UNIDAD N° 1
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Competencia:
-Identifica y utiliza correctamente los modelos probabilísticos en la resolución de problemas inherentes a variables aleatorias en forma general.
Objetivos.
-Resolver correctamente todo tipo de problema que tengan que ver con la incertidumbre , mediante la utilización de los modelos probabilísticos
Descripción general de la unidad:
-Esta unidad comprende el desarrollo de las diferentes distribuciones de probabilidades tanto discretas como las continuas con sus respectivas características más aplicadas en el campo de la Ingeniería
Tema Nº1 :Distribuciones Discretas
Competencia: Identifica y utiliza los Modelos de Distribuciones Discretas en la resolución de problemas inherentes a variables aleatorias discretas
Descripción del tema:Se desarrollarán los principales Modelos de Distribución Discretos, con sus respectivas características,para su posterior aplicación a la resolución de problemas.
Tema Nº 2:Distribuciones Continuas
Competencia: Identifica y aplica los principales Modelos de Distribución Continuos en la resolución de problemas inherentes a variables continuas
Descripción del tema:Se desarrollarán los Modelos de distribución Continuas más utilizadas en la Ingeniería de acuerdo a sus características,y su posterior aplicaciópn en la resolución de problemas. Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs. 93 al 128
Bibliografía Básica: Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e Inferencia Estadística((2ª ed) Perú .Pags.407 al 553
Referencia electrónica:
INTRODUCCIÓN
Entre uno de los objetivos de la Estadística Matemática es de determinar una distribución de probabilidad o un modelo probabilistico que satisfaga una serie de supuestos para analizar los resultados obtenidos de un experimento aleatorio.
Entre las distribuciones de probabilidades tenemos:
a) Las distribuciones discretas como ser la Bernoulli, Binomial, Hipergeométrica, Geométrica, Poisson, etc.
b) Las Distribuciones continuas tenemos la Uniforme, Experimental, la Normal, X2, F, t DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Son aquellas distribuciones cuya variable aleatoria es discreta 1.DISTRIBUCIÓN BERNOULLI : XBernoulli (p)
Se tiene la distribución Bernoulli, cuando las pruebas ó ensayos son de carácter dicotómico, es decir sólo tienen 2 posibles resultados:
E = éxito ; F = fracaso [E,F] por ejemplo: Sean los siguientes experimentos aleatorios:
1
: “Lanzar una moneda” 1 [C,S]
2
“Determinar el sexo del ” 2 [V,M]
3
: “verificar el resultado de un examen” 3 [a,r]
DEFINICIÓN
Se dice que una v. d. XBernoulli sii sv Rx= [0,1]; donde la V.A.D. x:” N° de éxitos obtenidos en un ensayo dicotómico”; cuya
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O CUANTÍA p(x)=p[X=x]=px(1-p)1-x; Rx= 0.1 Donde
p = probabilidad del éxito q = probabilidad del fracaso de tal manera que p+q=1
ó p = 1-q ó q = 1-p
cuya distribución de probabilidad y representación gráfica es: x P(x)
0 q 1 p
p q 0 1
FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA F (x) F(x) = p (Xx) = 0 si x < 0
q si 0x<1 1 si x1 CARACTERISTICAS
Entre sus principales caracteristicas tenemos: 1) LA MEDIA p p q x E p x P x x E
) ( 1 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( p x xP p x P x 0 ) ( 9 ) ( 1 0Mediante la F.g.m. sabemos que uno de los teoremas de la f.g.m.
r x r dt t M d r () '
por lo tanto debemos antes determinar la
tx
tx x x x t Ee e p q M fgm () 1 desarrollando la
(0) 0 10 (1) 1 11 ) (t e p q e pq M fgm x t t sabemos que 0 0 1 0 ' ) ( ' ' ) ( 0 pe pe dt p e q d x E t t t t 2) LA VARIANZA
2 ( 2) 2 2 1 2 ) (x E x x p q p V x x ) 1 ( 1 0 ) (x 2 2p0q10 2pq0 p2 p P V mediante la f.g.m. 2 2 2 ' ) (x V donde
0 0 0 0 2 ' ' ' ' ) ( ' ' ' pe pe dt p e q d dt t M d t t t t t x V(x) p p2 p(1 p) P(x) x t =0 p q+etp p.q p p.DISTRIBUCIÓN BINOMIAL X B(n,p) ó b(x :np)
Se llama experimento aleatorio binomial a un N° fijo “n” de reiteraciones independientes de un experimento aleatorio Bernoulli que tiene las siguientes característica:
1. Los resultados de cada prueba son de carácter dicotómico, es decir Bernoulli 2. Las n pruebas Bernoulli son independientes
3. La probabilidad de éxito “p” supuestamente se mantiene constante en cada prueba DEFINICIÓN una v.a.d Xb(n,p), donde
X : “ N° de éxitos obtenidos en “n” ensayos Bernoulli” con Rx = 0,1,2,3,... n cuya
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O CUANTÍA
P(X)= P[X=x]=( n x)pxqn-x:Rx0,1,2,3...n Donde p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso n = N° de ensayos Bernoulli
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Ó ACUMULADA F(x)
F(x)= P(Xx) =B(x;np)=
x k x n k n n x si n x si x si q p k 0 1 0 0 0 ) ( CARACTERÍSTICAS 1) LA MEDIA E x xP x x x pxqn x np n Rx
) ( ) ( ) ( 2) LA VARIANZA V x E x
x x pxqnx np npq n 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 3) LA FGM
tx t n x t Ee p e M ( ) [1 ( 1)]RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON MODELOS PROBABILISTICOS
Para resolver correctamente problemas inherentes a modelos probabilìsticos, se sugiere en un principio seguir los siguientes pasos:
1. Determinar el tipo de distribución de probabilidad que sigue la v. a. X de acuerdo las características del experimento en cuestión.
