Centro Asociado Palma de Mallorca. Tutor: Antonio Rivero Cuesta

Centro Asociado Palma de Mallorca

Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2013 1ª, Modelo B Datos X1: (¬q  p)  ¬(¬p  ¬q) X 2: ( p  (¬q  r)) ⋁ s X 3: (¬p  r ¬s) X ₄: ¬r  (r  ¬s) Y1: x (Rxx  œyRxy) Y2: œx (Px  QxRxx) Y₃:  xœy Rx f(y) Y4: x y(Rx f(y)  x ≠ y)

I

₁

: P

₁

= {1,2} Q

₁

= {1,3}

R

₁

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4)}

f

₁

= {(0,0),(1,1),(2,3),(3,0),(4,3)}

I

₂

: P

₂

= {0,1} Q

₂

= {0,1,3}

R

₂

= {(0,3),(1,2)}

f

₂

= {(0,0),(1,3),(2,1),(3,2),(4,4)}

El universo es U = {0,1,2,3,4}.

Las fórmulas lógicas se suponen interpretadas sobre

U.

Observe que las funciones se han especificado

como relaciones, que también lo son.

Por ejemplo, como (2,3) pertenece a

f

₁

, resulta que

X₁: (q  p)   (p  q); X ₃: (p  r s) X2: ( p (q  r))  s; X4: r  (r  s) p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s ¬q⋁p¬p¬q ¬(¬p¬q) X1 ¬q⋀r p⋁(¬q⋀r) X2 X3 r¬s X4 ¬X3¬r⋁(¬r⋀¬s) ¬(X 4¬X 3) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

1.

X

₄

:

¬r



(

r



¬s

) Es equivalente a:

p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s X₁ X₂ X₃ X₄ ¬r⋁(¬r⋀¬s) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

2. Señale la consecuencia correcta:

X

₄



¬X

₃ p q r s ¬p¬q ¬r ¬sX1 X2 X3 X4 ¬X3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

1.

r



(

r



s

)

α1,2

2. (

p



r 

s

)

α2,2

3.

p

α3,2

4.

r

α₁,1

5.

s

α2,1

6.

r

3. Señale la fórmula insatisfacible:

¬

(

X

₄



¬X

₃

)

p q r s ¬p¬q ¬r ¬sX1 X2 X3 X4 ¬(X 4¬X3) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1.

r



(

r



s

)

α1,2

2. (

p



r 

s

)

α2,2

3.

p

α3,2

4.

r

α₁,1

5.

s

α2,1

6.

r

4. I:

p

=

q

=

r

=

s

= 1, satisface:

X

₂ p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s X1 X2 X3 X4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

5. Señale el conjunto satisfacible:

a)

{

X

₁

}

b)

{

X

₃

, X

₄

}

c)

{

X

₂

, X

₃

}

d)

{

X

₂

, X

₃

, X

₄

}

p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s X1 X2 X3 X4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

Y

₁

:

x

(

Rxx

⋀

œ

yRxy

)

Y

₂

:

œ

x

(

Px

⋀

Qx



Rxx

)

Y

₃

:



x

œ

y

Rx

f(y)

6. La interpretación

I

₂

satisface:

a Y

₃

e Y

₄

U = {0,1,2,3,4};

I

₂

: P

₂

= {0,1}; Q

₂

= {0,1,3}

R

₂

= {(0,3),(1,2)};

f

₂

= {(0,0),(1,3),(2,1),(3,2),(4,4)}

U



x

œ

yRxf(y)

0 R0..0,1,2,3,4

V

1 R1..0,1,2,3,4

V

2

V

3

V

4

V

U = {0,1,2,3,4};

I

₂

: P

₂

= {0,1}; Q

₂

= {0,1,3}

R

₂

= {(0,3),(1,2)};

f

₂

= {(0,0),(

1

,

3

),(2,1),(

3

,

2

),(4,4)}

(x, y) f(1) = 3 f(3) = 2

U

x y

(

Rxf(y)



x ≠ y

)

0

R0

1



0 ≠ 3 V



V V

1

R1

3



1 ≠ 2 V



V V

2

3

4

7. La interpretación

I

₁

satisface:

a Y

₃

e Y

₄

U = {0,1,2,3,4};

I

₁

: P

₁

= {1,2} Q

₁

= {1,3}

R

₁

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4)}

f

₁

= {(0,0),(1,1),(2,3),(3,0),(4,3)}

U



∃

x

œ

yRxf(y)

0

R0..

0,1,2,3,4

V

1

R1..

0,1,2,3,4

V

2

R2..

0,1,2,3,4

V

3

R3..

0,1,2,3,4

V

4

R4..

