Control de trayectoria en espacio de tareas para una plataforma de dos grados de libertad
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(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. TRABAJO DE DIPLOMA Control de trayectoria en espacio de tareas para una plataforma de dos grados de libertad Tesis presentada en opción al grado de Ingeniero en Automática Autor: Alexandra Madruga Peláez [email protected]. Tutor: Dr.C. Boris Luis Martı́nez Jiménez Prof. Asistente Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV email: [email protected]. M.Sc. Orlando Urquijo Pascual Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV [email protected]. Santa Clara 2016 “Año 58 de la Revolución”.
(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de Ingenierı́a en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Alexandra Madruga Peláez Autor. Fecha. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Alexandra Madruga Peláez Autor. Fecha. Ivan Santana Ching, Dr.C Jefe del Departamento. Fecha. Responsable ICT o J’ de Carrera, (Dr.C., M.Sc. o Ing.) Responsable de Información Cientı́fico-Técnica. Fecha.
(4) PENSAMIENTO. “Ocuparse de lo fácil cuando se tiene brı́os para emprender lo difı́cil, es restarle dignidad al talento”. José Martı́.. i.
(5) DEDICATORIA. A todos los que de una forma u otra tuvieron que ver con mi formación y educación, en especial a las tres personas más importantes en mi vida: mamá Chacón, Chambi y Lio. ii.
(6) AGRADECIMIENTOS. A mis tutores Urquijo y Boris, por su disposición en todo momento y apoyo incondicional en la elaboración de este proyecto que representa el final de cinco maravillosos años, por convertir este tiempo en un continuo aprendizaje. A ellos, un eterno agradecimiento. A todos los profesores que durante la carrera han intervenido en mi formación profesional. A los amigos y compañeros de estudio durante toda la carrera, por compartir todo este tiempo. En general quisiera agradecer a todo aquel que de una forma u otra, ayudó a la realización de este trabajo de diploma. Santa Clara, Cuba, 2016. iii.
(7) RESUMEN. Las estructuras paralelas han ido incluyéndose en gran cantidad de aplicaciones, tanto industriales, médicas y espaciales. Esto es debido principalmente a las ventajas que presentan sobre los robots serie para realizar varias actividades. El control de estos equipos, se ha convertido en un reto para la comunidad cientı́fica internacional, debido a las incertidumbres mecánicas del sistema, el efecto de las no linealidades y de perturbaciones externas. El control de trayectoria en el espacio de tareas, ha sido tratado en gran variedad de trabajos, proponiéndose estrategias tanto lineales como no lineales; con el objetivo de mejorar el desempeño de los robots paralelos en el seguimiento de trayectoria. El trabajo que se presenta consiste en implementar una estrategia de control en el espacio de tareas para mejorar el desempeño en seguimiento de trayectoria de un robot paralelo de dos grados de libertad. El principal aporte de este trabajo viene dado en la simplicidad de la estrategia utilizada, además de obtener buenos resultados sin la necesidad de realimentar la velocidad y aceleración del sistema. Para validar la propuesta se realizan experimentos utilizando software de simulación y pruebas experimentales en el robot, las cuales demuestran la correcta elección de la estrategia de control.. iv.
(8) TABLA DE CONTENIDO Página PENSAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i. DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. AGRADECIMIENTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.. MARCO TEÓRICO DE LA ROBÓTICA PARALELA . . . . . . . . . . .. 5. 1.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2.. Robótica paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.2.1. Aplicaciones de los robots paralelos . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3.. Actuadores neumáticos en la robótica paralela . . . . . . . . . . . .. 8. 1.4.. Cinemática de los Robots Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.4.1. Cinemática Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.4.2. Cinemática Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.5.. Dinámica de los Robots Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.6.. Control de los robots paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.6.1. Control articular de los robots paralelos . . . . . . . . . . . .. 13. 1.6.2. Control en espacio de tareas de los robots paralelos . . . . .. 13. 1.6.3. Estrategias de control de trayectoria . . . . . . . . . . . . . .. 14. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.2.. Descripción de la plataforma de dos grados de libertad . . . . . . .. 19. 1.7. 2.. v.
(9) 2.3.. Modelo cinemático de la plataforma de dos grados de libertad . . .. 21. 2.4.. Modelo dinámico de los actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.5.. Control de la plataforma de dos grados de libertad . . . . . . . . . .. 27. 2.5.1. Control de posición en el espacio de tareas . . . . . . . . . .. 28. 2.5.2. Control de trayectoria en el espacio de tareas . . . . . . . . .. 32. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CONTROL DE TRAYECTORIA EN EL ESPACIO DE TAREAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.2.. Arquitectura de control en la plataforma de dos grados de libertad .. 35. 3.3.. Implementación del control de trayectoria en el espacio de tareas en la plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.3.1. Control de posición en el espacio de tareas en la plataforma de dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.3.2. Control de trayectoria en el espacio de tareas en la plataforma de dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.4.. Análisis económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.5.. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. A.. 51. 2.6. 3.. DESCRIPCIÓN DE LOS ACTUADORES ELECTRO-NEUMÁTICOS. . .. vi.
(10) INTRODUCCIÓN. Existen conceptos procedentes del desarrollo tecnológico que han superado las barreras impuestas por las industrias y centros de investigación. Es llamativo cómo entre éstos destaca el concepto robot (Barrientos, 2007). Los robots se pueden encontrar en tres grupos: robots series, paralelos e hı́bridos. Debido a la profundización en el estudio del funcionamiento de los robots paralelos, y al aumento de la capacidad de cómputo de los nuevos procesadores, se ha extendido el uso de los mismos en una gran cantidad de aplicaciones. La robótica paralela es la rama de la ciencia que se encarga del estudio de robots cuya estructura mecánica, que enlaza la base fija con el elemento terminal, está compuesta por dos o más cadenas cinemáticas cerradas (Merlet, 2008). Los robots paralelos presentan alta exactitud de posicionamiento, mayor rigidez en su estructura mecánica dado que comparten la carga entre todas sus extremidades, ası́ como gran velocidad de movimiento y buena repetitividad (Papadopoulos, 2008). No obstante, el estudio de estos sistemas revela desventajas según la aplicación en que se usen como: poseen una cinemática complicada, no tienen un modelo dinámico general; y es complejo el cálculo del espacio de trabajo, pues la posición y orientación están fuertemente acopladas (Aracil, 2006), por ende aumenta la complejidad para el diseño de los controladores. En la década de los ochenta, empezaron a desarrollarse robots destinados a trabajar en aplicaciones no industriales, como los robots de servicio o domésticos, donde su objetivo era eximir al humano de tareas peligrosas o el ampliar sus capacidades de fuerza y precisión. Sus aplicaciones van desde el entretenimiento o la atención de personal hasta la realización de labores domésticas. En la actualidad, los robots se usan de manera extensa en la industria, siendo un elemento indispensable en una gran parte de los procesos de manufactura. Impulsados principalmente por el sector del automóvil, los robots han dejado de ser un elemento más de muchos de los talleres y lı́neas de producción.. 1.
