Análisis de pandeo de elementos finitos de vigas Timoshenko
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Authors Ayala Osis, Shammely Priscila; Vallejos Torres, Augusto Leonardo Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Rights info:eu-repo/semantics/openAccess; Attribution- NonCommercial-ShareAlike 4.0 International Download date 07/02/2022 16:50:34
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Link to Item http://hdl.handle.net/10757/648877
UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS
FACULTAD DE INGENIERÍA
PROGRAMA ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL
ANÁLISIS DE PANDEO DE ELEMENTOS FINITOS DE VIGAS TIMOSHENKO
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Para optar el grado de bachiller en Ingeniería Civil AUTOR(ES)
Ayala Osis, Shammely Priscila (0000-0003-3413-8019) Vallejos Torres, Augusto Leonardo (0000-0002-3947-4831)
ASESOR
Arciniega Aleman, Román Augusto (0000-0002-4284-4389) Arana Vasquez, Victor Ernesto (0000-0003-4838-451X)
Lima, 20 de enero de 2020
I RESUMEN
La investigación desarrolla un modelo computacional para el cálculo de cargas y modos de pandeo en vigas (materiales isotrópicos y homogéneos). La formulación se basa en el campo de desplazamiento según la teoría de Timoshenko, que se evalúa por principio de trabajo virtual. El problema del pandeo se establece mediante la teoría de la estabilidad basada en una formulación variacional propuesta por Trefftz. El análisis de pandeo de estabilidad está compuesto por un estado fundamental y un estado incremental. El primero es generado por una carga de compresión y segundo por una perturbación. El modelo matemático se ha generado utilizando la formulación débil de Ritz Galerkin basada en un modelo de elementos finitos. Se obtendrán cuatro modos principales de pandeo y su respectiva carga a través de valores y vectores propios. Finalmente, los resultados numéricos se verifican mediante ejercicios de evaluación comparativa de la literatura.
Palabras clave: Pandeo; Método de elementos finitos; Teoría de Timoshenko; Estabilidad;
Criterio de Trefftz
II Buckling finite element analysis of Thimoshenko beams
ABSTRACT
The research develops a computational model for the calculation of loads and buckling modes of beams (isotropic and homogeneous materials). The formulation is based on displacement field by Timoshenko theory, which is evaluated by virtual work principle.
Buckling problem is established by stability theory based on a variational formulation proposed by Trefftz. The stability buckling analysis is composed by a fundamental and an incremental state. First is generated by a compression load and second by a perturbation.
The mathematical model has been generated using Ritz Galerkin's weak formulation based on a finite element model. Four main modes of buckling and their respective load will be obtained through eigenvalues and eigenvectors. Finally, numerical results are verified by benchmarking exercises that have been found in the literatura.
Keywords: Buckling; Finite element method; Timoshenko’s theory; stability; Trefftz criterion
1 1 INTRODUCCIÓN
El pandeo es producido por esfuerzos de compresión axial perpendiculares a su sección transversal. Es importante analizar este fenómeno debido a que la fuerza de pandeo produce inestabilidad en el elemento generando deflexiones laterales. La carga crítica de pandeo es el valor más representativo ya que es la capacidad máxima que puede soportar el elemento a compresión [1]. La carga de pandeo se puede aplicar para obtener un diseño de elementos sometidos a carga axial aplicados en la ingeniería civil, aeroespacial, mecánica y otros estudios de mecánica estructural [2].
El pandeo fue estudiado desde el siglo XVIII por el ingeniero francés Leonard Euler [2].
A lo largo del tiempo, la fórmula de carga crítica de pandeo propuesta por Euler es una de las más clásicas dentro de la literatura.