0,1,2,3,4

V

U = {0,1,2,3,4};

I

₁

: P

₁

= {1,2} Q

₁

= {1,3}

R

₁

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4)}

f

₁

= {(0,0),(

1

,

1

),(

2

,

3

),(3,0),(4,3)}

f(1) = 1 f(2) = 3

U

∃

x

∃

y

(

Rxf

(

y

)



x ≠ y

)

0

R0

1



0

≠

1

V



V V

1

R1

1



1

=

1

V



F F

2

R2

2



2

≠

3

V



V V

8. La interpretación I₁ satisface: a Y₂ pero no a Y₁

U = {0,1,2,3,4};

I

₁

: P

₁

= {1,2} Q

₁

= {1,3}

R

₁

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4)}

U R ∃x(Rxx



œyRxy) 0 F

V



F

F 1 V

F



F

F 2 F

V



F

F 3 F

V



F

F 4 V

F



F

F

U = {0,1,2,3,4};

I

₁

: P

₁

= {1,2} Q

₁

= {1,3}

R

₁

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4)}

U P Q R œx (Px



QxRxx) 0 F F F F



FF V 1 V V V V



VV V 2 V F F V



FF V 3 F V F F



VF V 4 F F V F



FV V

9. Y2: œx (Px ⋀ QxRxx) equivale a:

œ

x

(

Px



Qx



Rxx

)

œ

x

(



(

Px



Qx

)

⋁

Rxx

)

œ

x



(

Px



Qx



Rxx

)

10. Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. ¿A

qué es igual (A

⋂

)

⋂

C ?

11. El resultado de



f2 1 f2



 

2  

_{es: 2.}

f

₂

= {(0,0),(1,3),(2,1),(3,2),(4,4)}

  0 1 2 3 4 0  1  2  3  4    f₂-1 0  1  2  3  4    f₂   0 1 2 3 4

12. ¿De qué propiedades carece la relación:

R

₁

∪

R

₂

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4),(0,3),(1,2)}

Para ser un orden parcial débil?

Una relación es un

orden parcial débil

si es:



reflexiva



antisimétrica

R

₁

∪

R

₂

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4),(0,3),(1,2)}

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

































13. La relación

R

₁

∪

R

₂

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4),(0,3),(1,2)}

es:

Antisimétrica

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

































14. La función

f

₁

es: Ni inyectiva ni sobreyectiva.

f

₁

= {(0,0),(1,1),(2,3),(3,0),(4,3)}

0 1  2  3  4  0 1  2  3  4 

15. ¿Cuántas funciones de P2 en Q2 distintas pueden construirse? 9. 0 1 0 1 3 0 1 0 1 3 0 1 0 1 3 0 1 0 1  3 

0 1 0 1 3 0 1  0 1  3  0 1  0 1  3  0 1  0  1  3  0 1  0 1  3 

16. ¿Cuántos pares nuevos habría que añadir a la relación R₁ para que resultara ser una relación de equivalencia con tres clases de equivalencia? 5.

R1 = {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4)} {(0,0),(1,0),(2,2),(3,3),(3,2)}

0 1 2 3

17. Sea un árbol libre W, con m aristas y n nodos. ¿Cuántos

caminos hay en W de un nodo a a un nodo b distinto de a?

18. Considere la relación R

₁

∪

R

₂

\{(1,1),(4,4)} y

calcule su cierre simétrico R. Sea el grafo no

dirigido G construido a partir de R de forma que

{x,y} es una arista en G si y solo si (x,y)

∈

R o (y,x)

∈

R. ¿Qué se puede decir sobre G? Tiene un ciclo

de longitud 4.

R

₁

= {(0,1),(1,1),(2,3),(4,4)}

R

₂

= {(0,3),(1,2)}

R

₁

∪

R

₂

\{(1,1),(4,4)} =

Desarrolle un tableau, que confirme la respuesta

dada en la pregunta 3:

La fórmula insatisfacible,

una contradicción

:

¬

(

X

₄



¬X

₃

)

Nota:

¬

(

X

₄



¬X

₃

) =

¬

(

¬X

₄

⋁

¬X

₃

) =

(

X

₄

⋀

X

₃

)

Lógica y Estructuras Discretas Febrero 2013 2ª, Modelo C Datos X1: ¬q ⋁ r  p  s X 2: q ¬ (r  s) X 3: ¬ (p  q  s) X 4: (r  s)  (r  ¬s) Y1: œxœyœz (Rxy  Rxz  Ryz) Y₂: œx (∃yRxy  Px  Qx) Y3: ∃x(Rx f(x)  Px) Y4: œxœy (Rf(x)x  (Px  x ≠ y))

I

₁

: P

₁

= {1,3} Q

₁

= {0,1,2,3}

R

₁

= {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

f

₁

= {(0,0),(1,1),(2,1),(3,2),(4,1)}

I

₂

: P

₂

= {0,1} Q

₂

= {1,3}

R

₂

= {(0,0),(0,1),(1,2),(2,3),(4,3)}

f

₂

= {(0,0),(1,2),(2,3),(3,4),(4,3)}

El universo es U = {0,1,2,3,4}.

