Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

Prueba de Evaluación Continua Grupo A 2-XI-16

1.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0.2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0.9.

a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador.

b) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo.

c) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo.

d) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador.

(2 puntos)

2.- Un miembro del Consejo de Administración de una empresa ha comprobado que, si bien todos los años tiene una junta, ha habido años que tienen hasta cinco.

Por la experiencia acumulada durante años, se sabe que el nº. de juntas anuales se distribuye de la siguiente forma:

Nº de juntas al año 1 2 3 4 5 Probabilidad. 2

15 1 15

5 15

3 15

4 15 Se pide:

a) La función de distribución. b) Moda, c) Mediana d) Media. e) Probabilidad de que un año, elegido al azar, se celebren más de tres juntas.

(2 puntos)

3.- Una variable aleatoria X tiene una función de distribución de la forma

x2

1 e si x 0 F(x)

0 si x 0

 − >

= 

 ≤

a) Hallar la función de densidad de la variable aleatoria X.

b) Calcular P

(

− ≤ ≤1 X 1

)

.

c) Hallar el valor de la moda.

d) Hallar el valor de la mediana.

e) Hallar el valor de la media.

(2 puntos)

4.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica 2.5. Si la distribución se considera normal, calcular:

a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año.

b) Porcentaje de personas que leen más de 20 libros al año.

c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 12 libros al año.

d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5.

e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

1.- El despertador de un trabajador no funciona bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, el trabajador llega tarde con probabilidad 0.2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0.9.

a) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo y haya sonado el despertador.

b) Calcular la probabilidad de que llegue tarde al trabajo.

c) Calcular la probabilidad de que llegue temprano al trabajo.

d) Si el trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador.

Solución:

Sean los sucesos

S = ”el despertador suena”, y S = el despertador no suena”

T = “el trabajador llega tarde”, y T = “el trabajador no llega tarde”

Del enunciado obtenemos las siguientes probabilidades P(S) = 0.8; P(T/S) = 0,2; P(T/S )=0.9.

a) P T

(

S

)

=P

( )

TS ·P(S)=0.2·0.8= 0.16

b) Teorema de la probabilidad Total

( ) ( ) ( )

T

( ) ( )

T

( )

P(T) P T S T S P ·P S P ·P S

S S

 

=     = + = 0.2·0.8 + 0.9·0.2 =

0.34

c) La probabilidad de llegar temprano es uno menos la probabilidad de que llegue tarde

Por tanto la probabilidad de que llegue temprano es P T

( )

= −1 P(T)= 0.66 .

d) Por la fórmula de Bayes

( )

S P S

(

T

)

0.16

P T = P(T) =0.34 = 0.47

2.- Un miembro del Consejo de Administración de una empresa ha comprobado que, si bien todos los años tiene una junta, ha habido años que tienen hasta cinco.

Por la experiencia acumulada durante años, se sabe que el nº. de juntas anuales se distribuye de la siguiente forma:

Nº de juntas al año 1 2 3 4 5 Probabilidad. 2

15 1 15

5 15

3 15

4 15 Se pide:

a) La función de distribución. b) Moda, c) Mediana d) Media. e) Probabilidad de que un año, elegido al azar, se celebren más de tres juntas.

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

Solución:

Nº juntas Prob. F(x) xiP(X=xi)

1 15

2

15 2

15 2

2 15

1 3

15 15

2

3 15

5 8

15 1

15

3 11

15

12 15

5 15

4 1 20

15

Sumas 1 51

15

0 si x 1

2 si 1 x 2 15

3 si 2 x 3 F(x) 15

8 si 3 x 4 15

11 si 4 x 5 15

1 si 5 x

 ≤

 ≤ <



≤ <



=  ≤ <



 ≤ <

 ≤

b) Moda = 3;

c) Mediana = 3;

d) Media:

[ ]

i

(

i

)

i

E X x P X x

µ = =

= = 1551 e) P(X>3)=P(X=4)+P(X=5) = 3/15+4/15 =7/15

3.- Una variable aleatoria X tiene una función de distribución de la forma

x2

1 e si x 0 F(x)

0 si x 0

 − >

= 

 ≤

a) Hallar la función de densidad de la variable aleatoria X.

b) Calcular P

(

− ≤ ≤1 X 1

)

.

c) Hallar el valor de la moda.

d) Hallar el valor de la mediana.

e) Hallar el valor de la media.

