Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

(1)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

GRUPO A

Prueba de Evaluación Continua 5-XII-18

1.- Tres plantas de una fábrica de automóviles producen diariamente 800, 1200 y 2000 unidades respectivamente. El porcentaje de unidades del modelo A es 60%, 20% y 40% respectivamente. Calcular la probabilidad de que:

a) Un automóvil elegido al azar sea del modelo A.

b) Un automóvil de este modelo haya sido fabricado en la primera planta.

(2 puntos)

2.- Un almacén distribuye un producto en exclusiva en una gran ciudad y lo recibe semanalmente de fábrica. El nº de millares de artículos vendidos cada mes, X, es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por:

3

0 si x<0 f (x) k(1 x) si 0 x 1

1 si x 1 x



= − ≤ <

 ≥



. Se pide:

a) k para que f(x) sea efectivamente función de densidad.

b) ^{P X}

(

^≤^0.5

)

^,^{P X}

(

^≤²

)

^,^{P 0}

(

^{≤ ≤}^X ²

)

^,^P(1<^X<²⁾ c) Media.

d) Moda.

(2 puntos)

3.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar:

a) El tipo de distribución.

b) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos.

c) El número medio de datos mal anotados.

(2 puntos)

4.- El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, se pide:

a) ¿Cuál es la duración total media de la carrera?

b) ¿Cuál es la probabilidad de batir el record establecido en 37 segundos?

c) Determinar con probabilidad del 0.95 el tiempo máximo que puede durar la carrera.

(2 puntos)

Fecha de publicación de calificaciones: miércoles 19 de diciembre

Revisión de la prueba: en el horario de tutorías del profesor, despacho 306

(2)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

GRUPO B

Prueba de Evaluación Continua 5-XII-18

1.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0,2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0,9.

a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador.

b) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo.

c) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador.

(2 puntos)

2.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular:

a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas.

b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas.

(2 puntos)

3.- El consumo de electricidad en kilovatios por persona y día en una familia se observó que era una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

x si 0 x 4

16

f (x) k si 4 x 8

0 en el resto

 ≤ ≤ 

 

= < < 

 

 

a) Hallar k para que f(x) sea efectivamente función de densidad.

b) Consumo máximo por persona y día.

c) Calcular el consumo medio por persona y día.

d) Calcular la probabilidad de que el consumo esté entre 3 y 5 kW.

(2 puntos)

4.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, 2).

a) ¿Cuál es la duración total media del proceso?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 215 minutos?

c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso.

(2 puntos)

Fecha de publicación de calificaciones: miércoles 19 de diciembre

(3)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

1.- Tres plantas de una fábrica de automóviles producen diariamente 800, 1200 y 2000 unidades respectivamente. El porcentaje de unidades del modelo A es 60%, 20% y 40% respectivamente. Calcular la probabilidad de que:

a) Un automóvil elegido al azar sea del modelo A.

b) Un automóvil de este modelo haya sido fabricado en la primera planta.

Solución:

Consideramos los siguientes sucesos:

A = “producir un automóvil modelo A”

B1 = “producir un automóvil en la planta 1”

Datos:

( )

1

800 1

P B =800 1200 2000 =5

+ + ; P(A / B )¹ =0, 6

( )

2

1200 3

P B =800 1200 2000 =10

+ + ; P(A / B )² =0, 2

( )

3

2000 1

P B =800 1200 2000 =2

+ + ; P(A / B )³ =0, 4

a) Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori)

1 2 3

1 3 1

A A A

P(A) P P(B ) P P(B ) P P(B ) 0, 6 0, 2 0, 4

B B B 5 10 2

 

   

=   +   +   = + + = ^{0, 38}

b) Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)

(

1

)

1 ¹

1

1 2 3

A 1

P P(B ) 0, 6

P B A B

B 5

P A P(A) P A P(B ) P A P(B ) P A P(B ) 0, 38

B B B

 

 

 

  = = = =

 

    +   +  

 0, 32

2.- Un almacén distribuye un producto en exclusiva en una gran ciudad y lo recibe semanalmente de fábrica. El nº de millares de artículos vendidos cada mes, X, es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por:

3

0 si x<0 f (x) k(1 x) si 0 x 1

1 si x 1 x



= − ≤ <

 ≥



Se pide:

a) k para que f(x) sea efectivamente función de densidad.

b) ^{P X}

(

^≤^0.5

)

^,^{P X}

(

^≤²

)

^,^{P 0}

(

^{≤ ≤}^X ²

)

^,^P(1^<^X^<²⁾

c) Media.

d) Moda.

