Estadística, Profesora: María Durbán
1
Tema 4: Variables aleatorias
4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang
Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student Distribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Estadística, Profesora: María Durbán
2
Objetivos del tema:
Al final del tema el alumno será capaz de:
Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones
específicas
Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las distribuciones más comunes
Tema 4: Variables Aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán
3 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang
Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student Distribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones 4.5 Proceso de Bernouilli
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán
4
4.5 Proceso de Bernouilli
Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)
Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población
y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada
Las observaciones son independientes Pr( ) Pr( ) 1 D p A q p = = = −
Estadística, Profesora: María Durbán
5
4.5 Proceso de Bernouilli
Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)
Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población
y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada
Las observaciones son independientes Pr( ) Pr( ) 1 D p A q p = = = −
Estadística, Profesora: María Durbán
6
4.5 Proceso de Bernouilli
Ejemplos
Observar el resultado al lanzar una moneda
Si un una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación Observar el sexo de un recién nacido
Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital
7
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución de Bernouilli 0 si el suceso ocurre A 1 Pr( 0) 1 si el suceso no ocurre A Pr( 1) q p X X p X → = − = = = → = =La función de probabilidad es:
1
( )
x(1
)
x0,1
p x
=
p
−
p
−x
=
[ ]
[ ]
2 2 0 (1 ) 1 (0 ) (1 ) (1 ) (1 ) E X p p p Var X p p p p p p µ σ = = × − + × = = = − − + − = − 84.5 Proceso de Bernouilli
Distribución BinomialX = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas
X toma valores 0,1,2,…,n
Si se repite un número fijode veces, n, un experimento de Bernoulli con
parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomialde parámetros (n,p).
~
( , )
Estadística, Profesora: María Durbán
9
La función de probabilidad es:
4.5 Proceso de Bernouilli
(
)
n
r(1
)
n r,
0,1,
,
P X
r
p
p
r
n
r
−⎛ ⎞
=
=
⎜ ⎟
−
=
⎝ ⎠
…
[ ]
[ ]
(1
)
E X
np
Var X
np
p
=
=
−
Estadística, Profesora: María Durbán
10 n=5
n=25 p=0.75 p=0.5 p=0.2
4.5 Proceso de Bernouilli
Estadística, Profesora: María Durbán
11
4.5 Proceso de Bernouilli
EjemploUn aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
Pr(
X
=
0)
Estadística, Profesora: María Durbán
12
4.5 Proceso de Bernouilli
EjemploUn aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces Son independientes
Estadística, Profesora: María Durbán
13
4.5 Proceso de Bernouilli
EjemploUn aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato
~
(40, 0.01)
X
B
0 4040
Pr(
0)
0.01 (1 0.01)
0.669
0
X
=
=
⎛
⎜
⎞
⎟
−
=
⎝
⎠
Estadística, Profesora: María Durbán
14
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución GeométricaCuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles La probabilidad de éxito se mantiene constante
Las observaciones son independientes
Se repite el experimento hasta que ocurre el primer éxito
X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito
~
( )
X
Ge p
154.5 Proceso de Bernouilli
Distribución Geométrica1,... son Berrnouilli
iX i
=
n
1 2 3 4 1 0 0 0 1 Pr( 1) 0 1 0 0 2 Pr( 2) 0 0 1 0 3 Pr( 3) 0 0 0 1 4 Pr( 4) X X X X X X X p X X qp X X qqp X X qqqp ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = =La función de probabilidad es:
1
(
)
(1
)
r,
1, 2,
P X
=
r
= −
p
−p r
=
…
164.5 Proceso de Bernouilli
Distribución Geométrica1,... son Berrnouilli
iX i
=
n
[ ]
[ ]
2 21/
(1
) /
E X
p
Var X
p
p
=
= −
1 2 3 4 1 0 0 0 1 Pr( 1) 0 1 0 0 2 Pr( 2) 0 0 1 0 3 Pr( 3) 0 0 0 1 4 Pr( 4) X X X X X X X p X X qp X X qqp X X qqqp ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = =Estadística, Profesora: María Durbán
17
4.5 Proceso de Bernouilli
Distribución GeométricaEstadística, Profesora: María Durbán
18
4.5 Proceso de Bernouilli
EjemploLa probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de
transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes,
¿Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error?
