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Tema 4: Variables aleatorias. Tema 4: Variables Aleatorias. Tema 4: Variables aleatorias. Objetivos del tema:

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Estadística, Profesora: María Durbán

1

Tema 4: Variables aleatorias

4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang

Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson

Distribución t de Student Distribución F de Fisher

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Estadística, Profesora: María Durbán

2

Objetivos del tema:

Al final del tema el alumno será capaz de:

™Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas ™Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones

específicas

™Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las distribuciones más comunes

Tema 4: Variables Aleatorias

Estadística, Profesora: María Durbán

3 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang

Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson

Distribución t de Student Distribución F de Fisher

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones 4.5 Proceso de Bernouilli

Tema 4: Variables aleatorias

Estadística, Profesora: María Durbán

4

4.5 Proceso de Bernouilli

Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)

Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población

y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

Las observaciones son independientes Pr( ) Pr( ) 1 D p A q p = = = −

(2)

Estadística, Profesora: María Durbán

5

4.5 Proceso de Bernouilli

Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)

Defectuoso (D) La proporción de A y D es constante en la población

y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

Las observaciones son independientes Pr( ) Pr( ) 1 D p A q p = = = −

Estadística, Profesora: María Durbán

6

4.5 Proceso de Bernouilli

Ejemplos

Observar el resultado al lanzar una moneda

Si un una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación Observar el sexo de un recién nacido

Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital

7

4.5 Proceso de Bernouilli

Distribución de Bernouilli 0 si el suceso ocurre A 1 Pr( 0) 1 si el suceso no ocurre A Pr( 1) q p X X p X → = − = = = → = =

La función de probabilidad es:

1

( )

x

(1

)

x

0,1

p x

=

p

p

x

=

[ ]

[ ]

2 2 0 (1 ) 1 (0 ) (1 ) (1 ) (1 ) E X p p p Var X p p p p p p µ σ = = × − + × = = = − − + − = − 8

4.5 Proceso de Bernouilli

Distribución Binomial

X = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas

X toma valores 0,1,2,…,n

„ Si se repite un número fijode veces, n, un experimento de Bernoulli con

parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomialde parámetros (n,p).

~

( , )

(3)

Estadística, Profesora: María Durbán

9

La función de probabilidad es:

4.5 Proceso de Bernouilli

(

)

n

r

(1

)

n r

,

0,1,

,

P X

r

p

p

r

n

r

⎛ ⎞

=

=

⎜ ⎟

=

⎝ ⎠

[ ]

[ ]

(1

)

E X

np

Var X

np

p

=

=

Estadística, Profesora: María Durbán

10 n=5

n=25 p=0.75 p=0.5 p=0.2

4.5 Proceso de Bernouilli

Estadística, Profesora: María Durbán

11

4.5 Proceso de Bernouilli

Ejemplo

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

Pr(

X

=

0)

Estadística, Profesora: María Durbán

12

4.5 Proceso de Bernouilli

Ejemplo

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces Son independientes

(4)

Estadística, Profesora: María Durbán

13

4.5 Proceso de Bernouilli

Ejemplo

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

~

(40, 0.01)

X

B

0 40

40

Pr(

0)

0.01 (1 0.01)

0.669

0

X

=

=

=

Estadística, Profesora: María Durbán

14

4.5 Proceso de Bernouilli

Distribución Geométrica

Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles La probabilidad de éxito se mantiene constante

Las observaciones son independientes

Se repite el experimento hasta que ocurre el primer éxito

X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito

~

( )

X

Ge p

15

4.5 Proceso de Bernouilli

Distribución Geométrica

1,... son Berrnouilli

i

X i

=

n

1 2 3 4 1 0 0 0 1 Pr( 1) 0 1 0 0 2 Pr( 2) 0 0 1 0 3 Pr( 3) 0 0 0 1 4 Pr( 4) X X X X X X X p X X qp X X qqp X X qqqp ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = =

La función de probabilidad es:

1

(

)

