 0 uniformemente em x ∈ Ω para todo α > 0, 0 s→∞ eα|s|N lim. (2.41). sem satisfazer a condi¸cão de Ambrosetti-Rabinowitz. Iremos provar o seguinte resultado. Teorema 2.5. Suponha que p = N e f (x, s) tem o crescimento exponencial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, o problema (P) tem uma solu¸cão não trivial. Análogo ao que foi feito na se¸cão anterior usaremos o Teorema 1.7 para obtermos esse resultado. Inicialmente, verifiquemos as propriedades geométricas do Teorema do Passo da Montanha para o funcional J. Lema 2.6. Suponha que f (x, s) satisfaz (f2 ). Então J(tu) → −∞ quando t → ∞ para toda fun¸caõ não negativa u ∈ W01,N (Ω) r {0} . 26.

(172) 2. Crescimento Subcr´ıtico Demonstra¸c˜ ao: Seja u ∈ W01,N (Ω), u ≥ 0. Por (f2 ) temos que para cada M > 0 existe s0 > 0 tal que F (x, s) > M sN , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. (2.42). Como F é cont´ınua, então F é limitada no compacto Ω × [0, s0 ], ou seja, existe c > 0 tal que |F (x, s)|< c, ∀(x, s) ∈ Ω × [0, s0 ].. (2.43). Tome d > c + M sN 0 . Assim, por (2.43), obtemos F (x, s) ≥ −c ≥ M sN − d, ∀(x, s) ∈ Ω × [0, s0 ].. (2.44). Logo, de (2.42) e (2.44), temos que F (x, s) ≥ M sN − d, ∀(x, s) ∈ Ω × R+ . Assim, Z 1 N ktuk − F (x, tu) dx J(tu) = N Ω Z Z tN N N N ≤ kuk − M t |u| dx + d dx N Ω Ω N kuk = tN − M kukN + d |Ω| . N N Portanto, escolhendo M > 0 tal que M > t → +∞ como quer´ıamos provar.. (2.45). kukN obtemos que J(tu) → −∞ quando N kukN N . Lema 2.7. Suponha que f (x, s) tem o crescimento exponencial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ) e (f4 ). Então, existem ρ, δ > 0 tais que J(u) > δ se kuk = ρ. Demonstra¸c˜ ao: Temos por (f4 ) que existe δ > 0 e τ > 0 tal que F (x, s) 6. (λ1 − τ ) N |s| , ∀(x, s) ∈ Ω × (0, δ). N. Pela condi¸caõ (2.41), dado > 0 existe s0 > 0 tal que N0. f (x, s) 6 eα|s| , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞) e α > 0.. 27. (2.46).

(173) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Dessa forma, Z. s0. s. Z. f (x, t) dt f (x, t) dt + s0 0 Z s N0 eα|t| dt 6 F (x, s0 ) + . F (x, s) =. s0. 6 F (x, s0 ) + (s − s0 )eα|s| N0. 6 F (x, s0 ) + ceα|s| eα|s|. N0. N0. N0. 6 F (x, s0 ) + ce2α|s| 0 F (x, s0 ) 2α|s|N 6 + c e 0 e2α|s0 |N O(1) 2α|s|N 0 q 6 |s| e |s0 |q N0. = O(1)e2α|s| |s|q , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞) e q > N.. (2.47). Usando que F (x, s) é cont´ınua e F (x, s) = 0 para todo (x, s) ∈ Ω × (−∞, 0], obtemos c1 > 0 tal que F (x, s) 6 c1 N0. 6 c2 eκ|s| |s|q , ∀(x, s) ∈ Ω × ((−∞, 0] ∪ [δ, s0 ]) ,. (2.48). onde c2 = max. δ6s6s0. c1 0. eκ|s|N |s|q. .. Logo, de (2.46), (2.47) e (2.48), obtemos (λ1 − τ )|s|N N0 + ceκ|s| |s|q ∀(x, s) ∈ Ω × R e q > N. F (x, s) 6 N. (2.49). Pela desigualdade de Hölder, obtemos Z e. κ|u|N. 0. Z. q. κr|u|N. |u| dx 6. e. Ω. r1 Z. 0. dx. Ω. κrkukN. 0. e. 6. r. |u|. dx. Ω. Z. 10. r0 q. N0. |u| ( kuk ). Z. |u|. dx. Ω. r0 q. 10 r. dx. .. Ω. Usando a desigualdade de Trudinger-Moser 1.13, se r > 1 suficientemente próximo a 1 0. e kuk < σ, onde κrσ N < αN , então Z. 0. |u| N eκrkuk ( kuk ). N0. Ω. 28. dx 6 C(Ω)..