2. Definir la v. a X de manera clara y completa con su Rx. 3. Determinar los parámetros de la función de probabilidad.
4. Utilizar correctamente la función de probabilidad, ó la acumulada ó tablas ó CPU. Ejemplo
La probabilidad de que cierto ordenador de cierta marca determinada falla, ante una descarga eléctrica es del 1% ¿cuales son las probabilidades de que entre 10 ordenadores de dicha marca en un laboratorio.
a) 3 fallen
b) a lo más 2 fallen c) al menos 3 fallen
d) el promedio y varianza que un ordenador falle SOLUCIÓN
1) Como todo ordenador tiene sólo 2 posibles resultados falle o no falle (dicotómico) 2) Suponiendo que cada ordenador funciona independientemente
3) Suponiendo que la probabilidad de falla de los ordenadores es casi constante Entonces asumimos que la v.a.d. X b(n. p)P(x)=(xn )px qn-x Rx =0,1,2....n
Donde la v. a. d. X: “N° de ordenadores que fallan ante una descarga eléctrica de entre 10” n=10: p=0.01:q=0.99 Rx=0,1,2...10 ( ) 0.01 0.9910 ; 0,1,2...10 10 x x x R x x P a) 3 fallen ( 3) 3 (0.01)3(0.99)7 0.00011 10 P x b) a los más 2 fallen ( 2) ( ) (0) 1 (1) (2) 0.9999 2 0 P x
P x P P P c) al menos 3 fallen ( 3) ( ) (3) (4) ... (10) 10 3 P P P x P x P
mediante el complementoP(x3)1P(x2)10.99990.00011d) El promedio E(x)=np=10(0.01)=0.1=10%La Varianza V(x):npq=10(0.01)(0.99)=0.099 APLICACIÓN DE LA BINOMIAL EN EL MUESTREO
Considerando cada elemento de una muestra aleatoria (m.a.) como un ensayo Benoulli entonces la Distribución Binomial puede aplicarse en el muestreo bajo las siguientes
1. Cuando el muestreo es con o sin reemplazo de una población infinita o muy grande 2. Cuando el muestreo es con reemplazo de una población pequeña o finita
Bajo estas 2 circunstancias entonces la v.a.d. X se define
X:”N° de elementos de la clase de nuestro interés en una m.a. de tamaño n”
Donde Población eres denuestro elementos de N N K p int n x N k N k x x X P x p x n x n ... 3 , 2 , 1 , 0 : 1 ] [ ) (
NOTA.- en la práctica el muestreo se lo realiza sin reemplazo de poblaciones finitas especialmente cuando se realiza control de calidad, por lo tanto la distribución adecuada es la hipergeométrica.
USO DE TABLAS
Cuando el tamaño de la m.a. es muy grande (n30)el cálculo de las probabilidades resulta tedioso porque lo que se sugiere utilizar paquetes estadísticos ó las tablas las que están construidas en términos de la función de distribución ó acumulada F(x); para ello se debe utilizar las siguientes relaciones
Para probabilidades acumuladas
x k n x p n k b p n x B x X P x F 0 .... 2 , 1 , 0 ); . ; ( ) . ; ( ) (Para probabilidades puntuales
P(x=x)=b(x:n.p)= B(x:n;p)-B((x-1);n.p)
Ejemplo
En una importación de computadoras muy grande, se sabe que por experiencia que el 25% de las mismas están infectadas con cierto virus. Se relaciona al azar 20 computadoras del lote de importación, para efectuar un control de calidad.
a) Cual es la verdadera distribución de probabilidad y cual debe asumirse por necesidad del N° de computadoras infectadas con el virus
b) Cual es la probabilidad de que 3 cpu estas infectados c) Cual la probabilidad que más de 3 estén infectadas d) Determinar la media, la varianza y la desviación estándar
SOLUCIÓN
a) Como se trata de realizar un control de calidad la verdadera distribución es la hipergeométrica, pero como no se conoce la población N se asume la distribución Binomial. X b(n,p) ( ) (0.25) (0.75)20 0,1.2...20 20 p x x x x x
Donde P=0.25; q=0.75; n=20; x:”N° de CPU infectados en una m.a. de 30” Rx=0,1,2...20 b) P ( 3) 3
0.25
3 0.75
17 0.1339 20 x P Tablas P(x=3)=b(3;20;0.25)=B(3;20;0.25)-B(2;20;0.25)=0.2252-0.0913=0.1339 c) P
x 3
P(x) 1 P(x 3) 1 200 (0.25)0
0.7520 201 0.25
0.7519 220 0.252
0.7518 203 0.253
0.7517 0.7748P 20 4
tablas P[x>3]=1-P[x3]=1-B(3;20;0.25)=1-0.2252=0.7748 d) E(x)np20(0.25)5 ;V(x)2 npq20(0.25)(0.75)3.751.94 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICAEsta distribución es una de los casos especiales de la Binomial y se utiliza cuando existe un proceso Bernoulli y se desea obtener el primer éxito.
DEFINICIÓN
Se dice que la v.a.d.x...G(p): donde p= probabilidad del éxito en cada intento Donde X:”N° de ensayos Bernouli hasta obtener el 1er éxito “Rx=1,2,3... FUNCIÓN DE PROBABILIDAD P(x)=P[x=x]=pqx-1 : Rx=1,2,3... FUNCIÓN DE DISTRUBUCION F(x)=P[xx]= 0 si x<1 1-qx si 1 LA MEDIA p x xP x E( )
( ) 1 LA VARIANZA 2 2 2 2 ) ( ) ( p q x E x V LA DESVIACIÓN TÍPICA 2 ) ( p q x V LA f.g.m
2 1 2 ) ( q e q p q e q p t M t t x PROPIEDADES 1. No tiene memoria 2. Es decreciente, es decir P[x]<P(x-1) x2,3Ejemplo
1. Si la probabilidad que un postulante para aprobar la tesis en un intento al finalizar sus estudios académicos es del 75% ¿cuál la probabilidad de que un postulante apruebe la tesis?
a) En el primer intento b) En el segundo intento c) En el cuarto intento
d) Cual su esperanza matemática SOLUCIÓN
Como X~G(p)P(x)=0.75(0.25)x-1 Rx =1,2,3...donde p=0.75; q=0.75; “Nº de intentos hasta aprobar la tesis”
a) Primer intento X=1 )P(x=1)=(0.75)(0.25)1-1=0.75=75% b) Segundo intento X=2P(x=2)=(0.75)(0.25)2-1=0.187519% c) Tercer intento X=4P(x=4)=(0.75)(0.25)4-1=0.01172% Ejemplo
2. Suponga que la probabilidad de obtener línea durante la mayor congestión de llamadas telefónicas de un canal de TV es del 3% en cada intento que se haga.
