Capitulo II MCII Derivación e integración pdf

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(1)1. Mecánica Computacional II. CAPITULO II Derivación e integración numérica. Universidad Simón Bolívar.

(2) 2. Capítulo II Derivación e integración numérica • Introducción • Derivación numérica • Integración numérica • Referencias.

(3) 3. Introducción. En muchas ocasiones se dispone de data numérica a la cual se le debe calcular la derivada localmente o realizar la integración en cierto intervalo. Ello puede hacerse de diversas maneras. Una primera vía es utilizar la aproximación de la data por una función (polinomios o cualquier otra base) y luego derivar esta función. Esta opción conduce a buenos resultados, si la aproximación que se obtuvo es lo suficientemente “suave”..

(4) 4. Introducción. No obstante, en aplicaciones prácticas este procedimiento puede ser muy engorroso y de poca utilidad. Una segunda opción es la construcción de formulas especialmente adaptadas con estos fines. A este tópico se dedica este capítulo..


(6) 6. Derivación numérica. Dad la importancia que tiene el desarrollo en serie de Taylor de funciones, recordaremos el teorema de Taylor. Teorema de Taylor: Supongamos que f œ Cn[a,b], que f(n+1) existe en [a,b] y que x0 œ [a,b]. Para toda x œ [a,b] habrá un número ξ(x) entre x0 y x tal que f ( x ) = P( x ) + R( x ) Polinomio de Taylor. donde. 2 n k n ( ( ( x − x0 ) x − x0 ) x − x0 ) (n ) (k ) P( x ) = f (x0 ) + f ′( x0 )(x − x0 ) + f ′′( x0 ) + ... + f ( x0 ) = ∑ f ( x0 ) 2! n! k!. R( x ) = f. ( n +1). k =0. n +1 ( x − x0 ) (ξ (x )) (n + 1)!. Residuo.

(7) 7. Derivación numérica. Las aproximaciones numérica a las derivadas parten del uso de desarrollos en serie de Taylor. Escribamos ∆x )  d m f  ( f ( x + ∆x ) = ∑  m  m ! m =0  dx t ∞. m. Esta expresión se escribe como ∆x )  d m f  ( ∆x )  d n +1 f  ( f ( x + ∆x ) = ∑  m  +  n +1  m dx n ! + 1 ! )  dx c m =0  t ( n. m. n +1. con c ∈[t,t+∆t]. El segundo término representa el “error” cometido para la aproximación con n términos..

(8) 8. Derivación numérica. Supongamos que tenemos una secuencia de datos ordenados de manera creciente en x de manera que se expresan como (xi,yi), 0§i§k. Supongamos, para simplificar, que los puntos están espaciados de manera uniforme. La primera derivada en los puntos de data conocida se calcula, en primer orden, a partir de df f ( x + ∆x ) = f ( x ) + ∆x + O ( ∆x 2 ) dx x. Luego, al despejar obtenemos f ( x + ∆x ) − f ( x ) df = + O ( ∆x ) dx x ∆x.

(9) 9. Derivación numérica. Si escribimos esta ecuación en términos de los valores conocidos, con ∆x = xi +1 − xi yi = f ( xi ). obtenemos f ( xi +1 ) − f ( xi ) df = + O ( ∆x ) dx x ∆x. Esta expresión corresponde a la fórmula de la primera derivada “hacia adelante”, en primer orden..

(10) 10. Derivación numérica. De manera similar podemos calcular la derivada hacia atrás f ( x − ∆x ) = f ( x ) − ∆x. df + O ( ∆x 2 ) dx x. f ( xi ) − f ( xi −1 ) df = + O ( ∆x ) dx x ∆x. Estas ecuaciones corresponden a las pendientes de rectas que unen a los distintos puntos.. y. xi. x.

(11) 11. Derivación numérica. Expresiones con mayor precisión pueden ser construidas. Por ejemplo si escribimos nuevamente los desarrollos tenemos: df ∆x 2 d 2 f f ( x + ∆x ) = f ( x ) + ∆x + dx x 2! dx 2 df ∆x 2 d 2 f + f ( x − ∆x ) = f ( x ) − ∆x dx x 2! dx 2. + O ( ∆x3 ) x. + O ( ∆x3 ) x. Restando estas ecuaciones obtenemos df f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x ) = 2∆x + O ( ∆x3 ) dx x.

(12) 12. Derivación numérica. Al despejar f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x ) df = + O ( ∆x 2 ) dx x 2∆x. Utilizando la notación indicial f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) df = + O ( ∆x 2 ) dx x 2∆x. Esta ecuación es de un orden mayor de precisión y se interpreta como se muestra en la figura. y. xi. x.

