MATEM ´ATICAS II Curso 2022/2023
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I
Tema 3. Variables aleatorias
3.1. Determinar la distribuci´on de probabilidad de una variable aleatoria X sabiendo que toma los valores -3, -1, 2 y 5 y que sus respectivas probabilidades son:
2k−3
10 , k+ 1
10 , k−1
10 y k−2 10 .
3.2. Hallar la media, la varianza y la desviaci´on t´ıpica de cada una de las distribuciones siguientes:
(a) xi 3 8 12
pi 1/3 1/2 1/6 (b) xi 1 3 4 5
pi 0.4 0.1 0.2 0.3
3.3. Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores 0, 1, 2 y 3, y de la que se conoce: P(X <1) = 1
4, P(1≤X ≤2) = 1
2, P(0.5< X ≤3) = 6
8 y E(X) = 11 8 . Determinar la distribuci´on de probabilidad de X.
3.4. Sea X la variable aleatoria “n´umero de caras que salen al tirar una moneda cuatro veces”. Hallar la distribuci´on de probabilidad de X y la esperanza µ=E(X).
3.5. Se tira una moneda hasta que salga cara o cinco cruces. Hallar la esperanza del n´umero de veces que se tirar´a la moneda.
3.6. Un juego consiste en lanzar un dado, ganando el triple de lo apostado si sale un 6, ganando el doble si sale un 5, perdi´endose lo apostado en otro caso. ¿Conviene jugar?
3.7. Se venden 5000 papeletas de una rifa con un ´unico premio de 3000 euros. Si cada papeleta cuesta un euro, ¿qu´e ganancia puedo esperar comprando 3 papeletas?
1
3.8. Un examen tipo test consta de 10 preguntas con tres posibles respuestas cada una y s´olamente una v´alida. Si un estudiante responde al azar, valiendo cada respuesta correcta un punto, ¿cu´al es la puntuaci´on esperada? ¿c´omo deber´ıan penalizarse las respuestas incorrectas de modo que la puntuaci´on esperada de alguien que responde al azar fuese cero?
3.9. Se tira un dado no trucado y se definen X=“doble del n´umero que salga” e Y=“1 ´o 3, dependiendo de si sale impar o par”.
(a) Hallar la distribuci´on de probabilidad de X y las esperanzas E(X) y E(Y).
(b) Hallar la distribuci´on de probabilidad y la esperanza de la variableZ =X+Y. Verificar que E(X+Y) =E(X) +E(Y).
(c) Hallar la distribuci´on de probabilidad y la esperanza de la variable W =XY. 3.10. Se est´a estudiando el n´umero de cabritos por parici´on de dos razas de cabras. Se asume que el n´umero de cr´ıas en una parici´on es como m´aximo de tres. Supongamos que la probabilidad de tener un cabrito es igual a la de tener dos, pero la probabilidad de tener tres cabritos es la mitad de la anterior. LlamemosX a la variable aleatoria n´umero de cabritos por parici´on de la raza 1 eY al n´umero de cabritos por parici´on de la raza 2. Se pide:
(a) Determinar el valor esperado de la variable aleatoria que describe la suma del n´umero de cr´ıas en una parici´on de las dos razas.
(b) Calcular el n´umero de cabritos esperados en 4 pariciones de la raza 1.
3.11. En un experimento para control de calidad de tractores, se le da arranque a las unidades en 4 oportunidades. Suponiendo que en cada prueba cada tractor puede arrancar con el doble de probabilidad de no hacerlo, hallar la probabilidad de que un tractor:
(a) arranque 3 veces (b) arranque a lo sumo 2 veces (c) arranque como m´ınimo 3 veces
3.12. Un Ingeniero especialista en control de calidad de semillas de trigo, afirma que su empresa produce un 95% de las bolsas de semillas de trigo con una pureza del 99%.
Si fuera cierta su afirmaci´on, determinar:
(a) La probabilidad de que de 20 bolsas tomadas al azar, todas no posean m´as del 1% de cuerpos extra˜nos.
(b) La probabilidad de que de 20 bolsas tomadas al azar, al menos 2 posean m´as del 1% de cuerpos extra˜nos.