Calcular la probabilidad de que sean necesarios exactamente a) 6 intentos para tener línea
b) A lo más 3 intentos SOLUCIÓN
XG(p)
P(x)= 0.03(0.97x-1 : Rx= 1,2,3,….p =0.03 : q =0.97
x: “Nº de intentos hasta obtener línea” Rx= 1,2,3,…. a) x= 6 intentos
P(x=6) = 0.03(0.97)6-1 = 0.0258 b) x
3
P(x
3)= F(x=3)= 1-qx= 1-0.973= 0.0873 P(x
3)= ( ) 0.03(0.97)0 0.03(0.97)1 0.03(0.97)2 0.03 0.0291 0.02823 0.0873 3 1
P xDISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA O PARCIAL
Es otro caso especial de la Binomial y es una extensión de la Geométrica, que se utiliza cuando los experimentos aleatorios son también un proceso Bernoulli, hasta que ocurra el n-ésimo éxito:
DEFINICIÓN
Se dice que una v.a.d. x.~P(v.p)donde: r = Nº de exactos obtenidos
p = probabilidad del éxito
X:” Nº de veces o intentos que se realiza el experimento Beunoulli hasta obtener r éxitos” tal que rx; Sii
FUNCION DE PROBABILIDAD
:
,
1
:
2
...
1
1
)
(
v
v
v
P
q
p
v
x
x
x
P
x
P
v x v x FUNCION DE DISTRIBUCIÓN F(x)
r x Si r x Si q p r k x x P r k r
: : 1 1 0 LA MEDIAp
v
q
p
v
x
x
x
E
v x v
1
1
)
(
LA VARIANZA 2 2 2 2 ) ( ) ( p r x E x V q Ejemplo 1Una maquina se utiliza para fabricar ciertos chips en serie se sabe que la probabilidad de cada chip sea defectuosos es del 10%. Si se controla la calidad del CHIP producido sabiendo que la máquina se apaga cuando se producen 4 chips defectuosos; cual es la probabilidad de que la máquina pare en el 10mo chip producido.
p=10 q =90 v=4 x=10
0
.
1
0
.
9
84
(
0
...
0
.
0045
1
4
1
10
10
10
:"
4
º
:"
...
6
,
,
4
:
9
.
0
1
.
0
1
4
1
)
,
(
.~
4 10 4 4 4
x
P
A
P
x
A
pare
maquina
la
A
s
defectuoso
controlar
hasta
producidos
chips
de
N
x
T
R
x
x
P
p
v
P
x
x x Ejemplo 2La probabilidad que un CPU de cierta marca expuesto a cierto virus se contagie es del 0.40. cual es la probabilidad de que la 10ma CPU expuesto sea al 3ra en contraerla
SOLUCION p =0.40 q =0.60 v =3 x =10
0.40
0.60
0.0645 2 9 10 3 10 exp º :" ,... 2 , 1 , : : 1 1 ) , ( .~ 7 3 x P contraerla en la sea hasta virus al uestos CPUs de N x v v v x q p v x x P p v P x a a v x v DISTRIBUCIÓN MULTINOMIALEs una generalización de la distribución Binomial, se utiliza cuando se tienen ensayos o experimentos aleatorios que tienen más de 2 posibles resultados, donde las probabilidades de los resultados son los mismos en cada ensayo, todos los ensayos son independientes.
DEFINICIÓN
Sea un experimento aleatorio
ε
que tiene las siguientes características 1) tiene K posibles resultados E1,E2.... Ek que son:a. Mutuamente excluyentes E: Ej. i j b. Colectivamente exhaustivos i k i E 1 2) La
k i i ii p probabilidaddeléxitodeli esimoresultadotalque P
E P
1
1
Donde Xi:”Nº de veces que el evento Ei ocurre en los n ensayos Rxi=[0,1,2...n];i=1,2,3...k Sii FUNCIÓN DE PROBABILIDAD P(x1,x2.... xk)= xk k x x k p p p x x x n ... ! !... ! ! 1 2 2 1 2 1 MEDIA E(xi)=npi
LA VARIANZA V(xi)= npiqi donde qi=1-pi i=1,2,...k Ejemplo
Las probabilidades de que una lamparilla de cierto tipo de proyector de diapositivas dura menos de 40 hrs. de uso continuo es 0.30
Entre 40 y 80 hrs. de uso continuo es 0.50
Ó de mas de 80 hrs. de uso continuo es 0.20 respectivamente Calcular la probabilidad de entre 8 lamparillas:
2 duran menos de 40 hrs. 5 duran menos de 40-80 hrs. 1 dura más de 80 hrs.
SOLUCION Sean los eventos
E1:”Duran menos de 40 hrs”P[E1] = 0.30 E2:”Duran entre 40 y 80 hrs”P[E2] = 0.50 E3:”Duran menos de 80 hrs”P[E3] = 0.30
Como
( 1) 1 3 1 ademas P E U y Ej E i i
s lamparilla entre i entoE ocurreelev devecesque N x p n l Multinomia x i i i i 8 ) 3 , 2 , 1 ( º :" .~ 0945 . 0 ) 20 . 0 ( ) 50 . 0 ( ) 30 . 0 ( ! 1 ! 5 ! 2 ! 8 ) 1 , 5 , 2 ( 1 5 2 1 5 2 3 2 1 P x x x EjemploLa probabilidades que una declaración de impuestos sea llenado correctamente es del 60%
que tenga un error favorable del declarante es del 20% que tenga un error favorable al fisco es del 10%
que tenga ambos tipos de errores es del 10%
Cual es la probabilidad que
5 estén correctas; 3 tengan error favorable al declarante 1tenga error que favorece al fisco y
1temga ambos tipos de error. SOLUCION
Sean los eventos
E1: “Declaración correcta”P[E1] = 0.60
E2: “Declaración favorable al declarante”P[E2] = 0.20 E3: “Declaración favorable al fisco”P[E3] = 0.10 E4: “Declaración error de ambos tipos”P[E4] = 0.10 Como Ei Ej ademasP(E1)1
i
i x Multinomial p UE 1.~ 10, nes declaracio entre i E evento el ocurre que veces de N x:" º i( 1,2,3,4) 10 0314 . 0 ) 10 . 0 ( ) 10 . 0 ( ) 20 . 0 ( ) 60 . 0 ( ! 1 ! 1 ! 3 ! 5 ! 10 ) 11 , 3 , 5 ( 5 3 1 1 P DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÈTRICAEsta distribución se utiliza generalmente cuando se realiza un muestreo sin repetición de una población finita N conocida que se divide en : 2 clases M éxito y N-M fracasos, donde la probabilidad del éxito ya no es constante porque en cada extracción es diferente por lo tanto los ensayos ya no son independientes, tiene mucha aplicación cuando se efectúa control de calidad.
