Tarea1U1 TorresDayra3E

(1)

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de La Paz

Departamento de ingenierías Ingeniería Bioquímica

Unidad I

Introducción y definiciones

Materia:

Ecuaciones Diferenciales I Alumno:

Torres Quintero Dayra America Docente:

Julio Alberto Deolarte Azcarate

Grado y Grupo:

3°E

[21310627], [[email protected]]

Fecha de entrega

21 de septiembre de 2022

(2)

ÍN D IC E

GENERAL

Ecuaciones diferenciales Clasificación de las EC.

Solución de una EC.

Diferencia entre la gráfica de la solución y la gráfica de la

función.

Solución explicita y solución implícita.

Familia de soluciones.

Problema de valores iniciales (PVI) de n-ésimo orden.

Teorema de Existencia y

unicidad para el Problema de valores iniciales (PVI) de primer orden.

Introducción y definiciones

Ejercicios de las secciones 1.1 y 1.2 del libro Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Dennis G. Zill, 7a edición.

1 2 3 4 5

5

6 7 9 11

11

16 SOLUCIÓN DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Que es una ecuación de variables separables.

1- Sección 2.2

D E P A R T A M E N T O D E I N G E N I E R I A B I O Q U Í M I C A

U N I D A D 1 E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S

(3)

Que es una ecuación diferencial Lineal de primer orden.

Ejercicios resueltos de la sección 2.3 problemas 4, 9,16, 22, 26, 29,39, 53

Graficas.

2-Sección 2.3

Ejercicios resueltos de la sección 2.2 problemas 2, 7, 13,16, 23, 26.

· Graficas.

17 21

23

25 29

30

32 38 39

41 44

45

47 53 54 55

Que es una EC. exacta

Ejercicios resueltos de la sección 2.4 problemas 9,10, 22, 33,36 y 45.

Graficas.

3- Sección 2.4

E.D. Homogénea de grado n

Ejercicios resuelto de la sección 2.5 problemas 6, 8, 13.

Graficas.

4- Sección 2.5 primera parte

Que es ecuación diferencial de Bernoulli Ejercicios resueltos de la sección

problemas 18, 22 y 37 o 38.

Graficas.

5- Sección 2.5 segunda parte

Bibliografías Conclusiones

(4)

Unidad 1 ecuaciones diferenciales Parte 1. Introducción y definiciones.

Parte 1. Introducción y definiciones

1.- Investigue al menos dos definiciones para una ecuación diferencial y mencione dos problemas de ingeniería de donde se apliquen las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos.

Una ecuación diferencial es aquella en la que aparece una función desconocida y una o más de sus derivadas. Cuando la función desconocida depende de dos o más variables, entonces las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial serán derivadas parciales, y en este caso diremos que se trata de una ecuación en derivadas parciales

Ejemplo:

a) Crecimiento demográfico: la tasa de crecimiento de la población de un país varia de forma proporcional a la población total.

𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝐾𝑃

b) Ley de Newton del enfriamiento: la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea.

𝑑𝑇

𝑑𝑡 = 𝐾(𝑇 − 𝑇) (𝑇 > 𝑇

_𝑚

𝐾 < 𝑂)

2.- Investigue como se clasifican las ecuaciones diferenciales por tipo, por orden y por linealidad. Dé ejemplos.

Clasificación según tipo Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

1. Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:

son ecuaciones diferenciales ordinarias

2. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo

(5)

Clasificación según orden

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

Clasificación según linealidad: Se dice que una ecuación diferencial como la siguiente

es lineal si F es lineal en 𝓍, 𝓎, 𝓎¹… , 𝓎⁽¹⁾ Esto quiere decir que una ecuación diferencial ordinaria, de orden n es lineal cuando la ecuación

En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, el exponente de todo término donde aparece y es 1.

b) Cada coeficiencia sólo depende de x, que es la variable independiente.

Las ecuaciones. son, a su vez ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden.

c) Una ecuación diferencial ordinaria, no lineal simplemente es aquella que no es lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas como por ejemplo sen(𝓎) o ℯ 𝓎¹ 0 no pueden aparecer en una ecuación lineal. Por consiguiente,

(6)

son ecuaciones diferenciales no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente.

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que no es lineal.

Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas tales como sen y o 𝑒^𝑦′, no pueden aparecer en una ecuación lineal.

3.- Defina qué entendemos por solución de una ecuación diferencial y su intervalo de definición.

Una solución de una ecuación diferencial es una función que, al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.

Solución general

Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de 𝓎(𝓍) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

1. Solución particular: Si fijando cualquier punto 𝓅(𝑥₀, 𝓎₀) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto 𝓅(𝓍₀, 𝓎₀) , que recibe el nombre de condición inicial.

2. Solución particular Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

1. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Solución singular Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general

(7)

El intervalo de solución 𝛿 también es conocido como intervalo de

definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (𝒶, 𝒷) un intervalo cerrado [𝒶, 𝒷], un intervalo infinito (𝒶,∞), etcétera.

Definición: Si la función ℱ(𝓍) = 0 es solución de una ecuación diferencial y un intervalo 𝛿, decidimos que ℱ es la solución trivial.

Ejemplo: Verificar que la función.

es solución de la ecuación diferencial

Solución: Consideremos la función 𝑦 = ¹

𝑥 para toda 𝓍 ≠ 0. La derivada de esta función es

para toda 𝓍 ≠ 0. Sustituyamos estas funciones en la ecuación diferencial y

verifiquemos que se satisface la

igualdad.

Como hemos recuperado la ecuación diferencial decimos que en efecto 𝓎 =

1

𝑥 es solución. Observemos que la solución no está definida para 𝓍 = 0, sin

embargo, al ser solución significa que es una función definida en un intervalo 𝛿 en el que es derivable y satisface la ecuación, esto indica que 𝓎 es solución

en cualquier intervalo que no contenga al 0.

Como observación notemos que la función ℱ(𝓍) = 𝓎 = 0 y la derivada correspondiente ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 , también satisfacen la misma ecuación diferencial, entonces decimos que dicha ecuación diferencial tiene solución trivial.

