Transformaciones Isom´etricas

I ^o Medio

Profesor:

Alberto Alvaradejo Ojeda

1. Transformaci´ on Isom´ etrica 3

1.1. Traslaci´ on . . . . 3

1.2. Ejercicios . . . . 4

2. Suma de vectores 6 3. Composici´ on de traslaciones 7 3.1. Definici´ on . . . . 7

3.2. Ejercicios . . . . 8

4. Simetr´ıa axial y central 11 4.1. Simetr´ıa axial . . . . 11

4.1.1. Reflexi´ on con respecto al eje Y . . . . 12

4.1.2. Reflexi´ on con respecto al eje X . . . . 13

4.1.3. Ejercicios . . . . 14

4.2. Simetr´ıa central . . . . 17

4.3. Ejercicios . . . . 18

5. Rotaci´ on 20 5.1. Rotaci´ on del tri´ angulo A respecto al origen en 90

. . . . 21

5.2. Ejercicios . . . . 22

1. Transformaci´ on Isom´ etrica

Se denomina transformaci´ on isom´ etrica de una figura en el plano aquella transformaci´ on que no altera ni la forma ni el tama˜ no de la figura en cuesti´ on y que solo involucra un cambio de posici´ on de ella (en la orientaci´ on o en el sentido), resultando que la figura inicial y la final son semejantes, y geom´ etricamente congruentes.

Entre las transformaciones isom´ etricas est´ an las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las re- flexiones (o simetr´ıas), que ser´ an vistas a continuaci´ on y que su estudio ser´ a pieza fundamental para la posterior comprensi´ on de contenidos tales como las teselaciones o embaldosados.

1.1. Traslaci´ on

Traslaci´ on es el desplazamiento de una figura en el plano, manteniendo su forma, orientaci´ on y medida. Para trasladar una figura necesitamos un vector que nos indica direcci´ on, sentido y magnitud de la traslaci´ on.

Ejemplo 1.1.1 El tri´ angulo ABC de la figura se traslado seg´ un el vector − → u (−3, 2), obte- ni´ endose el tri´ angulo A

B

C

.

Tri´ angulo ABC Vector Traslaci´ on Tri´ angulo A

B

C

A(1,-1) A’(1+-3,-1+2) A’(-2,1)

B(2,3) B’(2+-3,3+2) B’(-1,5)

1.2. Ejercicios

1) Determina el vector que describe cada una de las siguientes traslaciones de los pol´ıgonos del plano

a) A a B b) E a D c) A a D d) E a C e) F a C f) B a F g) D a E h) F a B

2) Dibuja el tri´ angulo ABC de v´ ertices A(−3, 2), B(−1, −1) y C(2, 1) y trasl´ adalo seg´ un

3) Determinar el vector traslaci´ on si:

a) M (2, 8) → M

(−3, 5) b) P (1, 2) → P

(−3, 4)

c) Q(−3, −4) → Q

(4, 5)

4) Resuelve los siguientes problemas :

a) La base de un tri´ angulo is´ osceles tiene como extremos los puntos A(1, 1) y B(5, 1) y el punto del v´ ertice opuesto a la base del tri´ angulo tiene su ordenada negativa.

Traslada el tri´ angulo seg´ un el vector − → v (–4, 5) ¿Cu´ ales son los nuevos v´ ertices?

b) Las coordenadas de tres v´ ertices de un rect´ angulo son P (–1, –1), Q(1, –1) y T (1, 4).

Traslada el rect´ angulo seg´ un el vector − →

V (3, –3). ¿Cu´ ales son los nuevos v´ ertices?

c) La diagonal de un cuadrado tiene como extremos a los puntos H(–1, 2) y F (–4, 5).

Traslada el cuadrado seg´ un el vector − → m(5, –1). ¿Cu´ ales son los nuevos v´ ertices?

d) Un triangulo obtus´ angulo tiene uno de sus v´ ertices sobre el eje de las ordenadas.

