Promoción del Aprendizaje del álgebra Booleana en Ambientes de Trabajo Colaborativo Apoyados por Computadora (CSCL) Edición Única

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(2) TECNOLÓGICO DE MONTERREY. Universidad Virtual Escuela de Graduados en Educación Promoción del Aprendizaje del Álgebra Booleana en Ambientes de Trabajo Colaborativo Apoyados por Computadora (CSCL) Tesis que para obtener el grado de:. Maestría en Tecnología Educativa. Presenta:. Jorge García Nieva Asesor tutor:. Mtro. Luis Lozano Garza. Asesor titular:. Dr. Fernando Jorge Mortera Gutiérrez. Distrito Federal, México. Mayo, 2011. i.

(3) Dedicatorias Con todo mi cariño, dedico la realización de este trabajo a mi esposa e hijos, a quienes he privado de un tiempo que se que no es fácil de reponer, pero que espero devolver con creces.. ii.

(4) Agradecimientos. Con sinceridad, agradezco:. •. A todos mis profesores del Tecnológico de Monterrey, por su contribución en mi formación dentro del campo educativo.. •. Especialmente al Dr. Fernando Mortera Gutiérrez, Director de la Maestría en Tecnología Educativa de la Universidad Virtual, y asesor titular de este trabajo, por ser gran ejemplo de sensibilidad y apoyo en los momentos más apremiantes.. •. A l L i c . Ambrosio Sánchez Cruz, Subdirector Académico del Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México (TESOEM), por su ayuda en la gestión de recursos financieros para la elaboración del presente proyecto.. •. A l Tecnológico de Monterrey, por su compromiso social en el fomento de programas tendientes a mejorar la educación del país.. iii.

(5) Promoción del Aprendizaje del Álgebra Booleana en Ambientes de Trabajo Colaborativo Apoyados por Computadora (CSCL) Resumen. E l álgebra booleana es un área de las matemáticas de tipo axiomático; es decir, es una teoría en donde las propiedades de los objetos que describe se demuestran a través de procesos lógico-deductivos. Es la ejecución de. dichos procesos. argumentativos lo que produce dificultades considerables para el aprendizaje de dicha materia por parte de los alumnos. En el presente estudio, se realizó un análisis cualitativo acerca de las posibles ventajas que les podría reportar a los alumnos la introducción de programas de cómputo relacionados con el álgebra booleana (KarnaughMap y Workbench Multisim), dentro de un ambiente de trabajo. colaborativo con grupos libremente formados; dicha metodología. representa una variante de lo que se conoce como Computer Supported Collaborative Learning (CSCL). E l estudio se llevó a cabo con un grupo de 40 alumnos de la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales del Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México ( T E S O E M ) . A través del análisis de la información recabada mediante entrevistas no estructuradas, análisis del trabajo con un grupo de enfoque y bitácora de campo, se llegó a la conclusión de que, si bien dichas herramientas informáticas resultan útiles y motivadoras como medios para que los alumnos puedan visualizar la información en forma gráfica y simbólica, no resultan de gran ayuda para el aprendizaje autónomo de los procesos demostrativos requeridos dentro del álgebra booleana, debido a la falta de experiencia de los alumnos en el trabajo con este tipo de problemas iv.

(6) matemáticos, necesitando en cambio de la retroalimentación constante del docente, más que de sus compañeros, quienes por estar en un nivel similar de conocimientos, el trabajo colaborativo no resulta de mucha conveniencia, ya que se convierte en un vector transmisor de ideas erróneas.. v.

(7) Contenido ÍNDICE D E FIGURAS. 1. INTRODUCCIÓN. 2. CAPÍTULO I. Planteamiento del problema. 7. 1.1. Contexto. 7. 1.2. Definición del problema. 9. 1.3. Preguntas de investigación. 12. 1.4. Objetivos de la Investigación. 13. 1.4.1. Objetivo general de la investigación realizada. 13. 1.5. Justificación de la investigación. 14. 1.6. Beneficios esperados. 15. CAPÍTULO II. Revisión de la Literatura. 16. 2.1. L a problemática de los estudiantes en el aprendizaje de las Matemáticas universitarias desde el punto de vista del Cognoscitivismo... 16 2.2. E l Constructivismo y la teoría para la instrucción en matemáticas. 21. 2.3. L a tecnología como medio de aprendizaje en matemática. 24. 2.4. Software de apoyo en el proceso de enseñanza/aprendizaje del concepto de demostración matemática en el álgebra de Boole. 33. 2.5. Resultados de la investigación contemporánea sobre la problemática de la implementación de C S C L CAPITULO II. Metodología. 42 57. 3.1. Enfoque metodológico. 57. 3.2. Población y muestra. 59. 3.3. Sujetos. 60. 3.4. Instrumentos. 61 vi.

(8) 3.4.1. L a entrevista abierta. 62. 3.4.1.1. L a guía de entrevista. 64. 3.4.2. Focus group. 67. 3.4.3. Notas de los alumnos. 68. 3.5. Procedimiento de la investigación. 68. 3.6. Tipo de análisis realizado. 73. CAPÍTULO IV. Resultados. 74. 4.1.Presentación de resultados. 74. 4.1.1. Bitácora de campo. 74. 4.1.2. La entrevista en profundidad. 78. 4.1.4. Notas de clase y fotografías. 83. 4.2. Análisis de los datos. 85. CAPÍTULO V. Conclusiones. 90. 5.1.Discusión de los resultados. 90. 5.1.1. L a sobresaturación en los contenidos de los planes de estudio. 91. 5.1.2. Las actitudes. 92. 5.1.3. Capacidad de socialización. 93. 5.1.4. E l papel del software. 94. 5.1.5. E l rol del docente. 95. 5.2. Validez interna y externa. 95. 5.3. Alcances y limitaciones. 96. 5.4.Sugerencias para estudios futuros. 96. 5.5. Conclusiones. 96. REFERENCIAS. 98. vii.

(9) ANEXOS. 103. Currículum Vitae. 103. Carta de Consentimiento. 104. A N E X O 1. Modelo de bitácora de campo con categorización. 105. A N E X O 2. Modelo de entrevista no estructurada con categorización. 107. A N E X O 3.Modelo de sesión de focus group con categorización. 108. A N E X O 4.Fotografías. 110. A N E X O 5. Notas de alumnos. 111. viii.

(10) Índice de Figuras Figura1.Descubrimiento del significado de la suma (Orton, 1990, p.105). 27. Figura 2.Tabla de Karnaugh para el problema propuesto (Elaboración propia). 38. Figura3.Sesión en el programa Workbench (Elaboración propia). 40. Figura4.Sesión en KarnaughMap (Elaboración propia). 41. Figura 5. Un informe de errores al autor de KarnaughMap (Tomado del sitio web del autor de KarnaughMap). 45. Figura 6. Representación gráfica de una fórmula booleana (Elaboración propia). 51. Figura 7.Relación entre ¡deas del proyecto (Elaboración propia). 53. Figura8.Niveles de conocimiento, según Marzano (Gallardo, s/f). 55. Figura 9. Diagrama estructural del aprendizaje del álgebra booleana con CSCL (Elaboración propia). 85. Figura 10. Categorías redefinidas para el estudio del aprendizaje del álgebra booleana con CSCL (elaboración propia). 88. 1.

(11) INTRODUCCIÓN. Una de las teorías matemáticas en base a la cual se desarrollan las representaciones simbólicas de los circuitos digitales es el álgebra booleana, la cual fue inventada por George Boole en 1847 (Grimaldi, 2008); dicha teoría se aplica en particular al desarrollo de circuitería digital, dando lugar a importantes avances tecnológicos dentro de la computación y la electrónica. Muestra de ello, son los métodos de análisis de la circuitería lógica propuestos en 1937 por Claude Shannon o las contribuciones de John von Neumann al desarrollo de computadoras en 1947 (Aspray, 1993).. E l álgebra booleana es una teoría matemática de tipo axiomático (abstracta); eso significa que está conformada por un conjunto de objetos (los estados booleanos 0 y 1, que representan la condiciones de activado o desactivado), un conjunto de operaciones que pueden realizarse con esos objetos, así como un conjunto de reglas o axiomas que gobiernan las operaciones algebraicas que pueden realizarse con tales símbolos (Veerarajan, 2007).. Demostrar un teorema (un nuevo resultado) dentro de una teoría axiomática como el álgebra booleana, significa concatenar una sucesión de razonamientos o argumentaciones lógicas hechos a base de esas reglas (Margaris, 1967). E l problema con ello, según Herstein (1998), es que los alumnos que recién ingresan a los estudios universitarios, aún no han desarrollado lo suficiente su pensamiento matemático, ni cuentan con los conocimientos básicos como para abordar el estudio de este tipo de teorías, por lo cual se hace necesaria la búsqueda. 2.

