COLEGIO ENRIQUE OLAYA HERRERA I.E.D.
MATEMATICAS GRADO SÉPTIMO J.M.
SEMESTRE II - 2021
DOCENTES : Fabiola Barbosa Bustos E-mail: fabibar15@ olayista.com
Estructuras de la Potenciación y Radicación de los Números Enteros:
Conceptualización De la Potenciación
Recordemos que la potenciación en el conjunto de números Naturales permite encontrar el
volumen de un acuario como el de la figura siguiente.
El acuario tiene forma de cubo de lado 80 cm, ¿Cuál crees que es el volumen?
Analicemos la siguiente situación: Un edificio tiene 4 plantas (pisos) y en cada planta hay
4 apartamentos y en cada apartamento hay 4 alcobas
¿Cuántos apartamentos y cuántas alcobas tiene el edificio?
Si cada planta o piso tiene 4 apartamentos, entonces las 4 plantas tendrán 4 x 4 que es
igual que decir 42
. Entonces, = 4 × 4 = 42= 16.
El edificio tiene 16 apartamentos.
Como cada apartamento tiene 4 alcobas, entonces, en el edificio hay en total 16 x 4 que
es igual que decir 4 × 4 × 4 = 43 = 64. Por tanto, el edificio tiene un total de 64 alcobas. En resumen:
ACTIVIDAD 1:
Identifica la base, exponente, multiplicación y potencia en las siguientes expresiones
1. 555
Analiza el resultado de los ejercicios anteriores y verifica la validez de la siguiente afirmación:
“Dada una potencia: Si su base es negativa y su exponente es impar, el resultado es negativo. Si su base es positiva y su exponente es par, el resultado es siempre positivo.”.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
Dadas dos potencias cuyas bases sean igual y se encuentren multiplicando, su resultado será: mantener la base y sumar los exponentes.
ACTIVIDAD 2 :
Aplica las propiedades 1 y 2 de la potenciación y resuelve los siguientes ejercicios:
2. POTENCIA DE UN PRODUCTO:
Dada una potencia cuya base sea el producto de dos o más enteros, su resultado será: distribuir el exponente para cada uno de los factores.
Ejemplos: a. [(-5) x (-2) ]3 = (−5)3 × (−2)3 = (−125) × (−8) = +1000
b. [(−3) × (+2) × (−4)]2 = (−3)2 × (+2)2 × (−4)2 = (+9) × (+4) × (+16) = +576
3. POTENCIA DE UNA DIVISIÓN:
Dada una potencia cuya base sea la división de dos enteros, su resultado será: distribuir el exponente para el dividendo y el divisor.
Ejemplos: a. [(−4) ÷ (−2)]3 = ( (−4) /(−2) )3 = (−4)3 ÷ (−2)3 = (−64) ÷ (−8) = +8 b. [(−10) ÷ (+2)]2 = ( (−10)/ (+2) )2 = (−10)2 ÷ (+2)2 = (+100) ÷ (+4) = +25
4. POTENCIA DE UNA POTENCIA: Dada una potencia que a la vez esté elevado a un exponente, su resultado será:
mantener la base y multiplicar los exponentes.
Ejemplos: a. [(−2)2 ]3 = (−2)2x3 = (−2)6 = +64 b. [(+2)3]3 = (+2)3x3 = (+2)9 = +512
ACTIVIDAD 3:
Aplica las propiedades 3, 4 y 5 de la potenciación y resuelve los siguientes ejercicios:
30. [(−4) × (+3) × (−2)]3 = 31. [(−3) × (+3) × (+4)]4 = 32. [(−5) × (+3) × (+2)]2 = 33. [(−3) × (−2) × (−4) × (+5)]2 =
34. [(−2) × (+3) × (−4) × (−5)]3 = 35. [(−1) × (+2) × (−3) × (−4) × (+5)]2 = 36. [(– 2)3 ]2 =
37. [ (– 5)1 ]3 = 38. [(−8) ÷ (+2)]3 = 39. [(−9) ÷ (−3)]2 = 40. [(+6) ÷ (−2)]4 =
CASOS ESPECIALES DE LA POTENCIACIÓN
1. Todo número entero elevado al exponente cero (0), la potencia es igual a uno (1) Ejemplos: a. (−2)0 = 1 b. (+7)0 = 1
2. Para todo número entero elevado a un exponente negativo, la potencia es igual a su inverso multiplicativo con exponente positivo.
