Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Física y Química

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Física y Química

Cinemática. Elementos para la descripción del movimiento.

Movimientos de especial interés.

Métodos para el estudio experimental del movimiento

TEMA 4

CINEMÁTICA. ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIÓN DEL

MOVIMIENTO. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS.

MÉTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL

MOVIMIENTO

Índice

0. Introducción ... 3

1. Cinemática ... 3

2. Elementos para la descripción del movimiento ... 4

2.1. Sistemas de referencia... 4

2.2. Vector de posición de un móvil ... 5

2.3. Vector velocidad ... 6

2.4. Vector aceleración ... 8

2.5. Componentes Intrínsecas de la Aceleración ... 9

2.6. Concepto de Radio de curvatura ... 12

3. Movimientos de especial interés ... 12

3.1. Movimiento uniforme... 12

3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ... 13

3.3. Movimiento circular uniforme ... 15

3.4. Movimiento Circular Uniformemente Acelerado ... 16

3.5. Movimiento Armónico Simple ... 16

3.6. Composición de Movimientos Rectilíneos ... 17

4. Métodos para el estudio experimental de los movimientos ... 24

4.1. Métodos tradicionales de laboratorio de mecánica ... 24

4.2. Métodos de fotografía estroboscópica ... 25

4.3. Métodos de Laboratorio Asistido por Ordenador. (L.A.O.) ... 26

Bibliografía

 Serway, R. A., (1985), Física, México, Nueva Editorial Interamericana.

 Alonso, M. y Finn, E. J., (1970), Física Vol. 1 Mecánica, México, Addison-Wesley Iberoamericana.

 Ortega Girón, M. R., (1989), Lecciones de Física, Mecánica 1, Córdoba (España), Departamento de Física Aplicada, Universidad de Córdoba.

 Eisberg, R. M. y Lerner L. S., (1981), Física: Fundamentos y Aplicaciones, Madrid (España), McGraw-Hill.

 Ruiz Vázquez, J. (1975), Física, Madrid (España), Selecciones Científicas.

 Guerra, M., Correa, J., Núñez, I. y Scaron, J. M., (1984), Física. Elementos Fundamentales. Mecánica y Termodinámica Clásica. Tomo 1, Barcelona (España), Editorial Reverté.

0. Introducción

En el presente tema vamos a estudiar la parte de la física que describe el movimiento de un cuerpo. Para ello, debemos comenzar introduciendo las magnitudes físicas necesarias, como posición, velocidad y aceleración, definidas como vectores, lo cual significa que tienen tanto magnitud como dirección y sentido. Desarrollaremos ecuaciones sencillas para la descripción de distintos tipos de movimientos, y posteriormente estudiaremos su aplicación en casos concretos, como el tiro parabólico o movimiento de proyectiles. Por último, veremos diferentes métodos para el estudio experimental del movimiento, desde los métodos tradicionales hasta métodos más actuales.

1. Cinemática

La mecánica es la parte de la física que estudia las relaciones entre fuerza, materia y movimiento, y se divide en cinemática y dinámica. La cinemática describe el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, que son las fuerzas, mientras que la dinámica incluye las fuerzas.

El movimiento es el fenómeno físico más familiar, y el más frecuente y general de la Naturaleza. Todos los fenómenos básicos que estudia la Física están originados en su naturaleza íntima por movimientos de determinadas entidades, así por ejemplo:

- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores. - El Magnetismo está originado por el movimiento de cargas.

- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular.

- La Luz, como toda onda electromagnética, tiene su origen en el movimiento vibratorio de partículas cargadas.

- El Sonido, como toda onda mecánica, se origina por el movimiento oscilatorio de partículas en un medio material.

El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemático como del dinámico, constituye la base fundamental de la Mecánica y por consiguiente de toda la Física.

2. Elementos para la descripción del movimiento

2.1. Sistemas de referencia

Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la posición de un punto material mediante unas coordenadas numéricas. El punto estará en reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no varíen con el tiempo, y estará en movimiento cuando al menos una coordenada varíe con el tiempo.

Generalizando la definición a un cuerpo formado por muchos puntos materiales, diremos que está en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus puntos varía con el tiempo. En esta definición de movimiento quedan englobados todos los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener: traslación, rotación, vibración, de-formación, etc.

Consideraremos en cinemática el movimiento del cuerpo más sencillo, el punto material o partícula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el movimiento. La aplicación del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la naturaleza depende de las condiciones específicas del problema; así por ejemplo, los planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en éste, pero no pueden considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotación alrededor de sus propios ejes.

El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo. Las observaciones hechas en la Tierra están referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende, en movimiento con la propia Tierra. Los astrónomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema de “estrellas fijas” aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-siderados fijos, aunque poco, varían sus posiciones con el tiempo.

