Tema 1.- MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

Estadística I. 1

Tema 1.- MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

1.1. Modelos de variables aleatorias discretas y continuas.

1.1.1. Discretas

1.1.2. Continuas

1.2. Distribuciones derivadas de la normal.

1.3. Teorema Central del Límite.

Estadística I. 2

1.1.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS.

1.1.1.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

- Binomial (proceso Bernoulli)

- Poisson

PROCESO BERNOULLI (Modelo de variable dicotómica)

Si analizamos de un individuo una determinada característica, medimos su ÉXITO o FRACASO. Ej. En un examen  si un individuo supera la prueba (éxito) o no la supera (fracaso).

 p = probabilidad de éxito

 (1-p) = q = probabilidad de fracaso

E(x) = ∑ xi · pi = p

Var (x) = p · q

Pero si en vez de analizar un solo individuo, miro varios individuos y miro si es éxito o fracaso y luego concluimos con que hay “tantos éxitos” y “tantos fracasos”  generalización  MODELO BINOMIAL!

1. MODELO BINOMIAL (VA discreta finita numerable) X  B (n,p)

X es una variable que sigue un modelo binomial si lo que está contando es el número de éxitos que hemos obtenido en “n” repeticiones independientes de un proceso Bernoulli.

Valor mínimo que puede tomar = 0 Valor máximo que puede tomar = n

Parámetros de la distribución X  B (n,p)

n = nº total de individuos, artículos…que se analizan p = probabilidad de lo que se analiza

Xi Pi

ÉXITO 1 p

FRACASO 0 (1-p) = q ∑ = 1

Estadística I. 3 Función de probabilidad xi n xi

p

p

Xi

n

Xi

X

P





















)

·

·(

1

)

(

No es un cociente, es un número combinatorio

)! ( ! ! xi n xi n Xi n         E(X) = n · p Var (x) = n · p · q Propiedad reproductiva

Si tengo 2 variables aleatorias independientes y cada una de ellas sigue un modelo binomial X1  B (n1, p)

X2  B (n2, p)

Deben tener la misma probabilidad de éxito del suceso! Y = X1 + X2

Y  B (n1+n2, p)

2. MODELO POISSON (VA discreta infinita numerable) X  P (λ)

X es una variable que sigue un modelo de Poisson y está contando el nº de sucesos que ocurren en un intervalo de observación (normalmente de tipo temporal). Ej: llamadas al 091 en media hora.

Valor mínimo que puede tomar = 0

Valor máximo que puede tomar = +  Por lo que probabilidades como P(x



3) no habrá más opción que hacerlo por el complementario  1 – P(X<3)

Parámetros de la distribución

X  P (λ), siendo λ el número medio de sucesos que ocurren en el intervalo fijado. Función de probabilidad 









e

r

r

x

P

r

·

!

)

(

E(x) = λ Var (x) = λ

Estadística I. 4 Propiedad reproductiva

Si tengo 2 variables aleatorias independientes y cada una de ellas sigue el modelo de Poisson: X1  P (λ1)

X2  P (λ2) Y = X1+X2 Y  P (λ1+ λ2)

RELACIÓN MODELO BINOMIAL Y POISSON

Partiendo de una binomial bajo determinadas condiciones su cálculo y probabilidad se puede hacer por Poisson. Estas condiciones son:

- muchas repeticiones n   (Se considera n grande a partir de 30)

- probabilidad muy pequeña p  0 (Se considera p pequeña por debajo de 0,10) E(x) = λ = n · p

1.1.2.- MODELOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

- Uniforme

- Exponencial - Normal

1. MODELO UNIFORME

X es uniforme si toma valores EQUIPROBABLES dentro de un intervalo definido y finito.

Función de densidad

a b

1

a < x < b  Sólo en este intervalo tenemos definida la variable f(x) = 0 resto f(x) a b 1  área de un rectángulo a b

Estadística I. 5 Antes de “a” NO hay probabilidad y después de “b” tampoco.

Será lo mismo P (3 ≤ x ≤ 6) que P (6 ≤ x ≤ 9) porque hay la misma distancia.

2 ) (x b a E  

12

)

(

)

(

2

a

b

x

Var





2. MODELO EXPONENCIAL X  E(λ)

Hace referencia al tiempo que transcurre entre 2 sucesos consecutivos, por lo que siempre tomará valores positivos, porque se trata de tiempo.

Valor mínimo que puede tomar = 0 Valor máximo que puede tomar = +

Función de distribución

)

(

1

)

(

_X

_X

₀

_e

0

_F

_X

₀

P







X



0

)

(

0 X

e

X

X

P









1 ) (x  E 2 1 ) (



 x Var Función de densidad



·

e

x x > 0 f(x) = 0 resto 3. MODELO NORMAL

Es la distribución más frecuente de todas. A medida que aumentamos el tamaño de la muestra, casi todas las distribuciones tienden a comportarse como una distribución normal.

Valor mínimo que puede tomar = - Valor máximo que puede tomar = +



Estadística I. 6 Parámetros de la distribución X ~ N (μ,



2 ) Función de densidad 2 2 2 ) ( 2

·

2

1

)

(

 



 



x

e

x

f

Gráfico de la función de densidad

- +

μ - μ μ - › Valor máximo en μ.

› Función creciente en μ- y decreciente en μ+ . › Simétrica respecto a μ

› La función ni crece ni decrece siempre al mismo ritmo, es decir, existen puntos de inflexión que vienen marcados por la desviación estándar (



).

› Área total de la función = 1.

› La función nunca corta los ejes, es asintótica.

Tabla normal estándar Z ~ N (0,1) μ = 0 2



= 1 -1 0 +1 Función de densidad de la N(0,1) 2 2

·

2

1

)

(

z

e

z

f







Estadística I. 7 Estandarización

Para pasar de un Normal que no es (0,1) a una Normal (0,1)  ESTANDARIZACIÓN





  x

Z ~ N (0,1)

Ej. Para pasar de X ~ N (20,5) a una X ~ N (0,1): 5 20  x Propiedad reproductiva X ~ N (



1,



12) Y = X1 + X2  X ~ N ( 2 2 2 1 , 2 1













) X ~ N (



2,



22) Y = X1 - X2  X ~ N ( 2 2 2 1 , 2 1













)

1.2.- DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL.