Para el desarrollo de formulaciones, diversos autores (Ver Ref. [3]-[7]) consideran teorías que refuercen el estudio de pandeo. Reddy y Arciniega [3] analizan el pandeo mecánico y térmico de placas con materiales funcionalmente graduados. Para la formulación de estabilidad de pandeo utilizaron el criterio de Trefftz mediante métodos energéticos. Kahya y Turan [4] obtuvieron la ecuación de estabilidad de pandeo mediante ecuaciones de gobierno de Lagrange, basado en elementos finitos, para obtener la carga crítica para vigas Timoshenko. Li y Batra [5] estudiaron la carga crítica de pandeo para las teorías de Timoshenko y Euler Bernoulli para tres condiciones de borde. Concluyeron que la carga crítica es más fácil de calcular con la teoría de Timoshenko para las condiciones de Empotrado-Empotrado, Simple-Simple y Empotrado-Libre. Huang y Li [6] realizaron un análisis de estabilidad para columnas/vigas compuestas por materiales funcionalmente graduados. Los autores consideran la deformación por corte, mas no el factor de corrección por corte para el cálculo de la carga crítica de pandeo en elementos con sección circular. Vo et al. [7] realizan un modelo de elementos finitos basado en la teoría de deformación de cortante refinada. Las ecuaciones de gobierno del comportamiento de pandeo están basadas en la teoría de Hamilton para formulaciones variacionales. Los autores afirman que el efecto por corte juega un rol muy importante para el análisis de vibración y pandeo.
El objetivo de la investigación es realizar un modelamiento computacional en vigas Timoshenko para el cálculo de cargas y modos de pandeo considerando una carga incremental de perturbación. La formulación es desarrollada utilizando el criterio de Trefftz, el principio
2 de trabajo virtual y empleando la teoría de Timoshenko aplicados al método de elementos finitos. Los resultados obtenidos son verificados en la literatura.
2 FORMULACIÓN TEÓRICA
2.1 Cinemática y ecuaciones de equilibrio
Las vigas son modeladas mediante la teoría de Timoshenko [5] para representar matemáticamente el comportamiento de deformaciones y desplazamientos (Ver fig. 1).
Figura 1. Análisis de la deformación de las vigas según la teoría de Timoshenko El campo de desplazamiento está representado por la siguiente expresión.
1 0 1
2
3 0
( ) ( ) 0
( )
U u x u z
U v x
U w x w
= = +
= =
= =
(1)
Donde se presenta tres grados de libertad: dos desplazamientos u w0, 0 y un giro 1. Se considera el origen de coordenadas ( , )x z en el centroide geométrico (punto O) de la sección transversal del elemento (Ver fig. 2).
3 Figura 2. Geometría y coordenadas del elemento
Las ecuaciones cinemáticas y de equilibrio están basados en la teoría de tensores de Green Lagrange junto con la teoría de Von Kármán, a fin de reducir los términos no lineales [8]. Se describen los desplazamientos propuestos en función de las deformaciones unitarias a continuación.
1 ( , 1, 2,3) ( 3)
2
i j k k
ij
j i i j
dU dU dU dU
i j k
dx dx dx dx
= + + = = (2)
Donde los términos U U Ui, j, k representa al campo de desplazamiento indicado en (1),
i, j
x x supone a las coordenadas , ,x y z . Cabe añadir que los términos con subíndice k son los
“dummy index” y representan una expresión que no confunda los símbolos de índices en el mismo término [9].
Originalmente, el tensor comprende 9 componentes, de los cuales 6 son simétricos
0 0 0 0 0 0
21 12, 23 32, 13 31
= = = , y Los tensores 220 =330 =120 =230 =0 son iguales a cero ya que las deformaciones en esos sentidos son nulas, por lo que nos quedan 3 componentes independientes.
( )
( ) 2 ( )0 11
0 ( )
13 1( )
1 1( ) 11
1 2 1
2
x x
x x
x
du d w
dx dx
dw dx zd
dx
= +
= +
=
(3)
El término representa la curvatura en el centro del elemento [3]. 111
4 Las relaciones cinemáticas se expresan con la notación de Voigt-Kelvin con el objetivo de reducir su orden y expresar el tensor simétrico de la ecuación (3) [10].