(12) de métodos y herramientas que los ayuden a adquirir dicho esquema primario de conocimientos.. A l respecto, podría pensarse que el uso de software en conjunto con trabajo colaborativo, lo cual es parte de la metodología C S C L , podría ser de gran utilidad para que los estudiantes pudieran paulatinamente adquirir las habilidades necesarias para realizar demostraciones matemáticas a un nivel básico; sin embargo, ¿Qué asegura o de qué depende que estas herramientas y estrategias de estudio puedan resultar útiles a los alumnos para el aprendizaje de una teoría formal como el álgebra booleana? ¿Qué estrategias instruccionales deberán ser implementadas para conseguir que los alumnos aprendan mediante esas herramientas?.. Para responder a estos cuestionamientos, durante el presente estudio, se pusieron a disposición de un grupo de 40 alumnos de la carrera de Ingeniería en Sistemas computacionales del Instituto Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México (TESOEM), un par de programas de uso específico o aplicación (Workbench y KarnaughMap), orientados a la simulación, análisis y diseño de circuitos digitales, los cuales permiten obtener el diseño simplificada de un circuito, a partir de la fórmula booleana o la tabla aritmética que lo representa.. El interés del estudio se centró en identificar los problemas que enfrentaron los alumnos al trabajar en forma colaborativa, resolviendo problemas de álgebra booleana con la ayuda del software propuesto. Adicionalmente, se buscó establecer estrategias de enseñanza que permitieran al docente ayudar a los. 3.

(13) alumnos a aprender bajo dichos programas informáticos. E l reporte de investigación inicia con una descripción del contexto socio-económico y académico en el cual ha surgido el problema de investigación, así como de la problemática que se encuentra en los estudiantes que recién ingresan al nivel universitario en el T E S O E M .. Durante la parte correspondiente a la construcción del marco teórico, se ha revisado la literatura acerca de los estudios que se han hecho con el fin de adoptar medios tecnológicos en el aula en conjunción con el trabajo colaborativo. Se han seguido con particular interés las metodologías y herramientas de estudio que diversos autores consultados han empleado, así como de las teorías de las cuales se han valido, ya sea para generar sus problemas de investigación, o bien para triangular sus resultados con los de otros investigadores.. Ha resultado, asimismo, del mayor interés en este trabajo, la búsqueda de principios dentro de la psicología educativa como base para la explicación de la problemática que los alumnos muestran al enfrentar el aprendizaje de una teoría formal como el álgebra booleana.. Durante la presentación de la metodología, se justifica al punto de vista cualitativo como el adecuado para realizar un estudio como el presente, detallando la descripción de las herramientas que han sido utilizadas para la obtención de información, así como de su correspondiente análisis, a través de entrevistas no estructuradas (abiertas), sesiones a través de un grupo de enfoque, análisis de los. 4.

(14) productos de aprendizaje de los alumnos (como son sus notas de clase) y la bitácora de campo.. Durante la exposición de resultados, se recurrió a la sugerencia dada por Hernández H . (1991), quien señala que, en estudios de tipo cualitativo, se debe entremezclar la técnica narrativa con la inclusión de ejemplos (soporte de categorías) y elementos gráficos. De esta manera, se realizó una descripción de los principales eventos de aprendizaje ocurridos durante las sesiones, acompañadas de ejemplos extraídos de la bitácora de campo y las entrevistas sostenidas con varios de los alumnos, así como de elementos visuales como fotografías de las sesiones de trabajo.. Como resultado, se ha obtenido la siguiente conclusión principal, resultado del trabajo de campo y la triangulación con la opinión de autores que se han dedicado a experimentar con herramientas informáticas en el aula: Que el trabajo colaborativo, aunado con el uso de software de uso específico para el análisis y simulación de circuitos lógicos estimula, en efecto, a los estudiantes a reflexionar en grupo para lograr un mayor entendimiento del álgebra booleana; sin embargo, para que dicha metodología resulte con una eficacia aceptable, se necesita que el docente los retroalimente en forma constante (incluso a nivel personal), diseñe material de estudio de dificultad gradual, así como ambientes de estudio en los cuales los alumnos puedan construir su conocimiento sobre el concepto de demostración formal ya sea individualmente o con la intervención de sus compañeros de clase.. 5.

(15) De otro modo, ante la complejidad de los conceptos y procesos que intervienen en este tipo de teorías matemáticas, los estudiantes tienden a generar o a fomentar creencias acerca de su probable incapacidad para el estudio de las mismas, lo que generalmente los conduce al fracaso.. 6.

(16) CAPÍTULO I.. Planteamiento del problema En este capítulo, en primer lugar, se describe el contexto en el cual ha surgido el problema de investigación del cual se ocupa este trabajo. Se describen las características socio-económicas de la población estudiantil, así como la infraestructura de la institución educativa en donde se realizará el estudio. En segundo lugar, se plantea el problema de investigación que será abordado durante este trabajo, su justificación y los posibles beneficios que implica su desarrollo.. 1.1. Contexto. E l T E S O E M es una institución educativa perteneciente a la red Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST). Esta institución está ubicada en el Municipio de Los Reyes, la Paz, en el Estado de México. Por estar ubicado en la zona conurbada con el Distrito Federal, recibe alumnos provenientes de los Municipios de Chimalhuacán, Netzahualcóyotl, Ixtapaluca y del Distrito Federal.. Durante los últimos cinco años, el T E S O E M ha recibido un importante apoyo financiero y en infraestructura por parte de la Secretaría de Educación del Estado de México, convirtiéndose en un centro educativo que cuenta con equipo de cómputo actualizado, servicio de Internet de alta velocidad, incluyendo dos servidores propios. Últimamente se ha hecho un gran esfuerzo para la adquisición. 7.

(17) de software de apoyo, como son programas informáticos orientados a la ingeniería y a la contaduría.. L a importancia del T E S O E M como institución educativa para la zona en la cual se encuentra ubicado, se refleja en el hecho de haber sido declarada como la "máxima casa de estudios" para la región. En el T E S O E M , actualmente se atiende a aproximadamente a 2000 alumnos, 60% de los cuales pertenecen a la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales.. Los alumnos que estudian en el T E S O E M se pueden caracterizar por pertenecer a zonas semi-marginadas con nivel cultural mediano (INEGI, 2010); lo cual de ningún modo implica que dichos jóvenes no aprecien la lectura o la cultura en general, siempre y cuando se les impulse a ello. Debe señalarse que por su estado económico, un porcentaje apreciable de estudiantes tienen que desarrollar actividades eventuales que les permiten obtener cierto ingreso propio, lo cual a menudo es un factor que les distrae de manera importante de su formación académica.. Para efectos de atender a la gran población de alumnos inscritos dentro de la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales, las autoridades de la institución han gestionado equipamiento en equipos de cómputo, redes y servicios informáticos en general. Actualmente la institución cuenta con dos servidores, los cuales no han sido aprovechados del todo bien como para, a través de ellos, formar comunidades de innovación tecnológico-educativa. Probablemente, para impulsar el avance en la modernización educativa en el T E S O E M , se necesite. 8.

