CUESTIONES DEL TEMA - II

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. Presentación

1. Introducción……….……….T1 2. Ganancia de lazo abierto finito. Resistencia de entrada finita……...………T2 3. Máxima corriente de salida. I_CC (Corriente de Cortocircuito)………..T5 4. Corrientes de salida elevadas………..T7 5. Límites de la zona lineal del AO. (Saturación)………T10 6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate)………T13 7. Tensión Offset de entrada V_IO……….T20 8. Corrientes de polarización de entrada I_B. Corrientes offset de entrada I_IO……….T22 9. Introducción a la transformada de Laplace……….T30 10. Diagrama de Bode………T37 11. Trazado de las gráficas de Bode………..T39 12. Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia. Producto

ganancia – ancho de banda……….T47 En el tema 2 se presentan una serie de parámetros del AO real los cuales

no se tienen en consideración en el modelo del AO. Para analizar y diseñar circuitos electrónicos con AO’s se crean modelos que tienen en cuenta el efecto no deseable que producen estos parámetros en la salida de dichos circuitos.

CUESTIONES DEL TEMA - II

en el modelo del AO, las cuales producen efectos indeseables en los circuitos diseñados.

9

Hay que poner remedios para atenuar estos efectos indeseables

9

Las desviaciones del AO real las ofrecen los fabricantes en forma de parámetros numéricos o en forma de gráficas.

ETAPA DIFERENCIAL

ETAPA DE SALIDA ETAPA

INTERMEDIA CONDENSADOR

MILLER

V⁺

V⁻ V⁰

Controla el ancho de banda de la respuesta en frecuencia.

Produce elevada

resistencia de entrada

Produce elevada ganancia de tensión

Produce baja resistencia de salida

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 2. Ganancia de lazo abierto finita. Resistencia de entrada finita.

►La ganancia de lazo abierto del AO real no es infinita (Para el AO uA741 es Ad=200000). Por tanto:

( )

^{0 +}

d

d

V v v V 0 v v

A

+ − −

= − = ≠ ⇒ ≠

≠ ∞

d B

i

I V 0

R 0

= ≠

≠

No se cumple la primera condición del cortocircuito virtual.

La resistencia de entrada del AO no es infinita. (Para el AO uA741 es R_i = 2 MΏ.

No se cumple la segunda condición del cortocircuito virtual.

Vs

Ad (v⁺-v^-)

R1

Ri

R2

-

0

Vo

I2

0

I1

V+

Ii

V-

+

Ejemplo:

Amplificador inversor de tensión con Ad ≠ ∞, Ri ≠ ∞ y Ro =0.

1 i 2

I = + I I

^{s 0}

1 i 2

V v v v V

R R R

− − −

− −

⇒ = +

₀ ^{2 2 2} _s

1 i 1

R R R

V 1 v V

R R R

⎛ ⎞

−

⇒ = + ⎜ + ⎟ −

⎝ ⎠

( )

^-

0 d d 0

d

V A v v A v v 1 V

A

+ − −

= − = − × ⇒ = −

Aplicando la ley de Kirchhoff:

La salida del Amplificador con v⁺ = 0 es:

Sustituyendo:

2 2 2

0 0 s 2

d 1 i 1 0 1

s 2 2

2 2 2

0 s

1 i

1 i 1

R R R

1 R

V 1 V V

A R R R V R

Avf

V 1 R R

R R R

1 1 1

1 1 V V

Ad R R

Ad R R R

⎛ ⎞ ⎫

= − ⎜ + + ⎟ − ⎪ −

⎝ ⎠ ⎪ ⎬ = =

⎛ ⎞

⎡ + ⎛ + + ⎞ ⎤ = − ⎪ + ⎜ + + ⎟

⎢ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎥ ⎪ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎭

► La ganancia de lazo abierto finita y la impedancia de entrada finita reducen ligeramente la ganancia de lazo cerrado Avf.

R

2

Avf = − R

► Cuando Ad = Ri = ∞ (Caso Ideal)

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Vs

+

_

Vo

R1 = 10K

R2 = 200K

0

2 1

R 200

Avf 20

R 10

= − = − = −

Ejemplo 1:

Dado el circuito de la figura siguiente:

a) Hallar la ganancia de lazo cerrado considerando que el AO es ideal.

b) Hallar la ganancia de lazo cerrado considerando que el AO es real con Ad = 10⁵ y que Ri = 5x10⁴ (R₀ = 0).