DEFINICIÓN
Se dice que una v.a.d X ~ H(N,nM)ó h(x:NnM)donde N =tamaño de la población
X:”Nº exactos en un m.a. de tamaño n sin reposición
n =tamaño de la m.a. ó Nº de extracciones Rx=[0,1,2..Min (n, M) Sii M =Nº de elementos exitosos FUNCION DE PROBABILIDAD
R Min
nM
n N x n M N x M x x P x p( ) : c 0,1,2... . FUNCION DE DISTRIBUCIÓN
9 , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 ) ( M n Min x Si x Sii x k M n Min x n N k n M N k M x x P x F
MEDIA
N M n x P x x E( ) ( ) VARIANZA 1 1 ) ( 2 N n N N M N M n x V factor de corrección EjemploComo parte de un estudio sobre la contaminación del aire un Ing. Geológico decide examinar la emisión de gases tóxicos de 6 de los 24 camiones de una CIA si 4 de esos camiones, emiten cantidades de gases tóxicos. Cual es la probabilidad de que:
a) Ninguno de ellos
b) Mas de 3 emitan gases SOLUCION
Como se trata del control de calidad X~H(N,n,M) N = 24 n = 6 M =4 éxitos N-M = 20 fracasos
3
( 4) (4) 4 20 24 190 0.0014 ) 2880 . 0 596 . 134 760 . 38 6 24 0 6 20 0 4 0 ) 4 , 3 , 2 , 1 , 0 6 24 6 20 4 ) (
P x P x P b x P a x x x x PEjemplo
En el laboratorio de Sistemas hay 20 CPUs donde existen 6 CPUs con desperfecto. Si se elige aleatoriamente 4 CPUs para su reparación.
a) cual es la probabilidad de que al menos 1 CPU deba ser reparado b) cual es el Nº esperado de CPU para ser reparado y su varianza SOLUCION
Como se trata de control de calidad y se tiene el tamaño de la población N = 20
n = 6 M =4 N-M = 14 X~H(N,nM)
Donde X: “Nº de CPUs que tienen desperfecto de entre 20” Rx=0,1,2,3,4
7074 . 0 600 . 7 376 . 5 19 16 20 14 20 24 ) ( 1 20 4 20 20 6 1 20 6 4 1 1 ) ( 2 . 1 20 6 4 ) ( ) 7934 . 0 4 20 4 14 0 6 1 ) 0 ( 1 1 ) x V N n N N M N M n x V N M n x E b x P x P aAPROXIMACIÓN DE LA HIPERGEOMETRICA A LA BINOMIAL
Cuando la población N es grande con relación a n es máximo el 10% de N; n0.1N por lo tanto el muestreo puede ser con o sin reemplazo, por lo tanto la probabilidad del éxito son casi independientese puede aproximar a la binomial con q M
n M p : 1 ) ( ... 2 , 1 , 0 : 1 ) : ( ) , , , ( x MInnM N M N M x nM x b M n N x h x n x n LA MEDIA N M n np Ex
LA VARIANZA N M N M n npq x V( ) 2 1 Ejemplo
Una importación de 100 computadoras, de las cuales 25 se sabe que tienen desperfecto. Se realiza un control de calidad para ello se toman 10 computadoras, cual es la probabilidad:
a) de que 2 tengan desperfectos
b) cual el Nº esperado de CPUs con desperfecto y para ello utiliza la verdadera distribución y una aproximación si se puede
SOLUCION
Como se trata de control de calidad
La verdadera distribución X ~ H(N.n.M) n N x M M N x M x p( ) N = 100 n = 10 M =25 N-M =75
X: “Nº de computadores que tienen desperfecto entre 10
2.5 100 25 10 ) 292 . 0 10 100 8 75 2 25 2 ) 10 .... 2 , 1 , 0 x E b x P a RxComo n=10 N 10/de 100se puede aproximar mediante la binomial
0.25
0.75
0.2515 2 10 ) 2 ( ) 075 1 25 . 0 100 25 8 2 x p a N M q N M pDISTRIBUCIÓN MULTIVARIADA
Es una extensión de la hipergeométrica y se aplica cuando se realiza control de calidad de una población que se clasifica en k clases de diferentes tipos M1, M2, Mk
Tal que N= i k i M
U 1
donde se extraen un m.s. de tamaño n sea reposición de una población
tamaño N, donde:
a) Cada extracción tiene k posibles resultados b) Los ensayos no son independientes
DEFINICIÓN
Se dice que los vs.as.ds. Xi ~ Multivariante Donde Xi=”Nº de objetos del i-esimo tipo”
Rxi=0,1,2... Mn(Mi,n) Sii tal que
xi nFUNCION DE POBABILIDAD P(xi,x2... xk: N,n)= N k k n x M x M x M ... 2 2 1 1 Ejemplo
En un depósito hay 20 TV de los cuales 10 son de 20’’: 6 de 18’’ ;4 de 15’’, se elige al azar 10TV. Cual es la probabilidad de que haya 5 de 20’’, 3 de 18’’ y 2 de 15’’.
