Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones

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  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

Prueba de evaluación continua Grupo D 17-XII-13

1.- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador?

(1 punto)

2.- Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. Se pide: a) Distribución de probabilidad de la v. a.

número de puntos obtenidos al lanzar un dado. b) Probabilidad de que al lanzarlo salga un número par. c) Media o Esperanza Matemática.

(1,5 puntos)

3.-La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es 0.65. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad.

b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana.

(1,5 puntos)

4.- Para la función de distribución 1ATAN(x) 2

F(x) 1



 , determinar: a) La función de densidad. b) Mediana. c) Moda. d) P(1 X 2)  . e) x tal que P(0 X x) 0.4  

(1,5 puntos)

5.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones X N(120,8) e YN(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores.

(1,5 puntos) 6.-

a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

1) P

 27 7

p 2) P

 1 t81

p b) Calcular el valor de la variable x que verifica:

1) P

 25 x

0.05 2) P t

6 x

0.1

(1 punto)

(2)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

1.- Se sabe que el 90% de los fumadores llegaron a padecer cáncer de pulmón, mientras que entre los no fumadores la proporción de los que sufrieron de cáncer de pulmón fue del 5%. Si la proporción de fumadores es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que elegido un enfermo de cáncer resulte ser fumador?

Solución:

Tenemos los siguientes sucesos: F= “fumador”; C= “cáncer”

Tenemos una partición en dos grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(F)=0,4; P(Fc)=0,6.

Las probabilidades de tener cáncer condicionado a cada grupo:

P(C/F)=0,9; P(C/Fc)=0,05 Teorema de la Probabilidad total:

c c

P(C) P(C / F)P(F) P(C / F )P(F ) 0,9 0,4 0,05 0,6 0,39       Teorema de Bayes:

c c

P(F C) P(C / F)P(F) 0,9 0, 4

P(F / C)

P(C) P(C / F)P(F) P(C / F )P(F ) 0,39

 

   

 0.923076923

2.- Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. Se pide: a) distribución de probabilidad de la v. a. número de puntos obtenidos al lanzar un dado. b) Probabilidad de que al lanzarlo salga un número par. c) Media o Esperanza Matemática.

Solución:

Nº Prob.

1 k

2 2k

3 3k

4 4k

5 5k

6 6k Sumas 21k

a) 6

i

i 1

1 P X x 21k k 1

21

   

Nº Prob.

1 1/21 2 2/21 3 3/21 4 4/21 5 5/21 6 6/21

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  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

b) 3

       

i 1

P(X nº par) P X 2i P X 2 P X 4 P X 6

 

        1221

c) Media

Nº Prob. xiP(X=xi).

1 1/21 1/21 2 2/21 4/21 3 3/21 9/21 4 4/21 16/21 5 5/21 25/21 6 6/21 36/21 Sumas 1 91/21

 

i

i

i

E X x P X x

  

  9121

3.-La probabilidad de curación de un determinado tratamiento quirúrgico es 0.65.

Se pide: a) Calcular la probabilidad de que en un grupo de 10 enfermos se curen la mitad. b) La probabilidad de que al menos se curen dos. c) Mediana.

Solución:

Llamamos X a la variable aleatoria " Número de enfermos que se curan". Se trata de una variable aleatoria discreta con dos sucesos excluyentes: el enfermo se cura o no. Por tanto, corresponde con una distribución binomial y su función de probabilidad es:

k n k

P(X k) n p (1 p) k

 

   

 

En nuestro caso: n=10 y p=0,65 10 k n k

P(X k) 0,65 (1 0,65) k

 

    

 

a) 10 5 n 5

P(X 5) 0,65 (1 0,65) 5

 

    

  0,1535704107

b) P(X 2) 1 P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) 1 F(1)            0,9994601128

c) La función de distribución: x k n k

k 0

F(x) P(X x) 10 0,65 (1 0,65) k

      

  La mediana, M, es tal que F(M)=0,5

k F(k) 0 0,00002758547353 1 0,0005398871249 2 0,004821265211 3 0,02602428049 4 0,09493408017 5 0,2485044908 6 0,4861729836 7 0,7383926086 8 0,9140455617 9 0,9865372566 10 1

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  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

Dado que no hay un valor exacto de 0,5 se toma F(M)>0,5 y resulta M=7 4.- Para la función de distribución 1ATAN(x)

2 F(x) 1

 

, determinar:

a) La función de densidad. b) Mediana y moda. c)P(1 X 2)  . d) x tal que P(0 X x) 0.4  

