NUMEROS COMPLEJOS
COMPLEJOS EN FORMA BINOMICA
Ejercicio 1.- Hallas las raíces de los siguientes números complejos: a) √−16
b) √−225 c) √−81 d) √−121
Ejercicio 2.- Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: a) 𝑥!+ 16 = 0 b) 3𝑥!+ 12 = 0 c) 𝑥!+ 25 = 0 d) "!𝑥!− 3𝑥 + 5 = 0 e) 2𝑥!− 𝑥 + 3 = 0 f) 𝑥!− 𝑥 + 5 = 0
Ejercicio 3.- Expresar en forma binómica los siguientes complejos: a) 7 + √−64
b) 2 + √−400 c) 10 − √−121 d) −8 − √−14
Ejercicio 4.- Calcula las siguientes sumas: a) (2 + 3𝑖) + (5 + 6𝑖)
b) (10 + 7𝑖) + (2 − 3𝑖) c) (1 − 2𝑖) + (4 + 𝑖) d) 𝑖 + (2 + 8𝑖)
Ejercicio 5.- Escribe los opuestos y conjugados de los siguientes números complejos y represéntalos gráficamente: a) 5 + 6𝑖 b) 2 − 3𝑖 c) 0 d) 2 − 6𝑖 e) "#+ 𝑖 f) −3𝑖 g) −2 h) −4 −!$
Ejercicio 6.- Realizar las siguientes operaciones: a) 4 + (6 − 2𝑖) − 2 + (−2 + 6𝑖)
b) (2 − 3𝑖) − 2 + (5 + 2𝑖) − (4 − 2𝑖) c) −𝑖 + (−5 + 9𝑖) − (3 − 6𝑖) + 5𝑖 d) "#(3 − 6𝑖) + (4 + 3i) − (5 + 4i)
Ejercicio 7.- Representa los siguientes complejos: a) 3 + 3𝑖 b) 𝑖 c) 1 − 2𝑖 d) −2 − 2𝑖 e) −3 f) −3𝑖 g) −3 + 3𝑖 h) 2
Ejercicio 8.- Dado el numero complejo 𝑧 = 2 − 3𝑖 calcula: a) Su opuesto
b) Su conjugado
c) El conjugado de su conjugado d) El opuesto de su conjugado e) El conjugado de su opuesto
Ejercicio 9.- Resolver las siguientes divisiones: a) #%&$"'!$ b) !'!$(%#$ c) '!%$"'$ d) (%!$$ e) (($)!(+%!$)%,(%$
Ejercicio 10.- Dados los siguientes números complejos: 𝑧" = −3 + 4𝑖 ; 𝑧! = 5 − 2𝑖 ; 𝑧# =3 2 ; 𝑧( = 7𝑖 a) (𝑍"− 𝑍!) ∙ 𝑍# b) 𝑍"∙ 𝑍(+ 𝑍# ∙ 𝑍( c) 𝑍999999999999999999 "+ 𝑍(− 5𝑍! d) 𝑍"+ (𝑍#)'" e) (𝑍!)'" f) 𝑧"!∙ 𝑧# g) -! -" h) -" !-#%-$
Ejercicio 11.- Calcular las siguientes potencias a) 𝑖. b) 𝑖" c) 𝑖! d) 𝑖&!& e) 𝑖(/(. f) 𝑖!.
Ejercicio 12.- Calcular los valores de las siguientes operaciones. a) (4 + 3𝑖)#
b) #%!$#'!$
c) ((%!$)(#'!$)" d) (('#$)(!%#$)&'#$
Ejercicio 13.- Calcular el valor de las siguientes potencias. a) (2 + 𝑖)! b) (3 + 𝑖√2)! c) (−2 + 5𝑖)! d) (1 − 𝑖)# e) (3 − 2𝑖)&
Ejercicio 14.- Calcular las raíces cuadradas de los siguientes números complejos: a) 5 + 12𝑖
b) #%($"
COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Ejercicio 15.- Expresar en forma polar los siguientes complejos: 1. 𝑧" = 1 + √3𝑖
2. 𝑧! = −2 + 2√3𝑖
3. 𝑧# = −5 − 5√3𝑖
4. 𝑧( = 1 − 𝑖
Ejercicio 16.- Escribir en la forma trigonométrica los siguientes números complejos. 1. −1 2. 1 + 𝑖 3. 1 − √3𝑖 4. √3 + 𝑖 5. −𝑖 6. −5 − 12𝑖
Ejercicio 17.- Expresar en forma binómica y con su afijo los siguientes complejos: 1. 𝑧" = 4(& 2. 𝑧! = 10% # 3. 𝑧# = 4% ! 4. 𝑧( = :#!; "!. 5. 𝑧& = √3!". 6. 𝑧+ = 2"",.
