Manual de Infostat

(1)

Joel Morales, José Luis Quemé y Mario Melgar.

investigación y capacitación de

la caña de azúcar.

-CENGICAÑA-Santa Lucia Cotz. Agosto 2009.

Primera Edición

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Manual de uso

Contenido

Aspectos generales de InfoStat ... 1

Aspecto de la base de datos: Video. ... 1

¿Cómo importar una base de datos desde Excel? ... 1

¿Cómo pegar una base de datos desde Excel? ... 2

Transformación de datos ... 3

Prueba de hipótesis ... 4

Términos de importancia al realizar una prueba de hipótesis ... 4

Pasos para evaluar una hipótesis estadística. ... 5

Prueba de hipótesis acerca de una media poblacional normal. Video ... 5

Prueba de hipotesis acerca de dos medias (parcelas apareadas). Video ... 8

Prueba de hipótesis acerca de dos medias independientes. Video ... 9

Diseño completamente al azar ... 10

Características generales ... 10

Utilización del diseño ... 10

Supuestos del modelo. ... 10

Diseño de bloques completos al azar ... 14

Hipótesis del modelo ... 14

Supuestos del modelo ... 14

Serie de Experimentos ... 19

Análisis de experimentos factoriales ... 23

Arreglos combinatorios ... 24

Parcelas divididas ... 28

Franjas divididas ... 31

Análisis de correlación lineal simple. ... 34

Regresión Lineal... 36

RL Simple... 36

Supuestos del modelo de regresión ... 37

RL Múltiple ... 41

Bibliografía ... 42

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InfoStat. | Centro guatemalteco de investigación y capacitación de la caña de azúcar.

1

Aspectos generales de InfoStat

Aspecto de la base de datos: Video.

La base de datos es la matriz de información, sobre la que se trabaja. La forma de ingreso de la información es en base a los criterios de organización de datos, donde se colocan en las columnas las variables y en las filas las observaciones, por lo que cada fila es un individuo o unidad experimental y cada celda contiene el dato o el valor que pertenece a cada variable para cada observación.

¿Cómo importar una base de datos desde Excel?

InfoStat posee grandes ventajas respecto a la facilidad en el manejo de datos, es muy versátil en la importación de datos desde Excel (versión 2003 o anterior), esto es importante, pues este último es muy utilizado en la generación de bases de datos tomados en campo.

Es posible importar directamente una base de datos desde Excel y otros formatos. Esto facilita el manejo y presentación de los mismos.

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2

¿Cómo pegar una base de datos desde Excel?

Muchas veces poseemos la base de datos de tal forma, que no coincide la primera fila y la primera columna con información propia de la base , o se poseen objetos distintos como gráficas o logotipos. Considerando esto, es relativamente fácil, el copiar la base de datos que se desea analizar de forma directa a la tabla de InfoStat. Para esto se puede incluir la primera fila como el nombre de las columnas o no. Se debe de presionar el botón derecho del ratón y seleccionar la opción “pegar” o “pegar incluyendo nombre de columnas”.

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3 Transformación de datos

Muchas veces se trabaja con variables cualitativas o datos no paramétricos, los cuales no cumplen con el supuesto de normalidad. Por lo anterior es necesario realizar transformación de estos datos.

InfoStat ofrece una gran cantidad de transformaciones para una variable, y a la vez permite la operación entre variables.

Figura 3: Menú a seleccionar para realizar una transformación

Para realizar la transformación se debe de seleccionar la variable, luego de indicar que se desea realizar una transformación.

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4

Prueba de hipótesis

 Hipótesis Nula (Ho)

Esta es la que el investigador evalúa y está dispuesto a sostener como probable, a menos que la evidencia experimental en su contra sea sustancial.

 Hipótesis alternativa (Ha) Es la negación de la hipótesis nula.

Términos de importancia al realizar una prueba de hipótesis  Error tipo I (α)

Es la probabilidad de rechazar una Ho cuando es falsa.

 Error tipo II (β)

Es la probabilidad de no rechazar una Ho Cundo es falsa.

Cuadro 1: Posibles errores.

Tomada de Anderson, E; Black, W. et al. 1999.  Nivel de significancia

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5 Pasos para evaluar una hipótesis estadística.

1. Definir la hipótesis nula y alternativa adecuada para el caso de evaluación.

Cuadro 2: Casos de hipótesis a evaluar

2. Seleccionar el estadístico de prueba, necesario para evaluar la hipótesis.

Cuadro 3: Estadísticos utilizados en la prueba de hipótesis

Tomado de López, E. 2008.

3. Especificar el nivel de significancia. 4. Establecer la regla de decisión.

5. Establecer los valores del estadístico seleccionado de la prueba y compararlo con el valor critico establecido.

6. Conclusión.

Prueba de hipótesis acerca de una media poblacional normal. Video Ejemplo:

En una región cañera se siembra predominantemente una variedad de caña de azúcar que tiene un TCH promedio de 103.5 toneladas ha-1. Un programa de mejoramiento ha desarrollado una nueva variedad, comúnmente usada, con rendimientos mayores a la variedad predominante. Para probar esta aseveración se siembran nueve lotes experimentales con la nueva variedad y se obtienen los siguientes rendimientos:

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6

Cuadro 4: Rendimiento en toneladas de caña por hectárea, tomado de 9 lotes distintos.

Lote TCH 1 103.15 2 103.92 3 104.26 4 103.36 5 103.72 6 104.19 7 103.42 8 104.38 9 104.5 Prom. 103.88

Identificación del parámetro sobre el cual se desea inferir en base a la muestra:

Media (µ)

Hipótesis a probar:

Ho: µ≤103.5 Ha: µ>103.5

Elección del modelo probabilístico bajo el cual se operará:

La t de Student

Especificación del nivel de significancia.

α = 5% o 0.05

Establecer la regla de decisión:

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Figura 5: Ubicación de la prueba

Se debe de seleccionar la columna a analizar y se debe de indicar el parámetro con el cual se realizará la comparación.

Prueba T para un parámetro

Valor del parámetro probado: 103.5

Variable n Media DE LI(95) T p(Unilateral D)

TCH 9 103.88 0.49 103.57 2.32 0.0246

La regla de desición:

En base a la prueba T, se observa una probabilidad de p = 0.0246. Este valor es menor a la probabilidad permitida (α= 0.05), por lo que se rechaza Ho.

