1.- Contraste de combinaciones lineales entre parámetros 1.1 Caso General

Tema 3: El modelo Básico de Regresión Lineal Múltiple (II)

•

•

1.

1.

-

-

Contraste de combinaciones lineales entre

Contraste de combinaciones lineales entre

parámetros

parámetros

–

–

1.1 Caso General

1.1 Caso General

– 1.2 Contraste de significación global

– 1.3 Subconjunto de parámetros

– 1.4 Contraste de significación individual. Estimación por intervalo de confianza

• 2.- Predicción mínimo cuadrática individual y media

3.1. Contrastes de parámetros.. 1. Caso General

• Contraste de

q

restricciones para

k

parámetros

• q restricciones <= k • Rango (R) = q

1

1

qx

kx

qxk

r

R

β

=

(

)

(

,

(

'

)

'

)

~

ˆ

)

'

(

,

~

ˆ

1

2

1

2

R

X

X

R

R

N

R

X

X

N

u

u

−

−

σ

β

β

σ

β

β

3.1. Contrastes de parámetros.. 1. Caso General





















=













































−

=

−

=

=

+

+

0

0

4

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

4

4

3

2

1

1

2

4

3

2

1

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

i

i

i

i

i

x

x

x

u

y

=

β

₁

+

β

₂

₂

+

β

₃

₃

+

β

₄

₄

+

3.1. Contrastes de parámetros.. 1. Caso General

[

0

1

0

0

]

[ ]

0

0

4

3

2

1

2

=

























=

β

β

β

β

β

i

i

i

i

i

x

x

x

u

y

=

β

₁

+

β

₂

₂

+

β

₃

₃

+

β

₄

₄

+

3.1. Contrastes de parámetros.. 1. Caso General





















=













































=

=

=

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

4

3

2

1

4

3

2

β

β

β

β

β

β

β

i

i

i

i

i

x

x

x

u

y

=

β

₁

+

β

₂

₂

+

β

₃

₃

+

β

₄

₄

+

3.1. Contrastes de parámetros.. 1. Caso General

[

]

[

] [

]

'

)

'

(

'

)

ˆ

(

'

)'

ˆ

))(

ˆ

(

))'

(

ˆ

))(

(

ˆ

(

))'

ˆ

(

ˆ

))(

ˆ

(

ˆ

(

)

ˆ

(

1 2

_R

_X

_X

_R

R

RVar

R

R

E

R

R

R

R

E

R

E

R

R

E

R

E

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Var

u −

=

=

−

−

=

−

−

=

−

−

=

σ

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

)

'

)

'

(

,

0

(

~

)

ˆ

(

R

β

−

R

β

N

σ

_u

2

R

X

X

−

1

R

r

R

R

R

r

R

β

=

⇒

(

β

ˆ

−

β

)

=

β

ˆ

−

:

entonces

cierta

es

H

Si

₀

3.1. Contrastes de parámetros.. 1. Caso General

• Ya que la suma de normales standard al cuadrado es una chi-cuadrado:

• Por otro lado conocemos que:

• El cociente de chi-cuadrados partidos por sus grados de libertad una F:

(

2

₍

_'

₎

1

_'

)

1

₍

_ˆ

₎

_~

2

)'

ˆ

(

R

β

−

r

σ

_u

R

X

X

−

R

−

R

β

−

r

χ

_q

2

2

~

'

k

n

u

e

e

−

χ

σ

3.1. Contrastes de parámetros.. 1. Caso General

• Por lo que el estadístico de contraste queda definitivamente

(

)

k

n

q

F

e

e

q

r

R

R

X

X

R

r

R

−

−

−

₋

−

,

1

1

~

'

)

ˆ

(

'

)

'

(

)'

ˆ

(

β

β

(

)

k

n

q

e

e

u

F

k

n

q

r

R

R

X

X

R

r

R

u

−

−

−

−

−

−

,

'

1

1

2

~

)

ˆ

(

'

)

'

(

)'

ˆ

(

2

σ

β

σ

β

Tema 3: El modelo Básico de Regresión Lineal Múltiple (II)

•

•

1.

1.