Ejemplos: a. (−2)-2 = 1/ (−2)2 = 1/ 4 b. (+7)-3 = 1 (+7)3 = 1/ 343
ACTIVIDAD 4:
Aplica las propiedades de la potenciación y los casos especiales para resolver los siguientes ejercicios:
41. (– 3)-2 = 42. (+3 5 )0 =
43. (– 2)0 = 44. (– 4)-3 = 45. (– 7)0 x (– 7)3 =
46. [(−4) × (+3) × (−2)]3 ÷ [(−2) × (+3) × (−4)]2 47. [(−12) × (+2)]4 ÷ [(−12) × (+2)]3
Conceptualización De la Radicación
Hemos visto que las partes de la potenciación son:
EXPONENETE
BASE = POTENCIA
Ahora, la radicación se relaciona con la potenciación dando respuesta a la pregunta ¿Cómo encontrar la base si tenemos los otros términos? Es decir:
EXPONENTE
? = POTENCIA
Analicemos el ejercicio siguiente:
3 ? = -8
¿Cuál es el número entero que elevado al exponente tres es igual a menos ocho?, también se puede decir ¿Cuál es el número entero que elevado al cubo da menos ocho?
Para encontrarlo, utilizamos la operación llamada Radicación. Es la operación que permite encontrar la base de una potencia. Se expresa así:
Se lee: ¿Cuál es la raíz cúbica de menos ocho? Se deduce que – 2 es el número que elevado al cubo (a la 3) da como resultado – 8, porque (–
2)(– 2)(– 2) = – 8
Cuando el índice
𝑛
es dos, no es necesario escribirlo, y se lee raíz cuadrada dea.
Si el número
𝑏
no se puede encontrar, entonces, se dice que la raíz de𝑎
no existe, en el conjunto de números enteros.ACTIVIDAD 5:
Identifica el índice, la cantidad subradical y la raíz de las siguientes expresiones:
ACTIVIDAD 6:
Sigue el ejemplo y expresa en forma de radicación las siguientes
potencias:
PROPIEDADES DE LA RADICACION:
ACTIVIDAD 7:
Aplica la propiedad 1 de la radicación de números enteros y resuelve los siguientes ejercicios:
2. RAÍZ DE UN COCIENTE:
ACTIVIDAD 8 :
Aplica la propiedad 2 de la radicación de números enteros y resuelve los siguientes
ejercicios:
ACTIVIDAD 9:
Aplica la propiedad 3 de la radicación de números enteros y resuelve los siguientes
ejercicios:
GEOMETRIA Y MEDICIÓN
En el grado anterior se estudió que las figuras geométricas se clasifican según el número de lados; Así entonces, los polígonos de tres lados se llaman triángulos, de cuatro lados se llaman cuadriláteros, de cinco lados se llaman pentágonos, etc. Los polígonos pueden ser irregulares o regulares; los regulares son aquellos que tienen la medida de sus lados iguales.
Entonces el triángulo regular se llama equilátero y el cuadrilátero regular se llama cuadrado.
ACTIVIDAD 10:
Aplica los conceptos de los polígonos estudiados en cursos anteriores y realiza las
siguientes construcciones:
91. Un triángulo isósceles y rectángulo.
92. Un triángulo escaleno y obtusángulo.
93. Un cuadrilátero trapezoide.
94. Un cuadrilátero, paralelogramo y romboide.
95. Un pentágono irregular.
96. Un pentágono regular de lado 5 cm.
97. Un heptágono irregular.
98. Un heptágono regular de lado 5 cm.
El círculo puede ser considerado como un polígono de número de lados infinito.
ACTIVIDAD 11
99. Construye un círculo de diámetro 5 cm.
100. De un solo trazo, dibuja la figura siguiente sin despegar el lápiz del papel y
sin pasar dos veces por la misma línea. Marca sobre la figura la dirección de los
trazos que hiciste para llegar a la solución con flechas.
101. Colorea la figura anterior de tal forma que puedas contestar:
a. ¿Qué polígonos identificas en la figura?
b. ¿Cuántos triángulos hay en total?
c. ¿Cuántos cuadrados hay en total?
d. ¿Cuántos trapecios hay en total?
e. ¿Cuántos pentágonos hay en total?