El sistema de referencia fijo absoluto no existe, por imposibilidad de fijar dicho sistema en el espacio, ya que implicaría a su vez otra referencia fija por si misma de manera absoluta.

Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones, medidas y análisis de los datos del sistema físico estudiado, sean lo más sencillos posible.

El movimiento tiene el mismo carácter, tanto si está referido a un hipotético sistema fijo absoluto como si está referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)

respecto de los primeros. Por ello, para referir un movimiento, bastará considerar como sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslación uniforme, que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos.

El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales, o sea, con movimiento de traslación no uniforme (con aceleración) o con movimiento de rotación, es un tema de considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con el movimiento de gran alcance como el de satélites artificiales, cohetes intercontinentales, cápsulas espaciales, masas de aire, corrientes marinas, etc. Pero no se tratará en este tema.

2.2. Vector de posición de un móvil

La posición de un punto móvil en el espacio queda fijada por el vector de posición, r

trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posición del móvil P. Las componentes del vector r (x, y, z) serán las coordenadas del punto móvil en ese instante. El móvil, en su movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P.

El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres coordenadas del vector como funciones del tiempo:

xx(t) yy(t) zz(t)

llamadas ecuaciones paramétricas del movimiento. En cada instante t, los valores de x, y, z corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el móvil en dicho instante. Físicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en tres movimientos rectilíneos sobre los tres ejes coordenados.

De las ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t) se deduce la ecuación de la trayectoria del punto móvil con sólo eliminar entre ellas la variable independiente t.

El vector de posición vendrá dado por la expresión vectorial: rr(t)x(t)·i y(t)·j z(t)·k

expresión que determina r para cualquier instante t y se puede escribir de modo genérico como: rr(t) que es la ecuación vectorial del movimiento.

La distancia recorrida por el móvil es la suma de todas las longitudes recorridas en los sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t). Esta

distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella, el problema cinemático consiste en determinar el camino recorrido en función del tiempo, es decir: s = s(t)

Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemáticos. El primero de ellos y más general, partiendo del vector de posición rr(t) del que se derivarán todas las ecuaciones vectoriales del movimiento, válidas cualquiera que sea la trayectoria e independiente del sistema de referencia. Un segundo aspecto, más limitado, determina únicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresión s=s(t), de la que se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria, para lo cual es necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria: s=0 para referir a él las distancias recorridas y demás variables cinemáticas.

2.3. Vector velocidad

Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posición del móvil en cada instante, que vendrá dada por el vector de posición y la variación de esta posición con el tiempo, que vendrá dada por el vector velocidad.

Si un móvil se encuentra en un instante dado en la posición P (dada por el vector de posición r) y un intervalo t después se encuentra en Q (dada por el vector de posición r

+r) el móvil ha sufrido un desplazamiento vectorial r y ha recorrido un intervalo de trayectoria s y son, por definición, diferentes y no coincidentes. Sólo en el caso límite de que el intervalo de tiempo sea infinitesimal, ambos conceptos serán coincidentes en el gráfico y el módulo de r coincidirá con s.

Se define el vector velocidad media vm

 como el cociente: t r v_m     

que es un vector de dirección y sentido idéntico al vector desplazamiento r, pues el escalar t será siempre positivo. La dirección del vector desplazamiento y por ello la del vector velocidad media, es la dirección de la cuerda del arco PQ.

Análogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al

cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado:

t s v_m   

Ambas velocidades medias, una vectorial y otra escalar, no son generalmente, de igual módulo pues r s, como puede apreciarse en la Fig.2.

Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequeños que tiendan a cero, el vector velocidad quedará referido a un intervalo infinitamente pequeño, y se llamará

vector velocidad instantánea o simplemente vector velocidad:

dt r d t r lim v t    _      0 (a)

Análogamente se definirá la velocidad instantánea sobre la trayectoria como:

dt ds t s lim v t       0 (b)

Ambas expresiones están relacionadas entre sí como demostraremos a continuación. Si consideramos el vector velocidad instantánea:

t s lim s r lim s s t r lim v t s t                 0 . 0 . 0   

El 1er _{límite es un vector de módulo 1 ya que} _r _y s _{tienden a ser iguales cuando}

s0, pues el arco (s) y la cuerda (r) se confunden cuando se hacen infinitamente pequeños y tiene dirección tangente a la trayectoria. La dirección de r (inicialmente secante a la curva) tiende hacia una dirección tangente cuando s se hace infinitamente pequeño. Por tanto, el primer límite representa un vector unitario tangente a la trayectoria en el punto: t s _ds u r d s r lim        

 0 (vector unitario tangente) pues  _PQ 1

PQ lim

Q P

El 2º límite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria, calculada en un intervalo reducido que tiende a cero:

v t s lim t    

 0 (velocidad instantánea sobre la trayectoria)

Finalmente resultará: v vut

 

·

 (c)

el vector velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por módulo la velocidad instantánea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos

simplemente celeridad. (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto de su módulo por un vector unitario en la dirección del vector).

