Capitulo 4 Modelo RBC con trabajo constante *

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Modelo RBC con trabajo constante

*

Hamilton Galindo

Arizona State University (ASU) [email protected]

Alexis Montecinos

Massachusetts Institute of Technology (MIT) [email protected]

Borrador: 8 de julio de 2017

´

_Indice

1. Introducci´on 3

2. Construcci´on del modelo 3

2.1. Familias . . . 4

2.2. Empresas . . . 7

2.3. Equilibrio de mercado y definici´on del choque . . . 8

2.4. Ecuaciones principales . . . 8

3. Calibración 8 4. Estado estacionario 10 5. Log-linealización 12 5.1. Efecto sustitución y efecto ingreso de la tasa de interés . . . 16

6. Soluci´on del sistema lineal 24 6.1. M´etodo de coeficientes indeterminados . . . 24

6.2. An´alisis de elasticidades . . . 26

7. Representaci´on de series de tiempo 31 7.1. Serie de tiempo del capital . . . 31

7.2. Serie de tiempo del producto . . . 32

7.3. Serie de tiempo del consumo . . . 32

7.4. Serie de tiempo de la tasa de inter´es real bruta . . . 33

7.5. Serie de tiempo de la inversi´on . . . 33

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8. Funciones impulso-respuesta 33

9. Simulaci´on de las variables end´ogenas 41

10.Componente c´ıclico de las variables simuladas 43

11.C´alculo de los momentos te´oricos 43

12.Comparaci´on modelo te´orico con los datos empiricos 47

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1. Introducci´

on

El objetivo de este cap´ıtulo es comprender detalladamente el proceso de construcción y solución de un modelo de ciclos económicos reales. Además, entender cómo se construye la simulación de las variables y cómo se obtiene la función impulo-respuesta. Para ello, en este cap´ıtulo, se analiza en detalle uno de los modelos propuestos por Campbell (1994).

El modelo base propuesto por Campbell (1994) es un modelo estacionario (sin ten-dencia), pero con crecimiento diferente de cero en el estado estacionario. Este modelo es un extensión del modelo de crecimiento estocástico, el cual permite rastrear los efectos dinámicos de cualquier evento aleatorio (choque).

No obstante, la solución del modelo estocástico es dif´ıcil principalmente por las no-linealidades que emergen del mismo modelo, las cuales se derivan de la interacción entre ele-mentos multiplicativos (función de producción Cobb-Douglas) y elementos aditivos (ley de movimiento del capital). Un caso especial es el modelo propuesto por Long y Plosser (1983), descrito en el cap´ıtulo 3. En ese modelo las no-linealidades desaparecen debido al supuesto no realista que la depreciación es total; es decir, la tasa de depreciación es igual a uno (δ= 1), y que además, la función de utilidad es logar´ıtmica (u(ct, ht) =lnct+θln(1−ht)).

En este caso el modelo llega a ser lineal y puede ser resuelto anal´ıticamente; en los dem´as casos una “soluci´on aproximada” es requerida.

En l´ınea con lo anterior, Campbell (1994) menciona que unpaper t´ıpico en la literatura RBC plasma el modelo y luego se mueve directamente a la discusión de las propiedades de solución, sin especificar como se llegó a dicha solución. Lo anterior no permite que el lector entienda el proceso para obtener dichas propiedades de solución, ni la solución en s´ı misma. Ante ello, el autor propone un enfoque anal´ıtico simple del modelo de crecimiento estocástico, cuya versión log-lineal puede ser resuelto anal´ıticamente para mostrar el me-canimo de solución lo más transparente posible. Con el fin de ilustrar el método de solución, Campbell (1994) lo aplica a cuatro modelos: [1] modelo con oferta ed trabajo fija, [2] mo-delo con oferta de trabajo variable y con función de utilidad aditivamente separable, [3] modelo con oferta de trabajo variable y con función de utilidad no aditivamente separable, y [4] el segundo modelo extendido con un choque de gasto público.

Este cap´ıtulo se centra en el primer modelo (oferta de trabajo constante), dejando para el siguiente cap´ıtulo el modelo con oferta de trabajo variable.

2. Construcci´

on del modelo

Este modelo est´a compuesto por familias y empresas en un entorno de econom´ıa

ce-rrada, en la cual existe un único bien. Por un lado las familias tienen trabajo fijo; es decir, todas las familias están empleadas. Por otro lado las familias son dueñas del capital y por tanto demandan bienes para invertir lo cual a su vez crea una oferta de capital. Asimismo, las familias demandan bienes de consumo.

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De otro lado, las empresas tienen un tecnolog´ıa para producir el ´unico bien en la econom´ıa en funci´on del capital. Por ello las empresas demandan capital. En la figura [1] se esquematiza el modelo.

Figura1: Esquema del modelo de oferta de trabajo constante

Familias Empresas 𝑘𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑘𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑦𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 Mercado de capital (competencia perfecta) Mercado de bienes (competencia perfecta) Economía cerrada 2.1. Familias

En este modelo se asume que la econom´ıa est´a poblada por un conjunto de familias

id´enticas que tienen vida infinita. La familia representativa busca maximizar su funci´on de utilidad descontada: Max {ct,kt+1}∞t=0 E0 ∞ X t=0 βtu(ct) (1)

Dondectes el consumo del periodotyβ es el factor de descuento. Adem´as, la funci´on

de utilidad instant´anea est´a descrita por la siguiente forma funcional:

u(ct) =

c1_t−γ

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Propiedades de la funci´on de utilidad

La función de utilidad previa tiene un coeficiente de aversión al riesgo igual a γ y una elasticidad de sustitución intertemporal (del consumo)σ = 1/γ

C´alculo de ESI_tc₊₁_,t (σ): uct = c −γ t T M gSI_tc₊₁_,t = −Et uct βuct+1 =−Et cγ_t βcγ_t₊₁ ESI_tc₊₁_,t = ∂ln( ct+1 ct ) ∂ln(T M gSI_tc₊₁_,t) = T M gSIc t+1,t ct+1 ct 1 ∂T M gSIc t+1,t ∂ ct+1 ct = 1 γ

La elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ) se entiende como la disposi-ción de la familia de sustituir consumo hoy (↓ct) por consumo de mañana (↑ct+1). Cuando

se dice que dicha elasticidad es fuerte (σ es grande), se entiende que el consumidor est´a dispuesto a reducir su consumo hoy en mayor cantidad.

De otro lado, se asume que la familia es due˜na del capital f´ısico (kt), cuya din´amica de

acumulaci´on est´a representada por la ley de movimiento del capital:

kt+1= (1−δ)kt+it (3)

Dicho capital (kt) es alquilado a las empresas a una tasa de inter´es real rt. Este flujo

(rtkt) positivo representa los ingresos de la familia, los cuales son distribuidos entre el

consumo (ct) y la inversi´on (it). Esta equivalencia de flujos, para cada periodo de tiempo,

est´a representada en la restricci´on presupuestaria.

ct+it=rtkt (4)

Problema de optimizaci´on

El problema de optimizaci´on de la familia representativa es el siguiente: Max {ct,kt+1}∞_t₌₀ E0 ∞ X t=0 βtc 1−γ t 1−γ

sujeto a la restricci´on presupuestaria:

ct+kt+1−(1−δ)kt=rtkt

Donde la inversi´on (it) se ha reemplazado por su expresi´on derivada de la ley de movimiento

del capital (ecuación (3)). Además, cabe mencionar que las variables de control, en este problema de optimización, son:ct ykt+1.

El problema de optimizaci´on de las familias puede ser escrito como una funci´on de La-grange: L=E0 ∞ X t=0 βt u(ct) +λt rtkt−(ct+kt+1−(1−δ)kt)

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Donde, de manera similar al capitulo 3 (modelo Lomg y Plosser (1983)), la versi´on extendida de la funci´on de Lagrange se puede expresar de la siguiente manera:

L = E0 β0u(c0) +λ0 r0k0−(c0+k1−(1−δ)k0) + β1u(c1) +λ1 r1k1−(c1+k2−(1−δ)k1) + β2u(c2) +λ2 r2k2−(c2+k3−(1−δ)k2) + β3u(c3) +λ3 r3k3−(c3+k4−(1−δ)k3) + β4 u(c4) +λ4 r4k4−(c4+k5−(1−δ)k4) + ...+ βtu(ct) +λt rtkt−(ct+kt+1−(1−δ)kt) + βt+1u(ct+1) +λt+1 rt+1kt+1−(ct+1+kt+2−(1−δ)kt+1) + ...+ ...

Las condiciones de primer orden, en el periodo “t”, son:

∂L ∂ct = 0 =⇒E0 βtuct +λt(−1) = 0 uct =λt (5) ∂L ∂kt+1 = 0 =⇒E0 βt λt(−1)] +βt+1 λt+1(rt+1+ (1−δ)) = 0 λt=βEtλt+1(rt+1+ (1−δ)) (6)

Reemplazando le ecuación (5) en la ecuación (6) se obtiene la ecuación de Euler:

uct = βEtuct+1(rt+1+ (1−δ))

c−_tγ = βEtct−+1γ(rt+1+ (1−δ)) (7)

En l´ınea con Campbell (1994), se define la variable Rt como la tasa bruta de inter´es

de la inversi´on en capital de un periodo, el cual es igual a la tasa de inter´es real neta (rt)

m´as el capital no depreciado (1−δ). En el periodo “t+1” esta relaci´on se expresa de la siguiente manera.