Conclusión:

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8 Prueba de hipotesis acerca de dos medias (parcelas apareadas). Video

Cuadro 5: Rendimientos en toneladas de caña por hectarea, de dos variedades tamados de 6 lotes.

NF CP72-2086 CG97-77 1 160 130 2 112 118 3 184 225 4 186 149 5 104 168 6 152 139 Prom. 150 155

Es importante que se ingresen los datos en dos columnas, una para cada población o conjunto de datos.

En este caso la hipótesis a evaluar es:

Ho: la diferencia entre las medias es igual a cero, que es igual a decir que ambas medias son iguales µ1 = µ2.

Ha: µ1 ≠ µ2.

Prueba T (muestras apareadas)

Obs(1) Obs(2) media(dif) Media(1) Media(2) DE(dif) T Bilateral

CG97-77 CP72-2086 5.17 154.83 149.67 40.23 0.31 0.7658

Conclusión:

En base a las evidencias se puede aseverar que los tonelajes de ambas variedades son semejantes.

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9 Prueba de hipótesis acerca de dos medias independientes. Video

Cuadro 6: Rendimientos en toneladas de caña por hectárea, bajo dos tratamientos de aplicación de fosforo.

Fosforo 0 Fosforo 240 P0 P240 150 165 155 167 149 168 153 167

Es necesario que para ingresar los datos en InfoStat, se debe de crear una columna donde se coloque el nombre o código de la variable, útil para la clasificación, y una columna donde se ingrese el valor de la variable a estudiar.

Prueba T para muestras Independientes

Variab Grupo(1)Grupo(2) media(1) media(2) p(Var.Hom.) T p

TCH {P0} {P240} 151.75 166.75 0.2307-9.91 0.0001

Conclusión:

Al observar la salida del análisis, se puede decir que el rendimiento del tratamiento P240 es mayor que el rendimiento del tratamiento P0.

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Diseño completamente al azar

Es importante que al momento de realizar un análisis de varianza, se tenga bien claro las fuentes de variación consideradas por dicho modelo.

Tomado de López, E. 2008

Como la media general y el error experimental son términos que poseen en común todos los modelos, no es necesario el indicarlos entre las fuentes de variación.

Características generales

 Se usa cuando las unidades experimentales son homogéneas

 Con el se puede probar cualquier número de tratamientos (ya sean niveles de un solo factor o combinaciones de nivel de varios factores)

 Los tratamientos se aplican a las unidades experimentales al azar.

 Cualquier número de repeticiones por tratamiento es posible.

Utilización del diseño

Este diseño se recomienda cuando existe homogeneidad entre unidades experimentales, esto quiere decir que no existe influencia de la ubicación de la unidad experimental sobre el efecto del tratamiento, esto es muy utilizado en ensayos a nivel de laboratorio, cuando se utilizan macetas o medios de cultivos, donde las condiciones son las mismas para todas las unidades experimentales.

Supuestos del modelo.

 Los errores son independientes.

 Los errores están normalmente distribuidos con media cero y varianza constante

 Existe homogeneidad de varianzas entre los tratamientos



El modelo es lineal y de efectos aditivos.

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11

Ejemplo: Video.

Cuadro 7: Rendimiento (TCH), evaluando 3 frecuencias de riego.

Tratamientos Repetición 1 Repetición 2 Repetición 3 Testigo (práctica regional) 123 133 131

Riego cada 21 días 175 167 192

Tomado de Martínez, A. (1998).

En este caso los datos se deben de ingresar en la Tabla de InfoStat, indicando en una columna el tratamiento evaluado y en la columna de la par la variable de respuesta correspondiente a cada tratamiento.

Cuadro 8: Tabla de datos como se debe de ingresar a InfoStat.

Tratamientos TCH Testigo (práctica regional) 123 Riego cada 21 días 175 Riego cada 28 días 199 Riego cada 35 días 179 Testigo (práctica regional) 133 Riego cada 21 días 167 Riego cada 28 días 203 Riego cada 35 días 188 Testigo (práctica regional) 131 Riego cada 21 días 192 Riego cada 28 días 166 Riego cada 35 días 203

En la pestaña estadísticas se encuentra la opción análisis de varianza, al aceptar aparece un cuadro donde se debe de indicar las variables dependientes (TCH) y las variables de clasificación (Tratamientos). Para esto se debe de utilizar los botones de acción .

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12

Figura 8: Selección de las variables.

Al aceptar aparecerá otro recuadro, donde se debe indicar las fuentes de variación del modelo, como ya se mencionó la media general y el error no se indican. Esto se realiza en la pestaña . A un lado se encuentra la pestaña donde se puede indicar la prueba de media que se desea realizar, donde se encuentran varias opciones.

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13 Análisis de la varianza

Variable N R² R² Aj CV TCH 12 0.83 0.77 7.98

Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)

F.V. SC gl CM F p-valor

Modelo 7526.25 3 2508.75 13.37 0.0018

Tratamientos 7526.25 3 2508.75 13.37 0.0018

Error 1500.67 8 187.58

Total 9026.92 11

Test:LSD Fisher Alfa=0.05 DMS=25.78763

Error: 187.5833 gl: 8

Tratamientos Medias n Riego cada 35 días 190.00 3 A Riego cada 28 días 189.33 3 A Riego cada 21 días 178.00 3 A Testigo (práctica regional.. 129.00 3 B

Letras distintas indican diferencias significativas(p<= 0.05)

Riego cada 35 diasRiego cada 28 díasRiego cada 21 diasTestigo (práctica regional)

Tratamientos

125.56 144.50 163.45 182.40 201.35

T

C

H

A

B

A

B

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14

Diseño de bloques completos al azar

Hipótesis del modelo

τ = τi (todos los tratamientos producen el mismo efecto)

τ ≠ τi para al menos un i; i = 1,2, . . . , t (al menos uno de los tratamientos produce efectos distintos).

Supuestos del modelo

εij ~ NID (0,σ2)

Los errores son independientes y normalmente distribuidos, con media cero y varianza constante (homogeneidad de varianzas).

No existe interacción entre bloque y tratamiento (*)

(*) Significa que un tratamiento no debe modificar su acción (o efecto) por estar en uno u otro bloque.

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15

Ejemplo: Video

Cuadro 9: Rendimiento en Toneladas de caña por hectárea, caña plantilla, finca Margaritas.