(18) capacitar a docentes y personal técnico para aprovechar aún mejor la tecnología informática con la cual la institución ha sido beneficiada.. Debe señalarse además, que durante los últimos dos años, el T E S O E M ha estado involucrado en un proceso de certificación de sus carreras y métodos, tales como procesos administrativos y de enseñanza. Por lo cual, se ha sugerido como necesaria la creación de grupos de investigación, ya sea en el área educativa o de desarrollo de tecnología.. 1.2. Definición del problema. Se puede demostrar que, desde que se replanteó el uso del método axiomático en el siglo X V I I , este se constituyó en una poderosa herramienta para el estudio de sistemas que aceptara dicha formulación, por lo cual, es indispensable su estudio como parte de la formación de los estudiantes en cuyas áreas se haga uso del mismo.. A l parecer, el primer sistema axiomático que fue propuesto, fue el dado por Euclides, un matemático griego, quien hace aproximadamente 2300 años (Hartshorne, 1997), escribió una serie de tratados en los cuales deducía las propiedades geométricas de triángulos, rectas, cuadrados, etc. en base solo a algunos supuestos y definiciones básicos sobre este tipo de objetos.. Desafortunadamente, esta forma de estudiar a la naturaleza u objetos simbólicos fue largamente desatendida y olvidada tras la conquista de Grecia antigua por el Imperio Romano. L a humanidad tuvo que esperar que los. 9.

(19) conocimientos de los griegos pasaran a Europa a través de los árabes para que pudieran ser retomados 1400 años después (Bunge, 2000). De esta manera, una vez retomada la ciencia y filosofía griegas en Europa, aparecen diversos filósofos y científicos en dicho continente que, durante el siglo X V vuelven a poner de moda la idea del estudio de la naturaleza a través de un proceso combinado entre el uso de la razón y la experimentación. Así, por ejemplo, en 1628, René Descartes (2003), en su Reglas para la dirección del espíritu,. hacía mención que, para evitar la divagación, se debería proceder como. en la Geometría o la Aritmética, las cuales hacen uso de la intuición y la deducción como estrategias para llegar a la verdad:. L a deducción consiste en una operación por la cual comprendemos todas las cosas que son consecuencia necesaria de otras conocidas por nosotros con toda certeza...He colocado la deducción junto a la intuición porque hay muchas cosas que pueden ser conocidas con toda seguridad -aun no siendo evidentes por sí mismas- deduciéndolas de principios ciertos por un movimiento continuo y no interrumpido del pensamiento y con una clara intuición de cada cosa. (Descartes, p. 14). Siguiendo las ideas de René Descartes, en 1687, Isaac Newton, un erudito en el manejo de la matemática griega y asiduo lector de la filosofía de su tiempo, propuso un sistema axiomático para el estudio de la Mecánica. De este modo, pronto se reveló la potencia de este método de estudio de los fenómenos, fueran estos de naturaleza física, social, tecnológica, económica o puramente. 10.

(20) matemáticos. Incluso se reveló como un importante método para el estudio de los fenómenos psicológicos dentro de los trabajos pioneros de Tolman o Hull (Ormrod, 2005).. Como se ha podido apreciar, el modo axiomático de estudiar los fenómenos naturales o abstractos, siempre ha tenido una gran importancia dentro de la ciencia y el desarrollo de la tecnología. Jean Piaget (1967), consideró en su libro La Psicología de la Inteligencia, que el método axiomático es "el método matemático por excelencia" (p.39), y por ello resulta de fundamental importancia su enseñanza para la comprensión de esta área.. Siendo el método deductivo el proceso central dentro de las matemáticas formuladas en formato axiomático (Hilbert, 1899), aprender a deducir lógicamente las consecuencias de determinada axiomática, es un ejercicio que requiere involucramiento e interés de parte de quien estudia dichas teorías elaboradas en ese formato.. Van Hiele-citado por Cantoral, R; Farfán, R; Cordero, F; Alanís, J; Rodríguez, R; Garza, A . (2005), supone que en la enseñanza de un sistema formal como la Geometría u otros sistemas abstractos, se presentan ciertas dificultades asociadas con el desarrollo intelectual de los alumnos. N o es que los estudiantes no sean capaces de desarrollar esas habilidades, sino que están afectados por determinadas variables contextúales (socio-culturales) que bien podrían haberlos afectado de manera importante en su desarrollo cognitivo (Amaya y Prado, 2010).. 11.

(21) De esta manera, si en sus cursos de educación básica, los estudiantes que recién ingresan a la universidad, sólo han tenido como método de estudio a metodologías basadas en la repetición y en la evaluación de conocimiento superficial, es probable que enfrenten fuertes dificultades en su desempeño para comprender las teorías formales (Ormrod, 2005).. Por otro lado, desde la década de los ochenta del siglo pasado, se han llevado estudios tendientes a esclarecer cuál es el potencial del trabajo colaborativo combinado con el uso de medios tecnológicos, principalmente computacionales y de comunicaciones dentro de la enseñanza. Parece ser que se tienen grandes expectativas al respecto; tanto así, que ya se ha hecho un tema central dentro de la investigación educativa (Aria, 2009). Para el caso del aprendizaje del álgebra booleana: ¿Representa el uso de programas informáticos o el trabajo colaborativo realmente una ventaja para que los estudiantes puedan aprender este tipo de matemática?, y si así no fuera, ¿Qué factores son los que afectan en forma negativa al aprendizaje bajo esta metodología?. Estos cuestionamientos son las que han animado al autor a proponer las siguientes preguntas de investigación.. 1.3. Preguntas de. investigación. Circunscritos al contexto del grupo 1ISC-TESOEM, y trabajando dentro de un ambiente de trabajo colaborativo apoyado en el uso del computador (CSCL), ¿ Qué ventajas representa el uso de programas informáticos para el aprendizaje del álgebra booleana? ¿Qué estrategias instruccionales ayudan a incrementar estas ventajas?, ¿Qué variables extrínsecas (ambientales), personales o del acto educativo afectan al proceso de aprendizaje con dicho software? 12.

(22) *Nota:. 1ISC-TESOEM, significa: Alumnos de primer semestre de la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales del Tecnológico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de México.. Han sido adoptados los términos variable personal, variable ambiental o ecológica y variable del acto educativo, según Hernández H . (1991), quien los define como variables asociadas con la actuación de los alumnos y el docente, así como variables asociadas con eventos escolares o extraescolares en el caso de las dos primeras; mientras que respecto del tercer término, se refiere á variables que se generan dentro de la actividad del docente como transmisor de información, orientador, diseñador de ambientes de aprendizaje, y en relación a cómo efectúa dichas actividades.. 1.4. Objetivos de la. 1.4.1. Objetivo general de la investigación. Investigación. realizada. Identificar, mediante técnicas cualitativas de investigación, la problemática que presentan los alumnos en el uso de software de uso específico (KarnaughMap y Workbench Multisim), como medio de apoyo en §1 estudio del álgebra booleana. Asimismo, identificar estrategias didácticas que promuevan el uso de este tipo de herramientas para el estudio de esa clase de temas, en un ambiente de trabajo colaborativo apoyado por herramientas computacionales (CSCL).. 13.

(23) 1.4.2. Objetivos. •. específicos. Caracterizar los factores o causas de los problemas que tienen los alumnos en el uso de los programas propuestos como medio de apoyo para el estudio del álgebra booleana, mediante entrevistas en profundidad y el análisis de su actuación en el aula.. •. Establecer estrategias de enseñanza/aprendizaje que ayuden a desarrollar en los alumnos habilidades cognitivas para trabajar con herramientas computacionales en la resolución de problemas de álgebra booleana. 1.5. Justificación. de la. investigación. L a introducción de herramientas tecnológicas en el aula, constituye un elemento importante en el proceso de modernización de la educación de cualquier país. Sin embargo, las orientaciones que debe seguir dicha implantación, deben tener un sustento metodológico y teórico basado en el análisis de lo que sucede realmente en las aulas tras su implementación, y no solamente basado en aspectos teóricos. A l respecto, Miranda (1978), indicaba hace ya algún tiempo, que no es recomendable adoptar metodologías o herramientas tecnológicas dentro del contexto de la educación nacional, sin que se hayan averiguado, por lo menos en forma exploratoria, las consecuencias que conlleva su adopción en las aulas.. Por otro lado, como bien lo señala Sánchez (1990), desde su concepto de "docente-investigador", que los maestros tienen mucho qué decir acerca del. 14.