1. DISTRIBUCIÓN CHI – CUADRADO

Consideramos una sucesión de “n” variables aleatorias normales estandarizadas e independientes entre sí:

Z

₁

,

Z

₂

,

Z₃,…

,

Z

n. Si se elevan al cuadrado y las sumamos, nos origina una nueva variable (



n2) siendo n el grado de libertad.

2 1 1 2 2 2 2 2 1 2

)

(

)

...

(





 















n i i i i n i i n n

X

Z

Z

Z

Z







Siempre van a ser valores positivos ya que está al cuadrado. Pero es una distribución ASIMÉTRICA!

- VALOR ESPERADO E (



n2) = n - VARIANZA Var (



n2) = 2n

La tabla muestra la probabilidad que hay por encima de ese valor “a”:

Estadística I. 8 2. DISTRIBUCIÓN T – STUDENT

Surge a partir del cociente entre una variable normal estándar y una chi – cuadrado independientes entre sí y siguen la siguiente relación:

n

Z

t

n n ₂





- VALOR ESPERADO E (tn) = 0 - VARIANZA Var (tn) = 2  n n si n > 2

Es una distribución SIMÉTRICA! Y también su tabla recoge la probabilidad acumulada a partir de un valor “a”.

a

Si n es grande (n ≥ 100) los resultados son parecidos a la distribución normal.

3. DISTRIBUCIÓN F – SNEDECOR

Tenemos 2 chi – cuadrados (n igual o diferente) y se dividen sus grados de libertad:

m

n

F

m n m n 2 2 ,

_





Es una distribución ASIMÉTRICA! Y también recoge la probabilidad acumulada a partir de un valor “a”.

Estadística I. 9

a

Ejercicio 1. Si la variable A se distribuye como una χ2 con 10 grados de libertad, calcula que valor de A deja por debajo un 99% de probabilidad.

Mirando las tablas de una χ2 con 10 grados de libertad encontramos que el resultado es igual a 23.2092.

Ejercicio 2. Si la variable B se distribuye como una t-Student con 20 grados de libertad, calcula la probabilidad siguiente: P(A<2,84).

Mirando las tablas de una t con 20 grados de libertad encontramos que el resultado es igual a 0.995

Ejercicio 3. Si la variable C se distribuye como una F-Snedecor con 10 grados de libertad en el numerador y 5 en el denominador, calcular que valor deja por debajo un 99% de probabilidad.

Mirando las tablas de la F (tabla de 99%), encontramos que este valor es 10,05.

1.3.- TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Nos permite aproximarnos a distribuciones normales cuando de partida no lo son. Tenemos una sucesión de variables aleatorias con las siguientes características:

- Independientes.

- Idénticamente distribuidas (todas Poisson, todas uniformes, etc…). - Su E(x) y Var(x) son iguales.

La variable que obtengo de sumar X1, X2, … , Xn es una nueva variable que converge hacia una Normal.

E(∑Xi) = n·



Var(∑Xi) =

n

·



2 ∑Xi  N(

n

·



;

n

·



2)

Estadística I. 10 Corrección de continuidad

Cuando pasamos de una distribución Binomial, Poisson… (variables discretas) con n≥30, a una Normal (variable continua) se tiene que hacer una “corrección de continuidad”, considerando mayor probabilidad y sumando o restando 0,5 al valor que me presenten.

Ejercicio 1. La probabilidad de que una persona que entra en una administración de lotería, juegue a la primitiva es de un 60%. Si en un día entran 110 personas, la probabilidad de que más de 75 jueguen a la primitiva es de aproximadamente…

Ejercicio 2. Observando las cifras de ventas de coches de un concesionario y sabiendo que las ventas son independientes se sabe que las ventas diarias siguen una distribución Uniforme entre 20 y 30 coches diarios. Determina la probabilidad que tiene el concesionario de vender más de 4.920 coches transcurridos 200 días.

Ejercicio 3. En una bodega especializada en vinos, el número de botellas que se rompen diariamente es una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson de parámetro λ = 3. Calcular la probabilidad de que en un año (365 días) el número de botellas rotas esté entre 1000 y 1100.

Estadística I. 11

Tema 2.- ELEMENTOS DE LA TEORÍA DEL MUESTREO

2.1.

Conceptos básicos: muestra aleatoria y estadístico.

2.2.

Distribuciones de algunos estadísticos en el muestreo.

2.3.

Momentos poblacionales y muestrales.

Estadística I. 12

2.1.- CONCEPTOS BÁSICOS: MUESTRA ALEATORIA Y ESTADÍSTICO.

Población: conjunto de todos los individuos que son objeto del estudio. El censo recoge información de toda la población.

Muestra: subconjunto representativo de la población que se utiliza cuando no es viable analizar la población. El tamaño de la muestra dependerá del grado de exactitud que queramos dar a nuestro estudio. Generalmente, a mayor tamaño de la muestra, obtendremos resultados más fiables, pero también nos supondrá mayores costes. La encuesta recoge información de la muestra. Ejemplo: Imaginemos que queremos realizar un estudio sobre la estatura

de los alumnos de la facultad de Económicas. En este caso, la población serían todos los alumnos de la facultad. Una muestra sería escoger al azar una parte de estos alumnos, por ejemplo, una clase de segundo.

Una muestra aleatoria de tamaño “n” es una sucesión de n variables aleatorias (X1, X2, … , Xn) independientes entre sí e idénticamente distribuidas según el comportamiento poblacional:

- Idénticamente distribuidas  E (X1) = E (X2) = E (Xn) y Var (X1) = Var (X2) = Var (Xn) - Independientes

▪ Discretas: P (X1, X2, … , Xn) = P (X1) · P (X2) ·…· P (Xn) ▪ Continuas: f (X1, X2, … , Xn) = f (X1) · f (X2) ·…· f (Xn)

Estadístico: valor numérico calculado a partir de los elementos de la muestra que describe las características muestrales.

Parámetro: valor numérico calculado a partir de todos los elementos de la población que describe las características poblacionales.