Solución:

a)

x

F(x)=P(X≤x)=

f (t)dt⇒f (x)=F '(x), en nuestro caso,

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

b)

P( 1− <X<1)=F(1)− − =F( 1) 1 e 1

c) Moda es el máximo de la función de densidad

( )

2 2

x 2 x

f (x)=2xe ⇒f '(x)= 2−4x e = ⇒0 2 x= 2 d) Mediana

M2

F(M) 1 e= − =0,5⇒ M= ln 2

e) Media

0 2

x

xf (x)dx 0dx 0 x2xe dx

−∞ −∞

µ =

=

+

= 2π

4.- La media del número de libros leídos al cabo de un año por los habitantes de una ciudad determinada es 15 y la desviación típica 2.5. Si la distribución se considera normal, calcular:

a) Porcentaje de personas que leen menos de 11 libros al año.

b) Porcentaje de personas que leen más de 20 libros al año.

c) Porcentaje de personas que leen más de 7 libros y menos de 12 libros al año.

d) Valores que hay que tomar a ambos lados de la media, y a igual distancia, para que el área correspondiente bajo la curva sea igual a 0.5.

e) Número de libros que ha de leer, como mínimo, una persona para que esté situada entre el 80% de los que mayor número de libros leen al año.

Solución:

La variable aleatoria “nº de libros” X N(15, 2.5) Y X 15 N(0,1) 2.5

≡ ⇒ = − ≡

a) P(X<11)=F(11) 0.05479929169≈ ⇒5, 48%

b) P(X>20)= −1 P(X≤20)= −1 F(20) 0.02275013194≈ ⇒ 2, 28%

c) P(7< <X 12)=P(X<12) P(X− ≤7) =F(12)-F(7)≈0.1143825322⇒11,44%

d) P(r< <X s) =0.5 ⇔

( )

F s =0.75⇒16.6862 F(r)=0, 25⇒13.3137

Los valores pedidos son:

(

13.3137,16.6862

)

e) P(X>x)=0.8 1 P(X= − x)= −1 F x

( )

F x =0.2

( )

⇒ x = 12.89594691 13 libros

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

Prueba de Evaluación Continua Grupo B 24-XI-16

1.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, sin embargo, la probabilidad de aprobar el test de Estadística, aunque, haya aprobado la Estadística es de 0,5. Por otra parte, los suspensos del test representan el 99%

cuando corresponden a los suspensos en Estadística. Se pide:

a) Probabilidad de aprobar el examen de Estadística y también el test.

b) Probabilidad de aprobar Estadística sabiendo que aprobó el test.

(2 puntos)

2.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad

( )

k para x=0, 1, 2, 3

x!(3 x)!

P X x

0 en el resto de valores

= = 



a) Calcular k para que efectivamente sea una función de probabilidad.

b) Obtener la función de distribución c) Calcular la mediana

d) Hallar la esperanza matemática.

(2 puntos) 3.- Si la función de densidad de una v. a. continua es

( )

ax +2 1 si 0 x 3

f x 30

0 en el resto de valores

≤ ≤

= 



. Se pide:

a) Determinar a para que efectivamente sea una función de densidad.

b) Primer cuartil.

c) Media.

d) P 0

(

<X<2

)

.

(2 puntos)

4.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X≡N(175,10). Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 200 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide:

a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado.

b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador.

c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador.

d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución.

(2 puntos)

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

1.- Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, sin embargo, la probabilidad de aprobar el test de Estadística, aunque, haya aprobado la Estadística es de 0,5. Por otra parte, los suspensos del test representan el 99%

cuando corresponden a los suspensos en Estadística. Se pide:

a) Probabilidad de aprobar el examen de Estadística y también el test.

b) Probabilidad de aprobar Estadística sabiendo que aprobó el test.