(24) proceso de enseñanza/aprendizaje: desde el problema que constituye para ellos el llevar a cabo dicha adaptación, hasta las reacciones que los alumnos muestran ante el trabajo con dichas tecnologías.. Por esto, se considera que, estudios como el presente, están más que justificados, ya que permiten al docente-investigador mismo, reflexionar sobre su actividad formativa, así como en las metodologías que maneja, adopta o es obligado a implantar.. -. 1.6. Beneficios esperados.. Indica Miranda (1978), que ios principales beneficiarios de que los docentes realicen investigación educativa son los alumnos, debido a que la perspectiva que adquieren los profesores acerca del proceso educativo, necesariamente se renueva, fortaleciéndose.. 15.

(25) CAPÍTULO II. Revisión de la Literatura. En este capítulo se lleva a cabo, en primer lugar, un análisis acerca de la problemática de los alumnos en su aprendizaje de las matemáticas universitarias; en segundo lugar, se expone la manera en la cual los investigadores han tratado de resolver tales problemas mediante la aplicación de la tecnología y las ventajas que el trabajo colaborativo podría aportar; por último, se exponen algunas estrategias instruccionales y conceptos que se desprenden de la teoría Constructivista y que constituyen aportes importantes para entender la problemática de la enseñanza/aprendizaje de la matemática universitaria.. 2.1. La problemática matemáticas. de los estudiantes en el aprendizaje de las. universitarias desde el punto de vista del Cognoscitivismo. L a idea de concebir un sistema axiomático como modelo para estudiar determinada área dentro de las matemáticas, persigue el objetivo de deducir lógicamente las propiedades de dicho sistema, a partir de un conjunto mínimo de ellas llamadas axiomas (Amor, 2004; Margaris, 1967).. E l estudio de las estructuras simbólicas a través del método axiomático ha sido la forma de elaboración teórica preferida dentro de las matemáticas desde la década de los treinta del siglo X X , cuando D . Hilbert puso otro vez de moda la axiomatización en su libro Los Fundamentos de la Geometría, concebido entre 1894 y 1902 (Hilbert, 1899). J. Piaget, el famoso psicólogo describe al método. 16.

(26) axiomático como el más importante dentro de la matemática, e incluso dedica su libro La Psicología de la Inteligencia, escrito en 1967, al estudio de cómo una persona alcanzaría el domino de ese tipo de pensamiento matemático.. N o es simple el aprendizaje del método lógico- deductivo utilizado para demostrar los resultados dentro de la matemática formal; para la adquisición de experiencia en la utilización del mismo, los estudiantes deben invertir tiempo e interés. Santos (2007), señala que un proceso deductivo, como la demostración de un teorema, cae dentro de lo que en Matemáticas se le denomina resolución de problemas , debido a que en la demostración formal se ven involucradas estrategias de análisis, toma de decisiones, la transferencia y el uso de la metacognición.. Ormrod (2005) enfatiza la importancia de la transferencia como habilidad cognitiva necesaria en la resolución de problemas, y la definen como la capacidad para relacionar lo aprendido en una situación, aplicando dicha experiencia en otras circunstancias que tengan alguna similitud. Adicionalmente Ormrod (2005), señala que la autoejicacia, el grado de capacidad que las personas suelen auto asignarse para poder llevar a cabo una tarea o actividad, actúa de manera importante en el aprendizaje, ya que si no se cuenta con determinada confianza, por ejemplo, en el estudio de una asignatura, entonces es menos probable que se tenga un buen desempeño en la misma.. Por otra parte, aunque Piaget (1967) estableció que las personas están en condiciones de llevar a cabo razonamientos abstractos más o menos desde la. 17.

(27) adolescencia (11 o 15 años), investigadores como Van Hiele (1986), citado por Cantoral et al.(2005), han propuesto que el problema de la enseñanza de las matemáticas superiores, no está relacionado tanto con el hecho de que los estudiantes carezcan de la capacidad de comprender lo abstracto, sino en desarrollar dicha capacidad a un nivel adecuado.. Investigadores como A . Bandura(1959), han propuesto que, como parte de los factores que contribuyen a un buen desempeño en las tareas de aprendizaje en cualquier área del conocimiento, y en particular en el aprendizaje de las matemáticas, es necesario que los alumnos cuenten con las capacidades siguientes:. 1) Atención. Capacidad para atender a las instrucciones del docente.. 2) Retención. Capacidad para retener y usar posteriormente la información. 3) Reproducción. Motriz. Se refiere a la coordinación cerebro-muscular. Está. relacionada, por ejemplo, con la capacidad para expresar mediante el lenguaje escrito o hablado las ideas que se tengan en mente.. 4) Motivación.. Tener expectativas sobre lo que se aprende; los alumnos buscan. cumplir metas u objetivos al involucrarse en determinados estudios. Desde el punto de vista de la psicología cognitiva, esta capacidad está relacionada con las expectativas; es decir, al estudiar determinada área del conocimiento, los alumnos se preguntan para qué les servirá, ya sea para su vida profesional o dentro de su contexto actual.. 18.

(28) Sin embargo, autores como Amaya y Prado (2010) o Enkvist (2006), Paulos( 2001), advierten que la tarea no es nada simple, debido a que, como producto de un sistema educativo tradicional basado en lo repetitivo y la irreflexión, la generación actual de alumnos presenta cuadros de grave retraso en el desarrollo de tales capacidades, particularmente las metacognitivas. Quizás a ello se deba el bajo desempeño que los alumnos mexicanos obtienen en las pruebas internacionales en donde se indague acerca del desarrollo del pensamiento matemático complejo como el Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes, el cual puede consultarse en PISA (2006).. Para apoyar su hipótesis, Amaya y Prado (2010), señalan la fuerte relación existente entre el comportamiento de los alumnos y su desempeño escolar; señalando que cada vez es más frecuente en los jóvenes una falta de empeño e interés por lo académico, requisitos señalados como principales en el desarrollo del pensamiento complejo. Ello, señalan, directamente está relacionado con la actividad de los lóbulos frontales, los cuales se encargan de la organización y la persistencia en las actividades de interés para el desarrollo del individuo.. De tal importancia es considerado este problema de la relación entre aprendizaje y desarrollo cognitivo, que investigadores como Toboso (2004), han abordado el estudio del mismo para establecer qué tan correlacionado está el desarrollo dichas capacidades con el desempeño académico en matemáticas, llegando a la siguiente conclusión: "(Los alumnos) con bajas habilidades. 19.

(29) cognitivas en los procesos de resolución de problemas, (tienen) pobre aptitud numérica y bajo rendimiento en matemáticas (40,29%)." (Toboso, 2004, p.355).. En cuanto a los tiempos destinados para el estudio de ciertas áreas del conocimiento como las matemáticas abstractas, Ormrod (2005) opina que la formación actual dentro de esa área es muy densa en cuanto a la cantidad de contenidos que se tienen que abordar, y los tiempos dados para su estudio muy cortos.. En forma similar, Enkvist (2006), señala que los programas académicos están demasiado saturados de temas y mal distribuidos dentro de los programas de estudio. ¿En qué momento los alumnos se detendrán a reflexionar sobre los contenidos?, comenta. Ello significa que a nivel administrativo no se concede al docente o al alumno el tiempo suficiente para la reflexión o profundización en los temas, ni la organización curricular adecuada como para implementar metodologías recomendadas por los especialistas en el tema.. Según la discusión sobre la problemática, por lo menos existen dos tipos de problemas que afectan a la calidad del desempeño de los alumnos en el aprendizaje de las matemáticas superiores: aquellos que tienen que ver con las capacidades de los alumnos, tales como sus conocimientos previos, el dominio que tengan sobre la manera de proceder para el aprendizaje de estas áreas, el uso de la metacognición como medio para controlar sus conductas, etc. Además de las variables asociadas a las características de los alumnos, están aquellas de los demás agentes que intervienen en el proceso, tales como las habilidades docentes. 20.

