Noviembre 2015
Ing. Rubén Darío Estrella, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro [email protected] /
rubenestrella@atalayadecristo,org
Las hipótesis indican lo que estamos buscando o tratando de probar y pueden definirse como explicaciones tentativas del fenómeno investigado formuladas a manera de proposiciones.
Las hipótesis no necesariamente son verdaderas, pueden o no serlo, pueden o no comprobarse con hechos. Son explicaciones tentativas, no los hechos en sí.
Dentro de la investigación científica, las hipótesis son proposiciones tentativas acerca de las relaciones entre dos o más variables y se apoyan en conocimientos organizados y sistematizados.
Sampieri H., Roberto. "Metodología de la Investigación". McGraw Hill:
Segunda Edición. 1998 BEST SELLER INTERNACIONAL.
Hipótesis nulas son, en cierto modo, el reverso de las hipótesis de investigación. También constituyen proposiciones acerca de la relación entre variables;
que sirven solo para refutar o negar lo que afirma la hipótesis de investigación.
Hipótesis alternativas, como su nombre lo indica, son posibilidades "alternas" ante las hipótesis de investigación y nula: Ofrece otra descripción o explicación distintas a las que proporcionan estos tipos de hipótesis.
Si la hipótesis de investigación establece: "esta silla es roja", y podrían formularse una o más hipótesis alternativas: ""esta silla es azul", "esta silla es verde",
"esta silla es amarilla", etcétera.
Hipótesis estadísticas son las transformaciones de las hipótesis de investigación, nulas y alternativas en símbolos estadísticos. Se pueden formular solo cuando los datos del estudio que se van a recolectar y analizar para probar o rechazar las hipótesis son cuantitativos (números, porcentajes, promedios). Es decir, el investigador traduce su hipótesis de investigación y su hipótesis nula (y cuando se formulan hipótesis alternativas, también estas) en términos estadísticos.
En estadística, una hipótesis es una afirmación o
declaración que se hace acerca de una propiedad de
una población.
Componentes de una Prueba de Hipótesis.
Hipótesis nula (denotada por Ho) es una declaración acerca del valor de un parámetro de población (como la media) y debe contener la condición de igualdad escrita con el símbolo =, o . (Al efectuar realmente la prueba, operaremos bajo el supuesto de que el parámetro es igual a algún valor especifico.) En el caso de la media, la hipótesis nula se expresara en una de estas tres posibles formas:
Ho: = algún valor
Ho: algún valor
Ho: algún valor
Por ejemplo, la hipótesis nula que corresponde a la creencia común de que la temperatura corporal media es 98.6ºF se expresa como Ho:=98.6. Probamos la hipótesis nula directamente en el sentido de que suponemos que es verdad y llegamos a una conclusión que puede ser rechazar Ho o bien en no rechazar Ho.
Nunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera. El no rechazo de la hipótesis nula solamente significa que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte como para llegar a su rechazo.
Antes que se rechace la hipótesis nula, la media muestral debe diferir significativamente de la media poblacional planteada como hipótesis. Es decir, que la evidencia debe ser muy convincente y concluyente. Una conclusión con base en un rechazo de la hipótesis nula es más significativa que una que termine en una decisión de no rechazo.
Diferencia estadísticamente insignificante
En la diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la hipótesis y el valor de la media muestral que es lo suficientemente pequeña como para atribuirla a un error de muestreo.
Hipótesis Alternativa (denotada por Ha) es la declaración que debe ser verdad si la hipótesis nula es falsa. En el caso de la media, la hipótesis alternativa se expresara en una de tres posibles formas:
Ha:
algún valor
Ha:
> algún valor
Ha:
< algún valor
Obsérvese que Ha es lo contrario de Ho. Por ejemplo,
si Ho se da como
=98.6, se sigue que la hipótesis
alternativa esta dada por Ha:
98.6.
Errores Tipo I y Tipo II.
Al probar una hipótesis nula, llegamos a una conclusión de rechazarla o no rechazarla. Tales conclusiones a veces son correctas y a veces equivocadas. Hay dos tipos de errores que podemos cometer.
Error Tipo I.
El error de rechazar la hipótesis nula, dado que es verdadera.
La probabilidad de cometer un error tipo I es igual al nivel de significancia, o valor en el que se prueba la hipótesis.
Error Tipo II.
Es no rechazar una hipótesis nula que es falsa. Usamos el símbolo para representar la probabilidad de error tipo II.
