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Resumen.Diversasinvestigacionesreportansobrelasdiferentesnocionesquetienenlos estudiantesdelconceptodeángulo(MartínezyRodríguez,2005)yderazóntrigonométrica (Araya,etal,2007),dondemuestranlafaltadesignificaciónquepudieraserlacausadeno concebirlanocióndefuncióntrigonométrica(Maldonado2005)ocausadelosconflictosque presentanlosestudiantesalestudiarestetipodefunción(Montiel2005).
Porestemotivonosinteresamosenmostrarcómoestánpresentesloselementosdela trigonometríaenelmedioescolarycuálessonlasconcepcionesqueelestudiantetiene respectodelosconceptospreviosalafuncióntrigonométrica,comosonloselementosde trigonometría.Enelpresentetrabajo,sereportapartedelanálisisdidácticosobrelos elementosdelatrigonometría,enelqueidentificamoscuálessonestosconceptosycuálesel patrónquesiguenparasuenseñanza.
Palabrasclave:concepto,significado,elementosdetrigonometría,transposicióndidáctica
Introducción
Unodelosinteresesdelahumanidadsehacentradoenconocerdistanciasastronómicas,como porejemploladistanciaqueexisteentrelaTierrayelsol.Enlaactualidadsabemosquepara calculardistanciasinaccesibles,serealizaatravésdesemejanzadetriángulosyrelacionesentre losladosyángulosdeéstos,teniendoentoncesunaherramientaparaestetipodecálculos,desde laépocadelosgriegos,alatrigonometría.Losprimerosenhacerusodeloselementosde trigonometría,sinqueeneseentoncesseconsiderarancomotales,fueronMenelao,Ptolomeoe Hiparco.
Enelmedioeducativoloselementosdetrigonometríasondevitalimportanciaparaelestudiode lafuncióntrigonométrica.Laenseñanzadelatrigonometría,olaenseñanzadelosprimeros conceptosligadosalafuncióntrigonométrica,sonabordadasapartirdelnivelbásico(secundaria), demodoquelasconcepcionesqueseadquierenenestenivelsondevitalimportancia,pues formanunabaseparaadentrarsealestudiodelafuncióntrigonométricaenelnivelmedio superior.Pero,cuandoseplanteaunaactividaddeenseñanzadeuntemaoconceptomatemático, seesperaqueelestudiantelogreasociarleunsignificadoalconceptonuevoporaprender;sin ANÁLISISDIDÁCTICOYCOGNITIVODELOSELEMENTOSDETRIGONOMETRÍA
JoséLuisMirandaNava,ElikaS.MaldonadoMejía
UniversidadAutónomadeGuerrero México
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 170 embargo,sueleocurrirquesóloseestéfortaleciendoelconocimientocarentedesignificacióno erróneo.
DeacuerdoconVinner(1983)yTall(1996),(citadoenMontiel,2005),apropiarsedelsignificado delanocióndeunconceptoimplicaformarunaimagendelmismo,esdecir,tenerestructuras cognitivasqueseasocienalconcepto,incluyendosusrepresentacionesmentales,procesosy propiedadesasociados.
Sinembargo,lasnocionesquetienenlosestudiantesdelconceptodeángulo(Martínezy Rodríguez,2005)yrazóntrigonométrica(Araya,etal,2007),suelenserdeficientesycarentesde significaciónypudieraserlacausadelporquénoconcibenlanocióndefuncióntrigonométrica (Maldonado2005)ocausadelosconflictosquepresentanlosestudiantes(Montiel2005).
Portalmotivonosplanteamoslosiguientecomoproblemadeinvestigación¿Cómoestán presentesloselementosdelatrigonometríaenelmedioescolarycuálessonlasconcepcionesque elestudiantetieneconrespectoalosconceptospreviosalafuncióntrigonométrica,comosonlos elementosdetrigonometría?Conelpropósitodedarcuentadecómosonpresentadoslos elementosdelatrigonometríaenelplanyprogramadeestudioyenloslibrosdetextoutilizados porelprofesor;también,identificarlasconcepcionesquelosestudiantestienenrespectodelos conceptosquesonnecesariosparaelestudiodelafuncióntrigonométrica,afindedescribir dichasconcepciones.