Para el caso ideal:

Para el caso real:

Se comete un error del 0.02 %.

2

0 1

s 2 2

5 4

1 i

R 200

V R 10

Avf 19,996

1 200 200

V 1 R R

1 1

1 1

10 10 5 10

Ad R R

− −

= = = = −

⎛ ⎞ + ⎛ + + ⎞

+ ⎜ ⎝ + + ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ × ⎟ ⎠

► Los AO’s están protegidos internamente contra Corrientes de Cortocircuito.

► La Corriente de Cortocircuito es la máxima corriente I_CC que puede suministrar el AO en su salida. (I_CC = 25 mA para uA741).

► Cuando se intenta sobrepasar la Corriente de Cortocircuito, el AO no se destruye, pero la forma de onda en su salida de distorsiona. (Se deforma).

+

_

Vo

0 max CC

I = I

La Corriente de Cortocircuito limita el valor mínimo de las resistencias externas al AO.

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Ejemplo 2:

Diseñar un amplificador no inversor con una ganancia de lazo cerrado Avf = 20 utilizando un AO con una corriente de cortocircuito Icc = 25 mA., teniendo en cuenta que la tensión de entrada es Vs = 0.6. Usar valores de resistencias tales que el amplificador no alcance la corriente de cortocircuito.

Vs=0.6V

+

_

^Vo

R2

R1 0

0 s

V = Avf ×V = 20 0.6 12V× =

2

1

Avf 20 1 R R

⎛ ⎞

= = +⎜ ⎟ ⇒

⎝ ⎠

La corriente de cortocircuito es:

La salida del circuito es:

Por otro lado:

2 1

R =19R

(

⁰

) ( )

⁰

CC 2 1 min

2 1 min CC

V V 12

I R R 0.48K

R R I 25

= ⇒ + = = =

+

Sustituyendo:

(

1 1

)

min 1(min) 1(min)

19R R 20R 0.48 R 0.48 =0.024K =24

+ = = ⇒ = 20 Ω

Elegimos: R1 = 100 Ώ y R = 19x100 =1900 Ώ = 1K9

I

_CC

► La gran mayoría de los AO ofrecen Corrientes de Cortocircuito pequeñas. En el mercado existen algunos AO de potencia. (LM657 con Icc = 3 A, LM 12 con Icc = 10 A.)

► Hay formas de obtener corrientes de salida superiores a la Corriente de Cortocircuito.

0 2

s 1

max DC CC

V R

Avf 1

V R

I I

⎛ ⎞

= = + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= β ×

(a) Caso de un amplificador de corriente unidireccional.

Vs

-VCC

+

_

Vo

+VCC

R2 R1

0

I

CC

β

DC

I

max

I

_C

≈ I

_E

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

(b) Caso de un amplificador de corriente bidireccional.

Vs

-VCC

+

_

Vo

+VCC

R2 R1

0

0 2

s 1

max DC CC

V R

Avf 1

V R

I I

⎛ ⎞

= = + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= β × I

max

I

CC

β

_DC

¿Qué transistor elegiríamos en el circuito siguiente.?

I

C

I

CC

= 25mA

I

L

I

F

RL=20 -VCC

+

_

Vo

0

+VCC

R2 =4 R1=1

0

2V

0

2 1

R 4

Avf 1 1 5

R 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎠ = + ⎝ ⎟ ⎠ =

C F L

10 10

I I I 2,5A

5 20

= + = + =

C DC

CC

I 2,5A

(min) 100

I 25ma

β = = =

0 s

V = Avf × V = × = 5 2 10V

Ganancia de lazo cerrado.

Salida del Amplificador.

Corriente de Colector.

Ganancia de corriente del Transistor..

Elegimos un Transistor con un β_DC = 120, por cuestiones de seguridad.

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 5. Limites de la zona lineal del AO. (Saturación).

► La zona lineal de la curva de transferencia de un AO está limitada a unos valores de salidas máximos llamados tensiones de saturación, que nombramos como + V_SAT y – V_SAT. La tensión de saturación del AO suele ser un voltio inferior a la tensión de alimentación.

► Si se excede la zona lineal la salida del amplificador se distorsiona.