3.13. Se sospecha que la proporci´on p de los individuos de una poblaci´on que presentan cierta caracter´ıstica es muy baja. Si se observan 4 individuos, ¿cu´al es, en funci´on de p, la probabilidad de no detectar dicha caracter´ısitica? Si p = 0.02, ¿cu´al es el n´umero m´ınimo de individuos que se deben observar para detectar la caracter´ıstica con una probabilidad mayor o igual que 0.95?
3.14. Seg´un los sondeos realizados por una empresa encuestadora, el porcentaje de abs- tenciones en las pr´oximas elecciones ser´a del 25%. ¿A cu´antos ciudadanos hay que encuestar para que la probabilidad de que todos ellos declaren su intenci´on de votar sea menor que 0.01?
3.15. Un saco contiene 100 manzanas, de las cuales la mayor´ıa est´an sanas. Se efect´uan extracciones con reemplazamiento (se extrae una manzana y una vez observada, se devuelve al saco). Se sabe que la probabilidad de que en dos extracciones cojamos una sola manzana en mal estado es 0.18. Hallar el n´umero de manzanas en mal estado que hay en el saco.
3.16. En un colectivo de ciudadanos se ha determinado que el n´umero medio de los que acuden a un mitin es de 32.5 con una varianza de 28.275. Calcular el tama˜no del colectivo y la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar acuda al mitin.
3.17. La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es 0.2.
(a) Si lo intenta 5 veces:
(a1) Calcular la probabilidad de que no acierte ninguna.
(a2) Calcular la probabilidad de que acierte al menos una.
(a3) ¿Cu´al es el n´umero medio de aciertos? ¿Y la desviaci´on t´ıpica?
(b) Determinar el n´umero m´ınimo de veces que ha de tirar para que la probabilidad de tener al menos un acierto sea mayor de 0.9.
3.18. En una urna hay 2 bolas blancas, 3 verdes y 5 rojas. Se extraen al azar dos bolas (sin reemplazamiento) y se establecen las siguientes condiciones: se ganan 20 euros si las dos bolas son blancas, 10 euros si las dos bolas son verdes y 1 euro si una es verde y otra roja, pero se pierden 2 euros en cualquier otro caso.
(a) Hallar la ganancia esperada en cada jugada.
(b) Si tenemos 5 jugadores, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos no pierdan dinero.
3.19. En un juego con la baraja de cartas espa˜nola se cogen dos cartas de la baraja (sin reemplazamiento) y si las dos cartas tienen el mismo n´umero se gana esa misma cantidad de euros. En otro caso, se pierde un euro.
a) Calcular la probabilidad de ganar dinero en una partida.
b) Calcular la ganancia esperada del juego.
c) ¿Qu´e es m´as probable ganar dinero en dos de cuatro partidas o en tres de seis partidas?
d) ¿Cu´antas partidas hay que jugar para que podamos esperar ganar dinero en m´as de una partida?
e) ¿Cu´antas partidas hay que jugar para que la probabilidad de ganar dinero en alguna partida sea mayor que 0.9?
3.20. Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones:
(a) f(x) =
1 2 +1
2x si x∈[0,2]
0 en otro caso (b) f(x) =
1
2 −x si x∈[0,2]
0 en otro caso (c) f(x) =
1− 1
2x si x∈[0,2]
0 en otro caso
3.21. Calcula el valor de m para que la funci´on f(x) =
mx si x∈[3,7]
0 en otro caso sea la funci´on de densidad de una variable aleatoria X.
(a) Hallar P(3< X <5), P(4≤X ≤6) yP(6≤X <11).
(b) Calcular µ=E(X) y σ2 =Var(X).
3.22. La cantidad de arena en toneladas transportada por el viento hasta una determinada zona es una variableX con funci´on de densidad:
f(x) =
3
1000x2 0≤x≤b;
0 en caso contrario.
(a) Calcular el valor de b para que f sea funci´on de densidad.
Considerando b= 10,
(b) Hallar la cantidad media de arena transportada por el viento.
