Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

(1)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

GRUPO A

Prueba de Evaluación Continua 4-XII-19

1.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una conduce al recinto A en la que hay 4 coches de los que sólo 3 tienen gasolina y la otra al recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una puerta y un coche, se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de escapar? 1 Punto

b) Si se sabe que ha escapado, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido por la puerta B?

En cada caso enunciar el teorema correspondiente. 1 Punto

2.- Los artículos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario y, se estima que la probabilidad de que en un día sean vendidos “x” artículos defectuosos es

( )

^{2 1} ^x

P X x

3 3

= =     . Determinar la probabilidad de que, en un día, de los artículos vendidos:

a. Dos o más sean defectuosos. 0,5 Puntos b. Cinco sean defectuosos. 0,25 Puntos c. Tres o menos sean defectuosos. 0,5 Puntos d. P(1 ≤ X ≤ 4). 0,25 Puntos

e. Mediana de la distribución. 0,5 Puntos

3.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años, que se distribuye según una distribución de Poisson de media cuatro años.

a) Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria T. 0,5 Puntos

b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años.

0,5 Puntos

c) ¿Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos? 0,5 Puntos

d) Calcular la probabilidad de que un componente electrónico que ha funcionado ya más de cuatro años tenga una vida útil mayor de siete años. 0,5 Puntos

4.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl y desviación estándar 1 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl? 0,1 Puntos

2. Al menos 33.5 cl? 0,1 Puntos 3. Menos de 32 cl? 0,1 Puntos 4. Entre 32 y 34 cl? 0,1 Puntos

b) Calcular la cantidad de centilitros que corresponden, respectivamente, a los percentiles P95 y P50. 0,6 Puntos

c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos? 1 Punto

Fecha de publicación de calificaciones: miércoles 19 de diciembre

Revisión de la prueba: en el horario de tutorías del profesor, despacho 306

(2)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

GRUPO B

Prueba de Evaluación Continua 4-XII-19

1.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan, respectivamente, el 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2, 0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?

b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del primer radar?

En cada caso enunciar el teorema correspondiente.

2.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad

( )

^k para x=0, 1, 2, 3 x!(3 x)!

P X x

0 en el resto de valores

 −

= = 



a) Calcular k para que efectivamente sea una función de probabilidad.

b) Obtener la función de distribución c) Calcular la mediana

d) Hallar la esperanza matemática

3. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar:

A) Probabilidad de que transcurran 20 segundos y pasen más de 5 vehículos.

B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo.

4.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 3 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl.

c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?

Fecha de publicación de calificaciones: miércoles 19 de diciembre

Revisión de la prueba: en el horario de tutorías de la profesora, despacho 325.

(3)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

GRUPO A

1.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una conduce al recinto A en la que hay 4 coches de los que sólo 3 tienen gasolina y la otra al recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una puerta y un coche, se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de escapar?

b) Si se sabe que ha escapado, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido por la puerta B?

Solución:

Sean los sucesos:

E = “escapar”; A =”elige la puerta A”; B =”elige la puerta B”

Según el enunciado, P(A) = 0.5; P(B) = 0.5; P(E/A) =3/4= 0.75; P(E/B)= 0.2;

a) Teorema de la probabilidad total

P(E) = P(E/A)·P(A) + P(E/B)·P(B) = 0.75·0.5 + 0.2·0.5 = 19/40= 0.475 b) Teorema de Bayes

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P E / B ·P B P(B / E)

P E / A ·P A P E / B ·P B

= =

+

0.1 0.475= 4

=0.2105263157 19

2.- Los artículos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario y, se estima que la probabilidad de que en un día sean vendidos “x” artículos defectuosos es

( )

^{2 1} ^x

P X x

3 3

= =     . Determinar la probabilidad de que, en un día, de los artículos

vendidos:

a. Dos o más sean defectuosos.

b. Cinco sean defectuosos.

c. Tres o menos sean defectuosos.

d. Hallar P(1 ≤ X ≤ 4).

e. Mediana de la distribución.