(11) INTRODUCCIÓN. 2. Entre las principales aplicaciones de los robots paralelos figuran las industriales como máquinas herramientas y centros de ensamblaje (Bi, 2011; Silva, 2009); también en aplicaciones médica como la cirugı́a y la rehabilitación (Dutta, 2012; Sado, 2015) y espaciales, como los simuladores de vuelo y de conducción de vehı́culos (Xie, 2009; Orihuela, 2014). El seguimiento de trayectoria consiste en que el manipulador se mueve a través de un camino trazado en el espacio para realizar una tarea determinada, según la aplicación. Este camino es generalmente especificado en el espacio cartesiano en términos de trayectoria deseada del efector final, mientras que las acciones de control son realizadas en el espacio articular (Siciliano, 2008). El movimiento del robot puede ser controlado realimentando la posición y velocidad ya sea en el espacio articular como en el de tareas. El control de trayectoria en el espacio articular requiere la solución de la cinemática inversa para convertir la trayectoria deseada del robot en el espacio de tareas, en las elongaciones correspondientes de cada articulación actuada, y presenta algunas limitaciones en cuanto a la compensación de las incertidumbres del sistema (Xian, 2004). Por su parte, el control de trayectoria en el espacio de tareas, tiene la capacidad de compensar estas incertidumbres, aunque necesita la medición directa de las variables cartesianas del robot (Hernández, 2011a), lo cual resulta muy costoso limitando el uso de estas estrategias en robots manipuladores industriales (Nazari, 2014). Una gran cantidad de estrategias de control en espacio de tareas se encuentran en el estado del arte realizado para los robots paralelos. Desde complejos esquemas de control borroso con modo deslizante hasta los convencionales. Dentro de la gama de dichas estrategias se destaca el trabajo de (Filabi, 2015), donde se propone un control borroso adaptable con modo deslizante para la trayectoria en un simulador paralelo de 6 GDL con actuadores electro-mecánicos. Como control convencional se destaca el artı́culo de (Qi, 2008), que aborda el control PD (proporcional derivativo) de posición/altitud de un robot paralelo suspendido de seis grados de libertad; y en (Min, 2015) que aunque está concebido para el espacio articular, presenta un control PID (proporcional integral derivativo) de trayectoria; con un lazo feedback (realimentación) acompañado de un control feedforward (adelanto de señal) para un robot paralelo de tres grados de libertad. En nuestro paı́s el Centro de Investigación y Desarrollo de Simuladores (SIMPRO), se encarga de desarrollar estas estructuras para satisfacer las necesidades en las ramas de la producción y los servicios o en juegos virtuales que pueden ser usados para el entretenimiento..
(12) INTRODUCCIÓN. 3. En la Universidad Central ¨Marta Abreu¨ de Las Villas (UCLV), el Grupo de Automatización, Robótica y Percepción (GARP) del Departamento de Automática y Sistemas Computacionales ha venido trabajando en colaboración con SIMPRO. Dentro de los proyectos que se han realizado se encuentran las tesis doctorales de (Rubio, 2009) la cual desarrolla una modelación, identificación y control de los actuadores electro-neumáticos en una plataforma de dos grados de libertad; y de (Izaguirre, 2012) donde se realiza un control de posición cartesiano o de espacio de tareas a una plataforma de tres grados de libertad. Teniendo en cuenta los trabajos anteriores, en (Urquijo, 2014) se implementa un control de trayectoria en el espacio de tareas para una plataforma de tres grados de libertad. Sin embargo, no se cuenta con la implementación de un control de trayectoria en el espacio de tareas para una plataforma de dos grados de libertad. En consecuencia se plantea el siguiente problema cientı́fico: A pesar de contar con un sistema de control de trayectoria en el espacio de tareas probada y validada experimentalmente para una plataforma de tres grados de libertad, no se ha logrado su implementación en una plataforma electro-neumática de dos grados de libertad. Hipótesis: Un esquema de control de trayectoria en el espacio de tareas que prescinde del modelo dinámico del robot y de la resolución del problema cinemático directo, sin la necesidad de realimentación de las velocidades y las aceleraciones de las variables en el espacio cartesiano, y con la utilización de un sistema sensorial para la estimación de las posiciones cartesianas; garantiza el desempeño en aplicaciones de seguimiento de trayectoria del simulador de movimiento de dos grados de libertad. Objetivo general: Implementar un control de trayectoria en espacio de tareas para una plataforma de dos grados de libertad. Para cumplir dicho objetivo general se pretende cumplir: Objetivos especı́ficos: Realizar una revisión bibliográfica de las estrategias de control de trayectoria en espacio de tareas para robots industriales. Proponer un esquema de control de trayectoria en el espacio de tareas para una plataforma de dos grados de libertad. Evaluar el desempeño de la estrategia de control de trayectoria mediante simulaciones..
(13) INTRODUCCIÓN. 4. Evaluar el cumplimiento de las especificaciones para el control de trayectoria a través de pruebas experimentales en la plataforma de dos grados de libertad. Tareas de investigación: 1. Revisión bibliográfica de las estrategias de control en espacio de tareas para robots industriales. 2. Descripción de la estrategia de control seleccionada. 3. Obtención de forma analı́tica de los modelos cinemático directo y cinemático inverso. 4. Obtención del modelo dinámico a través del proceso de identificación experimental. 5. Ajuste de los controladores en el esquema de control. 6. Evaluación del desempeño de la estrategia del control de trayectoria mediante simulaciones. 7. Evaluación de los experimentos reales de acuerdo a los requisitos de la plataforma de dos grados de libertad. 8. Confección del informe. El principal aporte de esta investigación radica en que las plataformas de dos grados de libertad puedan realizar seguimiento de trayectoria con un buen desempeño, a partir de nuevos ajustes de controladores en la estrategia elegida. Con ello ofrecer una respuesta a la constante demanda en aplicaciones como simuladores marı́timos y de conducción de vehı́culos para el entrenamiento de personal, con soluciones económicamente factibles. Contenido de la Tesis: En la Introducción queda definida la importancia, actualidad y necesidad del tema que se aborda. La investigación incluye tres capı́tulos, además de las conclusiones, recomendaciones, referencias bibliográficas y anexos correspondientes. Los temas que se abordan en cada capı́tulo se encuentran estructurados de la forma siguiente: Capı́tulo I: Se dedicará a la revisión bibliográfica de las diferentes estrategias de control en espacio de tareas para robots industriales; y a la selección de la idónea para el control de trayectoria a implementar en la plataforma de dos grados de libertad. Capı́tulo II: Se expondrán las principales caracterı́sticas constructivas y de funcionamiento de la plataforma de dos grados de libertad SIMPRO, y de los actuadores neumáticos. A su vez se realizará la descripción y ajuste de los controladores del esquema de control de trayectoria y se expondrán los resultados obtenidos en la computadora. Capı́tulo III: Se evaluarán las especificaciones a través de pruebas experimentales en la plataforma de dos grados de libertad..
(14) CAPÍTULO 1 MARCO TEÓRICO DE LA ROBÓTICA PARALELA 1.1.. Introducción. En este capı́tulo se realiza un recorrido por los conceptos y aspectos fundamentales que enmarca la robótica paralela; ası́ como sus aplicaciones más sobresalientes. También se reflejan diversas estrategias de control de trayectoria en el espacio de tareas encontradas en la bibliografı́a que permitan la toma de decisión en cuanto a la ruta a seguir en esta investigación. 1.2.. Robótica paralela. Aunque en la actualidad se encuentra muy extendido el uso de robots series en muchas ramas de la industria, no se debe pasar por alto la ascendente utilización de los robots paralelos, debido a las múltiples ventajas que ofrecen. Con el fin de evaluar esta situación se ofrecen a continuación algunas ventajas y desventajas de los robots paralelos frente a los series, que servirán para comparar sus prestaciones (Aracil, 2006; Merlet, 2008). En general, los robots paralelos presentan las siguientes ventajas: Tienen capacidad para manejar grandes cargas, ya que los accionamientos de potencia conectan directamente la base del robot al efector final funcionando ası́ como elementos estructurales. Esto les permite manipular pesos muy superiores al suyo, proporcionándoles una alta eficiencia energética. En términos de precisión son claramente superiores a los robots series, pues presentan pequeños errores de posicionamiento debido a que esta topologı́a ofrece una alta rigidez y muy bajo peso. Las velocidades de operación son superiores a cualquier otra estructura robótica. Sin embargo, también presentan otras caracterı́sticas que pueden considerarse desventajas en dependencia de la aplicación en que se usen (Aracil, 2006):. 5.