Pararealizarestainvestigaciónnosubicamosenelnivelbásico(secundaria)paraelestudio didáctico,yelcognitivoenelnivelmediosuperior.Elanálisiscognitivosehaceenestenivel porqueelestudiodelatrigonometríaserealizaalfinalizarelúltimocicloescolardelnivelmedio. Como pretendemos inferirsobre las concepciones quetienenlosestudiantes, en nuestra investigacióntomaremoseltérminoconcepcióncomo:losconocimientosdelsujetosobreun objeto,originadoscomoconsecuenciadelosprocesosdeenseñanzaͲaprendizajeenelsenode sistemasdidácticosoenentornosinformales,(Ruiz,1998,p.49).
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 171 Antecedentes Recientesinvestigacionesmuestranevidenciasdequealgunosestudiantespresentanconflictosal momentodeasignarunsignificadoalafuncióntrigonométrica(Montiel2005)asícomolas concepciones que tienen los estudiantes con respecto al concepto de ángulo, razones trigonométricasysusfunciones(MartínezyRodríguez2005).
MartínezyRodríguez(2005)conlafinalidaddedarcuentadeldiscursoyvidaescolardelos conceptos de ángulo, ángulo negativo, ángulos mayores de 360º, razones y funciones trigonométricas,realizanunanálisisdelibrosdetextosutilizadosporprofesoresyalumnos. Diseñauncuestionariotrassuanálisisdidácticoyloaplican a diecinueveestudiantes.Al confrontarsuanálisisdidácticoycognitivo,encuentranquelosfundamentosparatratarsutema desuinterésnosonmuyamplios,lamayoríadelosestudiantesasumenlainexistenciadelos ángulosnegativosymayoresde360º,puestoquesólotresdediecinuevepudieronrelacionaralas funcionestrigonométricasconsusgráficasynotanunadislexiatraslaconfrontacióndedichos análisis.
Maldonado(2005)realizaunanálisisdidácticodelafuncióntrigonométrica,encontrandoque, antesdemencionaralafuncióntrigonométricacomofunciónrealdevariablereal,ladefinen comorazónqueinvolucraalosángulosmedidosengrados,despuésrealizanlaconversiónde estosángulosaradianesenelcírculounitarioyasípresentaralafunciónrealdevariablereal. AfirmaquelarelaciónradianesͲrealesnoesexplícita,yportantoelestudiantenoconcibela nocióndelconceptodefunción.
Montiel(2005),atiendealfenómenodidácticorelacionadoconeltratamientoescolardela función trigonométrica, de acuerdo al análisis realizado distingue seis etapas, las cuales proporcionanelprocesoporelcualpasalafuncióntrigonométricaparaconsiderarsecomouna funciónrealdevariablereal.Ademásidentificaconflictosquepresentanlosestudiantes:
x Comoelprocedimientoqueconsisteendividirunaentreotralaslongitudesdedosladosde untriángulo(rectángulo)yqueproducenelsenooelcosenodeunángulo(agudo).Aunquea veceslosalumnosaplicabanesteprocedimientoindebidamenteatriángulosquenoeran rectángulosoaángulosquenoeranagudos;
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172 x Comocoordenadascartesianasdeunpuntoenuncírculotrigonométrico,esascoordenadas
eran,paralosalumnos,elcosenoyelsenodel«punto»;
x Comolasfuncionesdeunacalculadora,funcionesqueproporcionaban,segúnlosalumnos,el senoyelcosenodeunnúmeroqueexpresabalamedidadeunángulo.
x Comolascurvasdeaspectoondulado.Inclusoalgunosalumnosadmitíanqueesascurvas seguíanrepresentandolasmismasfuncionescuandosufríanunarotaciónouncambiode escala.
x Comounaecuación,aunqueraramenterecurrieronaellayeransusceptiblesdeequivocarse cuandolohacían.
Debeserclaroquesilosconceptosinícialesnosonaprehendidosdeformasignificativaporel estudiante,estehechorepercutiránecesariamenteenlaaprehensiónocomprensióndelostemas ocontenidossubsecuentesdelaasignatura.