Rt+1 =rt+1+ (1−δ) (8)

Considerando la expresi´on anterior, la ecuaci´on de Euler tendr´ıa la forma siguiente:

c−_tγ=βEtc−t+1γRt+1 (9)

La ecuaci´on de Euler expresa una comparaci´on beneficio/costo marginal de consumir una unidad del bien. Por un lado se tiene el costo marginal de dejar de consumir una

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unidad adicional del bien, el cual es expresado por la utilidad marginal uct. Por otro lado se tiene el beneficio marginal de no consumir dicha unidad del bien en “t”, la cual en el periodo siguiente “t+ 1” se convierte en 1(1 +rt+1−δ) unidades de bien. Esto se debe a

que existe una tasa de inter´es y una tasa de depreciaci´on. La utilidad marginal que brinda esta unidad adicional en “t+1” es uct+1Rt+1. Sin embargo, para compararlo con el costo

marginal en “t” es necesario traerlo a valor presente por medio del factor de descuento “β”. Por tanto, el beneficio marginal, en “t”, es igual a βuct+1(Rt+1). Esto se observa en

la siguiente ecuaci´on.

uct |{z} costo marginal =βEtuct+1(rt+1+ (1−δ)) | {z } beneficio marginal

Por tanto, la ecuaci´on de Euler indica que la familia est´a dispuesta a sacrificar consumo hoy hasta que el costo marginal de dejar de consumir una unidad del bien hoy sea igual al beneficio marginal de dicha unidad del bien traido a valor presente.

2.2. Empresas

Se asume que las empresas se desarrollan en un contexto de competencia perfecta tanto en el mercado de bienes como en el mercado de factores de producción. En este escenario, la empresa representativa maximiza su función de beneficios sujeta a su tecnolog´ıa (función de producción). Dicho problema de optimización está descrito de la siguiente manera:

Max

{kt}∞t=0

Πt=yt−rtkt

Sujeto a la funci´on de producci´on:

yt=aαtk1t−α (10)

La funci´on de producci´on solo depende de la productividadat y del capitalkt debido

a que se asume que el trabajoht es constante (fijo). Adem´as, debido a que la empresa no

toma decisiones intertemporales, su problema de optimizaci´on se realiza para cada uno de los periodos. Por tanto, el problema de optimizaci´on se puede realizar en ty extender el resultado para los siguientes periodos.

Introduciendo la función de producción en la función objetivo y derivando esta última con respecto a la única variable de control (kt), se obtiene la siguiente expresión.

∂Π ∂kt = 0 =⇒ ∂(a α tk1 −α t −rtkt) ∂kt = 0 =⇒(1−α) at kt α −rt= 0

De esta condici´on de primer orden se obtiene la demanda de capital:

rt= (1−α) at kt α (11)

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2.3. Equilibrio de mercado y definici´on del choque

Para completar el modelo antes descrito es necesario especificar dos ecuaciones adi-cionales. La primera describe el equilibrio en el mercado de bienes; es decir, todo lo que se produce en la econom´ıa debe encontrar su contraparte en los diferentes componentes del gasto agregado. La segunda especifica el comportamiento de la productividad. Con respecto a esta ´ultima, usualmente se supone que es estacionaria en media y que tiene una varianza constante. La forma est´andar de representarla es asumiendo que la productividad sigue un proceso autorregresivo de orden uno.

En este modelo en particular, se asume que no existe gasto de gobierno (gt = 0) y

que la econom´ıa es pequeña y cerrada. Por tanto, toda la producción tendrá dos posibles destinos: el consumo (ct) y la inversión (it). En ese sentido, la condición de equilibrio está

descrita por la siguiente ecuaci´on:

yt=ct+it (12)

De otro lado, la productividad sigue un comportamiento estacionario AR(1), en la cual el choque está representado por el ruido blanco t, que tiene una función de distribución

normal con media cero y varianza constante [N(0, σ2)]. En estado estacionario, se asu-me que dicho ruido blanco toma el valor de su asu-media. Asimismo, cuando se dice que la

econom´ıa ha sufrido un “choque” en t= 0 significa que en dicho periodo el ruido blanco

(t) ha dejado de ser cero y ha tomado, solo en ese periodo, alg´un valor proporcional a

su desviación estándar (nσ). Usualmente, se considera quenes igual a uno. La ecuación

(13) describe el comportamiento de la productividad.

lnat=φlnat−1+t (13)

Cabe subrayar que el logar´ıtmo de la productividad se comporta como un AR(1) y no la productividad en s´ı misma. Esto es importante porque permite que, en el estado estacionario, la productividad sea igual a uno, lo cual evita cualquier divisi´on entre cero. 2.4. Ecuaciones principales

Las ecuaciones principales del modelo se resumen en cuadro [1]:

Este conjunto de ecuaciones representan un sistema de ecuaciones en diferencias no lineales y estocásticas. Para resolver dicho sistema, como es usual en la literatura, se trans-forma en un sistema de ecuaciones lineales. Esto es debido a que las técnicas matemáticas de solución de sistemas lineales son ampliamente conocidas en la literatura. La solución del sistema lineal será una aproximación de la solución del sistema no-lineal. Cabe mencionar que un paso previo a la linealización de sistema de ecuaciones es la asignación de valores a los parámetros (calibración) y el cálculo del estado estacionario.

3. Calibraci´

on

Calibración es una metodolog´ıa emp´ırica, la cual consiste en asignar un valor a los parámetros del modelo de equilibrio general basado en una diversidad de fuentes. Según Heer y Maußner (2009), las fuentes mas comúnes son las siguientes:

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Cuadro 1: Sistema de ecuaciones no lineal del modelo

Ecuaciones Descripci´on

c_t−γ =βEtct−+1γRt+1 Ecuaci´on de Euler

yt=aαtk1t−α Funci´on de producci´on

rt= (1−α)

_a_t

kt α

Demanda del capital

Rt=rt+ (1−δ) Rt es la tasa de inter´es real (bruta)

rt es la tasa de inter´es real (neta)

que considera la depreciaci´on

yt=ct+it Equilibrio mercado de bienes

kt+1= (1−δ)kt+it Ley de movimiento del capital

lnat=φlnat−1+t Choque de productividad

Nota:Estas 7 ecuaciones se pueden escribir directamente en un “mod”

en Dynare para obtener la soluci´on del modelo y los IRFs.

1. El uso del promedio del nivel de variables econ´omicas de series de tiempo o el pro-medio de los ratios de dichas variables.

2. La estimación econométrica de una ecuación.

3. Referencia a estudios econometricos basados en datos microecon´omicos o

macro-econ´omicos.

4. Ajustar los par´ametros para que el modelo replique ciertos hechos emp´ıricos como segundo momentos de los datos o impulso-respuesta de un VAR estructural.

La forma de evaluar el poder del modelo para capturar la realidad es por medio de la comparación de los valores de los segundos momentos y de las funciones impulso-respuesta con los valores obtenidos emp´ıricamente. En el cuadro [2] se indica los valores de los parámetros del modelo, los cuales están basados en Campbell (1994).

Cuadro 2: Calibraci´on (valores base)

Par´ametro Nombre Sustento anual

α= 0.667 (1−α) es la participaci´on del capital

en el producto

δ = 0.025 Tasa de depreciaci´on 10 % anual

ln(Rss) = 0.015, lleva aRss=

1.015 y por tanto:β = 0.9852

Tasa de inter´es real bruta de estado estacionario

6.184 % anual:

(1 + 0.015)4−1

σ = 0.2 Tlasticidad de sustituci´on

intertem-poral del consumo

φ= 0.95 Persistencia del choque

(10)

4. Estado estacionario

Para el c´alculo del estado estacionario se considera que la variable xt se mantiene

constante. Entonces, en el estado estacionario se tiene que xt =xt+1 =xss. Esta ´ultima

condición se aplica a todas las variables endógenas. Además, en el estado estacionario el choquess toma su valor promedio, que es igual a cero.

Para la ecuaci´on de Euler se tiene lo siguiente:

c−_tγ = βEtc−t+1γRt+1 c−_ssγ = βc−_ssγRss 1 = βRss Rss = 1 β (14)

Para la funci´on de producci´on:

yt = aαtk1

−α t

yss = aαssk1ss−α (15)

Para la demanda de capital:

rt = (1−α) at kt α rss = (1−α) ass kss α (16) De la ecuaci´on de la tasa de inter´es bruta:

Rt = rt+ (1−δ) Rss = rss+ (1−δ) por la ecuaci´on (14): 1 β = rss+ (1−δ) rss = 1 β −(1−δ) (17)

Para la ecuaci´on de equilibrio en el mercado de bienes:

yt = ct+it

(11)

De la misma manera para la ley de movimiento del capital:

kt = (1−δ)kt+it

kss = (1−δ)kss+iss

iss = δkss (19)

Finalmente para la ecuaci´on de comportamiento de la productividad:

lnat = φlnat−1+t lnass = φlnass+ ss |{z} =0(valor de su media) lnass = φlnass ln(ass) = ln(aφss) ass = aφss (20)

Al igual que en el modelo de Long y Plosser (1983), dos valores deasspodr´ıan resolver

esta ´ultima ecuaci´on (20): ass = 1 o ass = 0. Sin embargo, solo cuando ass = 1, el lnass

existe. Por tanto, la soluci´on correcta esass= 1. La ventaja de considerar la ecuaci´on del

choque de productividad en logaritmos es que evita que la productividad en estado esta-cionario pueda ser cero. Esto es importante porque evita que en las ecuaciones de estado estacionario y en las ecuaciones log-lineales se encuentre alg´un n´umero o variable divida por cero.