Como controlar los errores tipo I y tipo II. Consideraciones practicas que podrían ser pertinentes:
1. Para cualquier fija, un aumento en el tamaño de muestra n hace que disminuya. Es decir, una muestra más grande reduce la posibilidad de cometer el error de no rechazar la hipótesis nula, dado que en realidad es falsa.
2. Para cualquier tamaño de muestra fijo n, una disminución de causará un incremento en . Por otra parte, un incremento en causará una disminución en .
3. Si queremos reducir tanto como , deberemos aumentar el tamaño de muestra.
Estadística de Prueba.
Una estadística de muestra o un valor basado en los datos de una muestra. Se utiliza una estadística de prueba para tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
Z = (X' - )/(/n)
Z = (X' - )/(s/n)
Región critica.
El conjunto de todos los valores de la estadística de prueba que nos harían rechazar la hipótesis nula.
Valor critico.
El valor o valores que separan la región critica de los valores de la estadística de prueba que no nos harían rechazar la hipótesis nula. Los valores críticos dependen de la naturaleza de la hipótesis nula, la distribución de muestreo pertinente y el nivel de significancia .
Las colas de una distribución son las regiones extremas delimitadas por valores críticos. Rechazamos la hipótesis nula Ho si nuestra estadística de prueba esta en la región critica o área de rechazo porque eso indica una discrepancia significativa entre la hipótesis nula y los datos de la muestra.
Algunas pruebas son de cola izquierda, con la región critica situada en la región de extrema izquierda de la curva; otras podrían ser de cola derecha, con la región critica en la región de la extrema derecha bajo la curva.
En las pruebas de dos colas, el nivel de significancia se divide equitativamente entre las dos colas que constituyen la región critica o área de rechazo. En las pruebas de cola derecha o izquierda, el área de la región critica es .
Si examinamos la hipótesis nula Ho, deberemos poder deducir si una prueba es de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. La cola corresponderá a la región critica que contenga los valores que podrían contradecir significativamente la hipótesis nula.
Vale la pena destacar que tanto en la prueba de cola a la izquierda como a la derecha el signo igual se coloca en la hipótesis nula. Esto es porque la hipótesis nula se esta probando a un valor especifico (como 5%) y el signo igual da a la hipótesis nula un valor especifico para probarla.
Una prueba de cola a la izquierda tiene una zona de rechazo solo en la cola izquierda y se da bajo la condición de:
Ho: algún valor
Ha: < algún valor
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho: algún valor
Ha: > algún valor
Prueba de dos colas para
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de prueba Z.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
Caso I.
Como gerente de compras de una gran empresa de seguros usted debe decidir si actualizar o no los computadores de la oficina. A usted se le ha dicho que el costo promedio de los computadores es de US$2,100. Una muestra de 64 minoristas revela un precio promedio de US$2,251, con una desviación estándar de US$812. ¿A un nivel de significancia del 5% parece que su información es correcta?
Datos:
Ho: =US$2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251 precio promedio (de los computadores) de la muestra
s=US$812
=5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
El gerente de compra desea probar la hipótesis de que la media poblacional es =US$2,100 bajo un nivel de significancia
=5%=0.05. Debido a que se plantea la hipótesis de que
=US$2,100, la hipótesis nula y la alternativa son:
Ho: = 2,100
Ha: 2,100
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con los valores críticos de Z.
Z = (X' - H)/(/n) Z = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional bajo hipótesis nula
s/n es el error estándar de la distribución muestral
Ho: = 2,100 n=64 minoristas X'=US$2,251
s=US$812
Z = (2,251 - 2,100)/(812/8) Z = (151)/(101.5)
Z = 1.49
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 5% se divide en dos colas. El 95%
restante se divide por 2 para hallar el área de 0.4750. En la tabla Z esta área de 0.4750 da los valores críticos de Z de 1.96.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí -1.96 Z 1.96. Se rechaza sí Z < -1.96 o Z > 1.96.
Vale la pena destacar que las zonas de rechazo están en ambas colas. Si Z < -1.96 o Z > 1.96, se rechaza la hipótesis nula.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra es X'=US$2,251 produce una Z=1.49 ==> 1.49<1.96 y cae dentro de la zona de no rechazo.
Interpretación:
La diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la hipótesis nula de = 2,100 y el valor de la media muestral de X'=US$2,251 es estadísticamente insignificante. Podría resultar simplemente del error de muestreo. De hecho sí =2,100; el 95% de todas las muestras de tamaño n=64 producirán valores de Z entre 1.96.
Caso II.
Un contrato de manejo laboral exige una producción diaria de 50 unidades. Una muestra de 150 días revela una media de 47.3, con una desviación estándar de 5.7 unidades. Fije =5% y determine si se cumple con la disposición del contrato.