Bloques Variedad I II III IV CGSP98-08 177 182 182 166 CG00-032 136 158 141 156 CGSP-98-05 166 193 158 186 CGSP-98-16 195 213 176 185 CG00-120 231 213 216 188 CG00-129 175 172 168 155 CG00-001 170 171 179 185 CG00-092 190 206 208 196 CG99-045 164 163 179 175 CG00-028 199 189 226 208 CG00-044 188 181 208 192 CG-99-014 210 203 191 210 PR75-2002 249 217 227 231 CP72-2086 161 165 194 179

Para este análisis la base de datos se debe de ordenar de tal forma que se tenga una columna donde se indique el tratamiento aplicado y a la par en otra columna a que bloque pertenece y en una tercera el valor de la variable medida.

Cuadro 10: Forma de ingresar los datos a la base de datos.

Variedad Bloque TCH

CGSP98-08 I 177

CG00-032 I 136

…

CP72-2086 IV 179

Para realizar el análisis de varianza se debe de ir a la pestaña estadísticas, se despliega un menú, donde se debe seleccionar la opción análisis de varianza.

Se debe de seleccionar en el apartado “variables dependientes” la columna del tonelaje (TCH) y en el apartado “variable de clasificación” la columna que indica el tratamiento aplicado y la columna donde se indica a que bloque pertenece.

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Figura 10: Selección de los términos del modelo.

Para indicar el modelo de bloques completos al azar, se observan las fuentes de variación en el recuadro “términos del modelo”, y debajo de este se observa un botón de acción llamado “agregar interacción” en este caso no se debe de agregar, de esta forma se cumple con uno de los supuestos del modelo.

Figura 11: Especificación del modelo.

Luego de elegir el método de comparación de medias, se debe de seleccionar en base a que agrupación se desea la comparación.

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17

Figura 12: Agrupamiento de las medias para su comparación.

Análisis de la varianza

F.V. SC gl CM F p-valor Modelo 24459.00 16 1528.69 9.40 <0.0001 Bloque 82.07 3 27.36 0.17 0.9172 Variedad 24376.93 13 1875.15 11.53 <0.0001 Error 6340.93 39 162.59 Total 30799.93 55

Error: 162.5879 gl: 39 Variedad Medias n PR75-2002 231.00 4 A CG00-120 212.00 4 B CG00-028 205.50 4 B C CG-99-014 203.50 4 B C CG00-092 200.00 4 B C CG00-044 192.25 4 C D CGSP-98-16 192.25 4 C D CGSP98-08 176.75 4 D E CG00-001 176.25 4 D E CGSP-98-05 175.75 4 D E CP72-2086 174.75 4 D E CG99-045 170.25 4 E CG00-129 167.50 4 E CG00-032 147.75 4 F

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18

En la pestaña donde se selecciona el método de comparación de medias, también existe una opción que devuelve un gráfico de barras con la jerarquía del test seleccionado.

Figura 13: Evaluación de tres distintos ciclos de riego.

P R 7 5 -2 0 0 2 C G 0 0 -1 2 0 C G 0 0 -0 2 8 C G -9 9 -0 1 4 C G 0 0 -0 9 2 C G 0 0 -0 4 4 C G S P -9 8 -1 6 C G S P 9 8 -0 8 C G 0 0 -0 0 1 C G S P -9 8 -0 5 C P 7 2 -2 0 8 6 C G 9 9 -0 4 5 C G 0 0 -1 2 9 C G 0 0 -0 3 2 Variedad 143.27 167.92 192.56 217.21 241.86 T C H A B BC _BC BC CD CD DE DE DE _DE E E F A B BC _BC BC CD CD DE DE DE _DE E E F

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19

Serie de Experimentos

Es común que se realicen experimentos con la misma estructura, pero en distintas localidades. Con esto se desea obtener conclusiones válidas para toda una región, esto suponiendo aleatorización de las localidades.

Para esto es necesario el analizar por separado las localidades y luego realizar un análisis que integre todas las localidades. Estos ensayos se pueden realizar no solo para localidades distribuidas en el espacio, si no también ensayos distribuidos en el tiempo, por ejemplo el realizar un ensayo de herbicidas para verano y otro en invierno con la misma estructura, y concluir para todo el año.

También es importante que se cumpla con el supuesto de homocedasticidad entre ensayos, esto se puede probar por medio de la prueba de Hartley.

Siendo:

Yijk = toneladas de caña por hectárea referentes al i-ésimo producto madurante en el jésimo bloque o repetición de la k-ésima localidad;

μ = media general

τi = efecto del i-ésimo producto madurante

βj / k = efecto del j-ésimo bloque en la k-ésima localidad, lk = efecto de la k-ésima localidad,

(τl)ik = efecto de la interacción entre el i-ésimo producto madurante y la k-ésima localidad, εijk = error experimental asociado a la observación Yijk.

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Ejemplo: Video.

Cuadro 11: Toneladas de caña por hectárea, plantilla, en tres localidades.

Las Margaritas

San Bonifacio

Tululá

Bloque Bloque Bloque

Variedad I II III IV I II III IV I II III IV

CGSP98-08 177 182 182 166 148 152 168 175 111 110 115 103 CG00-032 136 158 141 156 115 124 104 141 95 90 68 125 CGSP-98-05 166 193 158 186 153 140 104 145 99 127 130 132 CGSP-98-16 195 213 176 185 153 117 111 179 125 82 119 107 CG00-120 231 213 216 188 162 164 153 158 107 112 113 110 CG00-129 175 172 168 155 153 127 144 99 105 117 115 119 CG00-001 170 171 179 185 164 158 157 153 81 82 103 122 CG00-092 190 206 208 196 171 133 157 181 50 99 97 92 CG99-045 164 163 179 175 162 117 149 153 96 85 111 93 CG00-028 199 189 226 208 172 103 109 107 131 122 135 100 CG00-044 188 181 208 192 157 150 90 92 137 109 111 94 CG-99-014 210 203 191 210 144 152 156 151 108 99 127 136 PR75-2002 249 217 227 231 169 162 175 190 123 112 128 129 CP72-2086 161 165 194 179 130 123 155 153 83 100 106 112

En este caso, como se puede observar, en el modelo el efecto del bloque se encuentra anidado en la localidad, por lo que se debe de indicar en las fuentes de variación, para esto se utiliza el símbolo “>” para indicar que el efecto del bloque se encuentra dentro de la localidad (Localidad>Bloque) y teniendo en cuenta que el error de la localidad es Localidad>Repetición, como se ha mencionado en ejemplos anteriores.