Hasta aqu´ı se ha encontrado el valor de estado estacionario de la tasa de inter´es bruta

Rss, de la tasa de inter´es neta rss y de la productividad ass; sin embargo para encontrar

el estado estacionario para las dem´as variables se tiene que hacer algunas operaciones

algebraicas adicionales. De la ecuaci´on (16) se tiene:

rss = (1−α)

ass

kss

α

Como ya se conoce el valor de rss por la ecuaci´on (17) y de ass, entonces se puede

conocer el valor del capital kss.

rss = (1−α) ass kss α kss = ass rss (1−α) −_α1 (21) Debido a que ya se conoce kss, entonces se puede hallar el valor del producto yss, de

la inversi´on iss y del consumo css:

yss = aαssk1

−α

ss , de la ecuaci´on (15) (22)

iss = δkss, de la ecuaci´on (19) (23)

(12)

En el cuadro [3] se resume la expresi´on del estado estacionario de cada variable del modelo.

Cuadro3: Estado estacionario

Estado estacionario (forma recursiva) Estado estacionario (forma param´etrica)

Rss= 1_β = _β1 rss=Rss−(1−δ) = _β1 −(1−δ) ass= 1 = 1 kss=ass rss (1−α) −_α1 = 1 β−(1−δ) 1−α −_α1 yss=aαsskss1−α = 1 β−(1−δ) 1−α −(1−_αα) iss=δkss =δ 1 β−(1−δ) 1−α −1 α css=yss−iss = 1 β+αδ−1 1−α 1 β−(1−δ) 1−α −_α1

Nota:El c´alculo de los estados estacionarios se encuentran en Campbell Lfijo.m (secci´on 1).

5. Log-linealizaci´

on

El sistema de ecuaciones que describe el modelo de Campbell (1994) es no lineal. Es-ta caracter´ıstica del modelo dificulEs-ta la forma de encontrar la solución de dicho sistema. Una forma estándar de abordar esta dificultad es log-linealizar cada ecuación; es decir, convertir una ecuación no lineal en una ecuación lineal en términos de log desviación de la variable con respecto a su estado estacionario. Además, para pequeñas desviaciones del estado estacionario, la log desviación de una variable tiene una interpretación económica importante: ella es aproximadamente igual a la desviación, en porcentaje, del estado esta-cionario (Uhlig, 1995).

La ventaja de aplicar log-linealización es que convierte el sistema no lineal en lineal, al cual se le puede aplicar los métodos matemáticos estándar para resolver dichos sistemas (Blanchard y Kahn, 1981).

En primer lugar, se define la variable en log-desviaciones:

b

xt=lnxt−lnxss (25)

En segundo lugar, despejando la variablext de la ecuaci´on [25] se tiene:

xt=xssebxt (26)

En tercer lugar, se hace una aproximaci´on de Taylor de primer orden deexbt con respecto al estado estacionario, en el cual _bxt= 0; es decir,xt=xss:

(13)

exbt b xt=0 ∼ = ebxt=0+ebxt=0( b xt−0) exbt b xt=0 ∼ = 1 +_bxt ebxt ∼= 1 + b xt (27)

Esta última ecuación se reemplaza en la ecuación (26):

xt=xssebxt ∼=x ss(1 +xbt) (28) De la ecuación (28) se despejaxbt: b xt∼= xt−xss xss (29) Por tanto, la variable en log-desviaciones es aproximadamente igual a la desviación, en porcentaje, del estado estacionario. De un punto de vista práctico, se puede reemplazar cada variable por su expresión log-lineal y luego se aplica la aproximación de primer orden según la ecuación (27).

Log-linealizando la ecuaci´on de Euler se tiene:

c−_tγ = βEtc −γ t+1Rt+1 cssebct−γ = βE t cssebct+1−γR sseRbt+1 e−γbct = E te−γbct+1eRbt+1 e−γbct = E te−γbct+1+Rbt+1 1−γ_bct = Et 1−γ_bct+1+Rb_t₊₁ b ct = Et b ct+1− 1 γRbt+1 (30) Haciendo lo mismo para la funci´on de producci´on: ’

yt = aαtk1 −α t yssebyt = a ssebatαk ssebkt 1−α yssebyt = aα sseαbatkss1−αe(1−α) b kt ebyt = eαabt+(1−α)bkt 1 +y_bt = 1 +αabt+ (1−α)bkt b yt = αbat+ (1−α)bkt (31)

(14)

rt = (1−α) at kt α rssebrt = (1−α) assebat kssebkt α rssebrt = (1−α) ass kss α ebat ebkt α rssebrt = (1−α) ass kss α (eα(bat−bkt)) ebrt = eα(bat−bkt) 1 +_brt = 1 +α(bat−bkt) b rt = α(bat−bkt) (32)

En el caso de la tasa bruta de inter´es, su forma log-lineal se obtiene de la siguiente manera: Rt = rt+ (1−δ) RsseRbt = rssebrt Rss(1 +Rb_t) = r_ss(1 +_br_t) b Rt = rss Rssb rt (33)

En el equilibrio de mercado de bienes:

yt = ct+it yssebyt = c ssebct +i ssebit yss(1 +ybt) = css(1 +bct) +iss(1 +bit) yss+yssybt = css+cssbct+iss+issbit yssybt = cssbct+issbit b yt = css yssb ct+ iss yss bit (34)

La ley de moviento de capital en su forma log-lineal quedar´ıa:

kt+1 = (1−δ)kt+it kssebkt+1 = (1−δ)kssebkt +issebit kss(1 +bk_t₊₁) = (1−δ)k_ss(1 +bk_t) +i_ss(1 +bi_t) kss+kssbk_t₊₁ = (1−δ)k_ss+ (1−δ)k_ssbk_t+i_ss+i_ssbi_t kssbk_t₊₁ = (1−δ)k_ssbk_t+i_ssbit b kt+1 = (1−δ)bk_t+ iss kss bit (35)

(15)

Finalmente, la ecuaci´on de la productividad: lnat = φlnat−1+t lnassebat = φlna ssebat−1+ t lnass+bat = φlnass+φbat−1+t b at = φbat−1+t (36)

El cuadro [4] resume las ecuaciones log-lineal del modelo: Cuadro4: Ecuaciones log-lineal

Ecuaciones log-lineal Descripci´on

[1] _bct=Et b ct+1−_γ1Rb_t₊₁ Ecuación de Euler [2] y_bt=αbat+ (1−α)bkt Función de producción [3] r_bt=α[bat−bkt] Demanda de capital [4] Rb_t= _Rrss

ssrbt Tasa de inter´es bruta

[5] y_bt= _ycss_ssbct+

iss

yssbit Equilibrio en el mercado de bienes

[6] bk_t₊₁ = (1−δ)bk_t+_kiss

ssbit Ley de movimiento del capital

[7] bat=φbat−1+t Choque de productividad

Nota:Para obtener directamente la soluci´on del modelo con Dynare se puede

utilizar el mod “Campbell Lfijo Dynare.mod”

El número de ecuaciones del cuadro [4] se puede resumir en cinco, para ello se introduce la ecuación de equilibrio del mercado de bienes (ecuación 5) en la ecuación del movimiento del capital (ecuación 6). La variable que relaciona ambas ecuaciones es la inversión. En primer lugar se despeja la inversión de la ecuación 5:

bit= b yt− css yssb ct yss iss

En segundo lugar, se introduce esta ecuaci´on en la ley de movimiento de capital:

b kt+1 = (1−δ)bk_t+ iss kss b yt− css yssb ct yss iss

Además, se introduce la ecuación de la función de producción (yt):

b kt+1 = (1−δ)bk_t+ iss kss α_bat+ (1−α)bk_t − css yssb ct yss iss

Ordenando los t´erminos algrebraicos se tiene:

b kt+1= (1−δ) +δ(1−α)yss iss | {z } λ1 b kt+δα yss iss | {z } λ2 b at−δ css issb ct (37)

De los coeficientes de la ecuaci´on (37) se demuestra que: −δcss

iss

(16)

Por tanto, la ecuaci´on final es: b

kt+1 =λ1bk_t+λ₂a_b_t+ (1−λ₁−λ₂)_bc_t (38) De otro lado, la ecuación [3] (demanda de capital) se introduce en la ecuación [4] (tasa de interés bruta): b Rt = α rss Rssb rt b Rt = α rss Rss [bat−bkt] b Rt = λ3[bat−bkt] (39) Donde en la ecuación previa se ha definido el coeficienteλ3:

λ3 =α

rss

Rss

El cuadro [5] resume las cinco principales ecuaciones log-lineal del modelo de trabajo fijo de Campbell (1994).

Cuadro5: Ecuaciones log-lineal (sistema reducido) Ecuaciones log-lineal [1] _bct=Et b ct+1−_γ1Rb_t₊₁ [2] y_bt=αbat+ (1−α)bkt [3] Rb_t=λ₃[_ba_t−bk_t] [4] bk_t₊₁ =λ₁bk_t+λ₂ b at+ (1−λ1−λ2)bct [5] _bat=φbat−1+t

5.1. Efecto sustituci´on y efecto ingreso de la tasa de inter´es

Antes de resolver el sistema log-lineal es importante analizar el impacto de la tasa de interés real sobre el consumo. Para abordar este análisis es muy útil utilizar las ecuaciones log-lineales.

La teor´ıa del consumidor sugiere que cuando el precio (pt) de un bien (qt) cambia hay

dos efectos sobre el consumidor: primero, el precio deqtrelativo a otros productos cambia.

Segundo, debido al cambio enpt, el ingreso real del consumidor tambi´en cambia. El cambio

del consumo ´optimo como resultado de un cambio en el precio contiene ambos efectos.

El efecto sustituci´on es el efecto obtenido solo por el cambio de precios relativos, man-teniendo constante el ingreso real. Mientras que el efecto ingreso es el efecto obtenido solo por el cambio en el ingreso real.