(174) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Consequentemente, Z. κ|u|N. e. 0. Z. q. |u| dx 6 C. Ω. r0 q. |u|. 10 r. dx. .. (2.50). Ω. Segue por (2.49) que (λ1 − τ ) 1 kukN J(u) > kukN − N −C N N. Z. N0. eκ|u| |u|q dx.. Ω. Usando as imersões de Sobolev, a defini¸cão de λ1 e (2.50), obtemos 1 (λ1 − τ ) J(u) > 1− kukN − Ckukqr0 q N λ1 1 (λ1 − τ ) > 1− kukN − Ckukq . N λ1 Desde que τ > 0 e q > N , podemos escolher ρ > 0 e σ > 0, suficientemente pequenos, tais que 1 λ1 − τ J(u) > 1− kukN − Ckukq N λ1 1 λ1 − τ q−N = 1− − Ckuk kukN N λ1 > σ sempre que kuk = ρ. Agora, mostraremos que o funcional J associado ao problema (P) satisfaz a condi¸cão de Cerami para todo c ∈ R. Lema 2.8. Assuma que (f1 ), (f2 ), (f3 ), e (f4 ) valem. Se f (x, s) tem o crescimento exponencial subcr´ıtico, então toda sequência (un ) ⊂ W01,N (Ω) de Cerami para J é limitada. Demonstra¸c˜ ao: Seja (un ) ⊂ W01,N (Ω) de Cerami no n´ıvel c, ou seja, (. J(un ) → c (1 + kun k)kJ 0 (un )k∗ → 0,. (2.51). isto é,   1 ku kN − R F (x, u ) → c n n Ω N R  (1 + ku k)| |∇u |N −2 ∇u ∇v − R f (x, u )v|6 kvk, n n n n n Ω Ω. (2.52). onde n → 0 quando n → ∞. Afirmamos que (un ) é limitada em W01,N (Ω). De fato, suponha por contradi¸caõ que 29.

(175) 2. Crescimento Subcr´ıtico un e note que kvn k = 1. Como W01,N (Ω) é reflexivo, podemos kun k supor, a menos de subsequência, que vn * v ∈ W01,N (Ω). Seguindo de forma análoga. kun k → ∞. Defina vn =. ao que foi feito na prova do Lema 2.3 mostramos que vn+ * 0 em W01,N (Ω). Primeiro mostramos que vn+ * v + em W01,N (Ω), depois supondo que . Ω+ = x ∈ Ω : v + (x) > 0 tem medida positiva, obtemos uma contradi¸caõ, assim, v + = 0 q.t.p. em Ω. Usando que a imersão W01,N (Ω) ,→ Lq (Ω) é compacta para todo q ∈ [1, ∞), temos que (. vn+ → v + em Lq (Ω), q ∈ [1, ∞). (2.53). vn+ (x) → v + (x) q.t.p. em Ω. Note que, dado qualquer R > 0 existe C = C(R) > 0 tal que . F (x, s) 6 C|s|+e. αN 0 RN. |s|N. 0. . ∀(x, s) ∈ Ω × R.. (2.54). De fato, pela condi¸caõ (2.41), dado > 0 para qualquer R > 0 existe s0 > 0 tal que . f (x, s) 6 e. αN 0 2RN. |s|N. 0. . , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. Dessa forma, . F (x, s) 6 F (x, s0 ) + c1 e 6 6 6. F (x, s0 ). αN 0 2RN. |s|N. !. 0. . . + c1 e |s0 |N 0 e αN αN N0 N0 0 |s| 0 |s| N N e 2R c2 e 2R 0 αN N |s| c2 e RN 0 , ∀(x, s) ∈ . αN 0 2RN. αN 0 2RN. |s|N. 0. . Ω × (s0 , ∞).. Escolhendo > 0 suficientemente pequeno de tal modo que c2 < 1 obtemos . F (x, s) 6 e. αN 0 RN. |s|N. 0. . , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. (2.55). Por (2.46), existe c3 > 0 tal que F (x, s) 6 c3 |s|N , ∀(x, s) ∈ Ω × (0, δ).. (2.56). F (x, s) = 0, ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, 0].. (2.57). Além disso,. 30.