Las fórmulas lógicas se suponen interpretadas sobre

U.

R

₁

y R

₂

son relaciones en U. El dominio y el rango de

f

₁

y

f

₂

es U.

Observe que las funciones se han especificado como

relaciones;

Por ejemplo, como (2,1) pertenece a

f

₁

, resulta que

X1: q  r  p  s; X2: q   (r  s) X3:  (p  q  s); X4: (r  s)  (r  s) p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s ¬q⋁r p ⋀ s X1 r ⋁ s ¬(r⋁s) X2 ¬ X2 X3 rs r⋀¬s X4 r ⋁ s (r⋁s)¬q ¬(X1 ⋀ X2 ¬X3) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0

1. I: p = r = s = 0, q = 1 NO satisface: X3 p q r s X1 X2 X3 X4 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1

2. Es equivalente a X₂: ( r  s)  ¬ q p q r s X1 X2 X3 X4 (rs)¬q 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0

3. Es insatisfacible: {X1, X2, X3} p q r s X1 X2 X3 X4 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1

1. (



q



r



p



s

)



(

p



s





q



r

)

2.

q





(

r



s

)

α1,3

3.



p





q





s

α2,3

4.



p

α₃,3

5.



q

α1,10 α₁,9 α1,1

6.



s

α2,1

7. (



q



r



p



s

)

9.



(



q



r

)

10.

p



s

β2,7 β1,7

8.

(

p



s





q



r

)

12.



r

α₁,10 α1,9

14.

s

α₂,10

13.

p

α₂,9

11.

q

4. Es consecuencia: X1, X3  ¬X2 p q r s X1 X2 X3 X4 ¬ X2 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

5. Es insatisfacible: ¬ (X₁  X₂  ¬X₃) p q r s X1 X2 X3 X4 ¬(X1  X2 ¬X3) 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0

Y1: œxœyœz (Rxy  Rxz  Ryz) Y₂: œx ( yRxy  Px  Qx) Y₃: x(Rx f(x)  Px) Y4: œxœy (Rf(x)x  (Px  x ≠ y)) I1: P1 = {1,3} Q1 = {0,1,2,3} R₁ = {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)} f₁ = {(0,0),(1,1),(2,1),(3,2),(4,1)} I2: P2 = {0,1} Q2 = {1,3} R2 = {(0,0),(0,1),(1,2),(2,3),(4,3)} f2 = {(0,0),(1,2),(2,3),(3,4),(4,3)}

6.

Y

₄

:

œ

x

œ

y

(

Rf(x)x



(

Px



x

≠

y

)) es equivalente a:

7. La interpretación

I

₁

satisface:

a Y

₁

e Y

₂

I

₁

: P

₁

= {1,3} Q

₁

= {0,1,2,3}

R

₁

= {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

U

œ

x

œ

y

œ

z

(

Rxy



Rxz



Ryz

)

0

R02



R02



R22

V



V



V V

1

R13



R13



R33

V



V



V V

2

R22



R22



R22

V



V



V V

3

R33



R33



R33

V



V



V V

4

R44



R44



R44

F



F



F V

7. La interpretación

I

₁

satisface:

a Y

₁

e Y

₂

I

₁

: P

₁

= {1,3} Q

₁

= {0,1,2,3}

R

₁

= {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

U

œ

x

(

∃

yRxy



Px



Qx

)

0

R02



P0



Q0

V



F



V V

1

R13



P1



Q1

V



V



V V

2

R22



P2



Q2

V



F



V V

3

R33



P3



Q3

V



V



V V

4

R44



P4



Q4

F



F



F V

8. La interpretación

I

₁

satisface:

a Y

₃

e Y

₄

I

₁

: U = {0,1,2,3,4}; P

₁

= {1,3}

R

₁

= {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

f

₁

= {(0,0),(1,1),(2,1),(3,2),(4,1)}

U

∃

x

(

Rxf(x)



Px

)

0

R00



P0

F



F V

1

R11



P1

F



V V

2

R21



P2

F



F V

3

R32



P3

F



V V

4

F



F V

I

₁

: P

₁

= {1,3} Q

₁

= {0,1,2,3}

R

₁

= {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

f

₁

= {(0,0),(1,1),(2,1),(3,2),(4,1)}

U

œ

x

œ

y

(

Rf(x)x



(

Px

⋀

x

≠

y

))