(13) 13. Derivación numérica. La expresión anterior nos permite hallar la derivada en el punto i a partir de los valores conocidos de f en (i+1) e (i-1). Gráficamente tenemos f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) df = + O ( ∆x 2 ) dx x 2∆x xi-1 xi xi+1x. Esta ecuación permitirá entonces determinar los valores de las derivadas en puntos internos en orden 2..

(14) 14. Derivación numérica. En los bordes, si se quiere conservar el mismo orden tendremos que hacer los desarrollos como sigue. ∆x )  df  ( ∆x )  d 2 f  ( 3 f ( x + ∆x ) = f ( x ) + + + O ∆ x ( )  2    1!  dx  x 2!  dx  x 2. f ( x + 2∆x ) = f ( x ). 2∆x )  df ( +. 2  ( 2∆x )  d f  3 + + O ∆ x ( )  2    1!  dx  x 2!  dx  x 2. Multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la segunda 4 f ( x + ∆x ) − f ( x + 2∆x ) = 3 f ( x ). ∆x )  df ( +2.  3 + O ∆ x ( )   1!  dx  x.

(15) 15. Derivación numérica. Simplificando obtenemos −3 f ( x ) + 4 f ( x + ∆x ) − f ( x + 2∆x ) df = + O ( ∆x 2 ) dx x 2∆x. En notación indicial −3 f ( xi ) + 4 f ( xi +1 ) − f ( xi + 2 ) df = + O ( ∆x 2 ) dx x 2∆x. Similarmente, desarrollando hacia atrás 3 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + f ( xi −2 ) df = + O ( ∆x 2 ) dx x 2∆x.

(16) 16. Derivación numérica. Combinando desarrollos en serie de Taylor con más puntos, fórmulas de orden superior pueden ser halladas. De manera similar, fórmulas para segundas derivadas pueden ser construidas  d2 f  fi −1 − 2 fi + fi +1 2 O x = + ∆ ( )  2  2 ( ∆x )  dx  x 2 f j − 5 f j −1 + 4 f j − 2 − f j −3  d2 f  2 = + O ∆ x ( )  2  2 ( ∆x )  dx  x 2 f j − 5 f j +1 + 4 f j + 2 − f j +3  d2 f  2 = + O ∆ x ( )  2  2 ( ∆x )  dx  x.

(17) 17. Derivación numérica. Aplicación. Se desea hallar la expresión aproximada de la primera y segundas derivadas de la función tabulada siguiente en los primeros dos puntos: x 1.8 1.9 2. f(x) 10.88936544 12.70319944 14.7781122. a) Cálculo de la primera derivada en el extremo izquierdo df ( x ) f −f 12.70319944 − 10.88936544 = i +1 i + O(∆x ) = + O(∆x ) = 18.13834 dx. x =1.8. ∆x. 0.1. df ( x ) − 3 f (1.8) + 4 f (1.9) − f (2.0) = + O ∆x 2 = 16.8329463 dx x =1.8 2 * 0.1. ( ).

(18) 18. Derivación numérica. b) Cálculo de las derivadas en el nodo interior df ( x ) f −f f (2.0) − f (1.9) = i +1 i + O(∆x ) = + O(∆x ) = 20.7491276 dx x =1.9 ∆x 0.1 df ( x ) f i − f i −1 f (1.9) − f (1.8) = + O(∆x ) = + O(∆x ) = 18.13834 dx x =1.9 ∆x 0.1 df ( x ) f i +1 − f i −1 f (2.1) − f (1.9) 2 = + O ∆x = + O ∆x 2 = 19.4437338 dx x =1.9 2∆x 2 * 0.1. ( ). ( ). A los fines de examinar la exactitud de las aproximaciones realizadas, la tabla siguiente presenta los resultados obtenidos así como la comparación con la función que generó la data..

(19) 19. Derivación numérica Error (%). x 1.8 1.9 2. Exacta Adelante f´(x) [O(Dx)] f(x) f´(x) 10.88936544 16.9390129 18.13834 12.70319944 19.38909388 20.7491276 14.7781122 22.1671683. Error (%). x 1.8 1.9 2. Exacta Atrás f´(x) [O(Dx)] f(x) f´(x) 10.88936544 16.9390129 12.70319944 19.38909388 18.13834 14.7781122 22.1671683 20.7491276. x 1.8 1.9 2. f´(x) [O(Dx2)] f(x) f´(x) 10.88936544 16.9390129 16.8329463 12.70319944 19.38909388 14.7781122 22.1671683. x 1.8 1.9 2. Exacta Centrada f´(x) [O(Dx2)] f(x) f´(x) 10.88936544 16.9390129 12.70319944 19.38909388 19.4437338 14.7781122 22.1671683. 7.08 7.01. Hacia adelante Orden 1 Hacia atrás Orden 1. -6.45 -6.40. -0.63. Error (%). 0.28. Hacia adelante Orden 2 Centrada Orden 2.