(1

)

r

,

1, 2,

P X

=

r

= −

p

p r

=

16

4.5 Proceso de Bernouilli

Distribución Geométrica

1,... son Berrnouilli

i

X i

=

n

[ ]

[ ]

2 2

1/

(1

) /

E X

p

Var X

p

p

=

= −

1 2 3 4 1 0 0 0 1 Pr( 1) 0 1 0 0 2 Pr( 2) 0 0 1 0 3 Pr( 3) 0 0 0 1 4 Pr( 4) X X X X X X X p X X qp X X qqp X X qqqp ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = =

(5)

Estadística, Profesora: María Durbán

17

4.5 Proceso de Bernouilli

Distribución Geométrica

Estadística, Profesora: María Durbán

18

4.5 Proceso de Bernouilli

Ejemplo

La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de

transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes,

¿Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error?

X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrar el primer error

[ ]

1/

1/ 0.1 10

E X

=

p

=

=

Estadística, Profesora: María Durbán

19 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang

Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson

Distribución t de Student Distribución F de Fisher

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones 4.6 Proceso de Poisson

Tema 4: Variables aleatorias

Estadística, Profesora: María Durbán

20

4.6 Proceso de Poisson

Cuando un experimento tiene las siguientes características:

Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo

Es la misma para los intervalos del mismo tamaño Es proporcional a la longitud del intervalo

Los sucesos ocurren de forma independiente. El número de sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del número de sucesos que ocurren en otro intervalo

(6)

Estadística, Profesora: María Durbán

21

4.6 Proceso de Poisson

X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una Binomial cuando

Distribución de Poisson

y

0

n

→ ∞

p

np

λ

=

Número medio de sucesos en ese intervalo

lim 1 n e n λ λ − ⎛ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n→ ∞ n→ ∞

Estadística, Profesora: María Durbán

22

La función de probabilidad es:

(

)

,

0,1,

!

r

e

P X

r

r

r

λ

λ

=

=

=

[ ]

[ ]

[ ]

1 0 1 1 2 1 2 ! ( 1)! ~ ( ) ~ ( ) independientes ~ ( ) r r e E X E X r e r r Var X X P Y P X Y P λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ λ

− − ∞ ∞ − = → = = = − = + +

Distribución de Poisson

4.6 Proceso de Poisson

23

4.6 Proceso de Poisson

24 Distribución de Poisson

4.6 Proceso de Poisson

Ejemplos

Número de defectos en un milímetro de cable.

Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralita en una hora.

(7)

Estadística, Profesora: María Durbán

25

4.6 Proceso de Poisson

Ejemplo

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.

¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos? X = Número de clientes por minuto

Y = Número de clientes en 3 minutos

~

(

1)

X

P

λ

=

~

(

3)

Y

P

λ

=

3 0 3

3

Pr(

0)

0!

e

Y

e

− −

=

=

=

Estadística, Profesora: María Durbán

26

4.6 Proceso de Poisson

Ejemplo

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.

Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta 6000 euros diarios. ¿Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre a cada cliente para que sea rentable?

Y = Número de clientes en 8 horas

Y

~

P

(

λ

=

60 8

× =

480)

Beneficio = Tarifa x Y -6000

[ ]

Beneficio Esperado = Tarifa

6000

0

= Tarifa 480 6000

0

E Y

×

>

×

>

Tarifa > 12.5

Estadística, Profesora: María Durbán

27

4.6 Proceso de Poisson

La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar

Tiempo entre llamadas telefónicas

Tiempo entre llegadas a un puesto de servicio Tiempo de vida de un componente eléctrico

Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial

Distribución de exponencial

Estadística, Profesora: María Durbán

28

4.6 Proceso de Poisson

Distribución de exponencial

X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso

Podemos calcular su función de distribución:

0 0

(

)

(cero sucesos en (0,t ))

P T

>

t

=

P

~

( )

X

P

λ

X= Número de sucesos en una unidad de tiempo Y = Número de sucesos en (0,t0)