Caso III.
Un gerente de una empresa considera que los empleados gastan un promedio de 50 minutos para llegar al trabajo. Se toma una muestra de 70 empleados que se toman en promedio 47.2 minutos con una desviación estándar de 18.9 minutos. Fije en 1% y pruebe la hipótesis.
TAREA: Ejercicios 1 al 16 Págs. 204-205. Para entregar en la próxima clase.
Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Datos:
N =50 semanas
X‘ =12.5 tiendas de la muestra
S =0.66 tiendas
=4%=0.04 (nivel de significancia)
Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el incremento es por encima del promedio semanal de 10.4 sirve como hipótesis alternativa debido a que
>10.4 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho: algún valor Ha: > algún valor
Ha: > 10.4 tiendas semanal
Ho: 10.4 tiendas semanal
Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997).
¿Existe alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con los valores críticos de Z.
Z = (X' - H)/(/n)
Z = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
= (12.5 - 10.4)/(0.66/50)
= 2.1/0.093
= 22.5
Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 4%. El 50% se resta de 4% para hallar el área de 0.46. En la tabla Z esta área de 0.46 da el valor critico de Z de 1.75.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí Z
1.75. Se rechaza sí Z>1.75”. Caso I. Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el numero de tiendas que se abre se ha incrementado por encima del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez (The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66 tiendas? La gerencia esta dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la hipótesis nula si esta es cierta.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. El valor del estadístico para la muestra produce una Z=22.5 ==> 22.5>1.75 y cae dentro de la zona de rechazo o región critica.
Interpretación:
La hipótesis nula se rechaza ya que en tiempo de escasez no se abren mas de 10.4 tiendas semanal
Caso II.
Según Wall Street Journal (mayo 12 de 1997) muchas compañías de ropa deportiva están tratando de comercializar sus productos entre los mas jóvenes. El articulo sugirió que la edad promedio de los consumidores había caído por debajo de la media de 34.4 años que caracterizo los comienzo de la década. Si una muestra de 1000 clientes reporta una media de 33.2 años y una desviación de 9.4,
¿qué se concluye a un nivel de significancia de
4%?
Caso III
Un distribuidor de bebidas plantea la hipótesis de que las ventas por mes promedian US$12,000. Diez meses seleccionados como muestra reportan una media de US$11,277 y una desviación estándar de US$3,772. Si se utiliza un valor del 5%. ¿Que puede concluir acerca de la impresión que tienen el distribuidor sobre las condiciones del negocio?
Ejercicios 33 al 40 Págs. 215-216.
El Método de valor P para probar hipótesis.
Dado una hipótesis nula y datos de muestra, el valor p refleja la verosimilitud de obtener los valores de muestra en cuestión suponiendo que la hipótesis nula realmente es verdad.
Valor P (o valor de probabilidad) es la probabilidad de obtener un valor de la estadística de prueba que será al menos tan extremo como se obtiene a partir de los datos de muestra, suponiendo que la hipótesis es verdad.
Valor P es el nivel más bajo de significancia (valor
mínimo) al cual se puede rechazar la hipótesis nula. Es
el área en la cola que está más allá del valor del
estadístico para la muestra.
El Método de valor P para probar hipótesis.
Algunos criterios de decisión basados exclusivamente en el valor P:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de significancia.
Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation
introdujo su Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo
producto incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony
había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto una media de
US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Datos:
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
α=1%=0.01 (nivel de significancia)
Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el nuevo producto incrementara las ventas por encima de US$283,000,000 sirve como hipótesis alternativa
debido a que µ > US$283,000,000 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en la cola derecha y se da bajo la condición de:
Ho: µ ≤ algún valor Ha: µ > algún valor
Ha: µ > US$283,000,000 (ventas mensuales)
Ho: µ ≤ US$283,000,000 (ventas mensuales)
Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto
incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000.
Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z. Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con los valores críticos de Z. Z = (X' - µ H)/(σ/√n)
Z = (X' - µ H)/(s/√n)
Ho: US$283,000,000 (ventas mensuales)
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
α =1%=0.01 (nivel de significancia)
Z = (297,000,000 -
283,000,000)/(97,000,000/40)
Z = 14,000,000/15,337,047.42 = 0.91
Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto
incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000.
Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
El valor Z para el nivel de insignificancia de 1% se obtiene en la tabla después de restar 0.5-0.01= 0.49, el cual corresponde a 2.33
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
En la tabla Z el valor Z de 0.91 tiene el área de 0.3186. Por lo tanto el:
valor P = 0.5 - 0.3186 = 0.1814
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de significancia.