102. Dados tres segmentos de recta AB̅= 4cm. , CD̅ = 5cm y ̅ EF̅ = 7cm.
construye un triángulo y contesta:
a. ¿Qué tipo de triangulo es según sus lados?
b. ¿Qué tipo de triangulo es según sus ángulos?
103. Construye una figura de tres lados que tenga una base de 4 cm y que dos
de sus ángulos midan 65° cada uno. Al final, describe la clase de figura que te resulta.
104. Sigue el procedimiento descrito a continuación:
a. Traza un segmento de recta horizontal de dimensión 4 cm y llama a sus ex tremós A y B.
b. coloca el transportador en la base AB, De manera que su centro coincida en
el extremo A primero y después en el B marcando En ambos casos un ángulo de 65o.
c. Traza segmentos de recta desde los puntos A y B respectivamente, De
dimensión 2 cm, formando los ángulos.
d. Nombra a los extremos superiores de estos dos segmentos C y D respectivamente.
e. Traza el segmento CD, ¿A qué polígono corresponde la figura obtenida?
Exploración de Teoremas
• La recta CC̅̅̅̅̅ ́es secante a las rectas paralelas, es decir corta en un punto a
• Los ocho ángulos formados por el arreglo geométrico se identifican por parejas de acuerdo con su posición de la siguiente manera:
o Ángulos correspondientes
Son aquellos que se encuentran de un mismo lado de la secante.
Así, entonces: la pareja a y e son correspondientes, donde a es
externo y e es interno.
Identifica las otras tres parejas de ángulos
correspondientes indicando cual es el interno y cuál es el externo.
o Ángulos Alternos internos
Son aquellos ángulos interiores que se encuentran a uno y otro lado
de la secante, entre las dos rectas paralelas. Así, entonces:
la pareja c y f son alternos internos y la pareja d y e también lo son.
o Ángulos Alternos externos Son aquellos ángulos exteriores que se encuentran a uno y otro lado de la secante, fuera de las dos rectas paralelas. Así, entonces: la pareja a y h son alternos internos y la pareja b y g también lo son.
o Ángulos Opuestos por el Vértice
Son aquellos ángulos que tienen en común el vértice, pero se encuentran opuestos uno del otro. Así, entonces:
las parejas de
ángulos opuestos por el vértice son:
a y d, b y c, e y h, f y g.
o Ángulos Opuestos por el Vértice
Son aquellos que al sumar su medida se obtiene 180°. Así entonces,
la pareja de ángulos a y b son suplementarios, f y h también lo son.
Identifica las parejas restantes.
Para terminar, se dice que cuando dos ángulos tienen la misma medida son congruentes. En la figura tenemos que la pareja de ángulos e y h son congruentes.
Simbólicamente se escribe así: e ≅ h
En resumen, a manera de teoremas tenemos que:
Cuando una secante o transversal corta a dos rectas paralelas se forman ángulos colaterales, correspondientes, alternos y opuestos.
o Los ángulos correspondientes y alternos son congruentes.
o Los ángulos colaterales son suplementarios.
o Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es de 180°.
o Los ángulos congruentes son los que tienen igual medida.
ACTIVIDAD 12:
105. Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores determina la medida de
todos los ángulos de la figura si el ángulo b mide 55°.
106. Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores determina la medida de
todos los ángulos de la figura si el ángulo h mide 120°
Teorema de Pitágoras
Con una hoja de papel de cuaderno cuadriculado recorta tres cuadrados de cinco,
cuatro y tres cuadriculas cada uno. Luego pégalos en una hoja de papel en blanco
de tal forma que formen un triangulo rectángulo, como el de la figura siguiente:
Observa que los lados de los cuadrados que forman los lados del triangulo rectángulo miden tres y cuatro cuadrículas respectivamente. Además, forman el ángulo recto, el cuadrado que mide cinco cuadrículas queda frente al ángulo recto y como es el más largo se llama hipotenusa. Los otros dos lados del triangulo se llaman catetos. Si llamamos a al cateto que mide tres cuadrículas, b al cateto que mide cuatro cuadrículas y h a la hipotenusa; Pitágoras estableció que la medida de la hipotenusa de todo triangulo rectángulo se relaciona con la medida de sus catetos con la siguiente fórmula: h 2 = a 2 + b 2