Las ecuaciones de gobierno permiten relacionar el equilibrio de las fuerzas estáticas sobre el elemento. Además, no se imponen cargas externas añadidas en el elemento ya que la única fuerza actuante es la carga de pandeo. Se presentan las ecuaciones de equilibrio (4) para una viga en base a la propuesta de Reddy y Arciniega [3].
1
1
1
: 0
: 0
: 0 u N
x
w Q q N
x M x
=
+ + =
=
(4)
Donde q representan la carga de perturbación y;N la carga axial que genera el pandeo. , Las resultantes de esfuerzos N Q M están dadas por las ecuaciones. 1, 1, 1
/ 2
1 / 2 1
/ 2
1 / 2 2
/ 2
1 / 2 5
( ) (1) (1)
h h h h h
h
N z dz
M dz
Q dz
−
−
−
=
=
=
(5)
La fuerza resultante N será representada mediante la siguiente expresión
1
N N w
x x
= (6)
Por otra parte, tomando en cuenta que el material analizado es isotrópico y homogéneo, se puede relacionar los esfuerzos y las deformaciones unitarias. La ecuación de constitutiva del material se puede definir de la siguiente manera mediante la ecuación de Cauchy [10].
Nij( )r =Cijkl(r s+ )kl( )s (7) El termino Nij( )r son los esfuerzos producidos por las cargas axiales, cortantes y momento.
Por otra parte, el tensor de cuarto orden Cijkl( )r refiere a la integral a lo largo de la longitud del elemento.
5
/ 2
( ) ( ) ( )
3 3
/ 2
( 1) / 2
( ) 3
/ 2
1
h
r r s r
ijkl ijkl
h
r h r s ijkl
h
C C x dx
C x r
+
− + +
−
=
= +
(8)Para los valores:
(0) (0)
(1)
3
(2) (2)
( 0, 0)
( 1, 0) 0 ( 1, 3,5)
( 2, 0) ( 2, 4, 6)
12
ijkl ijkl
ijkl
ijkl ijkl
r s C C h
r s C i
r s C C h i
= = =
= = = =
= = = =
(9)
Reemplazando las ecuaciones en la expresión de Nij( )r se obtienen las resultantes de los esfuerzos N1(0),M1(1),Q5(0) de esfuerzos axiales, momento y cortante respectivamente.
(0) (0) (0) (0) (0)
1 11 1111 11 11 11
(1) (1) (2) (1) (1)
1 11 1111 11 11 11
(0) (0) (0) (0) (0)
5 13 1351 51 51 11
N N C A
M N C D
Q N C A
= = =
= = =
= = =
(10)
Los términos A D A11, 11, 51es una abreviación del producto la variable Cijkl(0) con
kl(0), kl(1). A continuación, las ecuaciones desarrolladas en los párrafos anteriores permiten dar paso a principios energéticos, en este caso, el principio de trabajo virtual. Esto se debe a que pertenecen a un sistema conservativo, es decir, toda fuerza que se impone en el cuerpo va a generar una deformación [11].
0
U V
U V
+ =
− = (11) Donde Ues la energía interna de deformación del cuerpo y V es el trabajo de las fuerzas externas. Ambos se pueden definir de la siguiente manera.
( )
0
0 L
L
x L
du d u U EA
dx dx V q x udx N u
=
=
= +
(12)
La residual función residual de la ecuación del trabajo virtual deberá aproximarse a cero para afirmar que el sistema se encuentra en equilibro [12].
6 2.2 Análisis de estabilidad
Las ecuaciones de estabilidad de la viga, se basa en la formulación variacional. Si la energía potencial es mínima, el sistema se encontrará en equilibrio. Es decir, el campo de desplazamientos se verá afectado por un estado incremental.