Teniendo en cuenta la expresión de:

rx(t)·i y(t)·j z(t)·k

el vector velocidad también puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-vada del vector de posición:

k dt t dz j dt t dy i dt t dx dt r d v      ( ) ( ) ( )    

y la celeridad, o módulo de la velocidad, será:

2 / 1 2 2 2                               dt dz dt dy dt dx v v

que será una función del tiempo, como lo son las componentes dx/dt, dy/dt y dz/dt.

2.4. Vector aceleración

El movimiento de un punto material, en su forma más general, tiene en cada punto de la trayectoria un vector de posición y un vector velocidad diferentes, lo que significa una variación de la velocidad tanto en módulo como en dirección y sentido.

En el instante t la velocidad del punto móvil situado en P es v y después de transcurrido un intervalo de tiempo t, es decir en el instante t+t, la velocidad del móvil, situado en Q es v+v. Definimos el vector aceleración media al cociente entre la variación del vector velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido. Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que v:

t v am     

Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, que tienda a cero, podemos definir el vector aceleración instantánea o simplemente el vector aceleración

como el valor en el límite, de la relación V/t cuando t tiende a cero, es decir:

₂ 2 0 _dt r d dt r d dt d dt v d t v lim a t                   

El vector aceleración tendrá por componentes: k dt z d j dt y d i dt x d k dt dv j dt dv i dt dv a x  y  z     2 2 2 2 2 2       y su módulo será: 2 2 2 2 2 2 2 2 2                       dt z d dt y d dt x d a a 

2.5. Componentes Intrínsecas de la Aceleración

De la propia definición del vector aceleración a se deduce que, en general, no es ni tangente a la trayectoria (pues implicaría una dirección constante en V) ni perpendicular a ella (pues implicaría un módulo constante en V), y por ello puede ser descompuesto en dos componentes, una tangente y otra perpendicular a la trayectoria, que se llamarán

componentes intrínsecas de la aceleración. Dichas componentes están situadas en un sistema de coordenadas intrínseco al móvil, con ejes tangente y normal a la trayectoria e independiente de cualquier sistema de referencia.

Aplicando la definición de a a la expresión del vector velocidad, resultará:

 

como vemos, a tiene dos componentes vectoriales, una de ellas es tangente a la trayectoria, de módulo dv/dt, que llamaremos aceleración tangencial.

El último término de la expresión (d): dut/dt se transforma en:

v ds u d dt ds ds u d dt u d _{t t t} . .    

 (V=celeridad o módulo de la velocidad) (e)

y el factor dut /ds 

es un vector que representa la derivada del vector unitario tangente (de módulo constante) con respecto al arco. Se demuestra así: como

t

u es un vector unitario, su derivada dut /ds 

respecto a un escalar es perpendicular a ut



. Estos vectores están en el llamado plano osculador, determinado por dos tangentes consecutivas a un punto, y el vector du_t /ds

tiene la dirección de la normal principal,

FIG.4 ut ut ut ut ut s r + r r  r  + C Q R C S P O s=r.

(perpendicular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador) y su sentido es el de la concavidad, por consiguiente: n t t u ds u d ds u d   ·  (f)

Calculemos ahora el módulo de dut /ds 

. Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig. 4, y sean ut  y ut  +ut 

los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q, respectivamente. (Por Q se traza el equipolente a ut



. En el plano osculador se trazan las perpendiculares a la curva en P y Q. Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede escribir ∆s=r·∆ϕ).

En el triángulo QRS, que es isósceles por ser ut u ut

   _{ } se cumple: 2 ·sen 2 2 ·sen · 2     u_t u_t pues u_t 1

dividiendo por ∆s resultará:

s s s s u_t                       · 2 2 sen · 2 ·sen 2 2 ·sen 2 

y pasando al límite para ∆s0, resultará:

s lim s u lim s t s           0 0  pues 1 2 2 sen 0         lim y por ello: ds d ds u d t   _{y considerando que ∆s=r·∆ϕ  ds=r·dϕ} resultando: r ds u d _{t }1

que es la inversa del radio de curvatura.