(176) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Usando que F (x, s) é continua, obtemos c4 > 0 tal que F (x, s) 6 c4 , ∀(x, s) ∈ Ω × [δ, s0 ].. (2.58). Portanto, de (2.55), (2.56), (2.57) e (2.58), obtemos que . αN 0 RN. N. F (x, s) 6 C|s| +e onde. 0. |s|N. C = max. δ6s6s0. . , ∀(x, s) ∈ Ω × R.. (2.59). c4 + c3 . |s|N. Para concluirmos basta observar que C depende de s0 que depende de R. Seja tn ∈ [0, 1] tal que J(tn un ) = max J(tun ). t∈[0,1]. Desde que kun k → ∞, temos para n suficientemente grande que J(tn un ) > J. R un kun k. = J(Rvn ).. (2.60). Por (2.54) e observando que Z. Z. F (x, vn+ (x)) dx,. F (x, vn (x)) dx = Ω. Ω. obtemos Z. N. F (x, Rvn+ (x)) dx Ω Z Z α N |Rv + (x)|N 0 n + N 0 N > R − N CR |vn (x)| dx − N e R dx Ω Ω Z Z + N0 N + = R − N CR |vn (x)| dx − N eαN |vn (x)| dx.. N J(Rvn ) = R − N. Ω +. Como eαN |vn (x)|. N0. (2.61). Ω. N0. > eαN |vn (x)| , ∀x ∈ Ω, então Z e. + αN |vn (x)|N. Z. 0. dx >. Ω. eαN |vn (x)|. N0. dx.. Ω. Isso juntamente com (2.61) implica que N. Z. N J(Rvn ) > R − N CR. 0 |vn+ (x)|N. Ω. Z dx − Ω. 31. eαN |vn (x)|. N0. dx.. (2.62).

(177) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Uma vez que kvn k = 1, pelo Lema 1.4, temos que Z. eαN |vn (x)|. N0. dx 6 C(Ω).. (2.63). Ω. Como vn+ * 0 em W01,N (Ω) e a imersão W01,N (Ω) ,→ L1 (Ω) é compacta, então Z |vn (x)| dx → 0.. (2.64). Ω. Assim, usando (2.60), (2.62) e (2.63), obtemos Z. N. N J(tn un ) > R − N CR. 0. |vn+ (x)|N dx − C(Ω).. (2.65). Ω. Tomando o limite em (2.65) com n → ∞ e usando (2.64), temos que lim N J(tn un ) > RN − N C(Ω).. n→∞. Agora, fazendo R → ∞, obtemos N J(un ) → ∞.. (2.66). Como J(0) = 0 e J(un ) → c, podemos supor que tn ∈ (0, 1). Pelo fato de tn ser um ponto de máximo local, temos que J 0 (tn un )tn un = 0, donde N tN n kun k. (2.67). Z =. f (x, tn un )tn un dx.. (2.68). Ω. Além disso, por (2.52), temos que Z N kun k − N F (x, un ) dx − N c → 0 Ω. e. Z N kun k − f (x, un )un dx → 0. Ω. Isso implica que Z. [f (x, un )un − N F (x, un )] dx = kun kN + N c − kun kN + on (1). Ω. = N c + on (1).. 32. (2.69).

(178) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Portanto, N J(tn un ) =. N tN n kun k. Z −N. F (x, tn un ) dx. Ω. Usando (2.68), obtemos Z [f (x, tn un )un − N F (x, tn un )] dx,. N J(tn un ) = Ω. isso juntamente com (f3 ) implica que existe C∗ > 0 e θ > 1 tais que Z (θ[f (x, un )un − N F (x, un )] + C∗ ) dx.. N J(tn un ) 6 Ω. Por (2.69), temos que Z N J(tn un ) 6 θ. Z (N c + o(1)) dx +. Ω. C∗ dx 6 O(1), Ω. o que é uma contradi¸cão a (2.66). Isso prova que (un ) é limitada em W01,N (Ω).. . Lema 2.9. Suponha que f (x, s) tem crescimento exponencial subcr´ıtico e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ) e (f4 ). Então, o funcional J satisfaz a condi¸cão de Cerami para todo c ∈ R. Demonstra¸c˜ ao: Seja (un ) ⊂ W01,N (Ω) uma sequência de Cerami no n´ıvel c para o funcional J. Pelo Lema 2.8 já sabemos que toda sequência de Cerami é limitada. Desde que W01,N (Ω) é reflexivo e W01,N (Ω) ,→ Lp (Ω), para p > 1, sem perda de generalidade, podemos supor que   kun k 6 K     u * u em W 1,N (Ω) n 0  un (x) → u(x) q.t.p. em Ω     un → u em Lq (Ω), ∀q > 1.. (2.70). Afirmamos que a menos de subsequência un → u em W01,N (Ω). De fato, note que J 0 (un )(un − u) − J 0 (u)(un − u) = A(n) − B(n), onde. Z A(n) =. (2.71). [|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u]∇(un − u) dx. Ω. e. Z [f (x, u) − f (x, un )](un − u) dx.. B(n) = Ω. Observe que o lado direto de (2.34) tende a zero. De fato, usando que kJ 0 (un )k → 0, 33.