(20) 20. Derivación numérica. Es claro que los mejores resultados se obtienen con las derivadas de orden superior, por lo que estas son utilizadas preferentemente. Analicemos la influencia del espaciamiento en la exactitud del cálculo, entre los datos, cuando se conoce la función y se desea calcular la derivada. Por ejemplo, para la misma función, con aritmética de cuatro dígitos tenemos h 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.0000001 0.00000001 0.000000001. f(x+h) 52.705 14.7781 12.8984 12.7226 12.7051 12.7034 12.7032 12.7032 12.7032. f´(x) [O(Dx2)] Error (%) f(x-h) 2.2136 25.2457 30.2056721 10.8894 19.4435 0.28060165 12.5106 19.39 0.00467334 12.6838 19.4 0.05624872 12.7013 19 -2.00676672 12.703 20 3.15077188 12.7032 0 -100 12.7032 0 -100 12.7032 0 -100. Error empieza a crecer Error es máximo!.

(21) 21. Derivación numérica. Dos inconvenientes se presentan. En primer lugar el error para valores muy pequeños de Dx se hace muy grande. Esto es debido a errores debido a la cantidad de cifras empleadas para la representación de las cantidades. Sin embargo, a partir de cierto valor de Dx (alrededor de 0.01 en nuestro ejemplo), el error comienza a crecer. Para examinar las razones del crecimiento del error consideremos la formula de tres puntos para diferencias centradas df (x ) f (x + ∆x ) − f (x − ∆x ) =. dx. x. 2∆x. ( ). + O ∆x 2. Si escribimos de manera explícita el error de redondeo tenemos df (x ) f (x + ∆x ) + e(x + ∆x ) − [ f (x − ∆x ) + e(x − ∆x )] dx. =. x. 2∆x. ( ). + O ∆x 2.

(22) 22. Derivación numérica. Luego, el error total de la aproximación es: df ( x )  f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x )  e( x + ∆x ) − e( x − ∆x ) − = + O(∆x 2 ) dx. x.  . 2∆x.  . 2∆x. Si suponemos el caso más desfavorable y consideramos que el error está acotado por algún número ε>0 tenemos que df ( x )  f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x )  ε − = + O(∆x 2 ) dx. x.  . 2∆x.  . ∆x. Entonces, a medida que disminuye Dx, el error de truncamiento disminuye pero el error de redondeo se incrementa. Por esta razón, usualmente, cuando se conoce la función y se calcula la derivada utilizando las formulas antes descritas, el valor de Dx debe escogerse de manera que no sea tan pequeño que el error de redondeo sea apreciable..

(23) 23. Derivación numérica. Fórmulas para puntos espaciados de manera no uniforme pueden ser deducidas y se encuentran fácilmente en la literatura. Inclusive, en algunos casos, se construye el polinomio interpolante de Lagrange de segundo orden, que pasa por conjuntos de tres puntos irregularmente espaciados y se deriva el mismo obteniéndose 2 x − xi − xi +1 2 x − xi −1 − xi +1 f ′( x) = f ( xi −1 ) + f ( xi ) + (xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1 ) (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) 2 x − xi −1 − xi f ( xi +1 ) (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi ).

(24) 24. Derivación numérica. Con esta expresión es posible estimar la derivada en el interior del dominio [xi-1,xi+1]. No siempre es mas conveniente utilizar expresiones con mayor cantidad de puntos debido a la imposibilidad de reflejar de manera adecuada cambios abruptos (por ejemplo ondas de choque) o las condiciones de borde (necesidad de discretizar la malla de manera muy fina)..


(26) 26. Integración numérica. Al igual que para el cálculo de derivadas, diferentes métodos están disponibles. En particular, si se puede trazar un polinomio interpolante, o splines, las integrales pueden ser calculadas. Nuevamente este procedimiento puede resultar muy engorroso por lo que es necesario desarrollar otros métodos. El método mas burdo se obtiene a partir de la definición de integración definida. Considere una secuencia de datos equiespaciados (por simplicidad).

(27) 27. Integración numérica y 1.3 3.5 4.2 5 7 8.8 10.1 12.5 13 15.6. INTEGRACION NUMERICA 12 10 8 f(x). x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 6 4 2 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 8. 10. 12. x INTEGRACION NUMERICA 12. Si utilizamos la definición de integración. ∫ a. 8 f(x). b. 10. 6. n. f ( x ) dx = lim ∑ f ( x )∆x n →∞. i =1. 4 2 0 0. 2. 4. 6 x.