► Hay circuitos, como los multivibradores, que trabajan en las zonas de saturación.

V0

Vd

Zona de saturación positiva

Zona de saturación negativa

Zona Lineal

Pendiente = Ad

VCC 15V

+ =

VCC 15V

− = − VSAT 14V

+ =

VSAT 14V

− = −

Dado el circuito de la figura, dibujar la forma de onda de salida teniendo en cuenta los límites de la zona lineal del AO.

Vo .

R2 9K

+ 15V

+

-

0

- 15V R1

1k

V_S = 2sen(100π)t

El AO se satura a ± V_CC = ± 14 V.

El circuito realimentado es un amplificador no inversor en el cual:

( )

0

0 vf S

S

V 9

Avf 1 10 V A V 20sen 100 t

V 1

⎛ ⎞

= = + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ⇒ = = π

Calculo del periodo de la onda de salida:

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

100 1 1

2 f 100 f= 50 Hz T= 0.02 sg=20 ms

2 f 50

ω = π = π ⇒ π = ⇒ = =

π

-1 -1

sen 14

14 14 20

14 20sen(100 t) sen(100 t) (100 t)=sen t= 2.47msg

20 20 100

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠

= π ⇒ π = ⇒ π ⎜⎝ ⎟⎠⇒ π =

Calculo del instante en que se produce la saturación.

20 14

0 2, 47 10 20

V0

t(msg) Salida Ideal

Salida Distorsionada

Calculadora en rad/seg.

► La SR de un AO es la máxima velocidad con que puede variar la tensión Vo en su salida. Si la velocidad de salida del AO sobrepasa la SR, la salida de éste se distorsiona.

► La máxima velocidad de salida se expresa en V/μsg (Para el LM741 es 0.5 V/μsg.).

a) Efecto producido por el SR sobre señales en forma de pulsos:

Ejemplo 5:

Dado el amplificador de la figura se pide trazar la forma de onda de salida sabiendo que la señal de entrada es un pulso como el mostrado en dicha figura y que la SR = 0.5 V/μsg

+

_

3K

Vo Vs

27K

0

t( sg)μ VS

0 10 20

0.2

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Se trata de un amplificador no inversor en el cual:

t( sg)μ

0 10 20

Salida Ideal

Salida Distorsionada

0

vf 0 vf S

S

V 27

A 1 10 V A V 10 0.2 2V

V 3

⎛ ⎞

= = + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ⇒ = = × =

0 0

V 2

V SR t t= 4 sg

SR 0.5

= × ⇒ = = μ

Si el AO fuera ideal los flancos de subida y bajada del pulso de salida serían verticales.

Debido a la SR estos flancos serán inclinados y tardarán un tiempo “t” en ancanzar la máxima amplitud.

6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate).

2 V

14 24

b) Efecto producido por la SR sobre señales senoidales:

► Para que no se produzca distorsión se requiere que la máxima velocidad de variación de la onda senoidal de salida del circuito sea menor que la SR del AO.

► La máxima velocidad de variación en una onda senoidal se produce cuando esta pasa por cero, es decir:

0 max

t 0

v dV

dt

₌

=

( )

V (t)

0

= Asen 2 f t π

Para una onda senoidal de salida

( )

0 t 0 ma

t 0 x

d Asen 2 f t

dV 2

v dt fA

=

dt

=

π

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⇒ = = = π

La velocidad de variación máxima de una onda senoidai depende de la frecuencia “f” y de la amplitud “A”.

La velocidad de variación máxima de una onda senoidai se representa por una línea inclinada que parte del origen de la onda con una pendiente igual a v_max.

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate).

► Para que no se produzca distorsión ha de cumplirse que

A V0

t Pendiente= vmax

SR ≥ v

max

max

A SR

= 2 f

► A frecuencia constante, la amplitud máxima sin distorsión es:

π

► Para una amplitud constante, la frecuencia máxima

(Ancho de Banda de máxima Potencia) sin distorsión es: _max

SR f = 2 A

π

SR

_min

=V

_max

En la figura siguiente se representa una onda senoidal distorsionada a consecuencia de la SR.

V

0

t V

max

SR < V

max

Onda distorcionada

Onda ideal

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Ejemplo 6:

Un amplificador requiere mostrar en su salida una onda senoidal con 10 V. de pico a una frecuencia de 20 K Hz

[a ] ¿ Cual es el SR mínimo del AO para que dicha onda no presente distorsión ?.