(15) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 6. La cinemática de los mecanismos paralelos es más complicada. En ocasiones esto obliga a recurrir a sensores redundantes para poder establecer un lazo de control. El espacio de trabajo suele ser pequeño comparativamente hablando. Además, no es sencillo su cálculo, pues la posición y orientación están muy fuertemente acopladas. El problema de las configuraciones singulares es más complejo y debe resolverse especı́ficamente para cada topologı́a. No existe, como ocurre en los robots serie, un modelo dinámico general para los mismos. Esto dificulta el desarrollo de algoritmos de control de carácter general y hace que los robots existentes en la actualidad se controlen de forma desacoplada. Las cadenas cinemáticas simples son aquellas en las cuales cada miembro posee un grado de conexión (para cada elemento de enlace de un manipulador, el grado de conexión es el número de cuerpos rı́gidos conectados a dicho elemento de enlace a través de una articulación) que es menor o igual que dos; mientras que las cerradas se obtienen cuando cualquiera de los elementos de enlace, excepto la base, posee un grado de conexión mayor o igual que tres (Merlet, 2008). En (Barrientos, 2007) cada uno de los movimientos independientes que puede realizar cada articulación con respecto a la anterior, se denomina grado de libertad (GDL). Un robot paralelo en (Merlet, 2008) se define como aquel manipulador que está constituido por un efector final con n grados de libertad y una base fija, unidos por al menos dos cadenas cinemáticas independientes, en el que el movimiento se produce a través de n actuadores independientes. Los robots paralelos se clasifican según las configuraciones estructurales que a su vez dependen del número de combinaciones de las cadenas cinemáticas que lo componen, el tipo, la cantidad de las mismas y de las restricciones en el movimiento de las articulaciones, resulta engorroso a la hora de generalizar su análisis. No obstante Merlet, siendo uno de los autores que más ha profundizado en el estudio del tema, las divide en dos grupos según el movimiento que realizan: los robots planares y los espaciales (Merlet, 2006). Robots planares: poseen un efector final con dos o tres grados de libertad. El más común es el de tres grados, dos traslaciones y una rotación sobre un eje de dicho plano. Las tres cadenas que soportan el efector final son fijadas en tres puntos: genéricamente dicho efector final es un triángulo (Merlet, 2006). Robots espaciales: son aquellos que experimentan el movimiento en todo el espacio tridimensional y no en un plano, es decir; se pueden trasladar (posición en el espacio) y girar (orientación en el espacio) en los tres ejes de coordenadas; esto le confiere 3, 4,.
(16) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 7. 5 y 6 grados de libertad, aunque existen algunos casos particulares que sólo poseen dos grados de libertad (Bonev, 2002). 1.2.1.. Aplicaciones de los robots paralelos. Para llegar al máximo potencial de los robots paralelos en aplicaciones industriales, hay que explotar completamente sus ventajas. Por consiguiente, es esencial reducir el tiempo de ejecución y aumentar la exactitud para mejorar su productividad y calidad en las aplicaciones (Lara-Molina, 2012). Entre las principales aplicaciones de los robots paralelos figuran las industriales como máquinas herramientas y centros de ensamblaje (Bi, 2011; Silva, 2009) donde se requieren robots que funcionen con gran precisión y rapidez. También en aplicaciones médicas como la cirugı́a y la rehabilitación (Dutta, 2012; Sado, 2015), en los que se requiere alta precisión para operaciones en el campo de la oftalmologı́a y neurocirugı́a. Es también extendido su uso aprovechando la exactitud de posicionamiento del elemento terminal en la industria de componentes electrónicos (Connolly, 2007), especı́ficamente en la fabricación de circuitos integrados y placas electrónicas, debido a la precisión que requiere realizar la soldadura de estos componentes. En aplicaciones espaciales, como simuladores de vuelo y de conducción de vehı́culos (Xie, 2009; Orihuela, 2014), se han desarrollado a tal grado de ser considerados equipos muy eficientes para el adiestramiento de personal debido a la tecnologı́a que se le ha añadido desde distintas áreas.. Figura 1–1: Aplicaciones de los robots paralelos..
(17) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 1.3.. 8. Actuadores neumáticos en la robótica paralela. Los actuadores son los dispositivos que se encargan de producir las fuerzas y/o torques en las estructuras mecánicas para generar el movimiento. En robótica, dichos dispositivos se clasifican de acuerdo a dos criterios fundamentales: Según el tipo de movimiento generado: existen los actuadores lineales, los cuales generan el movimiento de traslación en la misma dirección que la estructura a la cual están conectados, y los de rotación, los cuales generan el movimiento de rotación respecto al eje del torque. Según la naturaleza de la fuente primaria de energı́a: se dispone de actuadores neumáticos, que desarrollan su potencia a partir del fluido del aire comprimido; se clasifican en: cilindros neumáticos, de simple efecto y doble efecto. Actuadores hidráulicos, que su potencia se basa en el fluido hidráulico presurizado; se clasifican en cilindro hidráulico y motor hidráulico. Los actuadores eléctricos, en los que la potencia se genera a partir de la energı́a eléctrica; se clasifican en: actuadores eléctricos, motores de corriente continua (DC ), controlados por inducido y controlados por excitación; motores de corriente alterna (AC ), sincrónicos y asincrónicos y motores paso a paso (Barrientos, 2007). En cuanto a los actuadores neumáticos, los cilindros neumáticos de simple efecto (figura 1–2 a), el émbolo se desplaza en un sentido como resultado del empuje ejercido por el aire a presión, mientras que en el otro sentido se desplaza como resultado de la acción de un muelle que lo devuelve a su posición de equilibrio. En los doble efecto (figura 1–2 b), el aire comprimido es el que provoca el movimiento en ambos sentidos al poder ser introducido arbitrariamente en cualquiera de las dos cámaras, esto se puede conseguir con una válvula de distribución accionada eléctricamente que conduce el flujo de aire hacia ambas cámaras del cilindro alternativamente (Barrientos, 2007).. Figura 1–2: Cilindro neumático de simple asiento(a) y de doble asiento(b). En los últimos años se está haciendo extensivo el uso de los actuadores electro-neumáticos en aplicaciones de plataformas de simulación para el posicionamiento continuo de estructuras mecánicas paralelas, principalmente porque incorporan algunas de las ventajas propias de los eléctricos y los hidráulicos, lo que los hace una alternativa viable para una amplia gama de aplicaciones. Como los eléctricos, los neumáticos son limpios.
(18) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 9. y seguros; al igual que los hidráulicos se acoplan directamente a la carga en el sentido de su movimiento; y además, los neumáticos son de bajo costo, respuesta rápida, elevada relación potencia-peso y fácil mantenimiento (Festo, 2006). No obstante, los actuadores neumáticos presentan caracterı́sticas que dificultan considerablemente el control de su posición en aplicaciones donde se requiera el posicionamiento de la carga, en cualquier parte de la carrera posible del cilindro. Esto es debido a que la dinámica de los actuadores neumáticos es altamente no lineal, por la compresibilidad del aire, el comportamiento no lineal del flujo de aire a través de las válvulas y la existencia de fuerzas de fricción estáticas y dinámicas entre el cilindro y el pistón que provocan serias perturbaciones al sistema. Además, la incertidumbre en los parámetros del sistema hace que el diseño de los controladores sea problemático (Liu, 2006). 1.4.. Cinemática de los Robots Paralelos. Una de las desventajas reconocidas de los robots paralelos radica en la dificultad de la resolución del modelo cinemático (Wu, 2008). No obstante, resulta imprescindible su obtención para implementar estrategias de control que dependen de la solución de dicho modelo (Chen, 2009). Las expresiones cinemáticas estudian el movimiento del robot con respecto a un sistema de referencia, sin tener en cuenta las fuerzas o pares que lo producen, estableciéndose una relación analı́tica entre las funciones que representan el movimiento articular y las que describen la pose del elemento terminal en el espacio de trabajo. Cuando es necesario determinar la posición y orientación del elemento terminal con respecto a un sistema de coordenadas, siendo conocidas las variables articulares y los parámetros geométricos del robot, se está en presencia del problema cinemático directo; sin embargo, cuando se quiere determinar el valor de las coordenadas articulares para una configuración conocida que debe adoptar el robot, se define el problema cinemático inverso (Chalbat, 2009).. Figura 1–3: Relaciones entre la cinemática directa e inversa..