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F.V. SC gl CM F p-valor (Error) Modelo 227787.23 50 4555.74 17.26 <0.0001 Localidad 177483.08 2 88741.54 200.72 <0.0001 (Loc>Rep) Localidad>Repetición 3979.12 9 442.12 1.68 0.1025 Variedad 25378.43 13 1952.19 7.40 <0.0001 Localidad*Variedad 20946.58 26 805.64 3.05 <0.0001 Error 30873.63 117 263.88 Total 258660.85 167

Error: 442.1250 gl: 9

Localidad Medias n

San Bonifacio 187.54 56 A

Las Margaritas 144.36 56 B

Tululá 108.02 56 C

Error: 263.8771 gl: 117 Variedad Medias n PR75-2002 176.00 12 A CG00-120 160.58 12 B CG-99-014 157.25 12 B C CG00-028 150.08 12 B C D CGSP98-08 149.08 12 B C D CG00-092 148.33 12 B C D CGSP-98-16 146.83 12 C D CGSP-98-05 144.42 12 C D CG00-001 143.75 12 D CG00-044 142.42 12 D CP72-2086 138.42 12 D CG00-129 137.42 12 D CG99-045 137.25 12 D CG00-032 121.08 12 E

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San Bonifacio Las Margaritas Tululá

Localidad 103.93 126.40 148.86 171.33 193.79 T C H A B C A B C P R 7 5 -2 0 0 2 C G 0 0 -1 2 0 C G -9 9 -0 1 4 C G 0 0 -0 2 8 C G S P 9 8 -0 8 C G 0 0 -0 9 2 C G S P -9 8 -1 6 C G S P -9 8 -0 5 C G 0 0 -0 0 1 C G 0 0 -0 4 4 C P 7 2 -2 0 8 6 C G 0 0 -1 2 9 C G 9 9 -0 4 5 C G 0 0 -0 3 2 Variedad 118.10 134.49 150.89 167.28 183.67 T C H A B BC BCD _BCD BCD _CD CD _D D D _D _D E A B BC BCD _BCD BCD _CD CD _D D D _D _D E

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Análisis de experimentos factoriales

Cuando se habla de experimentos factoriales, es cuando evaluamos simultáneamente el efecto de dos o más valores. Dependiendo del arreglo y las interacciones entre los factores se pueden generar diversos diseños adecuados a distintas condiciones en campo.

Ventajas

a. Se logra una gran eficiencia en el uso de los recursos experimentales disponibles. b. Se obtiene información respecto a las diversas interacciones.

c. Los resultados experimentales son aplicables a un rango de condiciones más amplio debido a las combinaciones de los diversos factores en un solo experimento. Los resultados son de naturaleza más comprensiva.

d. Los experimentos factoriales son más eficientes que los experimentos simples.

Inconvenientes

a. El resultado del experimento y el análisis estadístico resultante son más complejos.

b. Con un gran número de combinaciones de tratamientos, la relación de unidades experimentales homogéneas es más difícil.

c. Convencidos de que algunas de las combinaciones de tratamientos pueden ser de muy poco o ningún interés, algunos de los recursos experimentales pueden ser malgastados.

(26)

24 Arreglos combinatorios

El modelo que se describe corresponde a un experimento bifactorial, en arreglo combinatorio dispuesto en un diseño en bloques completos al azar, debido a que es el más usado.

Siendo que:

Yijk = Variable de respuesta observada o medida en la ijk - ésima unidad experimental μ = Media general

αi = Efecto del i - ésimo nivel del factor "A" βj = Efecto del j - ésimo nivel del factor "B"

(αβ)ij = Efecto de la interacción entre el i - ésimo nivel del factor "A" y el j - ésimo nivel del factor "B"

γk = Efecto del k - ésimo bloque

εijk = Error experimental asociado a la ijk - ésima unidad experimental

Ejemplo: Video

Cuadro 12: Rendimiento en toneladas de caña por hectárea, evaluando distintas concentraciones de tres elementos.

Tratamientos Bloque

N (Kg/ha) P (Kg/ha) K (Kg/ha) I II III IV

50 0 0 147.88 160.41 129.54 105.21 150 0 0 129.79 136.2 124.1 111.44 50 100 0 148.61 160.53 135.84 130.03 150 100 0 148.12 163.32 161.08 151.28 50 0 100 126.82 141.77 124.09 127.18 150 0 100 135.96 142.43 135.96 129.6 50 100 100 160.48 160.53 136.02 141.89 150 100 100 178.69 159.99 163.81 148.13 Tomado de Pérez, O. (2002)

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25

Es importante que se cree una columna para indicar los distintos niveles de cada factor y otra columna para indicar la repetición o el bloque como también la variable de respuesta.

Cuadro 13: Ejemplo de cómo se debe de ingresar datos en la tabla de InfoStat.

Nivel N Nivel P Nivel K Bloque

TCH

50 0 0 I 147.88

150 0 0 I 129.79

50 100 0 I 148.61

…

150 100 100 IV 148.13

Figura 15: Variables de clasificación a seleccionar.

Se debe de agregar la interacción de todos los elementos por medio del botón de acción , se agregará todas las combinaciones posibles, y se debe de eliminar las interacciones donde se relacione con el bloque.

También existe la opción de agregar contrastes en el análisis, para esto se debe de indicar el contraste deseado en la pestaña contrastes. Se debe de seleccionar entre que agrupaciones se desean los contrastes y que tratamientos se desean realizar. Para esto se encuentran dos botones, el botón , sirve para indicar que tratamiento se desea contrastar al seleccionar el tratamiento y luego presionar el botón de acción. Y el botón indica contra que tratamientos se realiza el contraste, es importante activar la casilla

cuando se realizan más de un contraste. Por último con el botón se ingresa el contraste deseado.

(28)

26

Figura 16: Fuentes de variación del modelo.