Ejercicio 18.- Expresar en forma polar y binómica, el conjugado y el opuesto de cada uno de los siguientes complejos.
1. 𝑧" = 4(&
2. 𝑧! = 5"&.
3. 𝑧# = √2#"&
4. 𝑧( = 7%
#
Ejercicio 19.- Realizar las siguientes operaciones: 1. 5+.∙ 12(& 2. 3/.∙ 2"&∙ 6+. 3. (√2"&.)+ 4. 3% !∙ 12 % & 5. 10(&: 2"&.
Ejercicio 20.- Calcula las potencias de los siguientes números complejos expresando el resultado en forma polar y binómica.
1. =1 + √3𝑖>! 2. :#√#! +#!𝑖;# 3. (1 + 𝑖)(
4. (1 + √3𝑖)+
Ejercicio 21.- Calcula expresando el resultado en forma polar las siguientes potencias de complejos: 1. (1 + 𝑖)+ 2. (1 − 𝑖)( 3. ?:'"! + :√! !; 𝑖;@ 1
Ejercicio 22.- Expresa las siguientes potencias y expresa el resultado en forma polar: 1. [2(cos 45 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 45)](
2. =√2#.> +
Ejercicio 23.- Calcular las siguientes potencias en forma polar: 1. (−2 − 2𝑖)(
2. (−1 + 𝑖)+
3. (1 + 𝑖)1
Ejercicio 24.- Calcula cos 75 𝑦 𝑠𝑒𝑛 75 mediante el producto de 1#. 𝑦 1(&
Ejercicio 25.- Halla las razones trigonométricas de 15 conociendo la de 45 y 30 mediante 1(& 𝑦 1#.
RAICES DE NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Ejercicio 26.- Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números complejos: 1. 5 + 12𝑖
2. #%($"
Ejercicio 27.- Halla las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar: 1. √1'
2. √−1'
3. √32𝑖' 4. √−32𝑖'
Ejercicio 28.- Calcula y expresa en forma polar: J 2 − 2𝑖
1 + √3𝑖
#
Ejercicio 29.- Calcula y expresa en forma polar: 1. K# !'!$1
2. K# '#%#$#%#$
Ejercicio 30.- Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar: 1. K' #!"
2. L√3 + 𝑖' 3. K# "%$"'$ 4. K# '!,$
Ejercicio 31.- Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar: 1. L4(cos 60 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 60)
2. L81(cos 120 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 120)$ 3. L27 (cos 180 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 180)#
Ecuaciones y sistemas con números complejos
Ejercicio 32.- Dados los números complejos 𝑧" = 2 − 𝑖 ; 𝑧! = 3 + 6𝑖 determinar el
numero x que verifica cada una de las siguientes igualdades. 1. 𝑧"+ 𝑥 = 𝑧!
2. (𝑧")!∙ 𝑥 = 1
3. 𝑧"+ 𝑧!+ 𝑥 = 1
4. (𝑧!)!+ 𝑥 = −(𝑧")!
5. 𝑧!∙ 𝑥 = 𝑧"
Ejercicio 33.- Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones: • (2 − 2𝑖)𝑧 = 10 • #%$- = 2 − 𝑖 • #%($- +!-%&$"'!$ = 2 + 2𝑖 • -'-+ !-'!$ "'$ = 3 − 2𝑖
Ejercicio 34.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 2 + 𝑖 𝑦 2 − 𝑖
Ejercicio 35.- Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 6#. 𝑦 6'#.
Ejercicio 36.- Hallar las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones. M𝑧 + 𝑤 = 2 − 3𝑖𝑧 − 𝑤 = −3 + 𝑖
M𝑧 + 3𝑤 = 1 + 2𝑖 𝑖𝑧 + 𝑤 = 2 − 𝑖
Ejercicio 37.- Representa gráficamente los números 𝑧" = −2 − 2𝑖, 𝑧! = 2𝑖 y 𝑧# = −6
Halla su modulo y argumento. Haz lo mismo con sus respectivos conjugados y opuestos.
Ejercicio 38.-Dados 𝑧" = −1 + √3𝑖 𝑦 𝑧! = √3 + 𝑖, represéntalos gráficamente y halla
su modulo y su argumento. Haz lo mismo con sus respectivos conjugados y opuestos.
Ejercicio 39.-Si 𝑧" = 2 + 3𝑖 𝑦 𝑧! = 3 − 𝑖 , halla:
• 𝑧"− 3𝑧!
• 𝑧"𝑧̅!
• -̅-"
!
Ejercicio 40.- Si 𝑧" = −1 + √3𝑖 𝑦 𝑧! = √3 + 𝑖, halla el modulo y el argumento de los
números: • 𝑧"𝑧! • 𝑧"! • --" ! • 𝑧!'"
