Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ESTADÍSTICA Prueba de Evaluación Continua 14-XII-17

1.- Una empresa que produce baterías tiene dos plantas de fabricación, la A y la B. Cada 1000 baterías fabricadas en A una es defectuosa. Cada batería fabricada en B tiene una probabilidad de 0.002 de ser defectuosa. Si las plantas A y B producen el 65% y el 35% de las unidades respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que una batería fabricada en la empresa, sea defectuosa? Si tomamos una batería al azar y observamos que es defectuosa,

¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada en la planta B?

(2 puntos)

2. Sea c una constante y consideremos la función de densidad de una variable aleatoria X:

 

x si 0 x 1 f x c x si 1 x 2

0 en el resto

  

   



. Se pide:

a) El valor de c.

b) La función de distribución.

c) Calcular la P( 0.5 X 0.5)   . d) La mediana.

e) La varianza.

(2 puntos)

3.- Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera:

a) Nadie acceda a la página.

b) Se reciban más de dos entradas en un minuto.

Nos interesa saber:

c) La moda de la distribución.

d) La mediana de la distribución.

(2 puntos)

4.- Sabiendo que el número de alumnos que pasan cada año al tercer curso de una escuela sigue una distribución normal N(120,10), calcular:

a) Probabilidad de que pasen más de 140.

b) Probabilidad de que pasen entre 100 y 130.

c) ¿Qué número de plazas debe haber disponibles en tercero para que se puedan matricular todos los que lo deseen con probabilidad 0,98? (2 puntos)

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ESTADÍSTICA 1.- Una empresa que produce baterías tiene dos plantas de fabricación, la A y la B. Cada 1000 baterías fabricadas en A una es defectuosa. Cada batería fabricada en B tiene una probabilidad de 0.002 de ser defectuosa. Si las plantas A y B producen el 65% y el 35% de las unidades respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que una batería fabricada en la empresa, sea defectuosa? Si tomamos una batería al azar y observamos que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que fuera fabricada en la planta B?

Solución:

Describimos los sucesos elementales que se definen en este problema de la forma siguiente:

Sea A el suceso, {la batería fue fabricada en la planta A}.

Sea B el suceso, {la batería fue fabricada por la planta B}.

Sea D el suceso, {la batería es defectuosa}

Las baterías defectuosas pueden haber sido fabricadas en A o en B y nos informan que una de cada mil baterías fabricadas en A, son defectuosas, es decir, tenemos como dato

P(D / A) 1/1000 también sabemos que P(D / B) 2 /1000 .

Así pues, la probabilidad de que sea defectuosa de A es:

1 65 65

P(D A) P(D / A)P(A)

1000 100 10000

     y de que sea defectuosa de B es:

2 35 70

P(D B) P(D / B)P(B)

1000 100 10000

     , por tanto, la probabilidad de que una batería sea defectuosa es la suma de las probabilidades anteriores:

65 70 135

P(D) P(D / A)P(A) P(D / B)P(B)

100000 100000 100000

     =0,00135

Ahora nos piden:

P(B/D)= P(B∩D) /P(D)=P(B)P(D/B)/P(D) =35*2/135=0,5185 de probabilidad de que una batería defectuosa sea fabricada en la planta B.

2. Sea c una constante y consideremos la función de densidad de una variable aleatoria X:

 

x si 0 x 1 f x c x si 1 x 2

0 en el resto

  

   



. Se pide:

a) El valor de c.

b) La función de distribución.

c) Calcular la P( 0.5 X 0.5)   . d) La mediana.

e) La varianza.

Solución:

a) ¹ ²

 

0 1

1 f (x)dx xdx c x dx

















  ¹²^₂⁰² ^^{c(2 1)}^{ }²²₂^¹² ^^{2c 1}^{ } ^{c 2}^ b) Si x 0 , ^{F x}

 

^⁰^.

Si 0 x 1  ,

 

^x ²

0

F x tdt x





 2 ^.

Si 1 x 2,

    

^x



² ²

1

1 x 1 x

F x F 1 2 t dt 2x 2 1 2x

2 2 2

 



          ^.

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ESTADÍSTICA

 

2

0 si x 0 x si 0 x 1 F x 2

1 2x x si 1 x 2 2

1 si 2 1

 

  

 

    

 

 c)

 

^0.5_0.5 ₀^0.5 ^0.5²

P 0.5 X 0.5 f (x)dx xdx 2

   



 



  ¹₈ O bien,

     

^0.5²

P 0.5 X 0.5 F 0.5 F 0.5 0

       2   ¹

8 d) ^{F x}

 

^x² ¹

2 2

   ^x  ¹

e)

 

¹ ²

 

0 1

E X x f (x) dx x xdx x 2 x dx 1 2 1 3 3



  



   



 



     ^.

 

² ¹

 

² ²

  

²



2

0 1

1 1

V[X] x f (x) dx x 1 xdx x 1 2 x dx

12 12



  



     



  



      ¹₆

3.- Por término medio se reciben tres accesos a una página web durante un minuto cualquiera, utilizar el modelo de Poisson para calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera:

a) Nadie acceda a la página.

b) Se reciban más de dos entradas en un minuto.

Nos interesa saber:

c) La moda de la distribución.

d) La mediana de la distribución Solución:

Si X es el suceso “número accesos en un minuto”, entonces ^{X P}^



^{  .}³



Función de probabilidad ^{P X k}

 

^k ^e

k!

 

 

a) ^{P X 0}

 

³⁰ ^e ³

0!

    0.04978706836

b)

0 1 2

3 3 3

P(X 2) 1 P(X 2) 1 e e e

0! 1! 2!

  

 

        

  0.5768099188

c) Buscamos el máximo en la distribución de probabilidad:

 

³⁰ ³

P X 0 e 0.04978706836 0!

   

 

³¹ ³

P X 1 e 0.1493612051 1!

   

 

³² ³

P X 2 e 0.2240418076 2!

   

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: ESTADÍSTICA

 

³³ ³

P X 3 e 0.2240418076 3!

   

 

³⁴ ³

P X 4 e 0.1680313557 4!

   

Luego 2 y 3 constituyen la moda

d) Ahora en la función de distribución k tal que F(k)=0.5, o bien, F(k)>0.5

 

3

k 0

F(3) P X k 0.6472318887





  . Por tanto, 3 es la mediana.

4.- Sabiendo que el número de alumnos que pasan cada año al tercer curso de una escuela sigue una distribución normal N(120,10), calcular: a) Probabilidad de que pasen más de 140. b) Probabilidad de que pasen entre 100 y 130. c) ¿Qué número de plazas debe haber disponibles en tercero para que se puedan matricular todos los que lo deseen con probabilidad 0,98?

Solución:

Sea X= “número de alumnos que pasan a tercero” N(120,10) a) P(X 140) 1 P(X 140) 1 F(140)       0,0228

b) P 100 X 130



 



P X 130





 

P X 100



F(130) F(100)  0,8185 c) x = número de plazas

En este caso, conviene tipificar para poder calcular el percentil 98:

 

P X x 0,98 X 120 x 120

P 0,98

10 10

 

 

   

N(0,1)

x 120 x 120

P Z F 0,98

10 10

 

   

      , le corresponde al valor 2,05, luego x 120

10 2,05

  de donde x=140,5, luego el número de plazas disponibles debe ser de 141.