La tasa de interés representa el precio relativo de la canasta en el periodo ”t+1´´ (ct+1) con respecto a hoy (ct). Por tanto, un cambio en la tasa de interés producirá dos

(17)

efectos: sustituci´on e ingreso.

Efecto sustituci´on (ES):un incremento en la tasa de inter´es real hace que el consumo

de ma˜nana ct+1 sea relativamente menos costoso comparado con el consumo de hoy ct.

Esto se debe a que el ahorro es m´as rentable para alcanzar el mismo monto de consumo

ma˜nana; es decir, el consumidor necesita sacrificar menos consumo hoy. Por tanto, el efecto sustituci´on se resume en:

↑Rt−−−−−−−−−−−→↓Efecto Sustituci´on ct y ↑ct+1

Cabe mencionar que la ecuación de Euler refleja el efecto sustitución del consumo. Además,σ es la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo.

b ct=Et b ct+1− 1 γRbt+1

La magnitud del efecto sustituci´on es controlado por σ, mientras m´as grande sea σ

mayor ser´a el efecto sustituci´on; es decir: ↑Rt

Efecto Sustituci´on

−−−−−−−−−−−→↓↓ct y ↑↑ct+1

Efecto ingreso (EI): un incremento de la tasa de inter´es produce un efecto ingreso. Si

el consumidor tiene activos (bonos o ahorro), un incremento de la tasa de inter´es

pro-duce mayores ganancias por esos activos y por tanto mayor ingreso. Este efecto tiende a incrementar el consumo en todos los periodos.

↑Rt

Efecto Ingreso

−−−−−−−−−→↑ct y ↑ct+1

Cabe mencionar que la restricci´on presupuestaria refleja el efecto ingreso:

ct+it=rtkt

Un incremento de la tasa de inter´es produce dos efectos:

ES→ ↓ct y ↑ct+1 (Ecuaci´on de Euler)

EI→ ↑ct y ↑ct+1 (Restricci´on presupuestaria)

− − − − − −

ET→ Depende de ESI σ y ↑ct+1

Efecto total (ET): para observar el efecto final de la tasa de interés sobre el consumo nos basaremos en la restriccón presupuestaria y la ecuación de Euler (de las variables en niveles).

(18)

ct+it = rkkt (40) pero se sabe : kt+1 = (1−δ)kt+it despejando it : it = kt+1−(1−δ)kt (41) (41) en (40) : ct+kt+1−(1−δ)kt = rkkt ct+kt+1 = (rk+ (1−δ) | {z } Rt )kt ct+kt+1 = Rtkt (42)

Como se sabe el ingreso de la familia representativa en “t” esRtkt, la cual se resumir´a

enAt. De igual forma para el ingreso en “t+1”:Rt+1kt+1 =At+1. Reescribiendo la ecuaci´on

(42) en t´erminos de ingreso se tiene:

ct+kt+1 = Rtkt ct+ Rt+1kt+1 Rt+1 = Rtkt ct+ At+1 Rt+1 = At (43)

La ecuación (43) es una ecuanción en diferencias, la cual se puede resolver iterando hacia adelante. Por inducción matemática hacemos lo siguiente:

At = ct+ At+1 Rt+1 (44) At+1 = ct+1+ At+2 Rt+2 (45) At+2 = ct+2+ At+3 Rt+3 (46) Luego la ecuaci´on (46) se reemplaza en (45):

At+1 = ct+1+ At+2 Rt+2 At+1 = ct+1+ 1 Rt+2 (ct+2+ At+3 Rt+3 ) At+1 = ct+1+ ct+2 Rt+2 + At+3 Rt+2Rt+3 (47) La ecuaci´on (47) se reemplaza en (44):

(19)

At = ct+ At+1 Rt+1 At = ct+ 1 Rt+1 (ct+1+ ct+2 Rt+2 + At+3 Rt+2Rt+3 ) At = ct+ + ct+1 Rt+1 + ct+2 Rt+1Rt+2 + At+3 Rt+1Rt+2Rt+3 (48) Dividiendo toda la ecuaci´on (48) porRt para hacer una generalizaci´on (en sumatoria)

m´as sencilla: At Rt = ct Rt + ct+1 RtRt+1 + ct+2 RtRt+1Rt+2 + At+3 RtRt+1Rt+2Rt+3

resumiendo : en una sumatoria...

At Rt = 2 X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j +_Q₃At+3 j=0Rt+j (49) generalizando para “n” : At Rt = n X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j +_QA_nt₊₁+(n+1) j=0 Rt+j

aplicando Limite cuando : n→ ∞

At Rt = ∞ X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j + Limn→∞ A_t₊₍_n₊₁₎ Qn+1 j=0 Rt+j | {z } =0(por transversalidad) At Rt = ∞ X s=0 ct+s Qs j=0Rt+j (50)

Para encontrar la relación de la tasa de interés con el consumo de hoy es necesario encontrar la relación del ct+s con el consumo actual ct, para ello se usa la ecuación de

Euler (abstrayendo el operador expectativa) para “t”, “t+ 1” y “t+ 2”:

c−_tγ = βc−_t₊₁γRt+1

c−_t₊₁γ = βc−_t₊₂γRt+2

c−_t₊₂γ = βc−_t₊₃γRt+3

(20)

c−_tγc−_t₊₁γc−_t₊₂γ = β3c_t−₊₁γRt+1c−_t₊₂γRt+2c−_t₊₃γRt+3 c−_tγ = β3c−_t₊₃γ Rt Rt Rt+1Rt+2Rt+3 c−_tγ = β3c −γ t+3 Rt 3 Y j=0 Rt+j generalizando para “s” : c−_tγ = βsc −γ t+s Rt s Y j=0 Rt+j ct+s ct −γ = Rt βsQs j=0Rt+j despejando ct+s : ct+s = Rt βsQs j=0Rt+j −1_γ ct (51)

Introduciendo la ecuaci´on (51) en la ecuaci´on (50):

At Rt = ∞ X s=0 Rt βsQs j=0Rt+j −1_γ ct Qs j=0Rt+j At Rt = ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j 1_γ−1 ctR −1/γ t At Rt = ct ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j _γ1−1 R−_t1/γ (52)

Caso simplificado:para analizar el efecto de la tasa de inter´es sobre el consumo de hoy

ctse supone que la tasa de inter´es es la misma en todos los periodos; es decir,Rt=Rt+1=

Rt+2 =...=Rt+j =R. Introduciendo este supuesto en la productoria de la ecuaci´on (52)

se tiene:

s

Y

j=0

Rt+j =Rs+1

(21)

At R = ct ∞ X s=0 βsγ_Rs+1 1 γ−1_R−1/γ At R = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s+1) 1 γ−1_R−1/γ At R = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s( 1 γ−1)+ 1 γ−1_R−1/γ At R = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s( 1 γ−1)_R−1 At = ct ∞ X s=0 βsγ_R(s( 1 γ−1) At = ct ∞ X s=0 β1γ_R 1 γ−1 s (53)

Por progresi´on geom´etrica deP∞

s=0 βγ1_R 1 γ−1 s se tiene que: ∞ X s=0 β1γ_R 1 γ−1 s = 1 + βγ1_R 1 γ−1 + βγ1_R 1 γ−1 2 + βγ1_R 1 γ−1 3 ...= 1 1−βγ1_R 1 γ−1 (54) Reemplazando la expresi´on (54) en la ecuaci´on (53) se tiene:

At = ct 1 1−βγ1_R 1 γ−1 ct = At 1−β1γ_R 1 γ−1 ₍₅₅₎

Aplicando logar´ıtmo a la ecuaci´on (55) se tiene:

ln(At) =ln(ct) +ln

1−βγ1_R

1

γ−1 ₍₅₆₎

Aplicando la aproximaci´on de Taylor de primer orden aln1−βγ1_R

1 γ−1_{se tiene que:} ln 1−β1γ_R 1 γ−1≈ −_β 1 γ_R 1 γ−1 ₍₅₇₎ Reemplazando (57) en (56): ln(At) =ln(ct) +β 1 γ_R 1 γ−1 ₍₅₈₎

Tomando diferencial a la ecuaci´on (58) y considerando que At no cambia, y adem´as,

1 γ =σ (ESI), entonces: ∆ln(ct) = −(σ−1)βσRσ∆R ∆ln(ct) ∆R = −(σ−1)β σ_Rσ ₍₅₉₎

(22)

La ecuación (59) refleja el efecto final sobre el consumo de hoy un movimiento de la tasa de interés real. Una conclusión importante es que el efecto final depende de la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ). La expresión siguiente muestra el efecto final sobre el consumo dependiendo del valor de la ESI:

σ <1 −→ ∆ln(ct) ∆R >0−→↑ct σ = 1 −→ ∆ln(ct) ∆R = 0−→R no afecta el consumo σ >1 −→ ∆ln(ct) ∆R <0−→↓ct

Caso general: considerando la ecuaci´on (52) y desarrollandola se tiene:

At Rt = ct ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j _γ1−1 R−_t1/γ At R_t1−1/γ = ct ∞ X s=0 βγs s Y j=0 Rt+j _γ1−1

siendo expl´ıcito en la sumatoria:

At R_t1−1/γ = ct 1 +βγ1₍_R tRt+1) 1 γ−1₊_β 2 γ₍_R tRt+1Rt+2) 1 γ−1₊_β 3 γ₍_R tRt+1Rt+2Rt+3) 1 γ−1_... | {z } Nt At = ctR1t−1/γ[1 +Nt] At = ctR1t−1/γ+ctR1t−1/γNt (60)