(179) 2. Crescimento Subcr´ıtico un − u * 0 e J 0 (u) ∈ W0−1,p (Ω) temos J 0 (un )(un − u) → 0 e J 0 (u)(un − u) → 0. Afirmamos que B(n) → 0 quando n → ∞. De fato, uma vez que f (x, s) satisfaz (2.41), podemos encontrar uma constante ck > 0 tal que αN. |s|N. f (x, s) 6 ck e 2kN 0. 0. , ∀(x, s) ∈ Ω × R.. (2.72). , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. (2.73). Com efeito, temos pela condi¸caõ (2.41) que αN. f (x, s) 6 e 2kN 0. |s|N. 0. Como f (x, s) é cont´ınua e f (x, s) = 0 para todo (x, s) ∈ Ω × (−∞, 0], existe c1 = c1 (s0 ) tal que f (x, s) 6 c1 , ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, s0 ], o que implica que f (x, s) 6. c1 αN. αN. |s0 |. e 2kN 0. e 2kN 0 N0. |s|N. 0. ∀(x, s) ∈ Ω × (−∞, s0 ].. (2.74). Por (2.73) e (2.74) obtemos (2.72). Para concluir basta observar que c depende de s0 que depende de k. Pela desigualdade de Hölder e (2.72), segue que

(180)

(181) Z Z

(182)

(183)

(184) f (x, un )(un − u) dx

(185) 6 |f (x, un )| |un − u| dx

(186)

(187) Ω Ω Z 21 Z 12 2 6 |f (x, un )| dx |un − u| dx Ω. 6. Ω. 2 ! 12 Z α N |u|N 0 e 2kN 0 dx kun − uk2 Ω. Z 6 c. e. αN 0 kN. kun kN. 0. 12. N0. ( ku|u|n k ). dx. kun − uk2. Ω. 6 Ckun − uk → 0.. (2.75). f (x, u)(un − u) dx → 0.. (2.76). Analogamente, obtemos que Z Ω. 34.

(188) 2. Crescimento Subcr´ıtico. Segue por (2.75) e (2.76) que B(n) → 0. Dessa forma, Z. . |∇un |N −2 ∇un − |∇u|N −2 ∇u ∇(un − u) dx → 0.. (2.77). Ω. Usando o Corolário 1.2, obtemos Z. Z. N. . |∇un − ∇u| dx 6. CN Ω. |∇un |N −2 ∇un − |∇u|N −2 ∇u ∇(un − u) dx → 0.. Ω. Portanto, un → u em W01,N (Ω) e assim J satisfaz (C)c .. . Prova do Teorema 2.5: Pelos Lemas 2.6, 2.7 e 2.9, aplicando o Teorema 1.7, J posui um ponto cr´ıtico u não trivial no n´ıvel c. Resta verificar que u é não negativa. Note que u = u+ − u− . Escolhendo v = u− como fun¸caõ teste em (1.14) obtemos Z. N −2. |∇u|. −. Z. ∇u∇u −. Ω. f (x, u)u− = 0.. Ω. Assim, Z. − N. |∇u |. −. Z = ZΩ. Ω. =. f (x, u)u− f (x, u+ )u−. Ω. = 0, o que implica que u− = 0. Logo, u = u+ > 0. Portanto, o Teorema 2.5 está provado. . 35.