(28) 28. Integración numérica. Se obtiene una primera fórmula para integración (regla del rectángulo) n−1. n−1. ∫ f (x)dx= lim∑ f (x)dx= ∑ f (x )∆x b. a. n→∞. i=1. i. i=1. Si los puntos están espaciados de manera uniforme ∆x=h n−1. ∫ f (x)dx= h∑ f (x ) = h[ f + f + f +...f b. a. i=1. i. 0. 1. 2. n−2. + fn−1]. Salvo por la acumulación de los errores de redondeo, mientras más puntos se escojan, más preciso será el cálculo de la integral..

(29) 29. Integración numérica. Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función f (x) = x2 − 2x +8. b −a Considere diferentes valores de h. Si hacemos h = n tendremos n−1. ∫ f (x)dx= h∑ f (x ) b. a. i. i=0. n−1. x e ∫ dx= h∑(a +ih) −2(a +ih) +8 b. a. 2. i=0. n−1. x e ∫ dx= h∑(ih) −2(ih) +8 = 6. 0. [. 2. i=0. ]. = h (0h) −2(0h) +8+(1h) − 2(1h) +8+...+((n −1)h) −2((n −1)h) +8 2. 2. 2.

(30) 30. Integración numérica. Si escogemos h=1 tendremos x 0 1 2 3 4 5 6. f(x) 8 7 8 11 16 23. Luego, n−1. ∫ f (x)dx= h∑ f (x ) =1[8+7+8+11+16+23] = 73 b. a. i=0. i. Para estimar el error, comparemos con la solución analítica 3 x 2 ∫ f (x)dx= 3 − x +8x +C.

(31) 31. Integración numérica. Entonces,. (. ). 6. x 2  ∫0 x −2x +8dx=  3 − x +8x +C = 84 0 y el error relativo es: 6. 2. 3. 84 − 73 E= * 100 = − 13 .1 % 84. Para disminuir el error, escojamos valores de h mas pequeño. La tabla siguiente presenta algunos resultados. n 6 60 600 6000 60000. h 1 0.1 0.01 0.001 0.0001. Integral 73.0000 82.8100 83.8801 83.9880 83.9988. Error -13.09524 -1.41667 -0.14274 -0.01428 -0.00143.

(32) 32. Integración numérica. Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función x ( ) f x =e. Considere diferentes valores de h. b −a Si hacemos h = n. tendremos. n−1. ∫ f (x)dx= h∑ f (x ) b. a. b. i=0. i. n−1. a+ih e dx = h e ∑ ∫ a. x. i=0. n−1. [. x ih 0h h 2h (n−2)h (n−1)h e dx = h e = h e + e + e + ... + e +e ∑ ∫ 6. 0. i=0. ].

(33) 33. Integración numérica. La tabla siguiente presenta los valores obtenidos para distintos h. n 6 60. h 1 0.1. Integral 234.20418 382.64266. Error -41.8023 -4.9167. 600. 0.01. 400.42000. -0.4992. 6000. 0.001. 402.22761. -0.0500. 60000. 0.0001. 402.40867. -0.0050. Nótese que a diferencia del ejemplo anterior, la disminución del error al disminuir el paso h es mas lenta en este caso. En algoritmos que requieran eficiencia, podría requerirse valores de h muy pequeños, lo que demandaría tiempos de cálculo muy grande. Esto lleva a la búsqueda de métodos mas eficientes..

(34) 34. Integración numérica El siguiente programa fue utilizado para obtener los resultados anteriores % programa integra clear all clc % Integración de f(x) entre a y b para % distintos valores de discretización % Definición de la función f=inline('x^2-2*x+8'); % f=inline('exp(x)'); % Integral teórica f_int=inline('x^3/3-x^2+8*x'); % f_int=inline('exp(x)'); % Limites de la integración a=0; b=6; % Grafica de la función ezplot(f,[a,b]). % Número de intervalos inicial n=6; % Número de discretizaciones a probar num_disc = 5; for k=1:num_disc h=(b-a)/n; sum=0; for j=1:n i=j-1; sum=sum+f(a+i*h); end int=h*sum; int_teo=f_int(b)-f_int(a); error=(int-int_teo)/int_teo*100; fprintf('%8d %12.5f %8.5f %8.5f\n',n, h, int, error) n=n*10; end.

(35) 35. Integración numérica. Una nueva fórmula para integración es obtenida a partir de la regla del trapecio en la cual, rectas son trazadas entre los distintos puntos que constituyen la data. INTEGRACION NUMERICA 12 10. f(x). 8 6 4 2 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. x. En este caso, la fórmula para integración es n b h  fi + fi+1   ∆x = ( f0 + 2 f1 + 2 f2 + ...+ 2 fn−1 + fn ) ∫a f (x)dx ≈ ∑ 2  2 i =0 .