Diferenciando la ecuaci´on (60) con respecto aRt+1 y considerando queRj (j6= 1) no

depende de Rt+1: ∆At ∆Rt+1 =R1_t−1/γ ∆ct ∆Rt+1 + ∆ct ∆Rt+1 R1_t−1/γNt+ctR1t−1/γ ∆Nt ∆Rt+1 (61) Desarrollando el diferencial: ∆Nt ∆Rt+1,

(23)

∆Nt ∆Rt+1 = 1 γ −1 βγ1₍_R_t_R_t₊₁₎ 1 γ−2_R_t₊ 1 γ −1 βγ2₍_R_t_R_t₊₁_R_t₊₂₎ 1 γ−2_R_t_R_t₊₂₊ 1 γ −1 βγ3₍_R tRt+1Rt+2Rt+3) 1 γ−2_R tRt+2Rt+3+...

multiplicando y dividiendo porRt+1

= 1 Rt+1 1 γ −1 βγ1₍_R tRt+1) 1 γ−2_R tRt+1+ 1 γ −1 β2γ₍_R tRt+1Rt+2) 1 γ−2_R tRt+1Rt+2+ 1 γ −1 βγ3₍_R tRt+1Rt+2Rt+3) 1 γ−2_R tRt+1Rt+2Rt+3+... = 1 Rt+1 1 γ −1 βγ1₍_R tRt+1) 1 γ−1₊_β 2 γ₍_R tRt+1Rt+2) 1 γ−1₊_β 3 γ₍_R tRt+1Rt+2Rt+3) 1 γ−1₊_... = 1 Rt+1 1 γ −1 Nt = 1 γ −1 Nt Rt+1 (62) Introduciendo la ecuaci´on (62) en la ecuaci´on (61):

∆At ∆Rt+1 = R1_t−1/γ ∆ct ∆Rt+1 + ∆ct ∆Rt+1 R1_t−1/γNt+ctR1 −1/γ t ∆Nt ∆Rt+1 (63) ∆At ∆Rt+1 = R1_t−1/γ ∆ct ∆Rt+1 + ∆ct ∆Rt+1 R1_t−1/γNt+ctR1 −1/γ t 1 γ −1 Nt Rt+1 ∆At = R1 −1/γ t ∆ct+ ∆ctR1 −1/γ t Nt+ ∆Rt+1ctR1 −1/γ t 1 γ −1 Nt Rt+1

Se sabe que ∆At= 0, entonces:

0 = R1_t−1/γ∆ct+ ∆ctR1 −1/γ t Nt+ ∆Rt+1ctR1 −1/γ t 1 γ −1 Nt Rt+1 0 = R1_t−1/γ∆ct+ ∆ctNt+ 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1 0 = ∆ct+ ∆ctNt+ 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1 0 = ∆ct[1 +Nt] + 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1

Ordenando algebraicamente los t´erminos, se tiene:

−∆ct[1 +Nt] = 1 γ −1 ctNt ∆Rt+1 Rt+1 −∆ct ct [1 +Nt] Nt = 1 γ −1 ∆Rt+1 Rt+1 ∆ct ct = − 1 γ −1 Nt 1 +Nt ∆Rt+1 Rt+1 (64)

(24)

De la ecuación (64) se puede concluir que el impacto de la tasa de interés del perio-do siguiente sobre el consumo de hoy es gobernada por la elasticidad de sustitución del consumo (1_γ =σ), tal como se observó en el caso simplificado.

6. Soluci´

on del sistema lineal

En el cap´ıtulo 1 y 3 se señaló que en la literatura existen varios métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. En el cap´ıtulo 3 se ilustró el método de Blanchard y Kahn (1981) y dada la naturaleza del modelo de Longy Plosser (1983) se pudo obtener la solución anal´ıticamente también. En este cap´ıtulo se utilizará el método de coeficientes indeterminados de Uhlig (1999) con el fin de tener un panorama de los distintos métodos de solución.

6.1. M´etodo de coeficientes indeterminados

El método de coeficientes indeterminados busca que las variables de control estén en función de las variables de estado (bk_t) y de la variable exógena (_ba_t). Es decir, de la misma forma que el método de Blanchard y Kahn, este método busca la función de pol´ıtica y la función de estado.

Al analizar si cada ecuación log-lineal se encuentra en función del capital (bk_t) y de la productividad (_bat) se observa, en el cuadro [5], que la ecuación [2] (función de producción)

y la ecuación [3] (demanda de capital que considera la tasa de interés bruta) dependen de dichas variables. Además la ecuación [5] describe la productividad.

Al introducir la demanda de capital en la ecuación de Euler, dicha ecuación estar´ıa en función del capital y de la productividad:

b

ct=Et(bct+1−σλ3(bat+1−bkt+1)) (65) De otro lado, la ley de movimiento del capital contiene a la variable de estado y al choque:

b

kt+1 =λ1bk_t+λ₂a_b_t+ (1−λ₁−λ₂)_bc_t (66) Por tanto, si encontramos elbctybkt+1 en función de (bkt,bat), el sistema estar´ıa solucionado. Para ello, bajo el método de coeficientes indeterminados, se propone la siguiente solución:

b ct = ηckbk_t+η_ca_ba_t (67) b kt+1 = ηkkbk_t+η_ka b at (68)

En este contexto, el problema radica en encontrar los valores de los coeficientes: ηck,

ηca,ηkk,ηka. Con este fin, el an´alisis se realizar´a en cinco pasos:

[1] Ecuación de Euler:al reemplazar la solución propuesta en la ecuación de Euler (65) se obtiene una expresión para los coeficientesηca yηck:

ηca = ηka(σλ3+ηck)−φσλ3 1−φ →ηca =f(ηka, ηck) (69) ηck = ηkkσλ3 1−ηkk →ηck=f(ηkk) (70)

(25)

[2] Ecuación del capital: al reemplazar la solución propuesta en la ecuacion de movi-miento del capital (66) se obtiene una expresión para los coeficientesηkk yηka:

ηkk = λ1+ (1−λ1−λ2)ηck →ηkk=f(ηck) (71)

ηka = λ2+ (1−λ1−λ2)ηca→ηka=f(ηca) (72) [3] Primer coeficiente: para hallarηck elegimos (70) y (71):

ηck =f(ηkk): ηck = ηkkσλ3 1−ηkk (73) ηkk=f(ηck): ηkk=λ1+ (1−λ1−λ2)ηck (74)

[4] Encontrando ηck: la ecuaci´on (74) se reemplaza en (73), de la cual se obtiene:

Q2ηck2 +Q1ηck+Q0 = 0 (75)

Donde, en primer lugar las dos raices de esta ecuaci´on representan los dos valores que

puede tomar ηck. En segundo lugar, el valor de este coeficiente permite obtener el valor de

los tres restantes, y finalmente, los valores de Qi son:

Q2 = 1−λ1−λ2

Q1 = λ1−1 +σλ3(1−λ1−λ2)

Q0 = λ1σλ3

Al resolver la ecuaci´on (75) se obtiene los dos valores de ηck:

ηck1 = −Q1+ p Q2₁−4Q2Q0 2Q2 ηck2 = −Q1− p Q2₁−4Q2Q0 2Q2

El signo de ηck que se debe de elegir es positivo porque esto permite que ηkk sea menor

a uno, lo cual indica que la ecuaci´on del capital es estable (no explosiva). Para ello, se eval´ua el signo de cada Qi:

Q2 <0 (porque λ1 >1 y λ2 >0)

Q0 >0

Q1 >0 (Q1 =λ1−1 +Q2Q0/λ1)

De lo anterior, se demuestra queηck2 tiene signo positivo, por tanto se elige esta ra´ız. Esto

permite obtener los dos coeficientesηck yηkk:

ηck = −Q1− p Q2 1−4Q2Q0 2Q2 (76) ηkk = λ1+ (1−λ1−λ2)ηck (77)

(26)

[5] Coefientes restantes: para hallar los dos coeficientes restantes ηca yηka se elige la ecuaci´on (69) y (72): ηka = λ2+ (1−λ1−λ2)ηca →ηka=f(ηca) ηca = ηka(σλ3+ηck)−φσλ3 1−φ →ηca=f(ηka, ηck) ηka yηca: ηca = −ηckλ2+σλ3(φ−λ2) φ−1 + (1−λ1−λ2)(ηck+σλ3) ηka = λ2+ (1−λ1−λ2)ηca

Con los par´ametros calibrados para el modelo base se obtiene que: ηck = 0.3253,

ηca = 0.2643, ηkk = 0.9841 y ηka= 0.0551. Finalmente, la soluci´on del modelo para cada

una de las variables end´ogenas son:

Soluci´on para el consumo: b

ct = ηckbk_t+η_ca_ba_t (78) Soluci´on para el capital:

b

kt+1 = ηkkbk_t+η_ka b

at (79)

Soluci´on para el producto: b

yt = (1−α)bk_t+α_ba_t (80) Soluci´on para la inversi´on:

b yt = css yssb ct+ iss yss bi_t bit = yss iss b yt− css yssb ct Reemplazando (78) y (80): bit = yss iss (1−α− css yss ηck)bk_t+ yss iss (α−css yss ηca)bat(81)

Soluci´on (tasa de inter´es neta): b

rt = α(bat−bkt) (82) Soluci´on (tasa de inter´es bruta):

b

Rt = α

rss

Rss

(_bat−bk_t) (83)

6.2. An´alisis de elasticidades

Los coeficientes de la soluci´on de cada una de las variables representan elasticidades. Esto se debe a que las variables est´an expresandas en logaritmos. Por ejemplo para el caso del consumo se tiene:

b

(27)

Dado que _bct=ln(_cc_sst ) y de manera similar para las dem´as variables se tiene: ln( ct css ) = ηckln( kt kss ) +ηcaln( at ass ) ln(ct)−ln(css) = ηck(ln(kt)−ln(kss)) +ηca(ln(at)−ln(ass)) ln(ct) = −[ln(css) +ln(kss) +ln(ass)] +ηckln(kt) +ηcaln(at)

Tomando diferencial con respecto al capital (kt) se tiene:

∆ln(ct) = ηck∆ln(kt) ∆ct ct = ηck ∆kt kt ∆ct ct ∆kt kt = ηck Elasticidadct,kt = ηck (84)

Como se puede observar la ecuaci´on (84), ηck refleja la elasticidad del consumo ante

un cambio del capital. En particular, ηck mide el efecto del capital (“kt”) sobre el

con-sumo actual (“ct”), manteniendo constante la productividad (“at”); es decir, si el capital

aumenta 1 %, el consumo aumenta enηck%. De esta forma se lee todos los coeficientes de

la soluci´on del sistema log-lineal. El cuadro [6] resume las elasticidades.