(29)

F.V. SC gl CM F p-valor Modelo 7030.28 10 703.03 8.71 <0.0001 Bloque 2314.84 3 771.61 9.55 0.0004 Nivel N 215.64 1 215.64 2.67 0.1171 Nivel P 3611.86 1 3611.86 44.73 <0.0001 Nivel K 152.99 1 152.99 1.89 0.1832 Nivel N*Nivel P 434.46 1 434.46 5.38 0.0305 Nivel N*Nivel K 146.68 1 146.68 1.82 0.1921 Nivel P*Nivel K 30.99 1 30.99 0.38 0.5423 Nivel N*Nivel P*Nivel K 122.81 1 122.81 1.52 0.2311 Error 1695.89 21 80.76 Total 8726.17 31 Contrastes

Nivel N*Nivel P*Nivel K SC gl CM F p-valor Contraste1 215.64 1 215.64 2.67 0.1171 Contraste2 3611.86 1 3611.86 44.73 <0.0001 Contraste3 152.99 1 152.99 1.89 0.1832 Contraste4 434.46 1 434.46 5.38 0.0305 Contraste5 146.68 1 146.68 1.82 0.1921 Contraste6 30.99 1 30.99 0.38 0.5423 Contraste7 122.81 1 122.81 1.52 0.2311 Total 4715.44 7 673.63 8.34 0.0001

Coeficientes de los contrastes

Nivel N*Nivel P*Nivel K Cont.1 Cont.2 Cont.3 Cont.4 Cont.5 Cont.6 Cont.7

50.00:0.00:0.00 -1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 1.00 -1.00 50.00:0.00:100.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 50.00:100.00:0.00 -1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 50.00:100.00:100.00 -1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 1.00 -1.00 150.00:0.00:0.00 1.00 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 150.00:0.00:100.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 -1.00 150.00:100.00:0.00 1.00 1.00 -1.00 1.00 -1.00 -1.00 -1.00 150.00:100.00:100.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 Conclusión:

El análisis indicó que el efecto principal de P fue estadísticamente significativo. Con la inclusión de ambos (N y P) se obtuvieron las máximas producciones.

No hay diferencia estadística significativa entre 50 y 0 Kg de N/ha evaluando bajo aplicaciones de P y K.

El nivel 150 Kg de N/ha difieren estadísticamente del nivel 0 Kg de N/ha, con aplicaciones iguales de PK.

(30)

28 Parcelas divididas

En este diseño se trabajan con todas las posibles combinaciones de los factores, lo que lo diferencia del anterior es el arreglo, por lo que se puede adecuar de mejor forma a condiciones reales de campo.

Figura 16: Arreglo de parcelas divididas en el espacio.

Tomado de López, E. 2008

Siendo:

Yijk = Variable de respuesta medida en la ijk - ésima unidad experimental μ = Media general

βj = Efecto del j - ésimo bloque

αi = Efecto del i - ésimo nivel del factor A.

(αβ)ij = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A con el j – ésimo bloque, que es utilizado como residuo de parcelas grandes y es representado por error(a)

ρk = Efecto del k - ésimo nivel del factor B

(αρ)ik = Efecto debido a la interacción del i-ésimo nivel del factor A con el k – ésimo nivel del factor B.

εijk = Error experimental asociado a Yijk , es utilizado como residuo a nivel de parcela pequeña, y es definido como: Error(b)

(31)

29

Ejemplo: Video.

Cuadro 14: Efecto de dos distintas mezclas de herbicidas, en 13 variedades, evaluando altura.

Bloque

Mezcla de herbicida Variedad I II III

M1 CP72-2086 16.2 13.8 19 CP73-1312 21.8 22 23 CP88-1165 23.2 31 29.6 RB73-2577 17.8 17 15.6 SP79-1287 31.6 28.2 27 CG98-10 26.2 30.8 26.6 CG96-78 15.6 16.4 20 CG98-78 20.4 17.2 14.8 CG99-048 33.8 30 30 MEX82-114 23 13.8 18.2 RB84-5210 21.2 29.2 28 RB87-2015 23.4 21.6 25 CG96-135 17 18.6 18.6 M2 CP72-2086 24.8 22.4 30.6 CP73-1312 38.8 20 18.8 CP88-1165 21.4 40.8 31.2 RB73-2577 17.8 38.6 19.2 SP79-1287 25.8 20 30.4 CG98-10 19.8 21.8 26 CG96-78 21.8 20.4 34 CG98-78 26.4 24.6 18 CG99-048 17.6 26.4 21.2 MEX82-114 36.6 25.2 15.4 RB84-5210 20.6 20.6 32.4 RB87-2015 21.2 32.4 36.8 CG96-135 20 19.4 21.2

Datos tomados de Ing. Gerardo Espinoza, Fisiólogo. CENGICAÑA. Cuadro 15: Forma de crear la base de datos en InfoStat.

Variedad Mezcla Bloque Altura

CP72-2086 M1 I 16.2

CP73-1312 M1 I 21.8

(32)

30

Para este caso es importante el considerar las fuentes de variación del modelo y el error del efecto A o parcela grande. Para este caso se debe de indicar el error apropiado de dicho efecto (Factor A*Bloque), por medio de el carácter \ (diagonal invertida), para lo cual se utiliza el comando Alt + 93, esto es importante pues en el momento de realizar la comparación de medias se utiliza el error adecuado.

En este caso el factor A o parcela grande es la mezcla de herbicida, y el factor B parcela pequeña la variedad.

Figura 17: Ingreso del modelo de parcelas divididas a InfoStat.

Análisis de la varianza

Variable N R² R² Aj CV Altura 78 0.49 0.18 24.51

F.V. SC gl CM F p-valor (Error) Modelo 1545.05 29 53.28 1.57 0.0830 Mezcla 139.20 1 139.20 26.63 0.0356 (Mezcla*Bloque) Bloque 14.45 2 7.23 0.21 0.8094 Mezcla*Bloque 10.45 2 5.23 0.15 0.8581 Variedad 737.85 12 61.49 1.81 0.0739 Mezcla*Variedad 643.10 12 53.59 1.57 0.1314 Error 1633.63 48 34.03 Total 3178.68 77 Test:Tukey Alfa=0.05 DMS=2.23128 Error: 5.2267 gl: 2 Mezcla Medias n M2 25.14 39 A M1 22.47 39 B

(33)

31 Franjas divididas

Cuando las condiciones del campo o la naturaleza de los tratamientos no permiten una completa aleatorización de todas las combinaciones de los factores, este diseño es recomendable.