(c) La altura en metros de cada duna que se forma se obtiene como una funci´on de la arena transportada: H = 21 +k X, donde k es constante positiva. Hallark para que la probabilidad de que la altura de una duna est´e comprendida entre 21 y 25 metros sea de 0.008.
3.23. La longitudX (en cm) de los proyectiles fabricados por una empresa bal´ıstica sigue una distribuci´on continua con funci´on de densidad:
f(x) =
3/x4 si x≥1 0 si x <1
(a) Si s´olo se aceptan balas con longitudes entre 1 y 2 cm, ¿qu´e porcentaje de las balas fabricadas ser´a aceptado?
(b) Si Y = 2X+ 4 representa el peso en gramos de un proyectil de longitud X:
(b1) ¿Qu´e porcentaje de proyectiles tendr´a un peso inferior a 10 gr?
(b2) ¿Qu´e porcentaje de los proyectiles de menos de 10 gr tendr´an un peso superior a 7 gr?
3.24. Se ha observado que un term´ometro sometido a condiciones meteorol´ogicas adversas da una medici´on de entre dos grados m´as y dos menos de la temperatura real. El error cometido sigue una variable aleatoria continua con densidad
f(x) =
k(2−x) si x∈[−2,2]
0 en otro caso
(a) Hallar el valor de k para que f sea funci´on de densidad.
Considerando k = 18,
(b) Calcular la probabilidad de que el term´ometro de la temperatura exacta.
(c) Hallar la probabilidad de que el term´ometro cometa un error de entre -1 y 1 grado.
(d) Hallar la probabilidad de que el error sea menor que 1 grado, sabiendo que es mayor que -1.
(e) Calcular el error esperado.
3.25. Sea Z una distribuci´on normal de media 0 y desviaci´on t´ıpica 1. Se pide:
(a) P(Z ≤1.2) (c) P(0.3< Z ≤1.38) (b) P(Z ≤ −3) (d) P(−2.8< Z <−1)
3.26. Sea Z una distribuci´on normal de media 0 y desviaci´on t´ıpica 1. Determinar k en cada caso:
(a) P(Z ≤ k) = 0.8023 (c) P(Z > k) = 0.0951 (b) P(Z < k) = 0.209 (d) P(Z ≥k) = 0.9817
3.27. La variable altura de pl´antulas para una poblaci´on dada se distribuye normalmente con media 170 mm y desviaci´on t´ıpica 5 mm. Encontrar la probabilidad de los siguientes eventos:
(a) Plantas con alturas de al menos 160 mm.
(b) Plantas con alturas entre 165 y 175 mm.
3.28. El caudal de un canal de riego medido en m3/s es una variable aleatoria con dis- tribuci´on aproximadamente normal con media 3 m3/s y desviaci´on t´ıpica 0.8 m3/s.
Calcular la probabilidad de que:
(a) El caudal en un instante dado sea a lo sumo de 2.4 m3/s.
(b) El caudal en un instante dado est´e entre 2.8 y 3.4 m3/s.
3.29. Una empresa exportadora de manzanas necesita encargar 10000 cajones para el embalaje de la fruta. Sin embargo, no todos los cajones son iguales ya que sus especificaciones dependen de la calidad del producto envasado. As´ı, de acuerdo al di´ametro de la manzana se identifican 3 categor´ıas de calidad:
• Categor´ıa I: manzanas cuyo di´ametro es menor de 5 cm.
• Categor´ıa II: manzanas cuyo di´ametro esta comprendido entre 5 y 7 cm.
• Categor´ıa III: manzanas cuyo di´ametro es mayor que 7 cm.
Si la distribuci´on del di´ametro de las manzanas puede modelarse bien mediante una distribuci´on normal con media 6.3 y varianza 2, ¿cu´antos cajones se necesitar´an para cada categor´ıa de manzanas?
3.30. El espesor de un sedimento en un sustrato de suelo se distribuye normalmente con media 15 micrones y desviaci´on t´ıpica 3 micrones. ¿Qu´e espesor m´aximo tendr´a el 75% del sustrato?