Cuadro6: Coeficientes (elasticidades) de la soluci´on del modelo lineal

Elasticidad Expresi´on Valor

Elasticidad del consumo al capital:

ηck ηck = −Q1− √ Q2 1−4Q2Q0 2Q2 0.3253

Elasticidad del consumo a la pro-ductividad: ηca

ηca = _φ₋₁₊₍₁−ηck₋λ_λ2₁+₋σλ_λ₂3₎₍(φ_η−λ2)

ck+σλ3) 0.2643

Elasticidad del capital de ma˜nana al capital de hoy: ηkk

ηkk =λ1+ (1−λ1−λ2)ηck 0.9841

Elasticidad del capital de ma˜nana a la productividad:ηka

ηka=λ2+ (1−λ1−λ2)ηca 0.0551

Nota:La expresión de las elasticidades y sus valores están en “Campbell Lfijo.m” (sección 2).

En el análisis de elasticidades dos parámetros son importantes: la elasticidad de sus-titución intertemporal del consumoσ y la persistencia del choqueφ. Para ver cómo estos parámetros influyen sobre las elasticidades vamos a revisar cada una de las elasticidades. Revisando λ1, λ2 y λ3:

(28)

λ1 = (1−δ) +δ(1−α) yss iss = (1−δ) +δ(1−α) 1 δk −α ss = (1−δ) + (1−α) rss 1−α = (1−δ) + (1 β −(1−δ)) = 1 β λ1 = F(β) (85) λ2 = δα yss iss = δα 1 δk −α ss = α rss 1−α = α 1−α( 1 β −(1−δ)) λ2 = F(α, β, δ) (86) λ3 = α rss Rss = α 1 β −(1−δ) 1 β = α(1−β(1−δ) λ3 = F(α, β, δ) (87) Revisando Q0, Q1 y Q2: Q2 = 1−λ1−λ2 = 1−(1 β)− α 1−α( 1 β −(1−δ)) = − 1 β +αδ−1 1−α Q2 = F(α, β, δ) (88) Q1 = λ1−1 +σλ3(1−λ1−λ2) = λ1 |{z} F(β) −1 +σ λ3(1−λ1−λ2) | {z } F(α,β,δ) Q1 = F(σ(+)α, β, δ) (89)

(29)

Q0 = λ1σλ3 = λ1 |{z} F(β) σ λ3 |{z} F(α,β,δ) Q0 = F(σ(+)α, β, δ) (90)

¿De qu´e par´ametros dependen las elasticidades (ηck y ηkk)?

Debido a queQ2 es negativo, el componente dentro del radical es positivo. En ese caso

σ, que afecta positivamente aQ0 yQ1, tiene un impacto positivo sobreηck. De otro lado,

Q1 que se encuentra fuera del radical tambi´en traslada el efecto positivo de σ sobre ηck.

Cabe mencionar que ηck no depende de la persistencia del choque (φ).

ηck = −Q1− p Q2₁−4Q2Q0 2Q2 =F(σ(+)α, β, δ) (91) De lo anterior se concluye la siguiente observaci´on:

Observaci´on 1: ηck se incrementa a medida que se incrementa la elasticidad de

sustitu-ci´on del consumo (σ).

De otro lado, al analizar el coeficienteηkk se obtiene lo siguiente:

ηkk = λ1+ (1−λ1−λ2)ηck = λ1 |{z} F(β) + (1−λ1−λ2) | {z } =−δcss_iss ηck |{z} F(σ(+)_α,β,δ₎ = λ1 |{z} F(β) −δcss iss ηck |{z} F(σ(+)_α,β,δ₎ = λ1 |{z} F(β) − δcss iss | {z } F(α,β,δ) ηck |{z} F(σ(+)_α,β,δ₎ ηkk = F(σ(−)α, β, δ) (92)

De la ecuaci´on (92) se concluye las siguientes observaciones: Observaci´on 2:ηck yηkk no dependen deφ.

Observaci´on 3: ηkk se reduce a medida que se incrementa la elasticidad de sustituci´on

intertemporal del consumo (σ).

¿De qu´e par´ametros dependen las elasticidades (ηca y ηka)?

ηca=

−ηckλ2+σλ3(φ−λ2)

φ−1 + (1−λ1−λ2)(ηck+σλ3)

=F(φ, σ, α, β, δ) (93)

(30)

De la expresi´on (94) se puede ver que ηca tiene una relaci´on no lineal con φ y σ. De

manera similar para ηka. De lo anterior se concluye las siguientes observaciones:

Observaci´on 4: ηca se incrementa a medida que φ aumenta para valores bajos de σ

(σ61), pero se reduce para valores altos (σ >1).

Observaci´on 5:ηkk yηka se reducen a medida que se incrementa la elasticidad de

susti-tuci´on del consumo (σ).

Figura 2: Elasticidades (coeficientes de la soluci´on)

0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 η_ck

Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ)

0 2 4 6 8 10 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 η_kk

0 2 4 6 8 10 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

η_ca φ=0 φ=0.4 φ=0.8 0 2 4 6 8 10 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

η_ka

φ=0 φ=0.4 φ=0.8

Nota:Cabe mencionar que estos gr´aficos se obtienen del c´odigo “Campbell Lfijo Sim Parametros.m”

(31)

Cuadro 7: Casos especiales

Caso Valor de σ Funci´on de

utilidad Elasticidad Serie de tiempo

Caso 1 σ = 0 No existe efecto sustituci´on intertemporal ηkk = 1 ln(ct) es un random walk, y ln(kt) yln(kt) cointegran con elln(ct) Caso 2 σ = 1 Funci´on de utilidad logaritmica: u(ct) =ln(ct)

El efecto sustituci´on y el efec-to ingreso se anulan. Caso 3 σ =∞ Funci´on de utilidad lineal: u(ct) =ct ηkk = 0,ηka=φ kt se comporta como un AR(1), mientras ct y yt

se comportan como un AR-MA(1,1)

7. Representaci´

on de series de tiempo

Debido a que se tiene la solución del modelo; es decir, cada variable endógena en función de la variable de estado (capital) y de la variable exógena (productividad), considerando

adem´as que la productividad se comporta como un proceso AR(1), entonces se puede

hallar la representaci´on de series de tiempo ARMA (p,q) de cada variable. 7.1. Serie de tiempo del capital

De la solución del modelo, en particular de la ecuación que describe el comportamiento del capital en t+ 1 en función del capital en ty de la productividad se tiene:

b

kt+1=ηkkbk_t+η_ka_ba_t

Donde los coeficientesηkkyηkahan sido hallados previamente. De esta ecuaci´on se puede

encontrar la forma autorregresiva del capital (bk_t₊₁):

(1−ηkkL)bk_t₊₁ = η_ka_ba_t b kt+1 = ηka 1−ηkkLb at (95) Adem´as, _bat=φbat−1+t Considerando quebat se puede expresar como:

at=

t

1−φL (96)

Entonces se tiene que: b kt+1 = ηka (1−ηkkL) t (1−φL) (97)

La expresi´on anterior demuestra que el capital se comporta como un AR(2): dos raices reales (φy ηkk) y menores a 1 (kt+1 es estable). La expresi´on AR(2) del capital es:

(32)

b kt+1 = ηka (1−ηkkL) t (1−φL) (1−ηkkL)(1−φL)bk_t₊₁ = η_ka_t (1−ηkkL−φL+ηkkφL2)bk_t₊₁ = η_ka_t b kt+1−ηkkbk_t−φbk_t+η_kkφbk_t₋₁ = η_ka_t b kt+1 = (φ+ηkk)bk_t−η_kkφbk_t−1+ηkat (98)

7.2. Serie de tiempo del producto

De igual manera que en el caso del capital, para encontrar la expresi´on de series de tiempo del producto se parte de la soluci´on del modelo:

b

yt=αbat+ (1−α)bkt (99)

Para encontrar el modelo de series de tiempo del producto (yt) se reemplaza en la

ecuación previa (98) la expresión de la productividad (en función del error) y la expresión del capital (en función de la productividad). Esta última corresponde a la ecuación (96).

b yt = αbat+ (1−α)bkt b yt = α et 1−φL + (1−α) ηka (1−ηkkL)b at−1 b yt = α et 1−φL + (1−α) ηka (1−ηkkL) et−1 (1−φL) b yt = α et 1−φL + (1−α) ηkaL (1−ηkkL) et (1−φL) (100)