SOLUCION
Como N= M1+ M2+M3=10+6+4=20xi ~Multivariado
M1=Nº TV de 20” = 10x1 =5 Xi: “Nº de TV del i= esimo tipo” i=1,2,3 M2= Nº TV de 18”=6X2=3 Rxi=0,1,2,3,4 M3= Nº TV de 15”=4X3=2 0.1637 189 . 46 560 . 7 10 20 2 4 3 6 5 10 ) 10 : 20 : 2 , 3 , 5 ( p DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Por su aplicación es una de las mas importantes tanto como Proceso Poisson o como aproximación a la Binomial
1) COMO PROCESO POISSON
Se considera como proceso, cuando la v.a.d. X es el Nº de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o en una región espacio o volumen.
DEFINICIÓN
Se dice que una v.a.d. x ~p(t)ó x~f(xi;t)
donde =Nº promedio de ocurrencias de eventos en una unidad de medida: que pueden ser intervalo de tiempo, región especificad, dichas ocurrencias son independientes Sii FUNCIÓN DE PROBABILIDAD .. 71828 . 2 ... 3 , 2 , 1 , 0 : ) ( ) (x P X x t e x e P x t
dondet = Nº promedio de ocurrencias de los eventos en las t unidades de medida cuando t= fijo t= 3 , 2 , 1 , 0 : ! ) ( ) ( x x e x x P x P x FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
0 ! ) ( 0 0 0 x k e x x P x F x Si k x LA MEDIA E(x) t LA VARIANZA V(x)2 t USO DE TABLASPara facilitar el calculo se tiene confeccionados tablas en función de distribución
( : ) )(x Px x F x
F
Ejemplo
Supongan Que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefónica con promedio de 3 llamadas por minuto. Calcular la probabilidad de que ocurran:
a) 4 o más llamadas en el periodo de un minuto b) 4 o mas llamadas en el periodo de 2 minutos c) 4 o mas llamadas en el periodo de 20 segundos SOLUCION
Como la ocurrencia de los eventos se da en periodos de tiempo x.~P(t) Donde = 3 llamadas t=1 minuto 0,1,2,3...
! 3 ) ( 3 x x e x P x x:”Nº de llamadas en un minuto a)
3520 . 0 6 27 2 9 1 3 1 3 1 ! 3 3 ! 2 3 ! 1 3 ! 0 3 1 3 2 1 0 1 3 1 4 0 3 3 3 3 2 3 1 3 0 4
e e e e e P P P P x P x P x P b) t3*26P
x4
1P
x3
1F
3 10.1510.849 c) 3
13 1 ( 4)1
3
1 (3)10.98010.019 F x P x P t 2) COMO APROXIMACIÓN A LA BINOMIAL
Cuando la muestra N y la probabilidad del evento es muy pequeño existe distribución binomial, es decir p<0.1 y np5: p0.005: n20: n>30
Entonces se puede utilizar la PISSON como límite o aproximación de la binomial Donde E(x)npcte 2 , 1 , 0 ! ˆ ! ) ( x x e p n x b x e t x P x i t x
FUNCION DE PROBABILIDAD x np cte
x e x P x 0,1,2,3... ! ) ( FUNCION DE DISTRIBUCIÓN
: 0 ! ) ( 0 : 0 0 x k e x x P x F x Si k x k LA MEDIA E(x)npLA VARIANZA V(x)2 np
Ejemplo
Se sabe que el 5% de la CPUs ensamblados en cierta factoría tiene ensamblaje defectuoso. Cual la probabilidad de que 2 de 100 CPUs ensamblados estén defectuosos:
a) mediante la verdadera distribución b) mediante una aproximación
SOLUCION n =100 p = 0.05 q = 0.95
0842 . 0 2 ) ( 25 ! 2 5 ) 2 ( 2 , 1 , 0 : ! 5 ) ( 5 ) 05 . 0 ( 100 ) 0812 . 0 95 . 0 05 . 0 2 ) 2 ( " 500 º " 100 ... 3 , 2 , 1 ; 95 . 0 05 . 0 ) ( ) 05 . 0 ; 100 ( .~ ) 5 5 2 5 2 10 2 100 10 100 e e x P x x e x P np POISSON la a ón aproximaci una mediante b x P entre s ensamblada mal CPUs N x x x x p b x a x x x PROPIEDAD REPRODUCTIVASi 2 o mas variables tienen una misma distribución entonces la resultante de sumar o restar será una nueva variable que tendrá la misma distribución de probabilidad que sus sumandos.
Si Xi ~ misma distribución .~ 1 Y x Si i n i
misma distribución i= 1,2...n SiXi .~P(i)i 1,2,...n
i n i i Y P x Y 1 ( .~Ejemplo
En una fabrica el Nº de accidentes por semana sigue un proceso de POISSON con parámetro 2.
Determinar:
a) la probabilidad de que haya 4 accidentes en el transcurso de 3 semanas
b) la probabilidad que haya 2 accidentes en una semana y otros 2 accidentes en la semana siguiente
c) Es lunes y ya hubo un accidente. La probabilidad que en aquella semana no haya mas de 3 accidentes
SOLUCION
Definiendo las variables POISSON con parámetroi 2:i1,2,3
X= “Nº de accidentes en cualquier semana X1: “Nº de accidentes en la 1ra semana” X2: “Nº de accidentes en la 2da semana” X3: “Nº de accidentes en la 3ra semana”
Como las 3 v.a son independientesY x1x2x3.~P(2226
8348 . 0 8647 . 0 1429 . 0 8647 . 0 ) 1 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 3 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 ( 1 3 ) 2 2 0733 . 0 ! 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) " 3 º :" 1339 . 0 ! 4 6 ) 4 ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 6 4 x P x P x P x P x P x P x P x P x x P c e x P x P X x P b semanas en accidentes de N Y e Y P a DISTRIBUCIONES CONTINUASLos espacios muéstrales continuos y las v.a.c. surgen cuando se trabaja con cantidades que se miden en una escala continua (velocidad de una CPU; la cantidad de alcohol en la sangre, la cantidad de nicotina en un cigarrillo, etc.)