(19) 10. MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 1.4.1.. Cinemática Inversa. La cinemática inversa permite determinar las variables que definen las coordenadas articulares del robot a partir de conocidas la posición y orientación del elemento terminal en el espacio cartesiano. En el caso de los robots paralelos, dichas expresiones incluyen ecuaciones altamente acopladas, no lineales, cuya solución se complejiza notablemente con el aumento del número de grados de libertad (Cherfia, 2007). Existen dos procedimientos para el planteamiento del problema cinemático inverso en los robots paralelos: el método analı́tico (basado en formulación vectorial) y el método geométrico (basado en formulación algebraica) (Merlet, 2006). Método Analı́tico: Según (Merlet, 2008), se consideran cada una de las cadenas conectadas a la base para la plataforma móvil, entonces A representa el fin de la cadena que está conectada a la base, y B el fin de la cadena que está conectada a la plataforma móvil. Por construcción las coordenadas de A son conocidas en un marco fijo de referencia, mientras que las coordenadas de B pueden ser determinadas por la posición y orientación de la plataforma móvil. Por lo tanto, el vector AB juega un papel crucial en la solución del problema cinemático inverso. Si X representa las coordenadas generalizadas de la plataforma móvil se tiene: AB = AO + OB = H1 (X). (1.1). De esta forma H1 (X) proporciona la posición de los puntos extremos de todas las cadenas para las cuales se quieren calcular las coordenadas articulares. Las coordenadas articulares de la cadena θ permiten calcular el vector AB, con la ayuda de X en caso que sea necesario. AB = H2 (X, θ). (1.2). El cálculo de las coordenadas articulares puede ser hecho resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: H1 (X) = H2 (X, θ). (1.3). Nótese que resolviendo la ecuación 1.3, se está en condiciones de determinar no sólo las coordenadas articulares sino también las coordenadas de las articulaciones pasivas..
(20) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 11. Método Geométrico: Este procedimiento es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren sólo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el efector final (Barrientos, 2007). El método en sı́ se basa en encontrar suficiente número de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones fı́sicas de sus extremos (Barrientos, 2007). Esto permite un acercamiento más geométrico al problema cinemático inverso pues considera que las extremidades A y B (donde nuevamente A representa el fin de la cadena que está conectada a la base, y B el fin de la cadena que está conectada a la plataforma móvil) de cada pierna tienen una posición más conocida en el espacio tridimensional (Merlet, 2008). 1.4.2.. Cinemática Directa. La resolución del problema cinemático directo consiste en encontrar las relaciones que permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares (Barrientos, 2007). El análisis de la cinemática directa constituye uno de los problemas más complejos a resolver en la obtención del modelo en robots paralelos. Su objetivo es más bien para la simulación, ya que la solución de la problemática de la cinemática inversa es uno de los elementos básicos para el control de cualquier robot (Velazco, 2007). La cinemática directa en robots paralelos se enfoca en la obtención de un sistema complejo de ecuaciones polinómicas, difı́cil de manipular de manera analı́tica, por lo que requiere procedimientos numéricos para su solución, donde desafortunadamente no existe una solución única cerrada (Sung-Hua, 2008). Pude abordarse desde dos vertientes: la mı́nima, que implica un mı́nimo número de sensores, igual al número de actuadores articulados, y la redundante, donde el número de sensores es mayor que el número de actuadores (Merlet, 2008). 1.5.. Dinámica de los Robots Paralelos. La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y del movimiento que en él origina. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objetivo conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo (Barrientos, 2007). Esta relación se obtiene mediante el modelo dinámico, que relaciona matemáticamente:.
(21) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 12. 1. La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo y sus derivadas: velocidad y aceleración. 2. Las fuerzas y pares aplicadas en las articulares (o en el extremo del robot). 3. Los parámetros dimensionales del robot, como longitud, masas e inercias de sus elementos. A medida que aumentan los grados de libertad de estas estructuras mecánicas, aumentará el nivel de complejidad de los procedimientos que se realizan para obtener el modelo matemático que describe la dinámica del sistema, por lo que siempre no será posible obtener un modelo dinámico expresado de una forma cerrada. No es tan complicado para robots de uno o dos grados de libertad, pero a medida que aumenten crecerá la complejidad del análisis dinámico debido a la existencia de múltiples cadenas de lazo cerrado. Puede obtenerse el modelo matemático al integrar un conjunto de ecuaciones diferenciales, lo cual permite conocer el movimiento que surge al aplicar una fuerza, o las fuerzas que se deben aplicar para obtener un movimiento deseado (Barrientos, 2007). La dinámica juega un papel importante en el control de los robots paralelos teniendo influencia en la rapidez de movilidad del efector final en robots que manejen grandes pesos, en el ancho de banda de la respuesta del robot en el caso de aplicaciones de vibraciones asegurando la rigidez de las articulaciones. De manera análoga a la cinemática se define la dinámica inversa y la dinámica directa (Velazco, 2007). La dinámica inversa relaciona la trayectoria a seguir por el efector final, la velocidad y la aceleración, permitiendo determinar la fuerza de las articulaciones actuadas. Por su parte, la dinámica directa permite, conociendo las fuerzas o torques de las articulaciones actuadas, determinar la trayectoria a seguir por el efector final, su velocidad y su aceleración. Por este motivo es recomendable evitar el desarrollo analı́tico de estas expresiones dinámicas, y en su lugar, se recomienda el uso de paquetes de software que faciliten la descripción del comportamiento dinámico del sistema en su conjunto (Li, 2009; Fumagalli, 2009). 1.6.. Control de los robots paralelos. El interés por el estudio y la aplicación en la práctica de los robots paralelos han venido creciendo en los últimos años, por lo que también han aumentado los estudios relacionados con los esquemas de control más apropiados para gobernar dichos sistemas (Hernández, 2011a)..
(22) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 13. Las estrategias de control para los robots paralelos se pueden dividir en dos grupos: control en el espacio articular y control en el espacio cartesiano o de tareas (Paccot, 2009). 1.6.1.. Control articular de los robots paralelos. El control en el espacio articular tiene como ojetivo diseñar un control por realimentación tal que las coordenadas articulares q(t)ǫRn , sigan el movimiento deseado qd (t) tal fielmente como sea posible (Siciliano, 2008). En este sentido el control del manipulador del robot se realizará siempre en un marco referencial articular. Sin embargo, el usuario normalmente especifica el movimiento en términos de las coordenadas del elemento terminal (Siciliano, 2008), por lo que se aplicará la estrategia mostrada en la figura 1–4.. Figura 1–4: Concepto genérico del control en el espacio articular. 1.6.2.. Control en espacio de tareas de los robots paralelos. El principal objetivo del control en el espacio de tareas es diseñar un controlador por realimentación que permita que la ejecución del movimiento del elemento terminal q(t)ǫRn , siga al movimiento deseado del elemento terminal xd (t) tan fielmente como sea posible (Siciliano, 2008). La figura 1–5 muestra un diagrama esquemático de este método de control.. Figura 1–5: Concepto genérico del control en el espacio de tareas. El control en el espacio de tareas es particularmente importante en las estructuras paralela. Teóricamente, debido a que este control se realiza tomando como referencia el efector final y la posición del elemento terminal (Paccot, 2009). Además, de que compensa las incertidumbres existentes, pero es necesario la estimación o medición de las variables espaciales del robot. El control cinemático en el espacio de tareas consiste en la combinación de un lazo de control articular en cascada con un lazo de control, para garantizar el posicionamiento.
(23) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 14. perfecto de las variables cartesianas del efector final del robot paralelo de dos grados de libertad (Izaguirre, 2012). En la Universidad Central de las Villas (UCLV) el Grupo de Automatización, Robótica y Percepción (GARP) implementó un esquema de control cumpliendo con lo anterior para una plataforma de tres grados de libertad, en la figura 1–6.. Figura 1–6: Esquema de control cinemático para plataforma de tres grados de libertad. El controlador interno presenta una arquitectura abierta donde puede ser implementado cualquier tipo de controlador, mientras que en el lazo externo se realiza el control de posición. 1.6.3.. Estrategias de control de trayectoria. En aplicaciones de seguimiento de trayectoria, el manipulador se mueve a través de un camino trazado en el espacio para realizar una tarea determinada según la aplicación. Este camino es generalmente especificado en el espacio cartesiano en términos de trayectoria deseada del efector final, mientras que las acciones de control son realizadas en el espacio articular. Esto conlleva a dos tipos de esquemas de control de trayectoria, uno en el espacio cartesiano y otro en el espacio articular (Siciliano, 2008). El problema del control de trayectoria, ya sea en el espacio de tareas como en el articular, consiste en seguir una trayectoria dada en el tiempo qd (t) o xd (t) y sus sucesivas derivadas q˙d (t) o x˙d (t) y q¨d (t) o x¨d (t), las cuales describen la velocidad y aceleración deseadas respectivamente (Siciliano, 2008). Resulta conveniente controlar la trayectoria de un robot en el espacio de tareas con un lazo de control de realimentación, ya que asegura una mejor precisión con respecto al control en el espacio articular (Paccot, 2009). Una gran cantidad de estrategias de control en espacio de tareas, lineales y no lineales, han sido reportadas en la literatura para robots paralelos con dicho problema. La unión de los controladores borrosos con las bondades del control por modo deslizante ha ganado gran interés en los últimos años en la comunidad cientı́fica y numerosos trabajos se han realizado en aplicaciones de robots paralelos. Como es el caso, de (Filabi, 2015) que propone un controlador borroso adaptable con modo deslizante para la trayectoria en espacio cartesiano en un simulador paralelo de 6 GDL, con actuadores.