Solución:

Sea X el número de artículos defectuosos vendidos en un día; ^{P X}

(

^x

)

^{2 1} ^x

3 3

= =    

a)

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

^{2 1} ⁰ ^{2 1} ¹

P X 2 1 P X 2 1 P X 1 1 P X 0 P X 1 1

3 3 3 3

     

≥ = − < = − ≤ = − = + = = −    +    = . 1

9

(4)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

c) ^{P X 3}

(

^{≤ =}

) (

^{P X}^{= +}⁰

) (

^{P X 1}^{= +}

) (

^{P X}^{= +}²

) (

^{P X}^{= =}³

)

⁸⁰

81. d) ^{P 1 X}

(

^{≤ ≤}⁴

) (

⁼^{P X 1}^{= +}

) (

^{P X}^{= +}²

) (

^{P X}^{= +}³

) (

^{P X}⁼⁴

)

⁼ ⁸⁰

243

e)

( )

^x ⁱ

i 0

2 1 F(x) P X x 3 3

=

 

= 

≤ =

∑

  ; La mediana es cualquier valor xi tal que

i 1 i

F(x ) 1 F(x )

− < ≤2 . En nuestro caso se cumple para i=0.

3.- Un determinado componente electrónico tiene una vida útil (tiempo hasta rotura), T en años, que se distribuye según una distribución de Poisson de media cuatro años.

a) Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria T.

b) Calcular la probabilidad de que el componente electrónico falle antes de tres años.

c) ¿Cuál será la vida útil del 95% de estos componentes electrónicos?

d) Calcular la probabilidad de que un componente electrónico que ha funcionado ya más de cuatro años tenga una vida útil mayor de siete años.

Solución:

a) La distribución de Poisson se caracteriza por tener un único parámetro λ que coincide con la media, por lo tanto, la función de probabilidad es:

k k

4 4

P(T k) e e

k! k!

−λ −

= =λ = para k=0,1,2,3,……

b) El componente electrónico fallará antes de tres años si su vida útil es menor que tres años.

F(T<3)=P(T=0)+P(T=1)+P(T=2)= 0,2381033055 c) La vida útil t pedida, es la solución de la ecuación F(t)=0,95 La función de distribución es:

k 4 k t

F(t) P(T t) 4 e 0, 95 k!

−

≤

= ≤ =

∑

=

Por ser una variable aleatoria discreta puede que no exista un número entero que satisfaga la ecuación. Obtenemos que F(7)= 0,9488663842 y F(8)= 0,9786365655, luego la respuesta es 8 años

d) P(T 7 T 4) P(T 7) 1 F(7) 1 0,9488663842

P(T 7 / T 4)

P(T 4) P(T 4) 1 F(4) 1 0,6288369351

> ∩ > > − −

> > = = = = ≈

> > − −

0,1377659057

4.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl y desviación estándar 1 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl?

2. Al menos 33.5 cl?

3. Menos de 32 cl?

4. Entre 32 y 34 cl?

b) Calcular la cantidad de centilitros que corresponden, respectivamente, a los percentiles P95 y la mediana.

c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?

Solución:

a)

(5)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

1.

( )

³³

( )

33

P X= =

∫

f x dx= ⁰

2. ^{P X}

(

^≥^{33 5}^.

)

^{= −}¹ ^{P X}

(

^<^{33 5}^.

)

^{= −}¹ ^F

(

^{33 5}^.

)

⁼^0.308537.

3. ^{P X}

(

^<³²

)

⁼^F

( )

³² ⁼ ^{0 158655}^. ^.

4. ^P

(

³²^{< <}^X ³⁴

)

⁼^F

( ) ( )

³⁴ ⁻^F ³² ⁼ ^{0 682689}^. ^.

b)

(

0 95_.

)

0 95

(

0 95_.

)

0 95 0 95_.

P X≤x = . ⇒F x = . ⇒x = 34 64. =P95

(

0 5_.

)

0 5

( )

0 5_. 0 5 0 5_.

P X≤x = . ⇒F x = . ⇒x = 33 =Mediana c) Sea B=6X la variable aleatoria contenido de 6 botes.

( ) (

^{6 33} ⁶

) (

¹⁹⁸ ⁶

)

B≡N n· , µ σ n =N · , 1⋅ =N , , por tanto, calculamos

(

¹⁷⁵

) ( )

¹⁷⁵

P B< =F = 3 10⋅ ⁻²¹

GRUPO B

1.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan el 40%, 30%, 20% y 30% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,2, 0,1, 0,5 y 0,2 cuando pasa por cada uno de los puntos con radar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa?

b) Sabiendo que ha recibido una multa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del primer radar?