Entre las principales distribuciones de probabilidad continua tenemos la uniforme, la experimental, la norma, algunas distribuciones muéstrales como la Chi cuadrado, la t estudiante, la Fisher, etc.)
LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME X~U [a,b] DEFINICIÓN
Se dice que una v.a.c. X tiene distribución uniforme o rectangular en el intervalo [a, b] tal que a< b Sii
FUNCION DE PROBABILIDAD O DENSIDAD a x b eoc a b x f ; ; 0 1 ) ( a b 1 a c d b
Para cualquier sub. intervalo [c, d] donde
a b c d c d a b a b dx a b d x c P b d c ax
d c d c
1 1 1 además P(x=x) =0Se dice distribución uniforme porque la P
cxd
es la misma para todos los sub intervalos que tienen la misma longitud.FUNCION DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA
ba x Si b x a Si a x Si a b a x x x P x F a b a x dx a b dx a b x x P x F x a x
0 1 ) ( 1 1 ) ( a b x’ LA MEDIA 2 1 ) ( dx a b a b x x E a b
LA VARIANZA
1 ) ( 2 2 2 2 2 a b ó a b b a dx x x V
b F(x)Ejemplo 1
Suponga que un punto es elegido al azar en el intervalo (1;4) Calcular la probabilidad de que el punto esté:
a) En la posición 3
b) El punto este entre 3/2 y 3 SOLUCION
X ~ U[a, b]donde a =1 ; b =4
X: “posición del punto en el intervalo [1,4]”
4 4 1 1 1 1 4 1 0 ) ( ; 4 1 ; 0 3 1 ) ( ; Si x x Si x Si x x F x x f eoc
3 3 3 3 3 3 2 3 23 2 1 2 3 3 1 2 3 3 3 1 3 1 3 1 3 2 3 ) 0 ) 0 ( 3 1 3 1 3 1 ) 3 ( ) x dx x P b x dx x P ao también mediante la función distribución acumulada
2 1 6 3 3 3 2 3 1 3 2 2 3 ) 3 ( 2 3 3 3 2 3 2 1 2 3 F F x P x P x P Ejemplo 2Suponga que cierta línea de transporte publico pasa por un determinado paradero de control o de espera, a un horario estricto con intervalos de 30 minutos durante el día. Si un pasajero llega a ese paradero en un instante aleatorio durante el día. Calcular la probabilidad de que tenga que esperar:
a) más de 15 minutos b) Exactamente 7 minutos
SOLUCION
X ~ U[0.30]donde a = 0 ; b =30
X = “tiempo de espera en minutos del pasajero”
30 30 0 0 30 1 0 30 0 0 ) ( ; 30 0 ; 0 30 1 ) ( ; x Si x Si x Si x x x F x x f eoc
7
0 ) 2 1 30 15 30 1 30 1 ) 15 ( ) 1530 30 15
x P b minuto x dx x P a Ejemplo 3Sea la v.a. X...U[0,6] calcular
3 1 6 1 6 5 1 1 5 1 ] 1 5 [ 1 ] 5 1 [ 1 ] 2 3 2 [ 1 ] 2 3 [ 1 ] 2 3 [ 3 2 6 : ] 2 [ F F x P x P P x P x P x P x P do reemplazan que sabemos x P DISTRIBUCIÓN EXPONENCIALEs un caso particular de la distribución gamma, que se aplica no solo a la ocurrencia del 1er acierto en un proceso POISSON, si no también en los tiempos de espera entre los aciertos; también se aplica en la teoría de la confiabilidad de un sistema, y la teoría de colas.
DEFINICIÓN X ~ EXP
Se dice que una v.a.c. X tiene distribución exponencial con parámetro
FUNCION DE PROBABILIDAD O DENSIDAD eoc x e x f x ; 0 0 ; ) ( donde e = 2.71828...:;
= Cte. >0 0 1 x 0.368 e F(x)FUNCION DE DISTRIBUCIÓN 1 0 0 1 0 ] [ ) ( x Si x Si e x X P x F x 1 x MEDIA 1 ) ( 0
dx e x x E x VARIANZA 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ) (
x e dx x V x x Ejemplo 1Si el Nº de automovilistas que corren a cierta velocidad, que un radar detecta por hora en cierta localidad es una v.a. POISSON con =8.4 hrs. Cual es la probabilidad de tomar un tiempo de espera menos a 10 minutos entre automovilistas sucesivos?
SOLUCION
X ~ EXP() donde =8.4 hrs.
Donde X: “tiempo de espera en minutos”
0 0 1 0 ) ( ; ; 0 0 ; 4 . 8 ) ( 4 . 8 4 . 8 x Si x Si e x F eoc x e x f x x
Como X =10 minutos x horas min hora 6 1 60 1
0.2466 1
0.7534 4 . 8 4 . 8 6 1 ) 0 ( 4 . 8 ) ( 4 . 8 0 4 . 8 4 . 8 0 0 4 . 8 6 1 6 1 6 1 6 1
e e e dx e dx e x P x x mediante la acumulada
1 8.4( ) 0.7534 6 1 6 1 6 1 F e x P F(x)Ejemplo 2
El tiempo durante el cual una marca de computadora que opera en forma efectiva antes de su primera reparación, se distribuye exponencialmente con un promedio de fallas de 360 días
a) Si una de estas computadoras ha durado al menos 400 días, cual la probabilidad de que dure al menos 200 días más
b) Si se están usando 5 de tales ordenadores, cual la probabilidad de que al menos 3 de ellos continúan funcionando después de 360 días
SOLUCION X~EXP() X ~ EXP(3601 ) Como E(x)=360=1 601 0 0 1 0 ) ( ; ; 0 0 ; ) ( 360 360 360 1 x Si x Si e x F eoc x e x f x x
X: “ tiempo que opera el ordenador hasta la primera falla
9 5 360 360 400 360 1 600 360 1 400 600 400 400 600 400 600 400 200 200 e dx e dx e x p x p x P x x P x x x x P x x Ó mediante la acumulada
0.5556 9 5 36 20 360 400 360 600 360 400 360 600 360 400 360 600 1 1 1 1 ) 400 ( 1 ) 600 ( 1 400 1 600 1 400 600 e e e e e e e F F x P x P x P x p eRELACION ENTRE EL MODELO EXPONENCIAL Y POISSON
La distribución exponencial tiene una relación especial con la PISSON porque X~P[]donde X: “N° de veces que ocurre un evento en un periodo “t” con promedio ”
la v.a. T: “tiempo entre la ocurrencia de 2 eventos consecutivos de POISSON
T ~ EXP[]
TEORIA DE LA CONFIABILIDAD (Rt)
Una de las aplicaciones principales de la distribución exponencial se da en la confiabilidad del funcionamiento normal de un sistema o componente electrónico.