(189) Cap´ıtulo 3 Crescimento Exponencial Cr´ıtico Neste cap´ıtulo, estudaremos o problema (. −∆p u = f (x, u) u=0. em. Ω. sobre ∂Ω,. (P). onde Ω é um dom´ınio limitado suave em RN e, −∆p u := −div |∇u|p−2 ∇u é o operador p − Laplaciano com p = N , e a não linearidade f (x, s) tem crescimento exponencial cr´ıtico em α0 > 0, ou seja, existe α0 > 0 tal que |f (x, s)| = 0 s→∞ eα|s|N lim. (. 0,. uniformemente em x ∈ Ω para todo α > α0. ∞,. uniformemente em x ∈ Ω para todo α < α0 .. (3.1). e satisfaz as seguintes hipóteses: (f1 ) f : Ω×R → R é cont´ınua, f (x, s) > 0, ∀(x, s) ∈ Ω×[0, ∞) e f (x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω; Rs F (x, s) = ∞ uniformemente em x ∈ Ω onde F (x, s) = 0 f (x, t) dt; N s→∞ |s|. (f2 ) lim. (f3 ) H(x, t) 6 H(x, s) para todo 0 < t < s,. ∀x ∈ Ω onde H(x, s) = sf (x, s) −. N F (x, s); N F (x, s) < λ1 (Ω) uniformemente em x ∈ Ω, onde λ1 = λ1 (Ω) é o primeiro s→0 |s|N autovalor do operador N − Laplaciano, ou seja,. (f4 ) lim+. λ1 = inf. kukN 1,N : u ∈ W0 r {0} ; kukN N. (f5 ) Se d é o raio da maior bola aberta contida em Ω, vamos assumir que 36.

(190) 3. Crescimento Exponencial Cr´ıtico. −α0 |s|N. lim sf (x, s)e. s→∞. . 0. >β>. N d. N. onde. 1 uniformemente em x ∈ Ω, Mα0N −1. Z. 1. M = lim n n→∞. e. 0 n tN −t. dt;. 0. ( (f6 ) f está na classe L0 , isto é, para qualquer (un ) ⊂ W01,N (Ω), se. un * 0 em W01,N (Ω) f (x, un ) → 0 em L1 (Ω). então F (x, un ) → 0 em L1 (Ω). Iremos provar o seguinte teorema: Teorema 3.1. Suponha que p = N e f (x, s) tem o crescimento exponencial cr´ıtico em α0 > 0 e satisfaz (f1 ), (f2 ), (f3 ), (f4 ), (f5 ) e (f6 ), com C∗ = 0 e θ = 1 em (f3 ). Então, o problema (P) tem uma solu¸cão não trivial e não negativa. Nos próximos dois lemas mostraremos que o funcional energia J associado ao problema (P) satisfaz as condi¸co˜es (i) e (ii) do Teorema 1.8. Lema 3.2. Suponha que f (x, s) satisfaz (f2 ). Então, para toda fun¸caõ não negativa u ∈ W01,N (Ω) r {0} tem-se J(tu) → −∞ quando t → ∞. Demonstra¸c˜ ao: Seja u ∈ W01,N (Ω), u ≥ 0. Por (f2 ) temos que para cada M > 0 existe s0 > 0 tal que F (x, s) > M sN , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞).. (3.2). Como F é cont´ınua, então F é limitada no compacto Ω × [0, s0 ], ou seja, existe c > 0 tal que |F (x, s)|< c, ∀(x, s) ∈ Ω × [0, s0 ].. (3.3). Tome d > c + M sN 0 . Assim, por (3.3), obtemos F (x, s) ≥ −c ≥ M sN − d, ∀(x, s) ∈ Ω × [0, s0 ]. Dessa forma, de (3.2) e (3.4), temos que F (x, s) ≥ M sN − d, ∀(x, s) ∈ Ω × R+ .. 37. (3.4).

(191) 3. Crescimento Exponencial Cr´ıtico. Assim, Z 1 N ktuk − F (x, tu) dx J(tu) = N Ω Z Z tN N N N ≤ |u| + d dx kuk − M t N Ω Ω N kuk = tN + O(1). − M kukN N N Por outro lado, se escolhermos M >. (3.5). kukN , temos que N kukN N. kukN − M kukN N < 0. N Isso juntamente com (3.5), implicam que J(tu) → −∞ quando t → +∞ o que prova o Lema 3.2.. . Lema 3.3. Suponha que f (x, s) tem o crescimento exponencial cr´ıtico e satisfaz (f1 ) e (f4 ). Então, existem ρ, δ > 0 tais que J(u) > δ se kuk = ρ. Demonstra¸c˜ ao: Temos por (f4 ) que existe δ > 0 e τ > 0 tal que N F (x, s) 6 λ1 − τ, ∀(x, s) ∈ Ω × (0, δ). |s|N ou seja, F (x, s) 6. (λ1 − τ ) N |s| , ∀(x, s) ∈ Ω × (0, δ). N. Pela condi¸caõ (3.1), dado > 0 existe s0 > 0 tal que N0. f (x, s) < eα|s| , ∀(x, s) ∈ Ω × (s0 , ∞) e α > α0 .. 38. (3.6).