Tanto la función 𝓎¹

𝑥, como la función constante 𝓎 = 0, son solución de la misma ecuación diferencial, ¡esto significa que una ecuación diferencial puede tener más de una solución!

(8)

4.- Explique la diferencia entre la gráfica de la solución y la gráfica de la función solución de una ecuación diferencial.

La diferencia entre la gráfica de la solución y la gráfica de la función se da en que el dominio de la función Φ no necesita ser igual al intervalo de definición I (o dominio) de la solución Φ. Gráficamente en la función y=1/x es discontinua a 0, por lo que jamás va a cruzar el 0, pero y=1/x también es una solución de ecuaciones diferencial lineal de primer orden xy` + y =0, significa que es una

función definida en un intervalo I en el que es

derivable y satisface la ecuación. Por lo que x tomara cualquier número real que no contenga 0 por lo que gráficamente ira de (-∞,0) o (0, ∞).

Un sistema de ecuaciones con una ecuación lineal y otra cuadrática tiene la forma:

y su solución representa la intersección entre la ecuación lineal correspondiente a una recta y la ecuación cuadrática correspondiente a una cónica.

En esta lección, trataremos el caso, cuando 𝒷 = 𝒸 = 0, es decir, representaremos gráficamente el sistema:

5.- Explique a que llamamos solución explicita y solución implícita de una ecuación diferencial

Al estudiar cálculo uno se familiariza con los términos

funciones explícitas e implícitas. Como algunos métodos de solución de ecuaciones diferenciales pueden llevar

directamente a estas dos formas, las soluciones de las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en soluciones explícitas o implícitas. Una solución en que la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explícita. Para nuestros fines, podemos decir que una

ImplICITO

(9)

solución explícita es una fórmula explícita 𝓎 =

∅(𝓍) que podemos manipular, evaluar y diferenciar.

En la descripción inicial vimos que 𝓎 = 𝑒^𝑥² es una solución explícita de ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝓍𝓎 . En los ejemplos 1 𝑦 2, =^𝑥₁₆⁴ 𝑦 𝒴 = 𝑥𝑒^𝑥son soluciones explícitas de

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝓍𝓎, respectivamente. Obsérvese que, en los ejemplos 1 y 2, cada ecuación diferencial tiene la solución constante y = 0, −∞ < 𝓍 < ∞.

Una solución explícita de una ecuación

diferencial, que es idéntica a cero en un intervalo Z, se llama solución trivial. Una relación 𝐺(𝓍, 𝓎) = 0 es una solución implícita de una ecuación

diferencial ordinaria, como la ecuación (2), en un intervalo 1, siempre y cuando exista al menos una función ∅ que satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras

palabras, G(x, y) = 0 define implícitamente a la función ∅.

Se le llama solución explicita de una ecuación diferencial a una función que se puede escribir en la forma y = f(x), en el intervalo I.

6.- ¿A qué llamamos una familia de soluciones y qué es una solución particular?

Una solución particular de una ecuación diferencial, es la que se obtiene a través de información adicional que permita asignar valores específicos a las constantes que aparecen en la solución general. Se llama así a la información adicional que nos permite encontrar una solución particular a un problema dado.

Una ecuación diferencial tiene generalmente un número infinito de soluciones es decir una familia de soluciones con un parámetro llamado constante arbitraria C.

Se le llama solución particular a una solución de una ecuación diferencial que está libre de la elección de parámetro que utilizara.

El estudio de ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. En algunos libros una solución es algunas veces llamada integral de la ecuación y su

gráfica se llama curva integral. Cuando obtenemos una antiderivada o una integral indefinida en cálculo, usamos una sola constante c de integración. De modo similar, cuando resolvemos una ecuación diferencial de primer orden F(x, y,

Explicita

(10)

y´)= 0, normalmente obtenemos una solución que contiene una sola constante arbitraria o parámetro c. Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c) =0 de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétrica. Cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden n, F(x, y, ý, . . . , y(n) )= 0 buscamos una familia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1 , c2 , . . . , 𝑐_𝑛. Esto significa que una sola ecuación diferencial puede tener un número

infinito de soluciones correspondiendo a un número ilimitado de elecciones de los parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que está libre de la elección de parámetros se llama solución particular. Por ejemplo, la familia uniparamétrica 𝑦 = 𝑐𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 es una solución explícita de la ecuación lineal de primer orden 𝑥𝑦^′− 𝑦 = 𝑥² 𝑠𝑒𝑛 𝑥 en el intervalo (−∞, ∞).

La solución 𝑦 = −𝑥 cos 𝑥, la curva azul en la fi gura, es una solución particular correspondiente 𝑎 𝑐 = 0 . En forma similar, en el intervalo (∞, ∞), 𝑦 = 𝑐₁𝑒^𝑥+ 𝑐₂𝑥𝑒^𝑥es una familia de soluciones de dos parámetros de la ecuación lineal de segundo orden 𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 del ejemplo 1 (Compruebe). Algunas soluciones

particulares de la ecuación son la solución trivial 𝑦 = 0(𝑐₁= 𝑐₂= 0), 𝑦 = 𝑥𝑒^𝑥(𝑐₁= 0, 𝑐₂= 1), 𝑦 = 5𝑒^𝑥− 2𝑥𝑒^𝑥 (𝑐₁= 5, 𝑐₂= −2 etcétera.

7.- Defina qué es un problema de valores iniciales (PVI) de n-ésimo orden y cuál es su interpretación geométrica para el caso n=1 y n=2. Explique la diferencia entre un problema de valores iniciales y un problema de valores en la frontera.

Con frecuencia se enfrentan problemas en los que buscamos una solución 𝑦(𝑥) de una ecuación diferencial de modo que 𝑦(𝑥) satisfaga condiciones adicionales establecida, es decir, condiciones impuestas sobre la incógnita 𝑦(𝑥) o sobre sus derivadas. En esta sección analizamos uno de estos problemas denominado problema inicial.

