Variables aleatorias

(1)

Variables aleatorias discretas y distribuciones

Análisis de datos y gestión veterinaria Análisis de datos y gestión veterinaria

Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria Universidad de Córdoba

Córdoba, 3 de Noviembre de 2011

Variables aleatorias

Una variable aleatoria es

aquella que toma valores

numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio.

X, variable aleatoria lanzar dado x, cada uno de sus valores

Función de probabilidad:

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Variables aleatorias

Variable aleatoria discreta. Entre dos

valores dados la variable no puede tomar infinitos valores.

- Lanzamiento de un dado.

- Clientes anuales de una clínica veterinaria. - Lactaciones de una vaca.

Variable aleatoria continua. Entre dos

valores dados la variable puede tomar infinitos valores.

- Beneficio de una clínica veterinaria.

- Producción anual de leche en una explotación.

Variables aleatorias

Px(X) x 0 1/6 1/12 1 2 3 4 5 6

(3)

Variables aleatorias

Función de probabilidad: Px(X) = P(X= x) = 1/6 para x =1, 2, 3, …, 6 Px(X) x 0 1/6 1/12 1 2 3 4 5 6

Sea x una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(X). Entonces,

( ) 0 para cada valor de

( ) 1 x Px X x Px X ≥ =

∑

Esperanza de v. aleatorias discretas

El 81% de las ovejas de una explotación no han parido, el 17% han parido un borrego y el 2% han parido dos.

X = número de borregos de una oveja elegida aleatoriamente X = 0, 1, 2

Px(0)=0,81 Px(1)=0,17 P(x)=0,02

¿cuál sería la medida de centralización más adecuada?

Opción a. (0+1+2)/3 = 1

(4)

Esperanza de v. aleatorias discretas

Valor esperado.

( )

x x

E X

xPx x

µ

=

∑

Varianza. Desviación típica. 2 2 2 ( ) ( ) x x x x x Px x

σ

µ

σ

= − =

∑

Esperanza de v. aleatorias discretas

X = número de borregos de una oveja elegida aleatoriamente X = 0, 1, 2 Px(0)=0,81 Px(1)=0,17 P(x)=0,02 µ= 0,21 Varianza. 2 2 ( ) ( ) x x Px x

σ

=

∑

−

µ

2 2 2 2

(0 0, 21) 0,81 (1 0, 21) 0,17 (2 0, 21) 0, 02

0, 205

σ

=

−

+ −

+

−

=

(5)

Esperanza de v. aleatorias discretas

Z= a+ bX Z, X, variables aleatorias a, b, constantes 2 2 2 z x z x

a b

b

µ

σ

= +

=

Esperanza de v. aleatorias discretas

Un veterinario está interesado en el coste total de la preparación de un caballo PSI para una determinada carrera. El veterinario estima que los medicamentos y suministros costarán 25.000 € y el trabajo de su equipo 900 € diarios. Hace una previsión del tiempo que tardará en preparar al caballo, entre 11 – 14 días:

Día 10 11 12 13 14

(6)

Esperanza de v. aleatorias discretas

CT = 25.000 + 900D ( ) 10·0,1 11·0, 3 12·0, 3 13·0, 2 14·0,1 11, 9 x x xPx x µ =

∑

= + + + + = 2 2 ( ) ( ) 1, 29 x x x x Px x σ =

∑

−µ = 2 2 2 z x z x

a b

b

µ

σ

= +

=

2 2 2 25.000 900 25.000 900·11,9 35.710€ 900 810.000·1, 29 1.044.900 1.044.900 1.022, 2€ CT D CT D CT

µ

σ

= + = + = = = = = =

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli

Distribución binomial

Distribución hipergeométrica

Distribución de Poisson Distribución de Bernoulli

(7)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Un experimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0.