Traslada el tri´ angulo seg´ un el vector − → e (–1, –3) y luego el tri´ angulo obtenido seg´ un el vector − →

f (2, 5). ¿Cu´ ales son los nuevos v´ ertices?.

e) Un segmento cuyos extremos son los puntos K(3, –1) y M (–1, 5) es trasladado seg´ un

el vector − → m(5, –1). Determina un nuevo vector traslaci´ on que permita mover el punto

K al origen.

2. Suma de vectores

Se tienen los siguientes vectores

Para sumarlos se dibujan uno a continuaci´ on del otro

Se une el origen de s con el extremo final de m

−

→ s (2, −2) y − → m(2, 3)

−

→ s + − → m = (2 + 2, −2 + 3) = (4, 1) Si tenemos los vectores

−

→ a (x

, y

) y − →

b (x

, y

) Se define la suma

−

→ a + − → b

Como − → a + − →

b = (x

+ x

, y

+ y

)

3. Composici´ on de traslaciones

3.1. Definici´ on

Consiste en realizar traslaciones sucesivas.

Ejemplo 3.1.1 Aplicaci´ on

Trasladar un punto T con un vector − → u obteniendo A Trasladar el punto A con un vector − → v obteniendo B

Obtendr´ıamos B si aplicamos a T una traslaci´ on con vector − → u + − → v

3.2. Ejercicios

1) Obt´ en la suma de los vectores en forma gr´ afica:

a) − → v + − → w

b) − → v + − → w

c) − → v + − → w

2) Dibuja en el plano el cuadril´ atero ABCD de coordenadas A(2, 3), B(−1, 4), C(−3, 2) y D(−2, −1).

a) Expresa a trav´ es de componentes los vectores: −→

AB, − − → BC, −−→

CD, − − → DA

b) Calcula la suma: −→

AB + − − → BC + −−→

CD + − − →

DA

3) Una traslaci´ on descrita por el vector − → v (2, 5) transforma el punto P en P

. Si se aplica a P

una traslaci´ on con vector − → u (8, −11) se obtiene P

. Determinar el vector que traslada de P a P

.

4) Trasladar el 4ABC de la figura con respecto al vector − → u , para obtener A

B

C

. Luego

traslada A

B

C

con respecto a − → v , para obtener A

B

C

. ¿Cu´ ales son las coordenadas

de A

, B

, y C

. ¿Qu´ e vector traslada directamente ABC a A

B

C

?

4. Simetr´ıa axial y central

4.1. Simetr´ıa axial

En la simetr´ıa axial cada punto se refleja respecto de una recta llamada eje de simetr´ıa o de reflexi´ on.

DE: eje de simetr´ıa

A y A

equidistan de la recta DE.

AA

perpendicular al eje DE.

B y B

equidistan de la recta DE.

BB

perpendicular al eje DE.

C y C

equidistan de la recta DE.

CC

perpendicular al eje DE.

4.1.1. Reflexi´ on con respecto al eje Y

4.1.2. Reflexi´ on con respecto al eje X

En resumen:

La imagen de un punto P (x, y) que se refleja con respecto al eje X corresponde a P

(x, −y).

Si la reflexi´ on se realiza con respecto al eje Y , la imagen de P resulta P

(−x, y).

4.1.3. Ejercicios

1) Refleja el punto A respecto de cada recta:

2) Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje X, obteniendo las siguientes im´ agenes:

a) (−3, 10) b) (−8, −9)

c) (0, −4) d) (−11, −1)

e) (−21, 0)

f) (−2; 0, 1)

d) (−9, 4) e) (0, −10)

f) (0, −10) g) (6; −1, 1) h) (−8, 5; 1, 3)

i) ( −2 3 , −4

9 )

4) Aplica las reflexiones y determina los v´ ertices de las im´ agenes:

a) Tri´ angulo de v´ ertices A(0, 0), B(3, 8) y C(–2, 1) respecto del eje X.