X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrar el primer error
[ ]
1/
1/ 0.1 10
E X
=
p
=
=
Estadística, Profesora: María Durbán
19 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang
Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student Distribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones 4.6 Proceso de Poisson
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán
20
4.6 Proceso de Poisson
Cuando un experimento tiene las siguientes características:Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo
Es la misma para los intervalos del mismo tamaño Es proporcional a la longitud del intervalo
Los sucesos ocurren de forma independiente. El número de sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del número de sucesos que ocurren en otro intervalo
Estadística, Profesora: María Durbán
21
4.6 Proceso de Poisson
X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una Binomial cuando
Distribución de Poisson
y
0
n
→ ∞
p
→
np
λ
=
→
Número medio de sucesos en ese intervalolim 1 n e n λ λ − ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n→ ∞ n→ ∞
Estadística, Profesora: María Durbán
22
La función de probabilidad es:
(
)
,
0,1,
!
re
P X
r
r
r
λλ
−=
=
=
…
[ ]
[ ]
[ ]
1 0 1 1 2 1 2 ! ( 1)! ~ ( ) ~ ( ) independientes ~ ( ) r r e E X E X r e r r Var X X P Y P X Y P λ λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
− − ∞ ∞ − = → = = = − = + +∑
∑
Distribución de Poisson4.6 Proceso de Poisson
234.6 Proceso de Poisson
24 Distribución de Poisson4.6 Proceso de Poisson
EjemplosNúmero de defectos en un milímetro de cable.
Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralita en una hora.
Estadística, Profesora: María Durbán
25
4.6 Proceso de Poisson
EjemploEl proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos? X = Número de clientes por minuto
Y = Número de clientes en 3 minutos
~
(
1)
X
P
λ
→
=
~
(
3)
Y
P
λ
→
=
3 0 33
Pr(
0)
0!
e
Y
e
− −=
=
=
Estadística, Profesora: María Durbán
26
4.6 Proceso de Poisson
EjemploEl proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.
Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta 6000 euros diarios. ¿Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre a cada cliente para que sea rentable?
Y = Número de clientes en 8 horas
→
Y
~
P
(
λ
=
60 8
× =
480)
Beneficio = Tarifa x Y -6000[ ]
Beneficio Esperado = Tarifa
6000
0
= Tarifa 480 6000
0
E Y
×
−
>
×
−
>
Tarifa > 12.5Estadística, Profesora: María Durbán
27
4.6 Proceso de Poisson
La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar
Tiempo entre llamadas telefónicas
Tiempo entre llegadas a un puesto de servicio Tiempo de vida de un componente eléctrico
Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial
Distribución de exponencial
Estadística, Profesora: María Durbán
28
4.6 Proceso de Poisson
Distribución de exponencialX = Numero de sucesos en la unidad de tiempo T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso
Podemos calcular su función de distribución:
0 0
(
)
(cero sucesos en (0,t ))
P T
>
t
=
P
~
( )
X
P
λ
X= Número de sucesos en una unidad de tiempo Y = Número de sucesos en (0,t0)
Y
~
P
(
λ
t
0)
0 0(
)
Pr(
0)
tP T
>
t
=
Y
=
=
e
−λ 0 0 0( )
(
)
1
tF t
=
P T
≤
t
= −
e
−λ~
( )
X
P
λ
Estadística, Profesora: María Durbán
29
4.6 Proceso de Poisson
Distribución de exponencialX = Numero de sucesos en la unidad de tiempo T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos
~
( )
X
P
λ
( )
( )
dF t
t,
0
f t
e
t
dt
λλ
−=
=
≥
[ ]
[ ]
21/
1/
E X
Var X
λ
λ
=
=
Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo
El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ
Estadística, Profesora: María Durbán
30
4.6 Proceso de Poisson
0.1 ( ) 0.1 x f x = e− 0.5 ( ) 0.5 x f x = e− 2 ( ) 2 x f x = e− 314.6 Proceso de Poisson
EjemploEl proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes?