Solución:

a) La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución:

dF(x)

f (x) F'(x)

 dx   1 1 2

 1 x b) Mediana / F(M)=0,5

F(M) 1 1ATAN(M) 0,5

 2  

 M 0

Moda:

 

2

2 2

1 1 1 2x

f (x) f '(x) 0

1 x 1 x

     

    x 0

c) 2

1

1 1

P(1 X 2) f (x)dx F(2) F(1) ATAN 3

  

        0,1024163823

d) x

P(0 X  x)

0 f (t)dt F(x) F(0) 0, 4   F(x) F(0) 0, 4 0,9   F(M) 1 1ATAN(M) 0,9

 2  

 x = 2 5 5 3.077683537 

5.- Las ventas mensuales de dos tiendas de ordenadores siguen distribuciones XN(120,8) e YN(50,6). Calcular la probabilidad de que: a) La primera, X, venda 100 o más ordenadores. b) La segunda, Y, venda menos de 40 ordenadores. c) Entre ambas vendan entre 150 y 180 ordenadores.

Solución: X=“ventas mensuales en la tienda X”N( , ) N(120,8)  1 1 Y=“ventas mensuales en la tienda Y”N( ,  2 2) N 50, 6

 

a) P X 100

 1 P(X 100) 1 F 100   X

 

0,9937903346 b) P X 40

F 40Y

 

0,04779035226

c) X+ YN( , ) N( ,  1 1   2 2) N(  1 2,   12 22) N 170, 10

 

 

X Y

 

X Y

P 150 X Y 180   F 180 F (150)0,8185946141 6.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

1) P

 27 7

0.5711201424 2) P

  1 t8 1

0.6534 b) Calcular el valor de la variable x que verifica:

1) P

 25 x

0.05x=1.1454762 2) P t

6x

0.1 x = 0.1310757

(5)

Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

Prueba de evaluación continua Grupo B 18-XII-13

1.- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; 2 monedas con 2 caras;

y 2 monedas con 2 cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide:

a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento. b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz?

(1 punto)

2.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidad:

2k

P(X k)

  k! , para k= 0, 1, 2, 3, 4

Se pide: a) valor de α para que sea una distribución de probabilidad. b) Media. c) Moda.

d) Mediana. e) P(1 X 2), P(2 X 3)   

(1,5 puntos) 3.- Para la función

2 3

f (x) k 1 x 5

 

   

  , determinar: a) El valor de k para que f(x) sea la función de densidad de una cierta variable aleatoria. b) Mediana y moda. c) Esperanza matemática y varianza.

(1,5 puntos)

I.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar:

a) El tipo de distribución

b) La probabilidad de que exista exactamente 4 datos incorrectos.

c) Que existan menos de 3 datos incorrectos.

d) Que como máximo existan 3 datos incorrectos.

e) Que como mínimo existan 4 datos incorrectos f) Calcular la media y varianza de datos mal anotados.

(1,5 puntos)

II.- Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 12, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 12.5). Para aprobar el examen se exige una puntuación de 25. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 25:

a) ¿Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el 22% de las notas más bajas?

b) ¿Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 20% de las notas más altas?

c) ¿Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 25 puntos exactamente?

d) ¿Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)?

(1,5 puntos)

III.- a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

1) P

 27 3

p 2) P t

82

p b) Calcular el valor de la variable que verifica:

1) P

 25 x90

0.9 2) P

 x t6x

0.1 (1 punto)

(6)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

1.- Una bolsa contiene 5 monedas equilibradas con cara y cruz; 2 monedas con 2 caras; y 2 monedas con 2 cruces. Se elige al azar una moneda y se lanza. Se pide:

a) Probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento.

b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz?

Solución:

Sean los siguientes sucesos:

A= “la moneda elegida tiene cara y cruz”

B= “la moneda elegida tiene cruz y cruz”

C= “la moneda elegida tiene cara y cara”

X= “Obtener cara en el lanzamiento de la moneda”

Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(A)=5/9; P(B)=2/9;P(C)=2/9.