Así entonces en triángulo de la figura h 2 = 3 2 + 4 2
h 2 = 9 + 16 h 2 = 25
h = 5
ACTIVIDAD 13
107. Desarrolla totalmente la aplicación de las páginas 108 a 110 del texto matemáticas secundaria activa grado séptimo.
ESTADÍSTICA
Medidas de tendencia central
En estadística se utilizan diferentes medidas. Unas medidas de las más utilizadas son las medidas de centralización que indican valores con respecto a los datos que parecen agruparse alrededor de un valor determinado. Analicemos los dos ejercicios estudiados en clase anteriormente:
a. El caso de las calificaciones del examen de inglés. Recordemos que treinta estudiantes de un curso presentaron un examen de inglés, con valor de 10 puntos, quienes obtuvieron los resultados siguientes:
6 5 9 8 7 5 2 9 2 7 7 3 5 1 4 2 9 9 8 8 7 5 8 6 8 9 6 8 6 7 Observa que el dato que más se repite es el 8. A este valor se le denomina MODA: Mo =8.
Al organizar los datos ya sea de menor a mayor o de mayor a menor, buscamos el dato o valor que se encuentra exactamente en la mitad. Veamos:
1 2 2 2 3 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 | 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9
b. El profesor Sánchez midió la masa, en kg, de 35 estudiantes del colegio Simón Bolívar. Registró los resultados siguientes:
36 38 48 40 38 36 37 42 43 39 40 41 41 39 40 39 40 42 43 45 46 39 49 36 37 44 47 36 36 39 36 45 40 43
Observemos que hay: 6 veces el número 36 , 2 veces el número 37 , 2 veces el número 38 , 5 veces el número 39 , 5 veces el número 40 , 2 veces el número 41 , 2 veces el número 42 , 3 veces el número 43 , 1 veces el número 44, 2 veces el número 45 , 1 veces el número 46, 1 veces el número 47 , 1 veces el número 48 , 2 veces el número 49 , El número que más se repite es 36 , esa es la moda: Mo = 36. Como son 35 datos (número impar), la Me es el dato que ocupa el centro del conjunto ordenado, es decir, el 40 es la mediana: Me = 40 :
Resumimos el significado de las medidas de centralización o medidas de tendencia central así:
MODA (Mo) de un conjunto de datos es el valor que más se repite. En un conjunto pueden existir 1, 2 o más modas o incluso no haber moda.
La MEDIANA (Me) es el dato que se encuentra en el centro de un conjunto ordenado.
La MEDIA ARITMÉTICA (x̅) , llamada también PROMEDIO o simplemente MEDIA , es el valor que resulta de sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de ellos.
ACTIVIDAD 14
108. Determina la media aritmética, mediana y moda de los siguientes grupos de datos:
a. 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
b. 28, 24, 29, 37, 25, 27, 35, 30, 35, 30, 27, 38, 24, 29, 37, 25, 35, 30, 25, 32, 28, 24, 29, 25, 32.
Introducción a la probabilidad
En el mundo en que vivimos existen muchas situaciones que implican incertidumbre. Estas situaciones van desde los juegos de azar hasta problemas que se presentan en otros campos de gran importancia como las ciencias físicas, las ciencias sociales, la industria y los seguros. La probabilidad se encarga de ese tipo de situaciones, es decir, estudia fenómenos puramente azarosos o aleatorios. La Palabra probabilidad indica la posibilidad de que ocurra un evento o se cierto
resultado. Para calcular probabilidades primero es necesario estudiar un poco de variación. En esta sección se examinará los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Además, se realizarán experimentos que serán útiles para comparar los resultados esperados con los resultados reales.
o Los factoriales
Hay ocasiones de nuestra vida en las que podemos utilizar elementos sin importar el orden en que se tomen y otras en las que el orden sí es importante. Por ejemplo, cuando preparamos una ensalada de frutas, no importa el orden en que las pongamos en el recipiente, pues nos queda la misma ensalada. Es decir, el orden de las frutas no importa. Pero si tenemos un candado de clave y esta es, por ejemplo, 375, no podemos cambiar el orden de las cifras porque el candado no abriría.