Caso I. A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits en el mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony había experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto una media de US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor que
0.1814 para la muestra de Z=0.91 cae en la zona de no rechazo.
Interpretación: La hipótesis nula no se rechaza.
Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Datos:
n= 500 contribuyentes
X'=US$785.10
s=US$277.70
α =5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho: µ = US$800.00
Ha: µ US$800.00
Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de prueba Z.
Z = (X' - µ H)/(σ/√n)
Z = (X' - µ H)/(s/√n)
= (785.10 – 800.00)/(277.70/500)
= -14.9/12.42
= - 1.20
Caso II. En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un
presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos. Los analistas afirmaron que ahorraría al contribuyente promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes
demostró una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
El valor Z para el nivel de insignificancia de 5% se divide entre dos. Se obtiene en la tabla el valor de Z = 1.96.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
En la tabla Z, el valor Z de 1.20 tiene el área de 0.3849. Por lo tanto el:
0.5 - 0.3849 = 0.1151
valor P = 2 * 0.1151 = 0.2302
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de significancia.
Caso II. En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un
presupuesto federal que contenía varias partidas para reducciones de impuestos. Los analistas afirmaron que ahorraría al
contribuyente promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una desviación estándar de US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Calcule e Interprete el valor p.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. Como el valor de significancia es menor que
0.2302 para la muestra de Z = -1.20 cae en la zona de no rechazo.
Interpretación:
La hipótesis nula no se rechaza.
En secciones anteriores determinamos (1) el estimado puntual, (2) intervalo de confianza y (3) determinamos el tamaño de la muestra para medias y proporciones, en esta sección los aplicaremos a la varianza de población ² o desviación estándar de población .
Muchas situaciones reales, como el control de calidad en un proceso de fabricación, requiere estimar valores de varianzas o desviaciones estándar de población.
Además de fabricar productos cuyas mediciones
producen una media deseada, el fabricante debe
elaborar productos con una calidad uniforme que no
abarquen toda la gama desde extremadamente buenos
hasta extremadamente deficientes. Dado que tal
uniformidad a menudo se puede medir por la varianza
o la desviación estándar, estas se convierten en
estadísticas vitales para mantener la calidad de los
productos.
En una población distribuida normalmente con varianza ², seleccionamos aleatoriamente muestras independientes de tamaño n y calculamos la varianza de muestras s² para cada muestra. La estadística de muestra ²=(n-1)s²/² tiene una distribución llamada distribución Chi cuadrada.
²=(n-1)s²/²
n = tamaño de muestra
s²= varianza de muestra
²= varianza de población
La distribución Chi cuadrada esta determinada por el
numero de grados de libertad, por el momento
usaremos n-1 grados de libertad.
Propiedades de la Distribución de la estadística Chi cuadrada.
1.- La Distribución Chi cuadrada no es simétrica, a diferencia de las distribuciones normal y t Student (A medida que aumenta el número de grados de libertad, la distribución se vuelve más simétrica).
2.- Los valores de Chi cuadrada pueden ser cero o positivos, pero no pueden ser negativos.
3.- La distribución Chi cuadrada es diferente para cada
número de grados de libertad, que es gl=n-1. A
medida que aumenta el numero de grados de libertad,
la distribución Chi cuadrada se acerca a una
distribución normal.
Caso I.
Usando la tabla H Distribución Chi-cuadrado.
Encuentre los valores críticos de ² que determinan regiones críticas que contienen un área de 0.025 en cada cola. Suponga que el tamaño de muestra pertinente es de 10, de modo que el número de grados de libertad es 10-1=9
Solución: El valor crítico de la derecha (²=19.023) se
obtiene directamente localizando 9 en la columna de
grados de libertad de la izquierda y 0.025 en la fila
superior. El valor crítico de ²=2.700 de la izquierda
también corresponde a 9 en la columna de grados de
libertad, pero es preciso localizar 0.975 (que se
obtiene de restar 0.025 a 1) en la fila superior porque
los valores de esa fila siempre son áreas a la derecha
del valor critico.
Al obtener valores críticos de Chi cuadrada de la Tabla H Distribución Chi-cuadrado, obsérvese que los números de grados de libertad son enteros consecutivos del 1 al 30, seguidos de 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. Si no se encuentra en la tabla un número de grados de libertad (digamos 52), por lo regular puede usarse el valor crítico más cercano. Por ejemplo, si el número de grados de libertad es 52, remítase a la tabla y use 50 grados de libertad. (Si el número de grados de libertad esta exactamente a la mitad entre dos valores de la tabla, como 55, simplemente calcule la media de los dos valores de ².) Para números de grados de libertad mayores que 100, use la ecuación siguiente:
²=1/2 [Z+(2k-
1)]²
donde k es el numero de grados de libertad.