Por tanto, sustituyendo en (f): t un r ds u d  · 1

 y luego sustituyendo en (e):

t _un r v dt u d  ·

 y ésta finalmente en (c) resulta: t un r v u dt dv a   2  

lo que demuestra que el vector aceleración a no tiene ni dirección normal ni dirección tangente a la trayectoria pues presenta dos componentes en estas direcciones. Únicamente se puede asegurar que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la

concavidad de la trayectoria. Las componentes son: FIG 5

Aceleración tangencial: t ut dt dv a   y su módulo dt dv

Aceleración normal (centrípeta): n un r v a · 2  y su módulo r v2 La aceleración tangencial at 

puede ser positiva si está dirigida en la dirección de v y negativa si está dirigida en sentido contrario a v, y la aceleración normal an



es siempre positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva. El módulo de la aceleración en función de sus componentes será:

2 2 2 2 2                  r v dt dv a a a a  _{t n}

y el ángulo que forma la aceleración con la tangente a la trayectoria vendrá dado por:

t n t n A A A A arctg tg   

Las componentes intrínsecas de la aceleración son de gran importancia en cinemática pues nos da, cada una de ellas, un aspecto de la variación de la velocidad con el tiempo. La aceleración tangencial nos da la variación del módulo de la velocidad con el tiempo y la aceleración normal nos da la variación de la dirección de la velocidad con el tiempo. La clasificación de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de ellas se deducen sus ecuaciones.

El cálculo de las componentes intrínsecas también se puede realizar mediante el si-guiente mecanismo vectorial:

Aceleración tangencial. De la derivada del vector de posición se obtiene el vector velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleración, y a partir de ambas se realiza su producto escalar:

v v a a y a v v a v a t t          . .cos .

y la dirección del vector unitario tangente será:

v v u    luego:





Aceleración normal. A partir de los mismos vectores ay v, realizamos su producto vectorial: av a.v.senv.an   y v v a a_n  _ 

y la dirección del vector unitario normal será:

) ( ) ( v a v v a v u_{n   }         

como puede demostrarse fácilmente en la figura 3.

2.6. Concepto de Radio de curvatura

Si tomamos tres puntos muy próximos sobre una curva, P, P' y P", de las circunferencias tangentes a la curva en P, la que tiene en dicho punto un contacto tal que P' y P" pertenezcan a ella cuando éstos tienden a confundirse con P, la llamamos circunferencia o círculo osculador. E1 radio de este círculo lo llamamos radio de curvatura y al centro, centro de curvatura. El círculo osculador pertenece al plano determi-nado por dos tangentes sucesivas a la curva, en P y P', por ejemplo cuando ambos puntos tienden a confundirse uno sobre otro. A este plano se le denomina plano osculador.

FIG.6

3. Movimientos de especial interés

3.1. Movimiento uniforme

El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intrínsecas de la acele-ración son ambas nulas, es decir: a_n 0 y a_t 0

De la primera se deduce:



2

v

an  y por ser v  0   

De la segunda se deduce:

dt dv

at  = 0 o sea: v = cte

y el movimiento tiene módulo de velocidad constante, es decir, es uniforme.

De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v es constante en módulo, dirección y sentido (vcte) y como está definido por:

dt r d v    luego drv.dt que integrando:





es la constante de integración (vectorial) y representa el vector de posición inicial, para el instante inicial, t = 0. (Fig.7).

FIG 7

Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C del movimiento, todoslos vectores implicados en la ecuación, r0



, r y v0



tendrán la misma dirección y se podrá escribir: ss0 vot , donde s0, s y v0 serán los módulos de los

vectores correspondientes.

3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intrínsecas de la aceleración toman los valores: an = 0 y at = cte ≠ 0

De la primera se deduce como en el caso anterior, que el radio es infinito: r =  y por consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectilínea.

De la segunda se obtiene: dv/dt=at (constante) siendo ésta además la aceleración total

(por ser la única) pues:

a at an  at at

2 2

2

y como la aceleración tangencial tiene dirección tangente a la trayectoria igual que la velocidad, se podrá escribir:

a a dt v

d/  _t  o bien: dva.dt e integrando:





la constante de integración que corresponde con la velocidad inicial o velocidad para t = 0.

Si sustituimos esta expresión en la ecuación de definición de v resulta: v at dt r d v ₀ .  _{  } o bien: dr v0.dt a.t.dt      e integrando:







es la constante de integración que representa el vector de posición en el instante inicial t = 0.