Adiferenciadelasinvestigacionesanteriores,nosproponemosarealizarunestudiosobrelos conceptosqueantecedenalconceptodefuncióntrigonométrica,afindedarcuentadelas concepciones del estudiante y de inferir si dichas concepciones son pertinentes para la apropiaciónsignificativadelconceptodefuncióntrigonométrica.
Marcoteórico
Todoproyectosocialdeenseñanzaydeaprendizajeseconstituyedialécticamenteconla identificaciónydesignacióndecontenidosdesaberescomocontenidosaenseñar.
Deestamaneraelsaberaltransponerloalaulasufrealgunoscambiosendondeelestudiante generaciertasconcepcionesencuantoalsaberenjuego.Loscontenidosdesaberesaenseñar (explícitamente:enlosprogramas;implícitamente:porlatradiciónevolutiva,delainterpretación delosprogramas),engeneralpreexistenalmovimientoquelosdesignacomotales.Sinembargo, algunasveces sonverdaderascreacionesdidácticas, suscitadas por las“necesidadesdela enseñanza”(Chevallard,1991).
Uncontenidodesaberquehasidodesignadocomosaberaenseñar,sufreapartirdeentoncesun conjuntodetrasformacionesadaptativasquevanahacerloaptoparaocuparunlugarentrelos
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 173 objetosdeenseñanza.Eltrabajoquetransformadeunobjetodesaberaenseñaraenunobjeto deenseñanza,esdenominadoTransposicióndidáctica.
Chevallarddicequeunobjetodesabersetratacomotal,cuandosepresentacomoútilparala economíadelsistemadidáctico,elcualloestablececomo:
Nocionesmatemáticas,quesonconsideradoscomoobjetosyherramientasdeestudio,poseen propiedadesytienenocasionesdeuso,esdecir,sonobjetosdeenseñanzaparaunmatemático (queestánexplícitamenteenprogramasdeestudio).Porejemplo,nuestroobjetodeestudio (elementos de trigonometría), son nociones tratadas como objetos de estudio y como herramientasparaelestudiodelafuncióntrigonométrica.
Nocionesparamatemáticas,éstassonnocionesͲherramientasdelaactividadmatemáticalas cualessonobjetodesaberauxiliaresquenosonenseñadosperosonnecesariosparalaenseñanza delosobjetosmatemáticos.
Nocionesprotomatemáticas,estasnocionessonutilizadasimplícitamenteenlasolucióndealgún problemaynosonreconocidosnicomoobjetosdeestudio,nicomoherramientasparaelestudio deotrosobjetos.
Latransposicióndidácticadelasmatemáticasylosrequisitosseencuentrantendencialmente satisfechosatravésdeunprocesodepreparacióndidáctica,esdecir,lapuestaentextosdelsaber. Teniendoentoncesque,unatransmisiónescolarburocráticasuponeencuantoalsaber:
ͲLadivisióndelaprácticateóricaencamposdesaberdelimitadosquedenlugaraprácticasde aprendizajeespecializadas,esdecir,ladesincretizacióndelsaber.
Ͳ En cada una de esas prácticas, la separación del saber y de la persona, es decir, la despersonalizcióndelsaber.
ͲLaprogramacióndedelosaprendizajesydeloscontroles,segúnlassecuenciasrazonadasque permitanunaadquisiciónprogresivadelosconocimientosexpertos,esdecir,laprogramabilidad delaadquisicióndelsaber.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 174 ͲLadefiniciónexplicita,encomprensiónyextensión,delsaberatransmitir,esdecir,lapublicidad delsaber.
ͲElcontrolreguladodelosaprendizajessegúnprocedimientosdeverificaciónqueautoricenla certificacióndelosconocimientosexpertos,esdecir,elcontrolsocialdelosaprendizajes. Metodología Dadoquesepretendedarcuentadelapresenciadeloselementosdelatrigonometría,hacemos elanálisisdeprogramasdeestudioasícomodeloslibrosdetextoqueseempleanparaelestudio delosconceptosdetrigonometría.Conbaseenelresultadodelanálisisrealizadosediseñaráun cuestionarioconelobjetivodeinferirsobrelasconcepcionesquetienenlosestudiantes,producto delaenseñanza.Finalmente,seconfrontaráloexpuestoporelestudianteenelcuestionariocon loexpuestoenloslibrosdetexto,planesyprogramasdeestudioafindeinferirsobrela concepciónquequedaenelestudiantetraslaenseñanzaͲaprendizajedeloselementosdela trigonometría.