(24) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 15. electro-mecánicos. El esquema de la figura 1–7 expone los sensores de posición LVDT que poseen menor costo y los requisitos deseados si se comparan con los de 6 GDL y luego, soluciona el problema de la cinemática directa usando una estrategia de la red neuronal artificial iterativa, en lugar de usar los métodos numéricos como el método Newton - Raphson, que ofrece una fuerte carga computacional al sistema. Este controlador no depende de conocimientos previos de la dinámica del sistema, las entradas del control son continuas y es un sistema casi libre de chattering (castañeo), asegura cero error en estado estable, no limita los valores de los parámetros del sistema, y se le añade un control robusto; ası́ que la estabilidad de lazo cerrado y errores pequeños pueden estar garantizados.. Figura 1–7: Diagrama en bloques de la estrategia de control borroso con modo deslizante. Resultados de simulación demuestran que la estrategia de control propuesta puede conseguir el rendimiento de control favorable con respecto a las incertidumbres, las no linealidades y los disturbios externos. Con una correcta trayectoria debido a una convergencia rápida, y un control suave sin que el movimiento estuviera fuera de la lı́nea de la dinámica de la plataforma de Stewart. El trabajo de (Qi, 2008) aborda el control de posición/altitud en el espacio de tareas de un robot paralelo suspendido de seis grados de libertad, como se expone en la figura 1–8. Con un controlador PD en espacio de tareas que asegura la posición y altitud del efector final. La simulación y los resultados experimentales muestran que el controlador PD en espacio de tareas posee un mejor desempeño que en el espacio articular. Las simulaciones experimentales se realizaron en la herramienta Simulink del software Matlab, el mecanismo del simulador es diseñado usando Msc. Adams. Este método de simulación está muy cerca al ambiente de experimento legı́timo y es más provechoso para el diseño del controlador. La técnica de control de adelanto de señal es muy utilizada para compensar el efecto de las perturbaciones conocidas y para proveer acciones de control anticipatorias para.
(25) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 16. Figura 1–8: Esquema de control de posición/altitud en el espacio de tareas. el seguimiento de trayectoria deseada. En muchas ocasiones es imposible controlar un sistema no lineal sin la incorporación de un lazo de control feedforward (Slotine, 1989). Es importante para dicha técnica contar con el modelo de la planta además que este sea lo más exacto posible. Los problemas de control de trayectoria necesitan la acción de control feedforward, convirtiendo la acción del regulador en una combinación feedbackfeedforward. Esta combinación ha demostrado tener mejores resultados que los sistemas de control por realimentación simple por sı́ solos (Urquijo, 2014). u = feedback + feedforward Jean Jacques Slotine (Slotine, 1989) presenta una estrategia de control, de la figura 1–9, donde la parte feedforward es usada para cancelar el efecto de las perturbaciones conocidas proveyendo una acción anticipativa, por lo que resulta de gran ayuda para controlar la trayectoria en un robot paralelo dado su alto carácter no lineal. Nótese que para realizar una compensación feedforward siempre se requiere el modelo de la planta, aunque en muchos casos no necesita ser un modelo tan exacto. La calidad del desempeño del sistema de control, dependerá en gran medida de la exactitud del modelo estimado. Luego el término feedforward se calcula invirtiendo el modelo de la planta y será responsable de reducir o eliminar el error de seguimiento. El problema de implementar este control radica en el hecho de que, en la mayorı́a de los casos; el modelo inverso de la planta será un sistema con más ceros que polos, o sea, un sistema fı́sicamente irrealizable. Se demuestra que esta configuración permite un seguimiento perfecto de la salida respecto a la referencia. Esta configuración presenta la desventaja de que no puede ser utilizada directamente para resolver problemas de trayectoria en sistemas de fase no mı́nima, que presentan ceros positivos, ya que el inverso del modelo serı́a inestable..
(26) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 17. Figura 1–9: Estrategia de control con lazo feedback y feedforward. Siguiendo una estrategia parecida, se realiza en (Min, 2015) el diseño de un control de trayectoria en espacio articular, como se expresa en la figura 1–10, y la aplicación experimental del algoritmo en el prototipo. La estrategia que se propone es un lazo feedback acompañado de un control feedforward para un robot paralelo de tres grados de libertad. El esquema de control es controlado por cada actuador por separado para seguir de forma paralela la trayectoria de referencia. Dicho enfoque de control está concebido para mejorar la exactitud del rendimiento del robot paralelo. Un error de sincronización y un error de agrupación según rendimiento han confluido para constituir un error que será usado en el lazo de control feedback para el controlador PID. Debido a los controlador PID, ambos errores pueden ser reducidos y la exactitud de posición de cada manipulador puede ser mejorada.. Figura 1–10: Esquema de control de trayectoria en espacio articular. El robot fue implementado y el método propuesto fue evaluado sobre la plataforma diseñada, donde se aprecia una reducción considerable de error indicando que el sistema propuesto presenta un rendimiento satisfactorio. Una estrategia similar pero en espacio de tareas, se muestra en (Urquijo, 2014) con el término feedback que se encarga de la estabilidad de todo el lazo, y la parte feedforward, se calcula invirtiendo el modelo de la planta, y será responsable de reducir o eliminar el error de seguimiento, como se aprecia en la figura 1–11..
(27) MARCO TEÓRICO LA ROBÓTICA PARALELA. 18. Figura 1–11: Diagrama en bloques de la estrategia de control con la combinación feedback -feedforward. Solucionan el problema del modelo inverso de la planta de acuerdo con (Izaguirre, 2009), se retarda la señal de entrada un perı́odo de muestreo y la señal feedforward es tomada antes para obtener un efecto similar al deseado; además de utilizar un sistema sensorial basado en encoders ópticos que brinda en tiempo real la pose de la plataforma móvil (Hernández, 2011a). Los resultados mejoran las aplicaciones de seguimiento de trayectoria, perfeccionando el esquema de control cartesiano que estaba implementado para estas estructuras. La caracterı́stica de utilizar aproximaciones de los modelos de la planta, y de presentar compensación feedforward, proporciona al sistema de control la robustez necesaria ante cambios en los parámetros del sistema y perturbaciones externas. Su desventaja radica en que se encuentra representada solo la posición dada en el tiempo de la aplicación. 1.7.. Consideraciones finales del capı́tulo. La robótica paralela presentan pequeños errores de posicionamiento y velocidades de operación superiores a cualquier otra estructura robótica; pero la obtención de los modelos cinemático y dinámico es difı́cil, sin embargo, resulta de vital importancia para implementar estrategias de control en dichas estructuras. Se propone como estrategia de control de trayectoria para una plataforma de dos grados de libertad, una combinación de un lazo feedback y un feedforward que será el responsable de reducir o eliminar el error de seguimiento; ya que es una técnica sencilla y presenta los mejores resultados encontrados en la bibliografı́a..
(28) CAPÍTULO 2 CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD 2.1.. Introducción. El objetivo principal de este capı́tulo es diseñar un control de trayectoria en el espacio de tareas o cartesiano de la plataforma de dos grados de libertad. Para ello, se aborda las caracterı́sticas más representativas y el principio de funcionamiento de la estructura en cuestión, para luego, obtener los modelos cinemático y dinámico. Por último, realizar una descripción detallada de la estrategia antes seleccionada, sintonizar nuevos controladores y obtener simulaciones que expongan resultados del control de trayectoria realizado en el software Matlab. 2.2.. Descripción de la plataforma de dos grados de libertad. La plataforma de dos grados de libertad que se estudia ha sido desarrollada por SIMPRO, se expone en la figura 2–1, y es ampliamente utilizada en el entrenamiento de personal. Consta de una cabina con todos los mandos reales a los que se enfrenta el conductor en un vehı́culo, y un monitor a través del cual puede ver el mundo virtual por el que transita. La cabina pivota sobre una columna central mediante una articulación tipo cardán, y se estabiliza en un plano mediante la acción de dos cilindros neumáticos que, ubicados en dos de sus extremos perpendiculares, le imprimen al conductor las sensaciones de ladeo y cabeceo, simulando las pendientes del mundo virtual en que se mueve. Según el fabricante del simulador, la condición crı́tica de movimiento a experimentar por el vehı́culo simulado se considera como la caı́da libre de un extremo pivotando en el otro. En estas condiciones, la plataforma debe ser capaz de alcanzar aceleraciones angulares de hasta 2 rad/s2 , que para los cilindros representa aceleraciones lineales de hasta 1000 mm/s2 . 19.