Aquí el orden sí importa. El caso de la ensalada de frutas es un caso de combinación , mientras que el caso de la clave del candado es un caso de permutación. El número factorial o factorial de un número natural n, simbolizado n!, representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Por definición 0! = 1. ¿Cuántos números diferentes pueden formarse con un dígito dado?
Ejemplo: Con el número 5, solo puede escribirse 5. Con un dígito, puede formarse 1 número de una cifra. Por tanto:1! = 1. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras pueden formarse con dos dígitos dados, sin repetir dígito?
Ejemplo: Sin repetir dígito, con los números 7 y 9, pueden escribirse 2 números: o Los factoriales. Hay ocasiones de nuestra vida en las que podemos utilizar elementos sin importar el orden en que se tomen y otras en las que el orden sí es importante.
Por ejemplo, cuando preparamos una ensalada de frutas, no importa el orden en que las pongamos en el recipiente, pues nos queda la misma ensalada. Es decir, el orden de las frutas no importa. Pero si tenemos un candado de clave y esta es, por ejemplo, 375, no podemos cambiar el orden de las cifras porque el candado no abriría. Aquí el orden sí importa. El caso de la ensalada de frutas es un caso de combinación, mientras que el caso de la clave del candado es un caso de permutación .
El número factorial o factorial de un número natural n, simbolizado n!, representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos.
Por definición 0! = 1.
¿Cuántos números diferentes pueden formarse con un dígito dado?
Ejemplo: Con el número 5, solo puede escribirse 5.
Con un dígito, puede formarse 1 número de una cifra. Por tanto:1! = 1.
¿Cuántos números diferentes de dos cifras pueden formarse con dos dígitos dados, sin repetir dígito?
Ejemplo: Sin repetir dígito, con los números 7 y 9, pueden escribirse 2 números: el 79 y el 97.
Con dos dígitos, pueden formarse 2 números de dos cifras, sin repetir dígito. Entonces: 2! = 1×2 =2.
¿Cuántos números diferentes de tres cifras pueden formarse con tres dígitos dados, sin repetir dígito?
Ejemplo: Sin repetir dígito, formemos números de tres cifras con los dígitos 3, 5 y 8: 358, 385, 538, 583, 835 y 853. Por tanto: 3! = 1 × 2 × 3 = 6
En general: n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n − 2) × (n − 1) × n.
El factorial de un número n es el producto de todos los factores decrecientes a partir de
él hasta llegar a la unidad. El factorial de un número se escribe n! siendo n cualquier número entero positivo. Los factoriales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir.
o Variaciones Analicemos los casos siguientes:
1. Una baraja española consta de 40 cartas. ¿De cuántas formas pueden elegirse 2 cartas, extraídas sucesivamente y sin repetir?.
La primera se puede elegir de 40 formas. La segunda, al no poder repetir, solo se puede elegir de 39 maneras.
Por tanto, en total hay (40)(39) = 1560 posibilidades.
2. En una competencia, seis ciclistas se disputan la llegada a la meta. ¿De cuántas maneras se pueden llegar a los tres primeros puestos? Como no hay repetición, es decir, hay un ciclista para el primer puesto, otro ciclista diferente para el segundo puesto y otro diferente para el tercer puesto, entonces:
En total hay 120 maneras como 6 ciclistas pueden ocupar los tres primeros puestos en la competencia.
Por consiguiente, si de una población de tamaño n, queremos extraer una muestra ordenada y sin repetición de tamaño determinado, razonamos así:
• El primer elemento lo podemos elegir entre n elementos.
• El segundo, al no poder repetir, podemos elegirlo entre n−1 elementos.
• El tercero, al no poder repetir, podemos elegirlo entre n−2 elementos.
• El cuarto, al no poder repetir, podemos elegirlo entre n−3 elementos.
• Y así sucesivamente hasta el tamaño determinado.
Un arreglo ordenado y sin repetición se denomina variación ordinaria o variación sin repetición.
ACTIVIDAD 15
109. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2,3,4 y 5?
110. En una carrera de 100 metros participan 8 corredores. ¿De cuántas formas diferentes se podrían repartir las medallas de oro, plata y bronce?
111. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5?
112. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades que marca con las letras A, B, C, D y E. Si no quiere repetir ciudades, ¿Cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades?
113. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Luis, Teresa, Paola, Jorge y Marta?