Análisisdeprogramasylibrosdetexto
Elementosdetrigonometríaenlosprogramasdeestudio
Enelprogramadeestudiosdelplan1993deeducaciónbásica,seestablecequelasmatemáticas sonelproductodeunintentoporcomprenderyexplicarlosfenómenosqueenestemundo ocurren,esdecir,tratardeentenderunfenómenodarlesignificadoyjustificarlodandouna explicaciónracionaldelporquéycómoesqueocurreelmismo,considerandoporelloala enseñanzadelasmatemáticasdetalformaquefomenteenelestudiantelacuriosidadylas actitudesquelahicieronposibleylamantienenviva(p.37),ademásdequedebededesarrollar habilidadesoperatorias,comunicativasydedescubrimiento,portantoelproductodeloanterior, debedeserelaprendizajedelasmatemáticas,esdecirqueelalumnoadquieraseguridady habilidad,capacidaddepredecirygeneralizarresultados,desarrollogradualdelrazonamiento deductivo(p.37).
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 175 Lostemasenelprogramaestánagrupadosencincoáreas:Aritmética,Algebra,Geometría(enel tercergradoseagregatrigonometría),Presentaciónytratamientodelainformación,Nocionesde probabilidad. Losconceptosconsideradoscomoelementosdetrigonometría,esdecir,losconocimientosprevios alestudiodelafuncióntrigonométrica,enelprogramasonlossiguientes: x Razonestrigonométricasdeunánguloagudo:seno,coseno,tangente,ysusreciprocas. x Valoresdelseno,elcosenoylatangenteparalosángulosde30º,45ºy60º.Usodetablas
(ejerciciosdeinterpolación)ycalculadoraparaotrosángulosagudos.
x Resolucióndetriángulosrectángulosysuaplicaciónalasolucióndeproblemas:cálculode distanciasinaccesibles;delladoylaapotemadepolígonosregulares.
Enelúltimogradosepresentanlosconceptosdetriángulosycuadriláteros,círculo,semejanza,el teoremadePitágoras.
Elsabersiguelasiguienteprogramabilidadeneltercergradoeneláreadegeometría:Triángulosy cuadriláteros,Círculo,Semejanza,TeoremadeTaleseneltriánguloysurecíproco;Criteriosde semejanzadetriángulos,elTeoremadePitágoras,yfinalmenteloqueconsideracomoelementos detrigonometría,mencionadosanteriormente.
Algodesumaimportanciaesqueelprogramanoestáconcebidocomounasucesióndetemasque debenagotarseunoacontinuacióndelotro,sinoqueelprofesordebeorganizarelcontenidode maneraconvenienteparasuaprendizaje.
Podemosobservarqueloselementosdetrigonometríasiguenunaprogramabilidad,portanto cumpleconunodelosrequisitoscuandounsabersedesignacomosaberaenseñar.
Elementosdetrigonometríaenloslibrosdetexto
Enelanálisisdeloslibrosdetextoseidentificóloqueenestosesconsideradocomoelementosde latrigonometríaasícomolaestructuraquetienelapresentacióndelosmismos.
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176 En este librose consideran como elementos de la trigonometría los siguientes:Razones
trigonométricas,Círculounitario,Identidadestrigonométricas,Razonestrigonométricasdelos ángulos30°,45°y60°.Laestructuraquesepresentaparalaenseñanzadeestosconceptosseda delasiguientemanera: Razóntrigonométrica, Elsenoeslarazón ,esdecir, Elcosenoeslarazón ,esdecir, Latangenteeslarazón ,esdecir,
Continúandandounoysólounejemplocomo:¿Cuálessonlasrazonestrigonométricasdeun triángulocuyosladosmiden6,8y10unidades?