(30) para entender las necesidades de los grupos que atiende, la destreza para coordinar el proceso de aprendizaje de los alumnos, así como la calidad de su dominio de los temas que imparta.. Adicionalmente podrían considerarse las variables asociadas con el contexto, como la calidad de la organización administrativa de la institución educativa, la distribución de los temas dentro del programa, etc. Todo ello, ha llevado a Hernández H . (1991) a proponer dos tipos centrales de variables que afectan al aprendizaje de los alumnos: las personales, relacionadas con las características de los alumnos y docentes, sean estas comportamentales o referentes a las capacidades de ambos para desempeñarse dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje), y las variables asociadas al contexto o ambientales, en donde se concentran aquellos factores que afectan al proceso de enseñanzaaprendizaje de manera extrínseca, tales como la ubicación geográfica del centro académico, el nivel sociocultural, la administración escolar ,etc.. 2.2. El Constructivismo y la teoría para la instrucción en. matemáticas.. Ante la problemática de la enseñanza de las matemáticas, tradicionalmente se ha recurrido a la explicación que sobre el fenómeno educativo se ha formulado dentro de la psicología del aprendizaje. De ellas, a la que mayormente recurren los investigadores que analizan el aprendizaje en el área de las matemáticas es el Constructivismo (Cantoral, 2005; Santos, 2007). E l Constructivismo es una corriente dentro de la teoría del aprendizaje e instrucción, cuyas bases parten de la consideración de diversos estudios como la 21.

(31) de teoría psicogenética de J. Piaget (1967), la teoría del aprendizaje socio cultural de Lev Vigotsky (1934) y teorías emergentes durante la década de los sesenta como la de A . Bandura (1959), acerca del carácter socio cognitivo del aprendizaje.. Según García (2010), esencialmente, el Constructivismo promueve el aprendizaje de manera gradual, de modo que el estudiante pueda ir renovando sus esquemas de conocimiento a través de todos los niveles de estudio por los que deba pasar durante su formación académica, currículo en espiral, según cita de Hernández, H . ( 1 9 9 Í ) .. Inspirada de manera muy cercana en el punto de vista del aprendizaje socio cultural de Vigotsky, el Constructivismo, propone que el docente debe ser el que proporcione ayuda durante todo el proceso de enseñanza/aprendizaje, asesorando a los alumnos sobre cómo aprender determinado tema, en vez de ocupar un papel de mero transmisor de información o el alumno ocupando u papel de mero receptor; contrario a ello, Bruner indica que el alumno debe involucrarse y ser motivado a hacerlo para que la construcción de su visión de las cosas pueda ser llevada a cabo de manera adecuada.. Para incluir el importante concepto de aprendizaje sociocultural, Bruner recomienda que, dentro del proceso de formación de los alumnos en los recintos académicos, los docentes deben impulsar el desarrollo de la construcción grupal del conocimiento. Particularmente esta idea ha tomado gran impulso en la actualidad con el advenimiento de la educación a distancia (Stahl y colaboradores,. 22.

(32) 2006), en donde no se espera dejar solo al alumno frente a una máquina, sino que se sienta animado por su grupo de trabajo.. García (2010), indica que los cuatro conceptos clave del constructivismo son:. 1) Estructura. Los individuos forman estructuras de conocimiento, los cuales evolucionan de acuerdo a la experiencia que se vaya adquiriendo, renovándose a través de la asimilación y la acomodación de la cual hablaba Piaget.. 2) . Disposición.. Nada se puede aprender si no se está interesado en invertir. tiempo en lograrlo. Según Bruner, los individuos prácticamente pueden aprender cualquier cosa en cualquier etapa de su vida (Hernández, H ; 1991), sólo se debe buscar el mecanismo instruccional para que esto pueda ser posible. En particular, él desarrolló el concepto de currículo en espiral, con el cual creía que podía alcanzarse cualquier objetivo de aprendizaje.. 3) Pensamiento intuitivo y analítico. L a intuición la entiende Bruner como un estadio temprano del conocimiento; desde ese punto de vista, dentro del curriculum en espiral, los docentes deben buscar la plausibilidad como medio explicativo, cuando se considere que aún no están preparados para la demostración rigorista o formal, avanzando paulatinamente hasta llegar a este último estadio.. 23.

(33) 4) La motivación. Para que el aprendizaje ocurra de manera efectiva, se necesita que el alumno esté motivado, preferentemente no de manera artificial a través de premios y castigos impuestos de manera extrínseca, sino de manera auténtica movido por sus propios intereses.. Ausubel (2002), considerado como el segundo autor más importante dentro del Constructivismo (Hernández, H;1991), da especial importancia al habla, la lectura y la escritura; además de proponer otras formas de aprendizaje, tales como la expositiva, en donde se impulsa lo verbal, a diferencia del método por descubrimiento, en donde lo más relevante es el uso de la transferencia.. Ausubel es uno de los creadores de los organizadores avanzados como uno de las estrategias para el impulso del aprendizaje significativo, y mediante los cuales los alumnos renuevan sus esquemas de aprendizaje desde su propia visión. Esto último dio nacimiento al concepto de organizador previo, con el cual los alumnos clarifican la relación entre su antiguo conocimiento y el nuevo (García, 2010).. 2.3. La tecnología como medio de aprendizaje en. Matemáticas.. Las investigaciones de las aplicaciones de la computadora como medio de apoyo para la enseñanza/aprendizaje casi marchan en paralelo con los avances dentro de la teoría del aprendizaje. Es precisamente un estudioso de la conducta y el aprendizaje humanos, B . F Skinner, quien realizó en 1958 los primeros experimentos con una máquina de enseñanza (Valero, 2011), la cual era una. 24.

(34) caja de madera dotada.de un mecanismo que permitía que una persona fuera estudiando en forma progresiva un tema de interés.. Mediante dicho mecanismo era posible enseñar a las personas determinados temas, proporcionándole información de manera dosificada, y siempre en un orden de dificultad de mayor a menor, y cuando el estudiante encontraba dificultades para seguir adelante, se le proporcionaba retroalimentación . A ese tipo de instrucción se le denominó enseñanza programada.. Las investigaciones de Skinner representaron una fuente de inspiración para otros investigadores dentro del campo educativo mediado con tecnología. Por ejemplo, Fidalgo (2011), menciona que Norman Crowder, en 1959 ideó un mecanismo muy semejante a un simulador para instruir a los pilotos de avión basándose en los tipos de error que cometían al contestar determinadas preguntas. Por ello, a la metodología de Crowder se le llama "enseñanza programada ramificada" porque, a diferencia del proceso lineal de la metodología de Skinner (basada en un orden jerárquico de dificultad), su mecanismo brindaba retroalimentación, ramificándose según las respuestas de los estudiantes.. E l problema con la enseñanza programada o la ramificada, es que el sistema deben conocer a priori todas las posibilidades de error en las cuales puede incurrir un aprendiz. Sin embargo, esta condición no se cumple para todas las situaciones de aprendizaje, como es el caso del aprendizaje de la demostración lógico-matemática dentro de una teoría axiomática, porque, ¿Cómo. 25.

(35) saber qué decisiones tomará el aprendiz al momento de realizar una demostración?. En este último sentido, Hernández (1991), indica que el Conductismo no puede ayudar a la comprensión de este tipo de fenómenos de aprendizaje, porque la idea de estímulo-respuesta está limitada a desarrollar aprendizajes repetitivos, destrezas psicomotrices, hábitos automatizados, uso de fórmulas, etc., pero no para ayudar a comprender cómo sucede el fenómeno de aprendizajes de tipo simbólico, como los referentes a las teorías axiomáticas de la matemática, en donde el alumno no debe jugar el papel de ejecutor de procesos, sino de interpretador de conceptos ( Santos, 2007).. ¿Es posible que un programa informático pueda ayudar al aprendizaje de conceptos, hablando en términos del Cognitivismo? .Según Orton (1990), Davis, en 1967 propuso resolver el problema de la enseñanza de procesos no algoritmizables, tales como la realización de demostraciones matemáticas, introduciendo el concepto de Aprendizaje por descubrimiento, idea debida a Jerome Bruner, quien la planteó junto con su grupo de colaboradores en 1956, y que originalmente consistía en enseñar a los alumnos mediante "preguntas desconcertantes, situaciones confusas o problemas interesantes" (Woolfolk, 2006, p. 281).. Por ejemplo, si se diseñan un conjunto de actividades en base a regletas para que los niños aprendan o se familiaricen con el concepto de suma, en este. 26.