(29) 20. CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. Figura 2–1: Ejemplo de una plataforma de dos grados de libertad. Los datos mecánicos más importantes de la plataforma del simulador se ofrecen en la tabla A–1 (Moreno, 2000). El origen de coordenadas para las medidas de longitud y ubicación del centro de masa (CM) se establece en el pivote central con la cabina en horizontal. Tabla 2–1: Datos mecánicos de la plataforma de dos grados de libertad. Parámetro Masa total de la cabina para un conductor promedio de 70 Kg Posición del CM en X Posición del CM en Y Posición del CM en Z Distancia del origen a cada cilindro Elongación de los cilindros Ángulos de ladeo y cabeceo. Valor 510Kg 100mm 60mm 480mm 500mm ±150mm ±0,26rad. Cada articulación electro-neumática está formada por un cilindro FESTO DNC-100-400 gobernado por una válvula proporcional de flujo FESTO MPYE-5-3/8, y su posición se mide con un potenciómetro lineal FESTO MLO-POT-450 como se expone en el anexo A. Todo el sistema se controla con una computadora personal (PC) a través de una tarjeta de adquisición de datos HUMUSOFT MF614 mediante el Real Time Workshop de Matlab/Simulink, con perı́odo de muestreo de 1 ms..
(30) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 2.3.. 21. Modelo cinemático de la plataforma de dos grados de libertad. La plataforma de dos grados de libertad se encontrará representada como un triángulo en la base fija conformado por los puntos A1 OA2 , dependiendo solamente de las longitudes a1 y a2 ; y la base móvil está conformada por el plano compuesto por los puntos B1 P B2 , definido por las longitudes b1 y b2 como se representa en la figura 2–2.. Figura 2–2: Representación de los sistemas de referencia. La definición de los orı́genes de coordenadas en los sistemas de referencia fijo y móvil se realiza de acuerdo la bibliografı́a consultada (Merlet, 2006). En tal sentido se considera ubicar el sistema de referencia móvil coincidente con el centro del triángulo que conforma la plataforma superior (elemento terminal), esta es la responsable de soportar la cabina de conducción. El sistema de referencia fijo se coloca en el centro de la base fija ubicada en la parte inferior de la base metálica que soporta toda la estructura de la plataforma. La orientación en el espacio de la plataforma móvil estará determinada por los ángulos de rotación α y β. El ángulo α es el ángulo de rotación alrededor del eje x′ del sistema x′ y ′ z ′ de coordenadas móviles, el cual brinda la sensación de cabeceo, mientras que β es el de rotación alrededor del eje y ′, brindando la sensación de ladeo expresado en la figura 2–2.. Figura 2–3: Representación de las longitudes de los brazos. La solución del modelo cinemático es menos complicada que otras estructuras, debido a que no existe acoplamiento de una articulación sobre otra como el caso de los series..
(31) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 22. En el caso de la cinemática directa la variable conocida en cada caso será la longitud del brazo articulado, y las incógnitas son el ángulo α (rotación en el eje x′ ) y el ángulo β (rotación en el eje y ′) que definen la orientación del efector final. Para la cinemática inversa se cuenta con los valores de los ángulos α y β (especificados por el usuario) que representan las rotaciones en los ejes x′ y y ′ respectivamente, y la incógnita es el valor de la longitud del brazo.. Figura 2–4: Representación de la cadena cinemática perteneciente al movimiento de cabeceo. Se analiza la cadena cinemática (figura 2–4) correspondiente al movimiento de cabeceo y se logra mediante leyes trigonométricas referidas al ángulo ϕ la ecuación 2.1 de la cinemática inversa, que permite conocer la longitud de la articulación A2 B2′ en función de la orientación del elemento terminal. 2. 2. 2. A2 B2′ = P A2 + P B2′ − 2 cos ϕP A2 P B2′. (2.1). Teniendo en cuenta que: P B2′ = b2. P A2 =. q. (2.2). 2. OP + OA2. ϕ = ϕ0 + α. 2. (2.3). (2.4). Donde ϕ0 es el ángulo inicial comprendido entre P A2 y P B2 y se calcula mediante la siguiente ecuación:. ϕ0 = arctan. . OP OA2. . (2.5). Para la solución de la cinemática directa, se puede despejar de la ecuación 2.1 el término ϕ como se muestra en la figura 2–5 quedando:.
(32) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 2. 2. P A2 + P B2′ − A2 B2′ 2P A2 P B2′. ϕ = arc cos. 2. !. α = ϕ − ϕ0. 23. (2.6). (2.7). Figura 2–5: Representación de la cadena cinemática perteneciente al movimiento de ladeo. Para el análisis del movimiento de ladeo se realiza de la misma forma, solo que es la otra cadena correspondiente al ángulo β y los restantes puntos (figura 2–5), como se expone en las siguientes ecuaciones: 2. 2. 2. A1 B1′ = P A1 + P B1′ − 2 cos θP A1 P B1′. (2.8). Teniendo en cuenta que: P B1′ = b1. P A1 =. q. (2.9). 2. OP + OA1. 2. θ = θ0 + β. (2.10). (2.11). Donde θ0 es el ángulo inicial comprendido entre P A1 y P B1 y se calcula mediante la siguiente ecuación:. θ0 = arctan. . OP OA1. . Para la solución de la cinemática directa quedarı́a de la siguiente forma:. (2.12).
(33) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 2. θ = arc cos. β = θ − θ0 2.4.. 2. P A1 + P B1′ − A1 B2′ 2P A1 P B1′. 1. !. 24. (2.13). (2.14). Modelo dinámico de los actuadores. En el diseño de una estrategia de control para la plataforma de SIMPRO se procede a obtener un modelo matemático el cual describa, de la manera más exacta posible, las caracterı́sticas del sistema. Los actuadores electro-neumáticos se han ido introduciendo en aplicaciones de la robótica paralela donde es necesario el posicionamiento continuo de la carga, tal es el caso de la plataforma de 2 GDL para el simulador de conducción de SIMPRO. Las válvulas neumáticas comerciales de carrete no son construidas perfectamente ajustadas, dado que el aire no es un buen lubricante y la sensibilidad a la suciedad serı́a muy grande. Es por ello que, alrededor de la posición central del carrete, se tendrán fugas de aire hacia ambas cámaras del cilindro, y de estas hacia el exterior. En estas condiciones, las válvulas se consideran subdimensionadas (underlapped valves) (Burrows, 1972). Para determinar el modelo dinámico de un cilindro electro-neumático, normalmente en la literatura se tienen en cuenta varias consideraciones, como por ejemplo: sólo hay fricción viscosa, una temperatura constante e igual en todas las cámaras del cilindro, el gas es ideal, y la válvula se encuentra perfectamente ajustada y con una dinámica despreciable (Rubio, 2009). Desarrollar estrategias para el control en este tipo de actuadores ha resultado ser bastante difı́cil, debido fundamentalmente a que la dinámica de los actuadores electro-neumáticos es altamente no lineal (Pearce, 2005). El modelo utilizado en este proyecto es obtenido de acuerdo a la metodologı́a trazada por (Rubio, 2009), donde se tiene en cuenta el subdimensionamiento de la válvula y no se promedian las constantes de tiempo de las cámaras del cilindro, por lo que se cuenta con un modelo que describe con mayor exactitud la verdadera dinámica de los actuadores electro-neumáticos. Para el proceso de identificación experimental se excita al sistema con una señal pseudoaleatoria como se muestra en la figura 2–6, alrededor del valor de posición central de cada cilindro que es donde se demuestra que el modelo que se obtiene es el que tiene los polos complejos conjugados más próximos al origen del plano del lugar de las raı́ces, por lo que sin dudas, es la dinámica más exigente (Varseveld, 1997). Se cierra el lazo de control de posición pues la función de transferencia de la dinámica de los actuadores.