Y

~

P

(

λ

t

0

)

0 0

(

)

Pr(

0)

t

P T

>

t

=

Y

=

=

e

−λ 0 0 0

( )

(

)

1

t

F t

=

P T

t

= −

e

−λ

~

( )

X

P

λ

(8)

Estadística, Profesora: María Durbán

29

4.6 Proceso de Poisson

Distribución de exponencial

X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos

~

( )

X

P

λ

( )

( )

dF t

t

,

0

f t

e

t

dt

λ

λ

=

=

[ ]

[ ]

2

1/

1/

E X

Var X

λ

λ

=

=

Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo

El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ

Estadística, Profesora: María Durbán

30

4.6 Proceso de Poisson

0.1 ( ) 0.1 x f x = e− 0.5 ( ) 0.5 x f x = e− 2 ( ) 2 x f x = e− 31

4.6 Proceso de Poisson

Ejemplo

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.

¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes?

X = Número de clientes por minuto T = Tiempo entre dos clientes

~

(

1)

X

P

λ

=

~

(

1)

T

Exp

λ

=

(

1 3

)

3

Pr(

T

>

3)

= −

1 Pr(

T

3)

= −

1

F

(3)

= − −

1

1

e

− ×

=

e

Pr(No haya clientes en 3 minutos)

=

32

4.6 Proceso de Poisson

Propiedad 1 2 1 2

Pr(T > t +t / T > t ) = Pr( T > t )

1 2 2 1 ( t +t ) 1 2 1 1 2 t 1 1

Pr(T > t +t

T > t )

Pr( T > t +t )

=

Pr( T > t )

Pr( T > t )

t

e

e

e

λ λ λ − − −

=

=

Si no ha habido clientes en 4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos?

3

(9)

Estadística, Profesora: María Durbán 33 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang

Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson

Distribución t de Student Distribución F de Fisher

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones Distribución Normal

Tema 4: Variables aleatorias

Estadística, Profesora: María Durbán

34

4.8 Distribución Normal

La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios

Errores de medida Ruido en una señal digital

Corriente eléctrica en un trozo de cable …

En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal

Es la base para la inferencia estadística

Estadística, Profesora: María Durbán

35

4.8 Distribución Normal

Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ.

Toma valores en toda la recta real Su función de densidad es:

2 2 ( ) 2 2

1

( )

e

2

[ ]

[ ]

x

f x

x

E X

Var X

µ σ

πσ

µ

σ

− −

=

− ∞ < < ∞

=

=

( , ) N µ σ

Estadística, Profesora: María Durbán

36 Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media

µ

( )

f x

4.8 Distribución Normal

0.5 0.5 La media, mediana y moda coinciden

(10)

Estadística, Profesora: María Durbán

37

El

El

efecto

efecto

de

de

µ

µ

y

y

σ

σ

¿Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)?

σ= 2

σ =3

σ =4

µ = 10 µ = 11 µ = 12

¿Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)?

4.8 Distribución Normal

Es un factor de escala

Es un factor de traslación

Estadística, Profesora: María Durbán

38 La probabilidad es el área bajo la curva

c

d

X

f(X)

4.8 Distribución Normal

Pr(c

X

d)

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad

39 µ σ Densidad de X Densidad de X-µ 0 Densidad de (X-µ)/σ 1

4.8 Distribución Normal

Todas las distribuciones normales se pueden transformar en N(0,1)

X

X

Z

µ

σ

→ =

40

4.8 Distribución Normal

~

(3, 2)

X

N

Pr(

X

6)

3 6 0 1.5

6 3

Pr

Pr(

1.5)

2

Z

Z

=

Mismoº área

~

(0,1)

Z

N

(11)

Estadística, Profesora: María Durbán

41

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? ¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?