X = Número de clientes por minuto T = Tiempo entre dos clientes
~
(
1)
X
P
λ
→
=
~
(
1)
T
Exp
λ
→
=
(
1 3)
3Pr(
T
>
3)
= −
1 Pr(
T
≤
3)
= −
1
F
(3)
= − −
1
1
e
− ×=
e
−Pr(No haya clientes en 3 minutos)
=
324.6 Proceso de Poisson
Propiedad 1 2 1 2Pr(T > t +t / T > t ) = Pr( T > t )
1 2 2 1 ( t +t ) 1 2 1 1 2 t 1 1Pr(T > t +t
T > t )
Pr( T > t +t )
=
Pr( T > t )
Pr( T > t )
te
e
e
λ λ λ − − −=
=
∩
Si no ha habido clientes en 4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos?
3
Estadística, Profesora: María Durbán 33 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang
Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student Distribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones Distribución Normal
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán
34
4.8 Distribución Normal
La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios
Errores de medida Ruido en una señal digital
Corriente eléctrica en un trozo de cable …
En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal
Es la base para la inferencia estadística
Estadística, Profesora: María Durbán
35
4.8 Distribución Normal
Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ.
Toma valores en toda la recta real Su función de densidad es:
2 2 ( ) 2 2
1
( )
e
2
[ ]
[ ]
xf x
x
E X
Var X
µ σπσ
µ
σ
− −=
− ∞ < < ∞
=
=
( , ) N µ σEstadística, Profesora: María Durbán
36 Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media
µ
( )
f x
4.8 Distribución Normal
0.5 0.5 La media, mediana y moda coincidenEstadística, Profesora: María Durbán
37
El
El
efecto
efecto
de
de
µ
µ
y
y
σ
σ
¿Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)?
σ= 2
σ =3
σ =4
µ = 10 µ = 11 µ = 12
¿Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)?
4.8 Distribución Normal
Es un factor de escala
Es un factor de traslación
Estadística, Profesora: María Durbán
38 La probabilidad es el área bajo la curva
c
d
X
f(X)
4.8 Distribución Normal
Pr(c
≤
X
≤
d)
No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad
39 µ σ Densidad de X Densidad de X-µ 0 Densidad de (X-µ)/σ 1
4.8 Distribución Normal
Todas las distribuciones normales se pueden transformar en N(0,1)
X
X
Z
µ
σ
−
→ =
404.8 Distribución Normal
~
(3, 2)
X
N
Pr(
X
≤
6)
3 6 0 1.56 3
Pr
Pr(
1.5)
2
Z
−
Z
⎛
≤
⎞
=
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
Mismoº área~
(0,1)
Z
N
Estadística, Profesora: María Durbán
41
4.8 Distribución Normal
EjemploEl tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? ¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?
Pr(
X
<
6000)
Pr(
X
>
a
)
=
0.9505
Estadística, Profesora: María Durbán
42
4.8 Distribución Normal
EjemploEl tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 7000
Pr(
6000)
Pr
Pr(
1.66)
600
X
<
=
⎛
⎜
Z
<
−
⎞
⎟
=
Z
< −
⎝
⎠
-1.66Estadística, Profesora: María Durbán
43
4.8 Distribución Normal
EjemploEl tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 7000
Pr(
6000)
Pr
Pr(
1.66)
600
X
<
=
⎛
⎜
Z
<
−
⎞
⎟
=
Z
< −
⎝
⎠
1.66Estadística, Profesora: María Durbán
44
4.8 Distribución Normal
EjemploEl tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?