Muestreo: proceso seguido para la extracción de una muestra, la cual ha de ser aleatoria. Los estadísticos que se obtienen de una muestra (estimadores estadísticos) nos permitirán arriesgarnos a predecir una serie de resultados para toda la población. De estas predicciones y del riesgo que conllevan se ocupa la Inferencia Estadística.

Estadística I. 13

TIPOS DE MUESTREO

1. Muestreo aleatorio simple (MAS) 2. Muestreo sistemático

3. Muestreo aleatorio estratificado 4. Muestreo por conglomerados

1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (MAS) Puede ser de 2 tipos:

- MAS sin reposición de los elementos: cada elemento extraído de la población se

descarta para la siguiente extracción.

- MAS con reposición de los elementos: las observaciones se realizan con

reemplazamiento, por lo que la población es idéntica en todas las extracciones y por tanto podría ocurrir que el mismo elemento fuese otra vez analizado.

2. MUESTREO SISTEMÁTICO

Es una variante del MAS para la cual necesitamos definir el “coeficiente de elevación”:

n N

CE , siendo “N” el tamaño de la población y “n” el tamaño de la muestra (nº de observaciones).

Ejemplo. Un barrio tiene 1000 viviendas. Tenemos una muestra de 40 observaciones. ¿Cuánto será el CE?

N = 1000 n = 40

CE = 1000/40 = 25

El primer valor que cogeremos de la muestra será aleatorio, pero el resto ya están predeterminados: 1er valor = 18 (elegido al azar)

2ndo valor = 18 + 25 = 43 3r valor = 43 + 25 = 68 Etc.

- Este muestreo se puede aplicar fácilmente si se dispone de un listado de toda la población.

- Presenta el inconveniente de tener que ordenar previamente la población de menor a mayor.

Estadística I. 14 3. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

- Consiste en dividir la población en subpoblaciones de forma que se agrupen los elementos que más se asemejan entre sí. Cada subpoblación recibe el nombre de “estrato” y dentro de cada estrato se lleva a cabo un MAS. La muestra final se obtiene como la combinación de todas las submuestras de todos los estratos. - La medida de la muestra de cada estrato se denomina “afijación”, la cual puede

ser:

▪ Uniforme o simple: en todos los subgrupos se obtiene una muestra de

igual tamaño. Si hay L subgrupos tendremos  n1 = n2 = n3 = … = n / L ▪ Proporcional: muestra proporcional al número de elementos en cada

estrato. Tendremos: n1 / N1 = n2 / N2 = n3 / N3 = … = n / N

▪ Óptima: la diferencia con la anterior es que en este caso conocemos la

desviación estándar, la cual la multiplicamos en el denominador. Tendremos: n1 / S1· N1 = n2 / S2 · N2 = n3 / S3 · N3 = … = n / S · N

Ejemplo. Sabemos que el tamaño de la población es de N = 10.000 individuos y que el tamaño de la muestra debe ser de n = 400 individuos.

- Viviendas tipo A = 2.000 individuos

- Viviendas tipo B = 7.000 individuos

- Viviendas tipo C = 1.000 individuos

- TOTAL = 10.000 individuos = N

Además sabemos que la desviación estándar es S1 = 100, S2 = 50 y S3 = 10.

¿Cómo haremos el reparto de la muestra entre los diferentes subgrupos/estratos?

 Afijación uniforme o simple  n1 = n2 = n3 = n / L = 400 / 3 = 133,3 individuos cada subgrupo  Afijación proporcional  n1 / 2.000 = n2 / 7.000 = n3 / 1.000 = n / N n1 / 2.000 = n2 / 7.000 = n3 / 1.000 = 400 / 10.000 ▪ n1 = 2.000 · 400 / 10.000 = 80 ▪ n2 = 7.000 · 400 / 10.000 = 280 ▪ n3 = 1.000 · 400 / 10.000 = 40 ▪ TOTAL = 80 + 280 + 40 = 400 = n

Estadística I. 15  Afijación óptima  n1 / 2.000 · 100 = n2 / 7.000 · 50 = n3 / 1.000 · 10 = n / N n1 / 2.000 · 100 = n2 / 7.000 · 50 = n3 / 1.000 · 10 = 400 / (2.000 · 100 + 7.000 · 50 + 1.000 · 10) ▪ ₁₄₃ 000 . 560 400 ) 100 000 . 2 ( 1     n ▪ 250 000 . 560 400 ) 50 000 . 7 ( 2     n ▪ 7 000 . 560 400 ) 10 000 . 1 ( 3     n ▪ TOTAL = 143 + 250 + 7 = 400 = n

4. MUESTREO POR CONGLOMERADOS

Cogemos como muestra un conjunto de elementos de la población que se pueden considerar como bastante representativos de la misma. La idea es conseguir que cada conglomerado sea una miniatura de la población. Ejemplo: Si en lugar de seleccionar de forma aleatoria personas para

medir su capacidad adquisitiva o de consumo se seleccionan, por ejemplo, familias, se dice que el muestreo es por conglomerados.

2.4. DISTRIBUCIONES DE ALGUNOS ESTADÍSTICOS EN EL MUESTREO

 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL(x)

Sea X1, X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con media E(X) = μ y varianza Var(X) = σ2. El estimador más razonable de la media poblacional μ es la media muestral que verifica las siguientes propiedades:

1.

E

(x

)

=

x

=



 El valor esperado de la media muestral es la media de la población. Demostración: )) ( ... ) ( ) ( ( 1 ) ... ( 1 ) ( _{1 2 3 n} E X₁ E X₂ E X_n n X X X X E n x E           

Al estar idénticamente distribuidas   







 



 







n n n x E( ) 1 ( ... )

2.

n

x

Var

2

)

(





Estadística I. 16 Demostración: ) ... ( 1 ) ... ( ) ( 2 1 2 2 1 n n X X X Var n n X X X Var x Var         

Al ser independientes  ( ) 1₂ (Var(X₁) Var(X₂) ... Var(X_n)) n

x

Var    

Al estar idénticamente distribuidas 

n

n

n

x

Var

2 2 2

)

(











3.

Desviación estándar (x)=

n



4.