Si elegimos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria recta C del movimiento, resultarán r, r0



, v0



, a, vectores todos ellos de la misma dirección y podrán escribirse las ecuaciones anteriores sólo con sus

módulos, es decir: FIG 8

2 0 0 . 2 1 .t at v s s   y vv₀ a.t

Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuación de la velocidad en función del espacio y la aceleración v=f(s,a):

despejando t de la segunda ecuación:

a v v

t  o

y sustituyendo en la ecuación del espacio resulta:

... 2 . 2 . 2 1 0 2 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0                         a v v v v a v v v s a v v a a v v v s s a v v s a v v v v v v v s 2 2 . 2 2 . 2 ... 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 0 0          de donde: a v v s s 2 2 0 2 0    resultando v2 v₀2 2a(ss₀)

En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esté fuera de la trayectoria, la expresión vectorial anterior:

2 0 0 2 1 t a t v r r     puede ponerse: 2 0 0 2 1 t a t v r r   

resultando que los vectores r r0

 

 , v0



y a tienen todos la misma dirección como puede apreciarse en la figura 8, y pueden escribirse por sus módulos llamando s rr₀

resultando: 2 0 2 1 at t v s 

Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado), la aceleración será negativa y si el movimiento se debe a la acción gravitatoria en recorridos cortos muy próximos a la superficie de la Tierra, la aceleración se puede considerar constante e igual a

a = g = 9’8 m/s2 _{= 980 cm/s}2 _{y se denomina movimiento de caída libre.}

3.3. Movimiento circular uniforme

Para este movimiento las componentes intrínsecas de la aceleración toman los si-guientes valores: an = cte ≠ 0 y at= 0

De la segunda condición at=dv/dt=0 se deduce que v=cte y como la primera condición

implica: an=v2/=cte, de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de

radio . La aceleración total del movimiento será: a at an an       

y la velocidad será constante en módulo pero no en dirección. En consecuencia, la ecuación que nos dará el espacio recorrido por el móvil a lo largo de su trayectoria circular es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectilíneo, midiendo los espacios sobre la circunferencia: ss₀ v.t

En este tipo de movimiento interesa conocer el ángulo girado por el radio-vector que une el centro con el móvil. Recordando que: Arco(m)=Radio(m).Angulo(rad)

resulta: S = ·ϕ y derivando respecto al tiempo, resultará:

dt d dt ds _  ·  es decir dt d v. 

Esta última derivada representa la variación del ángulo girado por el vector de posición en la unidad de tiempo, a lo que se le llama velocidad angular y se representa por :

=d/dt, resultando: v=. ( rad/s)

Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de la circunferencia (plano de r y v) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos (regla de Maxwell) y de módulo proporcional a su valor, por ello puede escribirse:

  

_{ }

expresión que también puede escribirse así:      _{   } AO v

es decir, la velocidad tangencial v es el momento del vector velocidad angular  con respecto al punto A.

3.4. Movimiento Circular Uniformemente Acelerado

En él, las componentes intrínsecas de la aceleración toman los siguientes valores: an=v2/  cte  t2 y at=dv/dt=cte

tendrá como trayectoria una circunferencia de radio  y sobre ella el movimiento vendrá descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado:

2 0 0 2 1 t a t v s s   _t vv₀ a_tt 2 ( 0) 2 0 2 s s a v v   t 

Como la velocidad no es constante, tampoco lo será la velocidad angular relacionada con aquella mediante el radio : v=. y por ello derivando con respecto al tiempo, resultará:

 

donde =d/dt es la aceleración angular o variación de la velocidad angular con respecto al tiempo. Se mide en rad/s2 _{en el sistema Internacional (S.I.).}

Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en función de las magnitudes angula-res a partir de:  = d/dt y  = d/dt e integrando:

 = 0 + t 2 = 02 + 2

3.5. Movimiento Armónico Simple

Llamamos movimiento periódico a cualquier movimiento que se repite a intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, el movimiento de una masa sujeta a un muelle, el movi-miento de un péndulo, las vibraciones de los átomos de una molécula, etc. Cuando una partícula que realiza un movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y otro sobre una misma trayectoria, recibe el nombre de movimiento oscilatorio.

El movimiento oscilatorio más importante es el movimiento armónico simple (M.A.S.), por ser el más fácil de describir matemáticamente, y constituye un modelo exacto o aproximado para muchos sistemas físicos.

Decimos que una partícula que se mueve a lo largo del eje X realiza un M.A.S. centrado en el origen O de dicho sistema coordenado, cuando su desplazamiento X con respecto al origen viene expresado en función del tiempo en la forma:

x A.sen





donde A,  y  son constantes propias del movimiento armónico.

La distancia X que separa la partícula del origen O recibe el nombre de elongación. El valor absoluto de la elongación máxima A se denomina amplitud. La cantidad t+ (argumento del seno) se denomina fase del movimiento y  es la constante de fase o fase inicial para t=0.

Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2, la partícula completa una oscilación, luego el periodo es T=2/. La frecuencia  del movimiento es el número de oscilaciones que se completan en la unidad de tiempo [=1/T (ciclos/s=herzios (Hz))].

La constante  es la frecuencia angular o pulsación (=2=s-1_).

