Bioestadística: Variables Aleatorias. Distribuciones de Probabilidad I

Bioestadística: Variables Aleatorias.

Distribuciones de Probabilidad I

M. González

Departamento de Matemáticas. Universidad de Extremadura

Variables Aleatorias: Conceptos Básicos

1. Considera el experimento aleatorio "observar el sexo de los hijos de una familia con 3 descendientes".

(a)

Construye el espacio de probabilidad asociado sabiendo que la probabilidad de ser varón es 0.49.

(Ω, P) V-Varón; M-Mujer

Ω = {VVV, VVM, VMV, MVV, VMM, MVM, MMV, MMM}

P(VVV) = 0.49

³

P(VVM) = 0.49

²

∗ 0.51 = P(VMV) = P(MVV)

P(VMM) = 0.49 ∗ 0.51

²

= P(MVM) = P(MMV)

P(MMM) = 0.51

³

Variables Aleatorias: Conceptos Básicos

1.(b)Calcula el espacio de probabilidad de la variable aleatoria (v.a.) X="número de hijos varones de una familia con 3 hijos", y calcula la probabilidad de que la variable sea menor o igual que -0.05, 0, 0.5, 1, 3, 3.5

X : Ω −→ Ω⁰= {0, 1, 2, 3} (Ω⁰, P^X) VVV −→ 3

VVM −→ 2

. . .

MMV −→ 1

MMM −→ 0

P^X({0}) = P(X = 0) = P({ω ∈ Ω : X(ω) = 0}) = P(MMM) = 0.51³ P^X({1}) = P(X = 1) = P({ω ∈ Ω : X(ω) = 1}) =

= P({VMM, MMV, MVM}) = 3 ∗ 0.49 ∗ 0.51² P^X({2}) = P(X = 2) = P({ω ∈ Ω : X(ω) = 2}) =

= P({VVM, VMV, MVV}) = 3 ∗ 0.49²∗ 0.51

P^X({3}) = P(X = 3) = P({ω ∈ Ω : X(ω) = 3}) = P(VVV) = 0.49³

Variables Aleatorias: Conceptos Básicos

1.

(c)

Calcula E[X] y Var[X].

(Ω

⁰

, P

^X

) Ω

⁰

= {0, 1, 2, 3}

P

^X

({0}) = P(X = 0) = 0.51

³

P

^X

({1}) = P(X = 1) = 3 ∗ 0.49 ∗ 0.51

²

P

^X

({2}) = P(X = 2) = 3 ∗ 0.49

²

∗ 0.51 P

^X

({3}) = P(X = 3) = 0.49

³

E[X] = µ

_X

= P

xi∈Ω⁰

x

_i

P

^X

({x

_i

}) =

0 ∗ P

^X

({0}) + 1 ∗ P

^X

({1}) + 2 ∗ P

^X

({2}) + 3 ∗ P

^X

({3}) = 1.47 Var[X] = σ

²_X

= P

xi∈Ω⁰

(x

_i

− E[X])

²

P

^X

({x

_i

}) = P

xi∈Ω⁰

x

_i²

P

^X

({x

_i

}) − E[X]

²

= 0

²

∗ P

^X

({0}) + 1

²

∗ P

^X

({1}) + 2

²

∗

P

^X

({2}) + 3

²

∗ P

^X

({3}) − 1.47

²

= 0.7497

Variables Aleatorias: Conceptos Básicos

1.(d)Si Y="número de hijas de una familia con 3 descendientes", ¿son X e Y independientes?

Y : Ω −→ Ω⁰ = {0, 1, 2, 3} (Ω⁰, P^Y) VVV −→ 0

VVM −→ 1

. . .

MMV −→ 2

MMM −→ 3

P^Y({0}) = P(Y = 0) = P({ω ∈ Ω : Y(ω) = 0}) = P(VVV) = 0.49³ P^Y({1}) = P(Y = 1) = P({ω ∈ Ω : Y(ω) = 1}) =

= P({VVM, VMV, MVV}) = 3 ∗ 0.49²∗ 0.51 P^Y({2}) = P(Y = 2) = P({ω ∈ Ω : Y(ω) = 2}) =

= P({VMM, MMV, MVM}) = 3 ∗ 0.49 ∗ 0.51²

P^Y({3}) = P(Y = 3) = P({ω ∈ Ω : Y(ω) = 3}) = P(MMM) = 0.51³

Variables Aleatorias: Conceptos Básicos

1.

(d)

Si Y="número de hijas de una familia con 3 descendientes",

¿son X e Y independientes?

Independencia de Variables Aleatorias

X e Y son independientes si para todo A, B ⊆ Ω

⁰

P({X ∈ A} ∩ {Y ∈ B}) = P({X ∈ A})P({Y ∈ B})

P({X = 1} ∩ {Y = 1}) =

P({VMM, MVM, MMV} ∩ {VVM, VMV, MVV}) = P(∅) = 0

P(X = 1)P(Y = 1) 6= 0

DEPENDIENTES

Variables Aleatorias: Distribución Binomial

Experimento aleatorio inicial:Ω = {EXITO(E), FRACASO(F)}, P(E) = p, P(F) = 1 − p.

Experimento aleatorio:"Repetir n veces de forma independiente el experimento aleatorio inicial" (p = P(E) constante)

Ωⁿ= {E . . . E, FE . . . E, · · · , F . . . FE, F . . . F}

P(E . . . E) = pⁿ

P(FE . . . E) = pⁿ⁻¹(1 − p) = P(EFE . . . E) = · · · = P(E . . . EF) P(FFE . . . E) = pⁿ⁻²(1 − p)² = P(FEFE . . . E) = · · · = P(E . . . EFF) P(F . . . F) = (1 − p)ⁿ

X =número de éxitos en las n repeticiones independientes del experimento inicial.