(34) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 25. es tipo uno, por tanto, el sistema se vuelve inestable en lazo abierto. El lazo se cierra, a un perı́odo de muestreo de 1 ms, con un regulador proporcional para no alterar el orden del sistema cuya ganancia (Kp) es conocida.. Figura 2–6: Diagrama de identificación de lazo cerrado para el sistema electro-neumático. En el proceso de identificación experimental se emplea el Toolbox de Identificación del software Matlab y se utiliza la estructura básica ARMAX, la cual presentó los mejores resultados en (Rubio, 2009). El ARMAX es un modelo paramétrico que queda descrito por una estructura y un número finito de parámetros que relacionan las señales de interés del sistema (entrada, salida y perturbaciones). Con dicha estructura es posible realizar un proceso de identificación sin tener ningún tipo de conocimiento previo. Permiten describir el comportamiento de cualquier sistema lineal. Su dificultad radica en la elección del tipo de modelo, orden del mismo, número de parámetros; que se ajuste satisfactoriamente a los datos de entrada-salida obtenidos experimentalmente (López, 2005). Este inconveniente no obstaculiza el proceso de identificación experimental de este sistema debido a que los trabajos anteriores aportan estos parámetros, se utiliza un ARMAX de cuarto orden sin retardo. La estructura que poseen los modelos ARMAX es: A(q −1 )y(t) = B(q −1 )u(t) + C(q −1 )e(t) Dicha estructura estarı́a representada en un diagrama en bloques de la forma:. Figura 2–7: Diagrama en bloque de la estructura ARMAX.. (2.15).
(35) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 26. Dentro de las caracterı́sticas a tener en cuenta para la estimación se encuentra el por ciento de ajuste de la salida del modelo (FIT) a la salida real medida, definido en Toolbox de identificación como: F IT = 1 −. norma(ym − y) 100 % norma(y − media(y)). (2.16). Donde ym es el vector de la salida simulada del modelo, ante la misma entrada con que se obtiene el vector de salida del sistema real y. Para este proceso de identificación el valor de FIT resultante fue 60,55 % dando una representación de la medición y salida simulada como la figura 2–8.. Figura 2–8: Representación de la medición y salida simulada. El análisis de la correlación de sus residuos con la entrada es otro aspecto importante, ya que ofrece la proporción de la independencia entre los errores del modelo y la señal de entrada. Cuanto más próximos a cero sean los términos de la correlación, más exacto será el modelo estimado. En la práctica, se define un intervalo de confianza a partir de la varianza esperada de esta correlación y se verifica que los términos estén dentro de ese intervalo (Ljung, 1999). En la figura 2–9 se muestra como el modelo estimado tiene los residuos dentro del intervalo de confianza.. Figura 2–9: Representación de correlación cruzada residuos-entrada. El modelo que se obtiene del proceso de identificación experimental es de cuarto orden que puede ser reducido a un modelo de tercer orden tipo uno; debido a que es más.
(36) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 27. sencillo para su posterior utilización en la sı́ntesis de controladores del lazo de control articular. Como resultado el modelo tiene la siguiente expresión: Grobot(s) = 2.5.. s(s2. 105700 + 7,579s + 1036). (2.17). Control de la plataforma de dos grados de libertad. En la robótica se puede definir como control de seguimiento de trayectoria, ya sea en el espacio articular o cartesiano, el seguimiento de una trayectoria variable en el tiempo, las cuales describen la velocidad y aceleración; para ello se necesita realimentar la posición y velocidad de las variables articulares y cartesianas del robot. El control en el espacio articular tiene como caracterı́stica que es necesario la solución de la cinemática inversa para obtener la posición de cada articulación, a partir de la trayectoria deseada en el espacio de tareas, además de no tener la capacidad de compensar las incertidumbres del sistema. Por otra parte, su variante en el espacio de tareas, compensa las incertidumbres existentes pero se hace necesario la estimación o medición de las variables espaciales del robot. La cinemática directa constituye uno de los problemas más complejos a resolver en la obtención del modelo en robots paralelos ya que introduce un retardo de tiempo en el sistema de control, errores en el seguimiento de trayectoria y solo se encuentran representadas las mediciones de posición en el tiempo. Para lograr un correcto seguimiento de trayectoria en el espacio de tareas para los movimientos de ladeo y cabeceo de la plataforma de dos grados de libertad, se requiere del diseño de un control por realimentación tal que el error de seguimiento de trayectoria y(t) − yd(t) sea aproximadamente cero.. Figura 2–10: Representación de la estrategia de control. La estrategia de control seleccionada serı́a la representada por (Izaguirre, 2012), como se expone en la figura 2–10, teniendo como referencia la posición del elemento terminal (βd ) se calculan los valores deseados para las posiciones articulares, qd , que no pueden ser conocidos directamente sino que se obtienen mediante la estimación de la señal de control a la salida del regulador y la solución del problema cinemático inverso. Luego,.
(37) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 28. a la salida del lazo interno las posiciones articulares del robot (q) pueden ser obtenidas mediante el modelo cinemático directo para obtener β en el espacio de tareas. El lazo interno constituye el control articular, (Rubio, 2009) realiza un controlador PI (proporcional-integral) para asegurar cero error en estado estable, pero al sistema ser tipo uno y el control estar concebido ante cambios en la referencia, estarı́a garantizado la condición principal del controlador PI. Se prescindirá de dicho controlador para implementar un PD que mejore la rapidez de la respuesta (Ogata, 1980). El sistema debe garantizar en lazo cerrado un par de polos complejos conjugados dominantes que satisfaga requisitos como un mı́nimo de sobrecresta, pequeño error en estado estable y el tiempo de establecimiento menor que 1 s, según (Rubio, 2009). Respondiendo a las anteriores especificaciones se fijan los valores de relación de amortiguamiento y frecuencia natural no amortiguada; ϕ = 1 y wn=10 rad/s respectivamente. A partir del modelo obtenido en la ecuación 2.17, se propone un controlador PD con un filtro de segundo orden (ecuación 2.18) para compensar los polos complejos conjugados de la planta, garantizando una adecuada estabilidad relativa, independientemente de las variaciones de los coeficientes. Este controlador presenta la siguiente forma: Garticular(s) =. kp(1 + tds)(s2 + a3 s + a2 ) s2 + a1 s + a0. (2.18). Los polos complejos conjugados de la planta se compensan con dos ceros del filtro, por lo que es necesario introducirle a este último dos polos para mantener fı́sicamente realizable el controlador como se expresa en la ecuación 2.19. s2 + 7,579s + 1036 s2 + 88s + 2256. (2.19). Igualando el lazo interno, constituido por el controlador PD (ecuación 2.18) y el modelo dinámico de los actuadores (ecuación 2.17), al sistema de segundo orden deseado se obtiene la siguiente expresión para el controlador con un perı́odo de muestreo de 1 ms:. Garticular(s) = 2.5.1.. 0,7351(1 + 0,0193s)(s2 + 7,579s + 1036) s2 + 88s + 2256. (2.20). Control de posición en el espacio de tareas. El sistema de control será implementado en un controlador digital, y el diseño del regulador se efectúa en el dominio discreto (Izaguirre, 2011b). En este caso, desde el punto.
(38) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 29. de vista práctico, se procede con una simplificación dinámica del lazo interno, similar a las empleadas en control visual para seguimiento en un plano (Bonfe, 2002), y control servo-visual 3D de brazo robótico serie (Hernández, 2008), aunque en esta última aplicación, el esquema de control está concebido como tipo regulador, es decir, se controla ante disturbio, y no posee la capacidad de seguimiento de trayectoria.. Figura 2–11: Representación del esquema de control digital según Amström. El controlador digital externo se efectúa considerando que la dinámica del lazo interior puede ser aproximada por uno o dos retardos de muestreo del lazo exterior (Hernández, 2011a), como se describe en la figura 2–11. Amström establece que un valor razonable para la frecuencia de muestreo se define entre 10 y 30 veces el valor del ancho de banda deseado del sistema en lazo cerrado (Amström, 1997). Para el simulador de movimiento, este valor se encuentra alrededor de 0,1 Hz, por lo que el perı́odo de muestreo puede quedar establecido en 300 ms como valor máximo aceptable.. Figura 2–12: Diagrama del lugar geométrico de la raı́z para el controlador integral. Se presenta en la figura 2–12, el diagrama de lugar geométrico para dicho sistema con el cual se sintoniza un controlador integral digital (I), siguiendo los mismos requerimientos,.