[b] ¿ Será valido el AO 741 para esta aplicación (S = 0.5 V/u sg)?

[c] Si utilizamos el 741, ¿Cuál será el Ancho de Banda de máxima Potencia si la amplitud de la onda de salida es 10 V.?

a) Para esta salida:

b) El AO 741 no es valido para esta aplicación, puesto que posee una SR menor que el valor mínimo requerido en el enunciado.

4

min max

SR = V = π2 fA = π ×2 2 10 ×10 1256637,061 V/sg= 1,26 V/ sgμ

c) Para un SR = 0.5 V/μseg:

6 max

SR 0.5V / seg 0.5 10 V / seg

f 7957,77 Hz

2 A 2 10 2 10

μ ×

= = = =

π π π

Si unimos a masa los dos terminales de entrada de un AO real aparecerá una pequeña tensión continua en su salida, llamada Tensión offset de salida V₀₀.

0

+

_ ^Voo

Los fabricantes proporcionan otro parámetro llamado tensión offset de entrada V_I0, que se define como la tensión DC diferencial de entrada que produce en la salida del AO una tensión cero, sin aplicar señales externas en las entradas.

VIO +

_ ^Vo=0

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 7.Tensión Offset de entrada V_IO.

Modelo del AO teniendo en cuenta la tensión offset de entrada:

VIO

v+

+

_ ^Vo

v-

La tensión offset de entrada produce en la salida del amplificador una pequeña tensión DC indeseable, que hay que reducirla o eliminarla.

Los fabricantes de AO’s suelen proporcionar medios para contrarrestar este efecto.

741 2

+

_

-VCC

Pot. multivuelta

1

10K Sin señal de entrada se ajusta el

potenciómetro hasta que en la salida haya cero voltios.

Hallar el efecto que produce una tensión de offset de entrada de 5 mV sobre la salida del siguiente amplificador.

Vo

0

VIO=5mV

0

10K

+

_

990K

( ) ^{IO 2 3 DC}

0 DC

V 1 990 V 10 5 10 0.5 V

10

⎛ ⎞

−

= + ⎜ ⎟ = × × =

⎝ ⎠

Utilizamos el modelo del AO teniendo en cuenta la tensión offset de entrada V_IO y eliminamos la señal de entrada Vs.

El resultado es un amplificador no inversor en el cual:

Se genera en la salida una tensión continua de 0.5 V.

Vo Vs

0

10K

+

_

990K

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 8. Corrientes de polarización de entrada I_B. Corrientes de offset de entrada I_IO.

► Si conectamos a masa los dos termínales de entrada de un AO real circulan por ellos unas corrientes continuas de polarización I_B1 e I_B2.

0

IB1

0

Vo

+

_

IB2

B1 B2

B

I I

I 2

= +

Los fabricantes proporcionan dos parámetros que relacionan estas corrientes.

[a] Corriente de polarización de entrada I_B.

[b] Corriente de offset de entrada I_I0. Se define como:

Se define como:

I

_IO

= I

_B1

− I

_B2

Manipulando ambas ecuaciones:

B B1 B2

IO B1 B2

2I I I

I I I

= + ⎫

= − ⎬ ⎭

B1 B IO

B2 B IO

I I 0.5I I I 0.5I

= +

= −

Estas corrientes producen en la salida del amplificador una pequeña tensión DC indeseable que hay que corregir.

Modelo del AO teniendo en cuenta la corriente de polarización de entrada y la corriente de offset de entrada:

v+ +

v- _

Vo

0.5I

_IO

I

_B

I

_B

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 8. Corrientes de polarización de entrada I_B. Corrientes de offset de entrada I_IO.

Este modelo podemos descomponerlo en dos para poder analizar por separado el efecto producido en la salida del amplificador por la corriente de polarización de entrada y la corriente de offset de entrada.

v+

+

v- _

Vo

I

_B

I

_B

v+

+

v- _

Vo

0.5I

_IO

Modelo que solo tiene en cuenta las corrientes de polarización de entrada.

Modelo que solo tiene en cuenta la corriente de offset de entrada.