La velocidad de la partícula que realiza un Movimiento Armónico Simple viene dada por la derivada de la elongación respecto del tiempo:





La aceleración de la partícula se determina haciendo la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

A





dv

a 2. .sen  2.

Considerando a=F/m la fuerza que deberá actuar sobre una partícula para que realice un Movimiento Armónico Simple debe ser también proporcional a la elongación de la partícula y de signo contrario a ésta:

F = m·a = -m·2_{x = -k.x}

donde k = m·2 _{llamada constante armónica.}

3.6. Composición de Movimientos Rectilíneos

Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultáneos independientes, realiza un movimiento compuesto que resulta de la combinación de aquellos. La composición de

dos o más movimientos se realiza calculando el vector de posición del movimiento resultante como suma de los vectores de posición de los movimientos componentes.

Esto se apoya en el “Principio de Galileo” o de independencia de los movimientos: “Si un punto está dotado, por dos causas diferentes, de dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de que los dos movimientos actúen sucesiva o simultáneamente”.

De lo anterior se deduce que el vector de posición r es la suma de los vectores de posición de los movimientos individuales:

r r1 r2 r3 r4 ...      y derivando: vv1 v2 v3 v4 ...     

es decir, la velocidad de un movimiento compuesto es, en todo momento, la suma vectorial de las velocidades de los movimientos componentes.

3.6.1. Descripción de Casos Elementales

A) Un nadador que avanza en la dirección y sentido de la corriente (dos movimientos rectilíneos y uniformes en la misma dirección y sentido):

v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)·t

B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectilíneos y uniformes de la misma dirección y de sentidos contrarios):

v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)·t (v1>v2)

C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos rec-tilíneos y uniformes de direcciones perpendiculares):

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 v 2v v ·cos si 90º v v v v v       

el espacio recorrido será:





y el ángulo de dirección resultante:

1 2 1 2 tg s s v v   

           2 2 02 02 2 2 1 01 01 1 2 1 · 2 1 · t a t v s s t a t v s s sumando: 2 2 1 2 01 02 01 2 1 ( ) 2 1 ). ( ) (s s v v t a a t s s s      _o   v v a a t dt ds v ( ₀₁ ₀₂)( ₁  ₂) (a₁ a₂) dt dv a  

E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma dirección, dados por:

: · 2 1 · · 2 02 02 2 01 01 1 sumando at t v s s t v s s          2 02 01 02 01 2 1 2 1 ). ( ) (s s v v t at s s s       a dt dv a at v v dt ds v ( ₀₁  ₀₂)  

la aceleración es la misma del movimiento acelerado.

3.6.2. Movimiento parabólico de caída

Cuando se lanza una bomba desde un avión que se mueve con una velocidad constante

vx, dicha bomba describe un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad vx (la del

avión), y un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior, con velocidad variable vy=gt. En el instante inicial, t=0, lógicamente vy=0 y el móvil sólo

posee vx=cte. En cualquier instante de su trayectoria, las velocidades componentes son:

v v2 v2 v2 g2t2 gt v cte v x y x y x          

El ángulo  de v con la horizontal será:

x y v v arctg  

El vector velocidad es: vv_xigtj

t=0 el móvil está en el origen r₀ 0 resulta: r vxti gt j    . 2 1 .  2 

por lo tanto, los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendrán dados por las ecuaciones paramétricas del movimiento:

₂ 2 1 gt y t v x _x  

Eliminando el tiempo en ambas expresiones, se obtiene la ecuación y=f(x) de la trayectoria: . ( ) 2 · · 2 1 2 2 2 2 parábola x k x v g v x g y x x                3.6.3. Movimiento de proyectiles

A continuación vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cañón con un ángulo  de inclinación con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida.

Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY serán:

v0x=v0·cos  v0y =v0·sen 

El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante: vx = v0x = cte

y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleración –g y la velocidad para cualquier instante t será:

vy =v0y–g·t (v0y = velocidad inicial vertical)

y por ello las componentes del vector velocidad serán: vx=v0·cos y vy=v0·sen g.t

y el vector velocidad se escribirá:

v



 



Integrando, considerando que para t=0 es r r0 0

 

, resultará el vector de posición del movimiento parabólico del proyectil:

r





de donde, los desplazamientos horizontal y vertical vendrán dados por las ecuaciones:

       2 0 0 2 1 sen cos gt t v y t v x  

que son las ecuaciones paramétricas del vector de posición, rxiyj

La altura máxima se alcanzará en el instante t1 en el que la componente vertical de la

velocidad se hace nula vy=0 o sea:

v0y=gt1 de donde g v g v t y  2 0 0 1 sen   y sustituyendo en y resulta: g v g v g v g g v v y h      2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 0 0 sen . 2 1 sen sen 2 1 sen sen                  o sea: g v h 2 sen . 2 2 0  

El desplazamiento horizontal o alcance se producirá en el instante t2 en que el móvil

vuelve a su altura inicial, es decir, cuando y=0 lo que dará como resultado una ecuación de segundo grado: 2 2 2 0 2 1 sen gt t v  

con dos soluciones: t2 = 0 y

g v t₂ 2 0sen

La primera solución corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0, y la segunda solución corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura máxima, o sea: t2=2·t1.