X : Ωⁿ→ {0, 1, . . . , n}

P(X = k) =

 n k



p^k(1 − p)^n−k, k = 0, . . . , n

X ∼ B(n, p) E[X] = µX = np, Var[X] = σ_X² = np(1 − p)

Variables Aleatorias: Distribución Binomial

3. Se sabe que un determinado antígeno da reacciones positivas en un 20% de la población. ¿Cuál es la probabilidad de que tomando 5 muestras de sangre al azar, se produzca reacción como máximo en dos de las muestras?. ¿Y exactamente en 3 de ellas? ¿Y en ninguna de las muestras?

X=número de muestras de sangre entre 5 tomadas al azar que dan

positivo ante el antígeno

∼ B(5, 0.2)

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.328 + 0.410 + 0.205 = 0.943

P(X = 3) = 0.051

P(X = 0) = 0.328

Variables Aleatorias: Distribución Normal

Es el modelo teórico que viene determinado por la siguiente función de densidad, definida en toda la recta real:

f (x) = 1 σ √

2π e

^{−(x−µ)2/2σ2}

, −∞ < x < ∞

Intuitivamente, es la distribución de probabilidad que se asume para variables consideradas simétricas respecto a su media y cuyos valores se disponen en un "histograma" que se ajusta a la forma de la llamada campana de Gauss

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

N(⁰, 1)

Los parámetros de esta distribu-

ción son su media, µ, que es el

eje de simetría de la gráfica, y la

varianza σ

²

. Escribiremos X ∼

N(µ, σ

²

)

Variables Aleatorias: Distribución Normal

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.00.10.20.30.4

N(0,1)

x

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.000.100.20

N(0,4)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.00.10.20.30.4

N(2,1)

x

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.000.100.20

N(2,4)

Variables Aleatorias: Distribución Normal

TIPIFICACIÓN:

X ∼ N(µ, σ²) ⇒ Z = X − µ

σ ∼ N(0, 1) A la distribución N(0, 1) se le denomina Normal Estándar.

TABLA III-2:u ≥ 0 → P(Z ≤ u)

u P((Z≤≤u))

La distribución N(0, 1) es lasimétricarespecto al 0, es decir, si Z ∼ N(0, 1) P(Z ≤ u) = P(Z ≥ −u) P(Z ≥ u) = P(Z ≤ −u)

u −u

Variables Aleatorias: Distribución Normal

9.

Supongamos que la presión diastólica en mujeres hipertensas se centra entorno a una media de 100mm con una desviación típica de 14mm y que su distribución es normal. Calcula:

(a) La probabilidad de que la presión diastólica sea menor que 88mm.

(b) La probabilidad de que la presión diastólica sea mayor que 115mm.

X =presión diastólica de una mujer hipertensa ∼ N(100, 14²) (a)

P(X < 88) = P X − 100

14 < 88 − 100 14



Z =X − 100

14 ∼ N(0, 1)

= P(Z < −0.86) = P(Z > 0.86) = 1 − P(Z ≤ 0.86)

= 1 − 0.8051 = 0.1949

Variables Aleatorias: Distribución Normal

9.

X =presión diastólica de una mujer hipertensa ∼ N(100, 14²) (c)La probabilidad de que la presión diastólica se encuentre entre 96 y 104mm.

P(96 ≤ X ≤ 104) = P 96 − 100

14 ≤X − 100

14 ≤104 − 100 14



= P(−0.29 ≤ Z ≤ 0.29) = P(Z ≤ 0.29) − P(Z ≤ −0.29)

= P(Z ≤ 0.29) − (1 − P(Z ≤ 0.29))

= 2 ∗ P(Z ≤ 0.29) − 1 = 2 ∗ 0.6141 − 1

= 0.2282

0.29

−0.29

Variables Aleatorias: Distribución Normal

TABLA III-1:

α ∈ [0, 1] → z

_α

≥ 0 Z ∼ N(0, 1)

P(Z ≥ zα) = α/2 P(Z ≤ zα) = 1 − α/2 P(−zα≤ Z ≤ zα) = 1 − α

9.

X =presión diastólica de una mujer hipertensa ∼ N(100, 14²)

(d)El valor t, tal que la probabilidad de que la presión sea menor que t, sea 0.95.

P(X < t) = 0.95 ⇔ P X − 100

14 ≤t − 100 14



= 0.95

⇔ P



Z ≤ t − 100 14



= 0.95

1 − α/2 = 0.95 ⇒ α = 0.1 t − 100

14 =z0.1= 1.645⇒ t = 100 + 14 ∗ 1.645 = 123.03

Variables Aleatorias: Distribución Normal

TABLA III-1:

α ∈ [0, 1] → z

_α

≥ 0 Z ∼ N(0, 1)

P(Z ≥ zα) = α/2 P(Z ≤ zα) = 1 − α/2 P(−zα≤ Z ≤ zα) = 1 − α

9.

X =presión diastólica de una mujer hipertensa ∼ N(100, 14²)

(e)El valor t, tal que la probabilidad de que la presión sea mayor que t, sea 0.95.

(f)Dos valores simétricos entorno a la media tales que la probabilidad de que la presión esté entre ellos sea de 0.95.

P(100 − t < X < 100 + t) = 0.95 ⇔

⇔ P (100 − t) − 100

14 ≤ X − 100

14 ≤ (100 + t) − 100 14



= 0.95

⇔ P −t

14 ≤ Z ≤ t 14



= 0.95 1 − α = 0.95 ⇒ α = 0.05

t

14 =z0.05= 1.960⇒ t = 14 ∗ 1.960 = 27.44 100 − t = 72.56 100 + t = 127.44