Una forma de corregir el efecto que producen las corrientes continuas de polarización I_B1 e I_B2 es colocar una resistencia R_X en serie con el terminal no inversor del AO

v

⁺

v

^-

I

_B1

I

_B2

a) I_B1 = 0

02

B

B 2

2

2

2

v v 0

La corriente I solo circula por R

V I R

+ −

=

⎧ = =

⎪

⎨

×

⎪

⎪ ⎪⎩

Aplicando el teorema de superposición a las fuentes I_B1 e I_B2:

+

B1 X

1 2

01 X

2 1

B1 1

Se trata de un amplificador no inversor.

v I

R R V

R

1 R v

R I R

R

+

⎧ ⎪

⎪ ⎪ = − ×

⎨ ⎪ ⎛ ⎞

⎪ = ⎛ + ⎞

−

+ =

⎜ ⎟ ⎜ ×

⎝

⎠ ⎠

⎩ ⎝ ⎟

⎪

b) I_{B2 = 0}

0

+

_

R1

0

R2

Rx

Vo

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 8. Corrientes de polarización de entrada I_B. Corrientes de offset de entrada I_IO.

► Superponiendo V₀₁ y V₀₂ obtenemos el voltaje continuo indeseado que aparece en la salida del amplificador debido a las corrientes continuas de entrada del AO.

1 2

0 02 01 B2 2 B1 X

1

R R

V V V I R I R

R

⎛ + ⎞

= + = × − ⎜ ⎟ ×

⎝ ⎠

( )

1 2

2 X 1 2 1 2 X

1

R R

0 I R I R R R R R R

R

= × − + × × = − +

►Si, como ocurre en la realidad, hacemos I_B1 ≈ I_B2 = I, podemos obtener el valor de R_X que hace que la tensión indeseada de salida sea cero:

1 2

X

1 2

R R

R

R R

⇒ = ×

+

Para minimizar el efecto que producen las corrientes continuas de entrada sobre la salida del AO se coloca una resistencia R_X, en serie con el terminal no inversor, igual a R₁ en paralelo con R₂.

Estudiar el efecto que produce una corriente de offset de entrada I_I0 = 0.2 mA sobre la tensión de salida de un amplificador no inversor con R2 = 2 K y R1 = 1 K.

El efecto producido es la aparición de una tensión continua de -0.2 V en la salida del amplificador.

Cortocircuitamos las fuentes externas del amplificador.

Al ser v⁺ = v^- = 0, no circula corriente por R₁ y toda la corriente de la fuente 0.5I_I0 pasará por R₂, con lo cual:

0

+

_

R1=1K

0

R2=2K

Vo

0 I0 2

V = − 0.5 I × × R = − 0.5 0.2 2 × × = − 0.2V

0.5I_I0 v⁺

v^-

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Ejemplo 9:

Determinar el efecto que produce una corriente continua de polarización de 80 uA en el circuito de la figura siguiente. Repetir los cálculos para el caso de colocar la resistencia compensadora Rx.

Vs

+

_

R1=1K 0

R2=10K

Vo

a) Incluimos las fuentes de corriente que modelan las corrientes de polarización de entrada y anulamos la señal externa V_S.

Al ser v⁺ = v^- = 0 no pasa corriente por R₁ y:

0 B 2

V = I R = 0.08 10 × = 0.8 V +

_

R1=1K

R2=10K

v⁺ Vo

v^-

I_B1 I_B2

b) Si colocamos la resistencia compensadora:

1 2 X

1 2

R R 10

R = R R = 11 +

02 B 2

V = I R = 0.08 10 × = 0.8 V

Rx

+

_

R1=1K

0 0

R2=10K

Vo I_B1

I_B2 v⁺

v^- Por el teorema de Superposición:

► I_B1 = 0 tenemos v⁺ = 0 y:

► I_B2 = 0 tenemos estamos en el caso de un amplificador no inversor con entrada:

B1 X

10 0.8

v I R 0.08 V

11 11

+

= − = − = −

2 01

1

R 10 0.8 0.8

V 1 v 1 11 0.8 V

R 1 11 11

⎛ ⎞

+

⎛ ⎞

= + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = − + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = − =

Por tanto:

0 01 02

V = V + V = 0.8 0.8 − = 0 V

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 9. Introducción a la Transformada de laplace

La transformada de Laplace es un método matemático que nos permite transformar funciones de la variable tiempo en funciones algebraicas de la variable compleja s.