La ecuaci´on (100) sugiere que el producto se comporta como un ARMA(2,1):

b yt = α+ [(1−α)ηka−αηkk]L (1−ηkkL)(1−φL) t (101) (1−ηkkL)(1−φL)ybt = α+ [(1−α)ηka−αηkk]L t (1−ηkkL−φL+ηkkφL2)ybt = αt+ [(1−α)ηka−αηkk]t−1 b yt−ηkkybt−1−φbyt−1+ηkkφbyt−2 = αt+ [(1−α)ηka−αηkk]t−1 b yt = (ηkk+φ)ybt−1−ηkkφybt−2 | {z } AR(2) +αt+ [(1−α)ηka−αηkk]t−1 | {z } M A(1)

7.3. Serie de tiempo del consumo De la soluci´on del modelo:

b

ct=ηckbk_t+η_ca_ba_t El consumo se comporta como un ARMA(2,1)

b ct= ηca+ (ηckηka−ηcaηkk)L (1−ηkkL)(1−φL) t (102)

(33)

7.4. Serie de tiempo de la tasa de inter´es real bruta De la soluci´on del modelo:

b

Rt+1 =λ3(abt+1−bkt+1)

La tasa de inter´es se comporta como un ARMA(2,1)

b Rt+1 =λ3 (1−ηka−ηkkL) (1−ηkkL)(1−φL) t (103)

7.5. Serie de tiempo de la inversión De la solución para la inversión (ecuación (81)):

bit = (1−α− css yss ηck) | {z } ηik b kt+ (α− css yss ηca) | {z } ηia b at bit = ηikbk_t+η_ia bat bi_t = η_ik ηka (1−ηkkL) t−1 (1−φL) +ηia t 1−φL bi_t = ηik ηkaL (1−ηkkL) +ηia t 1−φL bi_t = ηikηkaL+ηia(1−ηkkL) (1−ηkkL) t 1−φL bit = ηia+ (ηikηka−ηiaηkk)L (1−ηkkL) t 1−φL

Por tanto, la inversi´on se comporta como un ARMA(2,1):

bi_t= ηia+ (ηikηka−ηiaηkk)L (1−ηkkL)(1−φL) t (104)

8. Funciones impulso-respuesta

La construcción de la función impulso-respuesta de las variables endógenas requiere de dos etapas. En la primera etapa se transforma la forma autorregresiva del capital AR(2) a su versión de media móviles MA(∞). En la segunda etapa se cuantifica el impacto, en cada periodo, de un choque temporal (de un solo periodo) en cada variable endógena. Primera etapa: se obtiene la forma MA(∞) del capital.

b kt+1 = (φ+ηkk | {z } φ1 )bk_t+−η_kkφ | {z } φ2 b kt−1+ηkat b kt+1 = φ1bk_t−1+φ2bk_t+η_ka_t (1−φ1L−φ2L2)bk_t₊₁ = η_ka_t

(34)

Calculando las raices del AR(2):

1−φ1L−φ2L2= 0

En factores:

(L−y1)(L−y2) = 0

Factorizando y1 del primer factor e y2 del segundo:

y1 1 y1 L−1 y2 1 y2 L−1 = 0 La expresi´on se reduce a: 1 y1 |{z} θ1 L−1 1 y2 |{z} θ2 L−1 = 0

Multiplicando por (-) a ambos t´erminos:

(1−θ1L)(1−θ2L) = 0

Por tanto: equivalencia de raices

(L−y1)(L−y2) = (1−θ1L)(1−θ2L) = 0

Donde:

θ1= _y1₁

θ2= _y1₂

Utilizando la equivalencia de raices del AR(2):

(L−y1)(L−y2)bk_t₊₁ = η_ka_t (1−θ1L)(1−θ2L)bk_t₊₁ = η_ka_t b kt+1 = 1 (1−θ1L)(1−θ2L) | {z } Ψ(L) ηkat Donde: Ψ(L) = 1 +ψ1L+ψ2L2+ψ3L3+...+ψkLk+... ψk = = k X j=0 θ₁jθ₂k−j

Versi´on MA(∞) del capital:

b

(35)

Con esta expresión calculamos la función impulso-respuesta. La versión extendida de la ecuación (105) es: b kt+1 = (1 +ψ1L+ψ2L2+ψ3L3+...)ηkat b kt+1 = ηkat+ (ψ1ηka)t−1+ (ψ2ηka)t−2+ (ψ3ηka)t−3+... (106)

Segunda etapa:en esta etapa se calcula la función impulso-respuesta del capital ante un choque de productividad. En este caso para el cálculo de la función impulso respuesta del capital se considera que el impulso o choque t se realiza en un solo periodo (el periodo

uno) y que toma el valor de una desviaci´on est´andar σ, el cual se asume que es igual

a uno; es decir, en t = 1, 1 = σ = 1. El error (t) tomar el valor de cero durante los

periodos antes del choque y después del choque. El cuadro [8] muestra la construcción de la función impulso-respuesta del capital.

Cuadro8: Construcci´on de la funci´on impulso-respuesta del capital

t t Versi´on MA(∞) de bk_t₊₁ IFR de bk_t₊₁

0 0 = 0 bk₁=η_ka ₀ |{z} =0 +(ψ1ηka) −1 |{z} =0 +... bk₁=η_ka₀ 1 1 = 1 bk₂=η_ka ₁ |{z} =1 +(ψ1ηka) 0 |{z} =0 +... bk₂=η_ka₁ 2 2 = 0 bk₃=η_ka ₂ |{z} =0 +(ψ1ηka) 1 |{z} =1 +(ψ2ηka) 0 |{z} =0 +... bk₃=ψ₁η_ka₁ 3 3 = 0 bk₄=η_ka ₃ |{z} =0 +(ψ1ηka) 2 |{z} =0 +(ψ2ηka) 1 |{z} =1 +(ψ3ηka) 0 |{z} =0 +... bk₄=ψ₂η_ka₁ 4 4 = 0 ... bk₅=ψ₃η_ka₁

En t = 0 todas las variables se encuentran en su estado estacionario. El capital en

t= 1, el cual se determina en t= 0, tambi´en se encuentra en estado estacionario. Tal es as´ı que se cumple la ley de movimiento del capital:k1 = (1−δ)k0+i0, dondek1 =k0=kss.

El choque de productividad se realiza en el periodot= 1 produciendo los siguientes efectos: 1er Efecto (sobre las empresas): un incremento de la productividad produce un in-cremento en la función de producción para cada nivel de capital. El capital se hace más productivo en t = 1; es decir, con el mismo capital se puede producir más. Por tanto, la demanda de capital aumenta.

2do Efecto (sobre las empresas): el aumento de la demanda de capital permite que la tasa de inter´es ent= 1 se incremente:↑rt(r0 −→r1), r1 > r0. Esto se debe a que la

oferta de capital en t = 1 se mantiene constante ya que no se ve afectada por el choque

de productividad.

3er Efecto (sobre las familias): el incremento de la tasa de inter´es real produce un efecto ingresosobre el consumo:

(36)

Figura 3: Efecto sobre la funci´on de producci´on

Y

0

Y

1 Y0 Y1 Kss = K0 =K1 Y K A B

Figura4: Efecto sobre la demanda de capital

Dk

0

Dk

1 r0 r1 Kss = K0 =K1 K r

Ok

0 =

Ok

1 A B

4to Efecto (sobre las familias):el incremento de la tasa de interés incentiva el ahorro, el cual en econom´ıa cerrada es igual a la inversión. Entonces la inversión pasa dei0 a i1

(i1 > i0). El impacto de una mayor inversi´on se observa en el incremento de la oferta de

capital en el siguiente periodo (t= 2)

k2 = (1−δ)k1+i1

Por tanto:

i1 > i0 −→k2> k1

5to Efecto (sobre las empresas y las familias): como el impacto del choque de pro-ductividad tiene persistencia; es decir, sus efectos son positivos aunque cada vez menores en el tiempo. Ent= 2 la función de producción se incrementa generando que la demanda de capital también se incremente, pero en menor magnitud que lo observado ent= 1. Esto produce que la tasa de interés real ent= 2 sea menor que ent= 1 (r2 < r1); sin embargo,

(37)

Figura5: Efecto sobre la oferta y demanda de capital Dk0 Dk1 r0 r1 Kss = K0 =K1 K r Ok1 = Ok0 K2 Ok2 Dk2 r2 A B _C

Cuadro9: Valores de la funci´on impulso-respuesta (variales log-lineales)

t byt bkt+1 bct bit Rbt bat 0 0 0 0 0 0 0 1 0.667 0.05512 0.26429 2.20468 0.02636 1 2 0.652 0.10660 0.26901 2.11441 0.02359 0.95 3 0.63747 0.15464 0.27321 2.02834 0.02098 0.9025 4 0.62337 0.19943 0.27691 1.94626 0.01852 0.85738 . . . .

Nota:Debido a que el choque se realiza en el primer periodo (t= 1),

el valor de las variables en t = 0 es cero. Cabe mencionar que estos valores se obtienen del c´odigo “Campbell Lfijo.m (secci´on 4)”

situaci´on en cada periodo con respecto at= 0 (estado estacionario), entonces esta mayor tasa de inter´es (r2 > r0) produce dos efectos sobre el consumo:

r2 > r0: Efecto sustituci´on−→↓c1 ↑c2

r2 > r0: Efecto ingreso−→r2k2> r1k1−→↑c2

Por tanto el efecto final de la tasa de inter´es sobre el consumo, paraσ peque˜no, es: EI>|ES| −→↑c1 ↑c2

El cuadro [9] muestra los valores de la funci´on impulso-respuesta de las variables

end´ogenas del modelo. Para leer correctamente estos valores se debe de recordar que estas funciones corresponden a las variables log-lineales, las cuales por ejemplo para el produc-to est´a expresada de la siguiente manera: y_bt = ln(yt)−ln(yss) o en su forma reducida

b yt=ln yt yss .