-

-

Contraste de combinaciones lineales entre

Contraste de combinaciones lineales entre

parámetros

parámetros

– 1.1 Caso General

–

–

1.2 Contraste de significación global

1.2 Contraste de significación global

– 1.3 Subconjunto de parámetros

– 1.4 Contraste de significación individual. Estimación por intervalo de confianza

• 2.- Predicción mínimo cuadrática individual y media

3.1. Contrastes de parámetros.. 3. Significación Global

Modelo respecto del Origen

2

2

,

2

1

0

ˆ

'

'ˆ

ˆ

ˆ

)

'

('

ˆ

0

...

:

u

u

k

n

k

k

k

Y

X

k

X

X

F

H

σ

β

σ

β

β

β

β

β

=

=

=

=

=

=

−

3.1. Contrastes de parámetros.. 3. Significación Global

=

−

=

−

=

=

=

=

−

−

1

,

₂

₂

2

0

ˆ

)

1

(

'

'ˆ

ˆ

)

1

(

ˆ

)

'

(

'ˆ

0

...

:

u

u

k

n

k

k

k

y

x

k

x

x

F

H

σ

β

σ

β

β

β

β

e

e

y

y

y

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k

n

e

e

y

y

y

x

'

_'ˆ

_ˆ

//

_ˆ

_u

'

//

'

_'ˆ

_ˆ

'

'ˆ

2

=

+

−

=

=

σ

β

2 2 1, _{2 2}

ˆ

_{'( ' )}

ˆ

ˆ

_{' '}

ˆ

ˆ

(

1)

(

1)

k n k u u

x x

NY

x y NY

F

k

k

β

β

β

σ

σ

− −

−

−

=

=

=

−

−

Modelo con datos centrados

Modelo con datos NO centrados

3.1. Contrastes de parámetros.. 3. Significación Global 2 2

ˆ ˆ

'

ˆ ˆ

_'

₁

'

'

(

1)

ˆ ˆ

_'

' (

1)

₁

'

₁

' (

)

y y

y y

_k

e e

e e

k

_n

_k

n

k

y y

_R

y y k

_k

e e

_R

y y n

k

_n

_k

−

=

−

₋

−

−

₌

₋

−

−

₋

3.1.Análisis de la varianza SCT = SCEx + SCRe

Grados de Libertad: Número de observaciones independientes en los cuales dicha suma se basa.

SCT= n-1 SCRe= n-k SCEx= k-1 ₂ 2 ' ' ˆ ' ' ˆ ' Re ' Y n Y X SCEx Y X Y Y SC Y n Y Y SCT − = − = − = β β

)

(

)

'

'

ˆ

'

(

)

1

(

)

'

'

ˆ

(

2

,

1

k

n

Y

X

Y

Y

k

Y

n

Y

X

F

_k

_n

_k

−

−

−

−

=

−

−

β

β

3.1. Análisis de la Varianza Ftes de Variacion Suma de Cuadrados G.L Explicada

β

'ˆ

X

'

Y

−

n

Y

2

k-1 Q1= 1 ' ' ˆ 2 − − k Y n Y X

β

Residuos

Y

'

Y

−

β

'ˆ

X

'

Y

n-k Q2= k n Y X Y Y − − ˆ' ' '

β

Total

_Y

_'

_Y

−

_n

_Y

2

n-1 Fk-1,n-k=Q1/Q2

3.1. Análisis de la Varianza Ftes de Variacion Suma de Cuadrados G.L Explicada

R

2

(

Y

'

Y

−

n

Y

2

)

k-1 Q1= 1 ) ' ( 2 2 − − k Y n Y Y R Residuos

₍

₁

−

_R

2

₎₍

_Y

_'

_Y

−

_n

_Y

2

₎

n-k Q2= k n Y n Y Y R − − − )( ' ) 1 ( 2 2 Total

_Y

_'

_Y

−

_n

_Y

2

n-1 Fk-1,n-k=Q1/Q2

Tema 3: El modelo Básico de Regresión Lineal Múltiple (II)

•

•

1.

1.

-

-

Contraste de combinaciones lineales entre

Contraste de combinaciones lineales entre

parámetros

parámetros

– 1.1 Caso General

– 1.2 Contraste de significación global

–

–

1.3 Subconjunto de parámetros

1.3 Subconjunto de parámetros

– 1.4 Contraste de significación individual. Estimación por intervalo de confianza

• 2.- Predicción mínimo cuadrática individual y media

3.1. Contrastes de parámetros.. 2. Subconjuntos de parámetros

• Partiendo del modelo general:

queremos contrastar la nulidad de los m últimos parámetros: Particionando las matrices nos queda

t

kt

k

it

i

t

t

x

x

x

u

y

=

β

₁

+

β

₂

₂

+

...