Donde 𝑦₀𝑦₁… , 𝑦_𝑛 son constantes reales especificadas de forma arbitraria, se

denomina problema de valor inical (PVI). Los valores de 𝑦(𝑥) y de sus primeras n>1 derivada en un solo punto 𝑥₀𝑦 (𝑥₀) = 𝑦₀, 𝑦(𝑥0) = 𝑦1 … 𝑦^(𝑛−1)(𝑥0) = 𝑦_𝑛−1, se

denomina condiciones iniciales.

Problemas de valor iniciale de primero y segundo orden, el problema presentado en (1) también se denomina problema de valor inicial de n-ésimo orden. Por ejemplo:

Resolver: dy

𝑑𝑥/𝑓1𝑥, 𝑦2 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑦1𝑥₂/ / 𝑦₀ Resolver: d2𝑦

(11)

𝑑𝑥²// 𝑓1𝑥, 𝑦, 𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝑦1𝑥₂ / 𝑦₀ 1𝑥02/𝑦1

Son problemas de valores iniciales de primero y segundo orden, respectivamente.

Estos dos problemas resultan sencillos de interpretar en términos geométricos. Para (2), buscamos una solución de la ecuación diferencial sobre un intervalo I que contenga 𝑥₀ de modo que una curva de solución cuce a través del punto establecido (𝑥₀, 𝑦0).

Para (2) requerimos encontrar una solución de la ecuación diferencial cuya gráfica no sólo cruce por (𝑥₀, 𝑦₀), sino que también cruce en forma tal que la pendiente de la curva en este punto sea 𝑦₁. El término condicional inicial se deriva de los sistemas físico donde la derivable independiente es el tiempo 𝑡 y donde 𝑦(𝑡₀) = 𝑦₀𝑦 (𝑡₀= 𝑦1 representan, respectivamente, la posición y la velocidad de un objeto en algún principio, o tiempo inicial, 𝑡₀.

Resolver un problema de valor inicial de n-ésimo orden con frecuencia implica utilizar una familia de soluciones de n parámetros de la ecuación diferencial dad para encontrar n constantes especializadas, de modo que la solución particular resultante de la ecuación también “ajuste” (satisfaga) de la n condiciones iniciales.

1) Los casos n= 1 y n=2 2) Resolver ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) Sujeto a (𝑦𝑥) = 𝑦₀ 3) Resolver ^𝑑^𝑦

𝑑𝑥²= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦´) Sujeto a (𝑦𝑥₀) = 𝑦₀𝑦 (𝑥₀) = 𝑦₁

Son problemas con valores iniciales de primer y segundo orden. Para la ecuación (2) estamos buscando una solución y(x) de la ecuación diferencial y’=f (x,y). Para la ecuación (3) determinamos una solución y(x) de la ecuación diferencial y’’=f (x,y,y’) en un intervalo I que contenga a 𝑥0 de tal manera que su gráfica no solo pase por el punto (𝑥0, 𝑦0) si no que la pendiente a la curva de ese punto sea la curva de ese punto 𝑦1.

Si las condiciones suplementarias se especifican para el mismo valor de la variable independiente el problema se llama Problema de Valor Inicial (PVI). Si las

PVI de primer orden

PVI de segundo orden

(12)

condiciones suplementarias se especifican para dos valores de la variable independiente, el problema se denomina Problema de Frontera.

Ejemplo 1: Problemas de valor inicial de primer orden

Es posible verificar de forma simple que 𝑦 = 𝑐𝑒^𝑥 representa una familia de

soluciones de un parámetro para la ecuación sencilla de primer orden y=y obre el intervalo (-q,q).

8.- Investigue el Teorema de Existencia y unicidad para el Problema de valores iniciales (PVI) de primer orden.

A continuación, vamos a estudiar una ecuación diferencial surgida de un problema físico concreto.

Si se lanza un objeto hacia arriba y se ignora el efecto del aire (es decir, se supone que no hay rozamiento ni corrientes de aire que puedan ejercer alguna influencia en la marcha del objeto), la única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria. Por ello, si es a la aceleración del objeto y m su masa, la segunda ley de Newton se puede escribir así:

𝑚𝑎 = −𝑚𝑔 ⇐⇒ 𝑎 = −𝑔

Ahora, llamando v a la velocidad del objeto, la igualdad anterior puede escribirse en la forma dv dt = −g. Así pues, resolviendo esta ecuación diferencial

determinaremos la velocidad del objeto en cada instante. Por simple inspección, se ve que la ecuación tiene infinitas soluciones, y se tiene

𝑣(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑘

Hemos obtenido la solución general de la ecuación diferencial, y en ella el

parámetro k aparece como consecuencia de la integración. Si hacemos t = 0, se obtiene 𝑣(0) = 𝑘, así que el parámetro k se puede interpretar como la velocidad con que se lanza el objeto.

Obsérvese que aunque el fenómeno está descrito por la segunda ley de Newton, y en ella no figura para nada la velocidad inicial, en un problema real, al imprimir al objeto una velocidad inicial v(0) dada, estamos eligiendo de entre todas las soluciones de la ecuación diferencial, precisamente aquélla para la que el valor del parámetro k coincide con v(0).

Por ello, en todo problema real, a la ecuación diferencial que lo modeliza habrá que añadir unas condiciones complementarias que determinen concretamente el fenómeno que se estudia.

Una ecuación diferencial junto con condiciones complementarias de la función desconocida y sus derivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable

(13)

independiente, constituye lo que llamaremos un problema de valor inicial. En concreto, para una ecuación diferencial de orden n, que en su forma más general se puede escribir.