6000 7000
Pr(
6000)
Pr
Pr(
1.66)
600
X
<
=
⎛
⎜
Z
<
−
⎞
⎟
=
Z
< −
⎝
⎠
1.661 Pr(
Z
1.66)
= −
<
Estadística, Profesora: María Durbán 45
1 Pr(
Z
1.66)
= −
<
4.8 Distribución Normal
Ejemplo1 0.9515
0.0485
= −
=
¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?Estadística, Profesora: María Durbán
46
4.8 Distribución Normal
EjemploEl tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?
7000
Pr(
)
0.9505
Pr
0.9505
600
a
X
>
a
=
→
⎛
⎜
Z
>
−
⎞
⎟
=
⎝
⎠
a 0.95 474.8 Distribución Normal
EjemploEl tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?
7000
Pr(
)
0.9505
Pr
0.9505
600
a
X
>
a
=
→
⎛
⎜
Z
>
−
⎞
⎟
=
⎝
⎠
-b 0.95 -b Valor negativo 484.8 Distribución Normal
EjemploEl tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?
(
7000)
Pr(
)
0.9505
Pr
0.9505
600
a
X
>
a
=
→
⎛
⎜
Z
<
− −
⎞
⎟
=
⎝
⎠
b 0.95 bEstadística, Profesora: María Durbán 49 ( 7000) Pr( ) Pr 0.9505 600 a X >a = ⎛⎜Z<− − ⎞⎟= ⎝ ⎠
¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores? Ejemplo
4.8 Distribución Normal
( 7000) 1.65 600 6010 a a − − = ⇓ = El 94.05% de los semiconductores duran más de 6010 horasEstadística, Profesora: María Durbán
50 Pr( -0.6 < Z < 1.83 )= Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 ) Pr ( Z <-0.6) = Pr ( Z >0.6 ) = 1 - Pr (Z < 0.6 ) = 1 – 0.7257 = 0.2743 Pr( Z < 1.83 ) = 0.9664
= 0.7257 - 0.0336
= 0.6921
1.83 -0.64.8 Distribución Normal
Más ejemplos de cálculo de probabilidades≤
Estadística, Profesora: María Durbán
51
La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes
sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal.
4.8 Distribución Normal
Estadística, Profesora: María Durbán
52
4.8 Distribución Normal
50 55 60 65 70 0 1 0 2 0 304 05 0 6 0 x IlustraciónSea X una variable Uniforme en el intervalo [50,70].
Tenemos una muestra de tamaño 2000.
La muestra tiene media 59.9 y desviación típica 4.57
El histograma no se parece a una distribución normal con la
Estadística, Profesora: María Durbán
53 Elegimos aleatoriamente grupos de 10
observaciones.
Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral.
Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original. 55 69 70 56 57 66 65 62 63 59 53 51 54 59 54 69 51 51 65 53 54 60 58 66 69 60 60 59 63 59
3ª
2ª
1ª
Muestra
59.4 58.5 61.14.8 Distribución Normal
Estadística, Profesora: María Durbán
54 55.220755 56.160009 57.099264 58.038518 58.977773 59.917028 60.856282 61.795537 62.734792 63.674046 64.613301 aa$x 0 10 20 30 40 a
4.8 Distribución Normal
La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal. La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original.
Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación
típica es menor, en este caso 1.92 xxx
55
Supongamos que tenemos n variables aleatorias X
iindependientes con medias (µ
ι) y desviaciones típicas (σ
i) y
distribución cualquiera
Cuando n crece,
Teorema Central del Límite
4.8 Distribución Normal
2(0,1)
i iY
N
µ
σ
−
≈
∑
∑
1 2 nY
=
X
+
X
+
…
+
X
(
2)
~
i,
iY
N
∑
µ
∑
σ
la distribución de
56Supongamos que tenemos n variables aleatorias X
iindependientes con medias (µ
ι) y desviaciones típicas (σ
i) y
distribución cualquiera
Teorema Central del Límite
4.8 Distribución Normal
Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre
una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural
la distribución Normal
Estadística, Profesora: María Durbán 57 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang
Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student Distribución F de Fisher
4.5 La Normal como aproximación de otras distribuciones4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán
58
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
La variable Binomial es suma de variables de Bernouilli, que toman el valor 0 ó 1. Binomial-Normal 1 2 n
Y
=
X
+
X
+…
X
[ ]
[
]
(1
)
i iE X
p
Var X
p
p
=
=
−
T.C.L.