Parafinalizarlapresentacióndeesteconceptoseproponeunaseriedeejercicios;cabeseñalar queenlapresentacióndeéstos,losdatosdelejercicioyasonpresentadosenlosladosyángulos quecorrespondendeltriángulo,elestudiantesólotendríaquéoperar.Esteeselpatrónengeneral quesesigueparalapresentacióndelosconceptosrestantes.Inferimosqueestetipode presentaciónpudieracausardificultadesencuantoalarepresentacióngráficadeunproblema como:
Uncabletensorde30mdelongitud,sostieneunpostede18mdealtura¿Aquédistanciadelpie delposteelanclaquesujetaelcablealpisosidichocableformaconelpisounángulode37º? Enloslibrosólosepidequerealiceloscálculosnecesariosyenestecasoelestudiantetendríaque representargráficamenteeindicarlosvaloresendicharepresentaciónparadarsoluciónal problema.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 177 Razóntrigonométrica Seno.Eslarazónentrelaordenadayladistanciaalorigen x Coseno.Eslarazónentrelaabscisayladistanciaalorigen. x Tangente.Eslarazónentrelaordenadaylaabscisa. x Ladefinicióndelasrazonestrigonométricasestándadasconbaseenelplanocoordenado.
Lasecuenciaparalapresentacióndeesteconceptoespresentarunadefinición,sedasóloun ejemployfinalizanconejercicios,sinembargoenelplanteamientodelosejerciciosnuevamente seobservaquelosdatosdelproblemaysurepresentacióngráficasepresentanenloslugares correspondientes,quealestudiantesolosehabilitaenlamecanizacióndelasdelasdefiniciones dadas.
Amaneradereflexión
Porunaparteenelplanseafirmaqueelalumnodebeadquirirseguridadyhabilidad,capacidadde predecir ygeneralizarresultados,desarrollargradualmentesurazonamientodeductivo.Sin embargo,enloslibrosdetextolosejerciciosorientanaquedarseenlaalgoritmización,limitando al estudiante de poder significar los conceptos necesarios para el estudio de la función trigonométrica,orillándoloaformarseconceptoscarentesdesignificadoydeestamanerano lograrlaaprehensióndelconcepto,enestecasodefuncióntrigonométrica.Portantoconeste trabajo, al identificar las concepciones que los estudiantes tienen de los elementos de trigonometría,podremoscontribuiralamejoradelaenseñanzayaprendizajedelafunción trigonométrica.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 178 Referenciasbibliográficas Araya,A.,MongeA.yMorales,C.(2007).ComprensióndelasRazonesTrigonométricas:Nivelesde Comprensión,IndicadoresyTareasdesuAnálisis.ActualidadesInvestigativasenEducación7(2),1Ͳ 31. Obtenido en noviembre 6, 2007, de http://revista.inie.ucr.ac.cr/articulos/2Ͳ 2007/archivos/comprension.pdf
Baldor,J.(1999).Geometríaplanaydelespacioytrigonometría.México:Cultural. Briseño,L.,Verdugo,J.(2006).Matemáticas3.MéxicoD.F.,México.:Santillana.
Brosseau,G.(1986).Fondementsetméthodesdeladidactiquedesmathématiques.Recherchesen DidactiquedesMathématiques7(2),33Ͳ115.
Chevallard,Y.(1991).Latransposicióndidáctica.Delsabersabioalsaberenseñado.BuenosAires: Aique.
Maldonado,E.(2005).Unanálisisdidácticodelafuncióntrigonométrica.Tesisdemaestríano publicada,CinvestavͲIPN,México.
Martínez,J.yRodríguez,P.(2005).Ladidácticaylacognicióndelosángulosnegativosymayores de360ºysusfuncionestrigonométricas.Tesisdelicenciaturanopublicada,UniversidadAutónoma deGuerrero,México.
Montiel,G.(2005)EstudioSocioepistemológicodelaFunciónTrigonométrica.TesisdeDoctorado nopublicada,CicataͲIPN,México.
Guerrero,L.S.(2006).Tiposdeconcepcionessobrelanaturalezadelasmatemáticas,desu enseñanzaydesuaprendizaje.Estudioconprofesoresenservicio.TesisdeMaestríanopublicada, CinvestavͲIPN,México.
Higueras,L.R.(1998).Lanocióndefunción:AnálisisEpistemológicoyDidáctico.Jaén:Universidad deJaén.ServiciodePublicaciones.
SEP.(1993).Planyprogramasdeestudio.Educaciónbásica.Secundaria.México:Secretaríade EducaciónPública.