2 2 2 2 (0) (1 ) (1) ( ) 0·(1 ) 1· ( ) ( ) (0 ) (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x Px p Px p xPx x p p p x Px x p p p p p p µ σ µ = − = = = − + = = − = − − + − = −

∑

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Un ganadero piensa que una vaca concreta tiene una probabilidad de preñez de 0,4.

Si se define la variable aleatoria “preñez”, que toma valor 1=preñez y valor 0=no preñez, tiene una distribución de Bernoulli, donde:

Px(0)=0,6 Px(1)=0,4

µ=p=0,4

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Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson Distribución de Bernoulli µ=p σ2_=p(1-p) Distribución binomial Distribución de Bernoulli

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli Distribución Binomial

Si se realizan n repeticiones independientes, la distribución del número de éxitos, X, sigue unadistribución binomial.

! ( ) (1 ) !( )! x n x n Px x p p x n x − = − − 2 _np₍₁ _p₎ σ = − x np µ =

(9)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

! ( ) (1 ) !( )! x n x n Px x p p x n x − = − − 2 ₍₁ ₎ x np p σ = − x np µ = x P (x ) 0 2 4 6 8 10 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 p = 0,5

Distribuciones de v. aleatorias discretas

! ( ) (1 ) !( )! x n x n Px x p p x n x − = − − 2 _np₍₁ _p₎ σ = − x np µ =

(10)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

La probabilidad de un semental de inseminar con éxito es de 0,4. Si realiza 5 cubriciones

µ=np=50,4=2 σ2_{=np(1-p)=50,40,6=1,2}

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli P(2≤x≤4)=P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=Px(2)+Px(3)+Px(4) P(2)=(5!/2!3!)(0,4)2_(0,6)3_=0,346 P(3)=(5!/3!2!)(0,4)3_(0,6)2_=0,230 P(4)=(5!/4!1!)(0,4)4_(0,6)1_=0,077 P(2≤x≤4)=0,653

La probabilidad de un semental de inseminar con éxito es de 0,4. Si realiza 5 cubriciones, ¿cuál es la probabilidad de que insemine con éxito entre 2 y 4 yeguas?

! ( ) (1 ) !( )! x n x n Px x p p x n x − = − −

(11)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

P(aceptar envío)=Px(0)+Px(1)

Si la proporción de envíos defectuosos es p=0,1 (n=20): P(aceptar envío)=Px(0)+Px(1)=0,1216+0,2702=0,3918 Una fábrica de conservas quiere implantar un sistema de control de calidad a sus proveedores. Decide aceptar los envíos si en una muestra de 20 artículos no hay más de uno defectuoso.

Si la proporción de envíos defectuosos es p=0,2 (n=20): P(aceptar envío)=Px(0)+Px(1)=0,0115+0,0576=0,0691 Si la proporción de envíos defectuosos es p=0,3 (n=20):

P(aceptar envío)=Px(0)+Px(1)=0,0008+0,0068=0,0076

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson Distribución de Bernoulli µ=p σ2_=p(1-p) Px(x)=(n!/x!(n-x)!)px_(1-p)n-x µ=np σ2_=np(1-p) Distribución hipergeométrica

(12)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución hipergeométrica

20% de patatas no

aceptables para la industria

n=5 y si 2 son inaceptables, se rechaza el envío 1 elección: P(no aceptable)=0,2

2 elección: P(no aceptable)=0,2 3 elección = 4 elección = 5 elección

Distribuciones de v. aleatorias discretas

20% de patatas no

aceptables para la industria

10 patatas, 3 no aceptables

Si 1 elección=aceptable, P(no aceptable)=3/9

1 elección: P(no aceptable)=3/10 ¿¿2 elección: P(no aceptable)=3/10???

Si 1 elección=no aceptable, P(no aceptable)=2/9

La distribución hipergeométrica tiene en cuenta la

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Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución binomial

Distribución hipergeométrica Distribución hipergeométrica

Un experimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. Se realizan n repeticiones.

Un experimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. Se realizan n repeticiones.Los sucesos no son independientes.