(36) 36. Integración numérica. Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función x ( ) f x =e. Utilizando la regla del trapecio. Considere diferentes valores de h. b −a Si hacemos h = tendremos n n b h  fi + fi+1   ∆x = ( f0 + 2 f1 + 2 f2 + ...+ 2 fn−1 + fn ) ∫a f (x)dx ≈ ∑ 2  2 i =0  n b h 0h  fi + fi+1  x 1h 2h (n−1)h nh e dx ≈ ∆ x = e + 2 e + 2 e + ... + 2 e + e   ∑ ∫a 2  2 i =0 . (. ).

(37) 37. Integración numérica. La tabla siguiente presenta los resultados obtenidos para distintos valores de h. n 6 60 600 6000 60000. h 1 0.1 0.01 0.001 0.0001. Integral 435.41858 402.76409 402.43215 402.42883 402.42879. Error 8.19767 0.08332 0.00083 0.00001 0.00000. Ahora, nos damos cuenta de que, en este caso, el error cometido, comparado con los resultados obtenidos al utilizar la regla del rectángulo, para el mismo paso h, es mucho menor. ¿Por qué ocurre esto?.

(38) 38. Integración numérica. Para responder a esta pregunta, notemos que si utilizamos como aproximación para la función f(x) el polinomio de Taylor entre los puntos xi y xi+1 obtenemos f (x) = f (xi ) +O((x − xi )) Luego, al integrar entre esos puntos, obtenemos. ∫. xi+1. xi. f (x)dx = ∫. xi+1. xi. f (xi )dx + ∫ O((x − xi ))dx xi+1. xi. (. = f (xi )(xi+1 − xi ) + O (x − xi ). que corresponde a la regla del rectángulo mas un error de orden h2. 2. ). f (xi ) xi. xi+1.

(39) 39. Integración numérica. Por otra parte, si se utiliza una aproximación del polinomio de Taylor un orden superior. (. 2 ′ f (x) = f (xi ) + f (xi )(x − xi ) +O (x − x1). ). al ser integrada entre xi y xi+1 nos lleva a. ∫. xi+1. xi. f (x)dx = ∫. xi+1. xi. f (xi )dx + ∫. = f (xi )(xi+1. xi+1. xi. (. ). 2 ′ f (xi )(x − xi )dx + ∫ O (x − xi ) dx xi+1. xi. 2 ( xi+1 − xi ) 3 ′ − x ) + f (x ) + O((x − x ) ) i. i. 2. i.

(40) 40. Integración numérica. Si aproximamos hacia adelante la primera derivada de f(x) en xi tenemos 2 xi+1 f (xi+1 ) − f (xi ) (xi+1 − xi ) 3 + O (x − xi ) ∫xi f (x)dx = f (xi )(xi+1 − xi ) + xi+1 − xi 2 [ f (xi+1 ) − f (xi )](xi+1 − xi ) 3 = f (xi )(xi+1 − xi ) + + O (x − xi ) 2 que corresponde a la regla del trapecio mas un error de orden h3. Se entiende entonces, que al ser error de orden superior, la regla del trapecio es más precisa que la del rectángulo.. f (xi+1 ) f (xi ) xi. xi+1. (. ). (. ).

(41) 41. Integración numérica. Una fórmula aún mas precisa, denominada Regla de Simpson se obtiene al considerar la integración en cada subintervalo a partir del desarrollo en serie de Taylor de f(x) f.(x) = f (x1) + f ′(x1)(x − x1) + f ′′(x1). (x − x1). Luego, una aproximación a la integral de f(x) en el intervalo [x0,x2] viene dada por. 2. 2!. + f ′′(x1). (x − x1). 3. 3!. (. +O (x − x1). 4. f (x2 ) f (x1) f (x0 ). x0. x1. x2. ).

(42) 42. Integración numérica. ∫ f (x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f ′(x )(x − x )dx + ∫ x2. x2. x0. x0. +∫. x2. 1. x2. x0. ( x − x1 ) f ′′′(x ). 3. 1. Integrando. ∫ f (x)dx = f (x )x x2. x0. 1. x0. 1. 3!. x0. (. ( x − x1 ) + f ′(x ). 2 x2. x2 x0. 1. 2. ( x − x1 ) + f ′′′(x ) 24. x0. 2 ( x − x1 ) f ′′(x ) dx 1. 2!. ). dx + ∫ O (x − x1 ) dx x2. x0. 4 x2. 1. 1. x2. 4. ( x − x1 ) + f ′′(x ). 3 x2. 1. x0. (. + O (x − x1 ). 5. ). 6. x0.