Solución:

(4)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

a) Se cumple que: ⁰ ¹

( )

³ ₃

0 1

1 k 2

1 f (x)dx 0dx k 1 x dx dx

x 4

∞ ∞

−∞ −∞

=

∫

=

∫

+

∫

− +

∫

= + ⇒ ^k⁼²

b)

( )

^0,5

( )

³

0

P X≤0.5 =

∫

2 1 x− dx= ¹⁵₃₂

( )

¹

( )

³ ² ₃

0 1

P X 2 2 1 x dx 1 dx

≤ =

∫

− +

∫

x = ⁷₈

( )

P 0≤ ≤X 2 =

( )

¹

( )

³ ² ₃

0 1

P X 2 2 1 x dx 1 dx

≤ =

∫

− +

∫

x = ⁷₈

2 3 1

P(1 X 2) 1 dx

< < =

∫

x = ³₈

c) Media o Esperanza matemática:

( )

1

3

0 1

E[X] x f (x)dx x2 1 x dx x 1 dx x

∞ ∞

µ = =

∫

−∞ ⋅ =

∫

− +

∫

= ¹¹₁₀

d) Moda: es el máximo de la función de densidad

f(1)=1 y f(0)=2. Por tanto, la Moda es x=0

3.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar:

a) El tipo de distribución.

b) La probabilidad de que existan exactamente 4 datos incorrectos.

c) El número medio de datos mal anotados.

Solución:

a) Puede ser una distribución binomial de parámetros n=2000 y p=0,0002 o bien una distribución de Poisson de media np=0,4; ya que se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éxito o fracaso. Puesto que np es inferior a 5 utilizaremos la distribución de Poisson (Ley de casos raros).

b) Distribución de Poisson de parámetro λ=0,4, luego 0, 4^k ^0,4

P(X k) e

k!

= = − y exactamente

cuatro datos incorrectos

4

0, 4 0,4

P(X 4) e

4!

= = − ≈ 0,0007150080491 c) Media: λ=np= 0,4

4.- El tiempo en minutos que tarda un atleta en recorrer 100 metros sigue una distribución Normal, N(10,0.5). En una carrera por relevos de 4x100 metros, se pide:

a) ¿Cuál es la duración total media de la carrera?

(5)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

Solución:

El tiempo empleado por los 4 corredores será la suma de los tiempos de cada corredor:

1 2 3 4

Y=X +X +X +X ≡N( , )µ σ a) µ =E X

[

1+X2+X3+X4

]

=10 10 10 10+ + + = 40

[

1 2 3 4

]

² ² ² ²

V X X X X 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 1

σ = + + + = + + + =

1 2 3 4

Y=X +X +X +X ≡N(40,1) b) P(Y<37)=F(37)≈ 0,001349898031

c) ^{P Y}

(

^{< =}^t

)

^F(t)⁼^0,95⇒ t = 41,65

(6)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

1.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0,2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0,9.

a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador.

b) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo.

c) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador.