La probabilidad de obtener cara con cada grupo:

P(X/A)=0,5; P(X/B)=0;P(X/C)=1 a) Teorema de la Probabilidad total:

5 2 2

P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0,5 0 1

9 9 9

          1

2 b) Teorema de Bayes:

0,5 5 P(A X) P(X / A)P(A) 9 P(A / X)

P(X) P(X) 0,5

 

    5

9

2.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidad:

2k

P(X k)

  k! , para k= 0, 1, 2, 3, 4

Se pide: a) valor de α para que sea una distribución de probabilidad.

b) Media.

c) Moda.

d) Mediana.

e) P(1 X 2), P(2 X 3)    Solución:

Tenemos una variable aleatoria discreta con función de probabilidad

(7)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

2k

P(X k)

  k! , para k= 0, 1, 2, 3, 4 a) Debe cumplir que:

k 0 1 2 3 4

4 4

k 0 k 0

2 2 2 2 2 2 4 2

1 P(X k) 1 2 2 7

k! 0! 1! 2! 3! 4! 3 3

   

 

              , entonces 1

  7

b) Media

 

4

 

4 k 4 k

k 0 k 0 k 0

2 1 1 2

E X k P X k k

k! 7 7 (k 1)!

       

  

3821 

c) Moda Es bimodal, ya que la máxima probabilidad se obtiene para {1,2}

d) Mediana 

X Prob. F(x)

0 1

7 1 7

1 2

7 3 7

2 2

7 5 7

3 4

21 19 21

4 2

21 1

Sumas 1

La mediana, M, es tal F(M)>0,5; se cumple para M=2 e) P(1 X 2)    0

P(2 X 3)  P X 2

  

P X 3

2 4

     7 21 10 21 3.- Para la función

2 3

f (x) k 1 x 5

 

   

  , determinar:

a) El valor de k para que f(x) sea la función de densidad de una cierta variable aleatoria.

b) Mediana y moda.

c) Esperanza matemática y varianza.

Solución:

(8)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

a) Se cumple que:

2 3

x 3 5

1 f (x)dx k 1 dx k

5 8

 

 

       

 

 

k8 515

Gráfica de la función de densidad

b)

La mediana, es el valor de x que verifica F(x)=0,5

x 3 5 t2 3

F(x) 1 dt 0,5

15 5



 

      M 0 Moda: es el máximo de la función de densidad

 

2 3

2 4

8 5 x 400 5x

f (x) 1 f '(x) 0

15 5 5 x

 

        

     x 0

c)Media o Esperanza matemática:

2 3

8 5 x

E[X] x f (x)dx x 1 dx

15 5

 

 

  

 

      0 Varianza:

 

2

 

2 2 3

2 8 5 x

x f (x)dx x 0 1 dx

15 5

 

 

         

  

 

53

I.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.0002, en una lista de 2000 datos. Determinar:

a) El tipo de distribución

b) La probabilidad de que exista exactamente 4 datos incorrectos.

c) Que existan menos de 3 datos incorrectos.

d) Que como máximo existan 3 datos incorrectos.

e) Que como mínimo existan 4 datos incorrectos

f) Calcular la media y varianza de datos mal anotados.

Solución:

a) Se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éxito o fracaso. Puesto que np = 0.4 es inferior a 5 Se trata de una distribución de Poisson (Ley de casos raros).

(9)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

b) Distribución de Poisson de parámetro λ = 0.4, luego P X

4

0.44e 0.4

4!

  =

0.000715 c) P(X < 3) = F(2) = 0.992073.

d) P(X  3) = F(3) = 0.999224.

e) P(X  4) =1 – P(X < 4) = 1 – F(3) = 0.000776.

f) Media = λ = n·p = 0.4. Varianza = 2 =  = 0.4

2.- Se ha realizado un examen de tipo test con un gran número de preguntas. Las puntuaciones finales del test se dan sobre 50 puntos (enteros del 0 al 50). Las puntuaciones finales en actas son redondeadas al entero más próximo a partir de las puntuaciones reales, esto es, obtienen 12, por ejemplo, los alumnos con nota en el intervalo [11.5, 12.5).

Para aprobar el examen se exige una puntuación de 25. Si suponemos que las puntuaciones antes de ser redondeadas siguen una distribución normal de media 30 y varianza 25:

a) ¿Qué puntuación máxima (no redondeada) delimita el 22% de las notas más bajas?

b) ¿Qué puntuación mínima (no redondeada) delimita el 20% de las notas más altas?

c) ¿Qué porcentaje de alumnos aparecerán en las actas de notas finales (redondeadas) con 25 puntos exactamente?

d) ¿Cuál será el porcentaje de suspensos en actas (notas finales redondeadas)?

Solución

La variable puntuación sigue una distribución N(30, 5) a) P X

x

0 22. F x

 

0 22. x 26.14

b) P X

x

0 2. P X

x

0 8. F x

 

0 8. x 34.2

c) P

24 5.  X 25 5.

F

25 5.

 

F 24 5.