0

R00



P0



0

≠

1

F  (FV) V 1

R11



P1



1

≠

2

F  (VV) V 2

R12



P2



2

≠

1

F  (FV) V 3

R23



P3



3

≠

2

F  (VV) V 4

R14



P4



4

≠

3

F  (FV) V

9. La interpretación

I

₂

satisface:

a Y

₃

pero no Y

₄

I

₂

: P

₂

= {0,1} Q

₂

= {1,3}

R

₂

= {(0,0),(0,1),(1,2),(2,3),(4,3)}

f

₂

= {(0,0),(1,2),(2,3),(3,4),(4,3)}

U

∃

x

(

Rxf(x)



Px

)

0

R00



P0

V



V V

1

R12



P1

V



V V

2

R23



P2

V



F F

3

F



F V

4

R43



P4

V



F F

9. La interpretación

I

₂

satisface:

a Y

₃

pero no Y

₄

I

₂

: P

₂

= {0,1} Q

₂

= {1,3}

R

₂

= {(0,0),(0,1),(1,2),(2,3),(4,3)}

f

₂

= {(0,0),(1,2),(2,3),(3,4),(4,3)}

U œxœy (Rf(x)x  (Px  x ≠ y)) 0 R00  P0  0 = 0 V  (VF) F 1 R21  P1  1 ≠ 2 F  (VV) V 2 R32  P2  2 ≠ 3 F  (FV) V 3 R43  P3  3 ≠ 4 V  (FV) F 4 R34  P4  4 ≠ 3 F  (FV) V

I1: P1 = {1,3} Q1 = {0,1,2,3} R1 = {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

f1 = {(0,0),(1,1),(2,1),(3,2),(4,1)}

I₂: P₂ = {0,1} Q₂ = {1,3} R₂ = {(0,0),(0,1),(1,2),(2,3),(4,3)}

f₂ = {(0,0),(1,2),(2,3),(3,4),(4,3)}

10. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.

¿A qué es igual

⋃

?:

11. Sea

A

el dominio de la relación

R

₁

y sea

B

el

rango de la relación

R

₂

. El producto cartesiano (

AxB

)

consta de un número de elementos (que son pares

ordenados) igual a: 16.

R

₁

= {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

R

₂

= {(0,0),(0,1),(1,2),(2,3),(4,3)}

A = {0,1,2,3} y B = {0,1,2,3};

AxB =

{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0), (1,1),(1,2),(1,3),

(2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}

12. La relación inversa de (R

₁

⋂

R

₂

) consta de un

número de elementos, de pares ordenados, igual a: 0.

R

₁

= {(0,2),(1,3),(2,2),(3,3)}

13. Dadas las funciones

f

₁

y

f

₂

definidas en la sección

datos:

f

₂

no es inyectiva.

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

f₂

14. ¿Cuantas funciones inyectivas distintas se pueden

definir de P1 en Q1? 12.

1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3

1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3 1 3 0 1 2 3

15. El cierre simétrico de (R1

⋃

R2) añadiría a (R1

⋃

R2) nuevos pares distintos, hasta un total de: 6.

El cierre simétrico de (R1

⋃

R2) es:

{(2,0),(3,1),(1,0),(2,1) ,(3,2),(3,4)}

16. Partiendo de la relación R2 \ {(0,0)},

su cierre transitivo es un orden parcial estricto.

Un orden parcial estricto es No Reflexivo,

Antisimétrico y Transitivo.

R2 = {(0,1),(1,2),(2,3),(4,3)},

el cierre transitivo tiene los siguientes pares

(0,2),(0,3),(1,3).

0

1

2

4

3

17. Considere un árbol libre W, con m aristas.

W tiene m+1 nodos.

18. El digrafo sencillo definido por (R

₁

⋃

R

₂

)\

{(0,0),(2,2),(3,3)}.

Es acíclico

.