b) Cuadril´ atero de v´ ertices P (−4, −3), Q(1/8, −2/3), R(2, −2) y S(−1/8, −7) respecto al eje X.

c) Pent´ agono de v´ ertices A(−4, −3), B(−3, −5), C(−1, −5), D(0, −3) y E(−2, −2) respecto al eje X.

d) La diagonal de un cuadrado tiene como extremos los puntos (1, 1) y (–3, 5). Refleja el cuadrado respecto del eje Y . ¿Cu´ ales son las coordenadas de los extremos de la diagonal resultante?

e) Un rect´ angulo ha sido reflejado con respecto al eje X quedando los extremos de una

diagonal en los puntos (1, 2) y (4, –2) ¿Cu´ ales son las coordenadas de los v´ ertices

del rect´ angulo original?

f) Un rect´ angulo que tiene dos de sus v´ ertices en los puntos (–1, 1) y (3, 4), se refleja con respecto al origen. ¿Cu´ ales son las nuevas coordenadas del rect´ angulo?

g) La diagonal de un pent´ agono regular de coordenadas E(–4, 1) y H(−5/2; 5, 6) es

reflejado con respecto a la recta y = 5, y el resultante es reflejado con respecto a

la recta x = 2. ¿Cu´ ales son las coordenadas de la diagonal del pent´ agono luego de

hacer la segunda reflexi´ on?

4.2. Simetr´ıa central

Es una transformaci´ on isom´ etrica en que un punto se refleja con respecto a otro punto fijo llamado centro de simetr´ıa.

En la figura, al tri´ angulo ABC se le aplic´ o una simetr´ıa central respecto al origen (0, 0) obteniendo como imagen A

B

C

.

A(2, 2) → A

(−2, −2) B(4, 2) → B

(−4, −2) C(2, 5) → C

(−2, −5)

En el plano cartesiano, la imagen de un punto P (x, y) que se refleja con respecto al origen

es P

(−x, −y).

4.3. Ejercicios

1) Construye la sim´ etrica a cada figura aplicando simetr´ıa central de acuerdo al punto indicado:

a) Respecto del punto D

b) Respecto del punto E

c) Respecto del punto H

2) ¿Cu´ ales son las coordenadas del punto P

, sim´ etrico de P en la simetr´ıa de centro el punto O?

3) O(1, 1), P (−3, −3)

4) O(−2, 1), P (2, −3)

5. Rotaci´ on

La rotaci´ on es una transformaci´ on en el plano que consiste en girar todos los puntos de una figura en torno a un punto O fijo llamado centro de rotaci´ on, en una medida angular α llamado ´ angulo de rotaci´ on, tal que cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia que tiene como centro O y un ´ angulo α.

Recuerda que si el ´ angulo de rotaci´ on es positivo, el giro se realiza en sentido anti horario y si el ´ angulo de rotaci´ on es negativo, el giro se realiza en sentido horario.

En la figura el tri´ angulo ABC fue rotado con respecto al punto P en un ´ angulo de 90

. Observaci´ on: La equivalencia de un ´ angulo α en sentido antihorario en otro ´ angulo en sen- tido horario se puede calcular como 360

–α.

Por ejemplo, la rotaci´ on en 90

en sentido antihorario, es equivalente a realizar la rotaci´ on

en 270(–90

) en sentido horario, ya que, 360

–90

= 270

.