DEFINICIÓN
La confiabilidad (Rt) de un sistema en determinado medio ambiente, durante un periodo “t”, se define como la probabilidad de que su tiempo para fallar (T) excede a su tiempo de funcionamiento normal (t)
T t
P
T t
e t
e t P t R () 1 1 1 EjemploLa probabilidad de buen funcionamiento de un elemento de cierto equipo de sonido se distribuye exponencialmente con:
eoc t e t f t : 0 0 ; 02 . 0 ) ( 02 . 0
Determinar la confiabilidad del elemento en un periodo de 50 hrs.
SOLUCION
T50
R(50)e0.02(50) e10.3679P
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Es la distribución mas importante de la teoría estadística, porque casi todos los fenómenos físicos, científicos sociales psicológicos, tienen un comportamiento normal, además casi todas las distribuciones bajo ciertos requisitos se pueden aproximar mediante la normal. DEFINICIÓN
Se dice que una v.a.c. X ~ N( 2
, ) Sii FUNCION DE PROBABILIDAD e x x f x ; 2 1 ) ( 2 2 / donde 71828 . 2 ... 1416 . 3 e 2 1 F(x) Mo Me
CARACTERÍSTICAS 1. Es simétrica respecto a 2 1 ) ( dondef x
2. Es creciente en el intervalo,cuando x<
3. Es decreciente en el intervalo,cuando x>
FUNCION DE DISTRIBUCIÓN dx x f x x x P x F x ) ( ] [ ) (
½ LA MEDIA
xf x dx x E( ) ( ) LA VARIANZA 2 2 2 ) ( ) (
x f x dx x VDISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR Estandarizar la Normal significa llevar
o trasladar la distribución hasta que 0y 2 1
Mediante la v.a.e.=z x;z....N 0.1
=0 z z x USO DE TABLAS
Cuando la v.a.c. X ~ N(,2) no esta estandarizada (0:2 1), la misma se la debe
estandarizar con x z y colocar en acumulada F(z)ó (z)Pzz Ejemplo
Sea X...N(5,4)cual la probabilidad de que x a) toma valores entre 4 y 7?
b) Toma valores mayores que 10?
F(x) - 1 2 1 F(x) F(z)
SOLUCION a)P[4<x<7]estandarizando mediante z x donde 5;2 4; 2 0.5 1 1 0.5 (1) ( 0.5) 0.8413 0.3085 0.5328 2 5 7 1 5 4 F F z P z p z p x P
2.5
1
2.5
1 (2.5) 0.0062 2 5 10 10 ) P x Pz pz F x P b EjemploEl tiempo T requerido para contagiarse un computadora por cierto virus es una v.a. normal con media 31 segundos y desviación estándar 5 segundos.
a) Cual la probabilidad que un ordenador se contagie con el virus en menos de 35 segundos
b) Si un ordenador particular se observa que no está siendo contagiado por el virus en 30 segundos, cual es la probabilidad de contagiarse antes de los 35 segundos SOLUCION
T ~ N(31,5)
T: “tiempo requerido para contagiarse una CPU con el virus en segundos”
(0.8) 0.7881 5 4 5 31 35 35 ) P T P z F T P a
0.63 5793 . 0 3674 . 0 ) 2 . 0 ( 1 ) 2 . 0 ( ) 8 . 0 ( 2 . 0 8 . 0 2 . 0 30 35 30 30 / 35 ) 5 31 30 5 31 35 5 31 30 F F F z P z P z P z P T P T P T T P b PROPIEDAD REPRODUCTIVALa distribución normal también goza de esta propiedad, es decir: Sean n.v.a. independiente : X1+ X2+...+Xn donde Xi...N
2
; i i
si sumamos dichas variables
n i i Y x 1 ~N
y;
2y
donde
n i i y n i i y 1 2 2 1 ;
n i i y n i i N Y 1 2 2 1 ; .~ Ejemplo
Sea una v.a. 3
2 2 x x x y i donde Xi...N
2
; i i ; i =1,2,3 5 ; 11 ; 5 25 25 ; 20 2 3 2 2 2 1 3 2 1 a) Cual la distribución de probabilidad Y? b) Calcular P[Y>0] SOLUCION Como Xi...N
2
; i i =Y...N
2
; y y donde
) 9 ; 7 ( .~ 3 9 5 11 5 4 1 4 1 2 7 25 16 20 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 ) ( 2 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 N Y x v x v x v x x x v y v Ex x E x E x x x E y E y y y y y
1 (2.33) 1 0.9901 0.0099 3 7 3 ) 7 ( 0 0 P Y P z F Y P y y TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE
Este es el teorema mas importante de la estadística, porque mediante la misma nos permite aproximar a la distribución normal sumas finitas de v.a. independientes, que pueden tener cualquier distribución de probabilidad con media y varianzas conocidas DEFINICIÓN
Sea una sucesión de n. v. a. i.: X1, X2, ... Xn Cuyas medias E(Xi)=iy cuyas varianzas V(Xi)=
2
i
(conocidas y finitas)
Si sumamos los n.v.a.i.: X1+X2+...+ Xn=Yn, con la condición que los Xi contribuyan con una cantidad mínima despreciable a la variación de la suma
La v.a.e. de la variación: 1) ; .~ (0.1) 2 1 2 1 1 Y Z N x Z n i i n n i i n i i n i i n
CASO ESPECIALCuando Xi....MISMA DISTRIBUCION
La secuencia de las n.v.a.i.: X1,X2,..., Xn
E(Xi)=y V(Xi)=2 Yn=X1+X2+...+ Xn=
x1 2) n n x n n x x Zn i i i
2 2ó también dividiendo entre “n”
) 1 . 0 ( .~ ;Z N n x Z n n n n n n x n i Ejemplo1Suponiendo que la vida útil de un componente electrónico de uso continuo, tiene distribución exponencial, con un promedio de 100 hrs. Tan pronto como se deteriora, es reemplazado por otro para que continúe funcionando.