Caso II.
Encuentre los valores críticos ²L y ²R que corresponden al grado de confianza y tamaño de muestra dados.
1. 95%; n=26 2. 99%; n=17
3. 90%; n=60 4. 95%; n=50
Estimadores de ².
Dado que las varianzas de muestras s² (que se obtienen con la formula s²=[(x-x')²]/(n-1)) tienden a centrarse alrededor del valor de la varianza de la población ², decimos que s² es un estimador no predispuesto de ². Es decir, las varianzas de muestras s² no tienden a sobreestimar sistemáticamente ²; en vez de ello, tienden a centrarse en el valor de ² mismo. Además, los valores s² tienden a producir errores más pequeños al estar mas cerca de ² que otras medidas de variación.
Por estas razones, el valor s² es el mejor valor
individual (o estimado puntual) de las diversas
estadísticas que podríamos usar para estimar ².
La varianza de muestra s² es el mejor estimado puntual de la variación de la población ².
Dado que s² es el mejor estimado puntual de ², sería natural esperar que s sea el mejor estimado puntual de , pero no sucede así, porque s es un estimador predispuesto de . Por otra parte, si el tamaño de muestra es grande, la predisposición es tan pequeña que podemos usar s como un estimado razonablemente bueno de .
Aunque s² es el mejor estimado puntual de ², no tenemos una indicación de lo bueno que es realmente.
Para compensar esta deficiencia, deducimos un
estimado de intervalo (o intervalo de confianza) que es
más revelador.
Intervalo de confianza (o estimado de intervalo) para la varianza de población ².
Despeje:
²=(n-1)s²/²
²=(n-1)s²/²
El intervalo de confianza es:
(n-1)s²/²R < ² < (n- 1)s²/²L
El intervalo de confianza para la desviación estándar se obtiene calculando la raíz cuadrada de cada componente anterior:
[(n-1)s²/²R] < < [(n- 1)s²/²L]
Con un área total de dividida equitativamente entre las dos colas de una distribución Chi cuadrada, ²L denota el valor critico de cola izquierda y ²R denota el valor critico de cola derecha.
Los limites de intervalos de confianza para ² y se deben redondear aplicando la regla de redondeo siguiente:
1. Si usa el conjunto de datos original para construir un intervalo de confianza, redondee los limites del intervalo de confianza a una posición decimal más que las empleadas en el conjunto de datos original.
2. Si desconoce el conjunto de datos original y sólo
usa las estadísticas resumidas (n,s), redondee los
limites del intervalo de confianza al mismo número de
posiciones decimales que se usan para la desviación
estándar o varianza de muestra.
Caso I.
La Panificadora Pepin produce bizcochos que se empacan en cajas cuyos rótulos dicen contienen 12 bizcochos con un total de 42 onzas. Si la variación entre los bizcochos es demasiado grande, algunas cajas pesaran menos de lo debido (engañando a los clientes) y otras pesaran más (reduciendo las utilidades). El supervisor de control de calidad determino que puede evitar problemas si los bizcochos tienen una media de 3.50 onzas y una desviación estándar de 0.06 onzas o menos. Se seleccionan aleatoriamente doce bizcochos de la línea de producción y se pesan, con los resultados que se dan aquí (en onzas). Construya un intervalo de confianza del 95% para ² y un intervalo de confianza del 95% para , y luego determine si el supervisor de control de calidad está en problemas.
3.43 3.37 3.58 3.50 3.68 3.61
3.42 3.52 3.66 3.50 3.36 3.42
s²=[(x-x')²]/(n-1))
X X-X' (X-X')^2
3.43 -0.074 0.005
3.37 -0.134 0.018
3.58 0.076 0.006
3.5 -0.004 0.000
3.68 0.176 0.031
3.61 0.106 0.011
3.42 -0.084 0.007
3.52 0.016 0.000
3.66 0.156 0.024
3.5 -0.004 0.000
3.36 -0.144 0.021
3.42 -0.084 0.007
42.05 0.131
MEDIA VARIANZA 0.012
3.504 DESVIACION 0.109
Descriptive statistics
X
count 12
mean 3.5042
sample variance 0.0119
sample standard deviation 0.1091
Chi-square distribution df = 11
P(lower) P(upper) Chi-square .9750 .0250 21.92 .0250 .9750 3.82
25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 f(Chisq)
Chisq
21.92 3.82
Solución:
Con base en los datos de muestra, la media de
X'=3.504 parece excelente porque esta muy
cerca del valor deseado. Los puntajes dados
tienen una desviación estándar de s=0.109, que
podría parecer mayor que el valor deseado de
0.06 o menos. Procedamos a obtener el
intervalo de confianza para ².