(43) 43. Integración numérica. Cada integral se evalúa para dar: f (x1)x x = f (x1)(x2 − x0 ) = 2hf(x1) x2 0. ( x − x1) f ′(x ). 2 x2. 1. 2. x0. ( x − x1) f ′ (x ). 3 x2. 1. 6. x0. ( x − x1) f ′′(x ). 4 x2. 1. 24. x0. f ′(x1) f ′(x1) 2 2 2 2 (x2 − x1) −(x0 − x1) = = h −h = 0 2 2. [. ]. [. ]. f ′ (x1) f ′ (x1) 3 f ′ (x1) 3 3 3 3 (x2 − x1) −(x0 − x1) = = h −(−h) = h 6 6 3. [. ]. [. ]. f ′′(x1) f ′′ (x1) 4 4 4 4 (x2 − x1) −(x0 − x1) = = h −h = 0 24 24. Luego, tendremos. [. ]. [. ].

(44) 44. Integración numérica. f ′′(x1 ) 3 5 ( ) ( ) f x dx = 2 hf x + h + O h 1 ∫x0 3 Utilizando la expresión centrada para la segunda derivada obtenemos (cuidado con el orden del error!). ( ). x2. ∫. x2. x0. 1  f (x0 ) − 2 f (x1 ) + f (x2 ) 2 f (x)dx = 2hf (x1 ) +  + O h 3 h2. ( )h. Simplificando, obtenemos la Regla de Simpson. ∫. x2. x0. h f (x)dx ≈ [ f (x0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 )] 3. precisa en orden h5.. 3. .

(45) 45. Integración numérica. Si se desea realizar la integración en un intervalo [a,b], se subdivide el intervalo de integración en un numéro par n de subintervalos y se aplica la regla de Simpson en cada par consecutivo de subintervalos. x0. x1. x2. x3. ∫ f (x)dx ∫ f (x)dx x2. x4. x0. x2. x4. x2 j−2. ∫. x2 j. x2 j−2. x2 j−1. x2 j. f (x)dx. xn−1. xn−2. ∫. xn. xn−2. xn. f (x)dx.

(46) 46. Integración numérica. Luego, la integral vendrá dada por n/ 2. x2 j. j =1. x2 j−2. ∫ f (x)dx ≈ ∑∫ b. a. x0. x1. x2. x3. ∫ f (x)dx ∫ f (x)dx x2. x4. x0. x2. [. ]. h f (x)dx =∑ f (x2 j −2 ) + 4 f (x2 j −1 ) + f (x2 j ) j =1 3 n/ 2. x4. x2 j−2. ∫. x2 j. x2 j−2. x2 j−1. x2 j. f (x)dx. xn−1. xn−2. ∫. xn. xn−2. xn. f (x)dx.

(47) 47. Integración numérica. Desarrollando tenemos b h ∫a f (x)dx ≈ 3 [ f (x0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 ) + f (x2 ) + 4 f (x3 ) + f (x4 ) + .... + f (x2 j −4 ) + 4 f (x2 j −3 ) + f (x2 j −2 ) + f (x2 j −2 ) + 4 f (x2 j −1 ) + f (x2 j ) + f (x2 j ) + 4 f (x2 j +1 ) + f (x2 j +2 ). ...... + f (xn−4 ) + 4 f (xn−3 ) + f (xn−2 ) + f (xn−2 ) + 4 f (xn−1 ) + f (xn )]. Reagrupando llegamos a: b. ∫. a. n/ 2 n / 2−1 h f (x)dx ≈  f (x0 ) + 4∑ f (x2 j −1 ) + 2 ∑ f (x2 j ) + f (xn )] 3 j =1 j =1.

(48) 48. Integración numérica. Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función f (x) = ex Utilizando la regla de Simpson. Considere diferentes valores de h. La tabla siguiente presenta los resultados obtenidos: n 6 60 600 6000 60000. h 1 0.1 0.01 0.001 0.0001. Integral 404.423706 402.429017 402.428794 402.428793 402.428793. Error 0.49571807 5.5489E-05 5.5555E-09 6.78E-13 -2.119E-13. Nótese que el tamaño del error, para el mismo número de subintervalos es bastante menor al obtenido con las reglas del rectángulo y del trapecio para el mismo ejemplo..

(49) 49. Integración numérica. Las formulas derivadas para las reglas del trapecio y de Simpson corresponden a una clase de métodos denominados formulas de Newton-Cotes. Dos tipos de formulas de Newton-Cotes existen: abiertas y cerradas. Las formulas cerradas de (n+1) puntos de NewtonCotes utilizan en cada subintervalo (n+1) puntos, identificados como xi+k = xi + kh. k = 0, 1,...,n. con. xi+n − xi h= n. xi. xi+1. xi+2. xi+n.