3.31. Una universidad p´ublica oferta 120 plazas para el primer curso de los estudios de una titulaci´on, recibiendo 800 solicitudes y siendo el ´unico criterio de admisi´on la nota del examen de selectividad. Sabiendo que las notas de selectividad siguen una distribuci´on normal de media 7.3 y desviaci´on t´ıpica 0.7, determinar la nota m´ınima necesaria para conseguir una de las 120 plazas ofertadas.
3.32. La altura de plantas de soja de la variedad Hood se distribuye normalmente con media 55 cm y desviaci´on t´ıpica de 5.8 cm. Por otro lado, la altura de plantas de yuyo colorado (Amaranthus sp.) invasora de este cultivo, tambi´en se distribuye en forma normal con media 62 cm y desviaci´on t´ıpica de 3 cm. Si se decide aplicar un herbicida usando un equipo a sogas:
(a) ¿A qu´e altura debe disponerse la soga para eliminar el 90% de la maleza en este cultivo?
(b) Suponiendo que el herbicida no es selectivo, es decir mata por igual a toda planta que est´a en contacto con la soga, ¿qu´e porcentaje de plantas de soja se perder´a a la altura de soga encontrada en el apartado anterior?
3.33. La producci´on de leche por lactancia del ganado vacuno sigue una distribuci´on normal de 5500 kg de media con una desviaci´on t´ıpica de 1200 kg.
(a) Para realizar una clasificaci´on del ganado, se le otorga una puntuaci´on en funci´on de la cantidad de leche que produce, de la siguiente forma: 1 si produce menos de 4300 kg, 2 si produce entre 4300 y 6700 kg y 3 si produce m´as de 6700 kg.
(a1) Determinar el porcentaje de ganado que recibe cada una de las tres pun- tuaciones.
(a2) Calcular la puntuaci´on esperada.
(b) Se experimenta una variaci´on en la alimentaci´on que aumenta la producci´on de leche (sin modificar su varianza). Determinar la nueva producci´on media, sabiendo que ahora el 20% del ganado produce m´as de 6700 kg.
3.34. El peso de los salmones Tipo L de una piscifactor´ıa sigue una distribuci´on normal de media 3254 y desviaci´on 547 gramos. Una pescader´ıa ha adquirido 50 salmones,
¿qu´e probabilidad tienen de haber comprado m´as de 170 kilos de salm´on?
3.35. Por un antiguo puente circulan autom´oviles cuyo peso sigue una distribuci´on normal de media 950 kg y desviaci´on t´ıpica 80 kg. No es recomendable que el puente soporte m´as de 6000 kg, por lo que se debe restringir el n´umero de autom´oviles que crucen el puente a la vez. Determinar el m´aximo n´umero de coches sobre el puente que deben ser permitidos si se quiere que la probabilidad de superar la carga m´axima de 6000 kg sea menor que 0.003.
3.36. La caja diaria de cierta cafeter´ıa sigue una distribuci´on normal de media 1150 euros y desviaci´on 125. Si la recaudaci´on en caja es independiente para los distintos d´ıas y la cafeter´ıa s´olo cierra un d´ıa a la semana por descanso, determinar:
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la caja semanal supere los 7000 euros?
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que en un trimestre (72 d´ıas trabajados) la recau- daci´on media en caja no llegue a 1000 euros?
3.37. Una peque˜na explotaci´on agr´ıcola dedica sus tierras al cultivo de avellanas. Se admite que la producci´on anual de este producto, medida en miles de kg, sigue una distribuci´on normal de media 8 y varianza 10.
(a) Hallar la probabilidad de que la producci´on anual sea superior a 10000 kg.
(b) Calcular qu´e producci´on anual de avellanas ser´a superada con una probabilidad del 95%.
(c) Suponiendo que el precio de las avellanas es de 1.14 euros por kg y que los gastos anuales del agricultor son de 4.200 euros (incluyendo mano de obra y los productos necesarios para el cultivo), ¿cu´al es la probabilidad de que los beneficios anuales superen los 6000 euros?
3.38. Calcular la media µ y la desviaci´on t´ıpica σ de una variable aleatoria normal X de la que se sabe que P(X ≤0) = 1/3 y P(X≤1) = 2/3.