Solución:

Consideramos los siguientes sucesos: M = “multa por exceso de velocidad”

B1 = “pasar por radar 1”; B2 = “pasar por radar 2”; B3 = “pasar por radar 3”; B4 = “pasar por radar 4”

Datos:

( )

1

P B =0, 2; P(M / B )₁ =0, 4

( )

2

P B =0,1; P(M / B )₂ =0, 3

( )

3

P B =0, 5; P(M / B )₃ =0, 2

( )

4

P B =0, 2; P(M / B )₄ =0, 3

(6)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

1 2 3 4

M M M M

P(M) P P(B ) P P(B ) P P(B ) P P(B )

B B B B

 

     

=   +   +   +   =

0, 4 0, 2 0, 3 0,1 0, 2 0, 5 0, 3 0, 2

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 0, 27

b) Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)

(

1

)

1 ¹

1

P M P(B )

P B M B 0, 4 0, 2

P B M P(M) P(M) 0, 27

 

  ⋅

 

  = = = =

 

 

 8

27

2.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad

( )

^k para x=0, 1, 2, 3

x!(3 x)!

P X x

 −

= = 



a) Calcular k para que efectivamente sea una función de probabilidad.

b) Obtener la función de distribución.

c) Calcular la mediana.

d) Hallar la esperanza matemática.

Solución:

a) Para que sea una función de probabilidad se tiene que cumplir que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

i 0

1 P X i P X 0 P X 1 P X 2 P X 3

=

∑

= = = + = + = + = =

k k k k 1 1 1 1 4

k k

0!(3 0)! 1!(3 1)! 2!(3 2)! 3!(3 3)! 6 2 2 6 3

 

= − + − + − + − =  + + + = ⇒

k 3

=4 Por tanto,

( )

^{3 / 4} para x=0, 1, 2, 3 x!(3 x)!

P X x

 −

= = 



b) Función de distribución

( )

^x

i 0

3 1 F(x) P X x

4 i!(3 i)!

=

= ≤ =

∑

−

Resultando

( )

0 si x<0 1 si 0 x<1 8

F x 1 si 1 x<2 2

7 si 2 x<3 8

1 si 3 x



 ≤



= ≤

 ≤



 ≤

c) La mediana es cualquier valor xi tal que F(x_{i 1}) ¹ F(x )_i

− < ≤2 . En nuestro caso se cumple para [1,2), diremos que la mediana es el punto medio: 1,5

d) Esperanza matemática

[ ]

³

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i 0

E X iP X i 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3

=

µ = =

∑

= = ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = =

(7)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

3 1 1 1 1

0 1 2 3

4 6 2 2 6

 

=  ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

3 2

3. Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar:

A) Probabilidad de que transcurran 20 segundos y pasen más de 5 vehículos.

B) Si un peatón tarda 10 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo.

Solución:

Distribución de Poisson de parámetro λ=6 en 60 segundos, luego para 20 segundos la frecuencia de paso de vehículos es 2:

k k

2 2

P(X k) e = e

k! k!

−λ −

= = λ

a)

5 k

2 k 0

P(X 5) 1 P(X 5) 1 2 e

k!

−

=

> = − ≤ = −

∑

≈ 0,01656360847 b) Para 10 segundos λ=1

0

1 1

P(X 0) e

0!

= = − ≈ 0,3678794411

4.- El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 33 cl y desviación estándar 3 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 34 cl?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado bote tenga menos de 30 cl.

c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?

Solución:

Sea X la variable aleatoria X = “contenido de un bote de cerveza en cl”, X ≈ N(33, 3) a) ^{P X}

(

^>³⁴

)

^{= −}^{1 P(X}^≤³⁴⁾^{= −}^{1 F(34)}^≈ ^0,3694

b) ^{P X}

(

^<³⁰

)

⁼^F(30)^≈ ^0,1587

c) Consideramos la variable aleatoria Y=6X, que se distribuye según una Normal de media 6x33 y de varianza 6x9.

Y=6X≡N(198, 3 6 ) P(Y<175)=F (175)Y ≈ 0,0009