0 18406 0 13566 0 0484... , por tanto, 4,84%

d) P X

24 5.

F

24 5.

0 13566. , por tanto, 13,56%

3.-

a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

1) P

 27 3

  p = 0.885002 p 2) P t

82

  p = 0.9597419 p b) Calcular el valor de la variable que verifica:

1) P

 25 x90

F x

 

900.9x909.2363

2) P

  x t6 x

0.1F(x)0.55x = 0.1310757

(10)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

Prueba de evaluación continua Grupo A 18-XII-13

1.- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 30%, la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50% de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una población tenga casa propia?

b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona sea de la clase baja?

(1 punto)

2.- Sea la función de probabilidad de la variable aleatoria el número de clientes que llegan a una tienda en una hora:

xi P(X=xi)

0 0,1

1 0,3

2 0,3

3 0,2

4 0,05 5 0,05 Sumas 1 Se pide: a) Función de distribución.

b) Media.

c) Moda.

d) Mediana.

e) P(1 X 2), P(2 X 3)   

(1,5 puntos)

3.- Un almacén distribuye un producto en exclusiva en una gran ciudad y lo recibe semanalmente de fábrica. El nº de millares de artículos vendidos cada mes, X, es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por:





1 x si x

1

1 x 0 si ) x 1 ( k

0

<

x si 0 ) x ( f

3

3 Se pide:

a) k para que f(x) sea efectivamente función de densidad.

b) P X 0.5

,P X 2

,P 0 X 2

 

,P(1 X 2)  c) Media.

d) Moda.

(1,5 puntos)

(11)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

I.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes:

a) El tipo de distribución.

b) Que 2 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

c) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

d) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

e) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita.

f) Calcular la media y varianza.

(1,5 puntos)  

II.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 1 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl?

2. Al menos 33.5 cl?

3. Menos de 32 cl.

4. Entre 32 y 34 cl

b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana.

c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?

(1,5 puntos) III.-

a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

1) P

 27 3

p 2) P t

82

p b) Calcular el valor de la variable que verifica:

1) P

 25 x0.95

0.95 2) P

 x t6x

0.05  

 

(12)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

1.- Mediante una encuesta se sabe que la clase baja de una población constituye el 30%, la clase media el 65% y la clase alta el 5%. Y además, que el 5% de la clase baja, el 50% de la clase media, y el 80% de la clase alta tienen casa propia.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar en una población tenga casa propia?

b) Al seleccionar al azar una persona, se encuentra que tiene casa. ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona sea de la clase baja?

Solución:

Sean los siguientes sucesos:

A= “clase baja”; B= “clase media”; C= “clase alta”

X= “casa propia”

Tenemos una partición en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: P(A)=0,3; P(B)=0,65;P(C)=0,05.

La probabilidad de tener casa propia con cada grupo:

P(X/A)=0,05; P(X/B)=0,50; P(X/C)=0,8 a) Teorema de la Probabilidad total:

P(X) P(X / A)P(A) P(X / B)P(B) P(X / C)P(C) 0,05 0,3 0,5 0,65 0,8 0,05         

=19 0,38 50 

b) Teorema de Bayes:

P(A X) P(X / A)P(A) 0,05 0,3 P(A / X)

P(X) P(X) 0,38

 

    3

76

2.- Sea la función de probabilidad de la variable aleatoria el número de clientes que llegan a una tienda en una hora:

xi P(X=xi)

0 0,1

1 0,3

2 0,3

3 0,2

4 0,05 5 0,05 Sumas 1 Se pide: a) Función de distribución.

b) Media.

(13)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

c) Moda.

d) Mediana.

e) P(1 X 2), P(2 X 3)    Solución:

a)

xi P(X=xi) F(x)

0 0,1 0,1

1 0,3 0,4

2 0,3 0,7

3 0,2 0,9

4 0,05 0,95

5 0,05 1

Sumas 1

0 si x 0

0,1 si 0 x 1 0, 4 si 1 x 2 F(x) 0,7 si 2 x 3 0,9 si 3 x 4 0,95 si 4 x 5

1 si 5 x

 

  

  

  

  

  

 

c) Media

xi P(X=xi) xi P(X=xi)

0 0,1 0

1 0,3 0,3

2 0,3 0,6

3 0,2 0,6

4 0,05 0,2

5 0,05 0,25

Sumas 1 1,95

 

5

 

k 0

E X k P X k

  