(36) paradigma de enseñanza, se tiene la idea de que tarde o temprano el niño descubrirá qué significa "sumar 2+3" (Ver Fig. 1).. A este tipo de aprendizaje a través del descubrimiento, también se le llama método heurístico de aprendizaje. L a palabra "heurístico" se deriva de la palabra "eureka", cuyo significado en griego es precisamente "descubrimiento" (Wikipedia,2011).. En términos del aprendizaje con ayuda del computador, el aprendizaje heurístico significa que el estudiante aprende dentro de un ambiente digitalizado, lo cual le permite el descubrimiento mediante la exploración de las propiedades del sistema asociadas al tema de aprendizaje.. Esta idea ha sido aprovechada especialmente para diseñar ambientes de aprendizaje que ayuden a los estudiantes a aprender temas abstractos como la geometría o el álgebra moderna (abstracta). Por ejemplo, Thomas Dwyer en 1980 formuló un proyecto de investigación educativa llamado Solo Works, con el cual se pretendía promover el autoaprendizaje; es decir, que el alumno aprendiera por sí mismo: "solo"; adquiriendo experiencia inicial o familiaridad con el tema de estudio con la guía del docente, quien debe planear cuidadosamente preguntas que lleven al alumno a intuir las propiedades que sea de interés que aprenda (Dwyer, 1980).. 27.

(37) Dwyer, en un interesante artículo escrito en 1980, precisa sus ideas con las palabras siguientes:. Una estrategia heurística supone que existen muchos procedimientos disponibles para lograr algo; su función es a veces insinuar nuevos caminos, y a veces volver atrás en el camino ya andado(.. .)Los dispositivos heurísticos no le dicen a uno qué debe hacer, sino cómo aprender lo que uno cree que debe hacer (p.215).-el subrayado es nuestro-. E l método heurístico al que se refiere Dwyer es un procedimiento de aprendizaje usual eri las ciencias formales como las matemáticas para resolver problemas, plantear modelos o realizar demostraciones (Michalewicz, Z ; & Fogel, D., 2004; Polya, G., 1946; Guzmán, 1985).. Así, por ejemplo, los matemáticos tradicionalmente han utilizado la interacción directa con los alumnos (asesorías, discusiones, etc.) o con materiales de estudio (libros, artículos, etc.) para enseñarles temas complejos como el concepto de demostración lógica. Nótese en la enseñanza heurística la presencia constante de un guía que permite a los aprendices la inmersión inicial dentro de un tema de su interés.. Pablo (1992), afirma que Seymour Papert, fue uno de los primeros científicos en pensar sobre la idea de generar ambientes artificiales generados mediante la computadora para familiarizar a estudiantes con temas complejos, proponiendo en 1981 un ambiente informatizado de aprendizaje de la geometría plana llamado L O G O . 28.

(38) Entre 1983 y 1986, un grupo de científicos de la educación encabezado por G . Stahl, ideó un nuevo paradigma en la enseñanza con computador en combinación con trabajo colaborativo al cual llamaron Aprendizaje Colaborativo Apoyada por Computadora (CSCL: Computer Supported-Collaborative Learning) (Stahl, Koschmann & Suthers, 2006).. Stahl et al. (2006), indican:. C S C L fomenta la colaboración entre los estudiantes, así que ellos no simplemente reaccionan aisladamente a un conjunto de materiales que se han seleccionado. E l aprendizaje se lleva a cabo en espacios donde haya una alta interacción entre los estudiantes E l aprendizaje en los estudiantes se da a través de la formulación de preguntas, del planteamiento de actividades conjuntas, de enseñar a los demás y de observar cómo los demás estudiantes aprenden.. Como puede notarse, C S C L es considerada una metodología, de hecho un paradigma de enseñanza, en la cual el individuo es visualizado como un aprendiz que basa el aumento de su conocimiento acerca de un tema, utilizando las capacidades de comprensión de él mismo, o de otros individuos, además de aprovechar la ayuda que le puedan brindar herramientas informáticas para la exploración a profundidad del tema.. Sin embargo, se reconoce que el problema de estimular o motivar al estudiante a involucrarse en un proceso de aprendizaje como el propuesto es uno de los problemas más arduos que aún espera ser investigado de manera intensiva 29.

(39) en diversos contextos, (Stahl et al, ibíd.), y el cual tal vez esté relacionado con el establecimiento de principios que expliquen cómo se genera el conocimiento dentro de un ambiente de trabajo colaborativo apoyado en herramientas como la tecnología informática o de comunicaciones (Costaguta, 2006; Guzmán, 1986).. Litz (2007) en una disertación doctoral sobre los espacios de estudio, sugiere, por ejemplo, que el trabajo colaborativo debe ser continuo, ser llevado más allá del aula o de la convergencia grupal; eso requiere del uso de tecnologías para la colaboración con retroalimentación inmediata.. Sin embargo, Litz señala que:. Por supuesto, no todos los problemas pueden estar en un área de interés de cada estudiante. Un estudiante puede tener una pasión por la ciencia, otro para la lectura, dibujo, deportes o música. Haciendo que los estudiantes trabajen sobre problemas estimulantes que han sido diseñados y apoyados para optimizar las posibilidades de éxito de la construcción del conocimiento, las actividades educativas puede conducir a un mayor interés y compromiso (p. 25).. Es decir, tal vez se suponga demasiado cuando se indica que, trabajando <». colaborativamente y con apoyo de computadores, los alumnos mejorarán su compresión de los conceptos y procesos en matemáticas, por ejemplo. De esta manera, C S C L no pretende ser una simple conjunción de teorías de aprendizaje con tecnología; constituye en sí misma una nueva filosofía de. 30.

(40) trabajo para promover el entendimiento de temas complejos (Stahl et al., 2006), en la implementación, se debe seguir la definición de trabajo colaborativo, como una forma de trabajar en equipo para la consecución algún objetivo, el cual puede ser aprender algo, resolver un problema, entender un tema o proceso, etc. "Aprender (en colaboración) es un proceso dialéctico y dialógico en el que un individuo contrasta su punto de vista personal con el de otro hasta llegar a un acuerdo" (Zañartu, 2011).. Por ello, no se debe confundir el trabajo colaborativo con el trabajo cooperativo, el cual esencialmente consiste en repartir el trabajo y después conjuntarlo ( Dillenbourg, P;&Schneider, D ; 1996); mientras el trabajo cooperativo requiere de una alta estructuración por parte del docente y los alumnos, el trabajo colaborativo se empeña en dejar al alumno que por sí mismo se auto-organice con la finalidad de procurar su independencia; es un tipo de trabajo en donde todos intervienen a fin de comprender un hecho, por lo cual el liderazgo no es importante (Zañartu, 2011).. En lo que respecta al problema que trata la presente investigación, que es lograr que los alumnos entiendan el concepto de demostración matemática, no es un problema que requiera una organización altamente estructurada como la del trabajo cooperativo; no se trata de que entreguen un reporte conjunto de algo, o un proyecto en donde cada quien deba realizar una parte del mismo, sino que los alumnos discutan el sentido o significados de conceptos, procesos, reglas y símbolos, apoyados en el software propuesto.. 31.

(41) En una dinámica de trabajo colaborativo se necesita que los alumnos se involucren, de manera voluntaria, en un proceso de preguntas y respuestas, guiados por el docente, lo cual les permita ir adquiriendo una mayor comprensión de los conceptos, procesos y significado de símbolos propios de la teoría matemática que tratan de entender, así como del manejo o utilización del material de apoyo que el docente haya elegido para tal fin (Crook, 1994).. Siendo una teoría con base en el Constructivismo, C S C L recomienda el aprendizaje tutorado, en donde el guía principal es el docente, quien además se encarga de diseñar el ambiente adecuado, a base de materiales de aprendizaje, selecciona y adapta software computacional relacionado al tema de aprendizaje, sugiere herramientas comunicativas, e implementa dinámicas grupales que permitan que los alumnos adquieran determinado grado de familiaridad y experiencia en el manejo del proceso demostrativo (Crook, 1994; Slavin, 1996; Onrubia, J; Colomina, R. & Engel, A . , 1998).. Slavin (1996), opina que deben considerarse cuatro elementos como necesarios para que el aprendizaje efectivo pueda darse dentro de cualquier modelo de enseñanza (Modelo C A I T : Calidad-Adecuación-Incentivo-Tiempo):. 1. Calidad de la instrucción. Se refiere al modo en el cual se presenta la información a los alumnos, de modo que les resulte sencillo aprehenderla. 2. Niveles apropiados de instrucción. E l docente debe asegurarse de tener una apreciación acerca del dominio de los prerrequisitos que. 32.