Función de la

variable tiempo "t" f(t)

Función de la variable compleja "s" F(s) TRASFORMADA

DE LAPLACE

( )

^t

( )

^st

0 e d(t F s =

∫

f t ⁻ ) Ejemplo 10:

La ecuación de transformación es:

Hallar la Transformada de Laplace F(s) de la función exponencial f(t) = e^-at.

( )

t st at 0 s a

0 0

F (s) e e t e d 1

s a

d

^{− +}

t

− −

= =

= +

∫ ∫

Notación de una variable compleja:

s = a + jb

Componente compleja.

Componente real.

Una variable compleja se representa mediante un vector:

Im ag.

Re al ϑ

M

a

b s

1

b s tag

a

−

⎛ ⎞ ϑ = ∠ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Módulo:

Ángulo de fase:

2 2 2 2

M = = s a + b ⇒ M

dB

= 20log a + b

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 9. Introducción a la Transformada de laplace

Un circuito electrónico se analiza en el dominio de Laplace sustituyendo:

i(t) por I(s) v(t) por V(s) L por sL C por 1

sC R por R

Una ganancia o función de transferencia expresada en el dominio de Laplace se le llama ganancia compleja o función de transferencia compleja:

Ejemplo 11:

Halar la función de transferencia compleja de la siguiente red de retrazo de fase:

+

R

_

+ Vo(t) C

Ve(t)

_

Pasamos el circuito al dominio de Laplace.

La función de transferencia compleja la obtenemos aplicando el Teorema del reparto proporcional al circuito.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 0 e

1

V (s) sC V s Av s Ve s

V (s) 1

sC R

1

V s Ve s

1 sRC Av( 1

1 s C

s) = R

+

= +

= ×

+

×

= = ⇒

0

+

R

_

+ Vo(s) Ve(s) 1/sC

_

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Una función de transferencia compleja podemos factorizarla:

2

5s 15 5(s 3) Av(s)

s 3s 2 (s 1)(s 2)

+ +

= =

+ + + +

► Ceros son los valores del polinomio numerador que hacen cero a la función de transferencia z₁ = -3.

► Polos son los valores del polinomio denominador que hacen infinito a la función de transferencia p₁ = -1 y p₂ = -2.

Si en una función de transferencia compleja sustituimos s = jω obtenemos la correspondiente función de transferencia en alta frecuencia.

5( j 3) Av( j )

( j 1)( j 2) ω = ω +

ω + ω +

9. Introducción a la Transformada de laplace

Ejemplo 12:

Obtener la función de transferencia en alta frecuencia del siguiente circuito.

+

_

0

1/sC

Vi(s) ^R1

Vo(s)

R2

Z(s)

( )

2

2 2 2

1 R

sC R

Z(s) 1 R 1 sR C sC

= × =

+ +

Hallamos la impedancia Z(s).

Hallamos la función de transferencia compleja.

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 1

R R

Vo s Z s 1 sR C R

Avf (s)

Vi s R R 1 sR C

+ −

= = − − =

+

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

(

¹

) ( )

p 2

2

P

R

R -Avf -Avf

Avf ( j ) = Avf jf =

1 j R C f

1+j f

⎛ 1+j ⎞

−

ω = ⇒

+ ω ⎛ ⎞

ω ⎜

⎜ ⎟

⎜ ω ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎟

⎠

( ) ( )

2 1

Función de t ransferencia en alta frecuencia.

R Función de t ransferencia en baja frecuencia.

R

Cualquier frecuencia entre cero e infinito.

= Frecuencia Avf j ,

del po Avf jf A

lo de la vf

función ω

ω ω

=

= − =

=

de transferencia en alta frecuencia .

Obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia:

Llamamos:

Un polo.

( )

2 p

1 Rad / seg 2 f R C

ω = π =

El Diagrama de Bode es un conjunto de dos gráficas.

► El módulo de la función de transferencia en alta frecuencia expresado en decibelios.

► Angulo de la función de transferencia en alta frecuencia expresado en grados.

Ambas gráficas se representan en función de la frecuencia en escala logarítmica y en décadas. (Solo nos centraremos en la gráfica del módulo).