(R

₁

⋃

R

₂

)\ {(0,0),(2,2),(3,3)} = {(0,2),(1,3),(0,1),(1,2)

,(2,3),(4,3)}

0

1

2

4

3

Pregunta de desarrollo Febrero 2013 C

Desarrolle un tableau, que confirme la respuesta que marcó en la pregunta 3: Es insatisfacible: {X ₁, X ₂, X ₃}

X

₁

:

¬q

⋁

r



p

⋀

s

≡

(

¬q

⋁

r



p

⋀

s

)

⋀ (

p

⋀

s



¬q

⋁

r

)

X

₂

:

q



¬

(

r

⋁

s

)

X

₃

:

¬

(

p

⋁

q

⋁

s

)

Lógica y Estructuras Discretas Septiembre 2013, Modelo A

Datos

X₁: ¬((q  r)  (p ¬p)) X 2: (q  q  r) ⋀ (q  s) X 3: p  (r  s) X 4: s  ¬p Y1: œxœy Rxy  ¬∃zQz Y2: ∃x (Qx  Mx) Y3: œxœy (x = y  Qx  Mf(y))

X1: ¬((q  r)  (p ¬p)); X 2: (q  q  r) ⋀ (q  s) X ₃: p  (r  s) X ₄: s  ¬p p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s q⋁r p ⋁ ¬p X1 q  q ⋁ r qs X2 rs X3 X4 (X2⋀X3)X4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1. Es una tautología: a) X₃  X₄ b) (X2  X3)  X4 c) X1  X4 X2 X3 X4 (X2⋀X3)X4 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

2. X4 es consecuencia lógica de: a) X₂  X₃ b) X₃ c) X₁ X1 X2 X3 (X2⋀ X3) X4 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1

3. La interpretación p = 1, q = 1, r = 1, s = 1 satisface: a) {X1, X3} b) {X₃, X₄} c) {X₁, X₂}

p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s X

₁

X

₂

X

₃

X

₄

1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1

4. Es equivalente a: X ₁: ¬((q  r)  (p ¬p))

a) (q  r) ¬(p ¬p)

b) ¬(q  r)  ¬(p ¬p)

5. Sean φ1, φ2 y Ψ cualesquiera tres fórmulas de lógica

proposicional. Si: ¬ (φ ₁ ⋀ φ ₂ ⋀ Ψ) es tautología, ¿cuál

de las siguientes afirmaciones es cierta? a) { φ₁, φ₂ }  Ψ b) { φ₁, Ψ }  ¬φ2 c) ¬ (( φ1, φ2 )



Ψ ) es insatisfacible ¬ (φ₁



φ₂



Ψ) ¬ (φ₁



φ₂)



¬Ψ (φ₁



φ₂)



¬Ψ {φ₁



φ₂} ¬Ψ {φ1



Ψ}  ¬φ2

Y₁: œxœy Rxy  ¬∃zQz Y2: ∃x (Qx  Mx)

6. ¿Qué interpretación sobre el universo U = {1,2} satisface Y3?: a) Q = {1}, M = {1}, f(1) = 1, f(2) = 2 œxœy( x = y  _Qx  _{M f} (_y)) 1 1 = 1  _Q1  _M1 V  V V 2 2 = 2  _Q2  _M2 V  F F

b) Q = {1,2}, M = {2}, f(1) = 2, f(2) = 2 œxœy( x = y  Qx ⋀ M f (y)) 1 1 ≠ 2  Q1 ⋀ M2 F  V V 2 2 = 2  Q₂ ⋀ M₂ V  V V c) Q = {1,2}, M = {2}, f(1) = 2, f(2) = 1 œxœy( x = y  Qx ⋀ M f (y)) 1 1 = 1  Q₁  M₁ V  F F 2 2 ≠ 1  Q₂  M₁ F  V V

7. ¿Qué interpretación sobre el universo U = {1,2} NO

satisface Y₁ :

œ

x

œ

y

Rxy



¬

∃

zQz

?:

a) R = {(1,1),(2,2)}, Q = {1}

b) R = {(1,1),(1,2)}, Q = ∅

8. Es equivalente a ∃x (Qx  Mx)

a) ∃z ((Qz ⋀ Mz) ⋁ (¬Qz ⋀ ¬Mz))

b) ∃z ((Qz ⋀ Mz) ⋀ (¬Qz ⋀ ¬Mz))

9. Sea P cualquier predicado diádico (de aridad 2) en

lógica de predicados. ¿Cuál de las siguientes fórmulas

es equivalente a ¬œx∃yPxy?

a) ∃x∃y¬Pxy

b) œxœy¬Pxy

10. ¿Tienen los conjuntos ℕ y el conjunto potencia de ℕ la misma cardinalidad?

a) Sí. b) No.

c) Dado que ambos conjuntos son infinitos, no tiene sentido hablar de su cardinalidad.

11. ¿Es posible establecer una biyección entre el conjunto ℕ y el conjunto potencia de ℕ?

a) Sí b) No

c) Dado que ambos conjuntos son infinitos, no tiene sentido hablar de establecer una biyección entre ambos.