(50) 50. Integración numérica. Esta fórmulas se denomina cerrada ya que los extremos del subintervalo cerrado [xi,xi+n] se incluyen como nodos. La fórmula es dada por: xi+n. ∫. xi. i +n. f (x)dx ≈ ∑ak f (xk ) k =i. donde, si Lk(x) representa los polinomios de Lagrange que interpolan los (n+1) puntos de data tendremos ak. ( x−x ) = ∫ L (x)dx = ∫ ∏ dx (x − x ) xi+n i+n. xi+n. xi. k. xi. j =i j ≠k. j. k. j.

(51) 51. Integración numérica. Por ejemplo, para n=1 tenemos i +1. ∫ f (x)dx ≈ ∑a f (x ) = a f (x ) + a f (x ) xi+1. xi. k =i. k. k. y. ( x−x ) a =∫ ∏ dx (x − x ) xi+1 i+1. k. xi. j =i j ≠k. i. i +1. i +1. xi+n − xi h= = xi+1 − xi n. j. k. i. j. ( x−x ) ( x−x ) 1 ( x − x )  a =∫ ∏ dx= ∫ dx=   (x − x ) (x − x ) (x − x )  2  xi+1. i. ai+1. xi. i+1 j=i j≠i. xi+1. j. i. 2 xi+1. i+1. xi. j. i. i+1. i+1. i+1. i. ( x−x ) ( x−x ) =∫ ∏ dx= ∫ dx= (x − x ) (x − x ) (x xi+1. xi. i+1. j =i j ≠i+1. xi+1. j. i+1. j. xi. i. i+1. i. ( xi+1 − xi ) =. xi. 2. ( xi+1 − xi ) 1 (x − xi )    = 2 x 2 i+1 − xi )  i 2 xi+1.

(52) 52. Integración numérica. Luego,. ( xi+1 − xi ) h ∫x f (x)dx ≈ 2 [ f (xi ) + f (xi+1)] = 2 [ f (xi ) + f (xi+1)] xi+1 i. que corresponde a la fórmula del trapecio. Las distintas fórmulas junto con la expresión del error se presentan a continuación. n=1 : Regla del trapecio h h3 ∫xi f (x)dx = 2 [ f (xi ) + f (xi+1)] − 12 f (ξ ) xi < ξ < xi+1 xi+1.

(53) 53. Integración numérica. n=2 : Regla de Simpson h h5 (4) ∫xi f (x)dx = 3 [ f (xi ) + 4 f (xi+1) + f (xi+2 )] − 90 f (ξ ) xi < ξ < xi+2 xi+2. n=3: Regla de Simpson 3/8 xi+3 3h 3h5 (4) ∫xi f (x)dx ≈ 8 [ f (xi ) + 3 f (xi+1) + 3 f (xi+2 ) + f (xi+3 )] − 80 f (ξ ) xi < ξ < xi+3 n=4 2h 8h7 (6) ∫xi f (x)dx≈ 45[7 f (xi ) +32f (xi+1) +12f (xi+2 ) +32f (xi+3) +7 f (xi+4 )] − 945f (ξ) xi <ξ < xi+4 xi+4.

(54) 54. Integración numérica. Aplicación: Integre utilizando las fórmulas cerradas de Newton-Cotes para n=1,2,3 y 4 la función f ( x) = x cos x + ( x3 +1) e−x. en el intervalo [-1,5] con h=1/2. La tabla de valores de f(x) y su gráfica son: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5. f(x) -0.54030231 1.00383983 1 1.12113827 1.27606119 1.08230025 0.38572388 -0.63819594 -1.57593958 -1.95268821 -1.42405796 0.07483521 2.26729225. x cos(x)+(x3+1) exp(-x) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1. 0. 1. 2 x. 3. 4. 5.

(55) 55. Integración numérica. Para n=1, tenemos: h h3 ∫xi f (x)dx = 2 [ f (xi ) + f (xi+1)] − 12 f (ξ ) xi < ξ < xi+1 xi+1. Regla del trapecio 2.5. Trapecio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 2 1.5 1. f(x). 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1. 0. 1. 2 x. 3. 4. 5. I_trapecio 0.11588438 0.50095996 0.53028457 0.59929987 0.58959036 0.36700603 -0.06311802 -0.55353388 -0.88215695 -0.84418654 -0.33730569 0.58553186 0.60825596.

(56) 56. Integración numérica. n=2, tenemos: h h5 (4) ∫xi f (x)dx = 3 [ f (xi ) + 4 f (xi+1) + f (xi+2 )] − 90 f (ξ ) xi < ξ < xi+2 xi+2. Regla de Simpson 2.5. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 2 1.5 1. f(x). 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1. 0. 1. 2 x. 3. 4. 5. x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5. f(x) I_Simpson -0.54030231 1.00383983 0.74584284 1 1.12113827 1.12676905 1.27606119 1.08230025 0.99849768 0.38572388 -0.63819594 -0.62383324 -1.57593958 -1.95268821 -1.80179173 -1.42405796 0.07483521 0.19042919 2.26729225 0.63591378.