Figura 18: Arreglo de un diseño de franjas divididas.

Este es el modelo estadístico- matemático, propuesto para dos factores y un diseño de bloques completos al azar.

Siendo:

Yijk = Variable de respuesta medida en la ijk - ésima unidad experimental μ = Media general

βj = Efecto del j - ésimo bloque

αi = Efecto del i - ésimo nivel del factor A.

(αβ)ij = Efecto de la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A con el j - ésimo bloque, o sea, es el error experimental asociado al factor A, tal que (αβ)ij ~ N (0, σ21) e

independientes, es utilizado como error(a). ρk = Efecto del k - ésimo nivel del factor B

(ρβ)jk = Efecto de la interacción entre el k-ésimo nivel del factor A con el j - ésimo bloque, o sea, es el error experimental asociado al factor B, tal que (ρβ)jk ~ N (0, σ22) e

independientes, es utilizado como error(b).

(αρ)ik = Efecto debido a la interacción del i-ésimo nivel del factor A con el k - ésimo nivel del factor B.

(αβρ)ijk = Error experimental asociado a Yijk, tal que (αβρ)ijk ~ N (0, σ2) e independientes, es utilizado como término de error o residuo.

(34)

32

Ejemplo: Video.

Cuadro 16: Evaluación de cuatro tipos de surco y tres densidades de siembra, midiendo % Pol.

Bloque

Tipo de surco Densidad de

siembra I II III IV Surco Simple 4 TSH 17.67 17.23 17.43 17.61 6 TSH 17.31 17.6 17.05 16.91 8 TSH 17.49 17.3 17.68 18.27 Surco doble 4 TSH 17.19 17.85 17.44 17.56 6 TSH 17.21 17.26 16.71 17.52 8 TSH 18.04 16.38 17.23 17.14 surco base larga 4 TSH 17.39 17.54 16.61 17.51 6 TSH 17.39 17.67 16.77 17.61 8 TSH 17.69 17.02 17.34 18.02 surco base corta 4 TSH 17.19 17.57 17.72 17.73 6 TSH 16.78 17.57 17.79 18.27 8 TSH 17.86 16.85 18.12 17.94

Datos tomados de López, E. 2008.

Para este caso se debe de considerar los errores de cada factor e indicarlos, pues es necesario para que al realizar la comparación de medias se utilice el error adecuado.

(35)

Variable N R² R² Aj CV % Pol 48 0.77 0.39 1.89

F.V. SC gl CM F p-valor (Error)

Modelo 6.47 29 0.22 2.06 0.0563

Tipo de surco 0.68 3 0.23 1.25 0.3473 (Tipo de surco*Bloque)

Densidad de siembra 0.28 2 0.14 0.36 0.7104 (Densidad de siembra*Bloqu..

Bloque 0.99 3 0.33 3.05 0.0554 Tipo de surco*Densidad de .. 0.62 6 0.10 0.95 0.4869 Tipo de surco*Bloque 1.62 9 0.18 1.66 0.1731 Densidad de siembra*Bloque.. 2.29 6 0.38 3.52 0.0175 Error 1.95 18 0.11 Total 8.42 47

Error: 0.1085 gl: 18

Tipo de surco Densidad de siembra Medias n

surco base corta 8 TSH 17.69 4 A

Surco Simple 8 TSH 17.69 4 A B

surco base corta 6 TSH 17.60 4 A B C

surco base corta 4 TSH 17.55 4 A B C

surco base larga 8 TSH 17.52 4 A B C

Surco doble 4 TSH 17.51 4 A B C

Surco Simple 4 TSH 17.49 4 A B C

Surco Simple 6 TSH 17.22 4 A B C

Surco doble 8 TSH 17.20 4 B C

Surco doble 6 TSH 17.18 4 C

Figura 20: Grafica resumen de la comparación de medias.

s u rc o b a s e c o rt a :8 T S H S u rc o S im p le :8 T S H s u rc o b a s e c o rt a :6 T S H s u rc o b a s e c o rt a :4 T S H s u rc o b a s e la rg a :8 T S H S u rc o d o b le :4 T S H S u rc o S im p le :4 T S H s u rc o b a s e la rg a :6 T S H s u rc o b a s e la rg a :4 T S H S u rc o S im p le :6 T S H S u rc o d o b le :8 T S H S u rc o d o b le :6 T S H

Tipo de surco*Densidad de siembra 17.14 17.33 17.52 17.70 17.89 % Po l A AB ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC BC C A AB ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC BC C

(36)

34

Análisis de correlación lineal simple.

En este análisis se relacionan dos variables aleatorias. Para este ejemplo tomaremos como estadístico de prueba el coeficiente de correlación de Pearson, y se realizará una prueba de hipótesis para evaluar si el coeficiente de Pearson (ρ) es igual a cero, lo que indicaría una ausencia de correlación lineal.

Ejemplo: Video.

Cuadro 17: Peso de tallos y rendimiento de caña en Kg.

peso del tallo Kg Rendimiento de caña Kg 1.12 7.74 1.21 8.02 0.99 8.16 1.02 8.46 0.93 6.3 1.14 10.01 0.86 4.79 1.03 7.04 1.22 7.62 1.17 7.54

Se ingresan ambas variables en la casilla de variables a analizar.

(37)

35

Figura 22: Selección del coeficiente de correlación de Pearson.

Recordemos que se trabajará con el coeficiente de correlación de Pearson, por lo que se debe de seleccionar cuando InfoStat lo indique.

Coeficientes de correlación

Correlacion de Pearson: coeficientes\probabilidades

Rendimiento de caña peso del tallo Kg Rendimiento de caña 1.00 0.05 peso del tallo Kg 0.62 1.00

En la matriz podemos observar en la parte inferior de la diagonal conformada por unos, los coeficientes de correlación que nos indica el grado de asociación, donde un número negativo indica una asociación negativa, este valor se encuentra entre -1 y 1 y 0 indica que no existe una correlación lineal entre variables. En la parte superior de la diagonal se muestra el valor de la probabilidad (p) de la prueba de hipótesis realizada, al evaluar que el coeficiente de Pearson es igual a cero, se debe de tener en cuenta el valor de significancia con el que se desea trabajar, pues al trabajar con un nivel de significancia del 5%, se acepta la hipótesis alternativa (existe correlación entre ambas variables) si el valor de p≤ 0.05.