Se dice que dos frecuencias f₂ > f₁ están separadas por una década cuando se cumple que:

2 1

f 10 f =

log(0.01) log(0.1) log(1) log(10) log(100) log(1000)

− 2 − 1 0 1 2 3

10

⁻2

10

⁻¹

10

⁰

10

¹

10

²

1K

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

10

⁻1

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

0

−20

20 40 60

Módulo(dB)

Escala lineal en dB.

Escala logarítmica en decadas

Frecuencia (rad/seg), (Hz)

Ejes de la gráfica del módulo de Bode.

10. Diagrama de Bode.

a) Trazado de la gráfica del módulo de una función de transferencia en alta frecuencia con un solo polo cuya frecuencia es ω_{p =} 10 rad/seg.

Avf ( j ) 1

1 j 10 ω = ⎛ ⎜ ⎝ + ω ⎞ ⎟ ⎠

2

Avf ( j ) 1

1 10 ω = ⎛ ω ⎞

+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2

dB 2

Avf ( j ) 20log 1 20log 1

10 1 10

⎛ ω ⎞

ω = = − + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ω ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

El módulo en decibelios es:

El módulo es:

Dando valores a ω (rad/seg) obtenemos la siguiente tabla de módulos en dB.

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real. 11. Trazado de gráficas de Bode. Bode.

ω Valor real del módulo Valor aproximado 10⁻1

100

101

102

103

0.00043 dB

−

0.043 dB

−

20.04 dB

−

3.01 dB

−

40.0004 dB

−

0 dB 0 dB -3 dB -20 dB -40 dB

10⁻1 10⁰ 10¹ 10² 10³

−40

−20 0

dB

(rad/seg) ω

−3

Aproximada Real

Pendiente -20 dB/dec.

ωp

b) Trazado de la gráfica del módulo de una función de transferencia en alta frecuencia igual a una constante K.

Avf ( j ) ω = K Avf ( j ) ω = K

Avf ( j ) ω

dB

= 20log K ⇒ es un valor constante.

10⁻1 10⁰ 10¹ 10² 10³

0 dB

(rad/seg) ω

20logK

Si una función de transferencia contiene varios polos y una ganancia, sus curvas de módulo se suman, puesto que están expresados en escala logarítmica.

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Ejemplo 13:

Dado la red eléctrica de atraso de fase, se pide.

a) Trazar el diagrama del módulo de bode aproximado.

b) Hallar la frecuencia correspondiente a un valor del módulo igual a – 30 dB.

0

Vi

o

C 1 uF

o

R

10 K

-

+ +

- o

o

Vo

( )

0

1

V (s) sC 1

Av(s)

Vi(s) 1 1 sRC

sC R

= = =

+ +

Función de transferencia compleja:

La frecuencia del polo es: p 4 6 ²

1 1

10 rad/seg RC 10 10

⁻

ω = = =

×

10⁻1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 0

−20

−40 rad/seg

-20 dB/dec.

ωX

ωp

3

X X

10 10

20 =

log10 log 3-log

= − ω ω

X

3 log 10 0.5

− ω = 20 =

Por trigonometría en el triángulo subrayado:

( )

log

⁻1

3 0.5 316, 23 rad/seg

ω = − =

-30

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Ejemplo 14:

Trazar el diagrama de Bode de un AO que tiene la siguiente función de transferencia de lazo abierto en alta frecuencia:

10 1

Av( j ) 10

1 j 1 j

10 10

ω = = ×

ω ω

⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Al expresar el módulo de esta función de transferencia en decibelios, el producto se convierte en suma.

En la figura siguiente se traza el Bode de la ganancia, 20log10 = 20 dB, el Bode del polo cuya frecuencia es ω_p = 10 rad/seg. y el Bode resultante de sumar ambas gráficas.

Un polo.

Una ganancia.

10⁻1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 0

−20

−40

rad/seg

-20 dB/dec.

ωp

20 GANANCIA

POLO TOTAL

Ejemplo 15:

Trazar el diagrama de Bode de un AO que tiene la siguiente función de transferencia de lazo abierto en alta frecuencia:

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

5

3 4 5

Av( j ) 10

1 j 1 j 1 j

10 10 10

ω = ⎛ ⎜ + ω ⎞⎛ ⎟⎜ + ω ⎞⎛ ⎟⎜ + ω ⎞ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Trazamos una línea horizontal con altura 20log10⁵ = 100 dB hasta el primer polo, entre en primer polo y el segundo una línea inclinada con pendiente -20 dB/dec., entre el segundo y tercer polo una línea con -40 dB/dec y a partir del tercer polo una línea con -60 dB/dec.