Con una muestra de 12 puntajes tenemos 11 grados de libertad. Con un grado de confianza del 95%, dividimos =0.05 equitativamente entre las dos colas de la distribución ² y nos remitimos a los valores de 0.975 y 0.025 en la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=3.816 y ²R=21.920. Utilizando estos valores críticos junto con la desviación estándar de muestra s=0.109 y el tamaño de muestra de 12 construimos el intervalo de confianza del 95%
evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(12-1)(0.109)²/21.920 < ² < (12-1)(0.109)²/(3.816)
0.006 < ² < 0.034
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de redondear) obtenemos:
0.077 < < 0.185
Con base en el intervalo de confianza del 95% para , parece que la desviación estándar es mayor que el valor deseado de 0.06 o menos, así que el supervisor de control de calidad está en problemas y deberá tomar medidas correctivas para hacer que el peso de los bizcochos sea más uniforme.
El intervalo de confianza de 0.077 < < 0.185 también puede expresarse como (0.077,0.185), pero el formato de =sE no puede usarse porque el intervalo de confianza no tiene a s en su centro.
Caso II.
Un recipiente anticongelante para automóvil supuestamente contiene 3,785 ml del liquido. Consciente de que las fluctuaciones son inevitables, la gerente de control de calidad quiere estar muy segura de que la desviación estándar sea de menos de 30 ml; De lo contrario, algunos recipientes se desbordaran, mientras que otros no tendrán suficiente anticongelantes. Ella selecciona aleatoriamente una muestra, con los resultados que se dan aquí. Utilice estos resultados para construir el intervalo de confianza del 99% para el verdadero valor de . ¿Sugiere este intervalo de confianza que las fluctuaciones están en un nivel aceptable?
3,761 3,861 3,769 3,772 3,675 3,861
3,888 3,819 3,788 3,800 3,720 3,748
3,753 3,821 3,811 3,740 3,740 3,839
N X X-X' (X-X')^2
1 3,761.00 -26.00 676.00
2 3,861.00 74.00 5,476.00
3 3,769.00 -18.00 324.00
4 3,772.00 -15.00 225.00
5 3,675.00 -112.00 12,544.00
6 3,861.00 74.00 5,476.00
7 3,888.00 101.00 10,201.00
8 3,819.00 32.00 1,024.00
9 3,788.00 1.00 1.00
10 3,800.00 13.00 169.00
11 3,720.00 -67.00 4,489.00 12 3,748.00 -39.00 1,521.00 13 3,753.00 -34.00 1,156.00
14 3,821.00 34.00 1,156.00
15 3,811.00 24.00 576.00
16 3,740.00 -47.00 2,209.00 17 3,740.00 -47.00 2,209.00
18 3,839.00 52.00 2,704.00
MEDIA 3,787.00 VARIANZA 3,066.82 DESVIACION 55.38
Descriptive statistics
X
count 18
mean 3,787.0000 sample variance3,066.8235 sample standard deviation55.3789
minimum 3675
maximum 3888
range 213
Con una muestra de 18 puntajes tenemos 17 grados de libertad. Con un grado de confianza del 99%, dividimos =0.01 equitativamente entre las dos colas de la distribución ² y nos remitimos a los valores de 0.995 y 0.005 en la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=5.697 y ²R=35.718. Utilizando estos valores críticos junto con la desviación estándar de muestra s=55.38 y el tamaño de muestra de 18 construimos el intervalo de confianza del 99% evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(18-1)(55.38)²/35.718 < ² < (18-1)(55.38)²/(5.697)
1,459.66 < ² < 9,151.48
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de redondear) obtenemos:
38.21 < < 95.6
Con base en el intervalo de confianza del 99% para , parece que la desviación estándar es mayor que el valor deseado de 30 ml, y algunos recipientes se desbordaran, así que el supervisor de control de calidad está en problemas y deberá tomar medidas correctivas.
En la practica, surgen muchas situaciones en las cuales simplemente no es posible hacer de forma segura ningún supuesto sobre el valor de un parámetro o sobre la forma de la distribución poblacional. Mas bien se deben utilizar otras pruebas que no dependan de un solo tipo de distribución o de valores de parámetros específicos. Estas pruebas se denominan Pruebas no paramétricas o libres de distribución.