(38)

36

Regresión Lineal

Existen casos cuando se desea conocer la relación funcional que puede existir entre dos o más variables cuantitativas, en estos casos la regresión es muy útil. También un análisis de regresión nos puede servir para predecir o describir el comportamiento de una variable respecto al comportamiento de otra, que por su naturaleza es difícil la observación directa, por lo que con la ayuda de un modelo se puede entender lo anterior relacionando una o más de una variable.

RL Simple

Cuando se relaciona una variable dependiente o explicada con una variable independiente o explicativa realizamos un análisis de regresión simple, con la finalidad de generar un modelo que exprese el comportamiento de la variable dependiente respecto a la independiente.

a) El coeficiente de posición (α) o intercepto, indica la posición en la cual la recta

corta el eje Y. Si la recta pasa por el origen, entonces α =0. En términos prácticos, indica el valor que asume la variable Y cuando la variable es X=0. En algunos casos se requiere que la recta corte en el origen, esto siguiendo la lógica de la variable explicada.

b) El coeficiente de regresión lineal (β) o coeficiente angular de la regresión,

determina la pendiente de la recta. Este coeficiente indica la variación en Y causada por la variación de una unidad en X.

(39)

37

Supuestos del modelo de regresión

1. El término de error ε es una variable aleatoria con media o valor esperado igual a cero, esto es, E(ε). Esto implica que como α y β son constantes, E(α )= α y E(β)=β.

2. La varianza de ε representada por σ2, es igual para todos los valores de x. Homocedasticidad. Implicación: la varianza de y es igual a σ2, y es la misma para todos los valores de x.

3. Los valores de ε son independientes.

Implicación: el valor de ε para un determinado valor de x no se relaciona con el valor de ε para cualquier otro valor de x; así, el valor de y para determinado valor de x no se relaciona con el valor de y para cualquier otro valor de x.

4. El término de error ε es una variable aleatoria con distribución normal.

Implicación: como y es una función lineal de ε, y es también una variable aleatoria distribuida normalmente.

La siguiente figura ilustra los supuestos del modelo y sus implicaciones:

(40)

38

Ejemplo: Video.

Cuadro 18: Datos de tres variables de 10 híbridos de caña de azúcar.

Híbrido peso del tallo Kg Rendimiento de caña Kg Brix Kg 1 1.12 7.74 0.9 2 1.21 8.02 0.87 3 0.99 8.16 0.92 4 1.02 8.46 0.99 5 0.93 6.3 0.58 6 1.14 10.01 1.11 7 0.86 4.79 0.53 8 1.03 7.04 0.73 9 1.22 7.62 0.87 10 1.17 7.54 0.9

Datos tomados del articulo Combining ability and yield component in five parent diallet cross in sugarcane, por el Dr. J. D. Miller.

Se pide que se investigue la relación Rendimiento de caña en Kg (X) y Brix en Kg (Y). Es importante que tengamos en cuenta que al realizar el análisis de varianza, evaluamos la hipótesis de que β (la pendiente de la recta) es igual a cero, por lo que no existe relación entre ambas variables.

(41)

39

Es importante que recordemos al momento de indicar las variables a análisis, que la variable dependiente en este caso es Brix en Kg (Y), y la variable regresora es el rendimiento de caña en Kg (X).

Figura 24: Diagnostico de la regresión lineal simple.

En el cuadro de análisis de regresión lineal, en la pestaña diagnóstico debemos de indicar las graficas que deseamos como prueba de los supuestos y si deseamos se debe de indicar que la presencia de las bandas de confianza y predicción en el gráfico del modelo.

Análisis de regresión lineal

Variable N R² R² Aj ECMP AIC BIC

Brix Kg 10 0.92 0.91 5.0E-03 -26.30 -25.40

Coeficientes de regresión y estadísticos asociados

Coef Est. E.E. LI(95%) LS(95%) T p-valor CpMallows

const -0.10 0.10 -0.33 0.13 -1.03 0.3326

Rendimiento 0.12 0.01 0.09 0.15 9.54 <0.0001 82.02

F.V. SC gl CM F p-valor Modelo 0.26 1 0.26 91.03 <0.0001 Rendimiento de caña 0.26 1 0.26 91.03 <0.0001 Error 0.02 8 2.9E-03 Total 0.29 9

(42)

40

En base al análisis de varianza se acepta la hipótesis alterna, donde se dice que β es distinto a 0, y por lo tanto la variable Y está explicada o relacionada con la variable X.

Utilizando los coeficientes de los parámetros, se puede generar un modelo que prediga el comportamiento de la variable Brix Kg en función de rendimiento de caña en Kg.

Y= -0.103 + 0.125X Donde:

Y= Kg Brix y X= Kg de caña.

Y en base al coeficiente de determinación ajustado, se puede afirmar en un 91% de certeza que el modelo puede predecir la realidad.

4.53

5.96

7.40

8.84

10.27 Rendimiento de caña

0.31

0.56

0.82

1.07

1.33 Bri

x

Kg

(43)

41 RL Múltiple

En este caso se relaciona una variable dependiente (Y), con dos o más variables independientes (X). El modelo que relaciona esta variable dependiente que debe de ser aleatoria y variables independientes que son fijas y predeterminadas, medidas sin error, se llama ecuación de regresión múltiple.

Este modelo se diferencia de la regresión lineal simple, ya que la adición de una o más variables independientes, debe de contribuir significativamente a la predicción de la variable dependiente (Y), después de haber tomado en cuenta la contribución de la variable independiente de la RLS.

También es importante tener en cuenta un supuesto que se agrega a los de la RLS, este considera que dos variables independientes no debes de tener correlación entre ellas, pues al existir esta relación la variable dependiente es mejor explicada únicamente con una sola variable independiente al presentar un modelo más simple, a este supuesto se le llama multicolinalidad.

Para realizar una RLM en InfoStat, se siguen los mismos pasos que para realizar una RLS, únicamente se agrega las variables independientes deseadas en la casilla de “Regresoras”.

Ejemplo: Video.

Con las variables del ejemplo anterior (RLS), realice un análisis de regresión lineal múltiple.

El primer paso es el realizar una matriz de correlación, como ya se ha visto en incisos anteriores.