La distribución de

x

depende de la distribución de la población X. Por ejemplo, si X es Normal, la distribución de

x

también lo será. Para muestras grandes, por el Teorema Central del Límite, la distribución de X puede aproximarse por una Normal (si n ≥ 30) sea cual sea la distribución inicial. Por tanto:

Si X  Normal (



,



); entonces

x

 Normal (



,

n



)

Ejemplo 1. Considere una población representada por una variable aleatoria X que viene representada por la siguiente función de densidad: f x x

2 1 )

(  si 0 ≤ x ≤ 2 y 0 para el resto. Si seleccionamos una muestra de tamaño 35, determina la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 1,32.

Ejemplo 2. Sea X una población con distribución N (90, σ = 20).

a) Si se obtiene una muestra de tamaño 16, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral

x

sea mayor o igual que 92?

b) Determinar el tamaño muestral para que la probabilidad de que la media muestral sea menor o igual que 98 sea P (

x

≤ 98) = 0, 99.

Ejemplo 3. Dada una distribución uniforme X  U (10, 20) calcula E (2

x

- 5) y Var (5

x

- 4), sabiendo que el tamaño muestral es 100.

Ejemplo 4. Tenemos una población definida por la siguiente ley de probabilidad:

x 1 2 3

P(x) 0,2 0,3 0,5

Estadística I. 17

Ejemplo 5. Dada la siguiente función de probabilidad, calcula E(x), Var (x), CV(x) y ) 7 10 ( x E . X 0 1 2 P(x) 0,2 0,6 0,2

Ejemplo 6. De una población binomial de parámetros 3 y 0,5 extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño 2. Nos piden determinar

),

(

),

(

).

10

(

),

(

),

(

x

E

x

E

x

Var

x

Var

x

E

 DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

Sea X1, X2,…,Xn una muestra de una variable aleatoria X con media E(X) = μ y varianza Var(X) = σ2. El estimador más razonable de la varianza poblacional σ2 es la varianza muestral (S2) que verifica las siguientes propiedades:

1.

2 2

) (S 



E _{ El valor esperado de la varianza muestral es la varianza de la} población.

2.

1 ) ( 2 2   



n x Xi S _{y por tanto:}



(

Xi



x

)

2



S

2



(

n



1

)

3.

Y si hacemos: ₂ 2 2 2 ) 1 ( ) (





   



Xi x S n

ésta se distribuye como una

chicuadrado



n21

4.

Si X  Normal (



, ); entonces ₂ 2

)

1

(







n

S





n21

Ejemplo 7. Cuando un proceso de producción está funcionando correctamente, la resistencia de los componentes sigue una distribución Normal con desviación estándar de 3,6. Se toma una muestra aleatoria de 4 componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 30?

 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL CUANDO σ DESCONOCIDA

- Si



conocida (lo hemos visto anteriormente) X  Normal (



, )

Estadística I. 18 Cogemos una muestra de tamaño n

x

 Normal (



,

)

n



n

x

Z

_x



_





 Normal (0,1) - Si



desconocida

Vamos a necesitar dos expresiones que ya conocemos:

n

x

Z

_x



_





y ₂ 2

)

1

(







n

S





n21 (chicuadrado con n-1 grados de libertad)

Además la fórmula de la t-Student:

n

Z

t

n n ₂





Substituimos y obtenemos:

n

S

x

S

n

x

S

n

x

n

n

S

n

x

t

n











































2 2 2 2

1

)

1

(

Y por último tenemos que:

n S x



 tn1 Ahora no se aproxima a una chicuadrado, sino a una t-Student!!!!

Ejemplo 8. En cierta ciudad la cantidad mensual de gasolina utilizada por cada vehículo sigue una Normal con media de 160 litros. Si se toma una muestra de tamaño 9 y se obtiene una varianza muestral de 81 litros2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 155,224 y 164,776 litros?

Ejemplo 9. Los salarios diarios pagados al personal se distribuyen Normalmente con media de 8350 u.m y desviación típica de 750 u.m. Cual debe ser el tamaño de la muestra para que la probabilidad de que la media muestral difiera en valor absoluto de la media poblacional en menos de 250 u.m sea de 0,9.

Estadística I. 19

 DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES

- Si varianzas poblacionales conocidas ( 2 x



y



y2) Tenemos:

X  Normal (



x,



x) Y  Normal (



y,



y)

Hemos seleccionado dos muestras:

n

x

x

y ny

y

; y sabemos que:

x

 Normal (



x,

)

x

n



y Normal (



_y,

)

y

n



¿Cuál será la diferencia de medias muestrales?

x

-

y

 Normal, ¿de qué parámetros? Procedemos a buscarlos…

E(

x

- y) = E(

x

) – E(y) =



x-



y

Var(

x

- y) = Var(

x

) + Var(y) (porque son independientes)

Siendo x x

n

x

Var

2

)

(





y y y

n

y

Var

2

)

(





queda:

x

-

y

 Normal















y y x x y

n

n

2 2 x

;









Si ahora quisiéramos estandarizar:



y x

Z

y y x x y x

n

n

y

x

2 2

)

(

)

(

















 Normal (0,1)

Estadística I. 20 Arreglando el denominador queda:

y x y x y y x x

n

n

n

n

n

n

1

1

)

1

1

(

2 2 2























_{(En este caso }

es conocida!!) Finalmente queda:



y x

Z

y x y x

n

n

y

x

1

1

)

(

)

(

















 Normal (0,1)

Ejemplo 10. El precio en euros de los paquetes de tabaco de cierta marca se distribuyen según una Normal con media 2,65 euros y desviación típica 0,6 euros; mientras que el precio de otra marca distinta sigue una distribución Normal con media 2,15 euros y desviación típica de 0,8 euros. Si una persona compra 25 paquetes de la primera marca y 24 de la segunda marca, determine la probabilidad de que el precio medio de la primera muestra sea superior al precio medio de la segunda como mínimo en 0,6 euros.

- Si varianza poblacional desconocida

Suponemos que



x2= 2 y



Tenemos: X  Normal (



x,



x) Y  Normal (



y,



y)

Hemos seleccionado dos muestras,

n

x y ny, y habrá que calcular no sólo

x

y

y

, sino también



x2y

2 y



.