Pruebas no paramétricas.
Son procedimientos estadísticos que pueden
utilizarse para contrastar hipótesis cuando no son
posibles los supuestos respecto a los parámetros o a
las distribuciones poblacionales.
Experimento multinomial.
Es un experimento que satisface las siguientes condiciones.
1. El número de ensayos es fijo.
2. Los ensayos son independientes.
3. Todos los resultados de ensayos individuales se deben clasificar en una y sólo una de varias categorías distintas.
4. Las probabilidades de las diferentes categorías se mantienen constantes para cada ensayo.
Distribución Chi-cuadrado
Las dos aplicaciones más comunes de Chi-cuadrado son:
1. Pruebas de bondad de ajuste.
2. Pruebas de independencia.
Prueba de bondad de ajuste.
Sirve para probar la hipótesis de que una distribución de frecuencia observada se ajusta a (o concuerda con) alguna distribución propuesta.
Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a una forma de distribución particular planteada como hipótesis. Si el ajuste es razonablemente cercano, puede concluirse que si existe la forma de distribución planteada como hipótesis.
Por ejemplo, se puede plantear la hipótesis que la distribución poblacional es normal y que todos los valores posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir. Las hipótesis que se probarían son:
Ho: La distribución poblacional es normal.
Ha: La distribución poblacional no es normal.
Prueba de bondad de ajuste.
Si existe una gran diferencia entre lo que
realmente se observa en la muestra y lo que se
esperaría observar si la hipótesis nula fuera
correcta, en tal caso es menos probable que la
hipótesis nula sea verdadera. Es decir, la
hipótesis nula debe rechazarse cuando las
observaciones obtenidas en la muestra
difieren mucho del patrón que se espera que
ocurra si la distribución planteada como
hipótesis si se presenta.
En las pruebas de bondad de ajuste usaremos la siguiente notación:
Oi representa la frecuencia observada de un resultado.
Ei representa la frecuencia esperada de un resultado.
k representa el número de diferentes categorías o resultados.
n representa el número de ensayos total.
La prueba Chi-cuadrado tiene k-m-1 grados de
libertad, en donde m es el número de parámetros a
estimar.
En muchos casos, podemos determinar una frecuencia esperada multiplicando la probabilidad p de una categoría por el número de ensayos distintos n:
E = np
Por ejemplo, si probamos la aseveración de que un dado es equitativo lanzándolo 60 veces, tendremos n
= 60 (porque hay 60 ensayos) y p = 1/6 (porque un dado es equitativo sí los seis posibles resultados son igualmente probables, con la misma probabilidad de 1/6). Por tanto, la frecuencia esperada para cada categoría o celda es:
E = np
E = 60(1/6) = 10
Supuestos.
Los supuestos siguientes aplican cuando probamos una hipótesis de que la proporción de población para cada una de las k categorías (de un experimento multinomial) es la que se asegura.
1. Los datos constituyen una muestra aleatoria.
2. Los datos de muestra consisten en conteos de frecuencia para las k diferentes categorías.
3. Para cada una de las k categorías, la frecuencia esperada es por lo menos 5.
La prueba de Chi-cuadrado de bondad de ajuste es confiable solo si todo Ei es por lo menos 5.
Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en experimentos multinomiales.
² = [(Oi-Ei)^2/Ei]
Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado usando k-1 grados de libertad, donde k es el número de categorías.
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de cola derecha.
La forma de la estadística de prueba ² es tal que una concordancia cercana entre los valores observados y los esperados produce un valor pequeño de ². Un valor grande de
² indica una fuerte discrepancia entre los valores observados y los esperados. Por tanto, un valor significativamente alto de ² hará que se rechace la hipótesis nula de que no hay diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas. Entonces, la prueba es de cola derecha porque el valor crítico y la región crítica se encuentran a la extrema derecha de la distribución.
A diferencia de pruebas de hipótesis previas en las que teníamos que determinar si la prueba era de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas, todas estas pruebas de bondad del ajuste son de cola derecha.
Caso I.
Jennifer Calcaño gerente de crédito del BHD, en la torre Principal en Santo Domingo, trata de seguir una política de extender un 60% de sus créditos a empresas comerciales, un 10% a personas naturales y un 30% a prestatarios extranjeros.
Para determinar si la política se estaba siguiendo, José Rondón, vicepresidente de mercadeo, selecciona 85 créditos que se aprobaron recientemente. Encuentra que 62 de tales créditos se otorgaron a negocios, 10 a personas naturales, y 13 a prestatarios extranjeros.