(39) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 30. mı́nina sobrecresta, pequeño error en estado estable y un tiempo de establecimiento menor que 1 s. Utilizando como perı́odo de muestreo 100 ms se obtiene un controlador integral digital de la forma: Gcartesiano(z) =. T sKi 0,0248 = −1 1−z 1 − z −1. (2.21). En las figuras 2–13 y 2–14, se representan la respuesta del sistema ante entrada sinusoidal y cuadrada respectivamente para la articulación perteneciente al movimiento de ladeo. Como se puede apreciar la respuesta no cumple los requerimientos señalados, además de tener un retardo entre las señales de entrada y salida apreciable con un error máximo de posición de aproximadamente 5◦ .. Figura 2–13: Respuesta ante entrada sinusoidal del control de posición en espacio de tareas.. Figura 2–14: Respuesta ante entrada cuadrada del control de posición en espacio de tareas. El diagrama del lugar geométrico que se representa en la figura 2–15 es para sintonizar un controlador PI digital en sustitución del I, anteriormente obtenido en la ecuación.
(40) 31. CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. Figura 2–15: Diagrama del lugar geométrico de la raı́z para el controlador PI. 2.21, siguiendo los mismos requerimientos de mı́nina sobrecresta, pequeño error en estado estable y el tiempo de establecimiento menor que 1 s. Utilizando como perı́odo de muestreo 100 ms se obtiene un controlador PI digital de la forma: Gcartesiano(z) =. T sKi(0,8 + 0,2z −1 ) 0,04(0,8 + 0,2z −1 ) = 1 − z −1 1 − z −1. (2.22). En las figuras 2–16 y 2–17, representan la respuesta del sistema ante entrada sinusoidal y cuadrada respectivamente para la articulación perteneciente al movimiento de ladeo. Según se muestra en la figura ante entrada sinusoidal tiene una menor latencia entre la señal de entrada y la de salida, en comparación al controlador I, y un error máximo de aproximadamente 0,4◦ . Ante entrada cuadrada posee una respuesta sobreamortiguada con un tiempo de establecimiento aproximado de 3,5 s.. Figura 2–16: Respuesta ante entrada sinusoidal del control de posición en espacio de tareas..
(41) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 32. Figura 2–17: Respuesta ante entrada cuadrada del control de posición en espacio de tareas. 2.5.2.. Control de trayectoria en el espacio de tareas. Para garantizar un seguimiento de trayectoria deseada se propone implementar el esquema de control siguiendo la metodologı́a de (Urquijo, 2014) (figura 2–18), una combinación del lazo feedback con un feedforward, que se calcula invirtiendo el modelo de la planta, y a su vez será el responsable de reducir o eliminar el error de seguimiento.. Figura 2–18: Representación del esquema de control de trayectoria en espacio de tareas. El problema de aplicar este procedimiento es que se hace necesario obtener la señal zβd (z), lo cual es prácticamente imposible pues representarı́a conocer el futuro. Como una solución alternativa a este problema de acuerdo con (Hernández, 2011a), como se muestra en la figura 2–19, se retarda la señal de entrada un perı́odo de muestreo y la señal feedforward es tomada con antelación para obtener un efecto similar al deseado.. Figura 2–19: Representación del esquema de control de trayectoria en espacio de tareas modificado..
(42) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 33. Con el nuevo esquema de control, para Kf = 1, se obtiene la respuesta ante una señal sinusoidal y cuadrada respectivamente para la articulación perteneciente al movimiento de ladeo, como se observa en las figuras 2–20 y 2–21, teniendo en cuenta los mismos controladores obtenidos en el control de la posición.. Figura 2–20: Respuesta ante entrada sinusoidal del control de trayectoria en espacio de tareas.. Figura 2–21: Respuesta ante entrada cuadrada del control de trayectoria en espacio de tareas. La representación ante entrada sinusoidal refleja un error máximo de trayectoria de aproximadamente 0,08◦ y un retardo entre las señales de entrada y salida prácticamente despreciable. Ante entrada cuadrada la respuesta es sobreamortiguada con un tiempo de establecimiento menor que 1 s. 2.6.. Consideraciones finales del capı́tulo. La estrategia de control seleccionada funciona para el control de trayectoria implementado; además de que los nuevos controladores cumplen con las especificaciones de un correcto seguimiento de trayectoria..
(43) CONTROL DE TRAYECTORIA DE LA PLATAFORMA DE DOS GRADOS DE LIBERTAD. 34. La dinámica de los actuadores electro-neumáticos es altamente no lineal, pero el modelo dinámico obtenido a partir de identificación experimental es válido para la sintonı́a de reguladores en el lazo articular, lo cual fue demostrado a partir de simulación con un adecuado desempeño del sistema de control..
(44) CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CONTROL DE TRAYECTORIA EN EL ESPACIO DE TAREAS 3.1.. Introducción. En este capı́tulo se implementa del esquema de control seleccionado en una plataforma de dos grados de libertad que demuestra un correcto seguimiento de trayectoria, sin la necesidad de la realimentación directa de la velocidad y aceleración. 3.2.. Arquitectura de control en la plataforma de dos grados de libertad. El esquema de control propuesto es implementado en la plataforma de dos grados de libertad utilizando una computadora Intel Core i3 a una frecuencia de 2.93 GHz y que cuenta con una memoria RAM de 2 GB. Dicha computadora además de generar la referencia, captura la posición real de la plataforma con vista a verificar el desempeño del controlador. La computadora intercambia datos con la plataforma a través de una tarjeta de adquisición de datos Humusoft MF 614. Cuya tarjeta se encarga de adquirir la lectura de los potenciómetros lineales, sensores encargados de trasmitir la elongación de cada pistón, y a su vez, se transmite la lectura a las electro-válvulas del sistema neumático, con un perı́odo de muestreo de 1 ms. Las variables del espacio cartesiano son obtenidas a través de la misma tarjeta de adquisición, y son calculadas los movimientos de ladeo y cabeceo con la utilización de encoders lineales. Los algoritmos de control son implementados utilizando MATLAB/Simulink con Real-Time Windows Target.. Figura 3–1: Arquitectura de control.. 35.
(45) ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CONTROL DE TRAYECTORIA EN EL ESPACIO DE TAREAS. 3.3.. 36. Implementación del control de trayectoria en el espacio de tareas en la plataforma. Dentro del proceso de implementación del control en la plataforma de dos grados de libertad, primeramente se efectúa el control articular de (Rubio, 2009) a partir de los criterios deseados como se representan en la figura 3–2, ante entrada sinusoidal, en el desempeño de las variables articulares del robot. Partiendo de que la respuesta en lazo cerrado deseada requiere la dominancia de un par de polos complejos conjugados fijando la frecuencia natural no amortiguada del sistema en wn=10 rad/s y la razón de amortiguamiento en ϕ = 0, 7; acompañado de un filtro de segundo orden para compensar los polos complejos conjugados de la planta. Se obtiene un controlador PI para dichos ı́ndices de comportamiento, con las siguientes funciones de transferencia para el movimiento de ladeo y cabeceo respectivamente.. Garticular(s) =. 72,3(s + 2,78)(s2 + 7,726s + 253) s(s2 + 80s + 2044). (3.1). Garticular(s) =. 8,85(s + 2,78)(s2 + 7,726s + 1349) s(s2 + 80s + 2044). (3.2). Figura 3–2: Simulaciones experimentales del control articular de (Rubio, 2009). El sistema ante una señal sinusoidal, para la articulación que representa el movimiento de ladeo, posee una respuesta con un error máximo de aproximadamente 15 mm y un mando que no sobrepasa 1 V . Luego, se procede al desarrollo del control articular en la plataforma con el controlador PD (ecuación 2.20), el cual representa el lazo interno del esquema de control en cuestión (figura 2–10)..
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