Solución:

Sean los sucesos

S = ”el despertador suena”, y S = el despertador no suena”

T = “el trabajador llega tarde”, y T = “el trabajador no llega tarde”

Del enunciado obtenemos las siguientes probabilidades P(S) = 0,8; P(T/S) = 0,2; P(T/S)=0,9.

a) ^{P T}

(

^^S

)

⁼^P

( )

^T_S ^·P(S)⁼^{0, 2·0,8}⁼ ^0,16

b) La probabilidad de llegar temprano es uno menos la probabilidad de que llegue tarde

( ) ( ) ( )

^T

^{( )} ( )

^T

^{( )}

P(T) P T S T S P ·P S P ·P S

S S

 

=     = + = 0,2·0,8 + 0,9·0,2 =

0,34

Por tanto la probabilidad de que llegue temprano es ^{P T}

( )

^{= −}^{1 P(T)}⁼ ^{0, 66 .}

c) Por la fórmula de Bayes

( )

^S ^{P S}

⁽

^T

⁾

^0,16

P T = P(T) =0, 34 =

0, 47

2.- Una prueba del examen de Estadística consiste en un cuestionario de 10 preguntas con tres posibles respuestas, solamente una de ellas correcta. Si contestamos a todas las preguntas de manera aleatoria, calcular:

a) La probabilidad de aprobar, es decir, contestar correctamente, al menos 5 de las 10 preguntas.

b) La probabilidad de no contestar bien a ninguna de ellas.

Solución:

Consideramos la variable aleatoria X=”número de respuestas correctas”

Tenemos una distribución B(10,1/3)

P(X = k) = ⁿ ^{p 1 p}^k

( )

^{10 k} ¹⁰ ¹ ^k ¹ ¹ ^{10 k}

k k 3 3

− −

  − =    − 

        

   

a)

k 10 k

4

k 0

10 1 1

P(X 5) 1 P(X 5) 1 1

k 3 3

−

=

    

≥ = − < = −     −  ≈

   

∑

  0,2131280800

b) P(X = 0) =

0 10 0 10

10 1 1 2

0 3 1 3 3

    −  − =  ≈

         

  0,01734152991

(7)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

x si 0 x 4

16

f (x) k si 4 x 8

0 en el resto

 ≤ ≤ 

 

= < < 

 

 

a) Hallar k para que f(x) sea efectivamente función de densidad.

b) Consumo máximo por persona y día.

c) Calcular el consumo medio por persona y día.

d) Calcular la probabilidad de que el consumo esté entre 3 y 5 kW.

Solución:

a)

4 8

0 4

1 f (x)dx x dx kdx 16

∞

=

∫

−∞ =

∫

+

∫

⇒ ^k⁼¹₈

b)

x si 0 x 4

16

f (x) 1 si 4 x 8

8

0 en el resto

 ≤ ≤ 

 

= < < ⇒

 

 

Moda=4 c)

4 8

0 4

x 1

f (x)dx x dx x dx

16 8

∞

µ =

∫

−∞ =

∫

+

∫

= ¹³₃ ^. d)

4 5

5 3

3 4

x 1

P(3 X 5) f (x)dx dx dx

16 8

< < =

∫

=

∫

+

∫

= ¹¹₃₂

4.- Un proceso de fabricación tiene tres fases consecutivas de tal manera que la duración en minutos de cada una de ellas viene dada, respectivamente, por las siguientes variables aleatorias independientes: N(50,5), N(70,3) y N(80, 2).

a) ¿Cuál es la duración total media del proceso?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso tenga una duración total inferior a 215 minutos?

c) Determinar con probabilidad del 0.97 el tiempo máximo que puede durar el proceso.

Solución:

X1≡N(50, 5); X₂ ≡N(70, 3); X₃ ≡N(80, 4), luego Y=X₁+X₂+X₃ ≡N( , )µ σ a)

Con µ =E Y

[ ] [ ] [ ] [ ]

=E X1 +E X2 +E X3 =50 70 80+ + = 200

(8)

Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )

²

2 2 2

1 2 3

V Y V X V X V X 5 3 2 36 6

σ = = + + = + + = ⇒ σ =

b) Y=X₁+X₂+X₃ ≡N( , )µ σ =N(200, 6)

( )

N(200,6)

P Y<215 =F (215)= 0.9937903346 c) P Y

(

< =t

)

FN(200,6)(t)=0.97⇒ t = 211.2847617