(42) para abordar un tema tenga un grupo, a fin de que pueda encausar el curso con el nivel adecuado. Para Díaz Barriga (2002), esto incluye verificar el desarrollo cognitivo de los alumnos. 3. Incentivo: E l docente debe asegurarse de motivar adecuadamente al grupo sobre un tema antes de proceder a su desarrollo. 4. Los estudiantes deben contar con el tiempo suficiente para asegurar el dominio de un tema.. Estas reglas, en apariencias sencillas de enunciar, han sido objeto de numerosos estudios con el fin de lograr su inclusión dentro de las metodologías de enseñanza/aprendizaje, particularmente dentro de C S C L .. 2.4. Software de apoyo en el proceso de enseñanza/aprendizaje concepto de demostración. del. matemática en el álgebra de Boole.. Para Arnold (1962) el álgebra booleana es una teoría matemática que describe las propiedades del conjunto A - {1,0}, cuando se le dotan de dos operaciones binarias llamadas suma booleana y multiplicación booleana, además de una operación unaria llamada complemento o negación (-•), respectivamente, definidas de acuerdo a las tablas:. 33.

(43) Tabla /.Definición de las operaciones booleanas A. B. A+B. AB. Á. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. Según Boshénsky (1967), el desarrollo de este tipo de teorías matemáticas, ha sido de importancia fundamental para la concepción de tecnologías como el ordenador. E l álgebra booleana fue desarrollada por George Boole en 1854 en su libro An investigation on the Laws ofThough (Investigación sobre las leyes del pensamiento).. Posteriormente en 1930, Claude Shannon populariza este tipo de álgebra en una tesis sobre análisis de circuitos y relés. Finalmente, fue Maurice Karnaugh, quien en 1953 propone un método para simplificar circuitos de manera óptima (Wikipedia, 2011), la cual se convirtió rápidamente en una poderosa herramienta entre diseñadores de circuitos y expertos en lógica digital durante la década de los cincuenta.. De este modo, actualmente en los centros académicos, en donde se impartan carreras relacionadas con la computación o la electrónica, se considera importante que los alumnos estudien el tema del álgebra booleana.. 34.

(44) Para Mano (1982), Cuesta (1992) y Veerarajan (2007), los axiomas para la teoría de Boole, son cuatro; es decir las operaciones suma y multiplicación definidas antes, tienen las siguientes propiedades para los elementos del conjunto. A = {1,0}. 1. Conmutatividad: E l orden de la disposición de los elementos en las operaciones, no altera el resultado.. a) p + q = q + p b) p»q = q*p. 2. Distributividad. A l multiplicar un número por una suma, o al sumar un número a un producto, se obtiene:. a) p(q + r) = pq + pr b) p + qr = (p + q)(p + r) 3. Existencia de Elementos Neutros: E l 1 es el neutro para la multiplicación; el 0 es el neutro para la suma (ambos son únicos), eso significa que si p es un elemento del conjunto de Boole, entonces:. d)p + 0 = p b)p»\. =p. 4. Existencia de elementos inversos: Dado un elemento p en el conjunto de Boole, existe su respectivo inverso, el cual se denota con el símbolo p, y cuyas propiedades fundamentales, son:. 35.

(45) En base a estos axiomas, se deben demostrar otras seis propiedades, llamadas básicas, con las cuales los estudiantes deben trabajar para establecer nuevos teoremas acerca de la teoría, las cuales les serán de utilidad en el diseño de los circuitos que utilicen en sus artefactos electrónicos. Tales propiedades son:. 5. Idempotencia.. d)pp = p b)p + p = p. 6. Doble negación, p - p. 7. Propiedades de Morgan.. 8. Dominación.. a)p + \ = \ 6)p»0 = 0 9. Absorción.. a) p + pq = p b) p(p + q) = p. 36.

(46) Los problemas a los cuales se enfrentan los alumnos en esta parte de la asignatura de Matemáticas Discretas, son de tipo de demostración lógica.. Por ejemplo, considérese el siguiente problema, el cual tiene que ver con la concepción de un circuito que se activa en forma disyuntiva, según se cumpla o no alguna de las condiciones p ó q:. Demuestre, usando las reglas del álgebra booleana que pq+pq + pq = p + q. Para resolver un problema como el planteado, los alumnos, deben exhibir un proceso argumentativo como el siguiente:. + PQ + PQ - P +1 2) p(q + q) + pq 3) p(\) + pq 4)p + pq. .dada. .distribición,asociación. inverso aditivo. neutro multiplicativo.. 5) (p + p)(p + q). .distribución.. 6) \(p + q). inverso aditivo.. 7)p + q. neutro multiplicativo.. Con este tipo de ejercicios, se espera que los alumnos se habitúen al uso y significado de las reglas. Es en este momento en el cual el software como KarnaughMap o Workbench es introducido como un medio de ayuda para los alumnos, sirviendo ya sea como un medio que ayuda a obtener respuestas automáticas que deben ser comprobadas, o bien una herramienta que permite decidir si un paso es equivalente o se desprende de uno previo.. 37.

(47) Posteriormente, una vez que se ha detectado un nivel suficiente en el entendimiento y manejo de las reglas booleanas por parte de los alumnos, se les insinúa métodos alternativos que usan esquemas de agrupación de términos con términos o variables compartidas, tal como sucede con el método de "Mapas de Karnaugh", el cual emplea un método de agrupación de términos factorizables, definido por un esquema matricial (Mano, 1982).. Por ejemplo, para el problema plantado antes, su mapa de Karnaugh, es como el que se muestra en la Fig. 2:. Figura 2.Tabla de Karnaugh para el problema propuesto (Elaboración propia) Los 1 's en dicho diagrama, significa que existen tres términos en la expresión pq + pq + pq • De modo que en base a esto, la fórmula queda expresada así: 10+11+01, esos tres objetos se contabilizan en dicha tabla, como lo muestran las flechas de la figura 2.. L a regla de Karnaugh, indica que (Mano, 1982), con la finalidad de obtener un modelo simplificado de la fórmula pq+pq + pq, deben agruparse los. 38.

(48) unos en conjuntos de 1, 2,4, 8,16,..., de manera que haya un número mínimo de grupos.. E l problema de optimización de un circuito según la definición de Karnaugh, es un problema algorítmico, y puede ser tratado en forma secuencial mediante una serie específica de pasos., incluso existe un modo esquemático de hacerlo, como ya se ha mostrado en los párrafos anteriores. Por ello, no sorprende que existan programas informáticos como KarnaughMap o Workbench que deduzcan la respuesta de manera automática, los cuales pueden ser adaptados al proceso de enseñanza y de aprendizaje del mismo, con el fin de que el estudiante explore diversos problemas que lo lleven al entendimiento de dicho método.. En el área de desarrollo óptimo de circuitos, se tienen varios programas, dos de los cuales podrían ser Workbench y KarnaughMap. Según la compañía National Multisim, la cual fabrica el programa informático Workbench, este es un programa para el diseño y la simulación de circuitos (NI Multisim, 2010); señala además que, como herramienta para la enseñanza/aprendizaje, el producto cuenta con las características siguientes:. •. Potentes herramientas para enseñar la teoría de circuitos.. •. Exploración del concepto de circuito y análisis de su comportamiento.. •. Generación de simulaciones de circuitos en tiempo real.. •. Protoboard innovadoras de tipo virtual en 3D.. •. Laboratorio virtual con disponibilidad de 4.000 componentes para el diseño de circuitería.. 39.