  1,95   c) Moda

Es bimodal, ya que la máxima probabilidad se obtiene para {1,2}

d) Mediana 

La mediana, M, es tal F(M)>0,5; se cumple para M=2

(14)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

e) P(1 X 2)    0

P(2 X 3)  P X 2

 

P X 3

0,3 0, 2 0,5

3.- Un almacén distribuye un producto en exclusiva en una gran ciudad y lo recibe semanalmente de fábrica. El nº de millares de artículos vendidos cada mes, X, es una variable aleatoria continua cuya función de densidad viene dada por:





1 x si x

1

1 x 0 si ) x 1 ( k

0

<

x si 0 ) x ( f

3

3 Se pide:

a) k para que f(x) sea efectivamente función de densidad.

b) P X 0.5

,P X 2

,P 0 X 2

 

,P(1 X 2) 

c) Media.

d) Moda.

Solución:

a) Se cumple que: 0 1

 

3 3

0 1

1 k 2

1 f (x)dx 0dx k 1 x dx dx

x 4

 

 

   k 2

b)

 

0,5

 

3

0

P X 0.5 

2 1 x dx  1532

 

1

 

3 2 3

0 1

P X 2 2 1 x dx 1 dx

 

 

x  78

 

P 0 X 2  

 

1

 

3 2 3

0 1

P X 2 2 1 x dx 1 dx

 

 

x  78

2 3 1

P(1 X 2) 1 dx

  

x  38

c) Media o Esperanza matemática:

(15)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

 

1

3

3

0 1

E[X] x f (x)dx x2 1 x dx x 1 dx x

  

  

 

1011

d) Moda: es el máximo de la función de densidad

2 2

4

0 si x<0

f '(x) 6(1 x) si 0 x 1 6(1 x) 0 3 si x>1

x



        



No puede ser x=0, ya que f(0)=1 y f(0)=2. Por tanto, la Moda es x=0

I.- En un estudio sobre la preferencia de los clientes hacia una determinada marca X se ha obtenido que el 40% de los clientes tienen la marca X como su marca favorita. Si se extrae una muestra aleatoria de 8 sujetos obtener las probabilidades siguientes:

a) Que 2 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

b) Que menos de 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

c) Que como máximo 3 clientes tengan la marca X como su marca favorita.

d) Que como mínimo haya 5 clientes que tengan la marca X como su marca favorita.

e) Calcular la media y varianza.

SOLUCIÓN

Se trata de una variable aleatoria binomial de parámetros n = 8; p =0.4, es decir, B(8, 0,4).

a) P(X = 2) 8 0 4 0 62 6 2 . .

  

   0.016796.

b) P(X2)F( )2  0.315394.

c) P(X 3) F( )3  0.594086.

d) P(X5) 1 P X

5)

 1 F( )4  0.173670 e)  E X

 

n·p 3.2

 

2 V X n·p·q

    1.92

(16)

  Probabilidad, Variables aleatorias y Distribuciones 

 

II.- El contenido de un bote de zumo se distribuye normalmente con media 33 cl, y desviación estándar 1 cl.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bote determinado tenga 1. Exactamente 33 cl?

2. Al menos 33.5 cl?

3. Menos de 32 cl.

4. Entre 32 y 34 cl

b) Calcular la cantidad de centilitros que le corresponde a los percentiles P95, P5 y la mediana.

c) En un envase de 6 botes ¿cuál es la probabilidad de que el contenido líquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?

SOLUCIÓN a)

1.

 

33

 

33

33

P X 

f x dx0

2. P X

33 5.

 1 P X

33 5.

 1 F

33 5.

0.308537.

3. P X

32

F

 

32  0 158655.

4. P

32 X 34

F

 

34 F

 

32  0 682689.

b)

   

   

   

0 95 0 95 0 95

0 05 0 05 0 05

0 5 0 5 0 5

0 95 0 95 34 64

0 05 0 05 31 35

0 5 0 5 33

. . .

. . .

. . .

P X x . F x . x .

P X x . F x . x .

P X x . F x . x Mediana

     

     

      

c) Sea B la variable aleatoria contenido de 6 botes. B N · . , N . ,

6 0 33 6

 

1 98 6

, portanto, calculamos P B

1 75.

F .

1 75

 0 462595.

III.- SOLUCIÓN

a) Calcular el valor de p en las probabilidades siguientes:

1) P

 27 3

  p 0.114998 2) P t

82

  0.040258p b) Calcular el valor de la variable que verifica:

1) P

 25 x0.95

0.95 x0.95 11.07

2) P

 x t6x

0.05F(x) 0.525 x 0.0654

Figure

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Referencias

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