(
,
(1
)
)
Y
≈
N np
np
−
p
30
5
n
npq
>
>
Estadística, Profesora: María Durbán
59 5.000 7.625 10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000 x 0.00 0.04 0.08 0.12
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Binomial-Normal
(
15, 10.5)
N 50 0.3 10.5 n p npq = = =Estadística, Profesora: María Durbán
60 La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta.
Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Factor de corrección
0.5
Pr(
)
Pr(
0.5)
Pr
(1
)
0.5
Pr(
)
Pr(
0.5
)
Pr
(1
)
x
np
X
x
X
x
Z
np
p
x
np
x
X
x
X
Z
np
p
⎛
+
−
⎞
≤
=
≤ +
≅
⎜
⎜
≤
⎟
⎟
−
⎝
⎠
⎛
−
−
⎞
≤
=
−
≤
≅
⎜
⎜
≤
⎟
⎟
−
⎝
⎠
Estadística, Profesora: María Durbán
61
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Ejemplo
Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chips defectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para su venta.
Un comprador rechazará un lote si contiene 25 o más chips defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote?
Pr( 25) 25 0.5 40 Pr 6.26 Pr( 2.47) Pr( 2.47) 0.9292 X Z Z Z ≥ ↓ − − ⎛ ≥ ⎞= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≥ − = ≤ =
~
(2000, 0.02)
30
40
(1
)
39.2
X
B
n
np
np
p
>
=
−
=
(40, 6.26)
X
≈
N
Estadística, Profesora: María Durbán
62
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Poisson-Normal
La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de experimentos tiende a infinito.
Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5)
(
)
~
( )
,
X
P
X
N
λ
λ λ
≈
634.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Poisson-Normal
64
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones
Ejemplo
El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadrado sigue una distribución de Poisson con media 100.
Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más? Pr( 95) 95 100 0.5 Pr Pr( 0.55) 10 Pr( 0.55) 0.6915 X Z Z Z ≥ ↓ − − ⎛ ≥ ⎞= ≥ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ =
Estadística, Profesora: María Durbán 65 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial
4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang
Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal
4.6 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson
Distribución t de Student Distribución F de Fisher
4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
Tema 4: Variables aleatorias
Estadística, Profesora: María Durbán
66
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. 2 g
χ
[ ]
[ ]
2 2 1 2 2 1 ~ (0,1) ~ ~ 2 i i g i g i X X N X Y E Y g Var Y gµ
µ
χ
σ
σ
µ
χ
σ
= − ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠∑
~
( , )
iX
N
µ σ
independientesEstadística, Profesora: María Durbán
67
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. 2 g
χ
0 5 10 15 20 25 x 0. 0 0. 1 0.2 0.3 0.4 0.5 f( x) 2 grados de libertad 3 grados de libertad 4 grados de libertad 5 grados de libertadEstadística, Profesora: María Durbán
68
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
t de StudentTiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda la recta real.
La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad.
Se obtiene como el cociente entre dos variables:
2
~
(0,1)
~
/
g gZ
t
Z
N
Y
Y g
χ
=
Estadística, Profesora: María Durbán
69
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
t de StudentTiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda la recta real.
La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad. -10 -5 0 5 x 0. 0 0 .1 0. 2 0. 3 0 .4 f( x) 5 grados de libertad 20 grados de libertad 100 grados de libertad
Estadística, Profesora: María Durbán
70
4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal
F de FisherTiene un dos parámetros denominados grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.
Se obtiene como el cociente entre dos variables:
1 2 1 2 2 2 1 , 2