+

β

+

...

+

β

+

0

...

:

₁ 0 i

=

i +

=

=

k

=

H

β

β

β

[

]

              =             = =       = + + + + kn n i in k i i k i i k i i x x x x x x x x x X X , 1 2 , 2 , 1 2 1 , 1 , 1 1 2 1 2 2 1 2 1 . X . X β β β β β β β

3.1. Contrastes de parámetros.. 2. Subconjuntos de parámetros

• De tal forma que podemos escribir dos modelos

• MODELO AMPLIADO

• MODELO RESTRINGIDO

Obteniendo sus correspondiente sumas de errores al cuadrado

t

t

X

X

u

y

=

β

₁

₁

+

β

₂

₂

+

t

t

X

u

y

=

β

₁

₁

+

e

e

'

_e

_'

_e

3.1. Contrastes de parámetros.. 2. Subconjuntos de parámetros

Fases del Contraste

• Se estima el modelo ampliado y se obtiene e’e

• Se estima el modelo restringido y se ontiene e’e_r

• Estadístico de contraste

k

n

m

r

F

k

n

e

e

m

e

e

e

e

−

−

−

,

~

'

)

'

'

(

Tema 3: El modelo Básico de Regresión Lineal Múltiple (II)

•

•

1.

1.

-

-

Contraste de combinaciones lineales entre

Contraste de combinaciones lineales entre

parámetros

parámetros

– 1.1 Caso General

– 1.2 Subconjunto de parámetros

– 1.3 Contraste de significación global

–

–

1.4 Contraste de significación individual.

1.4 Contraste de significación individual.

Estimación por intervalo de confianza

Estimación por intervalo de confianza

• 2.- Predicción mínimo cuadrática individual y media

3.1. Contrastes de parámetros.. 4. Significación Individual 2 1 2 2 2 2 2 u 2 ( ) 2 2

ˆ ~ ( ,

(

'

) )

ˆ ~ ( ,

)

ˆ

_'

_e'e

ˆ

~

(0,1)

~

n-k

ˆ

ˆ

ˆ

~

(

)

ˆ

ˆ

(

)

(

)

u k k u kk k k n k u u kk k k u kk _{k k k k} n k k u kk u u

N

X X

N

a

e e

N

a

a

t

a

n k

n k

β

β σ

β

β σ

β

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_χ

_σ

σ

σ

β

β

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_β

_β

_β

_β

σ β

σ

σ

σ

− − −

−

=

−

−

−

=

=

−

−

Tema 3: El modelo Básico de Regresión Lineal Múltiple (II)

• 1.- Contraste de combinaciones lineales entre parámetros

– 1.1 Caso General

– 1.2 Subconjunto de parámetros

– 1.3 Contraste de significación global

– 1.4 Contraste de significación individual. Estimación por intervalo de confianza

•

•

2.

2.

-

-

Predicción mínimo cuadrática individual y media

Predicción mínimo cuadrática individual y media

3.3 Predicción individual y media

Estimación de Y dada por el modelo fuera de período muestral

• Ex-ante (Forecasting): Se ha de estimar los valores de las exógenas. Los cuales pueden ser erróneos

• Ex-post (Predicción): Los valores de las exógenas son conocidos.

i

kt

k

i

t

i

t

kt

k

t

t

t

kt

k

t

t

x

x

y

x

x

y

u

x

x

y

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

β

β

β

β

β

β

β

β

β

ˆ

...

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

...

ˆ

ˆ

...