Ejercicio 41.-Determina que numero real a sitúa el afijo del complejo (2 + 𝑖)(𝑎 − 𝑖) en la bisectriz del primer y tercer cuadrante. ¿Cuáles son su modulo y su argumento?
Ejercicio 42.-Opera y escribe en forma binómica estos complejos:
• (1 + 𝑖)(3 − 2𝑖) • 2𝑖(3 + 4𝑖) • "%$$ • !'#$(%!$ • ! "%$− # "'$ • (%#$" ∙"%$$
Ejercicio 43.-Calcula 𝑎 para que &%"!$3%!$ sea imaginario puro.
Ejercicio 44.-Dados los números complejos 𝑧" = 4#4
( 𝑦 𝑧! = 6(𝑐𝑜𝑠 240° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 240°)
• Escribe los números complejos en sus distintas formas posibles.
• Calcula 𝑧"𝑧! ; --̅"
! ; 𝑧!
'"
Ejercicio 45.- Expresa en las tres formas habituales los complejos:
• (1 + 𝑖)! • "$ • 𝑖,+ 𝑖", • " !(1 + 𝑖)(1 + 𝑖 '()
Ejercicio 46.- Escribe en forma polar 𝑧 = −2(𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 30°)
Ejercicio 47.- Expresa en forma polar todos los complejos z que cumplen:
• (2𝑧 + 3)(𝑖𝑧 + 5) = 0 • 2 + 3𝑖𝑧 = 4𝑖𝑧 + 9 • 3𝑧̅ = 1 + 𝑖 • (1 + 2𝑖)𝑧 = 3 − 5𝑖 • -'!$- = 1 + 𝑖 • 2𝑧 + 𝑖𝑧̅ = 1
Ejercicio 48.- Calcula y representa gráficamente K' √#%$'+(
Ejercicio 49.- Una raíz cubica de z es 𝑧" = 3 + 4𝑖. Explica como podrías hallar las otras
Ejercicio 50.- Calcula y representa gráficamente las raíces cuadradas de −4.
Ejercicio 51.- Halla los complejos z que cumplen que: 𝑧 = √−16$ .
Ejercicio 52.- Resuelve las siguientes ecuaciones dando las soluciones en forma binómica:
• 𝑥!+ 𝑖𝑥 + 1 = 0
• 𝑥!+ 2𝑖𝑥 − 1 = 0
• 𝑥(+ 𝑥!+ 1 = 0
• 𝑥#− 𝑥!− 𝑥 − 2 = 0
Ejercicio 53.- Factoriza completamente en ℝ 𝑦 𝑒𝑛 ℂ los polinomios:
• 𝑃(𝑥) = 𝑥#− 2𝑥!+ 9𝑥 − 18
• 𝑄(𝑥) = 𝑥(+ 𝑥#− 3𝑥!− 4𝑥 − 4
Ejercicio 54.- Determina los números reales 𝑏 𝑦 𝑐 sabiendo que una raíz del polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑧#+ 𝑏𝑧!− 4𝑧 + 𝑐 𝑒𝑠 1 − 𝑖
Ejercicio 55.- Representa los siguientes números complejos y, sin ningún calculo obtén sus argumentos: • 1 + 𝑖 • 5 • 3𝑖 • −1 − 𝑖 • −3 • 4 − 4𝑖 • −2 + 2𝑖 • 1 + √3𝑖 • −5𝑖 • √3 − 𝑖
Ejercicio 56.- Sean los números complejos: • 𝑧" = −2 + 𝑖 • 𝑧! = 1 + 4𝑖 • 𝑧# = −3 − 2𝑖 • 𝑧( = −5𝑖 • 𝑧& = 4 • 𝑧+ = 2 − 3𝑖
Represéntalos junto con sus opuestos y sus conjugados. Halla su modulo y su argumento.
Determina el modulo y el argumento de sus opuestos. Determina el modulo y el argumento de sus conjugados.
Ejercicio 57.- Escribe en la forma binómica los siguientes números complejos:
• 𝑧 = 12 − 3𝑖 − 4(−5 + 8𝑖) • 𝑧 = (3 + 𝑖√5)(3 − 𝑖√5) • 𝑧 = (4 + 3𝑖)! • 𝑧 = (2 + 𝑖)(2 − 𝑖) • 𝑧 = :−√!! − 𝑖√!!; :√!! + 𝑖√!!; • 𝑧 = &%"&$"%!$ • 𝑧 = #'+$#%$ +#'($( • 𝑧 = "'!$#%$ + :"'$# ;! • 𝑧 = :('+$!'#$; :"%#$#%!$;
Ejercicio 58.- Resuelve las siguientes ecuaciones de incógnita z:
• (1 + 𝑖)𝑧 = 3 − 𝑖
• 2𝑧 + 1 − 1 = 𝑖𝑧 + 2
• (2𝑧 + +1 − 𝑖)(𝑧 + 3) = 0