Pr(

X

<

6000)

Pr(

X

>

a

)

=

0.9505

Estadística, Profesora: María Durbán

42

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

6000 7000

Pr(

6000)

Pr

Pr(

1.66)

600

X

<

=

Z

<

=

Z

< −

-1.66

Estadística, Profesora: María Durbán

43

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

6000 7000

Pr(

6000)

Pr

Pr(

1.66)

600

X

<

=

Z

<

=

Z

< −

1.66

Estadística, Profesora: María Durbán

44

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

6000 7000

Pr(

6000)

Pr

Pr(

1.66)

600

X

<

=

Z

<

=

Z

< −

1.66

1 Pr(

Z

1.66)

= −

<

(12)

Estadística, Profesora: María Durbán 45

1 Pr(

Z

1.66)

= −

<

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

1 0.9515

0.0485

= −

=

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

Estadística, Profesora: María Durbán

46

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?

7000

Pr(

)

0.9505

Pr

0.9505

600

a

X

>

a

=

Z

>

=

a 0.95 47

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?

7000

Pr(

)

0.9505

Pr

0.9505

600

a

X

>

a

=

Z

>

=

-b 0.95 -b Valor negativo 48

4.8 Distribución Normal

Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?

(

7000)

Pr(

)

0.9505

Pr

0.9505

600

a

X

>

a

=

Z

<

− −

=

b 0.95 b

(13)

Estadística, Profesora: María Durbán 49 ( 7000) Pr( ) Pr 0.9505 600 a X >a = ⎛Z<− − ⎞= ⎝ ⎠

¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores? Ejemplo

4.8 Distribución Normal

( 7000) 1.65 600 6010 a a − − = ⇓ = El 94.05% de los semiconductores duran más de 6010 horas

Estadística, Profesora: María Durbán

50 Pr( -0.6 < Z < 1.83 )= Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 ) Pr ( Z <-0.6) = Pr ( Z >0.6 ) = 1 - Pr (Z < 0.6 ) = 1 – 0.7257 = 0.2743 Pr( Z < 1.83 ) = 0.9664

= 0.7257 - 0.0336

= 0.6921

1.83 -0.6

4.8 Distribución Normal

Más ejemplos de cálculo de probabilidades

Estadística, Profesora: María Durbán

51

„ La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes

sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal.

4.8 Distribución Normal

Estadística, Profesora: María Durbán

52

4.8 Distribución Normal

50 55 60 65 70 0 1 0 2 0 304 05 0 6 0 x Ilustración

Sea X una variable Uniforme en el intervalo [50,70].

Tenemos una muestra de tamaño 2000.

La muestra tiene media 59.9 y desviación típica 4.57

El histograma no se parece a una distribución normal con la

(14)

Estadística, Profesora: María Durbán

53 Elegimos aleatoriamente grupos de 10

observaciones.

Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral.

Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original. 55 69 70 56 57 66 65 62 63 59 53 51 54 59 54 69 51 51 65 53 54 60 58 66 69 60 60 59 63 59

Muestra

59.4 58.5 61.1

4.8 Distribución Normal

Estadística, Profesora: María Durbán

54 55.220755 56.160009 57.099264 58.038518 58.977773 59.917028 60.856282 61.795537 62.734792 63.674046 64.613301 aa$x 0 10 20 30 40 a

4.8 Distribución Normal

La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal. La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original.

Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación

típica es menor, en este caso 1.92 xxx

55

Supongamos que tenemos n variables aleatorias X

i

independientes con medias (µ

ι

) y desviaciones típicas (σ

i

) y

distribución cualquiera

Cuando n crece,

Teorema Central del Límite

4.8 Distribución Normal

2

(0,1)

i i

Y

N

µ

σ

1 2 n

Y

=

X

+

X

+

+

X

(

2

)

~

i

,

i

Y

N

µ

σ

la distribución de

56

Supongamos que tenemos n variables aleatorias X

i

independientes con medias (µ

ι

) y desviaciones típicas (σ

i

) y

distribución cualquiera

Teorema Central del Límite

4.8 Distribución Normal

Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre

una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural

la distribución Normal

(15)

Estadística, Profesora: María Durbán 57 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang

Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson

Distribución t de Student Distribución F de Fisher

4.5 La Normal como aproximación de otras distribuciones4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Tema 4: Variables aleatorias

Estadística, Profesora: María Durbán

58

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

La variable Binomial es suma de variables de Bernouilli, que toman el valor 0 ó 1. Binomial-Normal 1 2 n

Y

=

X

+

X

+…

X

[ ]

[

]

(1

)

i i

E X

p

Var X

p

p

=

=

T.C.L.