0 1
0 1
u u u
U w w w
= +
= = + (13)
Donde u y 0 w son los desplazamientos producidos en la membrana lateral del momento, 0 en otras palabras, es el estado fundamental de pre-pandeo. Por otra parte, u y 1 w representan 1 los desplazamientos incrementales [13].
El desplazamiento total es representado por U. Por tanto, el incremento de la energía potencial puede ser representado de la siguiente manera mediante la expansión de Taylor [3].
4
1
( ) ( ) 1
!
F I F n
n
U U U
n
=
= + − =
(14) Entonces, la carga crítica se define como la carga mínima donde la segunda variación del funcional es la mínima posible. Por ello, se puede obtener de la siguiente expresión [2], [13]. 2 = 0 (15) 2.3 Formulación de elementos finitos
En esta sección se desarrolla el modelo de elementos finitos basándose en el principio de trabajo virtual por la teoría de Timoshenko permite usar la interpolación de funciones de interpolación de Lagrange para los desplazamientos [14].
Dados los ( , , )u w1 serán interpolados de la siguiente manera.
1 1
( ) ( ) ( )
j
j
j
u U x w W x
x
=
=
=
(16)
La interpolación de las funciones relaciona u w, ,1 y las funciones de aproximación relacionada a j( )x , como se muestra en la ecuación (16).
Seguidamente, sustituyendo las interpolaciones en la teoría de estabilidad se obtiene la siguiente ecuación matricial.
7
K
=
Kg
(17) Donde K Kg son las matrices de rigidez y geométrica, , los valores de carga crítica y representa los modos de pandeo. La ecuación (17) se resuelve mediante ejercicios de autovalores y vectores propios.3 RESULTADOS NUMERICOS
El modelo computacional permite realizar el cálculo de cargas de pandeo para elementos unidimensionales sometidos a compresión axial. Las características de los elementos son de sección transversal rectangular con materiales isotrópicos y homogéneos.
Para comprobar los resultados se procede a realizar una verificación de cargas y modos de pandeo para vigas en Timoshenko.
3.1 Verificación de la formulación
Es importante resaltar la fórmula clásica de carga crítica de pandeo propuesta por Euler depende de las propiedades geométricas del elemento y módulo de elasticidad. Sin embargo, en la presente investigación se considera una perturbación que causa un efecto cortante, por tal motivo, se compara con la fórmula de Engesser que considera el efecto de corte [15], [16].
Para poder graficar un primer modelo que demuestre las variaciones de Euler y Engesser, se ejecutará un ejemplo de viga con las siguientes características: Longitud de 0.5 metros, base de 0.0075 metros, módulo de elasticidad (E) de 200 giga Pascales, coeficiente de Poisson (v) de 0.3, condición de borde doblemente empotrada y espesor variable.
0 5 1 0 1 5 2 0
0 1 2 3 4
L / R
/E
P r e s e n t e E u l e r
E n g e s s e r
Figura 3. Gráfico de la comparación entre el resultado presente, la carga crítica de Euler y Engesser
8 La fórmula de Euler clásica presenta similitud a la fórmula de Engesser para elementos esbeltos (L/R>15). Cuando la relación disminuye, ambos modelos presentan mayor diferencia. La investigación tiene mayor similitud a los resultados obtenidos por Engesser.
Este último, debido a la influencia del corte dentro de la formulación de pandeo causada por una perturbación actuante.
En la figura 3, se nota la convergencia del modelo propuesto referente a la deformación unitaria y esbeltez. Si se mantiene la base constante y el espesor de la sección transversal del elemente aumenta, se obtienen el incremento de la esbeltez.
Se plantea el siguiente ejemplo (Ver Tabla 1) obtenido con la formulación desarrollada para las condiciones de borde Simple-Simple (S-S), Empotrado-Empotrado (C-C) y Empotrado-Libre (C-F). Se ejecuta los modelos con la formulación presente y con la literatura de los autores Li & Batra [5], Ferreira [17], Euler [1] y Engesser [16].
