3 m m Escalonemoslas matrices utilizando el método de Gauss: m m m 2

(1)

SOLUCIÓN

a.-La matriz A tiene inversa si 3 m 9 3 ¹ 3

A 0: A 9 6m 0 m A m

6 3 6 2 2

            

·Para 3 2

m 2: A 9 12 3

  6 3    

 

¹

Matriz Matriz Matriz

adjunta traspuesta inversa

3 2 3 6 3 2 1 2 3 1 2 3

6 3 2 3 6 3 2 1 A 2 1

    

         

    

           

         

b.- Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

La matriz de los coeficientes, B, y la matriz ampliada, M, son:

1 0 1 0

0 3 m 1

0 6 3 0

  

 

 

Escalonemoslas matrices utilizando el método de Gauss:

3 2

1 0 1 0 F 2F 1 0 1 0

0 3 m 1 0 3 m 1

0 6 3 0 0 0 3 2m 2

      

    

   

     

   

· Si 3

3 2m 0 m : rgB rgM 3 nº de incógnitas

   2     el sistema es compatible determi-

nado:

 

x z 0

3y mz 1 3 2m z 2

 

   

   



 

1 2m

2 2 2m 3 2m 3 2m 1 2

z ; y ; x

3 2m 2m 3 3 3 2m 3 2m 3 2m 3

     

      

    

·Para 3

m : rgB 2 , rgM 3 rgB rgM

2      el sistema es incompatible.

(2)

SOLUCIÓN

a.- Es un problema de programación lineal. Organicemos los datos en una tabla:

Cantidad (kilos) Proteína Grasa Presupuesto Coste

Soja x 5x 3x 3x 3x

Maíz y y 3y 2y 2y

Restricciones: x 0 ; y 0  5x y 28  3x 3y 36  3x 2y 60  ^{F x ,y}

 

^^{3x 2y}^

Se trata entonces de minimizar la función objetivo ^{F x ,y}

 

^^{3x 2y}^ teniendo en cuenta el conjunto de restricciones:



x 0 , y 0 , 5x y 28 , 3x 3y 36 , 3x 2y 60       



.

Construyamos la región factible, conjunto de los puntos del plano que verifican las inecuaciones del conjunto de restricciones:

− La recta de ecuación x 0 es el eje de ordenadas.

La inecuación x 0 tiene como solución el semiplano de la derecha (en blanco). La recta y 0 es el eje de abscisas y la inecuación y 0 tiene como solución el semiplano superior (en blanco).

 La recta 5x y 28  pasa por los puntos



0 , 28 y





4 , 8 . La inecuación 5x y 28



  tiene como solución el semiplano al que no pertenece el origen de coordenadas (en blanco).

 La recta 3x 3y 36    x y 12pasa por los puntos



0 , 12 y

 

12 , 0 . La inecuación 3x 3y 36



  tiene como solución el semiplano al que no pertenece el origen (en blanco)

− La recta 3x 2y 60  pasa por los puntos



20 , 0 y





4 , 24 . La solución de 3x 2y 60



  es el semiplano al que pertenece el origen de coordenadas (en blanco).

La región factible (en blanco) es el pentágono ABCDE.

La función objetivo se optimiza en alguno de los vértices de la región factible. Obtengamos las coordenadas de los vértices y calculemos el valor de la función objetivo en cada uno de ellos para ver en cuál de ellos es mínima:

(3)

− Vértice ^{A 12 , 0}

 

^ ^{F 12 , 0}

 

^³⁶€

Vértice B 20 , 0

 

 F 20 , 0

 

60€

Vértice C: es la intersección de las rectas x 0 y 3x 2y 60  : ^{C 0 , 30}

 

^ ^{F 0 , 30}

 

^⁶⁰ €

− Vértice ^{D 0 , 28}

 

^ ^{F 0 , 28}

 

^⁵⁶€

− Vértice E: es la intersección de las rectas 5x y 28  y x y 12 

   

5x y 28

4x 16 x 4 , y 8 E 4 , 8 F 4 , 8 28

x y 12

  

       

  

 €

La función objetivo es mínima en el vértice E y, por tanto, el costees mínimo cuando los cerdos consumen 4 kilos de soja y 8 kilos de maíz. El coste mínimo es de 28 euros.

b.- La dieta más cara es de 60 euros. Si adquiere 12 kilos de soja y 15 kilos de maíz gastará 3 12 2 15 66    € por lo que no es una solución óptima (ni siquiera factible).

SOLUCIÓN a.- ·^{f 0}

 

^⁰

   

    ^{ } ^{ } ^{ }

2 x 0 x 0

3 2 x 0 x 0 x 0

x 0 x 0

lím f x lím x 2x 0

lím f x lím f x lím f x 0 lím f x lím x 6x 9x 0



 



 

  

 

   

    

   

     

x 0

lím f x f 0 f x es continua en x 0

   

·f x es continua en la recta real pues es continua en

  

^^{, 0}



y en



^{0 ,}^{ }



por ser funciones polinómicas las definidas en dichos intervalos y serlo también en x 0 como ya se ha visto.

b.- En el intervalo

 

1 , 4 la función que está definida es ^{f x}

 

^{ }^x³ ^6x²^^9x. Es una función continua que alcanzará sus máximos y mínimos absolutos en sus extremos relativos o en los extremos del intervalo.