a) calcular la probabilidad de que durante 209,5 días se necesiten mas de 36 de estos componente
b) cuantos de estos componentes se necesitan par que duren al menos 4536 hrs., con una probabilidad de 0.9901 SOLUCION Como 1 .~EXP
Xi donde X: “Duración del i=esima componente” en horas” I=1,2,...36
Donde 1 100 ) (x E ; 100 ; 100 1 ) ( 2 2 x
V Yn: “tiempo total de duración de los n componentes” n=36 n.u
600 3600 36 36 100 3600 36 100 36
Y Y n n x Zn i a)
2.38
2.38
0.9913 600 3600 5028 5028 36 36 36 F Z P Z P ando estandariz Y P b)
64 3 . 64 018 . 8 018 . 8 33 . 2 100 100 536 . 4 0099 . 0 100 100 536 . 4 0099 . 0 9901 . 0 1 536 . 4 9901 . 0 536 . 4 1 9901 . 0 536 . 4 2 2 n x n X n X haciendo ecuación la o resolviend n n crítico valor el donde n n Z P ado estandariz Y P Y P Y P n n n n Ejemplo 2La longitud que se puede estirar sin ruptura un filamento de nylon es una v.a. exponencial con media de 5000 pies. Cual es la probabilidad aproximadamente que la longitud media de 100 filamentos este comprendido entre 4750 y 5550 pies.
SOLUCION 5000 1 .~ : EXP X
X: “longitud de estiramiento sn ruptura del i-esimo filamento” i=1,2....100
0.5 1.1
(1) ( 0.5) 0.8643 0.3085 0.5558 100 5000 100 5000 5550 100 5000 5000 4570 5550 4750 ) 5000 ( 1 ) ( ) ( 5000 1 ) ( 100 100 2 2 F F z P z x P x V ando estandariz n x Z por x E n n APROXIMACIONES DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS A LA NORMAL
Mediante el teorema central del limite, se pueden aproximar distribuciones discretas a la norma, para ello se debe convertir un v.a continuo, mediante factores de corrección de acuerdo a las siguientes situaciones:
0.5 0.5
) 6 5 . 0 ) 5 5 . 0 ) 4 5 . 0 ) 3 5 . 0 ) 2 5 . 0 5 . 0 ) 1 b x a P b x a P x x P x x P x x P x x P x x x P x x P x x x P x x P x x x P x x PRESUMEN DE LAS APROXIMACIONES MEDIANTE ) 1 . 0 ( .~ 2 Z N X Z i i i
DISTRIBUCION REQUISITO MEDIA VARIANZA V.A ESTANDAR CORREGIDA BINOMIAL 2 1 2 1 2 1 ; ; 5 ; 10 p nq p np p n npq x V np ) ( npq np x Z 0.5 Hipergeométrica N n N n 05 . 0 1 . 0 1 1 ) ( N n N N M N M n x V N M n
1
1 5 . 0 N n N N M N M N M n x Z POISSON 5 n n 2 n n x Z 0.5 Ejemplo 1 1 si la v.a. X....b(20;0.5) calcular la P[x =7] a) De manera exacta, b)Aproximada SOLUCION Sabemos que P x x pxqn x x n n ... 2 . 1 . 0 ; ) ( Donde n=20 p=0.5 q=0.5a) Exactamente o con la verdadera distribución binomial
0.5 0.5 0.0739 7 ) 7 ( 7 13 20 x Pb) Aproximadamente mediante la Normal
Donde np =10 corrigiendo P[70.5x70.5]
1.12
1.57
0.0732 57 . 1 12 . 1 5 . 7 5 . 6 24 . 2 5 . 0 5 . 0 10 24 . 2 10 5 . 6 24 . 2 10 5 . 7 F F Z P Z P Z P Z P ando estandariz x P npq
6.5x7.5
P
6.5x7.5
PEjemplo 2
Suponga que la probabilidad de que cierta marca de CPU, esta en servicio después de 1 año es 0.80. Si la “U” adquiere 35 de tales CPUs. Cual la probabilidad de que
a) 7,b)al menos 5 de las CPUs adquiridos NO esta en servicio después de 1 año? SOLUCION
Xb(n,p)Xb(35;0.20)
n = 35; p =0,20; q =0,80
Como n = 35>10 y p=0.20<0.5 podemos aproximar mediante la Normal con np=7 y
3664 . 2 6 . 5 npq a)
1664 . 0 ) 21 . 0 ( ) 21 . 0 ( 21 . 0 21 . 0 2113 . 0 2113 . 0 3664 . 2 7 5 . 7 3664 . 2 7 5 . 6 5 . 0 5 . 7 5 . 6 7 F F Z P Z P Z P Z P npq np x Z donde x P x P b)
1.056
1 ( 1.06) 0.8554 1 3664 . 2 7 5 . 4 1 5 1 5 . 4 5 . 0 5 5 F Z P Z P x P x P x P x P Ejemplo 3El tiempo que un cajero de un banco emplea para atender a un cliente es una v.a. con media 3.1 minutos y una desviación estándar de 1.7 minutos. Si se observan los tiempos y corresponden a 64 clientes ¿Cuál la probabilidad de que el tiempo promedio de los mismos sea por menos 3.4 minutos?
SOLUCIÓN Como X .~ P(x) 64 7 . 1 1 . 3 1 . 3 2 n 0793 . 0 9207 . 0 1 ) 41 . 1 ( 1 41 . 1 1 7 . 1 64 1 . 3 4 . 3 1 4 . 3 64 1 4 . 3 64 F z P z P x P x P