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦0 , . . . , 𝑦𝑛) ) = 0,

un problema de valor inicial es considerar, junto con dicha ecuación, n condiciones complementarias del tipo:

𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦0 (𝑥0) = 𝑦1, . . . . , 𝑦𝑛 − 1)(𝑥0) = 𝑦𝑛 − 1

Las condiciones complementarias se denominan condiciones iniciales. El término

“condiciones iniciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial 𝑡 = 0. Una solución de un problema de valor inicial es una función que satisface tanto la ecuación diferencial como todas las condiciones complementarias. Los siguientes ejemplos muestran varios problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales de primer orden:

1. El problema de valor inicial

| 𝑦0 | + | 𝑦 | = 0, 𝑦(0) = 1

no tiene solución pues la única solución de la ecuación diferencial es y = 0, y ésta no verifica la condición inicial.

2. El problema de valor inicial

𝑦0 = 2𝑥, 𝑦(0) = 1 tiene una única solución que es 𝑦 = 𝑥2 + 1. 3.

El problema de valor inicial

𝑥𝑦0 = 𝑦 − 1, 𝑦(0) = 1

tiene como soluciones y =1+ cx donde c es una constante arbitraria.

Centrándonos ya en las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, veremos que el siguiente teorema nos muestra condiciones suficientes, pero no necesarias, para que el problema de valor inicial dado por

{^𝑦_𝑦(𝑥¹^{=𝑓 (𝑥,𝑦)}

0)=𝑦0(condición inicial) tenga una única solución definida al menos en un intervalo que contiene al punto 𝑥0.

(14)

Teorema…

El teorema de existencia y unicidad establece las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación diferencial de primer orden, con condición inicial dada, tenga una solución y que además dicha solución sea la única.

El enunciado formal del teorema de existencia y unicidad es el siguiente:

“Para una ecuación diferencial y’(x) = f(x,y) con condición inicial y(a) = b, existe al menos una solución en una región rectangular del plano XY que contiene al punto (a,b), si f(x,y) es continua en dicha región. Y si la derivada

parcial de f respecto de y: g = ∂f/ ∂y es continua en esa misma región rectangular, entonces la solución es única en un entorno del del punto (a,b) contenido en la región de continuidad de f y g.”

9.- Lea las secciones 1.1 y 1.2 del libro Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Dennis G. Zill, 7a edición y realice lo siguiente:

· De los ejercicios 1.1 resuelva los problemas 3, 11, 13, 15 y 21

(15)

(16)

(17)

De los ejercicios 1.2 resuelva los problemas 1, 7 y 17

(18)

(19)

BIBLIOGRAFÍA

Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica • José Ignacio Aranda Iriarte (2007).

Apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid

Çengel, Y. A., Palm, W. J., & Ortega, S. M. S. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias. México: McGraw-Hill

http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/inde x_files/Trab ajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf

http://virtual.usalesiana.edu.bo/web/contenido/dossier/22012/1636.pdf https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-

linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-

geo/node12.html

(20)

Unidad 1 ecuaciones diferenciales Parte 2.Solución de EcuacionesDiferencialesordinarias de primerorden

Parte 2. Soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

1.- Lea la sección 2.2 del libro Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Dennis G. Zill, 7a edición y realice lo siguiente:

· Defina una ecuación de variables separables.

La ecuación es separable si f( x, y) = g(x)p(y). Es decir, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir en la forma:

𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑝(𝑦) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦 = 0

donde un término de la ecuación involucra sólo a la variable “x” y el otro a la variable “y”, la solución de la ecuación puede ser por integración, dando la solución general

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑐

donde c es el equivalente a la constante de integración. Para regresar a la ecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y así eliminar a la constante c, siendo de la siguiente manera:

𝑑 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑑 ∫ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑐 igual a

∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦 = 0

El método de variables separables consiste en separar en dos términos la ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dicha ecuación.

De los ejercicios 2.2 resuelva los problemas 2, 7, 13,16, 23, 26.

· Grafique la solución de al menos uno de los problemas a resolver

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Unidad 1 Ecuaciones diferenciales Parte 2. Gráficas y bibliografías

Grafica ejercicio 16

(26)

Graficas unidas

(27)

Bibliografías

• Zill, Dennis., & Cullen, Michael. (2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. México: CENGAGE learning.

• Bronson, Richard., & Costa, Gabriel.(2012). Ecuaciones Diferenciales serie Shaum. México: McGraw Hill.

• Espinosa, Enrique., (2012). Ecuaciones Diferenciales. México: Red Tercer Milenio.

(28)

Unidad 1 ecuaciones diferenciales Parte 2. Soluciones de Ecuaciones diferenciales en primer orden

2. Lea la lección de 2.3 del libro de ecuaciones diferenciales con problema de valores en la frontera, Dennis G. Zill, 7ª edición y realice lo siguiente:

• Defina una ecuación diferencial Lineal de primer orden.

En la primera entrada hicimos una clasificación por linealidad de las ecuaciones diferenciales. Vimos que una ecuación diferencial de n-ésimo orden es lineal si:

𝑎𝑛 (𝑥)𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛+ 𝑎_𝑛− 1(𝑥)𝑑^𝑛−1𝑦

𝑑𝑥^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎1(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑎1(𝑥)𝑦 − 𝑔(𝑥) Con las propiedades de que la variable dependiente y, así como todas sus derivadas 𝑦′, 𝑦′′, ⋯ , 𝑦(𝑛) son de primer grado y los coeficientes 𝑎0, 𝑎1, ⋯ , 𝑎𝑛, así como la función g(x) dependen a lo sumo de la variable independiente x. Una ecuación que no satisface estas propiedades es una ecuación no lineal.

Las primeras ecuaciones que estudiaremos son las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, reduciendo la ecuación a primer orden tenemos la siguiente definición.

Comencemos por resolver la ecuación diferencial homogénea para obtener la solución homogénea 𝑦ℎ(𝑥). La ecuación que queremos resolver es

𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 𝑎0 (𝑥) = 0 O bien,

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 0 De la última expresión identifiquemos que

𝑑

𝑑𝑥

(𝐼𝑛 |𝑦| = 1 𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑥

Sustituimos

𝑑

𝑑𝑥

(𝐼𝑛|𝑦|) = −𝑝 (𝑥)

Integramos ambo lados de la ecuación con respecto a la variable x.