·f 1

 

   1 6 9 4 ; f 4

 

64 96 36 4  

· Extremos relativos:

 

² ² ⁴ ^{16 12} ^{4 2} ¹

f ' x 3x 12x 9 0 x 4x 3 0 x

2 2 3

  

            (valores críticos)

     

   

f '' 1 6 0 x 1 es un máximo relativo: f 1 4 f '' x 6x 12

f '' 3 6 0 x 3 es un mínimo relativo: f 3 27 54 27 0

     

  

       

(4)

Por lo tanto, en el intervalo

 

1 , 4 la función alcanza su mínimo absoluto en x 3 de valor ^{f 3}

 

^⁰ y su máximo absoluto en x 1 y en x 4 de valor f 1

   

f 4 4.

c.-  x 0: f '' x

 

6x 12 0   x 2

Tenemos: · En



0 , 2 : f '' 0



  la función es convexa

· En



^{2 ,}^{ }



^{: f '' 0}^ ^ la función es cóncava d.- Entre x 1 y x 2 la función definida es ^{f x}

 

^{ }^x³ ^6x²^^9x:

 

⁴ ³ ² ²

^ ^

2 3 2

1

x x x 1 9 19 13

x 6x 9x dx 6 9 4 16 18 2 8

4 3 2 4 2 4 4

   

                

 

 



SOLUCIÓN

a.-·Se trata de una función racional cuyo dominio es toda la recta real excepto los valores que anulen al denominador de la fracción. En este caso: Dom f

 

  

 

3

· Asíntotas verticales: x 3 pues

2

x 3

2x 16 lím^ x 3

  

 .

Posición de la curva respecto a su asíntota:

2 2

x 3 x 3

2x 16 2x 16

lím , lím

x 3 x 3

 

 

   

     

   

· Asíntotas horizontales: no tiene, pues

2 2

x x

2x 16 2x 16

lím , lím

x 3 x 3

 

   

     

   

· Asíntotas oblicuas: y mx n 

 

2

x x x 2

2 2 2

x x x x

2x 16

f x x 3 2x 16

m lím lím lím 2

x x x 3x y 2x 6

2x 16 2x 16 2x 6x 6x 16

n lím f x mx lím 2x lím lím 6

x 3 x 3 x 3

  

   

 

    

   

       

             

Posición de la curva respecto a su asíntota:

 

2 2 2

x

lím 2 0

2x 16 2x 6 2x 16 2x 6x 6x 18 2 x 3

x 3 x 3 x 3 2

lím 0

x 3









            

   



Luego la curva está por debajo de la asíntota cuando x  y por encima cuando x .

(5)

b.-

     

2 2 2 2

2

2 2 2

4x x 3 2x 16 4x 12x 2x 16 2x 12x 16

f ' x 0 2x 12x 16 0

x 3 x 3 x 3

       

        

  

2 6 36 32 6 2 4

x 6x 8 0 x

2 2 2

     

       

 (valores críticos) Analicemos si los valores críticos son máximos o mínimos relativos:

       ^ ^

 

2 2

4

4x 12 x 3 2x 12x 16 2 x 3 f '' x

x 3

      

 

el signo de ^{f '' x}

 

depende exclusivamente del signo del factor 4x 12 pues los demás o son positivos o nulos. Se tiene entonces:

   

f ''  4 0  En x 4 la función tiene un máximo relativo:  4 , 16

   

f ''  2 0  En x 2 la función tiene un mínimo relativo:  2 , 8

SOLUCIÓN

Un examen puede estar corregido por el profesor Alvarado (A) con una probabilidad de 0,25, por el profesor Benítez (B) con una probabilidad de 0,30 o por el profesor Cadiñanos (C) con una probabilidad de 0,45 y puede haber un fallo (F) en su corrección o no ( F ) cuya probabilidad depende del corrector.

El diagrama en árbol de la situación es:

a.- Es una aplicación del teorema de la probabilidad total:

             

p F p A p F / A p B p F / B p C p F / C  0,25 0,01 0,30 0,02 0,45 0,03 0,022

      

b.- Es una aplicación del teorema de Bayes:

   

     

 

p B F p B p F / B 0,3 0,02

p B / F 0,27

p F p F 0,022

 

    

c.- La probabilidad de que haya sido corregido por Benítez es de 0,27 según el apartado anterior. Calculemos la probabilidad de que haya sido corregido por Alvarado y por Cadiñanos:

   

     

 

p A F p A p F / A 0,25 0,01

p A / F 0,11

p F p F 0,022

 

    

   

     

 

p C F p C p F / C 0,45 0,03

p C / F 0,61

p F p F 0,022

 

    

Luego si se produceun error en la corrección del examen, la mayor probabilidad es que lo haya corregido Cadiñanos.

0,25 0,30

0,45

0,01

0,02

0,03 A

B

C

F

F F

F

F F

(6)

SOLUCIÓN

a.- Para un nivel de confianza del 98% el valor crítico es:

1 0,98 0,02 0,01

2

        

1 0,01 0,99

   y mirando en la tabla, encontramos que el valor crítico que corresponde es Z__/22,33.

Se tiene:

   

/2 2

/2

pr 1 pr pr 1 pr

E Z n

n E

Z



 

   

 

 

 

En nuestro caso: _/2 0,20 0,80₂

E 0,1 ; Z 2,33 ; pr 0,20 n 86,8

0,1 2,33



      

 

 

 

luego debemos elegir

una muestra de 87 estudiantes

(7)

b.- n 50 estudiantes, 12

pr 0,24

50 . Se tiene:

 

/2

pr 1 pr 0,24 0,36

E Z 2,33 0,14

n 50



 

     

el intervalo de confianza es:



^{pr E ,pr E}^ ^{ }

 

^{0,1 , 0,38}

3 m m Escalonemoslas matrices utilizando el método de Gauss: m m m 2

 

 

 

 

 















 











 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

         

     

  







 

 

 

 

 

     

   

 

 

   

 









 

 

 



 

 

 

 

 

     

     

        

 

 

   

   

             

   

     

 

   

     

 

   

     

 

   

 



    ^{ } ^{ } ^{ }

^ ^

       ^ ^