Al nivel del 10%, ¿parece que el patrón de cartera deseado se preserva? Pruebe la hipótesis de que:
Ho: Se mantuvo el patrón deseado: 60% son créditos comerciales, 10% son prestamos personales y 30% son créditos extranjeros.
Ha: El patrón deseado no se mantuvo.
Tabla de Tipo de Crédito
Tipo de Credito Oi p Ei=n*p
Comercial 62.00 0.60 51.00
Personal 10.00 0.10 8.50
Extranjero 13.00 0.30 25.50
Total = n 85.00 85.00
Tabla de Tipo de Crédito
Tipo de Credito Oi p Ei=n*p
Comercial 62.00 0.60 51.00
Personal 10.00 0.10 8.50
Extranjero 13.00 0.30 25.50
Total = n 85.00 85.00
Tipo de Credito p Oi Ei =np (Oi-Ei) (Oi-Ei)^2 (Oi-Ei)^2/Ei
Comercial 0.60 62.00 51.00 11.00 121.00 2.37
Personal 0.10 10.00 8.50 1.50 2.25 0.26
Extranjero 0.30 13.00 25.50 -12.50 156.25 6.13
Total 1.00 85,00 85,00 CHI-CUADRADA 8.76
Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en experimentos multinomiales.
El valor ² es ²= [(Oi-Ei)²/Ei]
²=[(62-51)²/51]+[(10-8.5)²/8.5]+[(13-25.5)²/25.5] = 8.76
Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado usando k-1 grados de libertad, donde k es el numero de categorías.
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de cola derecha.
Con un = 10% y k = 3 categorías de crédito (comerciales, privados y extranjeros), existen k-m-1= 3-0-1=2 grados de libertad, el valor critico es
² 0.10, 2 = 4.605
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula ² 4.605.
Rechazar sí la hipótesis nula ² > 4.605.
10 9
8 7
6 5
4 3
2 1
0 f(Chisq)
Chisq
4.61
Goodness of Fit Test
observed expected O - E (O - E)² / E % of chisq 62 51.000 11.000 2.373 27.07
10 8.500 1.500 0.265 3.02
13 25.500 -12.500 6.127 69.91 85 85.000 0.000 8.765 100.00
8.76 chi- square 1 df
.0031 p-value
I PLANTIAMIENTO DE HIPOTES
HO: SE MANTUVO EL PATRON DESEADO: 60%
COMERCIAL - 10% PERSONAL - 30%
EXTRANJERO
HA: NO SE MANTUVO EL PATRON DESEADO
II ESTADISTICA DE PRUEBA - CHI CUADRADA
CHI C. = 8.76
III REGLA DE DECISION.
SE ACEPTA SI CHI ES MENOR QUE
4.61
SE RECHAZA SI CHI ES MAYOR QUE 4.61
SE RECHAZA LA HO
IV INTERPRETACION
NO SE ESTA CUMPLIENDO CON LA POLITICA DE CREDITO DEL BANCO
Caso II. Prueba de normalidad.
Las especificaciones para la producción de tanques de aire utilizados en inmersión requieren que los tanques se llenen a una presión de 600 libras por pulgadas cuadradas (psi). Se permite una desviación de 10 psi. Las especificaciones de seguridad permiten una distribución normal en los niveles de llenado. Usted acaba de ser contratado por Aqua Lung, un importante fabricante de equipos de inmersión. Su primera tarea es determinar si los niveles de llenado se ajustan a una distribución normal. Aqua Lung esta seguro de que media de 600 psi y la desviación estándar de 10 psi prevalecen. En este esfuerzo se miden n=1000 tanques y se halla la distribución presentada en la siguiente tabla.
Sus hipótesis son:
Ho: Los niveles de llenado están distribuidos normalmente.
Ha: Los niveles de llenado no están distribuidos normalmente.
Frecuencia Probabilidades Frecuencias
PSI Real Oi pi Esperadas Ei O-E (O-E)^2 [(O-E)^2]/E
0 y por debajo de 580 20 580 y por debajo de 590 142 590 y por debajo de 600 310 600 y por debajo de 610 370 610 y por debajo de 620 128 6200 y por encma 30
Totales 1000
Determine la probabilidad para cada clase mediante la formula Z y complete la tabla de probabilidades y frecuencias esperadas.
X => viene dado por cada valor del rango de los PSI.
Media = 600 psi
Desviación = 10 psi
Por ejemplo Z = (580 – 600) / 10 = - 2
P(z=2) = 0.4772