∫ 𝑑

𝑑𝑥(𝐼𝑛|𝑦|) 𝑑𝑥 = ∫ −𝑃(𝑥)𝑑𝑥

(29)

𝐼𝑛|𝑦| + 𝑐 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables representan sólo una pequeña porción en el universo de las ecuaciones diferenciales, es por esto que debemos generalizar nuestras definiciones paso a paso para poder abordar ecuaciones diferenciales menos triviales. Entonces, definimos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales como aquellas que se expresan de la siguiente forma.

𝑎₁(𝑥)𝑦^′+ 𝑎₀(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea si 𝑔(𝑥) = 0, por otra parte, diremos que es no-homogénea si 𝑔(𝑥) ≠ 0. Podemos notar que toda ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea es de variables separables.

𝑎₁(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

^{+ 𝑎}⁰(𝑥)𝑦 = 0 ⇒ 𝑎₁(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

^{= 𝑎}⁰^{(𝑥)𝑦 ⇒}

𝑑𝑦 𝑑𝑥

^{= −}

𝑎_{0 (𝑥)} 𝑎1 (𝑥)

Sabiendo esto, en esta sección descartaremos las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas y nos enfocaremos en el caso en que éstas sean no-homogéneas.

Antes de explicar el procedimiento para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, debemos tener claros algunos elementos. Diremos que una ecuación diferencial ordinaria lineal está expresada en su forma estándar si el coeficiente que multiplica a la derivada de mayor orden involucrada en la ecuación es exactamente igual a uno, es decir, que está expresada de la siguiente forma

𝑦^′+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

Y decimos que estandarizar una ecuación diferencial ordinaria lineal es reescribirla en su forma estándar.

El procedimiento que usaremos para calcular la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas se basa en encontrar factor tal que, al multiplicarlo por cada sumando de la ecuación, ésta se reduce a una ecuación homogénea. A este factor lo llamaremos factor integrante

𝜌(𝑥) = 𝑒^{∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥}

De los ejercicios 2.3 resuelva los siguientes problemas 4, 9,16, 22, 26, 29,39.

• Grafique la solución de al menos uno de los problemas propuestos.

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Unidad 1 ecuaciones diferenciales Parte 2. Soluciones de Ecuaciones diferenciales en primer orden

Grafica de ejercicio 4

Grafica de ejercicio 29

(35)

3.- Lea la sección 2.4 del libro Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Dennis G. Zill, 7a edición y realice lo siguiente:

• Defina una ecuación diferencial Exacta:

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función de dos varibles con primeras derivadas parciales continuas en una región 𝑈 del plano XY, entonces su diferencial es, entonces si diferencial es

𝑑𝑧 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓

𝜕𝑦 𝑑𝑦

Existe un caso especial en el que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, donde c es una constante, en este caso la diferencial, de acuerdo a la ecuación, es

𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓

𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 0

Esto significa que dada una familia de curvas 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 es posible generar una ecuación diferencial de primer orden si se calcula la diferencial de ambos lados de la igualdad.

Los diferenciales exactos sientan una base para definir una nueva clasificación para las ecuaciones diferenciales. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria expresada de la forma

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Diremos que esta es una Ecuación Exacta si 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 es un diferencial exacto.

Teorema (Criterio para un Diferencial Exacto)

Sean 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) dos funciones continuas con derivadas parciales continuas en una una región una región rectangular en el plano 𝑋𝑌 en su interior,

entonces una condición necesaria y suficiente para que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 sea un diferencial exacto es

𝜕𝑀 =

𝜕𝑦

𝜕𝑁

𝜕𝑥

Estableciendo este criterio, veamos ahora que si consideramos una ecuación diferencial expresada de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦) = 0 entonces podemos seguir un procedimiento que nos permitirá calcular la solución de ésta.

(36)

En los siguientes ejemplos ilustraremos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales, usando indistintamente la

notación 𝑀 para ^𝜕𝑀 y 𝑁 para ^𝜕𝑁 pues así facilitamos la escritura

𝑦 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑥

Decimos que la ecuación diferencial

𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦0

es exacta cuando la forma diferencial 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 sea una forma diferencial exacta, es decir, si existe una función 𝑈 = 𝑈(𝑥, 𝑦) a la que llamamos función potencial tal que

𝑑𝑈 = 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 o, equivalentemente

𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥 = 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝜕𝑈

𝜕𝑦 = 𝑄 (𝑥, 𝑦)

Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 sea diferencial exacta es que:

𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦 =

𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥 Cuando la ecuación diferencial es exacta se tendrá

0 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑈 ⇒ 0 ⇒ 𝑈 = 𝐶

será la solución general de la ecuación diferencial. Luego la resolución de ecuaciones diferenciales exactas se reduce a calcular la función potencial.

De los ejercicios 2.4 resuelva los siguientes problemas 9,10, 22, 33,36 y 45.

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

Grafica ejercicio 33

(44)

4.- Lea la sección 2.5 del libro Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Dennis G. Zill, 7a edición y realice lo siguiente:

• Defina una ecuación diferencial Homogénea de grado n.

Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación que contiene una diferenciación y una función, con un conjunto de variables. La función 𝑓(𝑥, 𝑦) en una ecuación diferencial homogénea es una función homogénea tal

que 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑛𝑓(𝑥, 𝑦), para cualquier constante no nula λ. La forma general de una ecuación diferencial homogénea es 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑑𝑦 + 𝑔(𝑥, 𝑦). 𝑑𝑥 = 0.

Una ecuación diferencial que contiene una función homogénea se llama

ecuación diferencial homogénea. La función 𝑓(𝑥, 𝑦) se llama función homogénea si 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑛𝑓(𝑥, 𝑦), para cualquier constante no nula λ. La forma general de la ecuación diferencial homogénea es de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑑𝑦 + 𝑔(𝑥, 𝑦). 𝑑𝑥 = 0. La ecuación diferencial homogénea tiene el mismo grado para las variables x, y dentro de la ecuación.