12. Sea el conjunto A={1,2}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos

es el conjunto potencia de A?

a) {∅}∪_{{1},{2}}∪_{A}

b) ∅∪_{{1},{2}}∪_A

13. Sea A un conjunto finito cualquiera, y sea n = |A|.

¿Cuál es la cardinalidad el conjunto potencia de A?

a) nn

b) n2

14. ¿Cuál de las siguientes funciones definidas de ℤ en ℤ es inyectiva?

a) f(z) = z+5

b) f(z) = z2

82 48

12

46

A

B

A

B

A

B

B

B

 



 



 



15. Sean A y B y dos conjuntos finitos tales que,

48 A  _y A B 12 _{. ¿Cuál es el cardinal de} B? a) 34 b) 46 c) 22 82 A B 

16. Sean a y b dos nodos cualesquiera de un dígrafo G. Sea d

la distancia de a al nodo b. ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es cierta? a) d es un número par.

b) d 1, pero d no puede ser infinito (∞)

17. La longitud de un camino e en un grafo ponderado G es

igual a:

a) No se puede calcular la longitud del camino sin conocer los pesos de las aristas de G.

b) El número de aristas de e.

18. El grado total de un nodo en un grafo dirigido… a) Es la suma de sus grados de entrada y de salida. b) Siempre es un número par.

Pregunta de desarrollo Septiembre 2013 A Sean las siguientes fórmulas

Z1: p  (q ⋀ r); Z 2: ((s ⋁ t)  o) ⋀ t; Z 3: (¬r ⋀ p) ⋁ ¬o

Demuestre mediante un tableau que es correcto el siguiente argumento: {Z ₂, Z ₃}  ¬Z ₁

Lógica y Estructuras Discretas Septiembre 2013, Modelo B

Datos

X1: ¬((q  r)  (p ¬p)) X 2: (q  q  r) ⋀ (q  s) X 3: p  (r  s) X 4: s  ¬p Y1: œxœy Rxy  ¬∃zQz Y2: ∃x (Qx  Mx) Y3: œxœy (x = y  Qx  Mf(y))

X1: ¬((q  r)  (p ¬p)); X 2: (q  q  r) ⋀ (q  s) X ₃: p  (r  s) X ₄: s  ¬p p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s q⋁r p ⋁ ¬p X1 q  q ⋁ r qs X2 rs X3 X4 (X2⋀X3)X4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1. Es un conjunto insatisfacible: a) {X2, X3} b) {X₃, X₄} c) {X₁, X₂} X1 X2 X3 X4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1

2. La interpretación p = 1, q = 1, r = 1, s = 1 satisface: a) {X1, X3} b) {X₃, X₄} c) {X₁, X₂}

p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s X

₁

X

₂

X

₃

X

₄

1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1

3. X4 es consecuencia lógica de: a) X₂  X₃ b) X₃ c) X₁ X1 X2 X3 X2  X3 X4 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

4. Es una tautología: a) X₃  X₄ b) (X2  X3)  X4 c) X1  X4 X₁ X₂ X₃ X₂  X₃ X₄ ( X₂  X₃)  X₄ 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1

5. Sean φ1, φ2 y Ψ cualesquiera tres fórmulas de lógica

proposicional. Si: ¬ (φ ₁ ⋀ φ ₂ ⋀ Ψ) es tautología, ¿cuál

de las siguientes afirmaciones es cierta? a) { φ₁, φ₂ }  Ψ b) { φ₁, Ψ }  ¬φ2 c) ¬ (( φ1, φ2 )



Ψ ) es insatisfacible ¬ (φ₁



φ₂



Ψ) ¬ (φ₁



φ₂)



¬Ψ (φ₁



φ₂)



¬Ψ {φ₁



φ₂}  ¬Ψ {φ1



Ψ} ¬φ2

Y₁: œxœy Rxy  ¬∃zQz Y2: ∃x (Qx  Mx) Y3: œxœy (x = y  Qx ⋀ M f (y)) 6. Es equivalente a Y₂: ∃x (Qx  Mx) a) ∃z ((Qz ⋀ Mz) ⋁ (¬Qz ⋀ ¬Mz)) b) ∃z ((Qz ⋀ Mz) ⋀ (¬Qz ⋀ ¬Mz)) c) ∃z ((Qz ⋁ Mz) ⋁ (¬Qz ⋁ ¬Mz))

7. ¿Qué interpretación sobre el universo U = {1,2} satisface Y₃?: a) Q = {1}, M = {1}, f(1) = 1, f(2) = 2 œxœy( x = y  _Qx  _{M f} (_y)) 1 1 = 1  _Q1  _M1 V  V V 2 2 = 2  _Q2  _M2 V  F F

b) Q = {1,2}, M = {2}, f(1) = 2, f(2) = 2 œxœy( x = y  Qx ⋀ M f (y)) 1 1 ≠ 2  Q1 ⋀ M2 F  V V 2 2 = 2  Q₂ ⋀ M₂ V  V V c) Q = {1,2}, M = {2}, f(1) = 2, f(2) = 1 œxœy( x = y  Qx ⋀ M f (y)) 1 1 = 1  Q₁  M₁ V  F F 2 2 ≠ 1  Q₂  M₁ F  V V