A partir de ponderar las varianzas muestrales:

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2 2 2 2 2



































y x y y x x y x y y x x p

n

n

S

n

S

n

n

n

S

n

S

n



2

)

1

(

)

1

(

2 2

















y x y y x x p

n

n

S

n

S

n



Estadística I. 21 Si ahora quisiéramos estandarizar, debemos substituir



p en el denominador de la expresión para el caso en el que sí conocemos  , y quedaría:



y x

Z

y x p y x

n

n

y

x

1

1

)

(

)

(



















t

n_xn_y2

IMPORTANTE!!! En el caso en que sí conocemos



, la

Z

_xyse distribuye como una Normal (0,1), pero en el caso en que no conocemos



, la

Z

_xyse distribuye

como una

t

nxny2.

Ejemplo 11. El gasto diario en euros en llamadas de teléfono de dos sucursales de una empresa sigue una distribución Normal de esperanza matemática de 8 para la primera y una distribución Normal de esperanza matemática de 7 para la segunda sucursal. Se seleccionan 6 días en la primera sucursal obteniendo una varianza de 4 euros2 y de 4 días en la segunda sucursal obteniendo una varianza también de 4 euros2. ¿Cuál es la probabilidad de que de la primera sucursal, el gasto medio supere al gasto medio de la segunda en más de 3,40125 euros. (Consideramos que las varianzas poblacionales son iguales).

 DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES

(

₂

)

2 y x

S

S

Varianza muestral = S2 Varianza poblacional =



2

Consideramos 2 variables que se distribuyen por una Normal:

X  Normal (



x,



x)

n

x

1

)

(

2 2









x x

n

x

Xi

S

₂ 2

)

1

(

x x x

n

S











n2x1 Y  Normal (



y,



y) ny

1

)

(

2 2









y y

n

y

Yi

S

₂ 2

)

1

(

y y y

n

S







 2 1  y n



Estadística I. 22 Teniendo en cuenta la expresión de F-Snedecor a partir de dos chicuadrados, obtenemos:

1

1

2 1 2 1 2 2 ,









  y n x n m n m n

n

n

m

n

F

y x









Si substituimos:















1

)

1

(

1

)

1

(

2 2 2 2 y y y y x x x x

n

n

S

n

n

S





2 2 2 2 x y y x

S

S









F

nx1,ny1

Ejemplo 12. El precio en euros de los paquetes de tabaco de cierta marca se distribuyen según una Normal con media 2,65 euros y desviación típica 0,6 euros; mientras que el precio de otra marca distinta sigue una distribución Normal con media 2,15 euros y desviación típica de 0,8 euros. Si una persona compra 25 paquetes de la primera marca y 24 de la segunda marca, determine la probabilidad de que la varianza muestral de la primera marca sea menor que el doble de la varianza muestral de la segunda marca.

 DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

( p

ˆ

)

Se desea estimar la proporción pˆ de individuos de una población que tiene una determinada característica. Para ello se toma una muestra de elementos de la población, anotando un 1 si dicho elemento tiene la característica, y 0 en otro caso, es decir, se tiene una muestra X1,…, Xn de una Binomial (1, p).

Sabemos que en una binomial: E (x) = n · p

Estadística I. 23 Un estimador razonable de pˆ es la proporción de elementos de la muestra que tiene dicha característica, es decir:

n X pˆ 

Siendo X el número de individuos de la muestra que poseen la característica que nos interesa analizar.

Se verifican las siguientes propiedades:

E( p = E (ˆ) n X ) =  n 1 E (x) = n p n

= p siendo p = proporción poblacional.

Var( p = Var (ˆ)

n

X

) =

(

1

)

2



n

Var (x) = 2

n

q

p

n





n q p 

La distribución de

pˆ

depende de la distribución de la población X, pero cuando n es

grande

(n≥30) entonces: pˆ Normal ( p,

n

p

p



(

1



)

) Si queremos estandarizar: n p p p p Z_p ) 1 ( ˆ ˆ      Normal (0,1)

Ejemplo 13. Una fábrica de bicicletas produce únicamente bicicletas de color azul y rojo, vendiendo la misma cantidad de cada color. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 200 últimas bicicletas vendidas, más del 40% sean rojas?

Ejemplo 14. En el proceso de producción de una empresa, el 1% de los productos sale defectuoso. Para corroborarlo se obtiene una muestra de tamaño n = 25 y se estima la proporción de productos defectuosos. Estimar la probabilidad de que la proporción estimada sea mayor que el 2%.

Estadística I. 24

 DISTRIBUCIÓN

DE

LA

DIFERENCIA

DE

PROPORCIONES

MUESTRALES

(

p

ˆ

x



p

ˆ

y

)

De la población X se extrae una muestra

n

x y de la población Y se extrae una muestra ny, siendo

n

x y nyindependientes entre sí.

Se obtienen las proporciones muestrales asociadas:

x x n X pˆ  y y y n X pˆ 

Se necesitaran tamaños muestrales grandes para aproximarlo a una Normal.

x

pˆ

 Normal ( px, x x x

n

p

p



(

1



)

) y pˆ  Normal ( py, y y y

n

p

p



(

1



)

)

Además tenemos que:

E

(

p

ˆ

_x



p

ˆ

_y

)

= E (

pˆx) – E (

pˆ

y) =

p

x -

p

y

Var

(

p

ˆ

_x



p

ˆ

_y

)

= Var (

pˆx) + Var (pˆy) =

x x x

n

p

p



(

1



)

+ y y y

n

p

p



(

1



)

Por tanto, tenemos:

y x

p

p

ˆ



ˆ

 Normal



p

x-py ;



















y y y x x x

n

p

p

n

p

p

(

1

)

(

1

)

Si estandarizamos:



 _y x p p

Z

_{ˆ ˆ} y y y x x x y x y x

n

p

p

n

p

p

p

p

p

p

)

1

(

)

1

(

)

(

)

ˆ

ˆ

(

















Ejemplo 15. Una empresa conoce que los clientes morosos que compran el producto A son el 15% y los clientes morosos que compran el producto B son el 10%. Del producto A se obtiene una muestra aleatoria de 100 clientes y para el B de 64 clientes, con la finalidad de establecer las respectivas proporciones muestrales de clientes morosos. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de proporciones muestrales de clientes morosos entre ambos productos no supere el 5%?