3.39. Las puntuaciones obtenidas por los alumnos de una clase siguen una distribuci´on normal. Se sabe que el 38.21% de los alumnos obtuvieron una nota inferior a 4.7, mientras que los que obtuvieron m´as de 6 fueron el 15.87%. Se dir´a que un alumno tiene un nivel excelente si su nota es mayor que 7.2.
(a) Calcular los par´ametros de la distribuci´on.
(b) Calcular la probabilidad de que un alumno sea excelente.
3.40. En una f´abrica de turr´on, la cantidad de almendra determina su calidad. Se con- sidera que el turr´on es de calidad normal si la cantidad de almendra es menor de 180 gramos, de calidad extra si la cantidad de almendra est´a entre 180 y 200 gramos y de calidad superior si la cantidad de almendra es superior a 200 gramos. Se sabe que el 16.6% de las tabletas de turr´on son de calidad superior.
(a) Si la cantidad de almendra sigue una distribuci´on normal de media µ = 191, hallar la desviaci´on t´ıpica de esta distribuci´on.
(b) Considerando σ = 9.28, ¿cu´al es la probabilidad de que en una tableta de calidad superior, la cantidad de almendra sea menor de 208 gramos?
(c) Si se seleccionan 15 tabletas, hallar la probabilidad de que al menos 2 de ellas sean de calidad superior.
3.41. Una empresa de productos c´arnicos tiene camiones a su servicio para transportar su mercanc´ıa. El peso que transporta un cami´on se distribuye seg´un una variable aleatoriaX ∼N(4750, σ) y se sabe que la probabilidad de que un cami´on transporte menos de 5400 kg es de 0.9938.
(a) Determinar la desviaci´on t´ıpica de la variable X.
(b) Sea σ = 260. Si disponemos de 5 camiones, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos 3 de ellos transporten m´as de 4100 y menos de 5400 kg?
3.42. En una plantaci´on de manzanos, el peso en kg de la fruta producida anualmente por cada ´arbol sigue una distribuci´on normal de media desconocida y desviaci´on t´ıpica 10.
(a) Hallar el valor de µ sabiendo que la probabilidad de que un ´arbol produzca m´as de 60 kg de fruta en un a˜no es de 0.1587.
Considerando µ= 50 en los siguientes apartados:
(b) Si un ´arbol ha producido m´as de 60 kg de fruta en un a˜no, hallar la probabilidad de que haya producido m´as de 70 kg.
(c) Si seleccionamos 4 manzanos al azar,
(c1) Hallar la probabilidad de que la producci´on total de los 4 manzanos supere los 240 kg de fruta.
(c2) Hallar la probabilidad de que al menos uno de ellos haya producido m´as de 60 kg.
3.43. Se tira una moneda 12 veces. Hallar la probabilidad de que el n´umero de caras que salgan est´e entre 4 y 7, ambos inclusive, usando:
(a) la distribuci´on binomial (b) la aproximaci´on normal a la distribuci´on binomial 3.44. Se tira un dado 180 veces. Determinar la probabilidad de que el n´umero de veces
que salga seisest´e:
(a) entre 29 y 32, ambos inclusive (b) entre 31 y 35, ambos inclusive (c) por debajo de 22
3.45. Se sabe que la probabilidad de sacar cara al tirar una moneda trucada al aire es 0.4. Si se lanza la moneda 400 veces:
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
(b) Calcular la probabilidad de obtener un n´umero de caras comprendido entre 180 y 210, ambos inclusive.
(c) ¿Cu´al es la probabilidad de obtener exactamente 175 caras?
3.46. Los agricultores de una regi´on est´an preocupados por la calidad de sus cosechas, ya que se ha detectado la existencia de sustancias contaminantes en el suelo en ciertas ´areas. El terreno est´a segmentado en parcelas de 100 m2 y tras analizarlo, se concluye que hay una probabilidad de 0.6 de encontrar estos contaminantes en una cualquiera de las parcelas. Se pide:
(a) Si un agricultor posee 15 de estas parcelas, ¿qu´e probabilidad hay de que tenga alguna contaminada?
(b) Una cooperativa posee 200 parcelas.