8. ¿Qué interpretación sobre el universo U = {1,2} NO

satisface Y₁ :

œ

x

œ

y

Rxy



¬

∃

zQz

?:

a) R = {(1,1),(2,2)}, Q = {1}

b) R = {(1,1),(1,2)}, Q = ∅

9. Sea P cualquier predicado diádico (de aridad 2) en

lógica de predicados. ¿Cuál de las siguientes fórmulas

es equivalente a ¬œx∃yPxy?

a) ∃x∃y¬Pxy

b) œxœy¬Pxy

10. ¿Es posible establecer una biyección entre el conjunto

ℕ y el conjunto potencia de ℕ?

a) Sí

b) No

c) Dado que ambos conjuntos son infinitos, no tiene

sentido hablar de establecer una biyección entre ambos.

11. ¿Cuál de las siguientes funciones definidas de ℤ en ℤ es inyectiva?

a) f(z) = z+5

b) f(z) = z2

12. ¿Cuál de las siguientes relaciones es una función de X = {a,b,c} a Y = {1,2,3}?

a) {(a,1),(b,2),(a,3)}

b) {(b,1),(c,2),(b,3),(a,2)}

13. Sea A un conjunto cualquiera, y sea E el conjunto universal. ¿A qué fórmula de las siguientes es

equivalente A ⋂ A?

a) E

b) A ⋂

14. Sea A un conjunto finito cualquiera, y sea n = |A|.

¿Cuál es la cardinalidad el conjunto potencia de A?

a) nn

b) n2

15. Un seleccionador de fútbol ha acudido a la Eurocopa de 2012 con 6 delanteros. Si sólo escogerá para jugar a 3 de ellos, ¿de cuántas formas puede hacerlo?

a) 6⋅3 b) 63 c) (6⋅5⋅4)/(3⋅2)

!

6!

6 5 4

( , )

! (

)! 3! (6 3)!

3 2

n

_n

C n r

r

r

n r

 

 



_{ }







 

 



 

16. ¿Cómo se denomina un camino en un digrafo en el que todos los nodos son distintos?

a) Ciclo

b) Camino sencillo

17. Sea G un grafo dirigido sencillo sin bucles que tiene n

nodos. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar el

grado total de un nodo de G?

a) n – 1.

b) 2n – 2.

18. Si para todo par de nodos x e y de un grafo G se cumple que x es alcanzable desde y entonces se dice que G es…

a) Un árbol.

b) Conexo.

Pregunta de desarrollo Septiembre 2013 B Sean las siguientes fórmulas

Z 1: (¬r ⋀ p) ⋁ ¬o; Z2: p  (q ⋀ r); Z 3: ((s ⋁ t)  o) ⋀ t

Demuestre mediante un tableau que es correcto el siguiente argumento: {Z ₁, Z ₂}  ¬Z ₃

Lógica y Estructuras Discretas Septiembre 2013, Modelo D

Datos

X1: ¬((q  r)  (p ¬p)) X 2: (q  q  r) ⋀ (q  s) X 3: p  (r  s) X 4: s  ¬p Y1: œxœy Rxy  ¬∃zQz Y2: ∃x (Qx  Mx) Y3: œxœy (x = y  Qx  Mf(y))

X1: ¬((q  r)  (p ¬p)); X 2: (q  q  r) ⋀ (q  s) X ₃: p  (r  s) X ₄: s  ¬p p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s q⋁r p ⋁ ¬p X1 q  q ⋁ r qs X2 rs X3 X4 (X2⋀X3)X4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1. La interpretación p = 1, q = 1, r = 1, s = 1 satisface: a) {X1, X3} b) {X₃, X₄} c) {X₁, X₂}

p q r s ¬p ¬q ¬r ¬s X

₁

X

₂

X

₃

X

₄

1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1

2. Es equivalente a: X ₁: ¬((q  r)  (p ¬p))

a) (q  r) ¬(p ¬p)

b) ¬(q  r)  ¬(p ¬p)

3. Es un conjunto insatisfacible: a) {X2, X3} b) {X₃, X₄} c) {X₁, X₂} X₁ X₂ X₃ X₄ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1

4. X4 es consecuencia lógica de: a) X₂  X₃ b) X₃ c) X₁ X1 X2 X3 X2  X3 X4 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