Estadística I. 25

Ejercicios resumen

Ejemplo 16. El volumen de gastos en innovación tecnológica de las empresas del sector alimentario tiene asociada una Normal con volumen medio de 77.000 millones de euros. Si se dispone una muestra aleatoria relativa de 27 empresas del sector que poseen un volumen medio de gastos en innovación de 74.000 millones de euros con deviación estándar muestral de 5.100 millones de euros, determina la probabilidad de que el gasto medio muestral esté comprendido entre 75 y 78 (miles de millones de euros).

Ejemplo 17. De un estudio sobre la edad de los trabajadores de una empresa se ha observado que los varones tienen desviación de 9 años y las mujeres de 7 años. Si se analizan 2 muestras: una de 38 trabajadores, con media de 38 años y la otra de 34 trabajadoras, con una media de 34 años, calcula la probabilidad de que las diferencias de edad media a nivel muestral según el sexo del trabajador no supere los 3 años.

Ejemplo 18. De la muestra de 38 trabajadores se obtiene una desviación estándar de 8 años, mientras que de la muestra de 34 trabajadores la desviación estándar es de 5 años. Valora si la probabilidad de que la diferencia muestral de edades medias sea inferior a 3 años se mantiene como antes en casi el 30%. Tienen la misma varianza pero con valor desconocido.

Ejemplo 19. Dada 2 poblaciones Normales con varianza 4,5 y 7 respectivamente, calcula la probabilidad de que si se dispone de una muestra de cada población con nx= 10 y ny= 12, el cociente

de sus varianzas muestrales sea inferior a la unidad.

2.5. MOMENTOS POBLACIONALES Y MUESTRALES

Los momentos son los valores que caracterizan una distribución, y por tanto, son muy útiles para comparar distribuciones, ya que cuantos más momentos potenciales iguales presenten dos distribuciones, más parecidas serán. La expresión general de cálculo respecto a un origen arbitrario Ot del momento de orden r es:

Mr = ∑ Ni ni Ot Xi )r  (

Los hay de dos tipos:

- Respecto al origen - Respecto a la media

Estadística I. 26  Momentos respecto al origen (Ot=0)

El momento respecto al origen de orden r es: ar =

N

ni

xi

r





▪

a

0 = 1 ▪

a

₁ =

x

 Momentos respecto a la media

El momento respecto a la media de orden r es: Mr =

N

ni

x

xi



r





(

)

▪ M0 = 1 ▪

M

1= 0 ▪

M

2 =

A

2 – 2 1 A = S2 = N ni xi 



2 - (x)2

Cuando nos referimos a la población los llamamos MOMENTOS POBLACIONALES y cuando nos referimos a la muestra hablamos de MOMENTOS MUESTRALES.

Estadística I. 27

Tema 3.- ESTIMACIÓN PUNTUAL

3.1 Introducción al proceso de estimación.

3.2 Propiedades de los estimadores puntuales.

3.3 Métodos de estimación puntual.

Estadística I. 28

3.1 INTRODUCCIÓN AL PROCESO DE ESTIMACIÓN

El proceso de estimación se ocupa de obtener valores aproximados de parámetros poblacionales.

- Estimación puntual: se asigna al parámetro un valor en concreto.

- Estimación por intervalo: se encuentra un intervalo en el que está incluido el parámetro con una determinada confianza.

ESTIMACIÓN PUNTUAL

Su objetivo consiste en encontrar un valor que sea el mejor pronóstico acerca del valor real del parámetro que nos interesa, utilizando la información a priori si está disponible y la proporcionada por la muestra.

Tenemos un parámetro desconocido (



)que hace referencia a la población y que tendremos que estimar. Lo que haremos es establecer un estimador (



ˆ)a partir de la muestra que será una función de los estimadores muestrales.

3.2 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES

1.- INSESGADEZ

 E(



ˆ)



 Estimador insesgado

 E(



ˆ)



 Estimador sesgado



Sesgo(



ˆ) E(



ˆ)



o

Estimador insesgado  Sesgo(



ˆ)







0

o

Estimador sesgado:



Sesgo +  E(



ˆ)



 Se SOBREVALORA el verdadero valor del parámetro poblacional.



Sesgo – 

E

(



ˆ

)





 Se INFRAVALORA el verdadero valor del parámetro poblacional.

Estadística I. 29 Si cuatro estimadores tuviesen la misma esperanza matemática pero distinta varianza y tuviésemos que escoger uno, escogeríamos el que tenga MENOR VARIANZA, porque supone tener MENOR DISPERSIÓN.

Ejemplo 1. En la distribución de una variable aleatoria X se sabe que se distribuye como una Binomial de parámetros m y p. En muestras de tamaño n se estima p mediante 2 estimadores distintos:



m

x

p

ˆ

1





1

ˆ

₂





m

x

p

¿Cuál de los 2 estimadores es insesgado? En el que sea sesgado indique el signo.

p

m

p

m

m

x

E

m

m

x

E

p

E

_

























1

(

)



)

ˆ

(

₁  Insesgado

1

1

)

(

1

1

1

)

ˆ

(

₂

































m

p

m

m

x

E

m

m

x

E

p

E



 Sesgado p m p m p p E p Sesgo       ) 1 ( ) ˆ ( ) ˆ ( _{2 2} Recordemos que:





ˆ

)



(

E

Sesgo negativo.

Y en nuestro caso (probemos, por ejemplo, con m=2 y p=0,5).

p

p

E

(

ˆ

₂

)



Conclusión: Sesgo negativo.

2.- ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM)





ˆ (ˆ) (ˆ) ) ( ) ˆ (



E e2 E





2 Var



sesgo2



ECM      e2= error de la estimación

Estadística I. 30 Ejemplo 2. n = 3  (X1, X2, X3) X  ¿? (,225) Posibles estimadores de



: ) 2 ( 5 1 ˆ ) 2 ( 4 1 ˆ 3 2 1 2 3 2 1 1 X X X X X X        





Obtener los ECM de los dos estimadores.