101 10² 1K 10K 100K

0

−20 40

dB

rad/seg ωp1

20

1M ωp 2 ω_p3

60 80 100

20dB / dec.

−

40dB / dec.

−

60dB / dec.

−

Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia.

La etapa intermedia contiene una red de atraso de fase que genera un polo en la función de transferencia del AO:

Ro

+

v+

-

Vd C

- -

v-

1xVd

Vo R

0

Vc

0

AdxVc +

Ri

+

( ) ( ) ( ) (

^d

) ( )

0 d c d d d

1 sC A

V s A V s A V s V s

1 R 1 sRC

sC

= = =

+ +

( ) ( )

( ) ( )

0 d d

V

d

V s A A

A s

V s 1 sRC s

1

= = =

+ ⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎜ ω ⎟

⎝ ⎠

p

1 ω = RC

Siendo:

La función de transferencia compleja de lazo abierto del AO es:

+ _

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Trazado el Bode del AO:

dB

ωp ω_τ

20dB / dec

−

rad / seg 20log(A )d

( )

20log 1 =0

ωp

ωτ

= frecuencia del polo (ANCHO DE BANDA).

= FRECUENCIA DE GANANCIA UNIDAD.

En el triángulo subrayado:

( ( )

d

) ( )

d

( )

d d

p p

p

20log 20log A A

20log A 20log A

20

log ) log( p

log

τ τ

τ τ

⎧ ⎛ ω ⎞ ω

= ⇒ =

⎪ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

= ω − ω = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ω ω ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎨ ⎪ ⎩ ω =

_τ

⎝ A ω

^d

ω ⎠

^p

ω

12. Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia Producto ganancia – ancho de banda.

( ( )

X

) ( )

X

( )

X X

X X

X

X

20log 20log A A

20log A 20log A

20

log ) log(

log

τ τ

τ τ

⎧ ⎛ ω ⎞ ω

= ⇒ =

⎪ ⎜ ⎟

= ω − ω = ⎛ ⎜ ⎝ ω ω ⎞ ⎟ ⎠ ⎨ ⎪ ⎩ ⎝ ω ⎠ ω

dB

( )X

20log A

ωτ

20dB / dec

−

rad / seg

( )

20log 1 =0

ωX

La frecuencia de ganancia unidad es igual al producto de la ganancia por el ancho de banda. En las hojas de datos de los fabricantes suele aparecer como GBW.

Esta afirmación también se cumple para cualquier otra frecuencia ω_X, distinta a ω_p, a la que le corresponde la ganancia A_X

X X

τ

A

ω = ω

Tema 2:

El Amplificador Operacional Real.

Ejemplo 16:

† El amplificador realimentado de la figura utiliza un AO con Ad = 10⁵, ω_τ = 1 M Hz y un ancho de banda de 10 Hz.. Se pide:

„ Trazar el diagrama de Bode del AO y del amplificador realimentado, usando el concepto del producto de la ganancia por el ancho de banda.

¿Qué se observa?

3K

Vo(s)

Vi(s)

+

_

0

147K

La ganancia de lazo abierto del AO, en dB, es:

( )

⁵

20log 10 = 100 dB

La ganancia de lazo cerrado del amplificador realimentado es:

X

5

X X 5

X

10 50

A 10

50 20K

τ

⎧ = ω

ω = ω ⎨ ⎪

ω = =

⎪⎩

( )

Avf 1 50 20log 50 33.98 dB

= + ⎜ ⎝ 3 ⎟ ⎠ = ⇒ =

Teniendo en cuenta el principio del producto de la ganancia por el ancho de banda, para el amplificador realimentado tenemos:

Se observa que al realimentar el AO la ganancia ha disminuido desde 10⁵ hasta 50 y que el ancho de banda ha aumentado desde 10 Hz hasta 20 K Hz.

0 Hz

20 40 60 80 105

20 log( )=100 dB

10⁻1 10⁰ 10

ωp 10² 1K 10K 100K 1M

20dB / dec

− 50

20log( )=33.98

X 20K

ω =

ω

_τ