(38)

Figura6: Funci´on impulso-respuesta de las variables macroecon´omicas log-lineales 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Producto 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Capital 0 50 100 150 200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Consumo 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Inversión 0 50 100 150 200 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Tasa de interés real bruta

0 50 100 150 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Productividad

Nota:Estas funciones impulso-respuesta corresponde a las variables log-lineales; es decir aybt,bkt,bct,bit, b

rt ybat. Cabe mencionar que estos gráficos se obtienen del código “Campbell Lfijo.m (sección 4).”

En l´ınea con lo anterior, seg´un el cuadro [9] el valor del producto (log-lineal) ent= 0 es igual a cero. Es decir, _by0 =ln

_y₀

yss

= 0. La única solución para esta expresión es que

y0

yss = 1, lo cual conlleva a quey0 =yss. Esto quiere decir que cuando la variable log-lineal b

yt se encuentra en el valor cero, esto significa que la variable en nivelesyt se encuentra en

su estado estacionario.

De otro lado, ent= 1 el valor del producto (log-lineal) es igual a 0.667, en el cual se cumple: by1= 0.667 =ln

y1

yss

. Resolviendo la segunda igualdad se tiene que y1

yss =e

0.667

≈

1 + 0.667. Por tanto, y1

yss = 1 + 0.667, lo cual conlleva finalmente a y1= (1 + 0.667)yss. En t= 17→ y_b1 = 0.667 | {z } variable log-lineal 7→y1 = (1 + 0.667)yss | {z } variable en niveles

Por tanto, el valor (0.667) de la funci´on impulso respuesta en t = 1 significa que la variable producto en niveles (y1) est´a 66.7 % por encima de su nivel de estado estacionario

(39)

En la figura [6] y el cuadro [9] se puede observar lo siguiente:

1. Ent= 0 (antes de choque) todas las variables permanecen en su estado estacionario. Por tanto, las variables log-lineales en t = 0 son iguales a cero (_bxss = ln x_xss_ss

=

ln(1) = 0).

2. En el periodo del choque (t= 1),1 toma el valor de su desviaci´on est´andar, en este

caso igual a 1.

3. El primer efecto del choque de productividad es un incremento en la funci´on de

producci´on, la cual incrementa de productividad marginal del capital P M gkt; es

decir, la demanda del capital en “t” (Dk).

4. El incremento de la demanda de capital aumenta la tasa de inter´es de hoy (Rb_t). Esto se debe a que la oferta del capital es perfectamente inel´astica (vertical) porque es fijada en el periodo anterior bk_t.

5. ↑Rb_t→ produce un Efecto Ingreso (EI):↑(Rb_tbk_t)

6. El efecto ingreso incrementa el ct yit

7. ↑itexpandekt+1 (oferta del capital de “t+1”).

8. Lo anterior produce una ca´ıda de la tasa de interés en “t+1” (↓rt+1), pero aún está

por encima de su estado estacionario; es decir, es más alta que la tasa de interés antes del choque Rb₀, lo cuál incentiva a la familia trasladar consumo de hoy “t” hacia mañana “t+ 1”. Es decir, existe un efecto sustitución que es gobernado por la elasticidad de sustitución del consumo. Para poder ver esta relación revisemos la ecuación de Euler log-lineal:

b ct=Et b ct+1− 1 γRbt+1

Aqu´ı se puede observar que si la tasa de interés det+1 se incrementa en 1 % entonces el consumo hoy “t” se reduce en _γ1 (elasticidad de sustitución del consumo). Todo ello es el efecto sustitución que produce la tasa de interés.

9. ↓Rb_t₊₁ (pero por encima del estado estado estacionario) produce dos efectos: Efecto Sustituci´on (ES) y Efecto Ingreso (EI).

10. Efecto sustituci´on (de la tasa de inter´es): b

Rt+1>Rb_t→↓_bc_t 11. Efecto ingreso (de la tasa de inter´es):

b

Rt+1>Rb_t→↑_bc_t₊₁

De la figura [7] se puede concluir algunas ideas. La primera conclusi´on es que el capital

es m´as grande en unidades que cualquier otra variable. Por ejemplo, el valor de estado

estacionario del capital es de 23.88 unidades, la cual es mayor en gran medida con respecto a las dem´as variables (el valor de estado estacionario del producto es de 2.87 unidades).

(40)

Figura 7: Funci´on impulso-respuesta de las variables macroecon´omicas en niveles 0 50 100 150 200 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 Producto 0 50 100 150 200 20 25 30 35 40 45 50 Capital 0 50 100 150 200 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 Consumo 0 50 100 150 200 0 1 2 3 4 5 6 Inversión 0 50 100 150 200 1 1.005 1.01 1.015 1.02 1.025 1.03 1.035 1.04 1.045

Tasa de interés real bruta

0 50 100 150 200 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 Productividad

Nota:Estas funciones impulso-respuesta corresponde a las variables en niveles; es decir ayt,kt,ct,it,Rt

yat. Cabe mencionar que esta gráfica se obtienen del código “Campbell Lfijo.m” (sección 5).

Para entender por qu´e el stock de capital en estado estacionario es grande se debe de

revisar los par´ametros de los cuales depende:

kss=

1

β −(1−δ)

1−α

−_α1

Aplicando el signo del exponente se tiene:

kss= 1−α 1 β −(1−δ) 1 α

Entonces kss es una funci´on de α,β yδ. En primer lugar, el exponente _α1 es mayor a

uno porque α es menor a uno (= 0.667), mientras más pequeño sea α más grande será el exponente y mayor será el numerador incrementando el kss. En segundo lugar, un

incre-mento de la tasa de depreciaci´on reduce kss, lo cual hace sentido debido a que el capital

se consume a una mayor depreciaci´on. Por ejemplo, si el capital se deprecia totalmente

(41)

La segunda conclusión es que la inversión es muy pequeña en comparación con el capital. Esto se debe a que en estado estacionario la inversiónisses igual a una proporción

del capitalδkss, es m´asδ es igual a 2.5 %; es decir, la inversi´on en estado estacionario (=

0.597) es igual al 2.5 % del capital. Una tercera conlusion es que dado que los valores de la funci´on impulso-respuesta de las variables log-lineales cumplen con la siguiente expresi´on:

b yt= css yssb ct+ iss yss bi_t

Entonces se puede obtener una relaci´on entre los niveles de las variables (en la funci´on impulso-respuesta de las variables en niveles):

b yt = css yssb ct+ iss yss bi_t ln yt yss = css yss ln ct css + iss yss ln it iss ln(yt) = (ln(yt)− css yss ln(css)− iss yss ln(iss)) + css yss ln(ct) + iss yss ln(it) (107)

De la figura [8] (gr´afica de la derecha) se desprende una conclusi´on importante: ante un

choque de productividad, la inversi´on reacciona fuertemente superando al producto y al

consumo. Es más, la inversión se incrementa un poco más del 200 % del valor de su estado estacionario. Además, las variables demoran más de 100 periodos (trimestres) en volver a su estado estacionario debido a que el choque tiene una alta persistencia (φ= 0.95).

9. Simulaci´

on de las variables end´

ogenas

Para la simulaci´on del capital usaremos su representaci´on autorregresiva AR(2): b

kt+1 =φ1bk_t+φ₂bk_t−1+ηkat

Asumiremos que la variable inicia de su estado estacionario:bk₀= 0. Adem´as, se asume que la variable en periodos previos se ha mantenido en steady state, entonces:bk−1= 0.

Cuadro10: Simluaci´on del capital log-lineal

t t Representaci´on AR(2) delkt+1

0 0= 0 (steady state) bk₁ =φ₁bk₀+φ₂bk−1+ηka0

1 1= valor aleatorio bk₂ =φ₁bk₁+φ₂bk₀+η_ka₁ 2 2= valor aleatorio bk₃ =φ₁bk₂+φ₂bk₁+η_ka₂ 3 3= valor aleatorio bk₄ =φ₁bk₃+φ₂bk₂+η_ka₃ 4 4= valor aleatorio bk₅ =φ₁bk₄+φ₂bk₃+η_ka₄

Para la simulaci´on de las variables macroecon´omicas como el producto, consumo e

inversión, primero se necesita la serie simulada de la productividad bat y del capitalbkt, las cuales se muestran en el cuadro 11. Para esto último se utiliza la solución del sistema de ecuaciones log-lineal:

(42)

Figura8: Funci´on impulso-respuesta (comparaci´on de las variables log-lineal vs en niveles) 0 50 100 150 200 0 1 2 3 4 5 6 Variables en niveles Producto Consumo Inversión SS_Producto SS_Consumo SS_Inversión 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Variables log−lineal Producto Consumo Inversión

Nota:Cabe mencionar que esta gráfica se obtiene del código “Campbell Lfijo.m (sección 5)”.

b

at = φbat−1+ b

kt+1 = φ1bk_t+φ₂bk_t−1+ηkat

Para la simulación de las demás variables macroeconómicas (y_bt,bct,bit yRbt) se utiliza la solución: b yt = αbat+ (1−αbkt) b ct = ηckbk_t+η_ca_ba_t bit = yss iss (1−α− css yss ηck)bk_t+ yss iss (α− css yss ηca)bat b Rt = λ3(bat−bkt) Donde:ηik= y_i_ssss(1−α−c_yss_ssηck) y ηia = y_i_ssss(α−c_yss_ssηca)

La simulaci´on de las variables pueden tomar valores negativos debido a que se encuen-tran expresadas en log-desviaciones de su estado estacionario (ln xt

xss