La ecuación diferencial homogénea no tiene un término constante dentro de la ecuación. La ecuación diferencial lineal tiene un término constante. La solución de una ecuación diferencial lineal es posible si somos capaces de eliminar el término constante de la ecuación diferencial lineal y transformarla en una

ecuación diferencial homogénea. Además, la ecuación diferencial homogénea no tiene las variables x, y dentro de ninguna función especial como las funciones logarítmicas, o trigonométricas.

En la sección anterior hemos obtenido las soluciones de la ED lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos, es decir:

𝑎𝑦^′′+ 𝑏𝑦^′+ 𝑐𝑦 = 0.

Las soluciones fueron determinadas proponiendo una solución de la forma exponencial 𝑦 = 𝑒^𝑟𝑥 con r constante, y resolviendo luego la ecuación característica:

𝑎𝑟²+ 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los tres diferentes tipos de solución de esta ecuación algebraica determinaron los tres diferentes tipos de solución general para la ecuación diferencial. De manera análoga se resuelve la ecuación diferencial lineal homogénea de orden 𝑛 > 3

𝑎_𝑛𝑦^(𝑛)+ 𝑎_𝑛−1 𝑦^(𝑛−1)+ ⋯ + 𝑎3𝑦⁽³⁾+ 𝑎2𝑦^′′+ 𝑎1𝑦^′+ 𝑎0𝑦 = 0

donde los coeficientes 𝑎𝑛, 𝑎𝑛 − 1, … 𝑎3, 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 son constantes y donde 𝑎𝑛 ≠ 0. Se propone que una solución sea de la forma 𝑦 = 𝑒^𝑟𝑥 por lo tanto:

𝑦 = 𝑒^𝑟𝑥 ⟹ 𝑦^′ = 𝑟𝑒^𝑟𝑥 ⟹ 𝑦^′′= 𝑟²𝑒^𝑟𝑥 ⟹ 𝑦⁽³⁾= 𝑟³𝑒^𝑟𝑥 ⟹ ⋯ ⟹ 𝑦^(𝑛) = 𝑟^𝑛𝑒^𝑟𝑥

Al sustituir en la ecuación diferencial, se obtiene la ecuación auxiliar o característica:

(45)

𝑎_𝑛𝑟^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑟^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎3𝑟³+ 𝑎2𝑟²+ 𝑎1𝑟 + 𝑎0 = 0 +…

: El polinomio auxiliar o característico de grado n:

𝑝(𝑟) = 𝑎_𝑛𝑟^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑟^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎3𝑟³+ 𝑎2𝑟²+ 𝑎1𝑟 + 𝑎0

tiene n raíces. Esta última afirmación se sustenta en el teorema Fundamental del Álgebra, en el que se asegura que: “todo polinomio de grado n >1 con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raices reales o complejas, considerando sus multiplicidades”. Cada una de las raíces genera una solución de la ecuación diferencial. Cuando una raíz r se repite k-veces, se dice que tiene multiplicidad k, y una raíz es de multiplicidad uno cuando sólo aparece una vez. Así, la suma de las multiplicidades de las raíces será igual al grado n del polinomio característico.

Ilustramos mediante los siguientes ejemplos las relaciones entre ED lineales con coeficientes constantes, sus polinomios característicos y las multiplicidades de sus raíces.

De los ejercicios 2.5 resuelva los siguientes problemas 6, 8 13.

(46)

•

u

Ai'P-.

X

e

IS.\-11

.\-r,

^Y

, ~ - fu

Ir

,___

I X

y

(47)

J l iJL ol ¹ ^_'.) E ^r\o ^\- ⁽ ² ~ ^e\\ ^t ^-U'

¹^l ^(j^-^~ ⁾

^{X -} ^')

¹⁽^l⁾^_LQ^_^{~ =-}

1.0 _ ^{f __ ]} --=

'f.

¹(

~

^\-

^_ ^U~ ^dl ^_J_~ ⁽ ^U

²

^\

⁽¹^'

^-

⁷⁾

- -

x.1 ^('?) t ( l)

^C

o

^\

'A -

(el' - ^\} "1

'1.

-

⁷⁾

X

¹ ^)\

d ¹ ^x ^.:: ^_

J

^, ⁽ ^t

^-\ ⁽

~ ), _Hl

X

⁽⁾

_t _~ ) \

()

l( ¹ ^- \) _r\ ₍ ₌ (]) ₍

( 2-

\ ) i

_r----

c\ ^X

X ::::

- ^(<1

1

Ut _\~ r f, Ut \) -

^(;

-

_~X ^{t (}¹

U-\

^l)-

:i) _)(e All

^-1¹ ^.., ^C/¡

\(\ \x\ t D \

^r\

\t - 1 \- _\n

_ll_t

1 -= ^(]

X(

⁽⁾^-

, Y

^.., ^h

( l t 1

• ^" ^xi ^~u-

^~^{' \}

^{- 1}

^"l

^~

²

^e

¹^{l) \}^=-

^e ^\)

^/ ^~ ^,-

^t ^,,

^¡¡;

⁽ ^~- ^xl

⁽

^e ^~ ^t ^\ ^\

1 -

X

_{' X} 1 ^~

\,

'

➔

["lp~

_{:.¡_~'}'\t("\

e \

^ÍJ1 ^JU¹ ^lf'r<^h ^l^ÜT"^\¡n^\f'l'f

⁾ ^s

\f\\ "\(1 11"S

\~ e ~

^.\, ^~P.¹^,.,.

^{ro\ )}

^'

^-

⁾

^eY

^X('^Q;:^{( ) l}

^q( ¹ ⁾ ; e

~

^=- ⁽ ^X ^['\f\(

ri~

^::

^(,

^~ ^)!

t

^..,

⁽¹⁽

( ;

^o^U^'

V

l) (

l)¿

\

(D ^\

e\ ~ - x e ^X ^-t X r 1 ) ^-=- ^(/) A. ( 1X t n eº ( 1

^'X

,. o

~pO

r\; -

¹⁽²^t

^U ^d

¹^::- ^J)

Xr

^,'Í.