5. Sean φ1, φ2 y Ψ cualesquiera tres fórmulas de lógica

proposicional. Si: ¬ (φ ₁ ⋀ φ ₂ ⋀ Ψ) es tautología, ¿cuál

de las siguientes afirmaciones es cierta? a) { φ₁, φ₂ }  Ψ b) { φ₁, Ψ }  ¬φ2 c) ¬ (( φ1, φ2 )



Ψ ) es insatisfacible ¬ (φ₁



φ₂



Ψ) ¬ (φ₁



φ₂)



¬Ψ (φ₁



φ₂)



¬Ψ {φ₁



φ₂}  ¬Ψ {φ1



Ψ} ¬φ2

Y₁: œxœy Rxy  ¬∃zQz Y2: ∃x (Qx  Mx)

Y3: œxœy (x = y  Qx ⋀ M f (y))

6. ¿Qué interpretación sobre el universo U = {1,2} NO

satisface Y₁ :

œxœy

Rxy



¬

∃

zQz

?:

a) R = {(1,1),(2,2)}, Q = {1}

b) R = {(1,1),(1,2)}, Q = ∅

7. Es equivalente a Y₂: ∃x (Qx  Mx)

a) ∃z ((Qz ⋀ Mz) ⋁ (¬Qz ⋀ ¬Mz))

b) ∃z ((Qz ⋀ Mz) ⋀ (¬Qz ⋀ ¬Mz))

8. ¿Qué interpretación sobre el universo U = {1,2} satisface Y₃?: a) Q = {1}, M = {1}, f(1) = 1, f(2) = 2 œxœy( x = y  _Qx  _{M f} (_y)) 1 1 = 1  _Q1  _M1 V  V V 2 2 = 2  _Q2  _M2 V  F F

b) Q = {1,2}, M = {2}, f(1) = 2, f(2) = 2 œxœy( x = y  Qx ⋀ M f (y)) 1 1 ≠ 2  Q1 ⋀ M2 F  V V 2 2 = 2  Q₂ ⋀ M₂ V  V V c) Q = {1,2}, M = {2}, f(1) = 2, f(2) = 1 œxœy( x = y  Qx ⋀ M f (y)) 1 1 = 1  Q₁  M₁ V  F F 2 2 ≠ 1  Q₂  M₁ F  V V

9. ¿Qué interpretación sobre el universo U = {1,2} satisface Y₂?:

a) Q = {2}, M = {1}

b) Q = {1,2}, M = {2}

10. ¿Es posible establecer una biyección entre el conjunto

ℕ y el conjunto potencia de ℕ?

a) Sí

b) No

c) Dado que ambos conjuntos son infinitos, no tiene

sentido hablar de establecer una biyección entre ambos.

11. Sea A un conjunto cualquiera, y sea E el conjunto universal. ¿A qué fórmula de las siguientes es

equivalente A ⋃ A?

a) E

b) ∅

12. Sea A un conjunto cualquiera, y sea E el conjunto universal. ¿A qué fórmula de las siguientes es

equivalente A ⋃ E?

a) E

b) ∅

13. Sea A un conjunto cualquiera, y sea E el conjunto universal. ¿A qué fórmula de las siguientes es

equivalente A ⋃ ∅ ?

a) E

b) A ⋂

14. ¿Cuál de las funciones es una sobreyección? a) f:  , f(n) = n + 1

b) f:  , f(z) = z + 1

15. Un seleccionador de fútbol ha acudido a la Eurocopa de 2012 con 7 defensas. Si sólo escogerá para jugar a 4 de ellos, ¿de cuántas formas puede hacerlo?

a) 7!/4! b) 7!/ 4!·3! c) 47

!

7!

7!

( , )

! (

)! 3! (7 3)! 4! 3!

n

_n

C n r

r

r

n r

 



_{ }







 

 



 

16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se cumple para cualquier árbol de expansión?

a) Es conexo y acíclico

b) Es no conexo y acíclico

17. Si para todo par de nodos x e y de un grafo G se

cumple que x es alcanzable desde y entonces se dice

que G es..

a) Un árbol.

b) Conexo.

18. El grado total de un nodo en un grafo dirigido…

a) Es la suma de sus grados de entrada y de salida.

b) Siempre es un número par.

c) Es el número de nodos que se pueden alcanzar

Pregunta de desarrollo Septiembre 2013 D Sean las siguientes fórmulas

Z1: p  (q ⋀ r); Z 2: ((s ⋁ t)  o) ⋀ t; Z 3: (¬r ⋀ p) ⋁ ¬o

Demuestre mediante un tableau que es correcto el siguiente argumento: {Z ₂, Z ₃}  ¬Z ₁