1. -

) ˆ ( ) ˆ ( 2 ₁ 1





Sesgo Var ECM         ( ( )4 ( ) ( )) 16 1 )) 2 ( 4 1 ( ) ˆ

( 1 Var X1 X2 X3 Var X1 Var X2 Var X3 Var







8

75

8

25

3

8

3

16

6

4

16

1



2



2



2



2



2























     



















4 4 ) 2 ( 4 1 )) ( ) ( 2 ) ( ( 4 1 ) ˆ ( ₁ E X₁ E X₂ E X₃ E INSESGADO 

Sesgo

(



ˆ

₁

)



(

E

(



ˆ

₁

)















0

 8 75 0 8 75 ) ˆ (



₁   2  ECM

2. -

) ˆ ( ) ˆ (



₂ Sesgo2



₂ Var ECM   













(

(

)



4

(

)



(

))



25

1

))

2

(

5

1

(

)

ˆ

(

₂

Var

X

₁

X

₂

X

₃

Var

X

₁

Var

X

₂

Var

X

₃

Var







6

25

25

6

25

6

4

25

1

))

(

)

(

4

)

(

(

25

1

2 2 2 2 3 2 1

























Var

X

Var

X

Var

X









 5 4 ) 2 ( 5 1 )) ( ) ( 2 ) ( ( 5 1 ) ˆ (



₂   E X₁  E X₂ E X₃  















E SESGADO  5 1 5 5 5 4 5 4 ) ˆ ( ( ) ˆ ( 2 2

















 E       Sesgo 

25

1

6

)

5

1

(

6

)

ˆ

(

2 2 2

















ECM

Estadística I. 31

3.- EFICIENCIA RELATIVA (λ)

Se comparan los ECM de 2 estimadores (

ˆ

_{y }

~

_{) del mismo parámetro poblacional (}

_

_).

)

~

(

)

ˆ

(







ECM

ECM



 < 1  Se escoge el NUMERADOR, por tener ECM MENOR

 > 1  Se escoge el DENOMINADOR, por tener ECM MENOR

4.- EFICIENCIA ABSOLUTA



ˆ

_{será un estimador eficiente en términos absolutos del parámetro}

_

_{si cumple que:}

1.



ˆ

es un estimador insesgado de





E

(



ˆ

)





2.

Cualquier otro estimador insesgado de



(

ˆ

*) nunca tendrá una varianza inferior al anterior (

ˆ

_{)  Var(}

ˆ

_{*) ≥ Var(}

ˆ

₎

Nota: “Estimador lineal insesgado óptimo” = este estimador es una función lineal de las observaciones muestrales. El hecho de que sea insesgado nos dice que el sesgo es 0, y que sea óptimo nos dice que es un estimador con varianza mínima.

3.2.1 PROPIEDADES ASINTÓTICAS PARA n GRANDE

1.- INSESGADEZ ASINTÓTICA







 

(

ˆ

)

lim

_n

E

 Un estimador es insesgado asintóticamente si a medida que

n





, el valor esperado del estimador se acerca cada vez más al verdadero valor del parámetro poblacional, llegando a ser igual en el límite.

2.- CONSISTENCIA

 Un estimador es CONSISTENTE en MEDIA CUADRÁTICA si el error de su ECM disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra, llegando en el límite a ser 0:

0 ) ˆ (

limnECM



 .

 Un estimador es CONSISTENTE si a medida que

n





su distribución se concentra alrededor del parámetro poblacional.

Estadística I. 32

 Un estimador es CONSISTENTE en PROBABILIDAD si a medida que aumenta n, la probabilidad de que el estimador se aproxime al parámetro poblacional es cada vez mayor, llegando en el límite a ser 1.

Ejemplo 3. Disponemos de la siguiente función de densidad de una distribución Uniforme:



1 ) (x 

f

para 0 ≤ X ≤



y 0 para el resto. Se toma una muestra de tamaño 5 y se definen los siguientes estimadores de fita (



): ▪



ˆ



2

x

▪ 1 5

~

X

X







Busca el sesgo, ECM y la eficiencia relativa de ambos.

Ejemplo 4. Considere la siguiente población:

Xi 1 4 P(x) p 1- p Tenemos que:

3

4

ˆ

x

p





Sabiendo que pˆes un estimador insesgado diga si pˆes consistente y obtenga la estimación del parámetro p para n=3 y

x

=3.

3.3 MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL

3.3.1

MÉTODO DE LOS MOMENTOS

Consiste en igualar los momentos de la población con los momentos de la muestra, para estimar un parámetro desconocido.

Considere una población representada por una variable aleatoria X cuya distribución de probabilidad está definida sobre k parámetros desconocidos.

Denotamos por



r al momento ordinario de la distribución poblacional que vendrá definido por



_r E(xr).

Estadística I. 33 Sea una muestra aleatoria de tamaño n (X1, X2, … , Xn) que se obtiene sobre la población. El momento ordinario muestral es: r







X

r

n

a

1

.

Para construir los estimadores de los k parámetros se propone exigir la igualdad entre los momentos ordinarios poblacionales y muestrales. Por tanto se extiende la igualdad a los k primeros momentos de la siguiente forma:

) ,..., , ( _{1 2} 1 1 k a 









) ,..., , ( 1 2 2 2 k a 









… Sistema de r equaciones ) ,..., , ( 1 2 k r r a 









RESUMEN

1 parámetro desconocido ▪



₁



E

(

x

)

▪



₁ a₁ x 2 parámetros desconocidos ▪



₁



E

(

x

)

▪



1 a1 x ▪



₂ E(x2) ▪

n

Xi

a







2 2 2



¡¡¡IMPORTANTE!!! Los estimadores que obtengamos por este proceso son CONSISTENTES pero NO puedo afirmar que sean insesgados, tendré que comprobarlo.

PROCESO PARA ESTIMAR UN PARÁMETRO POR EL MÉTODO DE LOS MOMENTOS Sabiendo que:

▪



1



E

(

x

)

▪



1



a

1



x

Estadística I. 34 1º.- Calculamos E(x)

2º.- Igualamos E(x) x y ponemos el “sombrerito” en el parámetro desconocido. 3º.- Aislamos el parámetro con el “sombrerito”.