Tabla 1. Parámetros geométricos y material de una columna de cerámica
Figura 4. Condiciones de borde (a) S-S (b) C-C, (c) C-F
L (m) 10 40
Bb (m) 2 4
Hh (m) 2 4
E (GPa) v
Relación L/H = 5
Relación L/H = 10
380 0.23
9 En la tabla 2, se muestran los resultados obtenidos para las tres condiciones de borde. En primer lugar, en la condición de Simple-Simple, los resultados del modelo presentan mayor aproximación con Engesser con un 0.000045% como máxima variación y 8.852% referente con el modelo de Euler. En segundo lugar, en la condición de Empotrado-Empotrado, la variación máxima de resultados es de 0.0014% respecto al modelo de Engesser y 27.978%
de Euler. Finalmente, la condición de Empotrado-Libre presenta una variación de resultados es de 0.0003% respecto de Engesser y 2.370% como máxima diferencia.
Tabla 2. Resultados obtenidos de la carga crítica entre diferentes autores y el modelo propuesto
Se plantea un ejemplo de una viga de acero aleado con las siguientes características:
Longitud de 2 metros, altura de 0.4 metros, base de 0.6 metros, módulo de elasticidad de 206 giga Pascales, coeficiente de Poisson de 0.3, las condiciones de borde S-S, C-C y C-F.
Los resultados de los primeros cuatro modos fundamentales se grafican a continuación (Ver fig. 5) con un número de elementos de 4 y grado de polinomio de 4.
5 10
Presente 45.5795 48.8207
Li & Batra 48.8350 52.3090
Ferreira 45.8477 47.9840
Euler 50.0060 50.0060
Engesser 45.5795 48.8207
Presente 144.0616 182.3204
Li & Batra 154.3500 195.3400
Ferreira 146.7673 171.1609
Euler 200.0240 200.0240
Engesser 144.0610 182.3178
Presente 12.2052 12.4261
Li & Batra 13.3940 13.3490
Ferreira 12.2243 12.3712
Euler 12.5015 12.5015
Engesser 12.2052 12.4261
L/H
S-S
C-C
C-F
Caso Autores
10 (a) (b)
(c)
Figura 5. Modos de pandeo para las condiciones de borde (a) S-S, (b) C-C y (c) C-F.
Asimismo, en la tabla 3 se obtiene los resultados de carga de los cuatro primeros modos fundamentales para cada caso.
11
Tabla 3.Resultado de cargas de pandeo para los cuatro modos fundamentales del modelo propuesto
La carga crítica de pandeo es el primer modo fundamental, mientras que las otras tres son cargas representativas. Asimismo, se nota que para el caso de empotrado-empotrado (C-C) requiere de una mayor carga de compresión para producir pandeo, ya que los apoyos ayudan a rigidizar más el elemento. Todo lo contrario, se observa en el caso de empotrado-libre (C- F), debido a los apoyos.
4 CONCLUSIONES
En el presente trabajo de investigación, se presenta un modelamiento computacional en columnas para el cálculo de cargas y modos de pandeo. Utilizando el criterio de Trefftz y el principio de trabajo virtual y empleando la teoría de Timoshenko aplicados al método de elementos finitos. La fuerza cortante permite adicionar el efecto de la perturbación para generar el pandeo. La fuerza perturbadora nos aproxima a los valores de carga critica de pandeo cuando los elementos son robustos a diferencia de Euler. Se concluye que el modelo computacional realizado es de fin académico y teórico práctico debido a las formulaciones de elementos finitos, principios energéticos y teoría de estabilidad.
La formulación planteada cumple con los objetivos proyectados debido a que los resultados obtenidos presentaban buena aproximación referentes a los valores obtenidos por autores de la literatura.
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S-S C-C C-F
Primera 1.475 4.612 0.397
Segunda 4.612 6.930 2.973
Tercera 7.610 9.852 6.193
Cuarta 9.851 11.052 8.828
Condición de borde Carga de pandeo
(GN)
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