- X 2. e

J

r\ ' ^- ^(})

'x

X

(1

_"1-._-

xé dt

^=-

a

el ol

^:^(' ^X

7x- _~--

^{- , -}

_l ^-- ^{· -} ^-

^-- ^-

- _- ~

-

^- ^_.,._^- ^...__ - ~ -

(48)

-

rTll--t--H--H-+--U~

^l

(49)

(50)

5.- Lea la sección 2.5 del libro Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Dennis G. Zill, 7a edición y realice lo siguiente:

Defina una ecuación diferencial de Bernoulli

El principio de Bernoulli es un enunciado que parece ir en contra de la intuición, acerca de cómo la velocidad de un fluido se relaciona con la presión del fluido. Muchas personas sienten que el principio de Bernoulli no debería de ser correcto, pero esto se debe a un mal entendimiento de lo que dice el principio. El principio de Bernoulli establece lo siguiente:

El principio de Bernoulli: dentro de un flujo horizontal de fluido, los puntos de mayor velocidad del fluido tendrán menor presión que los de menor velocidad.

¿Cómo puedes derivar el principio de Bernoulli?

Los fluidos incompresibles tienen que aumentar su velocidad cuando alcanzan una sección más estrecha para mantener el volumen de flujo constante. Por esta razón, una boquilla estrecha en una manguera causa que el agua salga más rápido.

Puede ser que algo te esté molestando sobre este fenómeno: si el agua se acelera en la constricción, también gana energía cinética. ¿De dónde sale esta energía?

¿De la boquilla? ¿De la tubería?

La única manera de darle energía cinética a algo es haciendo trabajo sobre él.

Esto se expresa por el principio del trabajo y la energía.

𝑊 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = ∆𝑘 = 1 2𝑚𝑣 2

𝑓− 1 2 𝑚𝑣 2

𝑖

Así que si una región del fluido aumenta su velocidad, algo externo a esa porción del fluido debe estar haciendo un trabajo sobre ella. ¿Qué fuerza provoca que se haga trabajo sobre el fluido? Bueno, en la mayoría de los sistemas del mundo real hay muchas fuerzas disipativas que podrían estar haciendo un trabajo negativo pero, para mantener las cosas simples, vamos a suponer que estas fuerzas viscosas son despreciables y que tenemos un flujo continuo y perfectamente laminar. Un flujo laminar es significa que el fluido fluye en capas paralelas sin cruzar caminos. En un flujo laminar no hay remolinos ni vórtices en el fluido.

(51)

La ecuación de Bernoulli es esencialmente una manera matemática de expresar el principio de Bernoulli de forma más general, tomando en cuenta cambios en la energía potencial debida a la gravedad. Derivaremos esta ecuación en la siguiente sección, pero antes de hacerlo miremos cómo es la ecuación de

Bernoulli, desarrollemos una idea de lo que dice y veamos cómo podemos usarla.

La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, la velocidad y la altura de dos puntos cualesquiera (1 y 2) en un fluido con flujo laminar constante de

densidad 𝜌. Usualmente escribimos la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera:

𝑃1 + 1 2 𝑝𝑣 2

1+ 𝑝𝑔ℎ1 = 𝑝₂+ 1 2 𝑝𝑣 2

2+ 𝑝𝑔ℎ2

Las variables 𝑃1, 𝑣1 𝑦 ℎ1 se refieren a la presión, la velocidad y la altura del fluido en el punto 1, respectivamente, mientras que las variables 𝑃2, 𝑣2 𝑦 ℎ2, se refieren a la presión, la velocidad y la altura del punto 2, como se muestra en el diagrama a continuación. En este podemos ver una elección particular de los dos puntos (1 y 2) en el fluido, pero la ecuación de Bernoulli es válida para cualesquiera dos puntos en el fluido.

De los ejercicios 2.5 resuelva los siguientes problemas 6, 8 13.

(52)

• •

r

x.

/ 1~ P.

I'\ X (-) )

1 l

" 1

' X X e )(. x e

^)l. ^I ^td')

^k

• ^lJ ^l~

r

⁽

^ll

^.

^{é 'lC} ^¡ ¹ ^(l^-

^K ^_ ^... ^, ⁺ ¹ ^X ⁺

⁽⁾^l^~

^--x

4,

1 ' '

(

=- (_ -, _nl

_:: _-_{( l} ²

_r\c _- ₁

_~() ₌₍

_\l\

'-

-- _r\)

^J _(\)

_y _' _{,~ X} -

~X d e

/-1

\

..-- _l _ch: t ,¡

X.

-

^~ _'J_'2. ₍ _(J

He

,_ ( '

- -

~1 ^J ^J

? ^- ^~:--

L\ 1 'x

J

( 1 +

\ rl

r 1\ ^I

1 '1 '

^1_ ^J

⁷

í _-

⁽¹¹ ^Cll

^-

¹ ^{( J}^¡...

^- 1

¹¹^t:

^E

^X

-

^J ¹ ^-.)

~

⁽ ^')(

^X ,- _ex.

¹

\ I, ^-::.. ^¡.... y ₁

-r-

1 1

(53)

. ^.