La expresión del alcance A se obtendrá sustituyendo en la ecuación x=v0tcos el valor de

g v g v v x

a 2 sen cos ·2sencos

2 0 0 0           g v a sen2 2 0 

El alcance horizontal será máximo cuando la función sinusoidal de A sea máxima, es decir, cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚, o sea, cuando =45˚. Por otra parte, como los ángulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos ángulos

2 suplementarios, que den el mismo alcance, los cuales se obtendrán a partir de dos ángulos  complementarios. Por ejemplo, para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance,

en el primer caso se tendría un tiro rasante y en el segundo se tendría un tiro por elevación.

La velocidad total del proyectil en un instante dado vendrá dada por:

      2 0 2 2 0 2 2 ) · sen ( cos v gt v v v v _{x y}   …       2 0 2 2 0 2 2 ) · sen ( cos v gt v v v v _{x y}   ... ) 2 . ( 2 ) cos ( ... v₀2 sen2 2  g v₀tsengt2  gy v 2 ... ₀2 

y el ángulo que forma con la horizontal será:

x y v v   tg

Sólo nos resta determinar la ecuación de la trayectoria descrita por el proyectil, es decir, la ecuación y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones paramétricas:

resulta segunda la en do sustituyen y v x t gt t v y t v x    cos 2 1 sen cos 0 2 0 0         

 

ecuación de segundo grado del tipo y=ax2_{+bx+c donde los coeficientes son:}

_         2 2 0 cos 2v g a b=tg  y c=0

por consiguiente la ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola con la conca-vidad hacia abajo por ser a negativo, y que pasa por el origen por ser c=0.

3.6.4. Composición de Movimientos Armónicos Simples

El caso más sencillo es la composición de movimientos armónicos simples de la misma dirección y de la misma frecuencia.

Sean las ecuaciones de dichos movimientos, las siguientes:

       ) ·sen( ) ·sen( 2 2 2 1 1 1     t A s t A s

donde 1 y 2 son las fases iniciales.

como los desplazamientos tienen lugar en la misma dirección, por suma de las anteriores ecuaciones, resulta:

ss₁ s₂  A₁sen









Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas que nos dan el seno de una suma de ángulos y reordenando términos, resulta:









s 1cos1  2cos2 sen  1sen1 2sen2 cos (#)

Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma dirección y la misma frecuencia que las componentes, su ecuación será del tipo:





A t

s .sen que desarrollando: sS.sent.cos Acost.sen

e igualando a la anterior (#), las dos ecuaciones que resultan son: A.cos  A1cos1 A2cos2 (##)

A.sen  A1sen1 A2sen2

Dividiendo ambas ecuaciones, tendremos:

2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos sen sen tg      A A A A   

que nos da la fase inicial del movimiento armónico resultante.

Por otra parte, si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones (##) y las sumamos miembro a miembro, obtenemos:

2 1 2(cos 1·cos 2 sen 1·sen 2)

2 2 2 1 2         A A A A A es decir: A2  A₁2  A₂2 2·A₁·A₂·cos(₁₂)

Casos Particulares

a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un múltiplo par de , es decir:

1-2 = 2k, resulta entonces:

cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2

b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un múltiplo impar de , es de-cir: 1-2 = (2k+1) resulta entonces:

cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2

4. Métodos para el estudio experimental de los movimientos

Todos los métodos están basados en la determinación de la velocidad de un móvil en puntos singulares de su movimiento, con objeto de determinar la aceleración.

Mediante múltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y se trasladan a gráficos diversos, mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones de los movimientos. Aunque existen múltiples métodos de estudiar el movimiento, podemos reagruparlos en tres bloques:

4.1. Métodos tradicionales de laboratorio de mecánica

En el primer grupo podemos incluir los métodos más utilizados en el laboratorio, y tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo, entre los que destacamos los experimentos de caída de los cuerpos a través de planos inclinados. En una rápida descripción, destacamos el esquema de laboratorio representado en la Fig.14.