(57) 57. Integración numérica. n=3, Regla de Simpson 3/8 3h 3h5 (4) ∫xi f (x)dx ≈ 8 [ f (xi ) + 3 f (xi+1) + 3 f (xi+2 ) + f (xi+3 )] − 80 f (ξ ) xi < ξ < xi+3 xi+3. Regla de Simpson 3/8 2.5. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 2 1.5 1. f(x). 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1. 0. 1. 2 x. 3. 4. 5. x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5. f(x) I_Simpson 3/8 -0.54030231 1.00383983 1 1.236066649 1.12113827 1.27606119 1.08230025 1.609114964 0.38572388 -0.63819594 -1.57593958 -1.539257038 -1.95268821 -1.42405796 0.07483521 -0.699949537 2.26729225 0.605975037.

(58) 58. Integración numérica. n=4, 2h 8h7 (6) ∫xi f (x)dx≈ 45[7 f (xi ) +32f (xi+1) +12f (xi+2 ) +32f (xi+3) +7 f (xi+4 )] − 945f (ξ) xi <ξ < xi+4 xi+4. newton-Cotes cerrada n=4 2.5. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 2 1.5 1. f(x). 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1. 0. 1. 2 x. 3. 4. 5. x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5. f(x) n=4 -0.54030231 1.00383983 1 1.892213589 1.12113827 1.27606119 1.08230025 0.38572388 0.372019465 -0.63819594 -1.57593958 -1.95268821 -1.42405796 -1.607567172 0.07483521 2.26729225 0.656665882.

(59) 59. Integración numérica MATLAB calcula fácilmente la integral numérica de la función f, entre a y b utilizando las siguientes instrucciones: f=inline ('x.*cos (x)+(x.^3+1).*exp (-x)'); a=-1; b=5; int_teo=quad(f,a,b) int_teo = 0.6652 También, la integral puede ser obtenida analíticamente: syms x Integ; Integ = int(x.*cos (x)+(x.^3+1).*exp (-x)); pretty(Integ).

(60) 60. Integración numérica. La tabla siguiente presenta la comparación de los resultados obtenidos para distintos valores de h (escogidos de manera que el número de subintervalos permitiera usar todas las fórmulas) h 0.5 Error (%) 0.25 Error (%) 0.16666667 Error (%) 0.125 Error (%). Trapecio 0.60825596 8.563 0.64948424 2.365 0.65810058 1.070 0.66119032 0.606. Simpson Simpson_3_8 0.63591378 0.60597504 4.405 8.906 0.66322699 0.66086051 0.300 0.655 0.66481971 0.66433115 0.060 0.134 0.66509235 0.66493535 0.019 0.043. n=4 0.65666588 1.286 0.66504788 0.026 0.66520375 0.002 0.6652167 0.000. Nótese que el error para h=0.5 es comparable entre las fórmulas del trapecio y la de Simpson 3/8. Esto es debido la forma particular de la función integrada. La lámina siguiente presenta las gráficas de cada aproximación para h=0.25.

(61) 61. Integración numérica Regla del trapecio. Regla de Simpson 2.5. 2. 2. 1.5. 1.5. 1. 1. 0.5. 0.5. 0. 0. -0.5. -0.5. -1. -1. -1.5. -1.5. f(x). 2.5. -2 -1. 0. 1. 2 x. 3. 4. 5. -2 -1. 0. 2.5. 2. 2. 1.5. 1.5. 1. 1. 0.5. 0.5. 0. 0. -0.5. -0.5. -1. -1. -1.5. -1.5. 0. 1. 2. 2 x. 3. 4. 5. newton-Cotes cerrada n=4. Regla de Simpson 3/8 2.5. -2 -1. 1. 3. 4. 5. -2 -1. 0. 1. 2. 3. 4. 5.

(62) 62. Integración numérica. En conclusión, ahora usted dispone de un conjunto de relaciones que le permiten calcular integrales numéricamente. Así mismo, todos los paquetes comercialmente disponibles poseen comandos o rutinas adaptadas a necesidades especificas como funciones que varían muy rápido en algunas regiones y muy lentamente en otras, lo que puede hacer poco eficientes los métodos estudiados en este capítulo..


(64) 64. Referencias. 1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta Edición, International Thomson Editores, 1998 2. Métodos Numéricos para Ingenieros, Chapra S., Canale R., 4ta Edición, McGrawHill, 2003 3. Análisis Numérico con Aplicaciones, Gerald C., Wheatley P.,6ta Edición, Pearson Educación, 1999.

(65) 65. Mecánica Computacional II. Capítulo II Derivación e integración numérica. Universidad Simón Bolívar.

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