Coeficientes de correlación

Correlacion de Pearson: coeficientes\probabilidades

Brix Kg % Brix Rendimiento de caña Brix Kg 1.000 0.070 1.2E-05 % Brix 0.595 1.000 0.331 Rendimiento de caña 0.959 0.344 1.000

Como se puede apreciar en la matriz anterior, se observa que existe correlación entre las variables Brix Kg y rendimiento de caña y Brix Kg y % Brix mayor a un 10% de significancia, por lo que son útiles en la elaboración de un modelo de RLM. También se observa que no existe correlación entre las variables de Rendimiento de caña y % Brix, por

(44)

42

lo que se cumple con el supuesto de multicolinalidad y ambas variables contribuyen a la predicción de la variable Brix Kg.

Análisis de regresión lineal

Variable N R² R² Aj ECMP AIC BIC

Brix Kg 10 1.00 1.00 1.5E-04 -70.02 -68.80

Coeficientes de regresión y estadísticos asociados

Coef Est. E.E. LI(95%) LS(95%) T p-valor CpMallows const -0.74 0.03 -0.80 -0.68 -27.50 <0.0001 Rendimiento de caña 0.11 1.5E-03 0.11 0.11 73.50 <0.0001 4729.69 % Brix 0.05 1.8E-03 0.04 0.05 25.88 <0.0001 588.05

F.V. SC gl CM F p-valor

Modelo 0.29 2 0.14 4184.19 <0.0001 Rendimiento de caña 0.18 1 0.18 5402.93 <0.0001 % Brix 0.02 1 0.02 669.63 <0.0001

Error 2.4E-04 7 3.4E-05

Total 0.29 9

El modelo tomando en cuenta los coeficientes anteriores se presentaría de la siguiente manera:

Y= -074 + 0.11X1 + 0.05X2

Donde:

(45)

42

Bibliografía

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Quemé, J. (2002). Sitematización de una prueba de hipótesis, diseños completamente al azar, bloques

(46)

43

Anexos

Cuadro 19: Resumen. Términos a considerar en la definición del modelo, en InfoStat.

Diseño

Términos del modelo.

Diseño completamente

al azar. DCA. Tratamiento

(1)_{Diseño completamente}

al azar con submuestreo

DCAsm. Tratamiento

Repetición*Tratamiento>Muestreo Diseño de bloques

completos al azar. DBCA. Bloque Tratamiento

(1)_{Diseño de bloques completos}

al azar con submuestreo.

DBCAsm. Bloque

Tratamiento

Bloque*Tratameinto>Muestreo Serie de experimentos

con DBCA. Localidad\Localidad>Bloque Localidad>Bloque

Tratamiento

Localidad*Tratamiento Arreglo combinatoria en

DBCA. (Factorial) Bloque Factor A

Factor B

Factor A*Factor B Parcelas divididas Bloque

Factor A\Factor A*Bloque Factor A*Bloque

Factor B

Factor A*Factor B Franjas divididas Bloque

Factor A\Factor A*Bloque Factor A*Bloque

Factor B\Factor B*Bloque Factor B*Bloque

Factor A*Factor B

(1)

Cuando se definen modelos con submuestro es importante que tengamos en cuenta las distintas decisiones que debemos de tomar en el momento de aceptar o rechazar una hipótesis. InfoStat realiza de forma parcial el análisis de este modelo, por lo que se debe de seguir los siguientes pasos:

1. Prueba de hipótesis para evaluar la efectividad del muestreo. Ho: σ2

e = 0

Ha: σ2 e > 0

En este caso si se acepta la Ho, se dice que el muestreo no fue efectivo, en caso contrario, si se rechaza la Ho se dice que el muestreo fue efectivo. Para esto se debe realizar los siguientes cálculos:

(47)

44 Se considerar el cuadrado medio del error experimental (CMee) y el cuadrado medio del error del muestreo

(CMem). Se debe de encontrar el valor F, para esto se realiza la relación CMee/CMem. Para realizar la toma de

decisión de rechazar o aceptar la Ho, se puede estimar, en Excel, el valor p (probabilidad), para esto se utiliza la función DISTR.F donde se ingresa el grado de libertad del Error experimental (gl1), los grados de libertad

del error de muestreo (gl2) y el valor F (CMee/CMem), el cual es nombrado en Excel por la letra “X”.

Si el valor p estimado en Excel, es menor al nivel de significancia establecido, se rechaza la Ho, por lo que se dice que el muestreo fue efectivo.

2. Prueba de hipótesis para evaluar si existe diferencia entre tratameintos, cuando el muestreo es efectivo

La segunda hipótesis a evaluar, corresponde a la diferencia entre los tratamientos, donde: Ho: τ = τi (todos los tratamientos producen el mismo efecto)

Ha: τ ≠ τi para al menos un i; i = 1,2, . . . , t (al menos uno de los tratamientos produce efectos distintos). En este caso, los valores de F y p utilizados en la toma de decisión de aceptar o rechazar la Ho, son los proporcionados por la salida de InfoStat, de igual forma el coeficiente de variación.

2.1. Prueba de medias, cuando el muestreo es efectivo.

Si el muestreo fue efectivo las prueba de medias se realiza de manera común, de igual forma como se presenta en la sección de diseño completamente al azar.

3. Prueba de hipótesis para evaluar si existe diferencia entre tratamietnos, cuando el muestreo no es efectivo.

Al no ser el muestreo efectivo, se debe de unir los errores del error experimental y el error de muestreo de la siguiente forma:

CMep= SCee+ SCem / glee+ glem

Donde:

CMep= Cuadrado medio del error ponderado

SCee= Suma de cuadrados del error experimental

SCem= Suma de cuadrados del error de muestreo

glee= grados de libertad del error experimental

glem= grados de libertad del error de muestreo

Y el valor F (el valor F del tratameinto), se estima así: F= CMTratamiento / CMep

Para encontrar el valor p que se utiliza para realizar la toma de decisión respecto a la segunda hipótesis, relacionada al efecto de los tratamientos, se debe de seguir las instrucciones mencionadas anteriormente en el inciso 1. Y el valor del coeficiente de variación debe de encontrarse de la siguiente forma:

(48)

45

3.1. Prueba de medias, cuando el muestreo no es efectivo

Para esto, se debe de indicar el error y los grados de libertad a utilizar (estimados previamente, de la forma explicada anteriormente en el inciso 3) en la comparación de medias, donde el error es el valor de CMep y los

grados de libertad la suma de glee y glem.