5.1. Rotaci´ on del tri´ angulo A respecto al origen en 90 ^o

A(0, 0) → A

(0, 0) → A

(0, 0) → A

(0, 0) B(3, 0) → B

(0, 3) → B

(−3, 0) → B

(0, −3) C(0, 2) → C

(−2, 0) → C

(0, −2) → C

(2, 0)

Para rotar un punto P (x, y) en el plano cartesiano respecto al origen (O) y un ´ angulo de rotaci´ on α, el punto imagen se obtiene utilizando las siguientes expresiones:

R(0, 90

)(x, y) = (–y, x) R(0, 180

)(x, y) = (–x, –y)

R(0, 270

)(x, y) = (y, –x) R(0, 360

)(x, y) = (x, y)

R(0, –90

)(x, y) = (y, –x)

5.2. Ejercicios

1) Aplica la rotaci´ on con respecto al origen seg´ un el ´ angulo de giro indicado para cada uno de los puntos.

a) R(0, 90

)(5, –2) b) R(0, 270

)(1, –1)

c) R(0, 180

)(–8, 3) d) R(0, 360

)(–6, –5)

e) R(0, –270

)(9, –15) f) R(0, –90

)(–14, –36) g) R(0, –180

)(–2, –7) h) R(0, –360

)(–32, 5)

2) Identifica el ´ angulo de rotaci´ on aplicado para obtener la imagen dada.

a) R(0, α)(–1, 3) = (3, 1) b) R(0, α)(5, –2) = (–2, –5)

c) R(0, α)(–6, –7) = (6, 7) d) R(0, β)(–1, –5) = (5, –1)

e) R(0, µ)(–8, –10) = (8, 10) f) R(0, γ)(5, –3) = (–3, –5) g) R(0, δ)(1, 5) = (1, 5) h) R(0, )(–3, 7) = (–7, –3)

3) Identifica las coordenadas del punto original, dados el ´ angulo de giro y su imagen.

a) R(0, 90

)(x, y) = (5, –9) b) R(0, 180

)(x, y) = (–1, 2)

c) R(0, 270

)(x, y) = (–8, 0) d) R(0, 360

)(x, y) = (–10, –3

o

4) Identifica el ´ angulo de giro opuesto equivalente al ´ angulo dado.

a) –60

b) 370

c) 120

d) –10

e) –200

f) 180

5) Resuelve los siguientes problemas.

a) ¿Cu´ ales son las coordenadas del punto (–3, –5) una vez que se le ha aplicado la rotaci´ on R(0, 90

)

b) ¿Cu´ ales son las coordenadas del punto (1, 7) una vez que se le ha aplicado la rotaci´ on R(0, 180

)?

c) Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto al origen en 90

son (4, 1),

¿cu´ ales son las coordenadas del punto antes de rotarlo?

d) Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto al origen en 180

son (–2, 5),

¿cu´ ales son las coordenadas del punto antes de rotarlo?

e) Los v´ ertices de un tri´ angulo son A(–1, –1), B(–3, –1) y C(–1, –4) y se le ha aplicado

una rotaci´ on R(0, 90

). ¿Cu´ ales son los v´ ertices despu´ es de la rotaci´ on?

f) El cuadrado cuyos extremos de la diagonal son los puntos M (3, 1) y N (3, –1) se le ha aplicado una rotaci´ on R(0, 180

) ¿Cu´ ales son las nuevas coordenadas de los v´ ertices del cuadrado?

g) Uno de los v´ ertices de un tri´ angulo est´ a sobre el origen y los otros dos corresponden a los puntos P (–3, –1) y Q(0, –5) ¿Cu´ al es la nueva coordenada de P al ser rotado en 90

?

h) A un cuadril´ atero ABCD se le ha aplicado la rotaci´ on R(O, –90

). Si la figura resul- tante tiene v´ ertices A

(–3, 4), B

(–4, 7), C

(–1, 8) y D

(–1, 7), determina los v´ ertices del cuadril´ atero ABCD.

i) Un arquitecto est´ a modificando el plano de un departamento. Le solicitaron rotar en

180

la puerta cuyos v´ ertices se ubican en los puntos (7, –2) y (6, –3), considerando

como centro de rotaci´ on el punto (1, –3) ¿Cu´ ales son las coordenadas del nuevo lugar

donde ir´ a la puerta?.