(b1) ¿Qu´e probabilidad hay de que tenga estrictamente entre 100 y 150 parcelas contaminadas?
(b2) Por cada parcela contaminada, la cooperativa sufre unas p´erdidas de 1000 euros, pero recibe una subvenci´on de 15000 euros por cada 50 parcelas en propiedad. ¿Cu´al es la p´erdida que la cooperativa espera tener?
3.47. El tiempo de retraso medido en minutos del AVE Sevilla-Madrid sigue una variable aleatoria continua con funci´on de densidad
f(x) =
k+30x si −6≤x≤0 k−20x si 0< x≤4 0 en otro caso (a) Hallar k para que f sea funci´on de densidad.
(b) Hallar la probabilidad de que un tren llegue antes de la hora prevista.
(c) Un d´ıa laborable, 15 trenes realizan el trayecto Sevilla-Madrid. Hallar la proba- bilidad de que todos lleguen antes de la hora prevista.
(d) Hallar la probabilidad de que de todos los trenes que realizan el trayecto Sevilla- Madrid en diez d´ıas laborables, al menos la mitad de ellos lleguen antes de la hora prevista.
3.48. Una compa˜n´ıa a´erea cuyos vuelos tienen capacidad para 150 plazas sabe por ex- periencia que el 12% de las reservas telef´onicas de plazas no se llevan a efecto, de modo que reserva m´as plazas de las que dispone.
(a) Si la compa˜n´ıa reservara 160 plazas, ¿cu´al ser´ıa la probabilidad de que al menos un pasajero no tenga plaza disponible a la hora de embarcar?
(b) ¿cu´antas reservas puede hacer la compa˜n´ıa para que la probabilidad de cubrir al menos 145 plazas sea del 99%?
3.49. El porcentaje de cheques sin fondos recibidos en un banco es del 1%.
(a) Si en una sucursal han recibido 20 cheques en una ma˜nana, ¿cu´al es la probabili- dad de que alguno de ellos no tenga fondos?
(b) El pasado mes de Junio la sucursal recibi´o 2000 cheques en total.
(b1) ¿Cu´al es la probabilidad de que a lo sumo 17 no tuvieran fondos?
(b2) Mensualmente, las sucursales son sometidas a un control interno si la probabilidad de superar un cierto l´ımite k de cheques sin fondos recibidos es de 0.63. ¿Cu´al fue el l´ımite para esta sucursal en el mes de Junio?
3.50. Se conoce que el di´ametro de los granizos que caen durante una tormenta sigue aproximadamente una distribuci´on normal de media 1.5 cm con una desviaci´on t´ıpica de 0.3 cm.
(a) Calcular el porcentaje de granizos cuyo di´ametro es superior a 2 cm.
(b) Para valorar el da˜no causado por una tormenta se miden los di´ametros de 10 granizos.
(b1) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos uno de estos granizos tenga un di´ametro superior a 2 cm?
(b2) ¿Cu´al es la probabilidad de que el di´ametro medio est´e entre 1.8 y 2.1 cm?
(c) Se quiere instalar una malla para proteger una cosecha del granizo. ¿Cu´al es el di´ametro que deben tener los agujeros de la malla para que a lo sumo la atraviesen el 5% de los granizos?
3.51. En una empresa agr´ıcola dedicada a la producci´on de abonos, se envasan sacos cuyo contenido sigue una distribuci´on normal de 2000 g de media con una desviaci´on t´ıpica de 50 g y s´olo el 5% de los sacos son defectuosos. Una vez envasados, los sacos se distribuyen en pal´es de 500 unidades.
(a) Sabiendo que un saco se considera defectuoso si su contenido difiere m´as de cierta cantidad C de la cantidad media, determinar esta cantidad C.
(b) Obtener el n´umero de sacos defectuosos que se espera que haya en un pal´e.
(c) Calcular la probabilidad de que en un pal´e haya m´as de 20 sacos defectuosos.
(d) Sabiendo que el peso de los sacos que se utilizan como envase sigue una dis- tribuci´on normal de 50 g de media con una desviaci´on t´ıpica de 5 g, calcular el porcentaje de pal´es que supera un peso total de 1000 kg.