Para el estudio del movimiento en el plano inclinado un ángulo  con la horizontal, necesitamos determinar la velocidad en el punto final del plano v

(punto 2) y con ella y las magnitudes geométricas del plano (longitud del plano, ángulo de inclinación), puede determinarse la aceleración mediante la expresión cinemática:

v2 v₀2 2as

donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto

1).

Mediante el ángulo de inclinación del plano , podemos relacionar la aceleración del movimiento con la aceleración de la gravedad, resultando:

a = g·sen 

y aumentando o disminuyendo la longitud del plano y/o la inclinación del plano, pueden obtenerse distintos valores de la aceleración y a partir de ellos, obtener el valor de la ace-leración de la gravedad.

El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias: horizontal (x) y vertical (y) de caída del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caída parabólica:

x = v·t·cos y = v·t·sen + g·t

se determinan tanto v como t (tiempo en la caída parabólica).

El experimento, una vez montado y realizado, permite medir las magnitudes lineales s,

x e y, y a partir de ellas, se medirán v y t, y de ellas se medirá a.

Núm. de ensayo s x y v t s v s v v a 2 2 2 2 0 2    1

Deben trasladarse los datos numéricos a gráficas adecuadas y hacerse un estudio de los errores cometidos.

4.2. Métodos de fotografía estroboscópica

Son métodos técnicamente más avanzados y precisos que los anteriores que requieren tecnología e instalaciones de mayor nivel que el habitual en los centros de enseñanza secundaria.

Se obtienen resultados muy precisos, y permiten una comprobación muy exacta de las leyes de la cinemática.

El método consiste en fotografiar sobre el mismo negativo, la imagen de un objeto en movimiento, tantas veces como sea preciso, con intervalos muy reducidos de tiempo entre imagen e imagen. Se lleva a cabo en una sala laboratorio oscura, en donde un cuerpo realiza un movimiento (caída libre, movimiento de proyectil, tiro oblicuo, movimiento de rotación, movimiento armónico, choque de cuerpos, etc.).

Una cámara fotográfica, adecuadamente enfocada sobre el objeto, se mantiene con el obturador abierto y mientras se realiza el movimiento se ilumina con una luz de flash intermitente, tal que entre destello y destello transcurra una fracción de segundo siempre constante.

Se obtiene así, en el mismo negativo, una serie de imágenes superpuestas correspondientes a intervalos de tiempo igualmente separados a lo largo del intervalo total de tiempo.

El estudio de estos fotogramas, midiendo las distancias entre los cuerpos, permite obtener tablas de datos de distancias y de tiempos que, trasladados a gráficos, permiten la comprobación de las leyes de la Cinemática.

Multitud de fotografías obtenidas con este método aparecen en los textos de Física, demostrativos de los movimientos diversos de los cuerpos.

4.3. Métodos de Laboratorio Asistido por Ordenador. (L.A.O.)

Son los métodos actuales más avanzados y exactos, fáciles de realizar y con equipos y materiales al alcance de los centros de enseñanza secundaria. Necesitan los siguientes materiales:

- Un ordenador personal y todo el equipo que le acompaña.

- Programa de Software de Laboratorio Asistido por Ordenador, (L.A.O.). - Interface de transformación y transformación de datos.

- Materiales de laboratorio específicos para cada práctica.

Se requiere además conocimientos en el manejo de sistema operativo del ordenador, bases de datos, hojas de cálculo y manejo de programas de usuario.

El montaje, representado en la figura 16, incluye un plano inclinado, donde va a tener lugar el movimiento objeto de estudio. En puntos adecuados (1 y 2) y a distancias conocidas, se montan las llamadas puertas electrónicas, aparatos en forma de U invertida, en las que mediante un rayo de luz y una célula fotoeléctrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las franquee. Las puertas están conectadas a unos controladores de señales y a través de un interface adecuado, se conecta a un ordenador el cual, con el adecuado programa de L.A.O. (Laboratorio Asistido por Ordenador) detecta los tiempos que transcurren desde un origen hasta que las puertas son franqueadas.

FIG.16

El aparato mide con gran precisión los intervalos de tiempo entre las puertas y estos datos son trasladados a la hoja de cálculo del programa L.A.O. que permite toda clase de manipulación, así como representaciones gráficas totales y parciales, únicas y superpuestas, así como su escritura en una impresora.

El mismo programa está preparado para que al introducir las ecuaciones adecuadas al fenómeno estudiado, permita efectuar con gran precisión los cálculos a partir de los datos obtenidos por el ordenador. La utilización de este método sólo depende de la imaginación del experimentador.

5. Conclusión

En definitiva, hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos. Hemos visto todo el tratamiento matemático necesario para su análisis, así como los

diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar. Esta parte de la mecánica, llamada cinemética, tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caída libre de un cuerpo, movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera, movimiento de giro de un disco de vinilo,…

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