\ .

e\ '

'

X

\ 'P

²

a ^X

1

D ie1~

\

1

/ / ⁾

- -r--r---.--r---r----,---17

1

1 1

1

dtJ 3

^l'I

3,

t-erJ1~ ¡;-/2--¡~ ---r-1=r\=x.::::::i-:tt:---r---=tr:,r¿ruT11:-=---::

r-í ¡ h"" 2 - e¡-..,_..'J,t /.il, --:r---t l( -+--+-+-+-+---+--+--+---l--+--1----l--j

~ t----i~~ ---t---t---t-=-+-t---=+--+--+--+--+-+-+--+---1--+---l--¡___.j~ - ~

(54)

• ^{- - - - -}

1 1

\

de

_1"

3

t--

1-= 3

^6>

- 2 ²

r-\ ~

1

I

^{( 'X} ⁾^c.

e~

^'2

^J

^Q^X

::: E

⁵

^12x

e 'j'

^l..^'l

_d _-\- 3_ e-3 '

²⁾ ^['-'1^.:-

₃ € ~ li , ,,

-

^{¡ - -}

2 2

d 7'

t i

(55)

•

o

- - - -

( ^/

n - ^u ^r3 ^/i

v

Y o) = 1

on "-

^T-\~I{)

rrí~\e, 1 -<h ,re,

ní"\rc

\e \J~"1C\rrr-\ v r\p

urn

rede.in c\et5\\ a

^{m ' (}

1 1 \

¹

X)rt-\P d'e orn Dh 1:-oft'lHr\o rDn ~{)r .\e, \ es. ·

1

e\,

"

/

I'

10011)

se

te:i,r

¹

^a \e fi) llCt"'\nh F _ \ he ~ hr rr o

^R ~

c,r\n

^f),

,.1

^\í\ri

~ P

1

=

1

f_¡___¡__-1---+---l--+---l---+--+--+--t--t--+--t---+-+--+---t-t---J-r-1

¡L- x ---1---l--J__+---+---+-+--+--+-+-+-t--t--+----+---t--t--i---t---r---r--r--r-...-

1 ~~ ^'\

e\ )

r

)

(56)

t

(_ ^/ ^/ ^"')

E ^r t-\

f>~ )\f'{ \\f'I

di ~

l ^e_\

:-ihhné

Y"\ r\\1 ñfi'M'i, 1 1 r'í>

c1e \

^DS

rr ^ñc;

ⁿ ^m^r- ⁿ

DYnf,r-ic. ri\ío <1r e ·~_ e ^{m i)n1n} _, rnh\nc- _,

^\C\1

n\

'hm,1-0r10

P-::: \e ^€ rcr r\Oq_

l dr

v ~ .

l ffC

C\í\hh 4 lC\ 't'C!11\\P(pnC)

i u-\

\rl.lf'oc~

, ,n V'1~r\t'rt"

Q

\e ncl\\\h

^-~f\

1n

7:fi

C\r.'í'I i.12 Yr<,np

1\IO

~ ^F ^[')

^N''(

_. ~s \ n

,nH'f'{4~ Jr7 L

eordc l ~et ro\l

udJ.\.1

r~--l---+-c;c-J-r-~

¹

::+--+-+-+-+-t---t----1-i---t-"t-t--t-i-i-i--r--r, - ,

L Cdut' .¡_ :: +- _ ~{ 4- _ _ z.+-~~t++-+-+-+-+-t--t--t--t--t--t-111111 - -

- u

¹

^d<

(57)

/'~

o

^,...

_- ^,..

Q · eª-\

e\~ ^- f, ^- ^" ^l ^l ^- .. _~ d1_

.... _~

... ,..

"'

.

e,º ^l ^l, ^- ^- t)f) ^a-t -\- e

^'

o

f.º ^"D~ ^~ - _h, ^D ^O ^\;

\- e

-

^1,.1

\

e

o- ¹ ^:...

^,

Y) + e

' q ~~

- 1

?: _t ₊ ^e

- ^- ^.

"'

q e º~

^!-^{\ ,}

1

(58)

Grafica Ejercicio 18

(59)

Unidad 1 ecuaciones diferenciales Conclusiones y Referencias

Conclusión

Desde que las ecuaciones diferenciales se descubrieron ha permitido a nosotros como ingenieros a desarrollar con mayor facilidad los estudios y cambios de variables de un sistema y obtener una comprensión más profunda de la ecuación ya que en ella hay una relación de la función con sus derivadas,

gracias a esto nos permite resolver de distintas formas una ecuación siguiendo las reglas.

Los modelos matemáticos nos ayudan a predecir situaciones de la vida diaria, con la utilización de datos reales. Para reconocer que modelo utilizar para cada situación es necesario saber que dato se tiene y que necesidades tiene el

problema.

La utilización de herramientas para graficar nos ayuda a tener una vista mas completa de los resultados obtenidos y la valoración de los mismos.

En las ED, es frecuente que se lleguen hacer cambios algebraicos para

simplificar su forma y resolverlas con cierta comodidad. Esto llega a ser valido, pue las ED antes y después de las operaciones tendrían la misma solución. Sin embargo, algunas ecuaciones diferenciales pueden lograr perder la propiedad de exactitud al modificarse algebraicamente.

En conclusión, vemos como el cálculo nos enseña muchas cosas pero no solo en

números sino también en la vida diaria las ecuaciones diferenciales es un tema

extenso y en ocasiones llega ser complejo, sin embargo, nos ayuda a resolver

problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios suelen definir

indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes.

(60)

Unidad 1 ecuaciones diferenciales Conclusiones y Referencias

Bibliografías

•

Bronson, Richard., & Costa, Gabriel. (2012). Ecuaciones Diferenciales serie Shaum. México: McGraw Hill.

•

Çengel, Y. A., Palm, W. J., & Ortega, S. M. S. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias. México: McGraw-Hill

•

Coddillg, E. A. Y Levinson, N., Theory of Ordinary Dijjerential Equations. Me Graw-Hill, New York, 1955

•

Dr., Vélez. F. (2005). Ecuaciones diferenciales en variables parciales.

España: Reverte S.a.

•

Espinosa, enrique., (2012). Ecuaciones diferenciales. México: Red Trercer Milenio.

•

Elsgolt." L., Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional, 2a. edición, MIR, Moscú, 1977.

• Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8

•

Varaona J. (1966). Métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales: Universidad del rioja.

• Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.

•

Zill, Dennise., & Cullen, Michael.(2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. México: CENGAGE learning.

•

Zill, D., & Cullen, M. (2015). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. Mexico: Cengage Learning.

• Zill, D. G. (2018). Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera (Novena ed.). México: Cengage Learning.