4º.- Hacemos la estimación.

Ejemplo 5. Sea la siguiente función de densidad: f(x)CXc1 si 0 < X < 1, y 0 para el resto, siendo C > 0. Estima el parámetro (Cˆ) por el método de los momentos. Haz la estimación para una muestra de tamaño 4 de los siguientes valores: 0, 2, 3 y 5.

Ejemplo 6. Sea la siguiente función de densidad: ( ) 2( ₂ )





x

x

f   si 0 ≤ X ≤



, y 0 para el resto. Calcula el estimador por el método de los momentos y di si cumple la propiedad de insesgadez y la de consistencia.

Ejemplo 7. Sea la siguiente función de densidad: ₃

2

3

)

(



x

x

f



si 0 ≤ X ≤



, y 0 para el resto. Calcula el estimador por el método de los momentos.

3.3.2

MÉTODO DE LA MÁXIMA – VEROSIMILITUD

Se basa en la idea de que poblaciones diferentes generan muestras diferentes y es más probable que una muestra proceda de algunas poblaciones en vez de otras, o dicho de otra manera, ES MÁS VEROSÍMIL.

Los estimadores que obtengamos por este proceso son CONSISTENTES y ASIMPTÓTICAMENTE EFICIENTES (a medida que aumenta el tamaño muestral, la varianza del estimador tiende al valor mínimo).

Los estimadores M.V son los valores que maximizan la función de verosimilitud y son los valores de los parámetros desconocidos que generarían con MAYOR FRECUENCIA la muestra observada.

PROCESO PARA ESTIMAR UN PARÁMETRO POR EL MÉTODO DE LA M.V 1º.- Buscar la función de verosimilitud (l)  l (



; X1, … , Xn)

Estadística I. 35 2º.- Determinar la función logarítmica (L)

3º.- Hacer 0





L

4º.- Buscar los estimadores

Ejemplo. Tenemos: f(x)cxc1 si 0 < x < 1 y c > 0. Calcula cˆ.

▪ Establecemos una única observación  n=1  X1

En la función de verosimilitud (l) consideramos la “c” NO como un parámetro (como en la función de densidad), sino como una variable no aleatoria y “X1” será un valor fijo y no una variable aleatoria (como lo era en la función de densidad).

La función de verosimilitud será: l (X1; c)

En este caso: l (X1; c) = 1 1   c

x c

Ahora hay que buscar cual es la “c” que maximiza la función

▪ Establecemos dos observaciones  n=2  X1, X2

La función de verosimilitud será: l (X1, X2; c)

En este caso: l (X1, X2; c) = f (c, X1) · f (c, X2) =



c



X

₁c1

 



c



X

₂c1



1 2 1 2

)

(









c

X

X

c

▪ Establecemos “n” observaciones  n=n  (X1, X2,…,Xn)

La función de verosimilitud será: l (X1, X2,…,Xn; c)

En este caso: l (X1, X2,…,Xn; c) = f (c, X1) · f (c, X2) · … · f(c, Xn) =



 

 



1 1 2 1 1 1 2 1 1

...

(

...

)

(

)

    

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_



c i n c n n c n c c

X

c

X

X

X

c

X

c

X

c

X

c

productorio

Estadística I. 36 Ahora hay que buscar para que valor de “c” se maximiza la función de verosimilitud, para ello utilizaremos la función logarítmica de verosimilitud (L).

l =

1 ) (   c i n X

c  aplicamos ln a ambos lados. ln l = ln [cn(X_i)c1] = L

Sabiendo que el logaritmo de un producto es suma de logaritmos: ln (a · b) = ln a + ln b Hacemos: ln [ 1 ) (   c i n X c ] = ln n c + ln 1 ) (Xi c Sabiendo que: ln ak _{= k · ln a} ln cn + ln (X_i)c1= n · ln c + (c – 1) · ln (X_i) Ahora derivamos: Aplicando 0 c L





, obtenemos: ) ln( ) ( ln 1 1 i i X c n X c n c L        





Es una constante Ahora igualamos a 0: 0 ) ln( ˆ  Xi  c n

 ahora le ponemos el “sombrerito” del estimador

) ln( ˆ Xi c n _{ } ) ln( ˆ X_i c n   ) ln( ˆ i X n c  

Estadística I. 37 TEORÍA PREGUNTAS TIPO TEST

▪ La propiedad de insesgadez de un estimador puntual se interpreta como: los posibles valores del estimador estarán próximos al valor del parámetro poblacional, ya que en promedio, coinciden con éste.

▪ Si es un estimador insesgado, NO puede ser inconsistente. ▪ Un estimador consistente, NO siempre es insesgado.

▪ La estimación puntual de un parámetro toma distinto valor numérico dependiendo de la muestra.

▪ Un estimador puntual es un estadístico muestral que aproxima el valor de un parámetro, y es siempre una variable aleatoria.

▪ Estimador insesgado  se verifica:

E





ˆ



E

(



ˆ

)

  

2



E



ˆ





2

▪ Estimador



ˆ

es asintóticamente insesgado?

o

lim

_n

E

(



ˆ

)





 Sí es asintóticamente insesgado ▪ Estimador



ˆ

es consistente?

o ECM(



ˆ)Var(



ˆ)Sesgo2(



ˆ) o SesgoE(



ˆ)



o limnECM(



ˆ)0  Sí es consistente ▪

E





Xi





n





▪ No es verdad que:

o Un estimador sesgado nunca pueda proporcionar una estimación perfecta (error de estimación igual a 0).

o Los estimadores consistentes son siempre insesgados en muestras pequeñas. ▪ ¿Qué significa que un estimador sesgado infravalore el valor desconocido de una

parámetro poblacional? o Que ECM > Var

▪ Ningún estimador insesgado de la media poblacional tiene varianza menor que la media muestral.

▪ Poblaciones normales con



x2 y 2 y



 ny y nx, y se calculan los estimadores insesgados

de 2 x S y

S

y2. Es correcto que: 2 2 2 2 x y y x

S

S









F

n_x1,n_y1