(

,

(1

)

)

Y

N np

np

p

30

5

n

npq

>

>

Estadística, Profesora: María Durbán

59 5.000 7.625 10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000 x 0.00 0.04 0.08 0.12

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Binomial-Normal

(

15, 10.5

)

N 50 0.3 10.5 n p npq = = =

Estadística, Profesora: María Durbán

60 La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta.

Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Factor de corrección

0.5

Pr(

)

Pr(

0.5)

Pr

(1

)

0.5

Pr(

)

Pr(

0.5

)

Pr

(1

)

x

np

X

x

X

x

Z

np

p

x

np

x

X

x

X

Z

np

p

+

=

≤ +

=

(16)

Estadística, Profesora: María Durbán

61

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Ejemplo

Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chips defectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para su venta.

Un comprador rechazará un lote si contiene 25 o más chips defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote?

Pr( 25) 25 0.5 40 Pr 6.26 Pr( 2.47) Pr( 2.47) 0.9292 X Z Z Z ≥ ↓ − − ⎛ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≥ − = ≤ =

~

(2000, 0.02)

30

40

(1

)

39.2

X

B

n

np

np

p

>

=

=

(40, 6.26)

X

N

Estadística, Profesora: María Durbán

62

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Poisson-Normal

La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de experimentos tiende a infinito.

Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5)

(

)

~

( )

,

X

P

X

N

λ

λ λ

63

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Poisson-Normal

64

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones

Ejemplo

El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadrado sigue una distribución de Poisson con media 100.

Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más? Pr( 95) 95 100 0.5 Pr Pr( 0.55) 10 Pr( 0.55) 0.6915 X Z Z Z ≥ ↓ − − ⎛ = ≥ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ =

(17)

Estadística, Profesora: María Durbán 65 4.5 Proceso de Bernouilli Distribución de Bernouilli Distribución Binomial Distribución Geométrica 4.6 Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidad Distribución Erlang

Distribución Weibull 4.8 Distribución Normal

4.6 Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson

Distribución t de Student Distribución F de Fisher

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones 4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal

Tema 4: Variables aleatorias

Estadística, Profesora: María Durbán

66

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. 2 g

χ

[ ]

[ ]

2 2 1 2 2 1 ~ (0,1) ~ ~ 2 i i g i g i X X N X Y E Y g Var Y g

µ

µ

χ

σ

σ

µ

χ

σ

= − ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ = = = ⎝ ⎠

~

( , )

i

X

N

µ σ

independientes

Estadística, Profesora: María Durbán

67

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos. La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad. 2 g

χ

0 5 10 15 20 25 x 0. 0 0. 1 0.2 0.3 0.4 0.5 f( x) 2 grados de libertad 3 grados de libertad 4 grados de libertad 5 grados de libertad

Estadística, Profesora: María Durbán

68

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal

t de Student

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda la recta real.

La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

2

~

(0,1)

~

/

g g

Z

t

Z

N

Y

Y g

χ

=

(18)

Estadística, Profesora: María Durbán

69

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal

t de Student

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda la recta real.

La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad. -10 -5 0 5 x 0. 0 0 .1 0. 2 0. 3 0 .4 f( x) 5 grados de libertad 20 grados de libertad 100 grados de libertad

Estadística, Profesora: María Durbán

70

4.10 Distribuciones relacionadas con la Normal

F de Fisher

Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

1 2 1 2 2 2 1 , 2

/

X ~

~

/

g g g g

X g

F

Y

Y g

χ

χ

=

Referencias

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