Solución:

Consideramos los siguientes sucesos:

A1 = “Aprobar el examen de Estadística”

A2 = “No aprobar el examen de Estadística”

B1 = “Aprobar el test”

B2 = “No aprobar el test”

Datos:

( )

1

P A =0, 6; P(B / A )1 1 =0,5; P(B / A )2 2 =0,99

a)

(

1 1

)

1 1

1

P A ∩B =PB A  P(A )=0, 6 0, 5⋅ = 0, 3 b) Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)

( )

1

1 1 1

1 1 1

1 2

1 2

P B P(A )

A 0, 6 0, 5

P A

B P B P(A ) P B P(A ) 0, 6 0, 5 1 0, 99 0, 4

A A

 

  ⋅

 

  = = =

 

    +   ⋅ + − ⋅

75 0.9868421052 76≈

2.- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad

( )

k para x=0, 1, 2, 3

x!(3 x)!

P X x

0 en el resto de valores

= = 



a) Calcular k para que efectivamente sea una función de probabilidad.

b) Obtener la función de distribución c) Calcular la mediana

d) Hallar la esperanza matemática Solución:

a) Para que sea una función de probabilidad se tiene que cumplir que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

i 0

1 P X i P X 0 P X 1 P X 2 P X 3

=

=

= = = + = + = + = =

k k k k 1 1 1 1 4 3

B1

A1

B 2

B1

A2

B 2

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

( )

3 / 4 para x=0, 1, 2, 3 x!(3 x)!

P X x

0 en el resto de valores

= = 



b) Función de distribución

( )

x

i 0

3 1

F(x) P X x

4 i!(3 i)!

=

= ≤ =

Resultando

( )

0 si x<0 1 si 0 x<1 8

F x 1 si 1 x<2 2

7 si 2 x<3 8

1 si 3 x



 ≤



= ≤

 ≤



 ≤

c) La mediana es cualquier valor xi tal que F(xi 1) 1 F(x )i

< ≤2 .

En nuestro caso se cumple para [1,2), diremos que la mediana es el punto medio 1,5 d) Esperanza matemática

[ ]

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i 0

E X iP X i 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3

=

µ = =

= = ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = =

3 1 1 1 1

0 1 2 3

4 6 2 2 6

 

=  ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

3 2

3.- Si la función de densidad de una v. a. continua es

( )

ax +2 1 si 0 x 3

f x 30

0 en el resto de valores

≤ ≤

= 



. Se pide:

a) Determinar a para que efectivamente sea una función de densidad.

b) Primer cuartil.

c) Media.

d) P 0

(

<X<2

)

.

Solución:

a) Por ser f(x) una función de densidad, se verifica

3 2

0

1 1

1 ax dx 9a

30 10

 

=

 +  = + ,

a 1

⇒ =10

b) El primer cuartil, es el valor de x que verifica F(x)=0.25

x x

2 0

1 1

F(x) f (t)dt t dt

10 30

−∞

 

=

=

 + = =30x3 +30x =0.25

Q

1

1.7876

c) Media:

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Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

3

2

0

1 1

x x dx

10 30

 

µ =

 +  = 8740

d)

( )

2 2

0

1 1

P 0 X 2 x dx

10 30

< < =

+ = 13 .

4.- La altura en centímetros de los habitantes de una comunidad es una variable aleatoria X≡N(175,10). Para ser admitido como militar se debe tener un altura entre 165 y 200 y para pertenecer al cuerpo de zapadores se exige además una altura mayor de 190 cm. Se pide:

a) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea soldado.

b) Probabilidad de que un habitante cualquiera sea zapador.

c) Probabilidad de que un soldado cualquiera sea zapador.

d) El intervalo de valores alrededor de la media con el 95% de la distribución.

Solución:

La variable aleatoria “altura” X≡N(175,10)

a) P(165< <X 200)=P(X<200)−P(X≤165)=F(200)−F(165) ≈ 0.8351350807 b) P(190< <X 200)=P(X<200) P(X− ≤190)=F(200) F(190) − ≈ 0.06059753595 c) P(ser zapador/ser soldado)=P(190 X 200) 0.06059753595

P(165 X 200) 0.8351350807

< < ≈ ≈

< < 0.07256016104

d) P( r X s) 0.95 F(r) P(X r) 0.025 F(s) P(X s) 0.975

= < =

− < < = ⇒ = < = ⇒

r = 155.4003602 s = 194.5996397

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