APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA
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• SiSie=f(t)e=f(t) nos da la posición de un móvil respecto al tiempo, entonces nos da la posición de un móvil respecto al tiempo, entonces v=f '(t)v=f '(t) nos da nos da
la velocidad de ese móvil en cada instante. la velocidad de ese móvil en cada instante.
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• SiSi v=g(t)v=g(t) nos da la velocidad de ese móvil en función del tiempo, entonces nos da la velocidad de ese móvil en función del tiempo, entonces a=g'(t)a=g'(t) nos nos
da su aceleración. da su aceleración.
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• En general, siEn general, sif(t)f(t) da la variación de una variable respecto al tiempo, entonces da la variación de una variable respecto al tiempo, entonces f '(t)f '(t) da da
la rapidez con que varía esa variable al transcurrir el tiempo. la rapidez con que varía esa variable al transcurrir el tiempo.
EJERCICIO EJERCICIO
1.
1. ImaImaginginemos quemos que el número de bacte el número de bacterierias de un as de un culcultivtivo varía con el tiemo varía con el tiempo, exppo, expresresado enado en minutos, según la ecuación !"##$"#t%t
minutos, según la ecuación !"##$"#t%t&& p paarra a tt ''##,,((""))
*+ul es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t!- min *+ul es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t!- min /ibu0a la grfica de la función e interpreta el resultado en la grfica
/ibu0a la grfica de la función e interpreta el resultado en la grfica
S23+I4 /E2 5672E89 /E 29S
S23+I4 /E2 5672E89 /E 29S 79+:E6I9S79+:E6I9S ;alla
;allando la ndo la derivderivada de ada de la función <t=, ><t= es la función <t=, ><t= es la velocidad de crecimienla velocidad de crecimiento de to de la población enla población en cualquier instante t.
cualquier instante t.
;allando ><-= podremos responder a la pregunta. ;allando ><-= podremos responder a la pregunta.
!"##$"#t%t !"##$"#t%t&& >!"#%&t >!"#%&t ><-=!"#%&?-!"#%1@!(A ><-=!"#%&?-!"#%1@!(A
Belocidad de crecimiento en el instante t! Belocidad de crecimiento en el instante t! -min ! (A bacterias por -minuto
Cuiere decir que en el instante - min la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto <-, D#1= es tag< =!(A
&. 2a virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de # a "# viene expresada por la función B<t=! @#$1"t%Ft&$t(, donde t es el tiempo<en Goras= transcurrido desde que
comienzo en estudio <t!#=. Indicar los instantes de mxima mínima virulencia en las A primeras Goras los intervalos en que esta crece decrece.
Solución
5ara que la función tenga un mximo o un mínimo la derivada debe ser cero. BH<t=! 1"%1Dt$(t&, igualando a #, (t&%1Dt$1"!#
Simplificando t&%At$"!#, cuas soluciones son " 1.
9Gora vo a ver quien es el mximo quien el mínimo de la función, en el intervalo '#, A), que tiene que estar entre estos dos valores 0unto o en los extremos del intervalo <por el teorema de eirtrars=.
rdenamos la función B por comodidad, B<t=! t(%Ft&$1"t$@#
B<#=!@#
B<"=!1&"%&&"$-"$@# !1" B<1=!1%F$1"$@#! @-B<A=!&1A%(&@$F#$@#!&&
2a mxima virulencia es a las 1 Goras la mínima a las " Goras.
5ara ver los intervalos de crecimiento decrecimiento estudiamos el signo de la derivadaJ B><t=!(t&%1Dt$1"
# 1 " A B> $ # % # $
2uego B crece desde # a 1 desde " a A, <crece en <#, 1= unión <", A= = decrece en el intervalo <1, "=
(. 3n investigador est probando la acción de un frmaco sobre una bacteria. ;a averiguado que el número de bacterias, , varía con el tiempo, en Goras, una vez suministrado el frmaco, según la funciónJ
a= *+untas bacterias Gabía en el momento de suministrar el medicamento *K al cabo de 1# Goras
bacterias Gabía cuando se empieza el tratamiento
bacterias Gabía al cabo de 1# Goras.
b= En ese momento, *El número de bacterias est creciendo o disminuendo
, luego, en el momento inicial, el número de bacterias est creciendo a un ritmo de (A## bacteriasLGora. Sin embargo, a las 1# Goras el número de bacterias est disminuendo a un ritmo de A## bacteriasLGora.
c= *En quM momento la acción del frmaco es mxima
N+uidadoO no nos estn preguntando cundo tiene un mximo la función, es decir, no nos preguntan cundo el número de bacterias es mximo sino cundo el medicamento Gace
que el número de bacterias estM decreciendo con maor rapidez. 5ara ello tenemos que averiguar cundo la función derivada tiene un mínimo.
Este mínimo se encontrar entre los puntos que anulen la derivada de la función derivada, es decir, entre los puntos que anulen la derivada segundaJ
que se anula para Goras en ese momento , es decir, a las D Goras media de administrar el medicamento, el número de bacterias est decreciendo a un ritmo de %-(" bacteriasLGora, que es cuando ms eficaz est siendo.
d= *En quM momento empieza a notarse el efecto del frmaco
Empezar a notarse cuando el número de bacterias empiece a disminuir, es decir, cuando la función pase de creciente a decreciente, en ese momento tendr un mximo.
Estudiamos el signo de en los intervalos
<#,"= <",1&= <1&,$P= $ % $
crece decrece crece
9 partir de las " Goras de iniciarse el tratamiento empezar a notarse el efecto del medicamento adisminuir el número de bacterias.
e= *En quM momento empieza a perder su efecto el mediacmento
9 partir de las 1& Goras de Gaberse iniciado el tratamiento, el número de bacterias empieza otra vez a crecer, por lo que podemos concluir que el frmaco empieza a perder su efecto. f= 6epresenta grficamente este proceso.
Qí0ate que a las D Goras media, que es cuando el decrecimiento era ms rpido, es
cuando la función cambia su comportamientoJ antes de ese momento estaba decreciendo cada vez ms rpido despuMs de ese instante la función sigue decreciendo pero a cada vez ms lento Gasta que de0a de decrecer. Ese punto es un punto de inflexión.
13n cultivo de bacterias crece siguiendo la le donde el tiempo t R # se
mide en Goras el peso del cultivo en gramos.
a) /etermine el peso del cultivo transcurridos A# minutos.
b) *+ul ser el peso del mismo cuando el número de Goras crece indefinidamente