(49) L a compañía N I señala muy insistentemente en la ventaja de su programa como medio para la enseñanza, el cual ayuda a superar los obstáculos tradicionales en la enseñanza de la electrónica.. En la Figura 3, se observa la ventana en donde se ha resuelto el problema planteado antes en el programa Workbench, seleccionando los iconos adecuados e introduciendo la fórmula del problema. Además, el programa ha generado el diagrama del circuito asociado con la fórmula booleana introducida, tanto en su forma natural, como en su forma simplificada.. Figura 3.Sesión en el programa Workbench (Elaboración propia). Sin embargo, los estudiantes preguntarán si esto coincide con los cálculos que arroja el método de Karnaugh. Para contestar dicha interrogante, ellos pueden utilizar otro programa llamado KarnaughMap, cuya respuesta se muestra en la figura 4.. 40.

(50) Figura 4. Sesión en KarnaughMap (Elaboración propia). Tanto KarnaughMap, como Workbench, realizan automáticamente la simplificación de una fórmula; la diferencia entre ellos es que Workbench, además tiene la capacidad de simular las características físicas del circuito y de representarlo en forma de grafo (esquema) o gráfico (tableta con circuitería).. Por otro lado, KarnaughMap usa el algoritmo de Karnaugh en forma directa; mientras que Workbench usa el algoritmo de Quine-Maccluskey, por lo cual, si el objetivo es enseñar el algoritmo de Karnaugh, KarnaughMap es el ideal; si lo que se desea es visualizar al circuito representado por la fórmula booleana, lo ideal es usar Workbench. En este sentido, ambos programas son complementarios.. 41.

(51) 2.5. Resultados de la investigación contemporánea de la implementación. sobre la. problemática. de CSCL. A l principio de este trabajo ya se había esbozado la posibilidad de que el trabajo mediante dinámicas de colaboración y uso de medios informáticos no era una simple implementación sin más en el aula, o dentro de un contexto determinado (Stahl et al., 2006). Por el contrario, se pueden identificar varias fuentes que influyen de manera contraria sobre los objetivos del trabajo bajo la metodología C S C L al emplearla en la enseñanza de las matemáticas abstractas.. A l respecto, Gómez (2002), afirma que, para llevar a cabo un estudio acerca de la eficacia de una metodología de enseñanza/aprendizaje, el trinomio alumno-docente-saber matemático, debería ser considerado como una compleja red la cual comprende dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas.. Dwyer (1980), comenta con las siguientes palabras el papel del docente con el alumno dentro de la enseñanza a base de programas informáticos:. E l instructor sabe cómo aterrizar un avión, en el sentido de que él puede hacerlo; también puede teorizar sobre cómo se hace. Pero nunca tendrá una idea clara de la manera en que el estudiante internaliza esa información.. Por tanto, la tarea principal del instructor no es decirle al. estudiante cómo aterrizar el aparato, sino ayudarlo a construir su propio modelo del proceso, (p. 216). 42.

(52) Y continúa, páginas adelante:. L a educación, tal como la hemos entendido, funciona mejor en un ambiente rico y placentero. Aprendizaje y juego van de la mano. Los objetos reales (artefactos simples o sofisticados) pueden ilustrar con claridad ideas complejas, si se usan adecuadamente, (p. 218).. Por su parte, Stahl y colaboradores (2006), quienes son los precursores del C S C L , indican:. (En C S C L ) el profesor no solamente debe preparar el material docente y dejarlo disponible para su uso en el computador, sino que debe motivar y guiar a cada estudiante, a través de mecanismos de interacción y participación dando la sensación de estar presentes en el aula de clase (...) Lograr estimular a que los estudiantes interactúen de forma efectiva no es algo fácil de lograr, se requiere una planeación detallada, una coordinación e implementación de un currículo, que integren pedagogía y tecnología.. Desde el punto de vista de estas recomendaciones, el docente que imparta temas como el álgebra de Boole, apoyado en medios tecnológicos, está frente a dos problemas principales:. 43.

(53) •. Enseñar a los alumnos a emplear y entender las reglas booleanas, lo cual corresponde a desarrollarles sus capacidades mentales correspondientes al proceso de demostración simbólica de un resultado lógico-matemático.. •. Se debe desarrollar en los alumnos la capacidad para aplicar los principios que gobiernan el uso de algoritmos como el de Karnaugh, el cual está relacionado con habilidades para diagramar procesos, manejo de algoritmos y uso de reglas especiales.. •. Familiarizar a los estudiantes en el uso de los programas informáticos con el fin de que puedan auxiliarse de esas herramientas para que efectúen una inmersión a fondo dentro del tema que les interesa aprender; evitar que visualicen a dicho software como medio para obtener respuestas rápidas, pero en el fondo incomprensible. Los docentes deben monitorear el proceso de aprendizaje con las herramientas de cálculo o de diseño automáticos, a fin de actuar como "correctores" en el proceso de aprendizaje de los alumnos mediante esas herramientas (Stahl et al.,2006) Respecto del software del que se ocupa este trabajo, existen varias razones. por las cuales los alumnos no están exentos de tener que manejar la teoría básica que sirve de base a dichos programas. Por ejemplo,. •. Se puede leer en las instrucciones de KarnaughMap que solamente procesa problemas con tres a cinco variables. Pero antes se ha tratado un problema de dos variables solamente, ¿Cómo ha sido que el programa ha resuelto el problema de dos variables? L o que sucede es que se pueden convertir problemas de dos variables a problemas de tres, haciendo uso de la regla del inverso aditivo:. p + p = l.. De manera que una expresión como A B , se transforma en una expresión de tres variables, siguiendo el proceso siguiente: 44.

(54) Lo cual resulta de una aplicación de la regla distributiva.. •. Actualmente está muy en boga el uso de software libre o de código abierto (también llamados recursos abiertos: R E A ) , o bien el uso de programas en desarrollo que son puestos a prueba en Internet, y que los estudiantes adoptan sin mucho cuidado. KarnaughMap es uno de estos casos. Por ejemplo, en la fig. 5, se puede leer el siguiente diálogo en la página de su desarrollador original. Los alumnos que son usuarios de software libre, de código abierto o de programas a prueba, deben ser conscientes de ello, y estar alertas. De otro modo podrían llevarse sorpresas desagradables al terminar sus diseños, como por ejemplo, que no respondan haciendo aquello para lo cual fueron planeados.. figura 5. Un informe de errores al autor de KarnaughMap (Tomado del sitio web del autor de KarnaughMap) Este tipo de problemas es una constante en el uso de software no comercial, o comercial en prueba. De hecho, los autores ponen a disposición del público sus programas para ayudarse a capturar errores en la programación de los mismos; es decir, esperan justamente que las personas que utilizan a los mismos, 45.

(55) estén capacitados para ayudarles a determinar dichas fallas, por lo cual se debe tener cuidado al usar tales programas; y es una obligación del docente informar al alumno al respecto de tomar tales precauciones.. Por otro lado, ha sido planteado que el uso de software en el proceso de enseñanza/aprendizaje del álgebra booleana está relacionado con el enfoque que tengan los mismos hacia el desarrollo de los procesos de pensamiento en los alumnos y no solamente como medios de cálculo automático.. Se ha enfatizado que los alumnos deben ser capacitados para que aprendan a "dialogar" con el software, y sacarle provecho en beneficio de su comprensión de la teoría. Conseguir tales objetivos corresponde a un proceso de planeación de actividades y de seguimiento del desarrollo de las habilidades de pensamiento que han conseguido los alumnos al respecto.. Tanto el proceso de diseño de actividades como el de seguimiento del objetivo del aprendizaje, deben estar basados en la teoría del Diseño Instruccional (García Aretio, 2001), y en la taxonomía de objetivos de aprendizaje, con el fin de definir el proceso de evaluación objetiva de las mismas.. E l monitoreo objetivo de los avances que han logrado los alumnos en su aprendizaje del Álgebra Booleana, puede implementarse enganchando varios aspectos:. 1. E l diseño de actividades bajo la metodología del Diseño Instruccional (García Aretio, 2001).. 46.