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Se elige una muestra aleatoria n de un conjunto de elementos N, S de los cuales son éxitos.

2 ! ( )! · · !( )! ( )!( )! ( ) ! !( _ )! (1 ) 1 S x SN S n x N n x x S N S C C x S x n x N S n x Px x N C n N n np N n np p N µ σ − − − − − − − + = = = −   =_ _ − −  

(14)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Se elige una muestra aleatoria n de un conjunto de elementos N, S de los cuales son éxitos.

2 ! ( )! · · !( )! ( )!( )! ( ) ! !( _ )! (1 ) 1 S x SN S n x N n x x S N S C C x S x n x N S n x Px x N C n N n np N n np p N µ σ − − − − − − − + = = = −   =_ _ − −   x P (x ) 0 2 4 6 8 10 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 p = 0,5

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Una fábrica de conservas recibe 20 rollos de aluminio para hacer las latas. Se inspeccionan 6 rollos, aceptando el envío si no hay más de 1 defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un envío con 5 rollos defectuosos?

(15)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

N=20 P(aceptar)=Px(0)+Px(1) S=5

n=6

Una fábrica de conservas recibe 20 rollos de aluminio para hacer las latas. Se inspeccionan 6 rollos, aceptando el envío si no hay más de 1 defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un envío con 5 rollos defectuosos?

5 15 6 20 6 ( ) Cx C x Px x C − = 5 115 6 1 20 6 5! 15! · 1!4! 5!10! (1) 0, 387 20! 6!14! C C Px C − = = = 5 015 6 0 20 6 5! 15! · 0!5! 6!9! (0) 0,129 20! 6!14! C C Px C − = = = ! ( )! · · !( )! ( )!( )! ( ) ! !( _ )! S x SN S n x N n S N S C C x S x n x N S n x Px x N C n N n − − − − − − − + = =

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson Distribución de Bernoulli µ=p σ2_=p(1-p) Px(x)=(n!/x!(n-x)!)px_(1-p)n-x µ=np σ2_=np(1-p) x np µ = 2 (1 ) 1 x N n np p N σ =_ − _ − −   Distribución de Poisson

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Hay independencia entre el número de ocurrencias en intervalos no solapados

La probabilidad de ocurrencia de un suceso es proporcional a la amplitud del intervalo (0 a t)

La probabilidad de ocurrencia de dos o más sucesos en el intervalo es despreciable en comparación con la probabilidad de una ocurrencia

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Poisson

0 t

Distribuciones de v. aleatorias discretas

Número de accidentes mortales en Córdoba en el mes de Enero Número de huelgas anuales en una industria

Número de consultas diarias en una clínica, 60 minutos antes del medio día

(17)

Distribuciones de v. aleatorias discretas

La probabilidad de x ocurrencias en el intervalo 0 a t:

0 t

( )

!

x

e

Px x

x

λ

_λ

−

=

2 x x

µ

λ

σ

λ

=

Distribuciones de v. aleatorias discretas

La probabilidad de x ocurrencias en el intervalo 0 a t:

0 t

( )

!

x

e

Px x

x

λ

_λ

−

=

2 x x

µ

λ

σ

λ

=

Un estudio indica el número de huelgas anuales en una fábrica típica con 2.000 empleados, se puede representar con una distribución de Poisson con media=0,4.

P(0 huelgas)=0,67031/1=0,6703 P(1 huelga)=0,67030,4/1=0,2681 P(2 huelga)=0,67030,16/2=0,053

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Distribuciones de v. aleatorias discretas

Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson Distribución de Bernoulli µ=p σ2_=p(1-p) Px(x)=(n!/x!(n-x)!)px_(1-p)n-x µ=np σ2_=np(1-p) x np µ = 2 (1 ) 1 x N n np p N σ =_ − _ − −   ( ) ! x e Px x x λ_λ − = 2 x σ =λ µx =λ