2

2

1

2

2

1

2

2

1

3.3 Predicción individual y media

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

t

i

t

i

t

U

X

X

U

X

y

y

i

e

X

y

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

=

−

+

=

−

=

=

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

(

ˆ

)

(

ˆ

ˆ

β

β

β

β

β

[ ]

[

]

[ ]

[

−

+

−

+

]

=

=

=

−

=

=

=

+

−

=

₊

₊

ˆ

ˆ

)

(

)

(

)

(

))

(

(

0

)

)

ˆ

(

(

))

(

(

2

2

2

t

t

t

t

e

i

t

i

t

t

i

e

E

i

e

E

i

e

E

i

e

V

U

X

E

i

e

E

β

β

β

β

σ

β

β

3.3 Predicción individual y media

[

]

(

(

'

)

'

1

)

'

)

'

(

]

'

'

)'

ˆ

(

)

'

)

ˆ

(

'

)'

ˆ

)(

ˆ

(

[

)

'

'

)'

ˆ

)((

)

ˆ

(

(

1

2

2

1

2

₊

₌

₊

=

+

−

+

−

+

−

−

=

+

−

+

−

+

−

+

+

−

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

i

t

i

t

u

u

i

t

i

t

u

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

i

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X

X

X

X

X

X

X

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U

U

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U

U

X

X

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E

U

X

U

X

E

σ

σ

σ

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

3.3 Predicción individual y media

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

(

ˆ

)

(

)

(

ˆ

ˆ

β

β

β

β

β

−

=

−

=

−

=

=

+

+

+

+

+

+

+

i

t

i

t

i

t

i

t

i

t

m

t

i

t

i

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X

X

X

y

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E

i

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( )

[

] [ ]

[

]

m

t

m

t

m

t

m

t

m

e

i

t

m

t

X

X

X

X

X

X

E

i

e

E

i

e

E

i

e

E

i

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V

X

E

i

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−

+

=

−

−

=

=

−

=

=

=

−

=

'

)

'

(

))'

ˆ

(

))(

ˆ

(

(

)

(

)

(

)

(

))

(

(

0

))

ˆ

(

(

))

(

(

1

2

2

2

2

σ

β

β

β

β

σ

β

β

3.3 Predicción individual y media

2

2

1

2

2

~

'

)

1

,

0

(

~

)

1

'

)

'

(

(

ˆ

)

(

))

(

(

)

(

)

,

0

(

~

)

(

k

t

u

i

t

i

t

u

i

t

i

t

e

t

e

t

t

e

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e

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N

X

X

X

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y

y

i

e

i

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E

i

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N

i

e

−

+

−

+

+

+

+

−

=

=

=

−

χ

σ

σ

σ

σ

σ

3.3 Predicción individual y media i t i t i t i t i t i t u i t i t u i t i t

y

y

X

X

X

X

k

n

e

e

y

y

k

n

e

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X

X

X

X

y

y

+ + + − + + + + − + + +

−

=

+

−

−

=

−

+

−

ˆ

)

1

'

)

'

(

(

'

ˆ

)

(

'

)

1

'

)

'

(

(

ˆ

1 2 1 2

σ

σ

3.3 Predicción individual y media

e

i

t

i

t

k

n

i

t

i

t

e

k

n

i

t

i

t

e

k

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i

t

k

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e

i

t

i

t

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y

y

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esto

valorpropu

y

H

esto

valorpropu

y

H

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y

y

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y

P

t

y

y

t

P

σ

α

σ

σ

α

σ

α α α α

ˆ

ˆ

:

:

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

ˆ

ˆ

1

0

2 2 2 2

+

+

−

+

+

−

+

+

−

+

−

+

+

−

−

=

≤≥

=

−

=













₋

_≤

_≤

₊

−

=













≤

−

≤

−

3.3 Predicción individual y media

i

t

i

t

i

t

i

t

m

e

k

n

i

t

i

t

m

e

k

n

i

t

k

n

m

e

i

t

i

t

k

n

y

y

t

esto

valorpropu

y

E

H

esto

valorpropu

y

E

H

t

y

y

t

y

P

t

y

y

t

P

α

σ

σ

α

σ

α α α α

ˆ

)

(

:

)

(

:

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

ˆ

ˆ

1

0

2 2 2 2

+

+

+

+

−

+

+

−

+

−

+

+

−

−

=

≤≥

=

−

=













₋

_≤

_≤

₊

−

=

















≤

−

≤

−

3.3 Predicción individual y media

1

1

)

(

)

(

ˆ

ˆ

2

2

2

+

+

−

−

±

∑

+

−

+

_n

x

x

x

x

t

y

t

i

t

k

n

i

t

σ

α

x

i t i t

x

y

₊

=

β

ˆ

₁

+

β

ˆ

_{2 +}

i

t

x

₊